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O MODELO NEOCLSSICO DE CRESCIMENTO
Livro: Dynamic Optimization - (Pgina 124 do PDF do
Kamien-Schwartz)
Notas de Aula: Anderson Passos Bezerra
Em uma populao constante de L trabalhadores idnticos, o consumo
per capita
dado por C(t). Cada trabalhador deriva uma utilidade U(c(t)) do
consumo, onde U(c) > 0 e
U(c) < 0. Supondo que a utilidade marginal cresce
indefinidamente quando o consumo tende
a zero ( lim0 ()). Um planejador central deseja maximizar a
utilidade agregada
descontada.
max (())
0
: = ((), ()) ()
Onde; = Trajetria temporal do estoque de capital;
(, ) = Funo de produo neoclssica;
C = Nvel de consumo agregado.
Vamos trabalhar com o problema em nvel per capita. Para isso as
variveis devem
ser divididas pelo tamanho da populao de modo que a restrio
ser;
Por conveno sempre que as variveis estiverem representadas de
forma maiscula
representam estoque em nvel natural, e minsculas representam
estoque em nvel per capita.
=
1
((, ) ) (1)
A funo de produo neoclssica apresenta as seguintes
propriedades:
I) homognea de grau 1 em todas as variveis, ou seja;
(, ) = (, )
II) A funo crescente nas variveis e cresce de modo
decrescente;
(, )
> 0,
(, )
> 0
2(, )
2< 0,
2(, )
2< 0
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III) Obedece as condies de Inada
lim
(, )
= 0, lim
0
(, )
=
lim
(, )
= 0, lim
0
(, )
=
Pela homogeneidade da funo de produo neoclssica podemos escrever
a sua
forma per capita, como abaixo;
1
(, ) = (
,
) = (
, 1) = () (2)
Onde k = K/L e represente o estoque de capital per capita.
Podemos tambm descrever a trajetria do estoque de capital per
capita no tempo, ou
seja,
( ) =
( )
Como o estoque de capital e o estoque de mo de obra so funes do
tempo, temos
um derivada do quociente,
(()
() )
=
2=
2=
=
Por hiptese do modelo, a taxa de crescimento da populao zero
(hiptese da
populao constante), assim =0, logo a trajetria do estoque de
capital per capita :
( )
=
= (3)
Deste modo o problema de maximizao da utilidade descontada ao
valor presente
ser, em termos per capita;
max (())
0
: = (()) ()
Que um problema de controle timo ao valor corrente, onde a
varivel controle o consumo e a varivel estado o estoque de
capital.
-
O hamiltoniano do valor corrente
= (()) + ()[(()) ()] (4)
Por economia iremos suprimir o argumento tempo em nossas notaes
e de modo
mais simples escrevemos o hamiltoniano do valor corrente;
= () + [() ] (4.1)
No problema de controle timo as condies necessrias para a
maximizao so:
= 0 = (5)
= = ( ) (6)
= () (7)
Onde alguma funo com subscrito de um varivel representa a
derivada da funo em
relao a esta varivel, por exemplo, = ()
e =
()
;
Vamos caracterizar uma soluo em termos das variveis consumo e
estoque de
capital. Das condies necessrias podemos eliminar a varivel m,
que nada mais do que
uma funo do multiplicador de Lagrange e do fator de desconto.
Derivando a equao (5) em
relao ao tempo, obteremos;
= (8)
Substituindo (5) e (8) na equao (6), obteremos;
= ( )
=
( ) (9)
Ficamos ento com o sistema de equaes diferenciais no lineares em
c e k dado
pelas equaes (9) e (7)
{ =
( )
= ()
Podemos fazer algumas consideraes a respeito do comportamento
desse sistema
em relao ao estado estacionrio.
O estado estacionrio das variveis caracterizado pela variao nula
das mesmas no
tempo, ou seja;
{ = 0 = = 0 =
Onde e so valores constantes
Para = 0, da equao (9) teremos que;
-
( ) = 0 = (10)
Lembrando que = (), pelo teorema da funo implcita teremos
que;
1() = (11)
Como r constante e positivo, a curva representativa de = 0 no
plano , uma reta vertical1 situada no quadrante positivo.
Para verificarmos a dinmica fora da reta = 0 suponha um ponto (
+ , ), com a > 0, teramos (a partir da equao 11)
1() ( + ) = 1() = < 0 (12)
Portanto no ponto ( + , ), a funo decrescer, como apresentado no
diagrama
abaixo;
Para = 0, da equao (7) teremos que;
() = 0 () = (13)
A funo () a funo de produo neoclssica em termos per capita e
como dito anteriormente dentre as suas propriedades est o fato de
que a mesma cresce a taxas
decrescentes, (ou seja a funo cncava) e passa pela origem2.
Para verificarmos a dinmica fora da curva = 0 suponha um ponto (
, + ), com a > 0, teramos (a partir da equao 13),
() ( + ) = () = < 0 (14)
1 Podemos verificar este fato tambm pela derivada
(=0)
que igual a 0.
2 Pode ser verificado fazendo K e L iguais a 0 e utilizando a
homogeneidade de grau 1 em F(K,L).
c
k
=
1() =
+
-
Portanto no ponto ( , + ), a funo decrescer, como apresentado no
diagrama
abaixo;
O equilbrio dinmico do sistema apresentado no diagrama de fase
abaixo, pode-se
notar que trata-se de equilbrio instvel, do tipo ponto de sela.
H uma trajetria estvel que
leva ao equilbrio de estado estacionrio, porm h tambm trajetrias
que podem levar a
distanciar do equilbrio estacionrio.
Podemos linearizar o sistema atravs de uma expanso de Taylor de
primeira ordem
para verificarmos a existncia do equilbrio de ponto de sela como
o anunciado atravs da
anlise qualitativa do sistema.
Realizando uma expanso de Taylor em torno do estado estacionrio
( , ), a partir
das equaes (7) e (9);
c
k
= 0
() =
+
c
k
= 0
() =
c
k
= 1() =
-
- Expanso de Taylor sobre
(() ) + ()( ) ( )
Como () = 0, temos que;
()( ) ( ) (15)
- Expanso de Taylor sobre
()
()( ()) ()
()
()( )
+ [()
2 ()()
()2] ( ())( )
Como () = 0, temos que;
()()
()( ) (16)
O sistema formado pelas formas linearizadas em (15) e (16) :
{
()( ) ( )
()()
()( )
Na forma matricial o sistema pode ser escrito como;
[
] = [
() 1
()()
()0
] [( )( )
]
Calculando o determinante da matriz de coeficientes (chamemos de
A) do sistema
acima, obteremos;
det() = ()()
()< 0
Significando portanto que as razes caractersticas do sistema so
distintas e com sinais
opostos, o que caracteriza um ponto de sela.
