O Movimento Harmônico SimplesBibliografia e Figuras: Halliday, Resnick e Walker, vol 2 8a ed, Cap 15.

Todo o movimento que se repete em intervalos regulares é chamado de movimento periódico ou movimento harmônico.

Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

Conceitos iniciais

• A frequência f, mede o número de oscilações completas em um segundo.

• Sua unidade no SI é o Hertz (Hz). Um Hz é definido como uma oscilação por segundo, ou 1/s.

• Outra grandeza importante é o período T, que é o intervalo de tempo necessário para se completar uma oscilação completa ou um ciclo.

• T=1/f [s]

• Uma outra unidade de frequência que normalmente aparece é o rpm ou rotações por minuto. Note que 60rpm=1Hz

Equação de movimento

Vamos considerar um sistema composto de uma massa presa em uma mola oscilando em torno de um ponto de equilíbrio x=0. Desprezamos o atrito.

F = �kx ! ma = �kx ! m

d

2x

dt

2= �kx m

d

2x

dt

2+ kx = 0

d

2x

dt

2+

k

m

x = 0d

2x

dt

2+ !

2x = 0

Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

• Esta é uma equação diferencial de segunda ordem (precisa de duas condições iniciais para ser resolvida. Por exemplo temos que saber a posição e a velocidade iniciais do sistema) cuja solução fornece o deslocamento do sistema em função do tempo, sendo uma função periódica do tipo:

xm é a Amplitude da oscilação ! é a frequência angular � é constante de fase (deve ser expressa em radianos)

Como x(t) é periódica, devemos ter que x(t)=x(t+T) e isto implica, tomando

xmcos(!t) = xmcos[!(t+ T )]

x(t) = xmcos(!t+ �)

� = 0

Como a função coseno se repete a cada T=2π, ou seja, tem período de oscilação T=2π, temos que:

⇥ =2�

T(rad/s)

⇥(t+ T ) = ⇥t+ 2�

⇥T = 2�

ou, como f=1/T

⇥ = 2�f

�

� deve ser expresso em radianos!

Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

Velocidade e aceleração no MHS

x(t) = xmcos(!t+ �)

v(t) =dx(t)

dt

= �!xmsen(!t+ �)

a(t) =dv(t)

dt

= �!

2xmcos(!t+ �) = �!

2x(t)

Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

Revisitando a frequência angular

Para deduzir a equação de movimento de um sistema massa mola, havíamos feito que:

!2 =k

m

e devido à periodicidade da função que descreve a posição do sistema, vimos também que:

! =2⇡

T

igualando as duas expressões, podemos expressar o período de oscilação de um oscilador simples como:

T = 2⇡

rm

k

Exemplo-1

Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

(e) Qual a constante de fase do movimento?

(f) Qual a função posição do bloco?

Exemplo-2

Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

O Movimento Harmônico Simples II -Energia no MHS-

Bibliografia e Figuras: Halliday, Resnick e Walker, vol 2, 8a ed, Cap. 15

Vimos que a energia mecânica de um sistema físico pode ser escrita como a soma de sua energia cinética com sua energia potencial. No caso do oscilador harmônico simples, sabemos que:

Já sabemos que a posição e a velocidade são dadas neste caso, respectivamente, por

x(t) = xmcos(!t+ �) v(t) = �!xmsen(!t+ �)

Emec =1

2mv

2 +1

2kx

2

Emec =1

2m(�!xmsen(!t+ �))2 +

1

2k(xmcos(!t+ �))2

Emec =1

2m!

2x

2msen

2(!t+ �) +1

2kx

2mcos

2(!t+ �)

mas, já vimos que k = !2m e, podemos agrupar esta equação

Emec =1

2m!

2x

2m(sen2(!t+ �) + cos

2(!t+ �))

Emec =1

2m!

2x

2m

Note que as energias cinética e potencial são defasadas de π/2 A energia mecânica total é constante e depende do quadrado da amplitude de oscilação, do quadrado da frequência angular e da massa do oscilador, conforme mostramos.

Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

Reuters/Richard Chung/Landov LLC

Exemplo: (Amortecedor de massa): A massa da peça é de m=5,4x105kg, e ela foi projetada para oscilar com uma frequência de f=10Hz e com uma amplitude de 20cm. a) Qual é a energia mecânica total do sistema? b) Qual a velocidade da peça ao passar pelo ponto de equilíbrio?

O Pêndulo SimplesÉ um sistema composto por uma partícula de massa m suspensa em uma das extremidades por um fio indeformável e massa desprezível se comparada com a da partícula e está livre para oscilar no plano xy, em torno do eixo z (que sai do quadro)

O movimento do pêndulo simples é de rotação em torno de um eixo fixo. Neste caso, a segunda lei de Newton é dada por:

I ! Momento de Inercia

�mgLsen� = Id2�

dt2

Para pequenas oscilações sen� ⇡ �

d2✓

dt2! aceleracao angular

M = Id2✓

dt2M ! Torque ou Momento de uma forca

~M = ~r ⇥ ~F ! ~M = �mgLsen✓

Então ficamos com a seguinte equação diferencial:

d

2x

dt

2+ !

2x = 0

que é exatamente a mesma equação diferencial do Movimento Harmônico Simples que ocorre em um sistema massa-mola

No caso do pêndulo, a frequência angular é: �2 =mgL

I

d2✓

dt2+

mgL

I✓ = 0

d2✓

dt2+ !2✓ = 0

A equação é uma EDO de segunda ordem e precisa de duas condições iniciais para ser resolvida, tipicamente a posição angular e velocidade iniciais. Note que a solução deste problema é matematicamente idêntica à solução do problema envolvendo a oscilação do sistema massa-mola.

T =2�

⇥�2 =

mgL

I

O momento de Inércia no caso do pêndulo simples é: I = mL2

T = 2�

sL

g

O período é e a frequência angular é

⇥(t) = ⇥mcos(⇤t+ �)