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5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
CAPITULO 1...........................................................................................................................................................3
1.0 GEOMETRIA PLANA...................................................................................................................................31.1 INTRODUÇÃO..............................................................................................................................................3
1.2 EXERCICIOS..............................................................................................................................................31.3 LISTA 1........................................................................................................................................................3
CAPÍTULO 2...........................................................................................................................................................5
2.0 GEOMETRIA ESPACIAL..............................................................................................................................52.1 PRISMA..........................................................................................................................................................5
2.2 EXERCICIOS.............................................................................................................................................52.3 LISTA 2........................................................................................................................................................6
CAPITULO 3...........................................................................................................................................................8
3.0 PIRÂMIDE.....................................................................................................................................................83.1 DEFINIÇÃO...................................................................................................................................................8
3.3 LISTA 3........................................................................................................................................................8
CAPITULO 4.........................................................................................................................................................10
4.0 TRONCO DE PIRÂMIDE............................................................................................................................104.1 DEFINIÇÃO.................................................................................................................................................10
4.3 LISTA 4......................................................................................................................................................10
CAPÍTULO 5.........................................................................................................................................................11
5.0CILINDRO DE ROTAÇÃO OU REVOLUÇÃO.................................................................................115.1 DEFINIÇÃO.........................................................................................................................................11
5.3 LISTA 5......................................................................................................................................................11
CAPITULO 6.........................................................................................................................................................13
6.0 CONE DE REVOLUÇÃO...........................................................................................................................136.1 DEFINIÇÃO.........................................................................................................................................13
6.2 EXERCICIOS............................................................................................................................................136.3 LISTA 6......................................................................................................................................................13
CAPITULO 7.........................................................................................................................................................14
7.0 TRONCO DE CONE....................................................................................................................................147.1 DEFINIÇÃO.................................................................................................................................................14
7.3 LISTA 7......................................................................................................................................................15
CAPITULO 8.........................................................................................................................................................16
8.0 ESFERA........................................................................................................................................................168.1DEFINIÇÃO..................................................................................................................................................16
8.3 LISTA 8......................................................................................................................................................16
CAPITULO 9.........................................................................................................................................................17
9.0GEOMETRIA ANALITICA PLANA...........................................................................................................179.1 DEFINIÇÃO.................................................................................................................................................179.2 ESTUDO DO PONTO..................................................................................................................................17
9.3 EXERCICIOS............................................................................................................................................179.4 LISTA 9......................................................................................................................................................18
CAPITULO 10.......................................................................................................................................................19
10.0 ESTUDO DA RETA...................................................................................................................................19Equação da reta na forma geral.................................................................................................................19Equação na forma reduzida...........................................................................................................................1910.1 EXERCICIOS..........................................................................................................................................2010.2 LISTA 10..................................................................................................................................................20
CAPITULO 11....................................................................................................................................................2311.0 CIRCUNFERÊNCIA..........................................................................................................................23
11.2 LISTA 11.................................................................................................................................................23
1
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
PONTO E CIRCUNFERÊNCIA....................................................................................................................24INTERSECÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS...................................................................................................25
2
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
CAPITULO 1
1.0
GEOMETR
IA PLANA
1.1
INTRODU
ÇÃO
Geometria plana
estuda as
propriedades e
dimensões de
figuras
geométricas
planas.
Estudaremos
figuras
geométricas , tais
como triângulos,
quadriláteros e
outros polígonos.
1.2
EXERCI
CIOS
1.2.1Calcule a
área de um
terreno
retangular de
dimensões 12 m
e 23 m.
R: 276m2
1.2.2 Um
pedreiro cobra
1.40 por m^2
para assentar
lajotas em um
piso de forma
retangular, com
dimensões de
2.5 m por
3.7m.Qual deve
ser o valor a ser
pago ao pedreiro?
R:12.95
1.2.3 O perímetro
de um retângulo
é 42 m e a base
mede 5 m a mais
do que a
largura.Calcule a
área do
retângulo.R:104
1.2.4 Se
aumentarmos de
2 cm o lado de
um quadrado ,
sua área
aumentará de 16
cm^2 Quanto
mede o lado do
quadrado? R:3
1.2.5Calcule o
lado do quadrado
equivalente e a
um retângulo de
dimensões 9 cm
e 6 cm? R: 63
1.2.6Duplicando
o raio de uma
circunferência o
que ocorre com
seu comprimento.
R:duplica
1.2.7 Um
paralelogramo
tem perímetro
igual a 20
cm.Sabendo -se
que dois lados
consecutivos
formam um
ângulo de 30o e
que um deles é
2 cm maior que
o outro calcule a
área. R:12
1.2.8 Calcular os
lados de um
paralelogramo,
sabendo que o
seu perímetro
mede 84 m e que
a soma dos
lados menores
representa 2/5
da soma dos
lados
maiores.R:12 e
30
1.2.9 Calcule a
área de um setor
circular de 108o e
raio 4 cm.
R:24pi/5
1.3 LISTA 1
1.3.1Determine o
numero de
azulejos , com
dimensões 0.15
m por 0.15 m
necessários para
revestir uma
superfície com a
forma de um
triangulo
retângulo ,
sabendo-se que
um de seus
catetos mede 4
m e a hipotenusa
5 m.
1.3.2Calcule a
área de um
hexágono regular
de lado 3
cm.R:23.38
3
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
1.3.3 Uma casa
está construída
num terreno
retangular de
dimensões 12 m
por 25 m.A
construção ocupa
uma parte
quadrada dentro
do terreno de 10
m por 10 m.Qual
é a área do
terreno onde não
há construção?
R:20
1.3.4Deseja-se
colocar azulejos
nas paredes
laterais e no
fundo de uma
piscina retangular
de comprimento
7.5 m largura 4.5
m e profundidade
1.5 m. Os
azulejos
escolhidos são
quadrados de
lado 15 cm.
Quantos azulejos
são necessários
para revestir
toda a piscina?
R:3100
1.3.5 A base
maior de um
trapézio isósceles
( dois lados
iguais) mede 12
cm e a base
menor 8 cm.
Calcular o
comprimento dos
lados não
paralelos
sabendo que o
perímetro é 40
cm.R:10
1.3.6 Um
triangulo cujos
lados medem 12
m 18m e 20 m é
semelhante a
outro cujo
perímetro mede
30 m.Calcular a
medida do
menor dos lados
do triangulo
menor?
R:7.2;10.8;12
1.3.7 Calcule a
área de uma
coroa circular
delimitada por
uma
circunferência
concêntricas de
raios
5 cm e 9
cm.R:56\pi
1.3.8 Num
circulo de 100 cm
de raio , é
definido um
setor circular
cujo arco mede
50 cm. Determine
a área desse
setor.R:2500
1.3.9 Um pista
circular foi
construída por
duas
circunferências
concêntricas ,
cujos
comprimentos
são de 1500 m e
1200 m
aproximadamente
. Quanto mede
sua largura?
R:47.75
1.3.10 De quanto
aumenta o raio
de uma
circunferência
quando seu
comprimento
aumenta de 5
metros?
1.3.11Um
ciclista percorreu
26 km em 1h e
50 minutos.Se as
rodas da
bicicleta tem 40
cm de raio,
quantas voltas
aproximadamente
deram as rodas e
quantas por
minuto? R94
1.3.12 Numa
carpintaria ,
empilham-se 50
tabuas , umas de
2 cm outras de 5
cm de
espessura.A
altura da pilha é
de 154 cm.A
diferença entre o
numero de
tábuas de cada
espessura é:
4
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1.3.13 Uma
estrada de 8 km
de comprimento
a 8m de largura
deve ser
asfaltada .O custo
total da obra, em
milhões de
dólares ,sendo
200 o preço do
metro quadrado
asfaltado , é:
1.3.14 A área de
um terreno
retangular é de
281.25 m2.Se o
lado maior do
terreno excede de
25 por cento o
lado menor ,
então o perímetro
do terreno é igual
, em metros , a:
1.3.15 Para cobrir
o piso de um
banheiro de 1 m
de largura por 2
m de
comprimento
com cerâmicas
quadradas ,
medindo 20 cm
de lado , o
numero
necessário de
cerâmicas é:
1.3.16 Trinta por
cento da área de
um painel de 200
por 240 cm , é
ocupada por
ilustrações e 12
por cento das
ilustrações são
em vermelho
Então a área
ocupada pelas
ilustrações em
vermelho é igual
a:
1.3.17A base de
um retângulo é o
dobro de sua
altura.Determine
suas dimensões
sendo 72cm^2
sua área.
1.3.18
Determinar o
lado de um
quadrado,
sabendo -se que
se aumentarmos
seu lado de 2 cm
sua área aumenta
em 36 cm^2.
1.3.19
Determinar a área
de um circulo
sabendo que o
comprimento de
sua
circunferência é
igual 8\π cm.
1.3.20
Determinar a
área da coroa
determinada por
duas
circunferências
concêntricas de
raios 15 cm e 12
cm.
1.3.21Quando o
comprimento de
uma
circunferência
aumenta de 10
cm para 15 cm,
o raio aumenta
em metros de:
a)5/2pi b) 2.5
c) 5 d)pi/5
e)5pi
1.3.22 Um
ciclista de uma
prova de
resistências deve
percorrer 500 km
sobre uma pista
circular de raio
200 m numero
aproximado de
voltas que ele
deve dar é:
a)100 b)200
c) 300 d) 400
e) 500
1.3.23 As
dimensões de um
terreno retangular
é de estão na
razão 5/8 .Se a
área do terreno é
de 1000 m^2 ,
então sua menor
dimensão em
metros é de:
a) 15 b) 20 c) 25
d) 30 e) 35
1.3.24 Um
retângulo tem 24
cm^2 de área e
20 cm de
perímetro.
5
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
Determinar suas
dimensões.
1.3.25 Com 4
palitos de
mesmo
comprimento ,
forma-se um
quadrado com
(a) cm^2 de área
e (p) cm de
perímetro .Se
a+p=21 , o
comprimento de
cada palito, em
centímetros , é:
R:3
1.3.26 O
perímetro de um
triangulo
isósceles de 3 cm
de altura é 18
cm.Os lados
deste triangulo ,
em cm , são:
a)7 ;7;4 b)5;5;8
c)6;6;6
d)4;4;10
e)3;3;12
1.3.27 Dados
dois discos
concêntricos
( mesmo centro) ,
de raios 1 e ½ ,
a área da coroa
circular
compreendida
entre eles é:
a)50 por cento da
área do disco
menor
b)75 por cento da
area do disco
maior
c)igual a área do
disco menor
d)o dobro da
área do disco
menor
e) metade da
área do disco
menor
CAPÍTULO 2
2.0
GEOMETR
IA
ESPACIAL
2.1 PRISMA
Um prisma é reto
quando as bases
estão em planos
perpendiculares
às arestas laterais.
A altura h do
prisma reto tem a
medida do
comprimento da
aresta lateral.
A natureza de um
Prisma pode
ser :base
triangular ,base
quadrangular,
base pentagonal ,
etc.
2.2
EXERCI
CIOS
2.2.1 Determine
em litros a
capacidade de
uma caixa d' água
com a forma de
um cubo de
aresta 2m.
2.2.2 Calcule a
diagonal , a área
total e o volume
do ortoedro
,sabendo que suas
dimensões são de
3 cm, 4cm e
64 cm.
2.2.3 Calcule a
área total do cubo
, sabendo-se que
se aumentarmos a
sua aresta em
2cm, o volume
aumentará em
218 cm3.
2.3 LISTA 22.3.1 As
diagonais de dois
cubos medem 3
cm e 9 cm
.Calcule a razão
entre a área total
do menor cubo e
a do maior. R:1/9
2.3.2 Calcule a
área total de um
ortoedro, cujas
dimensões são 5
cm, 7 cm e 2 cm.
2.3.3 Uma caixa
d' água cúbica de
aresta
1 m está
completamente
cheia .Dela
retiramos 70
litros de água.De
quanto desce o
nível da água?
6
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
2.3.4
Aumentando de
1 m a aresta de
um cubo , sua
área lateral sofre
um acréscimo de
164 m^2 .Calcule
a área total e o
volume do cubo.
2.3.5 O sal é
transportado para
o depósito num
veiculo cuja
carroceria mede
2.2 m de largura,
3.2 m de
comprimento e
0.7 de altura.O
responsável pelo
deposito garante
que , em cada
viagem, o
caminhão carrega
5.5m^3 de
sal.Esta
afirmação é
verdadeira?
2.3.6 Calcule a
razão entre o
volume e a área
total de um
paralelepípedo
retângulo de 26
cm de diagonal
,sabendo que suas
arestas são
proporcionais aos
números 3,4,12.
2.3.7 Uma lata de
forma prismática
tem como base
um retângulo de
lados 9 cm e 6.5
cm.Qual deve ser
a altura para que
essa lata
contenha 900 ml
de óleo? R:
H=15.38
2.3.8 O tanque
de combustível
de um veículo
tem a forma de
ortoedro de
dimensões 20cm,
40cm, 80cm.Se o
consumo médio
do veículo é de
12 km por litro ,
qual a distância
máxima que pode
percorrer com um
tanque cheio de
combustível?
2.3.9Um
recipiente que
contem mel ,
possui a forma
prismática.A
altura tem 14 cm
e a base, que é
um hexágono
regular , tem 4
cm de lado.
Calcule o volume
máximo de mel
que o recipiente
pode conter.
2.3.10 A
embalagem de
um chocolate tem
a forma de um
prisma triangular
regular, cuja
aresta de base
mede 2 cm de e a
lateral, 10 cm.
Calcule a a área
de papel
utilizado na
embalagem e o
volume máximo
de chocolate que
ela pode conter.
2.3.11 Num
supermercado , as
mercadorias são
acondicionadas
em sacos de
papel em forma
de prisma
quadrangular
regular , cujas
dimensões são de
0.2X0.2X0.4m
determine:
a) Sem considerar
as dobras , a
quantidade de
papel , em m^2 ,
para 300 sacos;
b) Número
máximo de barras
de chocolate, de
forma de prisma
triangular regular
com 10cm de
altura e 6 cm de
aresta na base ,
que é possível
acondiciona-las
em cada saco de
papel.
2.3.12As
dimensões de um
caixa retangular
são 3 cm, 20 mm
e 0.07 m.O
7
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
volume dessa
caixa, em
mililitros, é:
2.3.13Um
tanque , em
forma de
paralelepípedo ,
tem por base um
retângulo de
lados 0.5 m e 1.2
m. Uma pedra ,
ao afundar
completamente
no tanque , faz o
nível da água
subir 0.01m.
Calcule o volume
da pedra em
decímetros
cúbicos.
2.3.14 Deseja-se
construir um
aquário de vidro
na forma de um
prisma regular, de
base hexagonal
com 20 cm de
aresta. De o valor
da altura para que
contenha 3.6
litros de água.
2.3.15Um
piscina com
formato de
paralelepípedo
retângulo com 5
m de largura, 10
m de
comprimento e
1.60 m de
profundidade
deverá ser
azulejada
.Sabendo que o
m^2 custa $6 e
que deverão ser
comprados 10 por
cento a mais
paras quebras,
então o gasto
total em $ será
de:
2.3.16 A aresta de
um cubo mede
3
34 cm. O
volume do cubo
em cm^ é de:
2.3.17 Uma caixa
de forma cúbica ,
cuja aresta mede
120 cm , está
totalmente cheia
de água.Quantos
litros de água
devem ser
retirados da caixa
para que o nível
de liquido da
caixa se reduza a
¾ do nivel
inicial?
2.3.18As
dimensões de um
paralelepípedo
retângulo são
diretamente
proporcionais
aos números
2,4,12. Se o
volume desse
paralelepípedo é
de 12 cm3, a sua
área total em cm
quadrados é
:R:40
2.3.19 Se a área
da base de um
prisma diminui
10 % a altura
aumenta 20%, o
seu volume :
a) aumenta 0.08
b)aumenta 0.15
c)aumenta
108/100
d)diminui 0.08
e) não se altera
2.3.20Ao
congelar-se, a
água aumenta em
1/15 o seu
volume
.Determine o
volume de água a
congelar para
obter-se um bloco
de gelo de 8 dm
por 4 dm por 3
dm.
2.3.21 Usando
uma folha de
latão, deseja-se
construir um
cubo com volume
de 8 dm^3. A
área de folha
utilizada para isso
será de , no
mínimo em
cm^2:
a)20 b) 40 c)
240 d) 2000 e)
2400
2.3.22 Um
reservatório tem
8
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
a forma de um
paralelepípedo
retangular, cujas
dimensões são
de 2m de
comprimento :
0.5m e 1.5 m de
altura.Determine
o número de
litros de água que
o reservatório
pode conter.
a) 1500 b) 1.5
c)15 l d)0.015 e
) 150
2.3.22 O volume
de um
paralelepípedo
reto-retângulo é
de 240 cm^3. As
áreas de duas de
suas faces são 30
cm^2 e 48 cm^2.
A área total do
paralelepípedo,
em cm^2, é:
2.3.23A área da
superfície da
Terra é estimada
em 510 000 000
km^2..Por outro
lado , estima-se
que ,se todo o
vapor de água
da atmosfera
terrestre fosse
condensado , o
volume liquido
resultante seria de
13 000
km^3.Imaginand
o que toda essa
água fosse
colocada no
interior de um
paralelepípedo
retângulo , cuja
área da base
fosse a mesma
superfície da
Terra , a medida
que mais se
aproxima da
altura que o nível
da água
alcançaria é:
R:letra b
a) 2.54 mm b)
2.54 cm c) 25.4
cm d) 2.54 m e)
0.254 Km
CAPITULO 3
3.0 PIRÂMIDE
3.1 DEFINIÇÃO
É um poliedro1
convexo tal que
uma face é
polígono
convexo2 e as
demais faces são
triângulos tendo
um vértice
comum.
3.2
EXERCICIOS
3.2.1 Em uma
pirâmide
hexagonal
regular, a aresta
1Poliedro convexo é um.sólido limitado por polígonos planos2 Polígono convexo sãopolígonos simples tais que toda reta que passa por dois vértices consecutivos deixa todos os outros vértices num mesmo semiplano. A intersecção de todos os semiplanos assim obtidos forma o conjunto dos pontos internos do poligono
da base mede
34 cm e altura
é de 8m. Calcular
apótema, área
total ,área lateral
e volume.
3.2.2 A base de
uma pirâmide
quadrangular
regular tem 24 m
de
perímetro.Uma
secção plana
dessa pirâmide ,
paralela à base e
distante dela 2m,
tem área de 16
m^2.Qual o
volume da
pirâmide? R:72
3.2.3 Um
pirâmide de base
quadrada tem
volume 2
720
m^3.Pede-se a
altura, sabendo-se
que é igual a 5/4
da diagonal da
base.
9
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
3.3 LISTA 3
3.3.1Calcule a
altura de um
pirâmide sabendo
que uma secção
feita a 3 m da
base tem área
igual a ¼ da
área da base.
Resposta : H= 6m
3.3.2 Uma
pirâmide regular,
de base quadrada
tem aresta da
base igual a 5 cm,
e a altura, 9 cm
Secciona-se essa
pirâmide por um
plano paralelo à
base, situado à
distancia de 3 cm
do vértice.
Determine o
volume da
pirâmide menor
obtida no
seccionamento.
resposta:25/9
3.3.3 Numa
pirâmide
hexagonal
regular, a altura é
igual ao triplo da
aresta da base.
Determinar a
aresta da base,
sabendo que o
volume dessa
pirâmide é igual
312 cm3.
3.3.4 O volume
de uma pirâmide
quadrangular
regular mede 48
cm^3. Calcule a
altura da
pirâmide sabendo
que sua medida
é o dobro da
aresta da base.
3.3.5 A pirâmide
de Queops tem
para base um
quadrado de
lado 232
m.Calcule a área
total e
volume,sabendo
que tem 147 m de
altura.
3.3.6 A área total
de um tetraedro3
3 Tetraedro regular tem todas as suas facestriângulos equiláteros
regular é3
6 cm2
. Logo, a sua
altura mede:
3.3.7 Um
pirâmide regular
de base quadrada
tem aresta da
base medindo 8
m e a área
lateral 5/8 da área
total. Calcule a
área lateral o
volume dessa
pirâmide.
3.3.8 Uma
pirâmide regular
tem todas as
arestas iguais
.Sendo a base
um quadrado de 4
cm de diagonal,
calcule a área
total e o volume.
3.3.9 Uma
pirâmide
quadrangular
regular tem todas
as arestas de
mesmo
comprimento, a.A
área total da
pirâmide é:
3.3.10 A base
de um pirâmide
com 12 cm de
altura é um
triângulo cujos
lados medem
9cm, 12cm, 15
cm.Corta-se essa
pirâmide por um
plano paralelo à
base , distante 8
cm do
vértice.Calcule o
volume da
pirâmide que se
obtém ao se
desprezar a parte
inferior.
3.3.11 A que
distância da base
se deve se cortar
uma pirâmide de
6 cm de altura ,a
fim de dividi-la
em dois sólidos
de volumes
iguais?
3.3.12 Uma
pirâmide cuja
área da base é
250 cm^2 tem 10
cm de altura .A
10
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
que distância da
base se deve
cortá-la por um
plano paralelo à
base para que a
secção tenha 90
cm^2 de área?
3.3.13 Considere
uma pirâmide de
base quadrada ,
cujo lado é 2a.
Sabendo que a
área lateral é ¾
da área lateral
de um prisma
reto de base e
altura iguais as
da pirâmide ,
então a altura da
pirâmide mede.
3.3.14 A área da
base de um
pirâmide mede
225 m^2.A 2/3
de uma aresta a
partir do vértice,
secciona-se a
pirâmide por um
plano paralelo á
base .Calcular a
área da secção.
3.3.15 Calcular a
aresta de um
tetraedro
regular ,sabendo
que,aumentada de
2 m, a área
total sofre um
aumento de
3
14 m2.
CAPITULO
4
4.0 TRONCO DE
PIRÂMIDE
4.1 DEFINIÇÃO
Tronco de
Pirâmide Regular
é a parte de uma
pirâmide regular
compreendida
entre a base e
uma secção
plana, que lhe é
paralela.
4.2
EXERCICIOS
4.2.1 Em um
tronco de
pirâmide
quadrangular
regular, as arestas
das bases
medem,
respectivamente,
20 cm e 30 cm e
o apótema mede
13 cm.Calcular
Sl,St e V.
R:1300,2600,760
0
4.2.2 Calcular Sl,
St e V de um
tronco de
pirâmide regular
de base
quadrada ,
sabendo que os
lados das bases
medem 10 m e 40
m e altura, 20m.
R:2500,4200 e
14000
4.2.3 Qual o
volume de um
tronco de
pirâmide
quadrangular
regular cujas
arestas das bases
são 8m e 2 m e o
apótema do
tronco mede 5 m:
4.2.4 Qual o
volume e a área
lateral de um
tronco de
pirâmide
hexagonal regular
de 5 m de aresta
lateral , cuja
arestas das bases
medem 6 e 2m?
4.3 LISTA 44.3.1Calcule a
altura de um
tronco de
pirâmide
quadrangular
regular ,cujo
apótema mede 7
cm e as arestas
das bases 2 cm e
6 cm.
4.3.2 A base de
uma pirâmide
quadrangular
regular tem 225
cm^2 de área.
Uma secção
paralela à base ,
feita a 4 cm do
vértice tem
25cm^2 de área:
11
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
1.calcular a altura
da pirâmide total
2.calcular a área
lateral da
pirâmide total
3.calcular a área
lateral do tronco
de pirâmide
formado pela
base pela secção.
4.3.3 Uma
pirâmide regular
de base quadrada
tem 5 cm de
aresta na base e
15 cm de altura.
Secciona-se por
um plano paralelo
a base a 6 cm do
vértice.
Determine o
volume do tronco
de pirâmide
obtido.
4.3.4 Calcular o
volume de um
tronco de
pirâmide de 4 dm
de altura e cujas
bases tem área
de 36 dm^2 e 144
dm^2.
4.3.5 O apótema
de um tronco de
pirâmide regular
tem 5cm ; as
bases são
quadradas de 4
cm e 10 cm de
lado.Calcular o
volume.
4.3.6 Um tronco
de pirâmide
regular tem por
bases triângulos
eqüiláteros cujos
lados medem,
respectivamente,
35 cm e 15 cm .A
aresta lateral
mede 26
cm.Calcule a área
lateral do tronco.
R:1800
4.3.7 Um tronco
de pirâmide
regular tem como
bases triângulos
eqüiláteros cujos
lados medem
respectivamente
2 cm e 8 cm . A
aresta lateral
mede 5 cm.
Calcular a área
lateral , área total
e o volume deste
tronco.
4.3.8 Uma
pirâmide
triangular regular
tem aresta
lateral 10 dm e de
apótema da base,
3 dm.Cortando-se
essa pirâmide por
um plano paralelo
à base cuja
distancia ao
vértice é de 4 dm.
Dê o volume do
tronco de
pirâmide obtido.
CAPÍTULO 5
5.0CILINDRO
DE ROTAÇÃO
OU
REVOLUÇÃO
5.1 DEFINIÇÃO
É o sólido
gerado pela
rotação de um
retângulo em
torno de um eixo
que contém um
de seus lados.
5.2
EXERCICIOS
5.2.1 Qual o
volume de um
cilindro cuja base
está inscrita em
um quadrado de
48 m de
perímetro e cujo
raio da base é o
triplo da altura?
5.2.2Qual o raio
de um cilindro
de revolução de π
m de altura em
que secção
meridiana é
equivalente á
base?
5.2.3 A área
lateral de um
cilindro
equilátero é de
36π cm^2. O
valor em cm^3 ,
de 1/π do volume
desse cilindro é:
5.2.4 A área total
do prisma
12
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
triangular regular
inscrito em um
cilindro reto de
10 cm de altura e
25π cm^2 de base
é:
1.2.5 Calcule a
área lateral de um
clindro de raio
da base igual a
10m e cuja altura
é igual ao raio da
base:
5.3 LISTA 55.3.1 Qual a
massa de
mercúrio em Kg
, necessária para
encher
completamente
um vaso
cilíndrico de raio
interno 10 cm e
altura 30 cm , se
a capacidade do
mercúrio é 13.6
g/cm^3?
Dado:
densidade=massa
/volume
5.3.2 Um
reservatório tem a
forma de um
cilindro
eqüilátero de raio
da base igual a
5 m. Apenas a
metade de sua
capacidade é
ocupada .Quantos
litros contém?
5.3.3 Uma
indústria deseja
produzir 1000
tambores, com
chapa de estanho,
de 3.5 m de
altura e 3 m de
diâmetro.Sabend
o-se que a
quantidade de
chapas
necessárias para
produzir cada
tambor é 10por
cento a mais em
função das
dobras, determine
a quantidade de
estanho
necessária para
a produção total.
5.3.4Qual deverá
ser o
comprimento de
um tubo
cilíndrico , cujo
diâmetro interno
mede uma
polegada, para
conter um galão4
de água? R: 294
polegadas
5.3.5 O líquido
contido em uma
lata cilíndrica
com 24 cm de
altura e 12 cm de
diâmetro deve ser
distribuído em
potes cilíndricos
cuja altura é ¼ da
altura da lata e
cujo diâmetro é
1/3 do diâmetro
da lata.Quantos
potes serão
necessários?
5.3.6 Uma
industria embala
azeite em latas
com a forma de
paralelepípedo
reto-retângulo,
tendo por base
4 Galão mede 231 polegadas cúbicas
um quadrado de
lado 2a e altura
3a .Deseja-se
modificar a forma
das latas,
passando-se a
usar latas
cilíndricas de
altura 2a.Qual
das embalagens
utiliza menos
material?
5.3.7 Na
prateleira de um
supermercado
existem 2 latas
cilíndricas de
marmelada de
mesma
marca.Uma tem o
dobro da altura e
metade do
diâmetro da
outra. Se a lata
mais alta custa
2.3 dólares e a
outra 4.3
dólares, qual a
melhor opção de
compra?
5.3.8 Ao
colocarmos um
13
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
sólido em um
recipiente
cilíndrico
contendo água, o
nível da mesma
elevou-se em 35
cm . Determine o
volume do sólido
sabendo que
raio(interno) do
recipiente mede
50 cm.
5.3.9 Quantos
mililitros de tinta
podem ser
adicionados no
reservatório de
uma caneta
esferográfica
,sabendo-se que
seu diâmetro é
2mm e o
comprimento, 12
cm?
5.3.10 Uma
seringa tem
1.5cm de
diâmetro e 10 cm
de comprimento.
Calcule quantos
ml de remédio
estarão nessa
seringa , quando
o êmbolo se
afastar 5 cm da
extremidade onde
fica a agulha.
5.3.11 Um
tambor de
gasolina, de
forma cilíndrica,
tem 1.2 m^2 de
área lateral
Determine a
altura do
tambor,para que
sua capacidade
seja 500 litros.
5.3.12 O raio de
um cilindro reto
é aumentado em
20 por cento e
sua altura é
diminuída em 25
por
cento.Determine
o aumento que o
volume do
cilindro sofrerá.
5.3.13Uma
fábrica de
conservas, para
embalar um
produto,
encomenda uma
partida de vidros
no formato de
cilindros, com
altura interna de
12 cm e
capacidade de
432ml cada. Para
atender a essas
exigências,o
comprimento da
circunferência
interna do vidro
deve ser igual a:
5.3.14Um
recipiente com a
formato de
cilindros retos.O
cilindro A tem 20
cm e raio da base
5 cm.O cilindro
B tem altura 10
cm e raio da base
10 cm.
a) em qual das
duas bases
embalagens
gasta-se menos
material?
b)o produto
embalado no
cilindro A é
vendido a 4
dólares a unidade
e o do cilindro B ,
a 7.00 dólares a
unidade.Para o
consumidor, qual
a embalagem
mais vantajosa?
5.3.14 Dois
recipientes
cilíndricos tem
altura 40 cm e
raios da base
medindo 10 cm e
5 cm. O maior
deles contem ate
1/5 de sua
capacidade. Essa
água e despejada
no recipiente
menor,alcançand
o a altura h, de :
5.3.15 Achar a
altura do cilindro
equilátero de 16π
cm3 de volume ,
em metros:
5.3.16 A razão
entre área lateral
e área total de
um cilindro
equilátero é:
14
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
5.3.17 Calcule a
área total de um
cilindro cuja área
da base é 36π/25
m2 e cuja altura é
o triplo do raio da
base:
5.3.18 A área
total do cilindro
equilátero, cuja
secção meridiana
tem área A, vale:
CAPITULO 6
6.0 CONE DE
REVOLUÇ
ÃO
6.1 DEFINIÇÃO
É o sólido
gerado pela
rotação completa
de um triângulo
retângulo em
torno de um dos
catetos.
6.2
EXERCI
CIOS
6.2.1 O raio da
base de um cone
de revolução
mede 5 cm e a
geratriz mede
13 cm. Calcular
H, Sl,St e V.
6.2.2 Achar o
volume e a área
lateral de um
cone, cujo
perímetro de sua
secção meridiana
mede 18m e o
perímetro do
quadrado inscrito
á sua base mede
32m.
6.2.3 Calcular Sl,
St e V de um
cone equilátero
cuja base está
circunscrita a um
triângulo
equilátero de
apótema igual a
3
6.2.4 A
hipotenusa de
triângulo
retângulo mede
20 cm e um dos
catetos 12 cm.
Calcule o volume
do sólido gerado
pela revolução
completa desse
triângulo em
torno da
hipotenusa.
6.2.5 Calcular
área da secção
feita a 40cm do
vértice e paralela
à base de um
cone de
revolução de
200cm de altura
cuja base tem
área
10000$cm^2$.R:
400
6.3 LISTA 66.3.1 Um cone
eqüilátero tem
3
2cm de
altura.Calcule a
área lateral , total
e volume.
6.3.2A área total
de um cone tem
384π m2 e a
geratriz mede 5/6
do diâmetro da
base. Ache o raio
da base, a
geratriz,a altura e
o volume do
cone.
6.3.3A superfície
lateral de um
cone reto,
planificada, é um
setor circular de
raio
6 dm e ângulo
central
120o.Calcule a
área lateral do
cone.
6.3.4 Num com
de revolução , a
secção meridiana
é equivalente a
base .Calcule a
geratriz e o
volume do cone,
sabendo que o
raio da base mede
1m.
15
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
6.3.5 Determine
quantos cm^2 de
cartolina
utilizados para
fazer um chapéu
de palhaço com
40 cm de altura e
20 cm de
diâmetro.
6.3.6 Calcule
quantos cm^2 de
vidro são
necessários para
fabricar uma
ampulheta, cujas
dimensões são as
seguintes :
distância entre as
duas bases é 24
cm e o diâmetro
10 cm.
6.3.7 Um coador
de café que
utiliza papel para
coar, tem a forma
de um cone.Seu
topo circular tem
1 dm diâmetro e a
altura também
tem 1 dm.
Determine o
volume máximo
de liquido que
esse utensílio
pode conter em
litros.
6.3.8 Qual o
volume de
liquido que cabe
dentro de uma
taça de forma
cônica , cujo raio
mede 3cm e a
geratriz 5cm.
6.3.9 Quantos cm
quadrados de
papelão são
necessários para
fabricar um
carretel de novelo
de lã ,cuja forma
é um cone, cujas
medidas são: H=
15 cm e
diâmetro= 6 cm.
6.3.10 Um silo
para armazenar
tem a forma de
cilindro em sua
base e sua
cobertura um
cone. O raio do
cilindro é de 4 m
e altura do silo é
10 m. Determine
o volume do silo
sabendo-se que a
geratriz do cone
mede 5 m.
6.3.11 Um pião
é formado pela
rotação de um
triangulo
retângulo em
torno da
hipotenusa.
Determine o
volume do pião
sabendo-se que
os catetos
medem, 6cm e
8cm.
6.3.12A área da
base de um cone
eqüilátero é 16π
cm2.Determine,
para este cone:
a)altura b)o raio
c)geratriz
d)área lateral
e)área total
f)volume
6.3.13 Complete
a tabela abaixo:
figura –o cone
R H G Sl
1 π√5
2
4 24π
5
√10 √10 π
15π 24π
CAPITULO 7
7.0 TRONCO DE
CONE
7.1 DEFINIÇÃO
Chama-se tronco
de cone de bases
paralelas à parte
do cone
compreendida
entre a base do
cone e uma
secção paralela á
base que
intercepta todas
as geratrizes.
7.2
EXERCICIOS
7.2.1 Um copo
tem a forma de
um tronco de
cone. Suas bases
tem diâmetro de
8 cm e 6 cm,
enquanto sua
16
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
altura é 10
cm.Qual é o
volume máximo
de água , em ml ,
que esse copo
pode conter?
7.2.2 Em um
tronco de cone,
os raios das bases
medem 2 cm e 8
cm a altura , 8
cm.Calcule a área
lateral e total
desse tronco.
7.2.3 Calcule a
área total de um
tronco de cone
reto , cuja
geratriz mede 4
cm e os raios das
bases , 2 cm e 3
cm.
7.2.4 Qual a
capacidade de
um balde com a
forma de um
tronco de cone ,
cuja altura mede
20 cm e os
diâmetros das
bases , 14 cm e
20 cm?
7.3 LISTA 77.3.1 Num tronco
de cone de
volume 468π cm3
, o raio da base
maior é o triplo
do raio da base
menor e a altura
mede 12 cm.
Calcule a área
lateral do tronco.
7.3.2 Um
depósito de
combustível tem
a forma de um
tronco de
cone.Suas
dimensões são :
h=21 m
diâmetros de 10m
e 20 m. Se apenas
50% de seu
volume estão
ocupados por
combustível ,
qual é a
quantidade , em
litros , existente
nesse deposito?
7.3.3 Uma peça
de acrílico tem a
forma de tronco
de cone .Suas
medidas são: h=
10 cm ; raios 4cm
e 2 cm .Qual é o
volume de
acrílico usado
para fazer essa
peça?
7.3.4 Um
deposito de
cereais tem a
forma de um
cilindro e mais
um tronco de
cone . Suas
medidas são :
cilindro –
diametro=10 m
H= 4m e tronco
de cone – raio da
base menor=1 m
e h=2 m. Qual é o
volume do tronco
de cone?
7.3.5 Uma
garrafa contem
liquido ate onde
começa o
gargalo. A parte
inferior da
garrafa é um
cilindro de
dimensões H=11
cm e diâmetro=4
cm e a parte
superior é um
tronco de cone
diâmetro 2 cm e
h= 5 cm. Calcule
o volume.
7.3.6 Um
deposito de
combustível tem
a forma de um
tronco de cone
.Suas dimensões
saõ: diâmetros
das bases 10 m e
20 m e h= 21m.
Se apenas 30%
de seu volume
está ocupado por
combustível ,
qual é a
quantidade ,em
litros , de
combustível
existente no
deposito ?
7.3.7 Uma
vasilha tem a
forma de um
tronco de cone
.Suas dimensões
17
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
são: raio das
bases: 40 cm e 20
cm e h= 30 cm.
Qual o volume
Maximo de água
que a vasilha
pode conter ,em
l?
7.3.8 Um cone
tem 18 cm de raio
e 24 cm de
altura .A 20 cm
da base , corta-se
o cone com um
plano paralelo à
base. Calcule a
razão entre as
áreas laterais
cone e do tronco.
7.3.9 A altura de
um tronco de
cone reto é 12
cm , a área da
base menor é
16π cm2 e a da
base maior é
169π cm2 .
Determine para
esse tronco :
a) área
lateral
b) área total
c) o volume
CAPITULO 8
8.0 ESFERA
8.1DEFINIÇÃO
É sólido gerado
pela rotação de
um semicírculo
em torno de um
eixo que contém
o seu
diâmetro.Esfera
é também a
união de todos os
pontos do espaço
cuja distância até
um ponto O
(centro da esfera)
é menor ou iguala
R ( raio da esfera)
8.2
EXERCICIOS
8.2.1 Calcule o
volume de um
esfera de raio 6
cm.
8.2.2 Qual é a
área da superfície
esférica cuja
circunferência
máxima tem 10π
m de
comprimento?
8.2.3Uma esfera
de raio 13 cm é
cortada por um
plano que dista 5
cm de seu
centro.Qual é a
área da secção
obtida?
8.2.4 Um plano
intercepta uma
superfície
esférica numa
circunferência de
comprimento
8πm.Calcule a
área da superfície
esférica, sabendo
que esse plano
dista 3 m do
centro dela.
8.2.5 Qual é o
volume de uma
cunha esférica de
raio 3 cm e
ângulo diedro5 de
60 o?
5Ângulo diedro é a reunião de dois semiplanos de mesma origem e não-contidos no mesmo plano
8.2.6 Um fuso
esférico de raio
4m tem 8πm2de
área. Calcule seu
ângulo diedro?
8.3 LISTA 88.3.1 Os
diâmetros de duas
esferas medem 8
dm e 12 dm
.Calcule a razão
entre as áreas.
8.3.2 Determine
o ângulo de um
fuso esférico de
108π m2 de área,
situado numa
superfície
esférica de 324π
m2 de área.
8.3.3 O volume
de uma esfera é
36π dm3. Quanto
mede a área da
sua superfície
esférica?
8.3.4 Sabendo
que a
circunferência de
um circulo
máximo( tem o
mesmo raio da
18
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
esfera) de uma
esfera tem
comprimento 16π
cm, calcule :a)
área e o volume
da esfera.
8.3.5 Considere
um esfera inscrita
num cubo de área
total 96 dm2 .
Determine o raio
, a área e o
volume da esfera.
8.3.6Tem uma
esfera inscrita
em um cilindro
eqüilátero de raio
4 cm. Calcule a a
área da superfície
esférica.
8.3.7 Um
reservatório em
forma de um
semi-esfera tem
18 cm de
diâmetro.
Determine o
volume de água
que cabe nesse
reservatório.
8.3.8 Uma bola
de borracha tem
40 cm de
diâmetro.Quantos
cm^2 de borracha
são gastos para
fazer esta bola?
8.3.9 Em um
recipiente aberto,
em forma de um
cubo, cuja aresta
mede 10 cm,
existem 500
cm^3 de água .
No interior do
recipiente é
colocada uma
esfera que se
ajusta
perfeitamente.
Pergunta-se se
haverá
derramamento de
água?
8.3.10 Calcule a
razão entre o
volume e a área
de um esfera de
raio 2r.
8.3.11 Numa
industria química
, deseja-se
instalar um
reservatório
esférico para
armazenar um
determinado gás.
A capacidade do
reservatório deve
ser 33.5 m^3 .
Qual deve ser ,
aproximadamente
o raio interno do
reservatório?
8.3.12 Um
cilindro de raio 4
cm é equivalente
a uma esfera de
raio 3cm .
Determine a
altura do cilindro.
8.3.13 Uma
esfera de raio 6
cm é equivalente
a um cone de
altura 24 cm.
Calcule o raio da
base do cone.
8.3.14 O
diâmetro de uma
esfera mede 10
dm . Determine :
a)área de sua
superfície
b)área do
circulo máximo
c)o volume
8.3.15 Um
ourives deixou
como herança
para seus oito
filhos uma esfera
maciça de
ouro.Os herdeiros
resolveram fundir
o ouro e, com ele
, fazer oito
esferas iguais.
Cada uma dessas
esferas terá um
raio igual a:
a)1/2 do raio da
esfera original
b) 1/3 do raio da
esfera original
c)1/4 do raio da
esfera original
d)1/6 do raio da
esfera original
e)1/8 do raio da
esfera original
19
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
CAPITULO 9
9.0GEOMETRIA
ANALITIC
A PLANA
9.1 DEFINIÇÃO
A geometria
analítica plana é
um método de
abordagem da
geometria plana
que utiliza
elementos
algébricos como
pares ordenados ,
equações ou
inequações para
representação de
elementos
geométricos
como pontos,
curvas
,superfícies ou
regiões.
9.2 ESTUDO DO
PONTO
9.3
EXERCI
CIOS
9.3.1Represente
no plano
cartesiano os
pontos A(-1;3) B(
2;4) C(-2,-1)
D(0:4)
E( -3;0) F(0;0)
G(0;-1) e H(-1;0)
9.3.2 De as
coordenadas dos
pontos da figura:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
9.3.3 A seguir
temos um
levantamento
topográfico de
um região na qual
se pretende
realizar uma
ampliação de
rede distribuição
de água , obteve-
se a seguinte
planta , com as
coordenadas em
Km. Para
obtermos a
distancia entre
dois pontos é
necessário
sabermos esta
formula .
Poderemos tomar
dois pontos
quaisquer e
construirmos um
triangulo
retangulo e a
distancia que
queremos
calcular é a
hipotenusa.
d2= (x1- x2)2 + ( y1
– y2)2
levantamento topografico
0
2
812
16
20
22
23
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 10 20 30
9.3.4 Mostre ,
aplicando a
formula da
distancia entre
dois pontos, que
o triângulo pelos
pontos A( -3;1)
B( -1;1) C( -2 ;-3)
é isósceles e
determine seu
perímetro.
9.4 LISTA 99.4.1 Determine
a distancia entre
os pontos:a)
A( 2;2) e B( 5;6)
b) P( -4 ;3) e Q
(4 ;-3)
9.4.2Calcular y ,
sabendo que o
triangulo
A ( 0;y) B ( -1;-1)
C( 6 ;0) é
retângulo em A ,
e fazer a
interpretação
geométrica.
9.4.3 Calcule x ,
sabendo que :
a) distancia
entre A ( x;2) e
B( -2 ;1) é 3.
R:x= -4,83 e
0,83
b) P ( x;1) é
equidistante de
A( 2;3) e de
B( 3;-1) r: 5/2
20
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
9.4.5Classifique
o triangulo ABC
quanto aos seus
ângulos ,
sabendo-se que :
a) A( 0;1) B( 4;0)
C( 7;3)
b) A ( -2;-8) B(-
6;1) C( 0;4)
9.4.6 Sabendo
que os pontos A (
0;1)
B( 1;2) C( 3;0) e
D(3;-2) formam
um trapézio
retângulo onde
AB é a sua altura
, calcule sua
área.
9.4.7 Calcule :
a) o ponto A
,sabendo que
A(x;y) , B( 0;4) e
C( 0;2) formam
um triangulo
isósceles em A e
que a altura
relativa a A vale
2√5 .R:25;3 e
-25,3
b) o ponto C ,
sabendo que A
(1;0) B( 2;2) e C(
-2;y) D(-3;0) são
vértices de uma
das diagonais de
um retângulo.
PONTO MÉDIO
2
21 xxxm
2
21 yyym
9.4.8 Calcular o
ponto médio do
segmento AB
sabendo que A
(1;3) B( -3 ;1).
9.4.9 Determine o
ponto médio dos
segmentos cujas
extremidades são
os pontos:
a) A (-1;3) B(-
3;5) b) M(0;0)
N (1;1)
9.4.10Calcule o
valor de x para
que o ponto
P( x;1) seja
médio do
segmento AB,
sabendo que
A(2;0) e B(-4;2)
9.4.11 Determine
as coordenadas
de A e B,
sabendo que o
ponto P( 1;3) é
médio do
segmento AB e
que A (x;1) e
B(2;y).
9.4.12 Determine
os pontos que
dividem o
segmento AB em
4 partes iguais ,
sabendo que A(-
3;10 e B(5;-6)
9.4.13 Sabe-se
que , em todo
paralelogramo,
as diagonais se
cruzam nos
pontos médios
das mesmas
.Baseado nessa
informação ,
mostre que o
quadrilátero
ABCD é um
paralelogramo e
que o
quadrilátero
MNQP não é. A (
-3;2) B ( 4;5)
C( 7;0) D( 0;-3)
M(1;-3) N (-1;3)
P( 2;5) e Q( -2 ;7)
ÁREA DE UM
POLIGONO
QUALQUER
1
1
3
3
2
2
1
1
2
1
y
x
yn
xn
y
x
y
x
y
xA
9.4.14Calcule a
área do
pentágono
ABCDE , onde A
(1;2) B( -2;1) C(
-3;0) D(-1;-1) E
(2;-2)
9.4.15 Calcule a
área dos
polígonos cujos
vértice são:
a) A( 2;-3)
B(4;2) C( -5;-2)
b) A (√2;2) B(
-4 ;6) C( 4;-2√2)
c) A ( 1;5) B(5;1)
C( 2 ;-3) D (-3;-
1)
E( -2 ;4)
21
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
9.4.15 Determine
a razão da do
triangulo definida
por A (-8;-2) B(
-4 ;-6 C(-1;5) e o
triangulo cujos
vértices são os
pontos médios
dos lados desse
triangulo.
9.4.16 A área de
um triangulo
ABC é 12 u.a e
dois de seus
vértices são os
pontos A( 1;4) B(
4;1) .Determine
o terceiro
vértice , sabendo-
se que está
localizado no
eixo das
ordenadas.
9.4.17Verifique
se os pontos são
colineares
a) A( 2;2) B (-1;-
3) C( 1;1)
b)A ( 1;1) B( a;
2a-1) C( a-2 ; 2a-
5)
9.4.18Determine
k de modo que
os pontos ( K;4) (
11;K) ( -1;3)
estejam
alinhados.
9.4.19Determine
k de modo que os
pontos
A ( K;-1) B (
-1;k) C ( 4;-2)
sejam vértices de
um triangulo.
CAPITULO 10
10.0 ESTUDO
DA RETA
Equação da reta
na forma
geral
ax +by+c=0
Equação na
forma
reduzida
y=mx +q
m= coeficiente
angular
q= coeficiente
linear
determinação do
coeficiente
angular
12
12
xx
yym
10.1
EXERCI
CIOS
10.1.1 Determine
a equação da
reta :
a) de coeficiente
angular 5 e
coeficiente linear
-2
b) de coeficiente
angular 2 e que
intercepta com o
eixo y em –1.
10.1.2Calcule o
coeficiente
angular da reta
que liga os
pontos ( -2;5) e
( 3;-1)
10.1.3 Determine
o coeficiente
angular e a
intersecção da
reta 3y+2x=6
com o eixo dos
y .Construa o
respectivo gráfico
utilizando dois
pontos A(0;y) e
B(x;0).
10.2 LISTA 1010.2.1 Calcule a
equação da reta
que passa pelo
ponto ( 5;1) e
cujo coeficiente
angular é ½.
10.2.2 Certa
agencia locadora
de automóveis
cobra $ 20,00
por dia , mais $
0,14 por km
percorrido.
a) exprima o
custo diário da
locação de um
automóvel desta
agencia , em
função do
numero de km
percorridos.
Construa o
gráfico
correspondente.
b) quanto custa o
aluguel diário de
um automóvel ,
22
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
sabendo-se que se
pretende realizar
uma viagem de
50 km?
c) quantos km
foram percorridos
se o custo diário
do aluguel foi de
$ 45,20?
10.2.3 Determine
a equação geral
da reta(r) que
passa pelos
pontos A e B.
a) A( 1;2) B(3;-
1) b)
A(1/2;2/3)
B(-5/3;-4/3)
10.2.4 Verifique
quais dos pontos
A(3;1)
B( 2;3) C( 6;3)
D( -3;-3) E(3;-1)
F( -2;1)
pertencem a reta
da equação 2x-
3y-3=0
10.2.5 Determine
a equação geral
da reta que passa
pelo ponto ( log
0,1 ; tg 3π/4) e
pela origem.
EQUAÇÃO
SEGMENTARIA
DA RETA
1q
y
p
x
10.2.6 Passe para
a forma
segmentaria e
construa o gráfico
, utilizando os
parâmetros:
a)2x+3y-4=0
10.2.7 Passe as
equações das
retas abaixo par
a forma
segmentaria e
determine os
cruzamentos com
os eixos
coordenados:
a) 3x+2y-6=0
b) 2x-y+8=0 c)
x+y-2=0
10.2.8 Passe
para a forma
geral as
seguintes
equações:
143-
xb) 1
15)
yyx
a
10.2.9 Calcule a
área de um
triangulo cujo
vértices são a
origem do
sistema e os
pontos de
intersecção da
reta de equação
x+y-2=0 com os
eixos
coordenados.
10.2.10 Passar
para a forma
geral as
equações
paramétricas x=
t-1 e y=2t-3
10.2.11Construa
os gráficos das
seguintes retas:
a) x= t-1 e y= 2-t
b) x= t e y=2t-1
10.2.12Dê as
equações das
retas:
a) que formam o
triangulo ABC ,
sabendo que
A(0;0) B( 1;1) C(
0;3) .
b) que passam
pelos pontos onde
a circunferência
de centro na
origem e raio 1
intercepta os
eixos
coordenados.
10.2.13O custo
total de produção
consiste em uma
sobretaxa de
$5,00 somada ao
custo de
produção , que é
$0,06 por
unidade.
Expresse o custo
total de produção
como função do
numero de
unidades
produzidas e
construa o gráfico
correspondente.
10.2.14 Certo
banco cobra $
23
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
2,00 por talão de
cheques e $0,05
por cheque
utilizado . Outro
banco cobra $
1,00 por talão e
$0,09 por cheque
utilizado. Ache
um critério para
decidir em que
banco você abrirá
sua conta.
10.2.15 Um
grupo de
estudantes
dedicado à
confecção de
produtos de
artesanato tem
um gasto fixo de
$ 6,00 e, em
material , gasta $
2,5 por unidade
produzida. Cada
unidade será
vendida por $
17,5.
a)quantas
unidades os
estudantes terão
de vender para
existir o
equilíbrio?
b)Quantas
unidades os
estudantes terão
de vender para
obterem um lucro
de $ 45,00?
ÂNGULO
FORMADO POR
DUAS RETAS
0
1
2
3
4
5
6
-4 -2 0 2 4
2*11
21
mm
mmtg
10.2.16
Determine o
ângulo formado
pelas retas ( r)
3x+y-5=0 e (s)
2x-y+1=0
resposta: 45o
i) solução :
aplicar a fórmula
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3
solução 2:
i) construir o
gráfico
ii)calcula-se os
ângulos através
dos coeficientes
angulares
Ângulos : 108,43o
reta r ;63,43o da
reta s é
inclinação com o
eixo x .
iii)soma dos
ângulos internos
de um triangulo
qualquer é 180o :
180 – (180-
108,43 +63,43)=
45o
10.2.17Determine
o menor ângulo
formado pelas
retas:
a)(r) y=-3x-2 e
(s) y=2x+1
b)(r) 3 3 . x –
6y + 2=0 e
(s) 5 3 .x –
3y+3=0
10.2.18Obtenha
ângulos internos
do triângulo,
cujos lados têm
para equações:
2x-y-3=0, y=-
3x+1 e x-3y+9=0
10.2.19Determine
o valor da
tangente do
ângulo agudo
entre as retas (r)
y=-4x+2 e
(s) y-x+2=0
10.2.20Determine
a equação da reta
que se passa por
A(5;0) e forma
um ângulo de 60º
com a reta (r) x-
y+4=0
RETAS
PERPENDICUL
ARES
24
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
Condição : m1*
m2=-1
Exemplo1: ( r)
2x-y+1=0 e (s)
x+2y+6=0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
-8 -6 -4 -2 0
10.2.20Verifique
se as retas são
paralelas:
a) 3x-2y-2=0 e
3x-2y+4=0
b) x+2y-2=0 e
2x –y-3=0
10.2.21Determine
o valor de a para
que as retas
x+4y-3=0 x-
ay+1=0.
10.2.22Determine
o valor de b para
as que as retas
bx+2y-1=0 e
x+y-12=0 não
sejam paralelas.
10.2.23Verifique
se as retas r e s
são
perpendiculares:
a) 2x+y-1=0 e x-
2y+6=0
b) 3x-2y+2=0 e
2x +3y=3=0
10.2.24 Obtenha
a mediatriz do
segmento AB ,
dados A(2;3) e
B(-4;4).
10.2.25Obtenha o
circuncentro do
triangulo cujos
vértices são :
A(2;1)
B( –2;2) C( -3;3)
10.2.26
Determine o pé
da altura AH do
triangulo ABC,
dados A( 3;1)
B(4;2)
C(-1;-1)
POSIÇÕES
RELATIVAS DE
RETAS
i)retas paralelas
ii) retas
concorrentes- tem
um ponto em
comum
iii) retas
coincidentes
10.2.27Verifique
a posição das
retas:
a) 2x+3y+4=0 e
3x+2y+3=0
b)3x+4y-1=0 e
3x+4y-2=0
10.2.28Verifique
a posição das
retas :
a) 3x-5y+7=0 e
3x-5y-2=0
b)2x+3y+4=0 e
4x+6y+8=0
c)2x+4y-6=0 e
3x+5y-1=0
DISTÂNCIA
ENTRE PONTO
E RETA
22
11
ba
cbyaxd
-10
-5
0
5
10
-6 -4 -2 0
10.2.29Calcule a
distancia do
ponto
A (-2;5) à reta
3x-4y-24=0 .
10.2.30Calcule a
distancia entre
ponto A e a
reta :a) A( 2;3) e
x+y+3=0
10.2.31
Determine a
altura do trapézio
de vértices A(3;3)
B( -4;3) C( -5;-1)
e
D( 5;-1)
10.2.32 Calcule a
distancia entre as
retas
3x-y+5=0 e 6x-
2y-2=0
10.2.33
Determine o
25
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
valor de K , de
modo que a
distancia do
ponto B(-1;3) à
reta 24
x+7y+K=0 seja
igual a 4
unidades.
Resposta:103 ou-
97
CAPITULO 11
11.0
CIRCUNFERÊN
CIA
11.1
EXERCICIOS
11.1.1Determine
a equação
reduzida da
circunferência
de :
a) centro C(1;2) e
raio =3.
11.1.2Obtenha a
equação reduzida
da circunferência
de:
a) C(2;-3) e raio
=√2
b) C(0,0) e
raio=1
c) C( ½;1/3) e
raio=1/4
11.1.3 Verifique
se os pontos
A(4;0)
B( 0;-3) C( 2;-4)
pertencem a
circunferência
( x-5)2 +
(y+3)2=10
11.2 LISTA 1111.2.1Determine
a equação da
circunferência de
centro C( -2;1) e
que passa por A
(1;-3).
11.2.2Determine
a equação da
circunferência de
centro C( 3;1) e
tangente ao eixo
das ordenadas.
11.2.3Determine
a equação da
circunferência
cujo centro
pertence a reta y=
3x e passa pelos
pontos A( 3;2) B
(1;1) e C( 9;7)
11.2.4 Determine
o centro C e o
raio das
circunferências:
a) x2 + y2 –2x-
6y+6=0
b) 36 x2 + 36y2 –
36x-24y-455=0
c) x2 +2y2 +x +y-
1=0
11.2.5 A trajetória
de um móvel é
descrita pela
equação x2 – 2x-
4y –20=-y2. No
ponto de abscissa
x=2 , e
determine menor
distancia do
móvel à origem e
verifique se a
equação da
trajetória é uma
circunferência.
PONTO E
CIRCUN
FERÊNCI
A
i) comparação
entre a distancia
do ponto dado ate
o centro e o raio
ii) pertence
iii) interior
iii) exterior
11.2.5Determine
a posição dos
pontos
A(3;2)B(4;1)C(-
1;3)em relação a
circunferência de
equação
x2 +y2 – 4x-2y
+1=0
11.2.6Determine
a posição dos
pontos
A( 6;2) B(1;-1)
C(-1;3) em
relação a
circunferência de
equação x2+ y2 +
2x-4y-20=0
11.2.7 Determine
os valores de m
para os quais o
ponto A (-1;2) é
exterior a
circunferência
26
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
x2+ y2 –6x-
6y+m=0
11.2.8Determine
os valores de m
para os quais o
ponto A (3;1) é
interior a
circunferência
x2+ y2 –2x-
4y+p=0
11.2.9Determine
os valores de p
para os quais o
ponto A(p;2p)
pertença a
circunferência de
centro C (11;-3)
e raio √170.
RETA E
CIRCUNFERÊN
CIA
Três condições:
i)secante
ii) externa
iii) tangente
11.2.10 Verifique
a posição relativa
entre a reta x+y-
5=0 e a
circunferência x2
+y2 – 2x-4y+1=0
e determine os
pontos de
intersecção , caso
existam.
11.2.11Verifique
a posição da reta
2x-y+5=0 e a
circunferência x2
+ y2 – 5=0
11.2.12 Calcule o
comprimento da
corda da
circunferência x2
+ y2- x – 4y –
2=0 situada
sobre secante
determinada
pelos pontos A(
-7;-8) e B( 11;16)
11.2.13
Determine o
valor de r para
que a
circunferência
( x-1)2 + ( y-3)2
=r2 seja tangente
a reta
5x+12y=60
INTERSECÇÃO
DE
CIRCUN
FERÊNCI
AS
Posições :
i) exteriores
( não tem ponto
em comum)
ii) tangente
exteriores ( um
ponto em
comum)
iii) secantes
( dois pontos
comuns)
iv) tangentes
interiores ( um
ponto em
comum)
v) interiores ( não
tem ponto em
comum)
comparação é
entre os raios e a
distancia entre
eles ou plota o
grafico.
11.2.14 Dar a
posição relativa
entre as
circunferências x2
+y2 – 2x- 2y+1=0
e
x2 + y2 –2 x-
8y+13=0
solução1 : i)R1=1
e R2=2
ii) C1(
1;1) e C2(1;4)
iii)
distancia C1C2=3
iv)
R1+R2=d
v) tangentes
exteriores
11.2.5 De a
posição relativa
entre os pares de
circunferências :
27
5o período de construção civil professor Jorge Roberto Grobe 11/9/2014
a) x2 + y2 –4x=0
e x2 + y2 +4y=0
b) x2 + y2 -2=0 e
x2 + y2 – 6x-
6y+10=0
c) x2 + y2 -18=0
e x2 + y2 – 4x-
4y+6=0
d)x2 + y2 –6x+4y-
1=0 e x2 + y2
+2x-2y-5=0
e) x2 + y2 –2x+4y
-1=0 e
x2 + y2 – 2x +4y
-6=0
28
