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O que e dimensao?
Ryuichi Fukuoka
Universidade Estadual de MaringaDepartamento de Matematica
Maringa30 de setembro de 2011
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 1 / 32
Dimensao de um espaco vetorial
Espaco vetorial sobre um corpo FA dimensao de um espaco vetorial V e a cardinalidade de uma base de V .
Observacao
A boa definicao de dimensao depende das bases terem a mesmacardinalidade.
Perguntas
Sera que a dimensao de um espaco vetorial depende realmente daestrutura de espaco vetorial (soma de vetores e produto de um escalarcom um vetor)?
Podemos definir dimensao utilizando outras estruturas matematicas?
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 2 / 32
Dimensao de um espaco vetorial
Espaco vetorial sobre um corpo FA dimensao de um espaco vetorial V e a cardinalidade de uma base de V .
Observacao
A boa definicao de dimensao depende das bases terem a mesmacardinalidade.
Perguntas
Sera que a dimensao de um espaco vetorial depende realmente daestrutura de espaco vetorial (soma de vetores e produto de um escalarcom um vetor)?
Podemos definir dimensao utilizando outras estruturas matematicas?
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 2 / 32
Dimensao de um espaco vetorial
Espaco vetorial sobre um corpo FA dimensao de um espaco vetorial V e a cardinalidade de uma base de V .
Observacao
A boa definicao de dimensao depende das bases terem a mesmacardinalidade.
Perguntas
Sera que a dimensao de um espaco vetorial depende realmente daestrutura de espaco vetorial (soma de vetores e produto de um escalarcom um vetor)?
Podemos definir dimensao utilizando outras estruturas matematicas?
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 2 / 32
Dimensao e cardinalidade
Dimensao finita
Para simplificar a apresentacao, vamos considerar espacos vetoriais dedimensao finita.
Zp
p ∈ N, p primo;Zp := {0, 1, . . . , p − 1};a · b = c , onde c e o resto da divisao de ab por p;a + b = c , onde c e o resto da divisao de a + b por p;
Teorema
(Zp,+, ·) e um corpo.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 3 / 32
Dimensao e cardinalidade
Dimensao finita
Para simplificar a apresentacao, vamos considerar espacos vetoriais dedimensao finita.
Zp
p ∈ N, p primo;Zp := {0, 1, . . . , p − 1};a · b = c , onde c e o resto da divisao de ab por p;a + b = c , onde c e o resto da divisao de a + b por p;
Teorema
(Zp,+, ·) e um corpo.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 3 / 32
Dimensao e cardinalidade
Definicao
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita sobre Zp. Seja cardV acardinalidade de V . Entao a dimensao de V e dado por
dimV =log(cardV )
log p.
A definicao acima e justificada pelo seguinte teorema.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 4 / 32
Dimensao e cardinalidade
Definicao
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita sobre Zp. Seja cardV acardinalidade de V . Entao a dimensao de V e dado por
dimV =log(cardV )
log p.
A definicao acima e justificada pelo seguinte teorema.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 4 / 32
Dimensao e cardinalidade
Definicao
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita sobre Zp. Seja cardV acardinalidade de V . Entao a dimensao de V e dado por
dimV =log(cardV )
log p.
A definicao acima e justificada pelo seguinte teorema.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 4 / 32
Dimensao e cardinalidade
Teorema
Um espaco vetorial de dimensao finita sobre um corpo F e isomorfo a
F× . . .× F︸ ︷︷ ︸dimV vezes
.
Ver [1].
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 5 / 32
Dimensao e cardinalidade
Teorema
Um espaco vetorial de dimensao finita sobre um corpo F e isomorfo a
F× . . .× F︸ ︷︷ ︸dimV vezes
.
Ver [1].
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 5 / 32
Dimensao e cardinalidade
Pergunta
E se F = R?
Teorema (Cantor)
card(Rn) = card(R) para todo n ≥ 1.
Conclusao
Se F = R, nao e possıvel descrever a dimensao de V somente em termosda cardinalidade do corpo e do espaco vetorial.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 6 / 32
Dimensao e cardinalidade
Pergunta
E se F = R?
Teorema (Cantor)
card(Rn) = card(R) para todo n ≥ 1.
Conclusao
Se F = R, nao e possıvel descrever a dimensao de V somente em termosda cardinalidade do corpo e do espaco vetorial.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 6 / 32
Espacos metricos
Definicao
Seja X um conjunto. Uma metrica em X e uma aplicacao d : X × X → Rque satisfaz as seguintes propriedades:
d(x , y) ≥ 0 para todo x , y ∈ X e d(x , y) = 0 se e somente se x = y ;
d(x , y) = d(y , x) para todo x , y ∈ X ;
d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y , z) para todo x , y , z ∈ X .
O par (X , d) e chamado de espaco metrico.
Exemplo
Rn com a metrica Euclidiana.
d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =√
(x1 − y1)2 + . . .+ (xn − yn)2.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 7 / 32
Espacos metricos
Definicao
Seja X um conjunto. Uma metrica em X e uma aplicacao d : X × X → Rque satisfaz as seguintes propriedades:
d(x , y) ≥ 0 para todo x , y ∈ X e d(x , y) = 0 se e somente se x = y ;
d(x , y) = d(y , x) para todo x , y ∈ X ;
d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y , z) para todo x , y , z ∈ X .
O par (X , d) e chamado de espaco metrico.
Exemplo
Rn com a metrica Euclidiana.
d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =√
(x1 − y1)2 + . . .+ (xn − yn)2.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 7 / 32
δ-cobertura
Diametro
Seja (X , d) um espaco metrico e A ⊂ X . O diametro de A e dado por
diam(A) = sup{d(x , y); x , y ∈ A}.
δ-cobertura
Seja (X , d) um espaco metrico, δ > 0 e A ⊂ X . Uma δ-cobertura de A euma colecao de subconjuntos {Bj}j∈N de X tal que
A ⊂ ∪j∈NBj ;
diamBj ≤ δ para todo j ∈ N.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 8 / 32
δ-cobertura
Diametro
Seja (X , d) um espaco metrico e A ⊂ X . O diametro de A e dado por
diam(A) = sup{d(x , y); x , y ∈ A}.
δ-cobertura
Seja (X , d) um espaco metrico, δ > 0 e A ⊂ X . Uma δ-cobertura de A euma colecao de subconjuntos {Bj}j∈N de X tal que
A ⊂ ∪j∈NBj ;
diamBj ≤ δ para todo j ∈ N.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 8 / 32
δ-cobertura
Diametro
Seja (X , d) um espaco metrico e A ⊂ X . O diametro de A e dado por
diam(A) = sup{d(x , y); x , y ∈ A}.
δ-cobertura
Seja (X , d) um espaco metrico, δ > 0 e A ⊂ X . Uma δ-cobertura de A euma colecao de subconjuntos {Bj}j∈N de X tal que
A ⊂ ∪j∈NBj ;
diamBj ≤ δ para todo j ∈ N.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 8 / 32
Dimensao de Hausdorff
Definicao
Sejam p ∈ [0,∞), δ ∈ (0,∞), (X , d) um espaco metrico e A ⊂ X . Amedida p-dimensional de Hausdorff de A e definida por
Hp(A) = limδ→0
inf
∞∑j=1
diam(Bj)p;A ⊂
∞⋃j=1
Bj e diam(Bj) ≤ δ
.
Quadro
Exemplo do intervalo [0, 1].
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 9 / 32
Dimensao de Hausdorff
Definicao
Sejam p ∈ [0,∞), δ ∈ (0,∞), (X , d) um espaco metrico e A ⊂ X . Amedida p-dimensional de Hausdorff de A e definida por
Hp(A) = limδ→0
inf
∞∑j=1
diam(Bj)p;A ⊂
∞⋃j=1
Bj e diam(Bj) ≤ δ
.
Quadro
Exemplo do intervalo [0, 1].
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 9 / 32
Dimensao de Hausdorff
Definicao
Sejam p ∈ [0,∞), δ ∈ (0,∞), (X , d) um espaco metrico e A ⊂ X . Amedida p-dimensional de Hausdorff de A e definida por
Hp(A) = limδ→0
inf
∞∑j=1
diam(Bj)p;A ⊂
∞⋃j=1
Bj e diam(Bj) ≤ δ
.
Quadro
Exemplo do intervalo [0, 1].
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 9 / 32
Dimensao de Hausdorff
Teorema
inf{p ≥ 0;Hp(A) = 0} = sup{p ≥ 0;Hp(A) =∞}.
Definicao
A dimensao de Hausdorff e definida como
dimH(A) = inf{p ≥ 0;Hp(A) = 0} = sup{p ≥ 0;Hp(A) =∞}.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 10 / 32
Dimensao de Hausdorff
Teorema
inf{p ≥ 0;Hp(A) = 0} = sup{p ≥ 0;Hp(A) =∞}.
Definicao
A dimensao de Hausdorff e definida como
dimH(A) = inf{p ≥ 0;Hp(A) = 0} = sup{p ≥ 0;Hp(A) =∞}.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 10 / 32
Dimensao de Hausdorff
Teorema
inf{p ≥ 0;Hp(A) = 0} = sup{p ≥ 0;Hp(A) =∞}.
Definicao
A dimensao de Hausdorff e definida como
dimH(A) = inf{p ≥ 0;Hp(A) = 0} = sup{p ≥ 0;Hp(A) =∞}.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 10 / 32
Dimensao de Hausdorff
Conjunto de Cantor: dimH(A) = ln 2/ ln 3
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 11 / 32
Dimensao de Hausdorff
Conjunto de Cantor: dimH(A) = ln 2/ ln 3
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 11 / 32
Dimensao de Hausdorff
Triangulo de Sierpinski: dimH(A) = ln 3/ ln 2
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 12 / 32
Dimensao de Hausdorff
Triangulo de Sierpinski: dimH(A) = ln 3/ ln 2
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 12 / 32
Espacos topologicos
Definicao
Seja X um conjunto. Uma topologia em X e uma colecao de subconjuntosT de X tal que
∅,X ∈ T ;
Uniao arbitraria de elementos de T e um elemento de T ;
Intersecao finita de elementos de T e um elemento de T .
T e chamado de uma topologia de X . O par (X , T ) e chamado de espacotopologico e os elementos de T sao chamados de abertos de (X , T ).
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 13 / 32
Espacos topologicos
Definicao
Seja X um conjunto. Uma topologia em X e uma colecao de subconjuntosT de X tal que
∅,X ∈ T ;
Uniao arbitraria de elementos de T e um elemento de T ;
Intersecao finita de elementos de T e um elemento de T .
T e chamado de uma topologia de X . O par (X , T ) e chamado de espacotopologico e os elementos de T sao chamados de abertos de (X , T ).
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 13 / 32
Exemplo: Espacos metricos
Definicao
Seja (X , d) um espaco metrico e considere δ > 0. A bola aberta de centrox e raio δ em (X , d) e o subconjunto definido por
B(x , δ) = {y ∈ X ; d(y , x) < δ}.
Topologia de um espaco metrico
Os abertos de um espaco metrico sao as unioes arbitrarias de bolasabertas e o conjunto vazio.
Observacao
Nem todos os espacos topologicos sao metrizaveis.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 14 / 32
Exemplo: Espacos metricos
Definicao
Seja (X , d) um espaco metrico e considere δ > 0. A bola aberta de centrox e raio δ em (X , d) e o subconjunto definido por
B(x , δ) = {y ∈ X ; d(y , x) < δ}.
Topologia de um espaco metrico
Os abertos de um espaco metrico sao as unioes arbitrarias de bolasabertas e o conjunto vazio.
Observacao
Nem todos os espacos topologicos sao metrizaveis.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 14 / 32
Espacos topologicos
Definicao
Sejam (X1, T1) e (X2, T2) dois espacos topologicos. Dizemos que umafuncao f : X1 → X2 e contınua se f −1(A) e aberto em X1 para todoaberto A em X2.
Observacao
Os espacos topologicos sao os espacos naturais onde estudamoscontinuidade de funcoes. Por exemplo, f : Rn → Rm e contınua peladefinicao de ε’s e δ’s se e somente se f e contınua segundo a definicaoacima.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 15 / 32
Espacos topologicos
Definicao
Sejam (X1, T1) e (X2, T2) dois espacos topologicos. Dizemos que umafuncao f : X1 → X2 e contınua se f −1(A) e aberto em X1 para todoaberto A em X2.
Observacao
Os espacos topologicos sao os espacos naturais onde estudamoscontinuidade de funcoes. Por exemplo, f : Rn → Rm e contınua peladefinicao de ε’s e δ’s se e somente se f e contınua segundo a definicaoacima.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 15 / 32
Espacos topologicos
Definicao
Dizemos que dois espacos topologicos sao homeomorfos se existe umabijecao contınua entre eles de tal modo que sua inversa tambem econtınua.
Observacao
Homeomorfismo nos da a nocao de equivalencia entre espacos topologicos.
Pergunta
E possıvel definir dimensao para espacos topologicos de modo que adimensao de um aberto nao vazio de Rn seja n?
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 16 / 32
Espacos topologicos
Definicao
Dizemos que dois espacos topologicos sao homeomorfos se existe umabijecao contınua entre eles de tal modo que sua inversa tambem econtınua.
Observacao
Homeomorfismo nos da a nocao de equivalencia entre espacos topologicos.
Pergunta
E possıvel definir dimensao para espacos topologicos de modo que adimensao de um aberto nao vazio de Rn seja n?
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 16 / 32
Espacos topologicos
Definicao
Dizemos que dois espacos topologicos sao homeomorfos se existe umabijecao contınua entre eles de tal modo que sua inversa tambem econtınua.
Observacao
Homeomorfismo nos da a nocao de equivalencia entre espacos topologicos.
Pergunta
E possıvel definir dimensao para espacos topologicos de modo que adimensao de um aberto nao vazio de Rn seja n?
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 16 / 32
Espacos topologicos
Curva de Peano
A curva de Peano e uma aplicacao f : [0, 1]→ [0, 1]× [0, 1] contınua esobrejetora, e e o limite da sequencia de aplicacoes abaixo.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 17 / 32
Espacos topologicos
Curva de Peano
A curva de Peano e uma aplicacao f : [0, 1]→ [0, 1]× [0, 1] contınua esobrejetora, e e o limite da sequencia de aplicacoes abaixo.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 17 / 32
Espacos topologicos
Observacao
Apesar de card(Rn) = card(Rm) para m, n ≥ 1 e de existir uma funcaocontınua sobrejetora de um objeto de dimensao um em um objeto dedimensao dois, o teorema seguinte indica que a dimensao pode ter umcarater topologico.
Teorema (Brouwer)
Rn e homeomorfo a Rm se e somente se m = n.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 19 / 32
Espacos topologicos
Observacao
Apesar de card(Rn) = card(Rm) para m, n ≥ 1 e de existir uma funcaocontınua sobrejetora de um objeto de dimensao um em um objeto dedimensao dois, o teorema seguinte indica que a dimensao pode ter umcarater topologico.
Teorema (Brouwer)
Rn e homeomorfo a Rm se e somente se m = n.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 19 / 32
Definicoes de dimensao
Observacao
Definir dimensao para espacos topologicos e bastante delicado. Comefeito, existem definicoes distintas de dimensao.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 20 / 32
Definicoes de dimensao
Observacao
Definir dimensao para espacos topologicos e bastante delicado. Comefeito, existem definicoes distintas de dimensao.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 20 / 32
A dimensao de Lebesgue
Definicao
Seja X um conjunto e A = {Aλ}λ∈Λ uma famılia de subconjuntos de X .A ordem de A e o maior numero natural n para o qual existe p ∈ X quepertence a n elementos distintos de A. Caso esse numero nao exista,entao a ordem de A e infinita.
Quadro
Desenho.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 21 / 32
A dimensao de Lebesgue
Definicao
Seja X um conjunto e A = {Aλ}λ∈Λ uma famılia de subconjuntos de X .A ordem de A e o maior numero natural n para o qual existe p ∈ X quepertence a n elementos distintos de A. Caso esse numero nao exista,entao a ordem de A e infinita.
Quadro
Desenho.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 21 / 32
A dimensao de Lebesgue
Definicao
Seja A = {Aλ}λ∈Λ uma famılia de subconjuntos de X . Dizemos queB = {Bη}η∈Ξ e um refinamento de A se para cada η ∈ Ξ existe um λ ∈ Λtal que Bη ⊂ Aλ.
Quadro
Desenho
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 22 / 32
A dimensao de Lebesgue
Definicao
Seja A = {Aλ}λ∈Λ uma famılia de subconjuntos de X . Dizemos queB = {Bη}η∈Ξ e um refinamento de A se para cada η ∈ Ξ existe um λ ∈ Λtal que Bη ⊂ Aλ.
Quadro
Desenho
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 22 / 32
A dimensao de Lebesgue
Definicao
Uma cobertura aberta de um espaco topologico X e uma famıliaA = {Aλ}λ∈Λ de abertos de X tal que ∪λAλ = X .
Quadro
Exemplo unidimensional.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 23 / 32
A dimensao de Lebesgue
Definicao
Uma cobertura aberta de um espaco topologico X e uma famıliaA = {Aλ}λ∈Λ de abertos de X tal que ∪λAλ = X .
Quadro
Exemplo unidimensional.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 23 / 32
A dimensao de Lebesgue
Definicao
Seja X um espaco topologico. A dimensao de Lebesgue de X e o menornumero natural n tal que para toda cobertura aberta A de X existe umacobertura aberta B tal que
B tem ordem n + 1;
B refina A.
Quadro
Exemplo de dimensao 2.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 24 / 32
A dimensao de Lebesgue
Definicao
Seja X um espaco topologico. A dimensao de Lebesgue de X e o menornumero natural n tal que para toda cobertura aberta A de X existe umacobertura aberta B tal que
B tem ordem n + 1;
B refina A.
Quadro
Exemplo de dimensao 2.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 24 / 32
Dimensao indutiva pequena
Definicao
Seja X um espaco topologico e x ∈ X . Uma vizinhanca de x e um abertoque contem o ponto x .
Definicao
Seja X um espaco topologico e U ⊂ X . Um ponto x ∈ X pertence afronteira de U se para toda vizinhanca V de x temos que V ∩ U 6= ∅ eV ∩ (X\U) 6= ∅.
Quadro
Desenho de fronteira.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 25 / 32
Dimensao indutiva pequena
Definicao
Seja X um espaco topologico e x ∈ X . Uma vizinhanca de x e um abertoque contem o ponto x .
Definicao
Seja X um espaco topologico e U ⊂ X . Um ponto x ∈ X pertence afronteira de U se para toda vizinhanca V de x temos que V ∩ U 6= ∅ eV ∩ (X\U) 6= ∅.
Quadro
Desenho de fronteira.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 25 / 32
Dimensao indutiva pequena
Definicao
Seja (X , T ) um espaco topologico e U ⊂ X . A topologia do subespaco deU e a colecao TU := {U ∩ V ;V ∈ T }.
Quadro
Desenho
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 26 / 32
Dimensao indutiva pequena
Definicao
Seja (X , T ) um espaco topologico e U ⊂ X . A topologia do subespaco deU e a colecao TU := {U ∩ V ;V ∈ T }.
Quadro
Desenho
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 26 / 32
Dimensao indutiva pequena
Definicao
A dimensao indutiva pequena indX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
indX = −1 se e somente se X = ∅;indX ≤ n se e somente se para todo p ∈ X e para toda vizinhanca Ude x , existe uma vizinhanca V de x tal que V ⊂ U e ind∂V ≤ n − 1.
indX = n se e somente se indX ≤ n mas nao vale indX ≤ n − 1.
indX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que indX ≤ n.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 27 / 32
Dimensao indutiva pequena
Definicao
A dimensao indutiva pequena indX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
indX = −1 se e somente se X = ∅;indX ≤ n se e somente se para todo p ∈ X e para toda vizinhanca Ude x , existe uma vizinhanca V de x tal que V ⊂ U e ind∂V ≤ n − 1.
indX = n se e somente se indX ≤ n mas nao vale indX ≤ n − 1.
indX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que indX ≤ n.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 27 / 32
Dimensao indutiva pequena
Definicao
A dimensao indutiva pequena indX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
indX = −1 se e somente se X = ∅;
indX ≤ n se e somente se para todo p ∈ X e para toda vizinhanca Ude x , existe uma vizinhanca V de x tal que V ⊂ U e ind∂V ≤ n − 1.
indX = n se e somente se indX ≤ n mas nao vale indX ≤ n − 1.
indX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que indX ≤ n.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 27 / 32
Dimensao indutiva pequena
Definicao
A dimensao indutiva pequena indX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
indX = −1 se e somente se X = ∅;indX ≤ n se e somente se para todo p ∈ X e para toda vizinhanca Ude x , existe uma vizinhanca V de x tal que V ⊂ U e ind∂V ≤ n − 1.
indX = n se e somente se indX ≤ n mas nao vale indX ≤ n − 1.
indX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que indX ≤ n.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 27 / 32
Dimensao indutiva pequena
Definicao
A dimensao indutiva pequena indX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
indX = −1 se e somente se X = ∅;indX ≤ n se e somente se para todo p ∈ X e para toda vizinhanca Ude x , existe uma vizinhanca V de x tal que V ⊂ U e ind∂V ≤ n − 1.
indX = n se e somente se indX ≤ n mas nao vale indX ≤ n − 1.
indX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que indX ≤ n.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 27 / 32
Dimensao indutiva pequena
Definicao
A dimensao indutiva pequena indX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
indX = −1 se e somente se X = ∅;indX ≤ n se e somente se para todo p ∈ X e para toda vizinhanca Ude x , existe uma vizinhanca V de x tal que V ⊂ U e ind∂V ≤ n − 1.
indX = n se e somente se indX ≤ n mas nao vale indX ≤ n − 1.
indX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que indX ≤ n.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 27 / 32
Dimensao indutiva pequena
Quadro
Exemplo unidimensional
Quadro
Exemplo n-dimensional
Quadro
Exemplo com superfıcies
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 28 / 32
Dimensao indutiva pequena
Quadro
Exemplo unidimensional
Quadro
Exemplo n-dimensional
Quadro
Exemplo com superfıcies
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 28 / 32
Dimensao indutiva grande
Definicao
Um subconjunto F de um espaco topologico e dito fechado se seucomplementar e aberto.
Definicao
A dimensao indutiva grande IndX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
IndX = −1 se e somente se X = ∅;IndX ≤ n se e somente se para todo fechado F ⊂ X e para todoaberto U contendo F , existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ U eInd∂V ≤ n − 1.
IndX = n se e somente se IndX ≤ n mas nao vale IndX ≤ n − 1.
IndX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que IndX ≤ n.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 29 / 32
Dimensao indutiva grande
Definicao
Um subconjunto F de um espaco topologico e dito fechado se seucomplementar e aberto.
Definicao
A dimensao indutiva grande IndX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
IndX = −1 se e somente se X = ∅;IndX ≤ n se e somente se para todo fechado F ⊂ X e para todoaberto U contendo F , existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ U eInd∂V ≤ n − 1.
IndX = n se e somente se IndX ≤ n mas nao vale IndX ≤ n − 1.
IndX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que IndX ≤ n.
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Dimensao indutiva grande
Definicao
Um subconjunto F de um espaco topologico e dito fechado se seucomplementar e aberto.
Definicao
A dimensao indutiva grande IndX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
IndX = −1 se e somente se X = ∅;IndX ≤ n se e somente se para todo fechado F ⊂ X e para todoaberto U contendo F , existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ U eInd∂V ≤ n − 1.
IndX = n se e somente se IndX ≤ n mas nao vale IndX ≤ n − 1.
IndX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que IndX ≤ n.
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Dimensao indutiva grande
Definicao
Um subconjunto F de um espaco topologico e dito fechado se seucomplementar e aberto.
Definicao
A dimensao indutiva grande IndX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
IndX = −1 se e somente se X = ∅;
IndX ≤ n se e somente se para todo fechado F ⊂ X e para todoaberto U contendo F , existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ U eInd∂V ≤ n − 1.
IndX = n se e somente se IndX ≤ n mas nao vale IndX ≤ n − 1.
IndX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que IndX ≤ n.
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Dimensao indutiva grande
Definicao
Um subconjunto F de um espaco topologico e dito fechado se seucomplementar e aberto.
Definicao
A dimensao indutiva grande IndX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
IndX = −1 se e somente se X = ∅;IndX ≤ n se e somente se para todo fechado F ⊂ X e para todoaberto U contendo F , existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ U eInd∂V ≤ n − 1.
IndX = n se e somente se IndX ≤ n mas nao vale IndX ≤ n − 1.
IndX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que IndX ≤ n.
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Dimensao indutiva grande
Definicao
Um subconjunto F de um espaco topologico e dito fechado se seucomplementar e aberto.
Definicao
A dimensao indutiva grande IndX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
IndX = −1 se e somente se X = ∅;IndX ≤ n se e somente se para todo fechado F ⊂ X e para todoaberto U contendo F , existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ U eInd∂V ≤ n − 1.
IndX = n se e somente se IndX ≤ n mas nao vale IndX ≤ n − 1.
IndX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que IndX ≤ n.
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Dimensao indutiva grande
Definicao
Um subconjunto F de um espaco topologico e dito fechado se seucomplementar e aberto.
Definicao
A dimensao indutiva grande IndX de um espaco topologico X e umnumero inteiro maior ou igual a −1 definida indutivamente do seguintemodo:
IndX = −1 se e somente se X = ∅;IndX ≤ n se e somente se para todo fechado F ⊂ X e para todoaberto U contendo F , existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ U eInd∂V ≤ n − 1.
IndX = n se e somente se IndX ≤ n mas nao vale IndX ≤ n − 1.
IndX =∞ se nao existir um n ∈ N tal que IndX ≤ n.
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Dimensao - Teoremas
Teorema
Se X e um espaco metrico separavel, entao dimX = indX = IndX .
Teorema
Existe um espaco topologico compacto e de Hausdorff X tal quedimX = 1 e indX = IndX = 2.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 30 / 32
Dimensao - Teoremas
Teorema
Se X e um espaco metrico separavel, entao dimX = indX = IndX .
Teorema
Existe um espaco topologico compacto e de Hausdorff X tal quedimX = 1 e indX = IndX = 2.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 30 / 32
Dimensao - Teoremas
Teorema
Se X e um espaco metrico separavel, entao dimX = indX = IndX .
Teorema
Existe um espaco topologico compacto e de Hausdorff X tal quedimX = 1 e indX = IndX = 2.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 30 / 32
Bibliografia e demais referencias
M. Artin, Algebra, Prentice Hall, 1991.
G. B. Folland, Real Analysis, John Wiley & Sons, 1999.
W. Hurewicz, H. Wallman, Dimension Theory, Princeton UniversityPress, 1996.
J. R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.
A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, CambridgeUniversity Press, 1975.
Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Dimensao UEM-DMA 31 / 32