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LIMITE E CONTINUIDADE
Antes de tudo: Obs: Se houver resto, teremos:
1. Divisão de polinômios A B A/B = C + R/B
R C
3x2 – 4x + 1 x – 1
-3x2 + 3x 3x – 1 Ex:
0 -x + 1 9 2 9/2 = 4 + 1/2
+x - 1 1 4 = 4,5
o
2. Teorema de D’Alambert
Se os polinômios f(x) e g(x) se anulam para x=a, então ambos são
divisíveis por (x-a). Ex:
Observe que os dois polinômios se anulam quando x=1. Assim, dividindo
ambos por (x-1), temos:
Introdução
Na matemática, o conceito de limite é usado para descrever o
comportamento de uma função à medida que uma variável se aproxima de um
determinado valor. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros
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ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de
funções.
Vizinhança
Ex:
Vizinhança Simétrica
Ocorre quando ε1 = ε2 = ε, ou seja:
Ex:
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Vizinhança Lateral
Noção Intuitiva de Limite
Ex:
O que ocorre quando x=1 ?
f(x) = 0/0 --- Indeterminado
O que ocorre quando x tende a 1 ( x 1 ) ?
Simplificando a equação:
a) x tendendo a 1 por valores menores que 1 ( x 1- )
Obs: Observe que quanto mais x se aproxima de 1, mais f(x) se aproxima de 3.
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b) x tendendo a 1 por valores maiores que 1 ( x 1+ )
Obs: Observe que quanto mais x se aproxima de 1, mais f(x) se aproxima de 3.
Sendo assim, podemos escrever
Obs: Para que o limite exista, seu resultado deve ser o mesmo quando a
aproximação ocorrer para valores maiores e menores de x.
Ex:
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Teoremas
1. Teorema da condição necessária e suficiente
2. Teorema da Unicidade
Se o limite da função f existe, então ele é único.
3. Teorema do confronto
Se duas funções tem o mesmo limite quando x a, então qualquer
função intermediária terá, quando x a, o mesmo limite das outras
funções.
Nestas condições, se = então:
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Propriedades Operatórias
1ª) O limite da soma é a soma dos limites. O limite da diferença é a diferença dos limites. Exemplo:
2ª) O limite do produto é o produto dos limites. Exemplo:
3ª) O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero. Exemplo:
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4ª) Exemplo:
5ª) Exemplo:
6ª) Exemplo:
7ª) Exemplo:
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8ª) Exemplo:
Formas Indeterminadas
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Função Contínua (Continuidade de funções)
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se
as seguintes condições são satisfeitas:
f(a) existe;
existe;
= f(a)
Graficamente:
A função f(x) é contínua em a
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A função g(x) não é contínua em a
Propriedade das Funções contínuas Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:
f(x) g(x) é contínua em a;
f(x) . g(x) é contínua em a;
f(x)/g(x) é contínua em a, com g(a) 0
Limites envolvendo infinito Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.
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Exemplo:
a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.
b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.
c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de
zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero,y tende para menos infinito Limite de uma função polinomial para
Seja a função polinomial . Então:
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De forma análoga, para , temos:
Exemplos:
Limites fundamentais
Primeiro limite fundamental
Segundo limite fundamental
= e
Obs: 1,000...00019999....999 = 2,7182818... = e
Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818.
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Veja a tabela com valores de x e de .
x 1 2 3 10 100 1 000 10 000 100 000
2 2,25 2,3703 2,5937 2,7048 2,7169 2,7181 2,7182
Notamos que à medida que .
Terceiro limite fundamental
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Exercícios:
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c) 3,48 -2
-4
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6) g) a divisão do polinômio resultará em:
3x2 + 4x – 1 com resto “x”, ou seja,
(3x2 + 4x – 1) + x/x2 – x = (3x2 + 4x – 1) + x/(x-1).x =
= (3x2 + 4x – 1) + 1/x-1
Para x tendendo a 0, temos:
( -1 ) + 1/-1= -1 -1 = -2
ou simplesmente divide-se toda as equações por x, resultando em:
