Limite e Continuidade (Parte 2)

8/19/2019 Limite e Continuidade (Parte 2)

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Teorema do Confronto

Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamosobtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teoremase refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os

valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem omesmo limite quando , então f também ter esselimite.

c x →


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Teorema – !eorema do "onfronto Supon#a que para qualquer x em um

intervalo de aberto contendo c, e$ceto possivelmente em x = c . Supon#a também que

%&%&%& xh x f x g ≤≤

L xh x g c xc x

==→→

%&lim%&lim

'ntão

L x f c x =→ %&lim


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Exemplo 6 ( )plicação do !eorema do "onfronto

&a% *ma vez que θ θ θ ≤≤− sen para qualquer

+lim%&lim++

==−→→

θ θ θ θ

, temos que

+senlim+

=→

θ θ


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&b% *ma vez que θ θ ≤−≤ cos+ para qualquerθ , temos que

+%cos-&lim+

=−→

θ

θ

ou

coslim+

=→

θ θ

+= y


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Limites Laterais

ara ter um limite L quando x se apro$ima de a, umafunção f deve ser definida em ambos os lados de a e seusvalores f(x) devem se apro$imar de L quando x se apro$imade a de cada lado. or isso, limites comuns são bilaterais.

Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode terum limite lateral, ou seja, um limite cuja apro$imaçãoocorre apenas de um lado. Se a apro$imação for feita pelo

lado direito, o limite ser um limite à direita. Se for pelolado esquerdo, ser um limite à esquerda.


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Definições: /imites /aterais 0 1ireita e 0 'squerda.

Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a > b. Se

f(x) fica arbitrariamente pr2$imo de L conforme x se apro$imade a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral 0 direita L em a e escrevemos

L x f a x

=+→

%&lim


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Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se f(x) fica arbitrariamente pr2$imo de M conforme x se

apro$ima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limitelateral 0 esquerda M em a e escrevemos

M x f a x

=−→

%&lim


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Exemplo: ara a função na fi3ura, temos

e

x

x x f =%&

-%&lim+

==+→ x

x x f

x -%-&limlim%&lim+++

−=−=

−

=−−−

→→→ x x x x

x x f


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Teorema 5 – 4elação entre os /imites /ateral e 5ilateral

*ma função f&$% ter um limite quando $ se apro$imar

de c se e somente se tiver um limite lateral 0 direita e um 0esquerda e os dois limites laterais forem i3uais

L x f c x L x f c x =→⇔=→ − %&lim

%&

lim

e L x f c x =→ + %&lim


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Exemplo 8 ( /imites da 6unção no 7rfico da 6i3ura

Em x !: %&lim+

=+→ x f x%&lim

+ x f

x −→e %&lim + x f x→ não e$istem. ) função não é

definida 0 esquerda de $ 8 +.


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Em x ": +%&lim-

=−→ x f x ainda que f&% 8 ,

,%&lim

=+→ x f x

%&lim x f x→ não e$iste. Os limites 0 direita e 0 esquerda não são

i3uais.

Em x #:

%&lim9

=−→

x f x

%&lim9

=+→ x f x-%&lim 9 =→ x f x ainda que f&9% 8 9


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Em x $:

=== →→→ +− %&lim%&lim%&lim ::: x f x f x f x x x f &:% 8 9

Em x %:

-%&lim;

=−→

x f x

ainda que f &;% ≠

%&lim ; x f x +→ %&lim ; x f x→e não e$istem. ) função não édefinida 0 direita de $ 8 ;.

'm qualquer outro ponto a em


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Exemplo & ( *ma 6unção que Oscila 1emais

>ostre que

= x

y

sen não tem nen#um limite lateral quando $ se

apro$ima de zero de ambos os lados &6i3ura abai$o%.'oluç(o "onforme $ se apro$ima de zero, seu rec?proco, @$, cresce

x

-sen repetem-se ciclicamente de

de ( a . ) função não tem limite 0 direita nem 0 esquerda em $ 8 +.

sem limitação e os valores de


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/imites 'nvolvendo ( ) θ θ sen

Teorema 6

-sen

lim+

=

→ θ

θ

θ

θ & em radianos%


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)ro*a

O objetivo é mostrar que os limites 0 direita e 0 esquerda são i3uais a. 'ntão saberemos que o limite bilateral também é .

ara mostrar que o limite 0 direita é , começamos com valores positivos de menores que &6i3ura abai$o%. Observe queθ 9π

Area OAP ∆ OAP OAT ∆rea do setor < < rea


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odemos e$pressar essas reas em termos de da se3uinte maneiraθ

θ θ sen

9

-%%&sen-&

9

-

9

-== Χ=∆ alturabaseOAP Area

9%-&

9

-

9

- 99 θ θ θ === r OAP Area do setor

θ θ tg tg alturabaseOAT 9-%%&-&

9-

9- == Χ=∆Area

/o3o,

θ θ θ tg 9

-

9

-sen

9

-


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) Bltima desi3ualdade não se altera se dividimos os três termos pelonBmero positivo &@9% θ sen

θ θ

θ

cos

-

sen- >

*ma vez que -coslim+

=+→

θ θ

do !eorema do "onfronto resulta

-senlim+

=

+→

θ

θ

θ


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!en#amos em mente que θ sen θ e são ambos fun!es "m#ares$

'ntão, θ θ θ @%&sen%& = f é uma fun%o #ar, com um 3rfico

simétrico em relação ao ei$o C. 'ssa simetria implica que o limite0 esquerda em + e$iste e tem valor i3ual ao limite 0 direita

θ

θ

θ

θ

θ θ

sen

-

sen

limlim ++ +− →→ ==

-%&senlim + =→ θ θ θ 'ntão pelo !eorema ;.

θ


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Exemplo "!: *sando -sen

lim+

=→ θ

θ

θ

>ostre que D

9

D

9sen

lim+ =→ x x

x

x

x

x

x

x x D%D@9&

9sen%D@9&

D

9sen

limlim ++ ⋅

⋅=

→→

x

x

x 9

9sen

D

9lim

+→

=

D

9%-&

D

9==

)3ora a equação &% se aplica a

8 9$.θ


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Limites En*ol*endo o +nfinito

Definições /imites com ±∞→ x

. 1izemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito eescrevemos

L x f x

=∞→

%&lim

9. 1izemos que f(x) possui o limite L ,om x tendendo a menosinfinito e escrevemos

se, 0 medida que x se distancia da ori3em no sentido positivo, f(x) fica cada vez mais pr2$imo de L.

L x f x =−∞→ %&lim

se, 0 medida que x se distancia da ori3em no sentido ne3ativo, f(x)fica cada vez mais pr2$imo de L.


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Exemplo " ( /imites de @$ e E quando ±∞→ x1emonstre que&a%

&b%

+--

limlim ==−∞→∞→ x x x x

& & & x x

==−∞→∞→

limlim

'oluç(o:

&a% odemos observar que C 8 @$ se apro$ima cada vez mais de zero 0medida que o valor de $ se afasta da ori3em, tanto para o lado positivo

quanto para o ne3ativo.

&b% Fão importa quanto o valor de $ se afaste da ori3em, a função"onstante C 8 E sempre tem e$atamente o valor E.

i i d ±


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Teorema - ( 4e3ras para /imites quando ±∞→ xSe L, M e & são nBmeros reais e

L x f x

=±∞→

%&

lim ,%&

lim M x g

x

=±∞→

e então

". 4e3ra da Soma M L x g x f x

+=+±∞→

%%&%&&lim

#. 4e3ra da Subtração

M L x g x f x

−=−±∞→

%%&%&&lim

$. 4e3ra do roduto

M L x g x f x

⋅=⋅±∞→

%%&%&&lim


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%. 4e3ra da >ultiplicação por "onstante

L& x f & x

⋅=⋅±∞→

%%&&lim

5. 4e3ra do Guociente

+,%&

%&lim ≠=

±∞→

M M

L

x g

x f

x

6. 4e3ra da otenciação

Se r e s são inteiros, , então+≠ s

sr sr

x

L x f =±∞→

%%&&lim

1esde que sr L seja um nBmero real.


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Exemplo # ( *sando o !eorema H

x x x x x

-D

-D

limlimlim ∞→∞→∞→+=

+

D+D =+=

&a% 4e3ra da Soma

/imites "on#ecidos

x x x x x

--:: limlim 9 ⋅⋅=−∞→−∞→

π π

x x x x x

--

: limlimlim −∞→−∞→−∞→ ⋅⋅= π

+++: =⋅⋅=π

&b% 4e3ra do roduto

/imites "on#ecidos


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Exemplo $ ( Fumerador e 1enominador de >esmo 7rau

%@9&:

%@:&%@I&D

9:

:ID9

9

9

9

limlim x

x x

x

x x

x x +−+

=+

−+

∞→∞→

:

D

+:

++D=

+−+

=

1ivida o numerador e o denominador por $9.


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Exemplo 5 ( 7rau do Fumerador >aior que o 7rau do 1enominador

%@;&H

%@:&9

;H

:9

limlim

9

x

x x

x

x

x x +

−=

+

−

−∞→−∞→

−∞=

1ivida o numerador e o denominador por $.O numerador a3ora tende a ao passo que o denominador tende a

H, então a razão .

∞−

−∞→


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Limites /undamentais

1aremos a se3uir três proposições que caracterizam os c#amados

limites fundamentais. 'staremos tratando de casos particulares deindeterminações do tipo ∞-,+@+ e .+∞

)roposiç(o ": &"omo j vimos%-

senlim

+

=→ x

x

x

)roposiç(o #:

e x x

x

=+±∞→

%@--&lim

Onde e é o nBmero irracional neperiano cujo valor apro$imadoé 9,HI9II9I;DJ... .

Exemplo


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Exemplo

rovar que e x x

x

=+→

-

+

%-&lim

'm primeiro lu3ar provaremos quee x x

x

=++→

-

+

%-&

lim1e fato, fazendo $ 8 @t temos quando . /o3o,+∞→t +→ + x

et xt

t

x

x =+=+ +∞→→ + %&%& limlim

+

1a mesma forma, prova-se que e x x

x

=+−→

-

+

%-&lim

ortanto,e x

x

x

=+→

-

+

%-&lim


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)roposiç(o $:

a x

a x

x

ln-

lim+=

−

→

%.-,+& ≠> aa

&rova no livro ( 6lemmin3 e 7onçalves , "lculo ), p3 9D.%

Exemplos

x

ba x x

x

−

→lim

+

!emos,

x

b

ab

x

ba x

x x

x

x x

x

−=

−

→→

-

limlim++

x


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x

b

a

b

x

x

x

x

-

limlim ++

−

⋅= →→

baln-⋅=

b

aln=

Exemplo #


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Exemplo #

-

--9

-lim −

−−−

→ x

ae x x

x

Feste e$emplo, utilizamos artif?cios de clculo para aplicarmos aroposição :.

%-%&-&

%-&%-&

-

--

-

9

--

-

limlim−+

−−−=

−

− −−

→

−−

→ x x

ae

x

ae x x

x

x x

x

−−

−−−

⋅+

=−

→

−

→→ -

-

-

-

-

- -

-

-

--limlimlim

x

a

x

e

x

x

x

x

x x

.-

-

-

-

9

- -

-

-

-limlim

−

−−

−

−=

−

→

−

→ x

a

x

e x

x

x

x


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6azemos t 8 $ ( e consideramos que, quando , , temos→ x -≠ x+→t +≠t , .

ortanto,

−−

−=

−−

→→

−−

→ t

a

t

e

x

ae t

t

t

t

x x

x

--

9

-

- limlimlim ++9--

-

%ln&ln9- ae−=

%.ln-&9

-

a−=


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Continuidade

Definiç(o ( "ontinuidade em um onto

Ponto 'nter'or *ma função C 8 f(x) é ,ont0nua em um pontointerior c de seu dom?nio quando

%.&%&lim c f x f c x

=→

xtrem'dades *ma função C 8 f(x) 1 ,ont0nua na extremidadeesquerda a ou é ,ont0nua na extremidade direita b de seudom?nio quando

%&%&lim a f x f a x

=+→

ou %&%&lim b f x f b x

=−→

respectivamente


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Exemplo # ( *ma 6unção "ont?nua em seu 1om?nio

) função9;%& x x f −= é cont?nua em todos os pontos de seu dom?nio,

[ ]9,9−

, inclusive em $ 8 -9, quando f é cont?nua 0 direita, e $ 8 9quando f é cont?nua 0 esquerda.

Exemplo $ ( *ma 6unção com 1escontinuidade de Salto

) função Ksalto unitrioL *&$% é cont?nua 0 direita em $ 8 +,

mas não é nem cont?nua 0 esquerda nem cont?nua a?. 'la apresentadescontinuidade de salto em $ 8 +.


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Teste de Continuidade

*ma função f(x) ser cont?nua em $ 8 c se e somente se ela obedecer 0s três condições se3uintes

". f(c) e$iste &c est no dom?nio de f %

#. e$iste &f tem um limite quando %%&lim x f c x→ c x →

$. &o limite é i3ual ao valor da função%%&%&lim c f x f c x =→


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Teorema ( ropriedades de 6unções "ont?nuas

Se as funções f e g são cont?nuas em $ 8 c, então as se3uintescombinações são cont?nuas em $ 8 c.

". Somas f M g #. 1iferenças f - g

$. rodutos f . g

%. "onstantes >Bltiplas & . f , para qualquer nBmero &

5. Guocientes f @ g , uma vez que g &c% +≠


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Teorema ( "omposta de 6unções "ont?nuas

Se f é cont?nua em c e 3 é cont?nua em f &c%, então a composta f g é cont?nua em c.

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