Aula 03 – Continuidade

Continuidade, limites fundamentais e propriedades 

operatórias.

Função Contínua no Ponto

Diremos que a aplicação é

contínua no ponto , se

:f

p

i f p

limx p

iii f x f p

limx p

ii f x

fy

x

L

px

f x

lim écontínua emx p

f x L f p f p

Função Contínua no Ponto

fy

x

L

px

f x

f p

lim nãoécontínua emx p

f x L f p f p

Função Descontínua no Ponto

fy

x

L

px

f x

limnãoécontínua em

Nãoexistex p

f x Lf p

f p

Função Descontínua no Ponto

f

y

x

L

px

f x

f p

Nãoexiste lim nãoécontínua emx p

f x f p

f x

pFunção Descontínua no Ponto

Função Contínua

A aplicação é contínua, se a

mesma for contínua em todos os pontos

do seu domínio.

:f

Exemplos de Funções Contínuas

4

1) lim 3 4 3 1 4x

x f

2 2

12) lim 3 1 3 4 1

xx f

3 2 3 2

13) lim 3 1 1 3 1 1 3 3 1

xx x f

4 2 4 2

04) lim 3 0 0 3 3 0

xx x f

Exemplos de Funções Contínuas

5) limsen senx p

x p

6) limcos cosx p

x p

7) lim ,com e 0 1x p

x pa a a a

8) limln ln ,com e 0 1x p

x p p p

Outros Exemplos de Limites

1) lim tg tg , e2x p

x p p k k

2) limcotg cot g , ex p

x p p k k

4) limsec sec , e2x p

x p p k k

3) limcossec cossec , ex p

x p p k k

Exemplo

Determine os pontos de descontinuidade da função cujo gráfico é mostrado a seguir, justificando.

Exemplo

Determine o valor de L para que a função abaixo seja contínua no ponto p=0.

2

cos se 0( ) se 0

1 se 0

x xf x L x

x x

Seja uma aplicação definida por

, cujo o esboço do gráfico é

dado a seguir:

Limite Fundamental da Trigonometria

:f

senxf xx

2 323

y

x

1

Limite Fundamental da Trigonometria

2 323

y

x

0x 0 x

f x

0

senlim 1x

xx

1

Exemplo

Calcule 0

sen3limx

xx

0

sen3limx

xx 0

sen3lim33x

xx

u

0

senlim3u

uu

1

3

0 0x u

Exemplo

Calcule senlim

x

xx

senlimx

xx

u

x u x u 0x u

0

sen( )limu

uu

sen( ) sen cos sen cosu u u 1 0

0

senlimu

uu

1

senu

Limite fundamental

(1 1/ )xxx110

1001.000

10.000

22,59372,70482,71812,7182e

1lim 1x

xe

x

Exemplo

Mostre que

De modo análogo obtemos

1

0lim(1 )hh

h e

1 1x hh x

1lim 1x

x x

0h x 1

0lim (1 )h

hh

1lim 1

x

x x

e

1

0lim (1 )h

hh e

1

0lim(1 )hh

h e

Exemplo

Mostre que 0

1lim 1h

h

eh

1 ln( 1)hu e h u 1

ln( 1)

he uh u

11 ln( 1)uu

1

1

ln( 1)uu

0 0h u

10 0

1 1lim limln( 1)

h

h hu

eh

u

1ln e

1

Propriedades Operatórias de Limite

Suponhamos que existem os limites

e . Se , então: limx p

f x

limx p

g x

,

1) lim lim limx p x p x p

f x g x f x g x

2) lim limx p x p

f x f x

Propriedades Operatórias de Limite

Suponhamos que existem os limites

e . Se , então: limx p

f x

limx p

g x

,

3) lim lim limx p x p x p

f x g x f x g x

lim4) lim , desde que lim 0

limx p

x p x px p

f xf xg x

g x g x

Teorema: Limite de Função Composta

Sejam e duas

funções tais que . Se e

é contínua em , então

:f A :g B

Im f B limx p

f x L

g L

lim limx p x p

g f x g f x g L

Se existe, então:

Corolário: Limite de Função Composta

) lim lim , sendon nx p x p

ii f x f x n

) lim lim , sendonn

x p x pi f x f x n

limx p

f x

Se é par,supomos lim 0.x p

n f x

Se existe, então:

Corolário: Limite de Função Composta

) limln ln lim ,sendolim 0x p x p x p

iv f x f x f x

lim) lim x p

f xf x

x piii a a

limx p

f x

Atividade

Determine caso exista os limites abaixo:

6

2) lim 3 4

xi x

Solução:

66

2 2lim 3 4 lim 3 4x x

x x

63.2 4 62

64

Atividade

Determine caso exista os limites abaixo:

62

1) lim 3 4 2

xii x x

Solução:

662 2

1 1lim 3 4 2 lim 3 4 2x x

x x x x

623.1 4.1 2 61 1

Atividade

Determine caso exista os limites abaixo:

) lim sen 2x

iii x x

Solução:

lim sen 2 lim sen 2x x

x x x x

2sen

0

Atividade

Determine caso exista os limites abaixo:2 4

22

) lim3xx

xiv

Solução:

22

2

44 lim2 ?2

2lim3 3 3x

xxxx

x

Calculando . 2

2

4lim2x

xx

Atividade

Calculando temos: 2

2

4lim2x

xx

2

2 2 2

2 24lim lim lim 2 42 2x x x

x xx xx x

Logo 22

2

44 lim2 42

2lim3 3 3 81x

xxxx

x

Obrigado!

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