Limite e continuidade de funções - professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~ana.boero/BC0003/aulas17-20-handout.pdf · e cont nua. Ana Carolina Boero Bases Matem aticas. Limite

Limite e continuidade de funcoes


Ana Carolina Boero

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Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo Andre

Ana Carolina Boero Bases Matematicas

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A ideia de limite num exemplo

Considere a funcao f : R→ R dada por f (x) = 2x − 1.

O que ocorre com f (x) para x proximo, porem diferente, de 3?

Temos que f (x) fica arbitrariamente proximo de 5 sempre que x ∈ dom f ,x 6= 3, esta suficientemente proximo de 3.





O que significa “f (x) fica arbitrariamente proximo de 5 sempre quex ∈ dom f , x 6= 3, esta suficientemente proximo de 3”?

Dado um intervalo arbitrario centrado em 5, (5− ε, 5 + ε), e possıvelencontrar um intervalo centrado em 3, (3− δ, 3 + δ), de modo que, paratodo x ∈ dom f , x ∈ (3− δ, 3 + δ) e x 6= 3⇒ f (x) ∈ (5− ε, 5 + ε).

Em outras palavras, para cada ε > 0, e possıvel encontrar δ > 0 tal que,para todo x ∈ dom f , 0 < |x − 3| < δ ⇒ |f (x)− 5| < ε.





• Para ε = 1, temos que δ = 0, 5 e tal que 0 < |x − 3| < δ ⇒ |(2x − 1)− 5| < ε.Note que, neste caso, qualquer δ < 0, 5 positivo tambem serviria.

• Para ε = 0, 5, temos que δ = 0, 25 e tal que 0 < |x − 3| < δ ⇒ |(2x − 1)− 5| < ε.Neste caso, novamente, qualquer δ < 0, 25 positivo tambem serviria.

• Para ε = 0, 2, temos que δ = 0, 1 e tal que 0 < |x − 3| < δ ⇒ |(2x − 1)− 5| < ε.Mais uma vez: neste caso, qualquer δ < 0, 1 positivo tambem serviria.





De modo geral, seja ε > 0 arbitrario. Temos que

|f (x)− 5| < ε ⇔ |(2x − 1)− 5| < ε⇔ |2x − 6| < ε⇔ |2(x − 3)| < ε⇔ 2|x − 3| < ε⇔ |x − 3| < ε

2

Tomando δ = ε2 , por exemplo, temos que para todo x ∈ dom f ,

0 < |x − 3| < δ ⇒ |f (x)− 5| < ε.

Isto significa quelimx→3

(2x − 1) = 5.




Limite de funcoes

Seja x0 ∈ R e seja f uma funcao de uma variavel real a valores reaisdefinida numa vizinhanca de x0 (isto e, num intervalo aberto ao qual x0

pertence), exceto possivelmente em x0.

Dizemos que um numero real L e limite de f (x) quando x tende a x0 separa cada ε > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f ,0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε.

Notacao: limx→x0

f (x) = L




Observacoes

• Observe que se limx→x0

f (x) = L1 e limx→x0

f (x) = L2, entao L1 = L2.

• Observe, ainda, que:

I x0 pode ou nao pertencer a dom f ;I se x0 ∈ dom f , pode-se ou nao ter lim

x→x0

f (x) = f (x0).




Exemplos

(1) Considere g : R− {3} → R dada por g(x) = 2x2−7x+3x−3 .

Temos que

g(x) = 2x2−7x+3x−3 = (2x−1)(x−3)

x−3 = 2x − 1

para todo x 6= 3. Logo, limx→3

g(x) = limx→3

(2x − 1) = 5.




Exemplos

(2) Considere h : R→ R dada por

h(x) =

2x2−7x+3

x−3 se x 6= 3

4 se x = 3

Temos que limx→3

h(x) = limx→3

2x2−7x+3x−3 = 5.




Outros exemplos

(1) limx→x0

(ax + b) = ax0 + b

(2) limx→2

(x2 − 3) = 1

(3) limx→4

√x = 2

(4) limx→0

sen x = 0




Limites laterais

Sejam x0 ∈ R e f uma funcao de uma variavel real a valores reais definidanum intervalo aberto nao-degenerado do qual x0 e extremo da direita.

Dizemos que L e o limite a esquerda de f (x) quando x tende a x0 se paracada ε > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f ,x ∈ (x0 − δ, x0)⇒ |f (x)− L| < ε.

Notacao: limx→x−

0

f (x) = L




Limites laterais

Sejam x0 ∈ R e f uma funcao de uma variavel real a valores reais definidanum intervalo aberto nao-degenerado do qual x0 e extremo da esquerda.

Dizemos que L e o limite a direita de f (x) quando x tende a x0 se paracada ε > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f ,x ∈ (x0, x0 + δ)⇒ |f (x)− L| < ε.

Notacao: limx→x+

0

f (x) = L




Exemplos

(a) limx→0+

|x | = 0 e limx→0−

|x | = 0




Exemplos

(b) limx→0+

|x |x

= 1 e limx→0−

|x |x

= −1




Exemplos

(c) limx→0+

e−1x = 0, mas nao existe o limite a esquerda de e−

1x no 0.




Exemplos

(d) Nao existem os limites a esquerda e a direita de sen

(1

x

)no 0.




Limite versus limites laterais

Seja x0 ∈ R e seja f uma funcao de uma variavel real a valores reaisdefinida numa vizinhanca de x0, exceto possivelmente em x0.

Proposicao

limx→x0

f (x) = L se, e somente se, limx→x+

0

f (x) = L e limx→x−

0

f (x) = L.

Exemplos:

(a) limx→0|x | = 0, pois lim

x→0−|x | = 0 e lim

x→0+|x | = 0.

(b) Nao existe o limite de |x|x quando x tende a 0.

(c) Nao existe o limite de e−1x quando x tende a 0.

(d) Nao existe o limite de sen(

1x

)quando x tende a 0.




Exercıcio resolvido

Determine c de modo que exista o limite de f (x) quando x tende a 2,onde

f (x) =

{−2x + 5 se x > 2x2 + c se x < 2

Solucao:

Temos que

limx→2+

f (x) = limx→2+

(−2x + 5) = 1 e limx→2−

f (x) = limx→2−

(x2 + c) = 4 + c .

Portanto, o limite de f (x) quando x tende a 2 existira se, e somente se,1 = 4 + c , ou seja, se, e somente se, c = −3.




Funcoes contınuas

Seja f uma funcao de uma variavel real a valores reais e seja x0 ∈ dom f .

Dizemos que f e contınua em x0 se para cada ε > 0 e possıvel encontrarδ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f , |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− f (x0)| < ε.

Observacoes:

• Se f nao e contınua em x0, dizemos que f e descontınua em x0.

• Nao faz sentido falar em “continuidade de f em x0” se x0 6∈ dom f .

• Se f esta definida numa vizinhanca de x0, entao f e contınua em x0

se, e somente se, limx→x0

f (x) = f (x0).




Funcoes contınuas

Seja f uma funcao de uma variavel real a valores reais.

Dizemos que f e uma funcao contınua se f e contınua em todos oselementos de seu domınio.

Exemplos:

(a) As funcoes afins sao contınuas.

Em particular, as funcoes constantes e a identidade sao contınuas.

(b) A funcao modulo e contınua.

(c) As funcoes exponenciais sao contınua.




Outros exemplos

(a) A funcao f : R→ R dada por

f (x) =

{−1 se x 6= 0

1 se x = 0

nao e contınua em 0, mas o e em qualquer outro numero real.




Outros exemplos

(b) A funcao g : R→ R dada por

g(x) =

1 se x > 00 se x = 0−1 se x < 0

nao e contınua em 0, mas o e em qualquer outro numero real.




Outros exemplos

(c) A funcao h : R− {0} → R dada por h(x) =1

xe contınua.




Calculo de limites

Proposicao

Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reaisdefinidas numa vizinhanca de x0, exceto possivelmente em x0. Selimx→x0

f (x) = L1 e limx→x0

g(x) = L2, entao:

(1) limx→x0

(f + g)(x) = L1 + L2

(2) limx→x0

(f − g)(x) = L1 − L2

(3) limx→x0

(fg)(x) = L1L2

(4) limx→x0

(f /g)(x) = L1/L2, se L2 6= 0

Observacao: o mesmo vale substituindo x → x0 por x → x+0 ou x → x−0 .




Calculo de limites

Corolario

Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reais.Se f e g sao contınuas em x0, entao:

(1) f + g e contınua em x0

(2) f − g e contınua em x0

(3) fg e contınua em x0

(4) f /g e contınua em x0, se g(x0) 6= 0

Exemplos:

(a) Funcoes polinomiais sao contınuas.

(b) Funcoes racionais sao contınuas.




Exemplos

(a) limx→2

(3x2 − 5x + 2) = 4

(b) limx→−1

x2+2x−34x−3 = 4

7

(c) limx→1

x4−2x+1x3+3x2+1 = 0

(d) limx→2

x2−4x2−2x = 2

(e) limx→1

2x3+x2−4x+1x3−3x2+5x−3 = 2

(f) limx→1

3x3−4x2−x+22x3−3x2+1 = 5

3




Limite da composta

Questao: Calcular limx→4

e20−5x .

• Sabemos que limx→4

(20− 5x) = 0.

• Sabemos tambem que limu→0

eu = 1.

Podemos concluir que limx→4

e20−5x = 1? Sim!!!




Limite da composta

Proposicao

Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reaistais que im f ⊂ dom g e f esta definida numa vizinhanca de x0, excetopossivelmente em x0. Se

(i) limx→x0

f (x) = L e

(ii) g e contınua em L

entao limx→x0

g(f (x)) = g(L) = g

(limx→x0

f (x)

).

Observacao: o mesmo vale substituindo x → x0 por x → x+0 ou x → x−0 .




Limite da composta

Corolario

Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reaistais que im f ⊂ dom g . Se f e contınua em x0 e g e contınua em f (x0),entao g ◦ f e contınua em x0.




Exemplos

(a) limx→3

√1+x−2x−3 = 1

4

(b) limx→3

√∣∣∣ x2−9x−3

∣∣∣ =√

6

(c) limx→1

√x−1√

2x+3−√

5=√

52

(d) limx→2

3√x− 3√2x−2 =

3√26

(e) limx→1

(3−x)4−16x3−1 = − 32

3

(f) limx→π

cos2 x+3 cos x+2cos x+1 = 1




Calculo de limites

Teorema do confronto (ou do sanduıche)

Seja x0 ∈ R e sejam f , g e h funcoes de uma variavel real a valores reaisdefinidas numa vizinhanca de x0, exceto possivelmente em x0. Se

(i) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x 6= x0 numa vizinhanca de x0 e

(ii) limx→x0

f (x) = L = limx→x0

h(x)

entao limx→x0

g(x) = L.




Exemplos

(a) limx→0

x2 · sen(

1x

)= 0

(b) limx→0

x · sen(

1x

)= 0

Se limx→x0

f (x) = 0 e g e limitada numa vizinhanca de x0, entao limx→x0

f (x)g(x) = 0.

(c) (Limite Fundamental) limx→0

sen xx = 1

(d) (Limite Fundamental) limx→0

cos x−1x = 0




Mais exemplos

(e) limx→0

sen(5x)5x = 1

(f) limx→0

sen(2x)5x = 2

5

(g) limx→0

sen(2x)sen(5x) = 2

5




Continuidade da inversa

Proposicao

Sejam I um intervalo e f : I → R uma funcao crescente (ou decrescente).A imagem de f e um intervalo J e sua inversa, f −1 : J → I , e contınua.

Exemplos:

(a) As funcoes “raiz n-esima”sao contınuas.

(b) As funcoes logarıtmicas sao contınuas.

(c) As funcoes trigonometricas inversas sao contınuas.


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