UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE Prof. Marilia Vasconcellos Introduo ao clculo Historicamente,odesenvolvimentodoclculoporIsaac NewtoneGottfriedLeibnizresultoudainvestigaodos seguintes problemas: Foiprecisamenteadescobertadarelaoentreestesdois problemasquealavancouodesenvolvimentodoclculono sculoXVII,transformando-onumaferramentaindispensvel para a soluo de problemas prticos. Eis aqui alguns exemplos de tais problemas: 1. Encontrar a velocidade de um objeto. 2. Encontrar a taxa de variao de uma populao de bactrias em relao ao tempo. 3. Encontrar a taxa de variao do lucro de uma companhia em relao ao tempo. 4. Encontrar a taxa de variao do faturamento de uma agncia de viagens em relao ao gasto da agncia em publicidade. Oestudodoproblemadaretatangentelevoucriaodo clculo diferencial, que se baseia no conceito de derivada de uma funo. Oestudodoproblemadarealevoucriaodoclculo integral,quesebaseianoconceitodeantiderivadaou integral de uma funo. Tantoaderivadadeumafunoquantoaintegraldeuma funo so definidas em termos de um conceito fundamental o de limite, nosso prximo tpico. IDEIA INTUITIVA DE LIMITE Ousobsicodelimitesdescrevercomoumafunose comportaquandoavarivelindependentetendeaumdado valor. Por exemplo, examinemos o comportamento da funo: = +1 quando x est cada vez mais prximos de 2. Ficaevidenteapartirdogrficoedatabelaqueos valoresde ficamcadavezmaisprximosde3 medida que x estiver cada vez mais prximo de 2, por qualquer um dos lados, esquerdo ou direito. Ou seja, podemos dizer que o limite de +1 3 quando x tende a 2 por qualquer um dos lados. Matematicamente escrevemos: lim2+ = 3 lim2 = 3 lim2 = 3 Porexemplo:Paracalcularolimitedafuno = +1quandox1,vamosutilizaradefiniode limites,ouseja,analisaroslimiteslaterais,isto, lim1+ lim1 OBS: O + representa lado direito que so os valores maiores mas muito prximos do 2. E o indica lado esquerdo que so os valores menores mas muito prximos de 2 x 1-f (x)x 1+f (x) Observamosquenamedidaemquexficacadavez maisprximode1,f(x)torna-secadavezmais prximo de 1. Graficamente temos DEFINIO Dada uma funo y = f (x), a teoria dos limites estuda aquevalortendey,amedidaemquextenderaum determinadovalorx0.Sexx0 tantopeladireita comopelaesquerdaeytenderaummesmovalorL ento dizemos que lim0 = Exerccio:Dadaafunoy=x+2,quaissoosvaloresquey assume quando x esta prximo de 2. Limite por grficos Atravs do grfico, determine o limite (se existir) de f(x) quando x tende ao valor indicado abaixo. )lim2 = ______________________ b)lim3 = _____________________ c)lim2 = ____________________ )lim3 = ______________________ b)lim3+ = ____________________ c)lim3 = _____________________ d)lim = ____________________ e)lim2 = ____________________ )lim5 = ______________________ b)lim2 = ____________________ c)lim3 = _____________________ )lim2 = ______________________ b)lim2+ = ____________________ c)lim2 = _____________________ d)lim+ = ____________________ e)lim = ____________________ )lim+ = ______________________ b)lim = ____________________ c)lim2 = _____________________ )lim1 = ______________________ b)lim+ = ____________________ PASSOS PARA O CLCULO DO LIMITE 1. Paraoclculodolimitedeumafunobastasubstituiro valorparaoqualxesttendendo(valorgenricoa)na expresso da funo f(x). Para tal, temos as seguintes propriedades: 1. Propriedade da constante c: lim = Quando o limite de um valor c tender a, seu limite ser ele prprio ou seja c. Exemplo:) lim25 = 5 )lim43 = 3 2. Propriedade da soma e da diferena lim[() ()] = lim() lim() Olimitedasomaoudiferenadeduasfunes quandoxtendeaigualasomaoudiferenados limites de cada funo Exemplo: ) lim2 +3 =) lim1( + +1))lim2(42) = 3. Propriedade do produto lim[() ()] = lim() lim() O limite do produto de duas funes quando x tende a igual ao produto dos limites de cada funo Exemplo: ) lim23 =) lim1

2+13 ( +3)5

)lim24 2 = 4. Propriedade do quociente lim()()=lim() lim() O limite do quociente de duas funes quando x tende a igual ao quociente dos limites de cada funo, desde que lim() 0 Exemplo: ) lim2 +3 +4=)lim2 5 +6 4= Exemplos: Calcule os seguintes limites utilizando as propriedades ) lim45 2 + 3 =

) lim1 2 + 4 3= ) lim2

4+ 3 + 6 = ) lim47 = )lim2(53+ ) = )lim44 12 =

)lim3( 1)(4 ) =h) lim254+3= ) lim45 2 + 3 =

) lim1 2 + 4 3= PASSOS PARA O CLCULO DO LIMITE 1. Noentanto,estaregrafalha,algumasvezes(nem sempre)parafunesracionais.Istoacontecequando sefazasubstituiodiretadexporseuvalorde tendnciaeencontra-seindeterminao(0/0oub/0 ou / ou /0). 2. Avaliarparasaberseumlimite diretoouseestamos na presena de uma forma indeterminada. 3. TENTAR desaparecer com a indeterminao atravs de operaesalgbricas:fatorao,produtosnotveis, racionalizao,sustituiodealgumaidentidade trigonomtrica ... se for o caso... Indeterminaes 1 Regra: Para funes racionais cujo numerador e denominadorso0quandosesubstituixpora. Neste caso, h duas possibilidades Fatorao ou diviso polinomial Exemplo: Calcule o seguinte lim1+2 00 2221lim x xx xx Soluo:Nopodemossubstituirx=1porqueisso resultaemumdenominadorzero.Testamoso numeradorparaverseestetambmzeroemx=1. Tambm , portanto apresenta o fator (x 1) em comum comodenominador.Cancelaro(x1)resultaemuma fraomaissimples,comosmesmosvaloresdaoriginal para x 1: lim1 + 2 =( 1)( +2)( 1)= +2

= 3 Exemplo: ) lim2 4 2 ) lim2 16 +4) lim32 62+ 3 3 ) lim1 + 2 )lim3 +2 3 +7 +12)lim2 +8 +2 2Regra:Parafunesracionaiscujonumeradore denominadorso0quandosesubstituixpor0.Neste caso, h duas possibilidades diviso polinomial, x em evidncia Exemplo: ) lim0 2) lim0 + 3 ) lim02 3Regra:Quandosomenteodenominadorfor0na substituio por x, calcula-se os limites laterais. O limite existira se os limites laterais forem iguais lim21 2=12 2=10 limites laterais lim21 2= lim2+1 2= + Portanto o limite no existe Exemplo: ) lim01 ) lim34( 3) ) lim115( 1) 4Regra:Quandosetemumafunopolinomialou uma funo racional, os limites destas funes, quando x tendepara+ou,socalculadoscombaseno termo de maior ordem. 1 exemplo lim2 + 5 +3 2= lim2

= lim2 = 2 2= 2 exemplo lim(522 +1) = lim52= 5 2= Exemplo: )lim+(2 +7) )lim+3+22 3 Exerccios: calcule os seguintes limites )lim0 2 )lim12 + 3 1

)lim2 2 2 )lim2 4 2

)lim2 + 54 1

)lim+2 + 1 + 2 )lim 22 45 + 1)lim+ + + 5 + 1 )lim0 + 4 2

)lim314( 3) )lim02 +1 )lim2 4 2 8 )lim3 12 + 4 + 3 )lim54 32+ 15 +2 1 )lim0 + 3 )lim2 54 + 3 )lim2

4 10 + 4 2