FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE

CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: LIMITE E CONTINUIDADE CÁLCULO I PROFESSOR: MARCOS AGUIAR

INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE LIMITE

1. CONTINUIDADE

Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p do seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta “ salto “ em p.

Observe na figura (i) a função é contínua pois não apresenta salto em p, enquanto no figura (ii) não é contínua pois apresenta salto em p

fig. (i) fig. (ii)

Exemplo 1: Consideremos as funções dadas por

e

Vemos intuitivamente, que é contínua em todo p de seu domínio. Por sua vez, não

é contínua em , mas é contínua em todo .

2. LIMITE

2.1. CONCEITO INTUITIVO DE LIMITES.

1

Calculando o limite:

levantando a indeterminação temos:

Substituindo os valores de indicados na tabela abaixo, observamos intuitivamente que os

valores de se aproximam de 2 tanto pela direita como pela esquerda, porém não é 2,

então dizemos que quando tende a 2 tende a , onde usamos a notação

, generalizando

O comportamento desta função pode ser descrito afirmando que “ o limite de quando

se aproxima de 2 pela direita ou pela esquerda tende a “ cuja notação matemática é:

, que se ler matematicamente da seguinte maneira: Limite de

quando tende a 2, tende a .

Intuitivamente, dizer que o limite de , quando tende a p, é igual a L que,

simbolicamente, se escreve , significa que quando x tende a p, tende a L, como ilustra ao gráficos abaixo.

2

1,91,991,9991,99991,999991,999999

1,203333331,320033331,332000331,333200002,333320001.33333200

2,12,012,0012,00012,000012,000001

1,470000001,346700001,334667001,333466671,333346671,33333467

Exemplo.

Use a tabela para estimar o limite Solução:

Faça e calcule para valores de que se aproxime de 1 pela esquerda e pela direita:

0,99 0,999 0,9999 1 1,00001 1,0001 1,001

0,50126 0,50013 0,50001 IND 0,499999 0,49999 0,4999

Observando a tabela sugere que tende para 0,5 quando tende para 1

Solução algébrica:

Graficamente;

3

Exemplo : Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule

Solução: Seja ; não está definida em Para

Intuitivamente, é razoável esperar que se estiver definida em p, então,

, e reciprocamente. Veremos que isto realmente acontece, isto é, se estiver definida em p.

Veremos, ainda, que se se não for contínua em p, então L será aquele

valor que deveria ter em p para ser contínua neste ponto.

4

não está definida em p .

L é valor

I. Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule

a) b)

c) d) e) f)

g)

2. DEFINIÇÃO DE LIMITE

Consideremos as situações a seguir:

Na situação (a), não está definida em p, mas existe L que satisfaz a propriedade

(i)

Na situação (b), está definida em p, mas não é continua em p, entretanto existe L

satisfazendo (i): observe que neste caso a restrição é essencial. Na situação (c), é

contínua em p, assim satisfaz (i). Na situação (d), não existe L satisfazendo (i) em p.A propriedade (i) é equivalente a

5

Para todo dado, existe tal que, para todo ,

Para todo dado, existe tal que, para todo ,

Definição. Sejam uma função e p um ponto do domínio de ou extremidade de um dos

intervalos que compõem o domínio de . Dizemos que tem limite L, em p, se, para todo

dado, existe um tal que, para todo

.

Tal número L, quando existe é único, será indicado por .

Assim

3. PROPRIEDADES DO LIMITE

(i) o limite de uma constante é a própria constante

(ii)

Se existem ambos, então

a)

b)

c)

d)

e)

f) para e n inteiro positivo; ou se e n é um inteiro positivo impar g) Se m e n são inteiros positivo, ou se e n é um inteiro positivo impar, então

6

h) n inteiro positivo impar ou n inteiro positivo par e

5. TEOREMA DO SANDUÍCHE

Suponhamos para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente para o próprio a

Se então

Exemplo: Use o teorema para provar que

Como para todo t, logo,

para todo . Multiplicando por ( que é positivo se ), obtemos:

, como concluímos que

Exercícios. Lista

4. LIMITES LATERAIS

Seja uma função. P um número real e suponhamos que exista b tal que definimos:

O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à direita de

7

Suponhamos agora que exista um real a tal que definimos:

O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à esquerda de

Exemplo 1. Calcule

Solução:

Exemplo 2. Calcule

Solução:

Teorema. Sejam uma função, p um número real e suponhamos que existam a e b tais

que estejam contidos em . Então,

1. Calcule:

a) b) c) d)

8

e) f) g) h)

2. Calcule:

a) b) c) d) e) f)

g) h) i) j) l) m)

n) o) p) q)

5. LIMITES QUE ENVOLVEM O INFINITO

Ao investigarmos , pode ocorrer que, ao tender para , o valor

da função ou aumente sem limite, ou decresça sem limite. Considere a função abaixo.

. Pode-se mostrar pela figura 1 que

não existe. Quando se aproxima de 2 pela direita,

aumenta sem limite, no sentido de que podemos tornar arbitrariamente grande, escolhendo suficientemente próximo de 2 e .

Denotação: ou

Figura 1

De modo análogo para indicar que decresce sem limite, escrevendo,

ou

A figura 2 contém gráficos típicos de funções arbitrárias que tendem para ou de varias maneiras.

9

figura 2Consideraremos também limites bi – laterais ilustrados na figura 3. A reta nas figuras 2 e 3 é chamada de assíntota vertical .

figura 3

Note que, para que tenda para quando tende para , ambos os limites à direita e à

esquerda devem ser . Para que tenda para , ambos o limites laterais devem ser

. Se o limite de , de um lado de é e do outro lado de é (figura 4.) dizemos

que o não existe

figura 4.

10

Consideremos a seguir funções cujos valores tendem para um número L quando se torna muito grande. Seja

Calculando o limite temos como x é suficientemente grande, logo o quociente

Definição 1.

.

Significa que todo , existe um número tal que

Se , então

Definição 2.

.

Significa que todo , existe um número tal que

Se , então

Teorema.

Se é um número racional positivo e um número real arbitrário, então

11

,

desde que seja sempre definido

Exemplo. Determine o limite se existir.

Solução: Exercícios.

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

l) m) n) o) p)

q) r) s) t) u)

12

Nos problemas abaixo, determine os limites, caso exista.

7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14)

15) 16) 17) 18) 19)

20) 21) 20) 22) 23)

24) 25) 26)

Nos problemas abaixo, determine e . Se o valor limite for infinito, indique se é ou

27) 28) 29)

30) 31) 32)

33) 34) 35)

36)

13

Nos problemas 39 a 42, complete a tabela calculando para os valores especificados de . Em seguida, use a tabela para estimar o limite indicado ou mostrar que o limite não existe.

39. ;

x 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1

40. ;

x -0,09 -0,009 0 0,0009 0,009 0,09 -0,09

41. ;

x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1

42. ;

x -1,1 -1,01 1,001 - 1 -0,999 -0,99 -0,9

Nos problemas 43 a 50, calcule o limite indicado ou mostre que ele não existe usando as

seguintes informações a respeito de limites das funções e :

14

e

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. Um fio é estendido horizontalmente, como mostra a figura. Um experimento é executado no qual diferentes pesos são pendurados no centro do fio e os deslocamentos verticais correspondentes são medidos. Quando o peso é excessivo o fio se rompe. Com base nos dados a seguir, qual é o maior deslocamento possível deste tipo de fio?

PesoW(kg)

15 16 17 18 17,5 17,9 17,99

Desloca-mentoY(cm)

1,7 1,75 1,78 Arrebenta 1,79 1,795 Arrebenta

y

W

50. O gerente de uma empresa determina que t meses após começar a fabricação de um novo produto o número de unidades fabricadas deve ser P milhares, onde

O que acontece com a produção a longo prazo?

51. RENDA PER CAPITA Estudos mostram que daqui a t anos a população de um certo país

será milhares de pessoas e que a renda bruta do país será E milhões de dólares,

onde

a) Expresse a renda per capita do país em função do tempo tb) O que acontece com a renda per capita a longo prazo?

52. COLÔNIAS DE BACTÉRIAS O gráfico a seguir mostra a variação da taxa de crescimento

com a temperatura T para uma colônia de bactérias.

15

a) Qual o intervalo de temperatura T na qual a taxa de crescimento dobra de valor?b) O que se pode dize a respeito da taxa de crescimento para ? c) O que acontece quando a temperatura atinge aproximadamente 45°? Faz sentido calcular

?

53. ECOLOGIA Em algumas espécies de animais, a ingestão de alimentos é afetada pelo grau de vigilância que o animal mantém enquanto está comendo. Para resumir, é difícil comer bem se você tem que está em guarda o tempo todo contra predadores que podem comê-lo. Em um modelo se o animal está se alimentando de plantas que permitem uma mordida de tamanho S, a

ingestão de alimentos é dada por uma função da forma onde a e c são constantes positivas.

a) O que acontece com a ingestão quando o tamanho de S da mordida aumenta indefinidamente? Interprete o resultado.

54. PISCOLOGIA EXPERIMENTAL Para estudar o aprendizado em animais, um estudante de psicologia realizou um experimento em que um rato teve que atravessar várias vezes o mesmo labirinto. Suponha que o tempo que o rato levou para atravessar o labirinto na enésima tentativa

tenha sido da ordem de minutos. O que acontece com este tempo quando o número de n tentativas aumenta indefinidamente? Interprete este resultado.

55. CUSTO MÉDIO Um gerente observa que o custo total para fabricar unidades de um certo

produto pode ser modelado pela função (reais). O custo médio é .

Calcule e interprete o resultado

16

Determine o limite unilateral indicado. Se o valor limite for infinito, indique se é ou

5) 6) 7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) e onde:

b)

14) e onde:

Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x.

15) 16)

17) 18) 19)

20) 21) 22)

17

23) 24)

25) 26)

Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.

27) 28) 29) 30)

31) 32) 33) 34)

35) 36) 37)

38) 39) 40)

41) METEOROLOGIA Suponha que a temperatura do ar seja 30° F. Nesse caso, a sensação térmica ( em ° F ) para uma velocidade do vento v ( em milhas por hora ) é dada por:

a) Qual é a sensação térmica para v = 20 milhas por hora?

b) Que velocidade do vento produz uma sensação térmica de 0° F?

c) A função de sensação térmica W(v) é contínua em v = 4? E em v = 45?

42. INTENSIDADE DO CAMPO ELÉTRICO Se uma esfera oca de raio R é carregada com

uma unidade de eletricidade estática, a intensidade do campo elétrico E(x) em um ponto P

situado a uma distância de x unidades do centro da esfera é dada por

18

Faça o gráfico de E(x). A função E(x) é contínua para x>0?

43. TARIFAS POSTAIS No correio dos Estados Unidos a “função de porte” p(x) pode ser descrita da seguinte forma:

Onde x é peso de uma carta em onças e p(x) é o preço correspondente do porte, em cents. Faça o gráfico de p(x) para . Para que valores de x a função p(x) é descontínua no intervalo ?44. POLUIÇÃO DO MAR Um tubo rompido em uma plataforma petrolífera do Mar do Norte produz uma mancha de óleo circular que tem y metros de espessura e uma distância de x metro do local do vazamento. A turbulência torna difícil medir diretamente a espessura no local do vazamento (x = 0), mas para x > 0 observa-se que:

Suponha que a distribuição de óleo no mar seja contínua, qual é a espessura estimada no local do vazamento?

45. CONSUMO DE COMBUSTÍVEL O gráfico a seguir mostra o volume de gasolina no tanque do carro de Suzana durante o período de 30 dias. Em que ponto o gráfico é descontínuo? O que acontece nessas ocasiões?

46. CONTROLE DE ESTOQUE O gráfico a seguir mostra o número de unidades em estoque de um certo produto durante um período de 2 anos. Em que pontos o gráfico é descontínuo? O que acontece nessas ocasiões?

19

47. ANÁLISE CUSTO-BENEFÍCIO Em certas situações, é necessário comparar os benefícios de uma certa medida com o custo necessário para executá-la. Suponha por exemplo, que para remover x % da poluição causada por um derramamento de petróleo seja preciso gastar C milhares de reais onde:

a) Quanto custa remover 25% da poluição? E 50%?b) Plote a função custo.

c) O que acontece quando ? É possível remover toda a poluição?

48. GERENCIAMENTO DE CUSTO O gerente de uma empresa determina que, quando x% das capacidades das fabricas está sendo usada, o custo total de operações é C centenas de milhares de reais, onde:

a) Calcule e .

50. POLUÍÇÃO DO AR Estima-se que daqui a anos a população de um certo bairro será mil habitantes, onde

Um estudo ambiental mostra que a concentração média de monóxido de carbono no ar será partes por milhão quando a população for mil habitantes, onde

Qual será o nível de poluição a longo prazo ( )?

Para dada, expresse cada um dos seguintes limites como, ou NE (não existe)

a) b) c)

20

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

11) Determine o limite, se existir.

11) 12) 13) 14)

15) 16) 17) 18) 19)

20) CALCULE:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12) 13)

14) 15) 16) 17)

18) 19) 20)

21) 22) 23) 21) 22) 23)

24) 25) 26) 27) 28)

29) 30) 31) 32) 33)

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA:

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SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. v. 1.São Paulo: Makron Books do Brasil, 1994. ANTON HOWARD. Cálculo um novo horizonte volume I 6ª ed.- Porto Alegre Bookman 2000GUIDORIZZI, HAMILTON LUIZ. Um curso de Cálculo. V. 1 5ª ed. Rio de Janeiro. LTC. Editora – 2003. LAURENCE D. HOFFMANN & GERALD L. BRADLEY. Cálculo Um curso Moderno e Suas Aplicações. 9ª Edição. Rio de Janeiro. LTC. Editora – 2008

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