Cálculo II

Aula 2: Limite e continuidade

Idéia intuitiva

2 2

2 2

sen( )( , )

x yf x y

x y

2 2

2 2( , )

x yg x y

x y

Conclusão

2 2

2 2( , ) (0,0)

sen( )lim 1

x y

x y

x y

2 2

2 2( , ) (0,0)lim

x y

x y

x y

Definição

Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a,b).

Dizemos que o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (a,b) é L e escrevemos

se para todo > 0 existe um número correspondente > 0 tal que sempre que (x,y)D e

( , ) ( , )lim ( , )

x y a bf x y L

( , )f x y L

2 20 ( ) ( )x a y b

Interpretação Geométrica

Interpretação Geométrica

Outras notações

lim ( , )x ay b

f x y L

( , ) quando ( , ) ( , )f x y L x y a b

Caminhos de aproximação

Propriedade

Seja f(x,y) L1 quando (x,y)(a,b) ao longo

do caminho C1 e f(x,y) L2 ao longo do

caminho C2 , com L1 L2, então

( , ) ( , )lim ( , ) não existe

x y a bf x y

Exemplo 1

Mostre que não existe. 2 2

2 2( , ) (0,0)lim

x y

x y

x y

Exemplo 2

Se , será que existe?

2 2,

xyf x y

x y

( , ) (0,0)lim ( , )

x yf x y

Exemplo 3

Se , será que existe?

2

2 4,

xyf x y

x y

( , ) (0,0)lim ( , )

x yf x y

Leis do limite

( , ) ( , )lim

x y a bx a

( , ) ( , )lim

x y a by b

( , ) ( , )lim

x y a bc c

Vale o teorema do confronto

Exemplo 4

Determine, se existir, 2

2 2( , ) (0,0)

3lim .

x y

x y

x y

2

2 2( , ) (0,0)

3lim 0

x y

x y

x y

Continuidade

Uma função f de duas variáveis é dita contínua em (a,b) se

Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto (a,b) de D.

( , ) ( , )lim ( , ) ( , )

x y a bf x y f a b

Exemplo 5

Calcule 2 3 3 2

( , ) (1,2)lim 3 2 .

x yx y x y x y

2 3 3 2

( , ) (1,2)lim 3 2 11

x yx y x y x y

Exemplo 5

Onde a função é contínua?2 2

2 2( , )

x yf x y

x y

( , ) | ( , ) (0,0) .D x y x y

Exemplo 6

A função

é contínua em (0,0)?

2 2

2 2 se ( , ) (0,0)

( , )

0 se ( , ) (0,0)

x yx y

g x y x y

x y

não é contínua em (0,0)g

Exemplo 7

A função

é contínua em (0,0)?

2

2 2

3 se ( , ) (0,0)

( , )

0 se ( , ) (0,0)

x yx y

g x y x y

x y

Solução2

2 2( , ) (0,0)

3lim 0

x y

x y

x y

e (0,0) 0g

é contínua em todo o domínio.g

Exemplo 8

Onde a função é contínua?( , ) arctgy

h x yx

( , ) é contínua 0.h x y x

Material disponível emwww.mat.ufam.edu.br/calculo2