Aula 03 – Continuidade
Continuidade, limites fundamentais e propriedades
operatórias.
Função Contínua no Ponto
Diremos que a aplicação é
contínua no ponto , se
:f
p
i f p
limx p
iii f x f p
limx p
ii f x
fy
x
L
px
f x
lim écontínua emx p
f x L f p f p
Função Contínua no Ponto
fy
x
L
px
f x
f p
lim nãoécontínua emx p
f x L f p f p
Função Descontínua no Ponto
fy
x
L
px
f x
limnãoécontínua em
Nãoexistex p
f x Lf p
f p
Função Descontínua no Ponto
f
y
x
L
px
f x
f p
Nãoexiste lim nãoécontínua emx p
f x f p
f x
pFunção Descontínua no Ponto
Função Contínua
A aplicação é contínua, se a
mesma for contínua em todos os pontos
do seu domínio.
:f
Exemplos de Funções Contínuas
4
1) lim 3 4 3 1 4x
x f
2 2
12) lim 3 1 3 4 1
xx f
3 2 3 2
13) lim 3 1 1 3 1 1 3 3 1
xx x f
4 2 4 2
04) lim 3 0 0 3 3 0
xx x f
Exemplos de Funções Contínuas
5) limsen senx p
x p
6) limcos cosx p
x p
7) lim ,com e 0 1x p
x pa a a a
8) limln ln ,com e 0 1x p
x p p p
Outros Exemplos de Limites
1) lim tg tg , e2x p
x p p k k
2) limcotg cot g , ex p
x p p k k
4) limsec sec , e2x p
x p p k k
3) limcossec cossec , ex p
x p p k k
Exemplo
Determine os pontos de descontinuidade da função cujo gráfico é mostrado a seguir, justificando.
Exemplo
Determine o valor de L para que a função abaixo seja contínua no ponto p=0.
2
cos se 0( ) se 0
1 se 0
x xf x L x
x x
Seja uma aplicação definida por
, cujo o esboço do gráfico é
dado a seguir:
Limite Fundamental da Trigonometria
:f
senxf xx
2 323
y
x
1
Limite Fundamental da Trigonometria
2 323
y
x
0x 0 x
f x
0
senlim 1x
xx
1
Exemplo
Calcule 0
sen3limx
xx
0
sen3limx
xx 0
sen3lim33x
xx
u
0
senlim3u
uu
1
3
0 0x u
Exemplo
Calcule senlim
x
xx
senlimx
xx
u
x u x u 0x u
0
sen( )limu
uu
sen( ) sen cos sen cosu u u 1 0
0
senlimu
uu
1
senu
Limite fundamental
(1 1/ )xxx110
1001.000
10.000
22,59372,70482,71812,7182e
1lim 1x
xe
x
Exemplo
Mostre que
De modo análogo obtemos
1
0lim(1 )hh
h e
1 1x hh x
1lim 1x
x x
0h x 1
0lim (1 )h
hh
1lim 1
x
x x
e
1
0lim (1 )h
hh e
1
0lim(1 )hh
h e
Exemplo
Mostre que 0
1lim 1h
h
eh
1 ln( 1)hu e h u 1
ln( 1)
he uh u
11 ln( 1)uu
1
1
ln( 1)uu
0 0h u
10 0
1 1lim limln( 1)
h
h hu
eh
u
1ln e
1
Propriedades Operatórias de Limite
Suponhamos que existem os limites
e . Se , então: limx p
f x
limx p
g x
,
1) lim lim limx p x p x p
f x g x f x g x
2) lim limx p x p
f x f x
Propriedades Operatórias de Limite
Suponhamos que existem os limites
e . Se , então: limx p
f x
limx p
g x
,
3) lim lim limx p x p x p
f x g x f x g x
lim4) lim , desde que lim 0
limx p
x p x px p
f xf xg x
g x g x
Teorema: Limite de Função Composta
Sejam e duas
funções tais que . Se e
é contínua em , então
:f A :g B
Im f B limx p
f x L
g L
lim limx p x p
g f x g f x g L
Se existe, então:
Corolário: Limite de Função Composta
) lim lim , sendon nx p x p
ii f x f x n
) lim lim , sendonn
x p x pi f x f x n
limx p
f x
Se é par,supomos lim 0.x p
n f x
Se existe, então:
Corolário: Limite de Função Composta
) limln ln lim ,sendolim 0x p x p x p
iv f x f x f x
lim) lim x p
f xf x
x piii a a
limx p
f x
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
6
2) lim 3 4
xi x
Solução:
66
2 2lim 3 4 lim 3 4x x
x x
63.2 4 62
64
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
62
1) lim 3 4 2
xii x x
Solução:
662 2
1 1lim 3 4 2 lim 3 4 2x x
x x x x
623.1 4.1 2 61 1
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
) lim sen 2x
iii x x
Solução:
lim sen 2 lim sen 2x x
x x x x
2sen
0
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:2 4
22
) lim3xx
xiv
Solução:
22
2
44 lim2 ?2
2lim3 3 3x
xxxx
x
Calculando . 2
2
4lim2x
xx
Atividade
Calculando temos: 2
2
4lim2x
xx
2
2 2 2
2 24lim lim lim 2 42 2x x x
x xx xx x
Logo 22
2
44 lim2 42
2lim3 3 3 81x
xxxx
x