8/19/2019 Limite e Continuidade (Parte 2)
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Teorema do Confronto
Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamosobtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teoremase refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os
valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem omesmo limite quando , então f também ter esselimite.
c x →
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Teorema – !eorema do "onfronto Supon#a que para qualquer x em um
intervalo de aberto contendo c, e$ceto possivelmente em x = c . Supon#a também que
%&%&%& xh x f x g ≤≤
L xh x g c xc x
==→→
%&lim%&lim
'ntão
L x f c x =→ %&lim
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Exemplo 6 ( )plicação do !eorema do "onfronto
&a% *ma vez que θ θ θ ≤≤− sen para qualquer
+lim%&lim++
==−→→
θ θ θ θ
, temos que
+senlim+
=→
θ θ
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&b% *ma vez que θ θ ≤−≤ cos+ para qualquerθ , temos que
+%cos-&lim+
=−→
θ
θ
ou
coslim+
=→
θ θ
+= y
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Limites Laterais
ara ter um limite L quando x se apro$ima de a, umafunção f deve ser definida em ambos os lados de a e seusvalores f(x) devem se apro$imar de L quando x se apro$imade a de cada lado. or isso, limites comuns são bilaterais.
Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode terum limite lateral, ou seja, um limite cuja apro$imaçãoocorre apenas de um lado. Se a apro$imação for feita pelo
lado direito, o limite ser um limite à direita. Se for pelolado esquerdo, ser um limite à esquerda.
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Definições: /imites /aterais 0 1ireita e 0 'squerda.
Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a > b. Se
f(x) fica arbitrariamente pr2$imo de L conforme x se apro$imade a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral 0 direita L em a e escrevemos
L x f a x
=+→
%&lim
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Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se f(x) fica arbitrariamente pr2$imo de M conforme x se
apro$ima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limitelateral 0 esquerda M em a e escrevemos
M x f a x
=−→
%&lim
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Exemplo: ara a função na fi3ura, temos
e
x
x x f =%&
-%&lim+
==+→ x
x x f
x -%-&limlim%&lim+++
−=−=
−
=−−−
→→→ x x x x
x x f
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Teorema 5 – 4elação entre os /imites /ateral e 5ilateral
*ma função f&$% ter um limite quando $ se apro$imar
de c se e somente se tiver um limite lateral 0 direita e um 0esquerda e os dois limites laterais forem i3uais
L x f c x L x f c x =→⇔=→ − %&lim
%&
lim
e L x f c x =→ + %&lim
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Exemplo 8 ( /imites da 6unção no 7rfico da 6i3ura
Em x !: %&lim+
=+→ x f x%&lim
+ x f
x −→e %&lim + x f x→ não e$istem. ) função não é
definida 0 esquerda de $ 8 +.
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Em x ": +%&lim-
=−→ x f x ainda que f&% 8 ,
,%&lim
=+→ x f x
%&lim x f x→ não e$iste. Os limites 0 direita e 0 esquerda não são
i3uais.
Em x #:
%&lim9
=−→
x f x
%&lim9
=+→ x f x-%&lim 9 =→ x f x ainda que f&9% 8 9
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Em x $:
=== →→→ +− %&lim%&lim%&lim ::: x f x f x f x x x f &:% 8 9
Em x %:
-%&lim;
=−→
x f x
ainda que f &;% ≠
%&lim ; x f x +→ %&lim ; x f x→e não e$istem. ) função não édefinida 0 direita de $ 8 ;.
'm qualquer outro ponto a em
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Exemplo & ( *ma 6unção que Oscila 1emais
>ostre que
= x
y
sen não tem nen#um limite lateral quando $ se
apro$ima de zero de ambos os lados &6i3ura abai$o%.'oluç(o "onforme $ se apro$ima de zero, seu rec?proco, @$, cresce
x
-sen repetem-se ciclicamente de
de ( a . ) função não tem limite 0 direita nem 0 esquerda em $ 8 +.
sem limitação e os valores de
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/imites 'nvolvendo ( ) θ θ sen
Teorema 6
-sen
lim+
=
→ θ
θ
θ
θ & em radianos%
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)ro*a
O objetivo é mostrar que os limites 0 direita e 0 esquerda são i3uais a. 'ntão saberemos que o limite bilateral também é .
ara mostrar que o limite 0 direita é , começamos com valores positivos de menores que &6i3ura abai$o%. Observe queθ 9π
Area OAP ∆ OAP OAT ∆rea do setor < < rea
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odemos e$pressar essas reas em termos de da se3uinte maneiraθ
θ θ sen
9
-%%&sen-&
9
-
9
-== Χ=∆ alturabaseOAP Area
9%-&
9
-
9
- 99 θ θ θ === r OAP Area do setor
θ θ tg tg alturabaseOAT 9-%%&-&
9-
9- == Χ=∆Area
/o3o,
θ θ θ tg 9
-
9
-sen
9
-
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) Bltima desi3ualdade não se altera se dividimos os três termos pelonBmero positivo &@9% θ sen
θ θ
θ
cos
-
sen- >
*ma vez que -coslim+
=+→
θ θ
do !eorema do "onfronto resulta
-senlim+
=
+→
θ
θ
θ
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!en#amos em mente que θ sen θ e são ambos fun!es "m#ares$
'ntão, θ θ θ @%&sen%& = f é uma fun%o #ar, com um 3rfico
simétrico em relação ao ei$o C. 'ssa simetria implica que o limite0 esquerda em + e$iste e tem valor i3ual ao limite 0 direita
θ
θ
θ
θ
θ θ
sen
-
sen
limlim ++ +− →→ ==
-%&senlim + =→ θ θ θ 'ntão pelo !eorema ;.
θ
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Exemplo "!: *sando -sen
lim+
=→ θ
θ
θ
>ostre que D
9
D
9sen
lim+ =→ x x
x
x
x
x
x
x x D%D@9&
9sen%D@9&
D
9sen
limlim ++ ⋅
⋅=
→→
x
x
x 9
9sen
D
9lim
+→
=
D
9%-&
D
9==
)3ora a equação &% se aplica a
8 9$.θ
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Limites En*ol*endo o +nfinito
Definições /imites com ±∞→ x
. 1izemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito eescrevemos
L x f x
=∞→
%&lim
9. 1izemos que f(x) possui o limite L ,om x tendendo a menosinfinito e escrevemos
se, 0 medida que x se distancia da ori3em no sentido positivo, f(x) fica cada vez mais pr2$imo de L.
L x f x =−∞→ %&lim
se, 0 medida que x se distancia da ori3em no sentido ne3ativo, f(x)fica cada vez mais pr2$imo de L.
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Exemplo " ( /imites de @$ e E quando ±∞→ x1emonstre que&a%
&b%
+--
limlim ==−∞→∞→ x x x x
& & & x x
==−∞→∞→
limlim
'oluç(o:
&a% odemos observar que C 8 @$ se apro$ima cada vez mais de zero 0medida que o valor de $ se afasta da ori3em, tanto para o lado positivo
quanto para o ne3ativo.
&b% Fão importa quanto o valor de $ se afaste da ori3em, a função"onstante C 8 E sempre tem e$atamente o valor E.
i i d ±
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Teorema - ( 4e3ras para /imites quando ±∞→ xSe L, M e & são nBmeros reais e
L x f x
=±∞→
%&
lim ,%&
lim M x g
x
=±∞→
e então
". 4e3ra da Soma M L x g x f x
+=+±∞→
%%&%&&lim
#. 4e3ra da Subtração
M L x g x f x
−=−±∞→
%%&%&&lim
$. 4e3ra do roduto
M L x g x f x
⋅=⋅±∞→
%%&%&&lim
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%. 4e3ra da >ultiplicação por "onstante
L& x f & x
⋅=⋅±∞→
%%&&lim
5. 4e3ra do Guociente
+,%&
%&lim ≠=
±∞→
M M
L
x g
x f
x
6. 4e3ra da otenciação
Se r e s são inteiros, , então+≠ s
sr sr
x
L x f =±∞→
%%&&lim
1esde que sr L seja um nBmero real.
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Exemplo # ( *sando o !eorema H
x x x x x
-D
-D
limlimlim ∞→∞→∞→+=
+
D+D =+=
&a% 4e3ra da Soma
/imites "on#ecidos
x x x x x
--:: limlim 9 ⋅⋅=−∞→−∞→
π π
x x x x x
--
: limlimlim −∞→−∞→−∞→ ⋅⋅= π
+++: =⋅⋅=π
&b% 4e3ra do roduto
/imites "on#ecidos
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Exemplo $ ( Fumerador e 1enominador de >esmo 7rau
%@9&:
%@:&%@I&D
9:
:ID9
9
9
9
limlim x
x x
x
x x
x x +−+
=+
−+
∞→∞→
:
D
+:
++D=
+−+
=
1ivida o numerador e o denominador por $9.
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Exemplo 5 ( 7rau do Fumerador >aior que o 7rau do 1enominador
%@;&H
%@:&9
;H
:9
limlim
9
x
x x
x
x
x x +
−=
+
−
−∞→−∞→
−∞=
1ivida o numerador e o denominador por $.O numerador a3ora tende a ao passo que o denominador tende a
H, então a razão .
∞−
−∞→
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Limites /undamentais
1aremos a se3uir três proposições que caracterizam os c#amados
limites fundamentais. 'staremos tratando de casos particulares deindeterminações do tipo ∞-,+@+ e .+∞
)roposiç(o ": &"omo j vimos%-
senlim
+
=→ x
x
x
)roposiç(o #:
e x x
x
=+±∞→
%@--&lim
Onde e é o nBmero irracional neperiano cujo valor apro$imadoé 9,HI9II9I;DJ... .
Exemplo
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Exemplo
rovar que e x x
x
=+→
-
+
%-&lim
'm primeiro lu3ar provaremos quee x x
x
=++→
-
+
%-&
lim1e fato, fazendo $ 8 @t temos quando . /o3o,+∞→t +→ + x
et xt
t
x
x =+=+ +∞→→ + %&%& limlim
+
1a mesma forma, prova-se que e x x
x
=+−→
-
+
%-&lim
ortanto,e x
x
x
=+→
-
+
%-&lim
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)roposiç(o $:
a x
a x
x
ln-
lim+=
−
→
%.-,+& ≠> aa
&rova no livro ( 6lemmin3 e 7onçalves , "lculo ), p3 9D.%
Exemplos
x
ba x x
x
−
→lim
+
!emos,
x
b
ab
x
ba x
x x
x
x x
x
−=
−
→→
-
limlim++
x
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x
b
a
b
x
x
x
x
-
limlim ++
−
⋅= →→
baln-⋅=
b
aln=
Exemplo #
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Exemplo #
-
--9
-lim −
−−−
→ x
ae x x
x
Feste e$emplo, utilizamos artif?cios de clculo para aplicarmos aroposição :.
%-%&-&
%-&%-&
-
--
-
9
--
-
limlim−+
−−−=
−
− −−
→
−−
→ x x
ae
x
ae x x
x
x x
x
−−
−−−
⋅+
=−
→
−
→→ -
-
-
-
-
- -
-
-
--limlimlim
x
a
x
e
x
x
x
x
x x
.-
-
-
-
9
- -
-
-
-limlim
−
−−
−
−=
−
→
−
→ x
a
x
e x
x
x
x
8/19/2019 Limite e Continuidade (Parte 2)
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6azemos t 8 $ ( e consideramos que, quando , , temos→ x -≠ x+→t +≠t , .
ortanto,
−−
−=
−−
→→
−−
→ t
a
t
e
x
ae t
t
t
t
x x
x
--
9
-
- limlimlim ++9--
-
%ln&ln9- ae−=
%.ln-&9
-
a−=
8/19/2019 Limite e Continuidade (Parte 2)
33/37
Continuidade
Definiç(o ( "ontinuidade em um onto
Ponto 'nter'or *ma função C 8 f(x) é ,ont0nua em um pontointerior c de seu dom?nio quando
%.&%&lim c f x f c x
=→
xtrem'dades *ma função C 8 f(x) 1 ,ont0nua na extremidadeesquerda a ou é ,ont0nua na extremidade direita b de seudom?nio quando
%&%&lim a f x f a x
=+→
ou %&%&lim b f x f b x
=−→
respectivamente
8/19/2019 Limite e Continuidade (Parte 2)
34/37
Exemplo # ( *ma 6unção "ont?nua em seu 1om?nio
) função9;%& x x f −= é cont?nua em todos os pontos de seu dom?nio,
[ ]9,9−
, inclusive em $ 8 -9, quando f é cont?nua 0 direita, e $ 8 9quando f é cont?nua 0 esquerda.
Exemplo $ ( *ma 6unção com 1escontinuidade de Salto
) função Ksalto unitrioL *&$% é cont?nua 0 direita em $ 8 +,
mas não é nem cont?nua 0 esquerda nem cont?nua a?. 'la apresentadescontinuidade de salto em $ 8 +.
8/19/2019 Limite e Continuidade (Parte 2)
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Teste de Continuidade
*ma função f(x) ser cont?nua em $ 8 c se e somente se ela obedecer 0s três condições se3uintes
". f(c) e$iste &c est no dom?nio de f %
#. e$iste &f tem um limite quando %%&lim x f c x→ c x →
$. &o limite é i3ual ao valor da função%%&%&lim c f x f c x =→
8/19/2019 Limite e Continuidade (Parte 2)
36/37
Teorema ( ropriedades de 6unções "ont?nuas
Se as funções f e g são cont?nuas em $ 8 c, então as se3uintescombinações são cont?nuas em $ 8 c.
". Somas f M g #. 1iferenças f - g
$. rodutos f . g
%. "onstantes >Bltiplas & . f , para qualquer nBmero &
5. Guocientes f @ g , uma vez que g &c% +≠
8/19/2019 Limite e Continuidade (Parte 2)
37/37
Teorema ( "omposta de 6unções "ont?nuas
Se f é cont?nua em c e 3 é cont?nua em f &c%, então a composta f g é cont?nua em c.