Caderno 1 : Domínios de De ﬁnição, Limites e …home.iscte-iul.pt/~deam/html/DomLimCont.pdf · 10 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE Adeﬁnição de limite de f(x,y) em (a,b)

Instituto Superior de Ciências do Trabalho e Empresa

Curso: Gestão e GEI, 1o Ano

Cadeira: Optimização

Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade

(Tópicos de teoria e exercícios)

Elaborado por: Diana Aldea Mendes

Departamento de Métodos Quantitativos

Fevereiro de 2009

Capítulo 1

Noções Topológicas e Domínios deDefinição de Funções

1.1 Tópicos de Teoria

Definição 1: Seja (Rn, d) um espaço métrico com a distância d entre dois pontos x =

(x1, . . . , xn) ∈ Rn e y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn definida por:

d (x, y) =

q(x1 − y1)

2 + . . .+ (xn − yn)2.

Seja a = (a1, . . . , an) ∈ Rn e ε > 0. A bola aberta de centro a e raio ε designa-se por

B (a, ) ou B (a) e é definida pelo seguinte conjunto de pontos

B (a, ε) = {x ∈ Rn : d (x, a) < ε} .

R0 a

a-ε a+ ε

B ola aberta em R

A A

0

B(a,ε)

a

a1

a2 h

B(a,ε)

ah

a1

a2

a3

εε

Bola aberta em R2 Bola aberta em R3

R

R

R

R

R0

Definição 2: Seja (Rn, d) um espaço métrico com a distância d, A ⊆ Rn e a =

(a1, . . . , an) ∈ Rn. Têm-se então que:

1

2CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DEDEFINIÇÃODE FUNÇÕES

• a é um ponto interior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio

ε contida em A, isto é

∃ ε > 0 tal que B (a, ) ⊆ A

• a é um ponto exterior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio

ε contida em Rn\A (ou seja: existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio

ε que não contém pontos pertencentes a A), isto é

∃ ε > 0 tal que B (a, ) ⊆ Rn\A ou seja B (a, ) ∩A = ∅

• a é um ponto fronteiro de A se em qualquer bola aberta de centro a e raio ε existe

pelo menos um ponto de A e existe pelo menos um ponto de Rn\A, isto é

∀ ε > 0 : B (a, ) ∩A 6= ∅ e B (a, ) ∩Rn\A 6= ∅

• a é um ponto de acumulação de A se em qualquer bola aberta de centro a e raio ε

existem infinitos elementos de A, isto é

∀ ε > 0 : B (a, ) ∩Aé um conjunto infinito

• a é um ponto isolado se não é um ponto de acumulação.

h

h

h

h

h

h

0 x

y

A−

−

−

− −

−

2

y = 2

exterior

exteriorisolado

interiorfronteiro

fronteiro1

Definição 3: Seja (Rn, d) um espaço métrico com a distância d e A ⊆ Rn. Designa-se

por:

• Interior de A (IntA) o conjunto dos pontos interiores de A

1.1. TÓPICOS DE TEORIA 3

• Exterior de A (ExtA) o conjunto dos pontos exteriores de A

• Fronteira de A (FrontA) o conjunto dos pontos fronteiros de A

• Fecho ou aderência de A (FechA ou A) à união do interior de A com a fronteira de

A, isto é

FechA = IntA ∪ FrontA

• Derivado de A (A0) o conjunto dos pontos de acumulação de A.

• O conjunto A ⊆ Rn diz-se aberto se IntA = A e diz-se fechado se FechA = A.

Definição 4: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Se para cada x ∈ A se faz corre-

sponder um e só um y = f (x) ∈ B então tem-se uma função f de A em B (f : A −→ B) .

• f : Rn → R diz-se função real de n variáveis reais.e representa-se por uma expressão

com n variáveis

• f : Rn → Rm diz-se função vectorial de n variáveis reais e representa-se por um

sistema de m funções com n variáveis.

Definição 5: Seja a função f : Df ⊆ Rn −→ Rm. O conjunto Df é o domínio ou

campo de existência da função f e representa o conjunto dos todos os pontos de Rn para os

quais se podem efectuar todas as operações indicadas nasm expressões, isto é, corresponde

à intersecção dos domínios das m funções coordenadas f1, ..., fm..: Df = Df1 ∩ ....∩Dfm .

• Sejam F e G duas funções quaisquer. Para calcular os domínios de definição temos

que ter em consideração que

—F

G=⇒ G 6= 0

— n√F =⇒ F ≥ 0 se n par

— logF =⇒ F > 0

— FG =⇒ F > 0

— arcsinF ou arccosF =⇒ −1 ≤ F ≤ 1


1.2 As equações e os gráficos de algumas curvas no planoreal

• Recta

y − b = m (x− a)

Exemplo 1.2.1 : y = x− 1

oo

o

oo

o

o

o

o

o

o o

o

o

o

o

o y=x-1

x

y

1

-1

y<x-1

o o o

o o oy>x-1

• Circunferência de centro (a, b) e raio r :

(x− a)2 + (y − b)2 = r2

Exemplo 1.2.2 : x2 + y2 = 1

x

y

o

o

o

o

o

o o

o

o

o

o

o oo

o o

o

o

o

o

o

o

o

x2+y2=1

x2+y2<1

o o o

oo ox2+y2>1

1.2. AS EQUAÇÕES E OS GRÁFICOS DE ALGUMAS CURVAS NO PLANO REAL 5

• Parábola: orientada na direcção do eixo dos yy :

y − b = m (x− a)2

e orientada na direcção do eixo dos xx :

x− a = m (y − b)2 =⇒ y = b±r

x− a

m

Exemplo 1.2.3 : y = x2

x

y

o

o

o

o

o

o o

oo

o

o

o

oo

o o

o

o

o

oo

o

o

y=x2y>x2

o o o

oo oy<x2

Exemplo 1.2.4 : x = y2, ou equivalente y = ±√x

x

y

o

oo

o

o

o

o

oo

o

o

o

o

o

o

o

o

o o

oo

o

o

x=y2

o o o

oo o

x>y2

x<y2

• Hipérbole: orientada na direcção do eixo dos xx :

(x− a)2

p2− (y − b)2

q2= 1


e orientada na direcção do eixo dos yy :

(y − b)2

q2− (x− a)2

p2= 1

Exemplo 1.2.5 : Hipérbole equilateral: y =1

x

x

y

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

y=1/x

o o o

oo o

y<1/x

y>1/x

1.3 Exercícios Propostos

1. Representa graficamente os conjuntos e indique o interior, o exterior, a fronteira, o

fecho e o derivado. Diga se são abertos e (ou) fechados:

(a) A =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4

ª∪ {(6, 7)}

(b) B =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 1 ≥ 0 ∧ x− y + 1 > 0 ∧ x2 − y ≤ 0

ª(c) C =

©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4 ∧ y > 0

ª∪©(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 − 4 ∧ y < 0

ª(d) D =

©(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 ∧ y ≤ x+ 1

ª∪ {(−2, 1)}

2. Determine e represente graficamente o domínio de definição D de cada uma das

seguintes funções f : D ⊆ R2 → R:

(a) f (x, y) =p1− x2 − y2

(b) f (x, y) = log (x+ y)

1.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7

(c) f (x, y) = log (1− x+ y), com x, y ≥ 0

(d) f (x, y) =log (4− x− y)

4√xy − 3

(e) f (x, y) =1p

4− x2 − y2

(f) f (x, y) = 1 +q− (x− y)2

(g) f (x, y) =√x2 − 4 +

p4− y2

(h) f (x, y) =√1− x2 +

p1− y2

(i) f (x, y) =1

x2 + y2

(j) f (x, y) =1p

y −√x

(k) f (x, y) =x2y2q(x2 + y2)3

(l) f (x, y) = arcsiny

x

(m) f (x, y) = log¡1− x2

¢+ cos (xy)

(n) f (x, y) =

µx+ y

x2 − y

¶1/2(o) f (x, y) =

xy

|x|+ |y|

(p) f (x, y) =¡−x2 − y2 + 4

¢xy3. Determine o domínio de definição das seguintes funções:

(a) f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1

log (x+ y), (x, y) : x+ y > 0

√1− x− y , (x, y) : x+ y ≤ 0

(b) f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2x3 + 3y4

2x3 − y3, (x, y) 6= (0, 0)

1 , (x, y) = (0, 0)


(c) f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩log (3x+ y) , (x, y) : 3x+ y > 0

1

x+ y, (x, y) : 3x+ y ≤ 0

(d) f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩px2 + y2

3y2 − x, (x, y) : x 6= 3y

0 , (x, y) : x = 3y

(e) f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩log¡x2 + y2

¢2y − 1 , (x, y) : y 6= 1

1 , (x, y) : y = 1

(f) f (x, y) =

⎧⎪⎨⎪⎩xye

x−yx+y , (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

(g) f (x, y) =x2 sin2 y + y3 cos2 x

x4 + y4 + 2x2y2

(h) f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2y2

3x+ y, (x, y) : y 6= x

1 , (x, y) : y = x

(i) f (x, y) =

⎧⎪⎨⎪⎩xy

x2 − y2, (x, y) : x 6= ±y

0 , (x, y) : x = ±y

(j) f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x3 + 4y2

x2 − 5y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

4. Seja a função f (x, y) = log (xy − 1) +q9− (x− 1)2 − y2.

(a) Determine o seu domínio de definição e represente-o graficamente.

(b) Indique, justificando, se Df é um conjunto aberto e/ou fechado.

Capítulo 2

Limites e Continuidade

2.1 Tópicos de Teoria

• Definição: Seja f : Df ⊆ R2 −→ R uma função real de domínio Df e seja (a, b) um

ponto de acumulação de Df . Diz-se que l ∈ R é o limite de f (x, y) no ponto (a, b)

e escreve-se lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = l se e só se"∀δ > 0,∃ ε > 0 :

q(x− a)2 + (y − b)2 < ε ∧ (x, y) ∈ Df \ {(a, b)}

=⇒ |f (x, y)− l| < δ

#

A definição do limite traduz-se no essencial por: ”a proximidade de (x, y) de (a, b) deve

obrigar à proximidade de f (x, y) de l ”.

Geometricamente: O domínio Df é uma região do plano e um ponto (x, y) pode

aproximar-se do ponto (a, b) por uma infinidade da caminhos possíveis (rectas, parábolas,

etc.), como mostra a figura:

h

x

y

a

b

( x , y )( x , y )

( x , y )

( x , y )( x , y )

( x , y )

9

10 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE

A definição de limite de f (x, y) em (a, b) obriga a: para que exista lim(x,y)→(a,b) f (x, y)

é necessário (mas não é suficiente) que existam e tenham o mesmo valor os limites ao longo

de todos os caminhos possíveis (limites relativos).

• Limites relativos

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1. iterados (ou sucessivos)

2. direccionais

⎧⎨⎩a). direcção = recta

b). direcção = parábola

1. Limites iterados:

⎧⎨⎩l1 = limx→a (limy→b f (x, y))

l2 = limy→b (limx→a f (x, y))

2. Limites direccionais

(a) O caminho é uma recta não vertical de declive m que passa por ponto (a, b) e

a equação da família de rectas é dada por

y = b+m (x− a) , m ∈ R

Nesse caso o limite a calcular é

lr = lim(x,y)→(a,b)

f (x, y) = lim(x,y)→(a,b)y=b+m(x−a)

f (x, y) = limx→a

f (x, b+m (x− a))

(b) O caminho é uma parábola de eixo vertical que passa por ponto (a, b) e a

equação da família de parábolas é dada por

y = b+m (x− a)2 , m ∈ R

Nesse caso o limite a calcular é

lp = lim(x,y)→(a,b)

f (x, y) = lim(x,y)→(a,b)

y=b+m(x−a)2

f (x, y) = limx→a

f³x, b+m (x− a)2

´

• Algumas desigualdades a utilizar em problemas com a definição de limite de funções

de duas variáveis são:

2.1. TÓPICOS DE TEORIA 11

|x| ≤px2 + y2

|y| ≤px2 + y2

|x× y| = |x| × |y| ≤ 12

¡x2 + y2

¢|x± y| ≤ |x|+ |y| ≤ 2

px2 + y2¯

x3 − y3¯≤¡x2 + y2

¢3/2• Definição: Seja f : Df ⊆ Rn −→ Rm uma função definida pelas m funções co-

ordenadas y1 = f1 (x1, ..., xn) , ..., ym = fm (x1, ..., xn) , e seja A = (a1, ..., an) um

ponto de acumulação de Df . Diz-se que o limite de f no ponto A é o ponto

B = (b1, ..., bm) ∈ Rm e escreve-se limx→A

f (x) = B, se cada uma das funções co-

ordenadas fi tem limite no ponto A e esse limite é bi, isto é, limx→A

fi (x) = bi.

• Definição (Continuidade): Seja f : Df ⊆ R2 −→ R uma função real de duas

variáveis reais de domínio Df . A função f diz-se contínua num ponto (a, b) (que seja

ponto de acumulação do Df ) se as seguintes três condições são verificadas

— Existe f (a, b) ou seja (a, b) ∈ Df

— Existe lim(x,y)→(a,b) f (x, y)

— lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = f (a, b)

• Definição: Diz-se que uma função f : Df ⊆ R2 −→ R é prolongável por con-

tinuidade ao ponto (a, b) (ou que f tem em (a, b) uma descontinuidade removível)

se

— (a, b) /∈ Df

— Existe lim(x,y)→(a,b) f (x, y)

• Sendo f prolongável por continuidade ao ponto (a, b), a função f∗, prolongamento

de f por continuidade ao ponto (a, b), é definida como segue:

f∗ (x, y) =

⎧⎨⎩f (x, y) , se (x, y) ∈ Df

lim(x,y)→(a,b) f (x, y) , se (x, y) = (a, b)


• Definição: Uma função f : Df ⊆ R2 −→ R é descontínua no ponto (a, b) (ponto de

acumulação de Df ) se f não é contínua em (a, b), nem prolongável por continuidade

ao ponto (a, b) .

• Definição: Uma função f : Df ⊆ R2 −→ R diz-se contínua no seu domínio Df ⊆

R2, se fôr contínua em todos os pontos desse domínio.

2.2 Exercícios Propostos

1. Seja a função

f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩1

x+ 1, x ≤ 0

e−x , x > 0

Calcule, se existirem:

(a) limx→1 f (x) ; limx→−1 f (x) ; limx→0 f (x) ; limx→+∞ f (x) ; limx→−∞ f (x)

2. Seja a função: f (x, y) =x+ y

6x− y2. Calcule o seu limite no ponto (1, 2) .

3. Considere a seguinte função

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2y

y + x sinx, (x, y) : y 6= −x sinx

1 , (x, y) : y = −x sinxCalcule o seu limite na origem dos eixos.

4. Seja a função

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xyp

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

1 , (x, y) = (0, 0)

Estude o seu limite na origem dos eixos.

5. Provar pela definição que lim(x,y)→(0,0) f (x, y) 6= 0, para a função

f (x, y) =xyq

(x2 + y2)3


6. Dada a função

f (x, y) =

⎧⎪⎨⎪⎩xy

x2 − y2, (x, y) : x 6= ±y

1 , (x, y) : x = ±y

Verifique se a função tem limite em (0, 0) .

7. Calcule α ∈ R\ {0} , ∀ β de modo que a função

f (x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

sin (αx)

x, x < 0

α+ β , x = 0

eαx − cosxβx+ sinx

, x > 0

seja contínua em x = 0.

8. Verifique se a função

f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩(1 + sinx)

1x2 , x 6= 0

1 , x = 0

é contínua em R.

9. Dada a função

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x3 + 4y2

x2 − 5y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

Verifique se a função é contínua na origem dos eixos.

10. Faça o estudo da continuidade da função

f (x, y) =

⎧⎪⎨⎪⎩y − 2x+ 3

, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)


11. Dada a função f : R2 −→ R2

f :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Z1 =

x− 42y + 2

Z2 =y − 3x2 + 1

Estude-a quanto à continuidade no ponto (0, 0).

12. Considere a função

f (x, y) =xyp

x2 + y2

Diga, justificando, se é prolongável, por continuidade, no ponto (0, 0) .

13. Seja a função

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩3x2 + y2

x4 + y4, se x4 + y4 6= 0

0 , se x4 + y4 = 0

Estude a continuidade da função.

14. Dada a função

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x sin y + y sinx

2 (x+ y), (x, y) 6= (0, 0)

1 , (x, y) = (0, 0)

Estude-a quanto à continuidade na origem dos eixos.

15. Seja a função

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2y2

3x+ y, (x, y) : y 6= x

1 , (x, y) : y = x

Que pode concluir quanto à continuidade da função? Justifique.


16. Seja a função

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩3x3 + 2y3

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

Estude-a quanto à continuidade.

17. Estude a continuidade das seguintes funções:

(a) f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2y

x4 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

(b) f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xyp

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

1 , (x, y) = (0, 0)

(c) f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xy − 2y + 4

, (x, y) 6= (0, 0)

2 , (x, y) = (0, 0)

18. Dada a função f : R2 −→ R2

f :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Z1 =

x2y

x4 + y2

Z2 =2xy

x2 + y2

Estude-a quanto à continuidade na origem.


f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2y

y + x sinx, (x, y) : y 6= −x sinx

1 , (x, y) : y = −x sinx

Prove que a função não é contínua em (0, 0) . Justifique.


2.3 Exercícios de Revisão

1. Considere a função f : R2 −→ R2

f :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩Z1 =

xy sin y

x2 + 2

Z2 =x

x+ y

(a) Estude-a quanto ao limite na origem dos eixos.

(b) Estude-a quanto à continuidade na origem.


f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩px2 + y2 + 2xy

3y − x, (x, y) : x 6= 3y

1 , (x, y) : x = 3y

(a) Determine o seu domínio.

(b) Calcule o limite da função no ponto (3, 1) .

(c) Estude a continuidade da função nesse ponto.


f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩log¡x2 + y2

¢2y − 1 , (x, y) : y 6= 1

1 , (x, y) : y = 1

(a) Calcule o limite da função no ponto (0, 1) .

(b) Verifique se existe uma descontinuidade removível no ponto (0, 1) .

(c) Estude a função quanto à continuidade no seu domínio de definição. Justifique.

4. Para a função

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2y2

x2y2 + (x− y)2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 17


(b) Verifique se a função tem limite na origem dos eixos.

(c) Estude a continuidade da função. Justifique.

5. Seja a seguinte função

f (x, y) =5xy3q(x2 + y2)3


(b) Calcule o limite da função no ponto (0, 0) .

(c) Estude a continuidade da função.

(d) Diga se a função é prolongável, por continuidade, ao ponto (0, 0) . Justifique.


f (x, y) =y2 sin3 x+ x3 sin2 y

x4 + y4 + 2x2y2

(a) Determine o seu domínio. Justifique.

(b) Estude a topologia do domínio da função.

(c) Calcule o limite da função na origem dos eixos.

(d) Estude a função quanto à continuidade. Justifique.

(e) Diga se a função é prolongável, por continuidade. Justifique.

(f) Considere a nova função

g (x, y) =

⎧⎨⎩f (x, y) , (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

Verifique se a função g (x, y) é contínua na origem dos eixos. Justifique.

7. Resolva o exercício anterior para a seguinte função

f (x, y) =y2 cos3 x+ x3 sin2 y

x4 + y4 + 2x2y2


8. (Exame 2a Época - 11/09/96) Considere a função f : R2 −→ R, com n natural e p

real, definida por

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩xyn + py

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

(a) Indique o domínio da função, referindo se é um conjunto aberto e/ou fechado.

Justifique.

(b) Mostre que f (x, y) é contínua em (0, 0) se e só se n ≥ 2 e p = 0.

9. (Frequência - 11/06/97) Considere a função definida por:

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2y3 − x3

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

β , (x, y) = (0, 0)

(a) Calcule o domínio da função e verifique se é um conjunto aberto e/ou fechado.

(b) Existe algum valor de β para o qual a função f é contínua em todo o seu

domínio? Justifique.

10. (Exame 1a Época - 09/07/97) Considere a função f : R2 −→ R definida por

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2 + y2

log (x2 + y2),

(x, y) 6= (0, 0)e x2 + y2 < 1

0 , (x, y) = (0, 0)

(a) Calcule o domínio da função e represente-o graficamente. Verifique se o domínio

é um conjunto aberto e/ou fechado.

(b) Estude a continuidade da função na origem.

11. (Frequência - 15/06/98) Seja a função

f (x, y) =

⎧⎨⎩log¡y − x2

¢, se k(x, y)k ≥ 2p

1− x2 − y2 , se k(x, y)k < 2


em que k(x, y)k =px2 + y2. Represente graficamente o domínio da função e veri-

fique se o conjunto é aberto e/ou fechado.

12. (Frequência - 15/06/98) Considere a função

f (x, y) =x2

|x|+ |y|

(a) Mostre que f é contínua no seu domínio. Justifique.

(b) Verifique que a função tem limite na origem dos eixos.


Capítulo 3

Soluções dos Exercícios Propostos

3.1 Noções Topológicas e Domínios de Funções

1. Tem-se

(a)

IntA =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4

ª, FrontA =

©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4

ª∪{(6, 7)}

A0 =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4

ª, FechA =

©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4

ª∪{(6, 7)}

ExtA = R2\FechA e {(6, 7)} é um ponto isolado em A. A é um conjunto

fechado porque A = FechA.

2

2

-2

-2

6

7

0h

h(6,7)

A

x2 + y2 = 4

x

y

(b)

IntB =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1 ∧ y < x+ 1 ∧ y > x2

ª21

22 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FrontB =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 ∧ y ≤ x+ 1 ∧ y ≥ x2

ª∪

∪©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1 ∧ y = x+ 1 ∧ y ≥ x2

ª∪

∪©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1 ∧ y ≤ x+ 1 ∧ y = x2

ªFechB = B0 =

©(x, y) : x2 + y2 ≥ 1 ∧ y ≤ x+ 1 ∧ y ≥ x2

ªExtB = R2 \ FechB, IntB 6= B =⇒ B não é aberto e FechB 6= B =⇒ B não

é fechado.

(c)

IntC =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4 ∧ y > 0

ª∪©(x, y) ∈ R2 : y > x2 − 4 ∧ y < 0

ªFrontC =

©(x, y) : x2 + y2 = 4 ∧ y ≥ 0

ª∪©(x, y) : y = x2 − 4 ∧ y ≤ 0

ª∪

∪ {(x, y) : y = 0 ∧ − 2 ≤ x ≤ 2}

FechC = C0 =©(x, y) : x2 + y2 ≤ 4 ∧ y ≥ 0

ª∪©(x, y) : y ≥ x2 − 4 ∧ y ≤ 0

ªExtC = R2 \ FechC, IntC 6= C =⇒ C não é aberto. FechC 6= C =⇒ C não é

fechado.

2

-2 2

-4

x2+y2=4

y=x2 -4

(d)

IntD =©(x, y) ∈ R2 : y > x2 ∧ y < x+ 1

ª, ExtD = R2 \ FechD,

FrontD =©(x, y) : y = x2 ∧ y ≤ x+ 1

ª∪©(x, y) : y ≥ x2 ∧ y = x+ 1

ª∪{(−2, 1)}

FechD =©(x, y) : y ≥ x2 ∧ y ≤ x+ 1

ª∪{(−2, 1)} ,D0 =

©(x, y) : y ≥ x2 ∧ y ≤ x+ 1

ªIntD 6= D =⇒ D não é aberto. FechD = D =⇒ D é fechado

3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 23

2. Temos os seguintes domínios de definição

(a) Df =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1

ª

-1

-1

1

10

x

y

x2 + y2 = 1

(b) Df =©(x, y) ∈ R2 : y > −x

ª

0

x

y

y = - x

(c) Df =©(x, y) ∈ R2 : y > x− 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0

ª

0

x

y

y = x - 1


(d) Df =

½(x, y) ∈ R2 : y < −x+ 4 ∧ y > 3

x, x 6= 0

¾

(3,1)

y = 4 - x

y = 3 / x

0

(e) Df =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4

ª

-2

-2

2

20

x

y

x2 + y2 = 4

(f) Df =©(x, y) ∈ R2 : y = x

ª(g) Df = {(x, y) : (x ≤ −2 ∧ −2 ≤ y ≤ 2)} ∪ {(x, y) : (x ≥ 2 ∧−2 ≤ y ≤ 2)}

0-2

-2

2

2 x

y


(h) Df =©(x, y) ∈ R2 : (−1 ≤ x ≤ 1) ∧ (−1 ≤ y ≤ 1)

ª

0

x

y

-1

-1

1

1

(i) Df = R2 \ {(0, 0)}

(j) Df =©(x, y) ∈ R2 : y > √x ∧ x ≥ 0

ª

0 x

y

y = x

(k) Df = R2 \ {(0, 0)}

(l) Df =©(x, y) ∈ R2 : − |x| ≤ y ≤ |x|

ª\ {(0, 0)}

nx

y

y = - |x|

y = |x|

0


(m) Df =©(x, y) ∈ R2 : −1 < x < 1

ª

-1 10 x

y

(n) Df =©(x, y) ∈ R2 :

¡y ≥ −x ∧ y < x2

¢∨¡y ≤ −x ∧ y > x2

¢ª, o domínio está

representado pela região do plano não trasejada

y = x2

y = - x

0

x

y

(o) Df = R2 \ {(0, 0)}

(p) Df =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4

ª

-2

-2

2

20

x

y

x2 + y2 = 4


3. Temos os seguintes domínios de definição

(a) Df =©(x, y) ∈ R2 : y 6= 1− x

ª(b) Df =

©(x, y) ∈ R2 : y 6= 3

√2 xª∪ {(0, 0)}

(c) Df = R2 \ {(x, y) : y = −x ∧ x ≤ 0} ou Df =©(x, y) ∈ R2 : y 6= x

ª(d) Df =

©(x, y) ∈ R2 : x 6= 3y2

ª∪ {(0, 0) , (3, 1)}

(e) Df = R2 \µ½(x, y) : y =

1

2

¾∪ {(0, 0)}

¶ou Df =

½(x, y) : y 6= 1

2

¾\ {(0, 0)}

(f) Df =¡R2 \ {(x, y) : y = −x}

¢∪ {(0, 0)} ou Df = {(x, y) : y 6= −x} ∪ {(0, 0)}

(g) Df = R2 \ {(0, 0)} , IntDf = R2 \ {(0, 0)} , FrontDf = {(0, 0)} , FechDf =

D0f = R2. Df é um conjunto aberto porque Df = IntDf = R2 \ {(0, 0)} .

(h) Df =©(x, y) ∈ R2 : y 6= −3x

ª∪ {(0, 0)} , IntDf =

©(x, y) ∈ R2 : y 6= −3x

ª,

FrontDf =©(x, y) ∈ R2 : y = −3x

ª,D0

f = FechDf = R2,Df não é um con-

junto aberto porque Df 6= IntDf , não é fechado porque FechDf 6= Df .

(i) Df = R2, IntDf = R2, FrontDf = ∅,ExtDf = ∅ e FechDf = D0f = R2, Df

é um conjunto aberto porque IntDf = Df = R2. Df é um conjunto fechado

porque FechDf = Df = R2.

(j) Df =

((x, y) : y 6= ±

√5

5x

)∪{(0, 0)} , IntDf =

((x, y) : y 6= ±

√5

5x

), FrontDf =(

(x, y) : y = ±√5

5x

), ExtDf = ∅ e FechDf = D0

f = R2.

4. Tem-se


(a) Df =

½(x, y) ∈ R2 : y > 1

x∧ (x− 1)2 + y2 ≤ 9, x 6= 0

¾

h0 1 4

-3

y = 1 / x

( x-1 )2 + y2 = 9

x

y

3.2 Limites e Continuidade

1. (a) l = 1/e; Não existe limite; l = 1; l = 0; l = 0

2. l = 3/2

3. Não existe limite

4. l = 0

5.1p

x2 + y2< δ, logo a definição do limite não é verificada, portanto não existe o

limite.

6. Não existe limite em (0, 0)

7. A função é contínua se β = 0 e α ∈ R\ {0} .

8. A função é descontínua em x = 0

9. É descontínua em (0, 0) , não existe limite

10. A função é contínua em©(x, y) ∈ R2 : x 6= −3

ª\ {(0, 0)}

11. É contínua em (0, 0)


12. É prolongável por continuidade em ponto (0, 0) , bastaria, para ser contínua, que

f (0, 0) = 0.

13. É contínua em R2 \ {(0, 0)}

14. A função é descontínua na origem

15. A função é contínua para©(x, y) ∈ R2 : y 6= −3x ∧ y 6= x

ª∪ {(2, 2)}

16. É contínua em R2

17. Tem-se

(a) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)}

(b) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)}

(c) A função é contínua em©(x, y) ∈ R2 : y 6= −4

ª\ {(0, 0)}

18. A função é descontínua na origem

19. Não existe limite (|y + x sinx| ≤ |y|+ |x sinx| ≤ |y|+ |x| |x|).

3.3 Exercícios de Revisão

1. (a) Não existe limite em (0, 0) .

(b) A função não é contínua na origem.

2. Tem-se

(a) Df =©(x, y) ∈ R2 : x 6= 3y2

ª∪ {(0, 0) , (3, 1)}

(b) l =∞

(c) A função é descontínua em (3, 1)

3. Tem-se


(a) l = 0.

(b) Existe uma descontínuidade removível.

(c) A função é contínua em {(x, y) : y 6= 1/2 ∧ y 6= 1}∪©¡±√e− 1, 1

¢ª\{(0, 0)} .

4. Tem-se

(a) Df = R2

(b) Não existe limite na origem.

(c) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)} .

5. Tem-se

(a) Df = R2 \ {(0, 0)}

(b) l = 0.

(c) A função é contínua no seu domínio.

(d) A função é prolongável por continuidade a (0, 0), bastaria, para ser contínua,

que f (0, 0) = (0, 0) .

6. Tem-se

(a) Df = R2 \ {(0, 0)}

(b) IntDf = R2 \ {(0, 0)} , FrontDf = {(0, 0)} , ExtDf = ∅, D0f = FechDf = R2,

não existem pontos isolados. Df é um conjunto aberto, mas não é fechado.

(c) l = 0

(d) A função é contínua no seu domínio, ou seja R2 \ {(0, 0)}

(e) É prolongável por continuidade em (0, 0) .

(f) A função g é contínua em (0, 0), porque existe limite em (0, 0)

7. Tem-se


(a) Df = R2 \ {(0, 0)}

(b) IntDf = R2 \ {(0, 0)} , FrontDf = {(0, 0)} , ExtDf = ∅, D0f = FechDf = R2,

não existem pontos isolados. Df é um conjunto aberto, mas não é fechado.

(c) Não existe limite em (0, 0) .

(d) A função é contínua no seu domínio, ou seja R2 \ {(0, 0)} .

(e) Não é prolongável, porque não existe limite em (0, 0) .

(f) A função g é descontínua em (0, 0), porque não existe limite em (0, 0) .

8. Df = R2, o domínio é um conjunto aberto e fechado.

9. Tem-se

(a) Df = R2, o domínio é um conjunto aberto e fechado.

(b) Para β = 0 a função é contínua em (0, 0) , logo é contínua em todo o seu domínio

(R2).

10. Tem-se

(a) Df =©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1

ª, IntDf =

©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1

ª, FrontDf =©

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1ª, IntDf = Df =⇒ Df é um conjunto aberto. Df

não é fecahdo.

-1

-1

1

10

x

y

x2 + y2 = 1

(b) A função é contínua na origem.


11. Df =©(x, y) ∈ R2 : y > x2 ∧ x2 + y2 ≥ 4

ª∪©(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1

ª.O conjunto

Df não é aberto e não é fechado

x

y

0-1

-1

1

1

2

-2 2

-2

y = x2

x2 + y2 = 1

x2 + y2 = 4

12. Tem-se

(a) Df = R2 \ {(0, 0)} . A função é contínua em R2 \ {(0, 0)} e é prolongável por

continuidade ao (0, 0) .

(b) l = 0.

Documents

Caderno 1 : Domínios de De ﬁnição, Limites e …home.iscte-iul.pt/~deam/html/DomLimCont.pdf · 10 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE Adeﬁnição de limite de f(x,y) em (a,b)