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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA
MÁRCIA MARIA TEODORO
Obstáculos e Dificuldades Relacionados
à Aprendizagem de Números Inteiros
SÃO PAULO 2013
MÁRCIA MARIA TEODORO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Obstáculos e Dificuldades Relacionados
à Aprendizagem de Números Inteiros
Dissertação apresentada à banca
examinadora da Universidade
Bandeirante Anhanguera, como exigência
parcial para obtenção do título de mestre
em Educação Matemática sob a
orientação da Professora Doutora Rosana
Nogueira de Lima.
SÃO PAULO
2013
Teodoro, Márcia Maria
T289o Obstáculos e dificuldades relacionadas à aprendizagem de números inteiros. / Márcia Maria Teodoro. -- São Paulo: Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013.
xiii, 120 f.: il.; 30 cm.
Dissertação (MESTRADO) – Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013.
Orientadores: Profª. Drª. Rosana Nogueira de Lima
Referências bibliográficas: f. 119- 120.
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total
ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:__________________________________________________
Local e Data:________________________________________________
AGRADECIMENTOS
Inicialmente agradeço a Deus, por ter me amparado em todos os
momentos de minha vida, principalmente nos momentos que eu mais precisei
durante esta caminhada, apontando caminhos para que eu encontrasse ânimo
e perseverança para continuar.
Agradeço a toda minha família, pelo apoio e incentivo que sempre me
deram. Principalmente minha mãe Carmina e a minha irmã Neuza, cada uma
ao seu modo foram verdadeiros anjos de Deus, não me deixando desistir frente
às dificuldades enfrentadas. Ao meu irmão José Maria, o Juca, e sua família,
que sempre me hospedaram com carinho durante o período de aulas em São
Paulo. Aos meus filhos, Murilo e Mateus pela compreensão nos momentos de
ausência.
Agradeço a todos os professores do programa, que de alguma forma
colaboraram com o meu crescimento no curso. Principalmente às Professoras
Vera Helena Giusti de Souza e Verônica Yumi Kataoka, pelo incentivo e
atenção que sempre demonstraram a mim, à minha orientadora Professora
Rosana Nogueira de Lima, pela orientação segura, pelo apoio e contínuo
incentivo, pelo carinho e paciência com que me auxiliou na elaboração deste
trabalho, e, à Professora Iranete Maria da Silva Lima, membro da banca, pelas
contribuições dadas para o aprimoramento deste trabalho.
Agradeço aos meus colegas de curso, e aquelas pessoas não foram
apenas colegas, mas que se tornaram minhas amigas, como a Carol, a Renata
e a Patrícia.
Enfim, agradeço a todas as pessoas que torceram por mim e que
viveram comigo as angústias, conquistas e alegrias de participar de um curso
de mestrado.
Muito obrigada a todos!
Saber ensinar não é transferir conhecim ento,
M as criar possibilidades para a sua produção ou a sua construção.
Paulo F reire
RESUMO
Este trabalho consiste em um estudo acerca de dificuldades e obstáculos no ensino de Números Inteiros. A pesquisa caracteriza-se como Documental, e insere-se na linha de pesquisa de Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas Inovações. Como fundamentação teórica, baseia-se nas ideias de Bachelard e Brousseau sobre obstáculos epistemológicos. Observou-se, em pesquisas realizadas em Educação Matemática, dificuldades de aprendizagem e os obstáculos no ensino de números inteiros. Alguns documentos oficiais, o PCN e as DCE do Estado do Paraná, foram utilizados para verificar quais são as orientações dadas para este tema. Para a pesquisa, utilizou-se duas coleções de livros didáticos aprovados no último PNLD das últimas séries do Ensino Fundamental, para observar como autores abordam o conceito e as operações básicas com números inteiros, bem como, se as orientações dadas pelos documentos citados se fazem presentes nesses livros. Como principal resultado, observou-se a similaridade das dificuldades levantadas nas pesquisas; a preocupação de alguns autores com tratamento dado à abordagem do conceito, de operações com números inteiros, bem como, com a constante atualização de professores; verificou-se também que as orientações feitas pelo PCN estão presentes nos livros didáticos, porém, e também como previsto por este documento, nas abordagens utilizando modelos concretos para a as operações nos campos aditivo e multiplicativo observa-se algumas situações descontextualizadas, além e o predomínio da memorização das regras, principalmente no campo multiplicativo.
Palavras-chave: Números inteiros. Ensino e Aprendizagem. Dificuldades. Obstáculos.
ABSTRACT
This work is a study on the difficulties and obstacles in teaching of the relative numbers. The research is characterized as documentary, and is part of the research line Teaching and Learning of Mathematics and its Innovations. As a theoretical foundation, based on the ideas of Bachelard and Brousseau on epistemological obstacles. Observed in research in mathematics education, learning difficulties and obstacles in teaching of the relative numbers. Some official documents, the PCN and the DCE Paraná, were used to verify who the guidelines are given to this topic. For research, we used two collections of textbooks approved last PNLD the last grades of elementary school, to see how the authors address the concept and basic operations with integers and if the guidelines given by the cited documents are made present in these books. As a main result, we observed the similarity of the difficulties raised in the research, the concern of some authors with the treatment given to approach the concept of integer operations, as well as with the constant updating of teachers; it was also noted that the guidelines made by the NCP are present in textbooks, however, and as provided herein, the approaches using concrete models for operations in camps additive and multiplicative observe some situations decontextualized, and the predominance memorization of rules, especially in the field multiplicative.
Keywords: Relative numbers. Teaching and Learning. Difficulty. Epistemological Obstacle.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Numerais Egípcios Hieroglíficos....................................................... 28
Figura 2: Numeração Maia .............................................................................. 29
Figura 3: Construção do Número segundo a Numeração Maia ...................... 30
Figura 4: Números Romanos ......................................................................... 30
Figura 5: Obstáculos Epistemológicos verificados por Glaeser ...................... 40
Figura 6: Situação problema para a introdução dos números negativos ........ 77
Figura 7: Construção da reta numérica .......................................................... 79
Figura 8: Reta numérica ................................................................................. 80
Figura 9: Abordagem do módulo de um número inteiro .................................. 81
Figura 10: Comparação entre dois números inteiros ....................................... 82
Figura 11: Seção Explorando, adição de inteiros ............................................ 83
Figura 12: Adição de números inteiros positivos ............................................ 84
Figura 13: Adição de números inteiros negativos ............................................ 85
Figura 14: Notação simplificada da adição de números inteiros .................... 86
Figura 15: Subtração de números inteiros....................................................... 87
Figura 16: Adição algébrica ............................................................................. 88
Figura 17: Tabela de multiplicação de inteiros ............................................... 89
Figura 18: Expressões numéricas ................................................................... 90
Figura 19: Situação 1 envolvendo número negativo ....................................... 92
Figura 20: Situação 2 envolvendo número negativo ...................................... 93
Figura 21: Números opostos na reta numérica ............................................... 94
Figura 22: Abordagem da adição e subtração de inteiros ............................... 95
Figura 23: Adição de inteiros positivos ........................................................... 96
Figura 24: Adição de inteiros positivos e negativos ......................................... 96
Figura 25: Subtração de inteiros positivos ...................................................... 97
Figura 26: Subtração de um inteiro maior de outro menor ............................. 97
Figura 27: Subtração de inteiros negativos .................................................... 98
Figura 28: Sugestão de atividade, adição e subtração de inteiros ................. 99
Figura 29: Sugestão de atividade, adição e subtração de inteiros ............... 100
Figura 30: Sugestão de atividade, adição e subtração de inteiros ............... 101
Figura 31: Multiplicação de inteiros ............................................................. 102
Figura 32: Situação 1: Multiplicação de inteiros na reta numerada .............. 103
Figura 33: Situação 2: Multiplicação de inteiros na reta numerada ............ 103
Figura 34: Situação 2: Multiplicação de inteiros por meio da observação dos
resultados ....................................................................................................... 104
Figura 35: Divisão inteiros ............................................................................ 105
Figura 36: Tabela para multiplicação e divisão de inteiros ........................... 105
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Metodologias ................................................................................ 107
Quadro 2: Abordagem do Conteúdo ............................................................. 109
Quadro 3: Abordagem Geométrica ............................................................... 109
Quadro 4: Abordagem das operações de adição e subtração ...................... 110
Quadro 5: Abordagem das operações de multplicação e divisão .................. 111
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................. 15
CAPÍTULO 1
1 Referencial Teórico e Metodologia de pesquisa ....................................... 18
1.1 Obstáculos Epistemológicos ..................................................................... 18
1.2 Dificuldades ............................................................................................... 23
1.3 A Pesquisa Documental ............................................................................ 24
CAPÍTULO 2
2 A História dos números .............................................................................. 27
2.1 Os Sistemas de Numeração ....................................................................... 27
2.2 O Surgimento de novos números ............................................................... 32
CAPÍTULO 3
3 Revisão de Literatura ................................................................................. 38
3.1 O estudo de Georges Glaeser .................................................................... 39
3.2 A pesquisa de Eva Cid .............................................................................. 44
3.2 Dificuldades de aprendizagem de Números Inteiros observadas na literatura
em Educação Matemática ................................................................................ 52
CAPÍTULO 4
4 Documentos oficiais para Educação Básica e os livros didáticos de
Matemática ....................................................................................................... 64
4.1 Números inteiros e os PCN ..................................................................... 64
4.2 Números inteiros e as DCE ..................................................................... 71
4.3 Livros Didáticos e o Ensino dos Números Inteiros .................................. 74
4.3.1 Coleção: A Conquista da Matemática ..................................................... 76
4.3.2 Coleção: Aplicando a Matemática ........................................................... 91
4.4 Considerações do sobre o estudo dos Documentos e dos Livros Didáticos
de Matemática ............................................................................................... 108
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Retomando nossas questões de pesquisa ..................................................... 112
Sugestões para próximas pesquisas .............................................................. 117
REFERÊNCIAS .............................................................................................. 118
15
Introdução
Há alguns anos trabalhando como Professora de Matemática na rede
pública de ensino do Estado do Paraná, sempre senti1 algumas frustrações
relacionadas ao aprendizado de meus alunos. Revendo minhas anotações e
diários de classe, notei que uma das maiores dificuldades apresentadas por
eles na resolução de problemas aparecia nas operações com números inteiros.
Comecei, então, a buscar explicações para essas dificuldades, e percebi que
meus alunos, em situações fora do contexto de sala de aula e que envolviam
números positivos e negativos, as resolviam de maneira satisfatória, ao
contrário do que acontecia em sala de aula.
Isso me motivou a realizar um estudo para tentar encontrar justificativas
para tais dificuldades, e percebi que elas não se caracterizam como um
problema pontual, de um determinado professor, de uma determinada turma ou
de uma escola. Algumas pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem de
números inteiros evidenciam as dificuldades de alunos em entender e operar
com esses números; algumas delas propõem alternativas diferenciadas para o
ensino de números inteiros, e outras propõem reflexão sobre o ensino desses
números a partir de autores que discutem obstáculos epistemológicos.
Considerando os problemas encontrados na minha prática docente e
também as dificuldades apontadas em pesquisas em Educação Matemática,
estabelecemos como objetivo para nossa pesquisa “Levantar, em pesquisas
em Educação Matemática, dificuldades de aprendizagem e obstáculos para o
ensino dos números inteiros, bem como, buscar orientações para o ensino
desses números em documentos que regem a educação básica, verificando se
essas orientações se fazem presentes em livros didáticos, por serem estes
considerados como o principal material de apoio para o professor no trabalho
em sala de aula”.
Sendo assim, buscamos responder às seguintes questões:
1 Nesta introdução, será usada a primeira pessoa do singular quando nos referirmos à
experiência pessoal da mestranda.
16
1 - Quais obstáculos aparecem na literatura em Educação Matemática
sobre o ensino de números inteiros?
2 - Quais dificuldades aparecem na literatura em Educação Matemática
sobre a aprendizagem de números inteiros?
3 – Quais orientações são dadas pelos Parâmetros Curriculares
Nacionais e pelas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná para o ensino
de números inteiros?
4 – As orientações presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais e
nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná estão contempladas em livros
didáticos aprovados pelo PNLD?
A proposta de nossa pesquisa é tentar evidenciar a existência de
dificuldade de aprendizagem no ensino de números inteiros e obstáculos
didáticos que cercam este ensino. Dessa forma, talvez possamos colaborar
com o trabalho consciente de professores em suas escolhas didáticas, no
planejamento de suas ações como mediadores de conhecimentos,
favorecendo, assim, a aprendizagem de estudantes.
Para alcançarmos nossos objetivos, inicialmente, realizamos um breve
estudo histórico sobre o desenvolvimento de números inteiros. Em seguida,
buscamos, na literatura, pesquisas referentes ao estudo sobre o ensino e a
aprendizagem de números inteiros. Procuramos, em dois documentos oficiais,
os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) e as Diretrizes
Curriculares para o Ensino Fundamental do Estado do Paraná (PARANÁ,
2008), as orientações dadas por eles, para o ensino de números inteiros; e
observamos se essas orientações estão contempladas em dois livros didáticos
aprovados no último Programa Nacional do Livro Didático (PNLD/2010,
BRASIL, 2010).
Este trabalho está dividido em quatro Capítulos.
No Capítulo 1, dissertamos sobre os obstáculos epistemológicos,
descritos por Bachelard (1996), e inseridos da Educação Matemática por
17
Brousseau (2008); e descrevemos a Pesquisa Documental, a qual foi utilizada
em nossa pesquisa.
No Capítulo 2, apresentamos um breve estudo da História da
Matemática relacionada ao tema, desde o sistema de numeração indo-arábico -
que hoje utilizamos - observando como foi o surgimento dos números negativos
e que dificuldades as civilizações enfrentaram para representar e para efetuar
operações comerciais, que eram as práticas mais comuns entre eles.
No Capítulo 3, apresentamos nossas leituras de pesquisas que abordam
dificuldades na aprendizagem de números inteiros, tentando identificar, se
houver, possíveis obstáculos para o ensino desses números.
No Capítulo 4, trazemos sugestões, apresentadas nos PCN e nas DCE,
para o ensino dos números inteiros, e observamos se essas orientações se
fazem presentes em dois livros didáticos aprovados no PNLD/2010.
Apresentamos, então, nossas considerações sobre a pesquisa realizada,
tentando responder as questões apresentadas na introdução, e apresentamos
possíveis sugestões para novas pesquisas.
Como nossa pesquisa discorre sobre obstáculos de ensino e
dificuldades de aprendizagem, no Capítulo que segue, buscamos caracterizar
as noções de obstáculos e de dificuldade, e apresentar a metodologia utilizada
em nossa pesquisa.
18
Capítulo 1
Referencial Teórico e Metodologia de Pesquisa
Neste capítulo, abordamos a noção de obstáculo epistemológico, que foi
descrita inicialmente por Bachelard em 1938 e introduzida nas pesquisas em
Educação Matemática por Brousseau em 1976, tentando estabelecer diferença
entre obstáculos no ensino e dificuldades de aprendizagem. Também
descrevemos o que é uma pesquisa documental, segundo Gil (2002), a qual foi
utilizada em nossa pesquisa.
1.1 Obstáculos Epistemológicos
Gaston Bachelard (1884-1962), em seu livro A Formação do Espírito
Científico, analisou o espírito científico em comparação com as ciências como
estavam sendo desenvolvidas naquele momento, e colocou que o
desenvolvimento do pensamento científico acontece com a superação de
obstáculos.
O autor define:
Quando se procuram as condições psicológicas do progresso da ciência, logo se chega à convicção de que é em termos de obstáculos que o problema do conhecimento científico deve ser colocado. E não se trata de considerar obstáculos externos, como a complexidade e a fugacidade dos fenômenos, nem de incriminar a fragilidade dos sentidos e do espírito humano; é no âmago do próprio ato de conhecer que aparecem, por uma espécie de imperativo funcional, lentidões e conflitos. É aí que mostraremos causas de estagnação e até de regressão, detectaremos causas de inércia às quais daremos o nome de obstáculos epistemológicos. (BACHELARD, 1996, p.17)
Segundo o autor, obstáculo não é sinônimo de dificuldade, portanto
independe de situações externas. Além disso, um obstáculo surge
independente da ação do professor em sala, pois é parte constituinte do
conhecimento do aluno. Ainda assim, de acordo com Bachelard (1996) um
obstáculo epistemológico pode ser estudado no desenvolvimento histórico
19
desse conhecimento científico, e também na prática da educação, afirmando
que em ambos os casos, este estudo não é fácil.
Dessa forma, Bachelard (1996, p.19) afirma que “Um obstáculo
epistemológico incrusta-se no conhecimento não questionado”, novos
conhecimentos geram conflitos quando são colocados em funcionamento em
um contexto no qual os conhecimentos anteriores se constituíam de maneira
satisfatória. Por exemplo, na 6ª série, hoje 7º ano, o aluno se depara com uma
subtração que antes considerava impossível, e então questiona: “como subtrair
um número maior de um número menor?”, ou então: “como o produto de dois
fatores pode ser menor que um deles?”, entre outros questionamentos que
surgem no início do ensino de números inteiros.
De acordo com o autor, o primeiro obstáculo a ser superado é a opinião.
Embora para ele seja impossível partir do zero para fundamentar e ampliar o
conhecimento, pois é impossível anular os conhecimentos já existentes, não
podemos nos basear em opiniões. Ao contrário, é preciso destruir as opiniões
já estabelecidas.
Não se pode basear nada na opinião: antes de tudo é preciso destruí-la. Ela é o primeiro obstáculo a ser superado. Não basta, por exemplo, corrigi-la em determinados pontos, mantendo, como uma espécie de moral provisória (...) O espírito científico proíbe que tenhamos uma opinião sobre questões que não compreendemos, sobre questões que não sabemos formular com clareza. (BACHELARD, 1996, p. 18)
O autor afirma que é necessário saber formular problemas, e que estes
não se formulam por si só, caracterizando o verdadeiro espírito científico. “Para
o espírito científico, todo conhecimento é resposta a uma pergunta” (p. 18).
Além disso, segundo ele, se não há um questionamento, não haverá
conhecimento científico, bloqueando a atividade espiritual.
Brousseau (2008) introduziu o conceito de obstáculo em pesquisas em
Educação Matemática, propondo uma definição, que considerou mais
adequada aos obstáculos:
• Um obstáculo é um “conhecimento” no sentido que lhe demos de “forma regular de considerar um conjunto de situações”.
20
• Tal conhecimento dá resultados corretos ou vantagens observáveis em um determinado contexto, mas revela-se falso ou totalmente inadequado em um contexto novo ou mais amplo.
• O conhecimento novo, verdadeiro ou válido sobre um contexto mais amplo não é determinado “de acordo com” o conhecimento anterior, mas em oposição a ele: utiliza outros pontos de vista, outros métodos, etc. Entre eles não existem relações “lógicas” evidentes que permitam desacreditar facilmente o erro antigo por meio do conhecimento novo. Ao contrário, a competição entre eles acontece no primeiro contexto.
• Os conhecimentos aqui considerados não são construções pessoais variáveis, mas, sim, respostas “universais” em contextos precisos. Portanto, surgem quase necessariamente na origem de um saber, seja ela histórica ou didática. (BROUSSEAU, 2008, p. 49)
De acordo com o autor, um obstáculo surge a partir de um conhecimento
válido. Este conhecimento produz resultados satisfatórios, respostas corretas
quando aplicado em determinado domínio, porém, em outro domínio, ou ao
ampliar-se este domínio, os resultados tornam-se contraditórios, as respostas
tornam-se falsas ou insatisfatórias.
Partindo da própria definição, Brousseau (2008) observou algumas
características dos obstáculos. Por exemplo, a manifestação por meio de
“erros”, ou seja, da utilização do conhecimento fora do domínio de validade,
coerente, porém incorreta, do ponto de vista do novo conhecimento. De acordo
com o autor, um obstáculo não desaparece diante do conhecimento novo, ao
contrário, opõe resistência a ele, e também não se caracteriza como um
conhecimento falso e, por este motivo, não é possível ignorá-lo; um obstáculo
deve ser integrado à nova aprendizagem, caracterizando-o não como um erro
ou ignorância, mas sim como um conhecimento legítimo e inevitável,
constitutivo do saber adquirido. Dessa forma, obstáculo pode ser fruto da
interação do aluno com o meio em que vive ou, mais especificamente, das
situações em que o conhecimento é posto em prática.
Machado (2008) afirma que
Um obstáculo de origem epistemológica é verdadeiramente constitutivo do conhecimento, é aquele pelo qual não se pode escapar e que se pode, em princípio, encontrar na história do conceito. Pode-se utilizá-lo tanto para analisar a gênese histórica de um conhecimento como o ensino ou a evolução espontânea do aluno. (MACHADO, 2008, p.123)
21
Portanto, de acordo com Machado (2008), por meio de um obstáculo é
possível analisar a evolução de determinado conhecimento, seja na trajetória
acadêmica do aluno ou da turma na qual ele está inserido, ou no próprio
desenvolvimento histórico do conceito.
É possível que, ao abordarmos as formas de contagem no Ensino
Médio, aconteça o que tentamos caracterizar como um obstáculo
epistemológico. Mostramos ao aluno que há três formas de agrupamentos: a
permutação, o arranjo e a combinação. Sendo a permutação o sinônimo de
troca, os estudantes logo percebem que, nos problemas de contagem,
devemos associar a permutação ao ato de embaralhar, trocar de posição e
assim verificar por meio de cálculos quantos agrupamentos dessa natureza é
possível com determinado número de elementos. O cálculo de arranjos e
combinações é também assimilado como contagem de agrupamentos nos
quais, a partir de um conjunto inicial de “n” elementos, outros subconjuntos são
formados com “p” elementos e de maneira geral adotamos, por definição, que
n > p, sendo ambos números naturais. O obstáculo surge quando se faz
necessário diferenciar estes dois últimos agrupamentos, ou seja, classificá-los
como um arranjo ou uma combinação. Segue da definição que, no
agrupamento arranjo, é importante a ordem dos elementos, ou seja, que a cada
permutação destes elementos do subconjunto surge um novo arranjo e que,
em uma combinação, a ordem dos elementos não altera o grupo e vários
exemplos são apresentados para caracterizar cada um deles. Mas o conceito
que o aluno traz de arranjos e combinações é diferente do conceito que está
sendo transmitido a ele naquele momento, pois quando falamos em arranjos de
flores, por exemplo, não existe a necessidade de uma determinada ordem para
elas; e quando precisamos criar uma senha bancária ou pessoal, dizemos que
estamos fazendo uma combinação de números. Então vem a pergunta: Não
está tudo ao contrário? Logo, faz-se necessária a reorganização destes
conceitos trazidos pelos alunos de forma que se adaptem ao conceito dos
arranjos e das combinações na Matemática, ou seja, o conhecimento que o
aluno tinha desses conceitos fazia sentido para as situações diárias com as
22
quais convivia, porém agora deve ser reestruturado em seu novo conceito para
que passe a fazer parte da construção de um conhecimento.
Segundo Bachelard (1996), embora obstáculos epistemológicos ocorram
com frequência na Educação, esse conceito ainda não é compreendido por
professores; ele surpreende-se que os professores de ciências, mais que os
outros, não compreendam que alguém não compreenda. Essa falta de
compreensão é consequência de experiências empíricas anteriores.
Os professores de ciências imaginam que o espírito começa com uma aula, que é sempre possível reconstruir uma cultura falha pela repetição da lição, que se pode fazer entender uma demonstração repetindo-a ponto por ponto. Não levam em conta que o adolescente entra na aula de física com conhecimentos empíricos já constituídos: não se trata, portanto, de adquirir uma cultura experimental, mas sim de mudar de cultura experimental, de derrubar os obstáculos já sedimentados pela vida cotidiana. (BACHELARD, 1996, p. 23)
Ainda segundo Bachelard (1996), é necessário mostrar ao aluno que a
cultura científica se sobrepõe ao senso comum, substituindo o saber fechado e
estático por um conhecimento aberto e dinâmico.
Para Brousseau (1976), existem obstáculos didáticos no ensino, e estes
podem ter três tipos de origem, que são: origem ontogênica, origem didática e
origem propriamente epistemológica.
Os obstáculos origem ontogênica “são aqueles que ocorrem devido a
limitações (neurofisiológicas entre outras) do sujeito em um momento de seu
desenvolvimento” (BROUSSEAU, 1976, p. 108), ou seja, são obstáculos que
se manifestam em decorrência do desenvolvimento cognitivo do aluno.
Os obstáculos de origem didática “são aqueles que parecem depender
de uma escolha ou projeto do sistema de ensino” (BROUSSEAU, 1976, p.108),
e estão relacionados à concepção de ensino em que o professor organiza o
conhecimento a ser mediado em sequências de ensino, ou seja, depende das
escolhas didáticas feitas pelo professor.
Por fim, obstáculos de origem epistemológica “são aqueles dos quais
não podemos e nem devemos fugir em virtude de seu papel constitutivo no
conhecimento referido. Eles podem ser encontrados na história dos próprios
23
conceitos” (BROUSSEAU, 1976, p.108), que são os obstáculos aos quais
Bachellard (1996) se referia. De acordo com Brousseau (1976), esses
obstáculos poderiam também ser chamados de obstáculos históricos.
O exemplo das formas de agrupamento citado anteriormente pode ser
classificado como um obstáculo de origem epistemológica, pois se trata de um
conhecimento informal que o aluno possui e que entra em conflito a partir da
apropriação de novos conceitos, e muitas vezes os professores entendem este
conflito como uma dificuldade do aluno na assimilação dos conceitos.
É fato que este e vários outros obstáculos ocorrem em sala de aula, e,
às vezes, o professor não se dá conta dessa existência, fragilizando os
processos de ensino e de aprendizagem. Para que ocorra, então, a
aprendizagem, é preciso superar obstáculos, e cabe ao professor conduzir o
aluno para que ocorra essa superação.
1.2 Dificuldades
Em nossa Revisão de Literatura, apresentaremos diversos trabalhos que
tratam de dificuldades apresentadas por alunos ao estudarem números inteiros.
Em nosso trabalho, também pretendemos buscar essas dificuldades. Por isso,
entendemos que, assim como definimos obstáculos a partir das ideias de
Bachelard (1996) e Brousseau (1976), é importante que tenhamos em mente o
que significa “dificuldades” neste trabalho.
Entretanto, não encontramos, nos trabalhos de nossa Revisão, algum
que apresentasse uma definição para dificuldades de aprendizagem. Alguns
autores, como por exemplo Cid (2003) e Duroux (1982) falam da necessidade
de diferenciar obstáculo de dificuldade de aprendizagem. Ambos caracterizam
que obstáculo, tal como definido por Brousseau (1976), é um conhecimento
que é válido em determinado contexto, e que necessita ser adaptado quando
aplicado em contextos diferentes ou mais amplos, o que não é o caso de uma
dificuldade. A não apropriação de um conhecimento pode ser causada por
algum tipo de dificuldade, então, entendemos por dificuldade de aprendizagem
24
todo tipo de transtorno que ocorra neste processo, que atrapalhe ou impeça um
sujeito de adquirir um conhecimento.
A partir da definição de obstáculo de Brousseau (1976), e da forma
como entendemos a dificuldade de aprendizagem, buscamos verificar a
existência ou não desses dois fatores em pesquisas que abordam o ensino de
números inteiros; durante a história da Matemática, com o surgimento de
números inteiros; nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e nas
Diretrizes Curriculares do Ensino de Matemática (DCE).
Por se tratar de uma pesquisa baseada na história, em documentos
oficiais e na literatura, de acordo com a classificação de Gil (2002) nossa
pesquisa se caracteriza como uma pesquisa bibliográfica, a qual descrevemos
na próxima seção.
1.3 A Pesquisa Documental
De acordo com Gil (2002), a pesquisa documental é realizada a partir de
documentos, que podem ser impressos ou não. As fontes bibliográficas mais
utilizadas são livros, que estão divididos em livros de leitura corrente, como as
obras literárias e de divulgação, e livros de referência, como, por exemplo,
enciclopédias, anuários. Incluem-se nesta lista teses e dissertações, periódicos
científicos, anais de encontros científicos, entre outros.
Para uma pesquisa documental, Gil (2002) classifica as fontes como
documentos “de primeira mão” (fontes primárias), aqueles que não receberam
tratamento analítico, como, por exemplo, os documentos conservados em
arquivos de órgãos públicos e instituições privadas, as cartas pessoais, diários,
gravações, entre outros. Consideramos os PCN e as DCE também como fontes
primárias.
Gil (2002) atenta, no entanto, ao cuidado que o pesquisador deve ter ao
realizar esse tipo de pesquisa, pois algumas fontes secundárias podem
apresentar dados coletados ou processados de forma equivocada. Dessa
forma, é necessário que o pesquisador assegure-se das condições em que os
25
dados ou elementos de sua pesquisa foram obtidos. Segundo o autor, é
necessário que o pesquisador analise as informações obtidas, buscando
verificar se há incoerências ou contradições. Para isso, torna-se necessária a
utilização de fontes de pesquisa diversas, fazendo comparação entre elas.
Ainda de acordo com Gil (2002), a realização da pesquisa documental
inicia-se com a escolha do tema, que deve estar o mais relacionado possível
com os interesses do pesquisador. Após essa escolha, faz-se um levantamento
bibliográfico preliminar, este se constitui em um estudo exploratório com a
finalidade de proporcionar ao pesquisador a familiarização com o tema ou a
área do seu interesse de pesquisa. Esse levantamento depende, entre outros
fatores, da complexidade do tema escolhido, e também do nível de
conhecimento que o pesquisador dispõe sobre o assunto escolhido. É por meio
desse levantamento que o pesquisador delimita sua pesquisa e define o
problema a ser estudado, bem como, a partir dele, pode ocorrer mudanças nos
propósitos iniciais da pesquisa.
Nossa pesquisa caracteriza-se como documental, pois, para chegar ao
objetivo estabelecido, utilizamos diversas fontes bibliográficas, em cada
momento: Estudo da História da Matemática, de Pesquisas em Educação
Matemática, de Documentos Oficiais e de Livros Didáticos, como descrevemos
a seguir:
Breve estudo da História da Matemática: Elaborado para descrever
alguns dos sistemas de numeração utilizados pelas civilizações para
representar quantidades e conhecer como surgiram os números negativos.
Nesse estudo, utilizamos alguns livros da História da Matemática. Os critérios
de escolha desses livros foram aqueles que tivemos acesso em bibliotecas
públicas e acervos pessoais.
Pesquisas: Verificamos em sites de universidades pesquisas que
dissertavam sobre o ensino ou a aprendizagem de números inteiros,
levantando dificuldades e/ou obstáculos. Por meio de citações feitas em muitas
dessas pesquisas, encontramos referências a outros trabalhos que
consideramos importantes para o desenvolvimento de nosso trabalho, e que,
26
portanto, também foram acrescentados aos trabalhos estudados para o
desenvolvimento de nossa Revisão de Literatura.
Documentos Oficiais: buscamos as orientações para o ensino de
números inteiros nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) e nas
Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná. Os PCN
foram escolhidos por ser um importante documento em nível nacional, que visa
orientar o ensino de Matemática. As DCE foram selecionadas, pois sou
professora da rede pública do Estado do Paraná.
Análise de Livros Didáticos: Das dez coleções aprovadas pelo Programa
Nacional do Livro Didático de 2010 (PNLD 2010), tivemos acesso a nove
exemplares que compunham estas coleções. Após uma análise geral deles,
percebemos algumas características comuns entre as abordagens de números
inteiros apresentadas por esses livros, e estabelecemos dois grupos: um grupo
que valoriza mais características como interdisciplinaridade e contextualização;
e outro grupo de livros em que predomina o uso de técnicas de resolução e de
regras para o cálculo. Escolhemos, então, um exemplar de cada grupo, pela
ordem em que apareciam no manual do PNLD/2010, para observar se as
orientações verificadas nos PCN e nas DCE são contempladas pelos autores,
bem como, conhecer o tratamento dado ao ensino de números inteiros e quais
orientações estes autores fazem para guiar o trabalho do professor em sala de
aula.
Iniciamos, então, o próximo Capítulo, descrevendo brevemente o
surgimento de alguns dos sistemas de numeração, bem como, a necessidade
do surgimento dos números negativos, fato que causou grande embaraço aos
matemáticos que tentavam justificá-los.
27
Capítulo 2
A História dos Números
Neste capítulo, apresentamos a história do desenvolvimento dos
números inteiros a partir dos números naturais. Apresentamos algumas formas
de representação que antigas civilizações utilizavam para expressar números e
realizar as operações, observando o processo de desenvolvimento de alguns
dos sistemas de numeração, bem como, as facilidades e dificuldades que
foram enfrentadas a partir do uso deles nas representações e operações
comerciais, que eram as práticas mais comuns entre os povos.
Em seguida, apresentamos como aconteceu o surgimento de números
negativos. A resistência a eles ocorreu por conta da dificuldade de aceitação da
concepção da existência de números menores que “nada”, ou seja, menores
que o zero.
2.1 Os Sistemas de Numeração
Desde os povos primitivos, o homem tem recorrido à Matemática,
mesmo que de forma inconsciente, ele contava, media, juntava objetos em uma
época em que não se imaginava que seriam formados os conceitos ou
convenções sobre esses assuntos. Berlinghoff (2010, p. 6) afirma que “(...) toda
civilização que desenvolveu a escrita também mostra evidências de algum
nível de conhecimento matemático” e a necessidade de formalizar esses
conhecimentos, como por exemplo, escrever números de forma eficiente,
tornou-se preocupação de alguns matemáticos. Segundo Berlinghoff (2010), o
modo mais simples e mais primitivo de representar quantidades era fazendo
uma única marca para qualquer coisa a ser contada, como
I II III IIII IIIII
Mas isto logo se tornou um problema, pois, com um único símbolo,
seriam necessárias cadeias muito grandes desses símbolos para representar
os números maiores.
28
Vários sistemas de numeração foram criados antes do surgimento do
sistema de numeração que hoje utilizamos e alguns deles ainda são utilizados
atualmente, como por exemplo a Numeração Romana, a qual podemos
observar quando deseja-se indicar ordem cronológica em nomes ou títulos, na
designação de séculos, entre outros. Os Egípcios, nos séculos entre 3000 a.C.
a 1000 a.C., escolheram alguns símbolos para representar números; esses
símbolos eram hieroglíficos, que eram pequenos desenhos que representam
objetos, como apresentado na Figura 1.
Figura 1. Numerais egípcios hieroglíficos Fonte: (EVES, 2004), p. 31
O sistema babilônio surgiu no período entre 2000 e 200 a.C., e era
baseado em dois símbolos em forma de cunha. Esse sistema usava a posição
do símbolo para determinar o valor dele, e os grupos sucessivos eram
multiplicados por potências de 60, isto é, era um sistema sexagesimal.
Nele, os números de 1 a 59 eram representados por combinações dos
dois símbolos básicos de um e de dez, usados aditivamente. Para representar
os números de 60 a 3.599 utilizavam dois grupos de símbolos, o segundo
colocado à esquerda do primeiro e separado dele por um espaço. O valor do
número é encontrado somando-se os valores de cada grupo, multiplicando o
grupo da esquerda por 60 e depois somando isso ao valor do grupo da direita.
Por exemplo: ◄▼▼ ◄◄◄▼
29
(10 + 1 + 1) ∙ 60 + (10 + 10 + 10 + 1) = 12 ∙ 60 + 31 = 751
Números maiores ou iguais a 3600 (60²) eram escritos usando mais
combinações das duas formas básicas de cunha, colocadas mais à esquerda,
separadas por espaços, e o valor de cada grupo era multiplicado pela potência
apropriada de 60. A grande dificuldade desse sistema era a interpretação do
espaçamento entre os grupos.
Por volta de 300 a.C., na civilização Maia, existia um sistema de
numeração vigesimal, organizado por meio de símbolos figurativos, um ponto
“.” para o número 1 e uma barra “_” para o número 5.
A Figura 2 mostra a representação para cada número do 0 ao 19.
Figura 2. Numeração Maia Fonte: (EVES, 2004), p. 37
O ano Maia estava dividido em 18 meses com 20 dias cada, e os Maias
não trabalhavam com as posições 200, 20¹, 20²,... mas sim 200, 20¹, 20¹ ∙ 18
(360); 20² ∙ 18 (7200); 20³ ∙ 18 (144000); e assim por diante.
Para representar números grandes, esses grupos eram dispostos
verticalmente e eram calculados somando-se o valor por posição de cada
grupo. O grupo que ficava mais embaixo do símbolo representava as unidades;
o valor do segundo grupo era multiplicado por 20, o valor do terceiro por
18 ∙ 20, o do quarto por 18 ∙ 20², do quinto por 18 ∙ 20³ e assim por diante. A
dificuldade de espaçamento do sistema babilônico foi contornada utilizando um
símbolo que representava o zero ( ) ocupando os lugares vazios. O número
52.572 era escrito do seguinte modo:
30
Figura 3. Construção do número 52.572, segundo a Numeração Maia Fonte: (BERLINGHOFF, 2010) p. 68
Segundo Berlinghoff (2010), este sistema, apesar de ser considerado
melhor que o sistema babilônico, foi conhecido pelos europeus muitos séculos
depois, e não teve influência no desenvolvimento da numeração na cultura
ocidental, que remonta principalmente à Grécia e Roma antigas e, por esse
motivo, a numeração romana foi mais aceita no modo europeu de escrever
números.
Os símbolos básicos e os valores correspondentes do sistema de
numeração romano estão listados na Figura 4:
Figura 4. Numerais Romanos
Fonte: (BERLINGHOFF, 2010), p. 69.
Os valores desses símbolos básicos eram somados para determinar o
valor de todo o número, por exemplo:
CLXXII = 100 + 50 + 10 + 10 + 1 + 1 = 172.
Os números maiores eram escritos colocando-se uma barra sobre o
conjunto de símbolos para indicar a multiplicação por 1.000. Assim:
31
VIICLXV = 7.165, ou seja: (7.000 + 100 + 50 + 10 + 5).
Para maior eficiência do sistema, um artifício subtrativo foi introduzido
mais tarde: se um número básico tinha valor menor que o imediatamente à sua
direita, então o valor menor era subtraído do maior para resultar o valor do par
e só podiam ser emparelhados com os dois valores maiores seguintes. Dessa
maneira:
I só podia ser emparelhado com V e X
X só podia ser emparelhado com L e C
C só podia ser emparelhado com D e M
Apesar da aparente solução do problema para representação dos
números, este sistema ainda não era considerado satisfatório, pois realizar
operações utilizando esses símbolos tornava-se quase impossível,
necessitando de atenção, tempo e empenho por parte de quem se dispunha a
realizá-las.
Seguindo outro caminho, a partir do terceiro século a.C., os hindus
basearam-se na numeração falada, tentando estabelecer uma relação com a
representação escrita, adotando um nome próprio, além de um sinal
característico a cada número. Estes sinais, mais tarde, foram chamados de
algarismos, mas nada semelhante aos que usamos hoje. A inconveniência
desse método de escrita dos números decorre da impossibilidade de atribuir-se
um símbolo específico a todos os números, desde as unidades até os milhões.
Devemos aos hindus alguns importantes conhecimentos para a nossa
ciência e o mais importantes deles foi a utilização do zero ou, de modo geral, a
introdução da notação numérica posicional. Utilizando uma espécie de ábaco,
que era uma tábua coberta de areia, na qual eram desenhadas colunas
representando valores posicionais, os hindus desenvolveram um sistema que
facilitaria a escrita dos números. Para representar o número vinte, por exemplo,
bastava colocar duas pedras na coluna das dezenas. O símbolo 0 (zero)
impôs-se pela necessidade de representar a ausência em uma coluna quando,
por exemplo, queriam representar o número 101. A princípio, os hindus
decidiram representar essa ausência por um ponto, uma cruz ou um pequeno
32
anel. A grande vantagem desse sistema de numeração utilizando os símbolos,
que chamamos hoje de algarismos, foi justamente que não seria mais
necessário inventar símbolos novos para a infinidade dos números. Bastavam
os nove algarismos 1 ... 9 e mais o zero. Além disso, essa numeração escrita
adaptou-se facilmente à numeração falada. “A numeração escrita perfeita
estava criada” (KARLSON, 1961, p.21).
Por ser também utilizado pelos árabes, este sistema de numeração é
chamado de indo-arábico e é utilizado até hoje por sua eficiência e praticidade,
podendo ser realizada qualquer operação com a facilidade que outros sistemas
não ofereciam. Uma grande vantagem do sistema de numeração indo-arábico
é o fato de se poder calcular diretamente com os números como são escritos.
Além disso, embora ainda utilizemos os numerais romanos para representar
datas ou ordenar documentos, tornou-se hábito a utilização do sistema indo-
arábico, que resulta de uma estrutura posicional, que tem base em potências
de dez e por isso o chamamos de sistema decimal a valor por posição.
2.2 O surgimento de novos n úúúúmeros
A ideia de número negativo levou muito tempo para ser aceita.
Durante muito tempo, a humanidade viveu na impossibilidade de conceber os números “negativos” (− 1, −2, −3, −4 etc.) dos quais nos servimos correntemente hoje em dia para exprimir, por exemplo, uma temperatura abaixo de zero, ou então um saldo devedor numa conta bancária. (IFRAH, 1998, p. 337)
De acordo com Ifrah (1998), durante muito tempo, foi considerada
impossível uma subtração como 3 – 5. Com a descoberta do zero, eliminou-se
essa dificuldade, permitindo que a extensão dos números naturais até os
relativos acontecesse, identificando-os como “simétricos” dos números naturais
em relação ao zero: “Invenção difícil e genial, foi o zero que abriu caminho para
o desenvolvimento da álgebra moderna e de todos os ramos da matemática a
partir do Renascimento europeu” (IFRAH, 1998. p. 337). Porém, muitos
33
obstáculos ainda deveriam ser superados para que os números negativos
fossem considerados como um conjunto numérico.
Os gregos, por exemplo, apesar da profundidade de seus estudos em
Matemática e Filosofia, ignoravam completamente os números negativos. Para
a maioria deles, os números representavam segmentos de reta, áreas, volumes
e, dessa forma, não poderiam imaginar e nem expressar medidas utilizando
números negativos. Mesmo Diofanto de Alexandria (250-334 a.C.), que
escreveu um livro sobre a resolução de equações, não considerava nada além
dos números positivos, como no Problema 2 do seu livro V de Arithmetica, no
qual considerou a equação a que chamou de absurda. Tratava-se de
4x + 20 = 4. Para ele, 4x + 20 significava adicionar algo a 20 e, portanto,
impossível obter 4 como resposta.
Um matemático indiano, Rajasthan Bhinmal (Brahmagupta, 589-668) no
século VII reconheceu e trabalhou até certo ponto com quantidades negativas.
Brahmagupta considerava os números positivos como posses e os números
negativos como dívidas, enunciando regras para somar, subtrair, multiplicar e
dividir números negativos. Essas regras foram estudadas e explicadas por
outros matemáticos posteriores a ele, porém as quantidades negativas foram
consideradas como “suspeitas”, mesmo entre eles, durante muito tempo. A
aritmética sistematizada dos números negativos e do zero encontra-se pela
primeira vez em uma das obras de Brahmagupta. Mas, embora os gregos
tivessem um conceito do nada, eles nunca o interpretaram como um número,
como fizeram os hindus.
Ainda no século IX, os matemáticos árabes não usavam números
negativos. Os problemas que hoje resolvemos com equações algébricas eram
resolvidos por meio de palavras, geralmente com interpretação geométrica e
todos os dados eram interpretados como sendo medidas de segmentos de reta
ou de áreas. Esses matemáticos reconheciam que uma equação quadrática
poderia ter duas raízes, mas somente quando se tratava de duas raízes
positivas. Tanto para os árabes como para Diofanto de Alexandria (250-334
a.C.) era fácil obter um produto da forma (x + a)(x – b), pois eles sabiam aplicar
34
as "regras" em que um número negativo multiplicado por outro número
negativo resulta em um número positivo e que um negativo multiplicado por um
positivo resulta em um negativo, mas aplicavam isso somente em problemas
cujas respostas seriam positivas. Dessa forma, as regras de sinais eram
conhecidas, mas não entendidas como regras para operar com os números
negativos.
No século XVI, matemáticos como Girolamo Cardano (1501-1576) na
Itália, François Viète (1540-1603) na França e Michael Stifel (1487-1567) na
Alemanha rejeitavam os números negativos. Quando os números negativos
apareciam como soluções de equações, eles as chamavam de “soluções
fictícias” ou “raízes falsas”. Em 1629, na França, Albert Girard (1590-1633)
enunciou as relações entre raízes e coeficientes, pois admitiu raízes negativas
e imaginárias, ao passo que Viète reconhecia apenas as raízes positivas. De
algum modo, Girard percebia que as raízes negativas são orientadas em
sentido oposto ao dos números positivos, antecipando, assim, a ideia de reta
numérica. “O negativo em Geometria indica um retrocesso”, ele disse, “ao
passo que o positivo é um avanço” (BOYER, 1974, p. 224).
Apesar desses obstáculos para a afirmação dos números inteiros como
um conjunto numérico, aos chineses a ideia de número negativo parece não ter
causado muitas dificuldades, pois estavam acostumados a calcular com duas
coleções de barras – uma vermelha para os coeficientes positivos e uma preta
para os negativos, porém também não aceitavam que um número negativo
fosse solução de uma equação. Segundo os chineses, os números podiam ser
entendidos como excessos ou faltas.
Mas a utilidade dos números negativos tornou-se óbvia demais para ser
ignorada, e alguns matemáticos passaram a usar esses números no trabalho
deles, ainda que o mau entendimento e a descrença em relação a esses
números persistissem. Com a sofisticação e a algoritmização dos métodos de
resolução de equações, mais uma confusão veio somar-se às anteriores. A
resolução da equação quadrática x² + 2 = 2x apresenta as soluções 1 + √−1 e
1− √−1, sendo que as regras exigiam que quadrados de números negativos
35
fossem números positivos; como, então, explicar que o quadrado de um
número negativo fosse também negativo? Por este motivo, no início do século
XVII, René Descartes (1596-1650) chamou as raízes negativas de “falsas” e as
raízes quadradas negativas de “imaginárias”. Isaac Newton (1643-1727) disse,
em seu livro-texto de Álgebra de 1707, Universal Arithmetick: “As quantidades
são ou afirmativas, ou maior do que nada, ou negativas, ou menor do que
nada” (BERLINGHOFF, 2010, p.98). Essa definição foi realmente levada a
sério, pela credibilidade conferida a Isaac Newton. Mas persistia ainda a
questão: como qualquer quantidade poderia ser menor do que nada?
A despeito de tudo isso, em meados do século XVIII, os números
negativos foram se tornando aceitáveis como números. Nesse mesmo período,
em Londres, um mecânico soprador de vidros, Gabriel Daniel Fahrenheit
(1686-1736) criou o primeiro termômetro e a escala termométrica criada por ele
marcava apenas valores maiores que o zero, graus de calor como diziam, até a
máxima temperatura então registrada. Porém, os invernos rigorosos fizeram
com que Fahrenheit e seus contemporâneos se obrigassem a admitir a
continuação dessas temperaturas. Embora consideradas de maneira arbitrária,
essas novas temperaturas foram introduzidas, aplicando o mesmo método de
sucessão dos números, como na escala termométrica já conhecida e aceita.
Uma escala numérica, uma infinita reta de números na qual, a partir do zero
marcavam, à direita, os números com os quais estavam acostumados e, à
esquerda, os números que mais tarde seriam conhecidos como “números
negativos”. Assim, a escala ampliada registrava “graus de frio” em oposição
aos “graus de calor” (KARLSON, 1961).
Hoje, o conjunto dos números inteiros é representado pela letra ℤ, que
vem do alemão Zahlen, que significa números ou algarismos.
O surgimento de números negativos causou bastante desconforto aos
matemáticos, desde Diofanto até o final do século XVII, nas obras de René
Descartes e Isaac Newton. Estes e também outros matemáticos resolviam
equações com agilidade e precisão, mas, ao se depararem com resultados
com números negativos, chamavam-nos de falsos ou absurdos. Mesmo depois
36
de serem obrigados a reconhecer a existência e a importância desses
números, ainda olhavam com desconfiança para tais resultados pela
necessidade que tinham de formalizá-los. A dificuldade não estava nas
operações com os números negativos, mas na concepção deles. Na China e
mais tarde na Índia, estes números surgiram de maneira informal, por questões
práticas, vistos intuitivamente como “diferenças” ou “dívidas”. Talvez por isso
não tenham sido tão facilmente aceitos por matemáticos que exigiam rigor e
clareza nos conceitos.
Podemos sugerir que essa resistência aos números negativos se
caracterizou em um obstáculo ao entendimento deles, que só foi superado à
medida que foi sendo enfrentado, tornando-se possível a formalização e a
representação dos números inteiros como ampliação do conjunto dos números
naturais.
Neste Capítulo, pudemos observar alguns obstáculos que foram
enfrentados para representação de quantidades negativas, para operar com
símbolos adotados para esta representação, e também para a aceitação da
existência de números negativos.
O primeiro obstáculo a ser superado, que observamos na história, foi a
forma com que povos primitivos utilizavam para representar quantidades, pois
utilizavam apenas um símbolo, agrupando-o em cadeias de acordo com a
quantia a ser representada. Este método era eficaz para pequenas
quantidades, porém, seria inviável a aplicação deste método diante da
necessidade de escrever números maiores.
Dessa forma, as civilizações adotaram símbolos ou letras para
representar números, superando o obstáculo da representação de quantidades.
A ineficiência, então, seria a realização de operações com eles, que
demandavam tempo, atenção e empenho. A superação desse obstáculo deu-
se quando os hindus adotaram um sistema utilizando valores posicionais, com
símbolos, que hoje chamamos de algarismos, e entre eles o zero para
representar a ausência desses valores.
37
Outro obstáculo que podemos levantar neste breve estudo foi a
realização de operações como, por exemplo, 3 – 5. Percebemos que a
superação dele ocorreu por meio da criação do zero. A partir desse número, foi
possível compreender a existência da continuidade da reta numérica no sentido
oposto ao dos números naturais, sendo assim possível aceitar a existência de
valores negativos. Isso aconteceu diante da necessidade do registro de
créditos e de dívidas, pois, para a maioria dos matemáticos, os números
representavam segmentos de retas, áreas, etc. e, dessa forma, seria
impossível conceber a ideia de valores negativos, ou realizar operações com
tais números. Alguns matemáticos preocupavam-se com a elaboração do
enunciado de problemas, para evitar que a resposta das equações com as
quais se resolvia o problema fosse um número negativo. Quando isso
acontecia, não conseguiam explicar a existência dessa solução considerando-
as falsas ou fictícias.
Verificamos, então, que tanto na criação dos números como no
surgimento necessário de números negativos muitos obstáculos precisaram ser
superados.
No capítulo seguinte, trazemos um estudo histórico feito por Georges
Glaeser, no qual o autor relata alguns obstáculos no desenvolvimento de
números inteiros, bem como, se eles foram ou não sendo superados no
decorrer dos anos. Apresentamos a pesquisa de Cid (2003), que faz um
levantamento pesquisas e artigos sobre o ensino de números inteiros,
classificando-os e questionando alguns dos obstáculos epistemológicos
apontados por Glaeser (2010).
Procuramos também levantar, em relatos de pesquisas relacionadas ao
ensino de números inteiros, obstáculos como os que foram apontados por
Glaeser (2010), ou dificuldades de aprendizagem que fundamentaram as
pesquisas desenvolvidas.
38
Capítulo 3
Revisão de Literatura
Muitos estudos apontam dificuldades na aprendizagem de números
inteiros. Neste capítulo, descrevemos algumas pesquisas que dissertam sobre
essas dificuldades, e que propõem a utilização de diferentes métodos de
ensino e em diferentes níveis de aprendizagem. Nosso objetivo, neste capítulo,
é tentar identificar, entre essas dificuldades possíveis obstáculos didáticos para
o ensino dos números inteiros.
Iniciamos o Capítulo apresentando o estudo realizado por Glaeser
(1981), publicado sob o título Epistemologia dos Números Relativos, em 1981,
na revista Recherches en Didactique des Mathématiques. Esse texto foi
publicado no Brasil em 1985, pela primeira vez, em uma edição do Boletim
Gepem, e, embora passados quase trinta anos, uma reedição do texto foi
realizada em 2010, no Boletim Gepem nº 57, devido à importância desse artigo
na área da Educação Matemática.
A essa reedição no Gepem de 2010 tivemos acesso e, após a leitura,
consideramos que o texto poderia ser considerado atual, devido à clareza das
ideias apresentadas e também pelo apontamento da existência de equívocos
que às vezes não são facilmente percebidos no ensino de números inteiros.
Após este estudo, apresentamos o trabalho de Cid (2003), que faz
algumas críticas a ele. Trazemos também, o levantamento de algumas
pesquisas realizadas em torno do ensino de Números Inteiros, para verificar
quais foram os obstáculos ou as dificuldades apontadas por elas.
39
3.1 O estudo de Georges Glaeser
Glaeser (2010) fez um levantamento histórico de obstáculos enfrentados
por grandes matemáticos na busca de uma definição eficiente de número
negativo, bem como, para dar significado às regras de sinais adotadas nas
operações. O autor verificou que grandes sábios da antiguidade apresentavam
incompreensão de números inteiros negativos, com maior ou menor
desconforto ao assumirem tal incompreensão. Como exemplo, cita Leonard
Euler (1707-1783), que escreveu uma obra destinada a principiantes, tentando
justificar a regra dos sinais, ao referir-se à multiplicação de dois números
negativos.
- É claro, diz Euler, que o valor absoluto é ab. Trata-se, portanto de decidir entre +ab e −ab. Como –a × b já vale −ab, a única possibilidade restante é de que (–a) × (−b) = +ab. (!!!) (GLAESER, 2010, p.79)
O autor aponta seis obstáculos epistemológicos que descreve ao longo
de sua obra, identificando quais matemáticos conseguiram ou não transpô-los.
1. Inaptidão para manipular quantidades isoladas 2. Dificuldade em dar um sentido a quantidades negativas isoladas. 3. Dificuldade em unificar a reta numérica. Isto se manifesta, por
exemplo, quando se insiste nas diferenças qualitativas entre as quantidades negativas e os números positivos; ou quando se descreve a reta como uma justaposição de duas semi-retas opostas com sinais heterogêneos; ou quando não se consideram simultaneamente as características dinâmicas e estáticas dos números.
4. A ambiguidade dos dois zeros (v.fls.36) 5. Estagnação no estágio das operações concretas (em confronto
com o estágio das operações formais). É a dificuldade de afastar-se de um sentido “concreto” atribuído aos seres numéricos.
6. Desejo de um modelo unificador. (GLAESER, 2010, p.69)
Para apresentar a superação ou não desses obstáculos pelos autores
citados em seu texto, Glaeser (2010) elaborou um quadro esquemático,
apresentado na Figura 5.
40
Figura 5: Obstáculos epistemológicos verificados por Glaeser. Fonte: (GLAESER, 2010) p. 70.
Os sinais de + e − de indicam, respectivamente, se o autor citado
conseguiu ou não transpor a barreira do obstáculo; os pontos de interrogação
designam os casos em que o pesquisador não conseguiu identificar, pelos
textos analisados, se houve ou não essa superação. Ele não seguiu uma
sequência cronológica para essa verificação, e ateve-se aos obstáculos e às
dificuldades enfrentados para a superação deles.
Por exemplo, para justificar a não superação do primeiro obstáculo,
Inaptidão para manipular quantidades isoladas, Glaeser (2010) cita Diofantes
de Alexandria (final do século III d.C.) que, no livro I da obra “Aritmética”, ao
tentar explicar o produto de dois números negativos, apenas descreve: “O que
está em falta multiplicado pelo que está em falta dá o que é positivo; enquanto
o que está em falta multiplicado pelo que é positivo, dá o que está em falta”
(Diofantes, apud Glaeser, 2010, p. 73). Glaeser (2010) explica que, em suas
obras, Diofantes não utiliza números negativos isolados e a regra
(−) ×(−) = (+) é verificada apenas como um procedimento de cálculo. Esse
obstáculo foi sendo superado pelos matemáticos que, a partir de então,
puseram-se a calcular e a demonstrar este produto algébrica e
geometricamente.
Glaeser (2010) usa a expressão “prática clandestina do cálculo com
números relativos” (p.74) para descrever o segundo obstáculo: a Dificuldade
em dar um sentido a quantidades negativas isoladas, e afirma que, mesmo
sem compreender ou aceitar os números negativos, esses números eram muito
41
utilizados em várias operações. Em suas obras, alguns matemáticos definiam
números naturais, fracionários, irracionais, porém não faziam qualquer menção
aos negativos de forma isolada, ainda que estes fossem amplamente utilizados
ao longo de suas obras, como artifícios para o cálculo. Somente a partir do
século XVII é que números negativos apareceram de forma natural, adquirindo,
então, status de número, ainda que com definições pouco satisfatórias.
No texto de MacLaurin, em seu “Tratado de Álgebra”, publicado em
1748, dois anos depois da morte dele, Glaeser (2010) identifica o terceiro
obstáculo que é a Dificuldade em unificar a reta numérica.
Chamam-se quantidades positivas, ou afirmativas, as que são precedidas do sinal +, e negativas, as que são precedidas do sinal −. Para se ter uma idéia clara e exata desses dois tipos de quantidades, deve-se notar que toda quantidade pode entrar num cálculo algébrico, acrescentada, ou subtraída, ou seja, como aumento, ou como diminuição; ora, a oposição que se observa entre o aumento e diminuição ocorre na comparação das quantidades. Por exemplo: entre o valor devido a um homem, e o do dinheiro que ele deve; entre uma linha traçada à direita, e uma linha traçada à esquerda; entre a elevação sobre o horizonte e o posicionamento abaixo dele. Assim, a quantidade negativa, longe de ser rigorosamente menor que nada, não é menos real na sua espécie do que a positiva, mas é tomada num sentido oposto; segue-se daí que uma quantidade considerada isoladamente não poderia ser negativa, pois ela só o será por comparação; e que quanto a quantidade que chamamos positiva não tem outra que lhe seja oposta, não se poderia subtrair dela outra maior. Por exemplo: seria absurdo querer subtrair uma quantidade maior de matéria, de outra menor. (MACLAURIN, apud GLAESER, 2010, p.77)
Ainda nas últimas linhas da citação de MacLaurin, Glaeser (2010)
identifica o quarto obstáculo: a Ambiguidade dos dois zeros, na qual o autor
reconhece implicitamente que, sendo absurdo operar tendo por definição o
zero absoluto, isso se torna possível considerando-se o zero como o ponto de
origem. De acordo com o autor, muitos dos matemáticos que, embora
soubessem operar com números inteiros, não compreendiam o conceito e
sabiam da complexidade de uma explicação satisfatória para justificar os
procedimentos de cálculo com os números negativos utilizavam o que Glaeser
(2010) chama de sintomas de evitação, e preferiam criar exemplos em que não
fosse necessária a utilização deles.
42
A superação desses obstáculos favoreceu a compreensão das regras de
sinais para as operações de adição e de subtração envolvendo números
negativos, porém, uma justificativa aceitável para a multiplicação de números
relativos isolados ainda não havia sido descoberta, levando-nos ao quinto
obstáculo apontado por Glaeser (2010): a Estagnação nos estágios das
operações concretas, no qual a dificuldade em afastar-se de modelos
concretos, para justificar a regra de sinais, ainda persistia. Para demonstrar a
força desse embaraço que ainda percorria nas mentes dos mais célebres
matemáticos, Glaeser (2010) cita um trecho que Laplace (1749-1827) proferiu
em uma Escola Superior, dizendo:
(A regra dos sinais) apresenta algumas dificuldades: custa conceber que o produto de −a por −b seja o mesmo que o de a por b. Para tornar sensível essa idéia observaremos que o produto de −a por +b é −ab (porque o produto nada mais é que −a repetido tantas vezes quantas são as unidades existentes em b). Observaremos, a seguir, que o produto de −a por (b − b) é nulo, pois o multiplicador é nulo; assim já que o produto de −a por +b é −ab, o produto de −a por −b deve ser de sinal contrário, ou igual a +ab para destruí-lo. (LAPLACE, apud GLAESER, 2010, p. 91, grifos do autor)
O autor destaca, nesse texto, a formalidade inconsistente com que
Laplace ainda tratava os números relativos, embora reconhecesse a existência
desse novo sistema numérico. Da mesma forma que vários outros matemáticos
partilhavam desse pensamento um tanto vago, e justificavam dizendo que
números negativos eram coisas, e, portanto, não possuíam uma existência
real. Assim, as demonstrações de regras atribuídas a eles não passavam de
ilusão.
Até que Augustin Cauchy (1789-1857), em seu curso destinado à Escola
Politécnica, fez a distinção entre números como a representação de medidas e
grandezas e quantidades positivas ou negativas, consideradas como
crescimento ou diminuição de outra quantidade da mesma espécie, utilizando
para indicar esse crescimento ou diminuição, respectivamente, os sinais de +
ou de −. Dessa forma, números precedidos do sinal de + indicavam as
quantidades positivas, e números que eram precedidos do sinal de −
indicavam as quantidades negativas. Cauchy recorria à metáfora positivo igual
43
a aumento e negativo igual à diminuição para justificar as propriedades
aditivas; porém, ao abordar a multiplicação, ele a apresentava de modo formal,
operando com símbolos e expondo regras a que estes símbolos eram
submetidos, abandonando de vez a necessidade de se atribuir significados à
ação da multiplicação para justificar os procedimentos. Apesar disso, uma
confusão começaria, a partir de então, entre os sinais (+ ou −) que
designavam uma ação, os operatórios e os predicativos, que designavam um
estado (positivo ou negativo) e mesmo Cauchy não conseguiu explicar com
clareza a distinção entre esses dois sentidos.
De acordo com Glaeser (2010) foi Hermann Hankel (1839-1873), na
obra “Teoria dos sistemas dos números complexos” (1867), que superou todos
os obstáculos epistemológicos referentes aos números relativos levantados
pelo autor. Ao assumir que os números negativos não são extraídos da
natureza, que não são descobertos, mas sim inventados ou imaginados,
Hankel (1867) abandonou a necessidade de um modelo unificador para as
estruturas aditivas e multiplicativas dos números inteiros, transpondo, dessa
forma, todos os obstáculos que foram levantados por Glaeser (2010).
Glaeser (2010) concluiu seu estudo afirmando que a aprendizagem de
números inteiros baseada em “bons modelos”, ou seja, em modelos concretos,
pode ser satisfatória para o campo aditivo, porém pode causar danos para o
campo multiplicativo, constituindo-se em obstáculos didáticos para o ensino
dele. Afirma também que só a prática em sala de aula, com a experiência de
diferentes métodos de ensino, dirá se os obstáculos históricos levantados por
ele ainda têm consequências na aprendizagem de alunos.
No trabalho que descrevemos a seguir, Cid (2003) confronta os
obstáculos epistemológicos levantados por Glaeser (2010) para o ensino dos
números inteiros com as definições de Bachelard (1996) e de Brousseau
(2008), para discuti-las. Além disso, apresenta pesquisas relacionadas aos
números negativos, e as agrupa em três categorias: propostas de ensino;
dificuldades de aprendizagem pelos alunos; e implicações didáticas da
epistemologia dos números negativos. Por fim, mostra diferentes tipos de
44
introdução para o ensino de números inteiros, fazendo considerações mais
específicas ao modelo concreto.
3.2 A pesquisa de Eva Cid
Em seu artigo “La investigación didáctica sobre los números negativos:
estado de la cuestión” para o Seminário Matemático “Garcia de Aldeano”, da
Universidade de Zaragoza, Cid (2003) faz um levantamento de
aproximadamente 200 trabalhos relacionados a números negativos, entre
artigos e capítulos de livros posteriores a 1950, e classifica-os em três
categorias: as pesquisas que apresentam propostas de ensino; as que
dissertam sobre as dificuldades de aprendizagem dos alunos; e as que trazem
implicações didáticas da epistemologia de números negativos. Afirma que,
mesmo que estas áreas não sejam independentes umas das outras e que
algumas pesquisas façam relação entre a proposta de ensino e as dificuldades
de aprendizagem, ou, a epistemologia dos números negativos e os erros
cometidos pelos alunos, na maioria das vezes, o foco é apenas uma delas,
sem fazer menção às demais.
Tratando especificamente das propostas de ensino, que é a categoria
com maior número de publicações, Cid (2003) traz uma classificação de
diferentes propostas de introdução da estrutura multiplicativa de inteiros, feita
por Bruckheimer (1981), sendo:
- Introdução indutiva: que se caracteriza pela observação e pela
generalização de regularidades em sequências apresentadas.
- Introdução dedutiva: a qual consiste em adicionar aos naturais os seus
respectivos simétricos em relação à soma, definindo as operações desse novo
conjunto numérico de maneira que se conserve a estrutura algébrica dos
números naturais.
- Introdução Construtiva: que se baseia na simetrização do conjunto dos
números naturais para a soma, construção de inteiros como o conjunto de
pares ordenados em relação à equivalência: (a, b) equivale a (a’, b’) se e
45
somente se a + b’ = b + a’. Posteriormente se define adição, multiplicação e a
ordem seguindo a estrutura do anel totalmente ordenado.
- Introdução por meio de Modelos Concretos: que apresenta números
inteiros com base em sua similaridade com outros sistemas e objetos que são
familiares aos alunos.
Cid (2003) afirma que a introdução construtiva é a mais comum nos
livros e que a mesma teve seu auge nos anos 60/70, com o Movimento da
Matemática Moderna. Já a introdução dedutiva ainda hoje é utilizada em
diferentes níveis de ensino.
A autora afirma, ainda, que são muitos os modelos concretos para o
ensino dos números inteiros, sendo necessário recorrer a algum tipo de
classificação, e escolhe a de Janvier (1983, apud CID, 2003) que distingue três
tipos de modelo: o do equilíbrio, o da reta numérica e o híbrido. Porém, Cid
(2003) faz uma modificação nessa classificação, não levando em conta o
modelo híbrido por considerar que pode ser incluído nos outros dois modelos;
prefere chamar de modelo de “neutralização” o modelo do equilíbrio, por
entender que assim define melhor a ideia de que existem opostos que se
neutralizam; e utiliza o termo “deslocamento” para o modelo “reta numérica” de
Janvier (1983, apud CID, 2003), por considerar que a reta numérica é um caso
particular do deslocamento.
Cid (2003) justifica que a distinção entre os modelos de neutralização e
de deslocamento acontece pela diferença dos sinais de “mais” e de “menos”.
No primeiro caso, os sinais predicativos se referem a medidas de grandeza que
se neutralizam entre si; enquanto os sinais operatórios se identificam com as
operações de adição e de subtração, como por exemplo, quadradinhos verdes
e laranjas utilizados por Bordin (2011) para representar quantidades positivas e
negativas, respectivamente. Já o segundo requer a introdução de uma
avaliação moral, afirmando que o sentido positivo é “melhor” que o negativo.
A autora elenca vários modelos de neutralização e de deslocamento
encontrados na história e seus respectivos autores. Afirma que, entre os
modelos de neutralização, os mais utilizados em livros didáticos atuais são os
46
modelos que abordam perdas ou ganhos, pontuação positiva ou negativa,
entrar ou sair de um recinto, e que, entre os modelos de deslocamento, estão o
do termômetro, o modelo de progressos e retrocessos ao longo de um
caminho, o de altitudes acima ou abaixo do nível do mar, elevadores ou
escadas que se deslocam para cima ou para baixo e os anos antes e depois de
Cristo.
Cid (2003) traz algumas características gerais das pesquisas que
abordam os modelos concretos para a introdução do ensino de números
negativos. A primeira delas, segundo a autora, é que depois de descrever
brevemente alguns dos problemas observados no ensino de forma “tradicional”,
as pesquisas apresentam um novo modelo concreto de ensino, ou então uma
nova versão de algum modelo já apresentado por outra pesquisa; e alguns
artigos fazem críticas a um modelo específico para justificar a variação do
modelo que apresenta. Ela também adverte que algumas propostas são
incompletas, pois ou contemplam só a estrutura aditiva dos números inteiros,
em sua maioria, ou contemplam apenas a estrutura multiplicativa, justificando
que os alunos já dominam a estrutura aditiva em ℤ. Além disso, a maioria das
pesquisas trata como óbvia a estrutura ordinal em ℤ. Os poucos trabalhos que
se referem a ela tratam muito superficialmente dessa questão.
Outro aspecto considerado por Cid (2003) refere-se aos livros que
apresentam uma sucessão de modelos que consideram adequados, de acordo
com a operação a ser trabalhada. Por exemplo, utilizam modelos de
neutralização para a estrutura aditiva e de deslocamento para a estrutura
multiplicativa. Ela destaca que poucos autores falam da necessidade de
contextualizar a noção de número inteiro que foi introduzida inicialmente e cita,
como exemplo, um aluno que “aprendeu” a adição e a subtração de inteiros
pela habilidade de manusear cartões de cores diferentes que se neutralizam
entre si, mas não compreende uma situação na qual há a necessidade de
utilização desses números.
Cid (2003) ainda coloca que em quase nenhuma das pesquisas que ela
analisou para este estudo se discute sequer se números negativos devem ser
47
apresentados a partir de naturais. Apenas Freudenthal (1983, apud CID, 2003)
discute a possibilidade de se introduzir o ensino de números inteiros a partir da
geometria analítica, justificando que a vantagem dessa introdução é não limitar-
se aos inteiros negativos. Outra exceção é Bruno e Martinón (1997, apud CID,
2003), que discutem sobre a apresentação dos números negativos em simetria
aos positivos, alegando não ver vantagem nesse método por ser necessário
maior tempo para isso, e também não evita as dificuldades de aprendizagem.
Por fim, as pesquisas de Davidson (1987, apud CID, 2003) e Azy (1989, apud
CID, 2003) discutem a possibilidade de introdução dos números negativos para
alunos de idade menor que a habitual (12 anos).
Cid (2003) destaca que observou dois tipos de críticas quanto aos
modelos concretos para introdução de números inteiros. Existem os que creem
que a introdução dos números inteiros não deve ser feita por meio de modelos
concretos, e os que fazem críticas a determinados modelos sem discutir a
necessidade de usá-los. Um dos modelos mais criticados é o da reta numérica,
apesar de ser um dos mais utilizados para este ensino, ou talvez por conta
disso. Existem críticas também ao modelo que utiliza fichas coloridas, alegando
que podem surgir dificuldades na interpretação da subtração de inteiros, entre
outras.
Entre os autores que fazem críticas quanto a utilização de modelos
concretos citados pela autora, destacamos Freudenthal (1973, apud CID, 2003)
que afirma que este tipo de introdução não deve prolongar-se, pois, a intuição
pode tornar-se um obstáculo para o aluno, sendo assim necessário substituir o
método intuitivo por um método indutivo, que antecede o método dedutivo. Da
mesma forma que Klein (1927, apud CID, 2003) afirma que o número negativo
é a primeira noção matemática do ensino fundamental cuja gênese histórica
não se deu pela necessidade de se modelar o mundo físico ou social e que os
números negativos na escola são o primeiro passo para a “matemática formal”
e, portanto, o tratamento didático que se deve dar a eles deve ser
consequência dessas ideias.
48
A autora também discute a pertinência do uso de modelos concretos na
introdução de números negativos por duas razões.
A primeira é que no ensino de matemática o processo de modelagem matemática é inverso: enquanto na ciência é usual que o objeto de estudo seja um determinado sistema ou fenômeno do mundo modelado por um sistema matemático, no campo da educação o objeto de estudo é um conceito aritmético modelado por um sistema físico ou social com que os alunos devem estar familiarizados.
A segunda razão é que a aritmética elementar não precisa de números negativos, porque todos os problemas que surgem nesta área podem ser resolvidos perfeitamente em termos de números positivos, sem o uso de números negativos ou técnicas de resolução mais elaborada. (CID, 2003, p.12, tradução nossa)
Nesse sentido, Cid (2003) cita Carraher (1990, apud CID, 2003) que
realizou um questionário distribuído a pessoas de várias idades sobre
problemas de débitos e créditos em diferentes contextos, e observou que as
taxas de acerto não foram maiores para aqueles que já conheciam números
negativos, e, inclusive estes, não utilizavam negativos para a resolução. Eles
resolviam as atividades no campo dos números positivos, e qualificavam por
escrito que representavam dívidas. Também Mukhopadhyaye et al. (1990,
apud CID, 2003) comprovam que os alunos se desenvolvem melhor em um
contexto de dívidas e créditos do que em situações de cálculo formal, o que
leva a crer que eles resolvem tais problemas utilizando números naturais.
De acordo com a autora, em menor número estão as pesquisas que
dissertam sobre a competência dos alunos para operar números negativos, e
estas trazem constatações de erros e de dificuldades de todos os tipos, tanto
para estruturas aditivas e multiplicativas como a ordinal, porém, mesmo sendo
em menor número, não é fácil relacionar as conclusões dos autores pela
diversidade de opiniões desde a construção até a análise das respostas.
Cid (2003) relata algumas pesquisas que tratam de competências de
alunos para a realização de operações formais. Nestas pesquisas há
evidências de melhores resultados nas questões envolvendo adição, seguidos
das questões de multiplicação, e a subtração de inteiros é a operação que
apresenta o menor índice de acertos, sobretudo quando o minuendo é
49
negativo. Por exemplo: “(−8) − (−3)” ou “(−5) – (+ 2)”. Outros ainda encontram
indícios de que os alunos resolvem com menos dificuldade as operações de
números inteiros que têm mesmo sinal.
Outras pesquisas relatam diferentes procedimentos de alunos para
resolver problemas envolvendo números inteiros. De acordo com estes
procedimentos, os autores agrupam resultados observados de acordo com o
“perfil”, o “conhecimento” e a “concepção” dos alunos, como tentativa de dar
uma visão coerente desses procedimentos e de analisar as causas deles,
estabelecendo níveis de conhecimento, considerando as dimensões “reta
numérica” e “grandeza”, justificando que, ao resolver um problema, o aluno
recorre a um desses dois tipos de raciocínio.
A terceira categoria de trabalhos levantada por Cid (2003) sobre a
epistemologia dos números inteiros aborda a noção de obstáculo
epistemológico que foi inicialmente definida por Bachelard em 1938, no campo
das ciências, e posteriormente introduzida por Brousseau na Educação
Matemática em 1976.
Cid (2003) baseia-se na Teoria das Situações Didáticas (BROUSSEAU,
1989, apud CID, 2003), segundo a qual o aluno adquire o conhecimento
quando é capaz de estabelecer estratégias de resolução para resolver uma
situação que exija este conhecimento. Dessa forma, este conhecimento é o
resultado da adaptação do indivíduo ao meio no qual está inserido. A autora
afirma que, em consequência disso, o conhecimento matemático do aluno
dependerá da experiência adquirida resolvendo situações em que uma
determinada noção esteja envolvida.
A partir de determinado conceito adquirido, o aluno é capaz de resolver
situações dentro de um domínio que envolva este conceito, ou o entorno dele.
O obstáculo surge quando o aluno, de posse desse conhecimento, tenta aplicá-
lo em um outro subconjunto de situações, para as quais este conhecimento já
não é satisfatório, dificultando a resolução.
50
De acordo com Cid (2003), quando o obstáculo pode ser observado na
história da Matemática ou em uma comunidade matemática de um determinado
período, que teve a consciência da existência dele e da necessidade de
superá-lo, chamamos de “obstáculo epistemológico”. A autora cita Duroux
(1982, apud CID, 2003), que descreve obstáculo epistemológico seguindo uma
lista de condições necessárias para considerá-lo.
a) Um obstáculo é um conhecimento, uma concepção. Não uma dificuldade nem uma falta de conhecimento.
b) Este conhecimento produz respostas adaptadas a certo contexto, frequentemente reencontrado.
c) Porém gera respostas falsas fora deste contexto; uma resposta correta e universal exige um ponto de vista notadamente diferente.
d) Além disso, este conhecimento resiste a contradições com as quais se depara e ao estabelecimento de um conhecimento melhor. Não é o suficiente possuir um conhecimento melhor para que o precedente desapareça, mas é indispensável identificá-lo e incorporar sua rejeição no novo saber.
e) Depois de se tornar consciente de sua imprecisão, o obstáculo continua manifestando-se de forma inesperada e obstinada, provocando erros. (DUROUX, 1982, apud CID, 2003, pp. 19, 20, tradução nossa)
Dessa forma, não se trata apenas de uma concepção no campo teórico
da Educação Matemática. A determinação de que erros distintos constituem ou
não um obstáculo tem implicações importantes na prática docente. Se a
concepção não é um obstáculo, cabe ao professor buscar situações de ensino
que favoreçam o seu desenvolvimento e, se for um obstáculo, é necessário
“atacar” esta concepção até que o aluno a rejeite, e isso exige não apenas
adaptações nas variáveis didáticas. Se a concepção analisada for evidenciada
em um obstáculo, é necessário que aconteçam mudanças didáticas radicais
nessa variável didática, e isso implica uma modificação qualitativa dos
conhecimentos necessários para adaptar-se à nova situação.
Cid (2003) menciona alguns autores que, segundo ela, não aceitam ou
dão um sentido diferente à noção de obstáculo proposta por Brousseau (1989,
apud CID, 2003), e que fazem contribuições para o problema metodológico de
como decidir se uma concepção é ou não um obstáculo. Entre eles, Glaeser
(2010), que se propõe a buscar obstáculos que se opõem ao ensino e à
aprendizagem de números negativos. A partir do trabalho de Glaeser (2010),
51
outros autores discutem obstáculos epistemológicos e números negativos, por
exemplo, Duroux (1982, apud CID, 2003) enfatiza a definição de Brousseau
(1989, apud CID, 2003) de que um obstáculo é um conhecimento e não a falta
dele. Por este motivo, Duroux (1982, apud CID, 2003) não considera como
obstáculo os dois primeiros descritos por Glaeser (1981) – inaptidão para
manipular quantidades negativas isoladas e dificuldade para dar sentido às
quantidades negativas isoladas – por considerar que, nesses casos, há déficit
de conhecimento. Já unificar a reta numérica é considerado por ele como um
obstáculo por considerar que a natureza dos números negativos é diferente da
natureza dos números positivos.
Cid (2003) ainda cita Brousseau (1989, apud CID, 2003) que, assim
como Duroux (1981, apud CID, 2003), argumenta insistindo que se deve
distinguir entre um obstáculo e uma dificuldade, e sugere que o que Glaeser
(1981) propõe são dificuldades que podem servir como ponto de partida para a
busca dos verdadeiros obstáculos, que devem ser expressos em termos de
conhecimento válido em certo domínio.
A autora destaca a pesquisa de Schubring (1986, apud CID, 2003) que,
diferentemente dos autores citados anteriormente, considera que os obstáculos
relacionados aos números negativos podem ser agrupados em três categorias.
1ª – obstáculos internos à Matemática, como, por exemplo, a dificuldade
de distinguir entre número, grandeza e quantidade.
2ª – obstáculos epistemológicos, que se referem às concepções de
existência da própria Matemática como substancialista, segundo a qual os
conceitos se justificam pela redução de alguns fatos para a condição de
existência semelhante ao mundo físico; ou sistêmica, justificada pela coerência
do campo conceitual em que os conceitos não devem satisfazer a mais de uma
condição interna da Matemática.
3ª – arquitetura da Matemática, que leva em conta a importância que
cada época deu aos diferentes ramos da Matemática, especialmente à Álgebra
e à Geometria.
52
Cid (2003) afirma que as pesquisas que se dedicam ao estudo dos
obstáculos epistemológicos têm tido pouco impacto nas pesquisas que tratam
de propostas de ensino e de dificuldades de alunos no ensino de números
inteiros, e que não há pesquisas que se proponham a confirmar a existência de
obstáculos epistemológicos com alunos de hoje em dia. Existem apenas
pesquisas que fazem um estudo epistemológico sobre os números negativos,
ou de acordo com os objetivos, relaciona os resultados com outros obtidos em
estudos anteriores.
As pesquisas de Glaeser (2010) e de Cid (2003) foram essenciais para a
nossa compreensão de dificuldades e de obstáculos no ensino de números
inteiros. Glaeser (2010) elenca dificuldades que ele considera serem
obstáculos epistemológicos. Cid (2003), porém, faz críticas a essa lista de
obstáculos, e compartilha da afirmação de Duroux (1982, apud CID, 2003), de
que, para ser considerado como um obstáculo epistemológico, tal como
definem Bachelard (1938) e Brousseau (1976), este deve ter algumas
características, sendo a principal delas a de que um obstáculo não é falta de
conhecimento do aluno, e sim um conhecimento que produz um resultado
satisfatório em determinado domínio, porém em domínios diferentes ele não
produz o resultado esperado, exigindo do aluno uma nova visão do assunto e,
mesmo quando enfrentado, este continua se manifestando, levando o aluno a
erros. Dessa forma, segundo Duroux (1982, apud CID, 2003) e Cid (2003)
alguns dos obstáculos apontados por Glaeser (2010) não deveriam ser
considerados como tal.
3.3 Dificuldades de aprendizagem de Números Inteiros observadas na
literatura em Educação Matemática
Buscando também dificuldades de aprendizagem relacionadas aos
números inteiros, encontramos a pesquisa de Gonçalves (2007), que propõe a
aplicação de problemas envolvendo números inteiros com o auxílio de um
software matemático com várias ferramentas, buscando “investigar como
alunos fazem a conversão do enunciado do problema no registro da língua
53
natural para o registro simbólico numérico” (GONÇALVES, 2007, s/p), para
tentar compreender o raciocínio e a compreensão ou não de alunos diante de
uma situação, pois verificou na própria prática que os alunos dela
apresentavam dificuldade para entender e para resolver problemas e
expressões numéricas envolvendo números inteiros. Segundo ela, essas
dificuldades iniciam-se no 7º ano do Ensino Fundamental (alunos com 12 anos,
em média), com a introdução do conteúdo, mas arrastam-se pelos anos
seguintes, e, se não forem superadas, provocam lacunas no aprendizado.
Por meio dos resultados observados, a pesquisadora afirma que a
motivação e o interesse dos alunos em resolver atividades em um ambiente
computacional é maior, o qual pode envolver, motivar e instigar alunos no
processo de aprendizagem de números inteiros.
A pesquisadora afirma que:
Hoje em dia, percebemos que nossos educandos esperam um envolvimento maior de nós educadores, esperam uma docência dinâmica para tornar o próprio estudo mais prazeroso e envolvente. (GONÇALVES, 2007, p. 16)
Diante dessa afirmação pudemos concluir que a autora acredita que a
desmotivação do aluno para o aprendizado pode ser um fator importante no
processo de aprendizagem, gerando dificuldades. Gonçalves (2007) afirma,
ainda, ser de grande importância à orientação pedagógica oferecida aos
professores, que precisa estar voltada a um ensino que ofereça subsídios para
a aprendizagem do conceito a ser abordado.
Bordin (2011) também aponta a desmotivação dos alunos para
apropriar-se de conhecimentos como geradora de dificuldade para a
aprendizagem. Segundo a pesquisadora, muitos alunos não se sentem
motivados para o aprendizado e ficam simplesmente esperando que o
professor lhes transmita o conhecimento.
Após desenvolver o conteúdo de números inteiros com duas turmas do
7º ano do ensino fundamental, das quais era professora, de forma tradicional
(explicação no quadro e aplicação de exercícios), a pesquisadora observou que
vários alunos não estavam acompanhando o desenvolvimento do conteúdo, o
54
que provocou a busca de uma nova estratégia de ensino. Dessa forma, Bordin
(2011) fez uma pesquisa com as duas turmas, utilizando jogos e materiais
manipuláveis (quadradinhos verdes para representar números positivos e
quadradinhos laranjas para negativos; e jogos adaptados por ela, a partir de
outros já existentes) para a abordagem do conteúdo e introdução das
operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação de
números inteiros.
Nas aulas em que não era possível a aplicação de jogos, por conta do
tempo reduzido, a autora trabalhava com atividades propostas no livro didático,
utilizando materiais manipuláveis, com os quais os alunos trabalhavam em
duplas ou trios, buscando proporcionar a interação entre eles durante a
discussão dos procedimentos utilizados e dos resultados obtidos. A
pesquisadora considerou importante utilizar exemplos baseados na realidade
dos alunos, ou seja, em situações comuns ao dia a dia deles, fazendo relação
entre conhecimentos prévios já adquiridos em experiências fora do contexto de
sala de aula e a nova aprendizagem.
Bordin (2011) concluiu que, com a utilização desses jogos e dos
materiais manipuláveis, os alunos compreenderam as operações sem
necessidade de decorar regras, e que a interação e a manipulação dos objetos
auxiliaram na abstração do conteúdo.
Outra pesquisa que utilizou jogos como um meio para tentar superar
dificuldades de aprendizagem foi a de Neves (2010) que, na introdução,
determina como obstáculo epistemológico “a dificuldade que os alunos têm na
assimilação do conceito de número negativo e das operações com tais
números”, sobretudo a multiplicação, porém, não justifica a afirmação de que
esse fato caracteriza-se como um obstáculo no decorrer de sua pesquisa,
tratando-o como uma dificuldade em ambos os processos de ensino e de
aprendizagem.
Partindo do ponto de vista de Duroux (1981, apud CID, 2003), de que
um obstáculo surge a partir de um conhecimento e não da falta deste,
verificamos que o que o autor define como obstáculo constitui-se na verdade
55
em uma dificuldade, pois, usualmente, até o sétimo ano o aluno ainda
desconhece o conceito de número negativo e não possui habilidade em realizar
operações com esses números.
Neves (2010) buscou investigar as causas dessa dificuldade e, para
isso, propôs o uso de quatro tipos de jogos, em uma ordem crescente de
raciocínio e de desenvolvimento de algumas habilidades, “visando contribuir
para o desenvolvimento dos estudos ligados à compreensão das regras de
sinais dos números inteiros” (NEVES, 2010, s/p), com base na teoria Cognitiva
de Aprendizagem, a Aprendizagem Significativa de David Ausubel.
A pesquisa de Neves (2010) deu-se a partir da formação de um “Clube
de Matemática”, com quinze alunos, nove deles de 5ª e seis de 6ª série do
Ensino Fundamental, de uma escola particular do Município de São Carlos/SP.
No período contra turno às aulas habituais, realizaram-se doze encontros, nos
quais foram utilizados atividades e jogos didáticos, tendo como objetivos gerais
"desenvolver a habilidade de cálculo mental, ampliar o raciocínio lógico,
aumentar a atenção e a concentração e desenvolver a criatividade"; e como
objetivo específico "trabalhar as quatro operações fundamentais com os
números inteiros, dando significado e compreensão às regras de sinais"
(NEVES, 2010, p.2).
Ao iniciar sua pesquisa, Neves (2010) observou que os alunos
apresentavam dificuldades em operar com números negativos, principalmente
ao trabalhar com as operações de subtração e de multiplicação, pelo fato de
ainda não terem bem definida a ideia de números negativos. Para atingir seu
objetivo, ele aplicou doze atividades utilizando fichas com sinais positivos e
negativos e três jogos – Jogo do Dinossauro, Jogo do Hexágono e Jogo Matix
– seguindo as etapas de construção e de familiarização com o material a ser
utilizado, leitura e compreensão das regras dos jogos, intervenções verbais e
escritas nos problemas relacionados ao jogo e na aplicação das estratégias de
resolução que foram elaboradas a partir das análises da resolução dos
problemas.
56
A partir dos resultados observados, Neves (2010) concluiu que os jogos,
quando aplicados sob orientação, representam um excelente instrumento de
ensino e que, por meio deles, pode-se observar, analisar e avaliar os
procedimentos utilizados pelos alunos tanto no cálculo como na elaboração das
estratégias de resolução. Dessa forma, considerou que seu principal objetivo
foi atingido, afirmando que foi possível trabalhar com o conceito de números
inteiros atribuindo significado a valores negativos ou positivos e,
consequentemente, à compreensão do conceito desses números, sendo
possível superar a dificuldade dos alunos na assimilação do conceito de
número negativo e das operações com eles, que foi caracterizada por ele como
obstáculo epistemológico no início da pesquisa.
Já Passoni (2002) supõe que a introdução da ideia de número negativo
acontece tardiamente, tornando-se um obstáculo didático para a compreensão
e a legitimação desses números. O pesquisador defende que já aos nove anos
de idade o aluno interage com situações de perdas e ganhos no dia a dia dele,
promovendo, portanto, um conhecimento informal sobre o conceito de número
negativo. Além disso, procura demonstrar que alunos podem resolver
problemas de estrutura aditiva mais facilmente se, ao invés da adição e
subtração dos números naturais, for utilizada uma “pequena dose de
manipulação algébrica” (PASSONI, 2002, p.8). Ou seja, em sua pesquisa o
autor pretende investigar a possibilidade de introdução do conceito de números
inteiros simultaneamente ao ensino de pré-álgebra.
O pesquisador elaborou uma sequência, dividida em cinco partes, num
total de 16 atividades. Do total dessas atividades, algumas questões foram
retiradas e modificadas para serem aplicadas em dois testes, o pré e o pós-
teste. A sequência constituía-se de seguinte forma:
• 1ª parte: Introdução de números inteiros;
• 2ª parte: Introdução do oposto de um número;
• 3ª parte: Introdução da adição de números inteiros;
• 4ª parte: Introdução de equações e de alguns problemas aditivos;
• 5ª parte: Introdução da subtração de números inteiros.
57
Passoni (2002) concluiu a pesquisa julgando ser possível a introdução
do ensino de números inteiros na terceira série (hoje 4º ano), de forma
algébrica e contextualizada, com problemas no campo aditivo, mas deixa
algumas questões como reflexão e sugestão para novas pesquisas:
Permanecem as questões: será esse o melhor momento para estudar esses números? Será que poderiam ser apresentados ainda mais cedo? Por exemplo, na primeira série? Ou talvez ainda na Educação Infantil? Quais seriam as vantagens e desvantagens desse procedimento? (PASSONI, 2002, p. 203)
Baseado na experiência realizada por Passoni (2002), Todesco (2006)
avalia a possibilidade de se iniciar o ensino de números inteiros na 3ª série
(hoje 4º ano) do Ensino Fundamental, partindo da elaboração de uma
sequência utilizando um contexto familiar ao aluno. Como justificativa, o
pesquisador afirma que, ao contrário dos números positivos, os números
negativos não correspondem a quantidades concretas, isto é, não podem ser
representados por coisas ou objetos, tornando-se necessária uma investigação
no processo de aprendizagem para verificar como acontece a mudança do
conceito de grandeza (o concreto) para o conceito de número (o abstrato).
Todesco (2006) defende a ideia de que quanto mais cedo essa mudança for
entendida pelo aluno, menos dificuldade ele terá para operar com números
positivos e negativos.
Para desenvolver sua pesquisa, Todesco (2006) trabalhou com duas
turmas de 3ª serie (4º ano) do Ensino Fundamental de uma escola da rede
pública municipal de São Paulo, constituindo-se uma delas em grupo de
controle (GC) e a outra em grupo experimental (GE). A pesquisa dividiu-se em
duas etapas, sendo a primeira delas a aplicação de um teste diagnóstico para
os dois grupos; e a segunda, a aplicação da intervenção de ensino com uso de
material manipulativo, para o grupo experimental. Para isso, apoiou-se nas
ideias de Jean Piaget e Raymond Duval, relacionadas ao papel que as
demonstrações desempenham na compreensão da Matemática; como Piaget,
discute a representação na formação do indivíduo, e como Raymond Duval,
refere-se a ela no processo de aprendizagem dos conceitos.
58
A análise do desempenho dos grupos nos dois instrumentos
diagnósticos mostrou que, no pré-teste, o desempenho foi relativamente baixo,
porém, no pós-teste, observou-se um real crescimento, mostrando que GE
apresentou um crescimento nos acertos em relação ao GC. Essa evolução
também pôde ser notada pelas estratégias utilizadas pelos alunos do GE para
a resolução dos testes, pois, no pré-teste, quase não houve estratégias de
resolução.
Como conclusão, Todesco (2006) aponta que é possível introduzir o
conceito de números inteiros a alunos de terceira série, dentro de um contexto
familiar ao aluno, e respeitando o ritmo individual de aprendizagem de cada
um, concluindo, assim, ser possível evitar dificuldades na aprendizagem que
acontecem ao iniciar-se o estudo dos números negativos no 7º ano do ensino
fundamental, pois esta introdução costuma ser cercada de dificuldades e de
incompreensões por parte dos alunos, talvez pelo fato de que, muitas vezes, os
alunos não conseguem fazer relação desses números com as atividades
comuns do mundo à sua volta.
As duas pesquisas citadas, de Passoni (2002) e de Todesco (2006),
partem do pressuposto de que, ao se apresentar o conceito de número
negativo na 3ª série do Ensino Fundamental, estaremos fazendo com que o
aluno sinta-se familiarizado a este novo conjunto numérico e, assim, evitamos
ou pelo menos minimizamos dificuldades na aprendizagem que normalmente
são apresentadas pelos alunos do 7º ano.
É possível que essa iniciativa colabore com a superação de um
obstáculo epistemológico. Ao iniciar o estudo dos números inteiros no 7º ano,
espera-se que os alunos tenham bem definidos o conceito e as estruturas
aditiva e multiplicativa dos números naturais, porém sem qualquer noção de
números negativos. Pode haver uma certa confusão por parte dos alunos, pois
é possível que tentem aplicar conhecimentos que são válidos em ℕ e que nem
sempre serão válidos em ℤ .
Soares (2007) afirma que o fato do professor não levar em consideração
os conhecimentos prévios dos alunos pode gerar dificuldades no ensino dos
59
números negativos, aqueles conhecimentos que são adquiridos na prática
diária, que são desenvolvidos em atividades da cultura popular, no cotidiano ou
em atividades profissionais. Segundo Soares (2007), estes conhecimentos
prévios serviriam de “âncora” aos novos conhecimentos, tornando-os, assim,
significativos para o aluno.
Com o objetivo de “[...] pesquisar quais as concepções dos professores
em relação aos conhecimentos prévios dos alunos e como se processa a sua
utilização no ensino dos Números Inteiros” (p. 23), Soares (2007) realizou seu
trabalho pesquisando quatro docentes do 6º ano do Ensino Fundamental da
rede pública do estado da Paraíba, por meio de questionários, entrevistas e
observações em sala de aula.
Para a realização de sua pesquisa, Soares (2006) baseou-se na
Aprendizagem Significativa de Ausubel, e utilizou a categorização de
Mandarino (2006, apud SOARES, 2006), que classifica as concepções no
ensino de Matemática: concepção formal ou tradicional, utilitária ou
instrumental e concepção relacional. A primeira concepção caracteriza-se por
apresentar uma visão da Matemática como uma ciência estática, pronta e
acabada, independente da interferência do Homem e da História; já a segunda
concepção privilegia a Matemática útil, e considera importante os
conhecimentos matemáticos que podem ser utilizados no cotidiano e no mundo
do trabalho; e a concepção relacional considera a Matemática como uma
construção humana e histórica, baseada na necessidade de resolver
problemas.
A pesquisadora chama a atenção ainda para a “[...] completa falta de
leituras atualizadas a respeito de temas importantes para uma melhor prática
escolar [...]” (p.77), por parte dos professores, pois apenas um dos professores
entrevistados demonstrou estar atualizado, por exemplo, quanto aos temas de
aprendizagem escolar, aprendizagem significativa, entre outros.
Concluindo sua pesquisa, Soares (2006) afirma que o ensino que
percorre as teorias da etnomatemática e valoriza conhecimentos prévios de
alunos para as novas introduções proporciona a aprendizagem, fazendo com
60
que o educando perceba o contexto no qual está inserido, e como a
Matemática nele atua, gerando conclusões próprias e não apenas colocações
em que os números surgem de modo explícito.
Rossi (2009) justifica sua pesquisa pelas dificuldades apresentadas por
seus alunos na aprendizagem dos números inteiros. Segunda ela, livros
didáticos priorizam o uso de regras de sinais e também a memorização de
procedimentos, além do ensino de forma abstrata, sem significado. Dessa
forma, propõe uma reflexão sobre o ensino de números inteiros, com o objetivo
de estudar autores que discutem obstáculos epistemológicos relacionados às
dificuldades de aprendizagem desses números, bem como verificar a
abordagem dada a este conteúdo por autores de livros didáticos.
A pesquisadora realizou estudo em documentos oficiais, como os PCN,
a Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo de 1986 e a
atual, publicada em 2008, além do documento Prática Pedagógica (1997), com
o objetivo de verificar quais as orientações didáticas oferecidas por eles para o
ensino de números inteiros. Como fundamentação teórica, a pesquisadora
baseia-se na noção de obstáculos de Bachelard (1938) e de Brousseau (1983),
na discussão a respeito de obstáculos relacionados a dificuldades com
números inteiros, de Glaeser (1981) e Cid (2003) e na discussão de Bellard et
al. (2005, apud ROSSI, 2009), sobre tipos de regras utilizadas em Matemática.
Rossi (2009) constatou que os autores dos livros didáticos que foram
analisados abordam o conteúdo de números inteiros com situações
contextualizadas, permitindo ao aluno dar significado a esses números. Para a
abordagem das operações de adição e de subtração, utilizam situações
concretas e também representações na reta numérica, porém a maioria deles
ainda valoriza as regras matemáticas na maior parte dos exercícios propostos.
Rossi (2009) destaca, também, a importância da análise criteriosa no ato da
escolha, pelo professor, do livro didático a ser utilizado, a fim de favorecer a
aprendizagem de Matemática. A pesquisadora ainda sugere que as
dificuldades dos alunos devem ser encaradas como fonte de estudo dos
61
professores, que devem buscar aprimorar a própria prática didática e levar o
aluno à superação de obstáculos.
As dificuldades apontadas nas pesquisas podem ser observadas em
sala de aula, porém, tais dificuldades são observadas desde a história dos
números, com maior relevância a partir das primeiras tentativas de
estabelecimento de números negativos, e também regras de procedimento
para operar com eles, de maneira que pudessem ser justificadas dentro de um
contexto.
De acordo com a categorização de Cid (2003), Gonçalves (2007, Bordin
(2007), Neves 2010, Passoni (2002) e Todesco (2006) fazem parte do grupo de
pesquisas que trazem propostas de ensino, já Soares (2006) e Rossi (2009)
fazem implicações didáticas para o ensino de números inteiros,
Para Gonçalves (2007) e Bordin (2007) é importante a motivação dos
alunos para o aprendizado. Consideramos que a motivação é sim um fator
importante para que o aprendizado aconteça de maneira significativa para o
aluno. Mas, não podemos caracterizá-lo como um obstáculo tal qual foi descrito
por Brousseau (1976) ou Duroux (1982), pois a desmotivação pode vir a ser um
fator para o não aprendizado e dessa forma gerar dificuldades de
aprendizagem.
A proposta de Gonçalves (2007) é observar como os alunos fazem a
conversão do enunciado de um problema, da linguagem natural para o registro
simbólico numérico. Assim, entendemos que Gonçalves (2007) refere-se à
dificuldade que os alunos têm para realizar essa conversão. Observamos que,
além do trabalho em um ambiente diferente do habitual, a pesquisadora utilizou
problemas contextualizados, comuns à vida diária do aluno, o que
possivelmente facilitou a compreensão favorecendo a realização dessa
conversão.
Neves (2010) afirma que sua pesquisa teve por base a dificuldade que
alunos têm de compreender o conceito de números negativos, bem como, as
operações com eles. O autor aponta esta dificuldade de compreensão do
conceito de número negativo como um obstáculo epistemológico, mas não faz
62
a caracterização necessária para esta consideração, ou seja, não há, no texto,
indícios de que os conhecimentos já adquiridos pelos alunos dele geraram
essa dificuldade, o que nos faz concluir que não seja um obstáculo
epistemológico, pois não constatamos em seu texto que o conhecimento dos
conjuntos numéricos e das propriedades desses conjuntos estudados
anteriormente ao dos números inteiros tenha interferido no processo de
aprendizagem. Neves (2010), aliás, afirma que o objetivo de seu trabalho é a
contribuição, por meio de jogos, para o desenvolvimento da compreensão das
regras de sinais dos números inteiros.
Dessa forma, também verificamos, na pesquisa de Neves (2010), uma
dificuldade de aprendizagem de números inteiros e não um obstáculo para o
ensino destes números. Ao abordar o conceito de número negativo por meio de
jogos, o autor busca fazer com que seus alunos compreendam como surgem
estes números, e, a partir da realização de operações necessárias para a
resolução dos problemas propostos, inferir regras de sinais de forma que este
procedimento não se torne apenas memorização.
Passoni (2002) e Todesco (2006) julgam ser possível introduzir números
inteiros a alunos de anos escolares anteriores ao 7º ano, no qual este ensino
está previsto, como forma de amenizar dificuldades apresentadas por alunos
nessa fase. Porém, Todesco (2006) justifica sua pesquisa pela dificuldade que
alunos têm em dar significado a quantidades negativas, o que segundo Duroux
(1982, apud CID, 2003) e Cid (2003) se caracteriza como uma dificuldade de
aprendizagem e não um obstáculo para o ensino. Soares (2007) acredita ser
importante que o ensino dos números inteiros parta de situações problema.
Privilegiando a teoria da etnomatemática, a pesquisadora sugere que o
professor baseie-se nas experiências de vida do aluno, nos conhecimentos
prévios que ele já possui, alegando que estes podem servir de âncora para
novos conhecimentos; mas sua pesquisa, embora aborde o ensino de números
negativos, não analisa dificuldades ou obstáculos na aprendizagem dos alunos.
Seu objetivo foi pesquisar as concepções que os professores têm acerca do
conhecimento prévio dos alunos e como eles trabalham isso, ou não, no ensino
de números inteiros. Soares (2007) chama a atenção para a falta de leituras
63
atualizadas por parte dos professores, pois, dos quatro docentes que ele
entrevistou apenas um deles estava atualizado quanto ao tema de
aprendizagem significativa, por exemplo.
Rossi (2009) questiona o ensino de números inteiros, que, de acordo
com ela, acontece de forma abstrata e sem significado, além do uso excessivo
de regras para a memorização nas operações. A autora faz um levantamento
em documentos como, por exemplo, os PCN, a Proposta Curricular de
Matemática do Estado de São Paulo, de 1986 e a de 2008 e, o documento
Prática Pedagógica (1997), verificando o que eles propõem para o ensino de
números inteiros quanto à abordagem inicial, abordagem geométrica,
abordagem das operações de adição, de subtração, de multiplicação e de
divisão, além de verificar tais propostas em livros didáticos de acordo com a
categorização que ela estabeleceu. A pesquisadora faz um estudo sobre
trabalhos e autores que discutem a noção de obstáculo epistemológico, e, na
análise de livros didáticos, aponta alguns possíveis obstáculos apresentados
por Glaeser (1981).
Diante dos trabalhos apresentados, entendemos que tanto as
dificuldades de aprendizagem como os obstáculos acerca do ensino de
números inteiros devem ser motivo de atenção e de pesquisa para os
professores da área.
Encontramos neste capítulo as seguintes dificuldades: dificuldade de
realizar a conversão do enunciado de um problema na língua materna para o
registro simbólico numérico; dificuldade de realizar operações com números
inteiros e compreensão das regras de sinais; dificuldade em assimilar o
conceito de número negativo.
No próximo Capítulo trazemos um levantamento das orientações para o
ensino de números inteiros em documentos oficiais da educação básica.
Apresentamos também uma pequena análise de dois livros didáticos de
Matemática, buscando como é abordado neles esse ensino. Entendemos que é
importante essa análise pois, a nosso ver, livros didáticos representam o
material de apoio mais utilizado por professores do ensino fundamental.
64
Capítulo 4
Documentos oficiais para a Educação Básica e livros didáticos de
Matemática
Neste capítulo, apresentamos um estudo de documentos oficiais que
norteiam o ensino na Educação Básica. Verificamos quais são as orientações
dadas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL, 1998) para o
ensino de Matemática e, mais especificamente, para o ensino de números
inteiros. Além disso, como trabalhamos na rede pública de ensino do Estado do
Paraná, fazemos essa mesma verificação nas Diretrizes Curriculares da
Educação Básica do Estado do Paraná (DCE) (PARANÁ, 2008). Escolhemos
esses documentos, além dos motivos já explicitados nos procedimentos
metodológicos, por terem sido construídos com a participação de professores,
a partir de experiências e estudos, com a pretensão de criar condições de
ensino ao professor e, ao aluno, de acesso ao conhecimento necessário para o
exercício da cidadania.
Também, apresentamos uma verificação em dois livros didáticos do 7º
ano do Ensino Fundamental, ano em que o ensino dos números inteiros é
introduzido, com o intuito de identificar possíveis obstáculos ou dificuldades de
aprendizagem.
4.1 Números Inteiros e os PCN
A organização da Educação Básica no Brasil é feita pela divisão dos
níveis de ensino: Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio. O
Ensino Fundamental subdivide-se em quatro ciclos: no primeiro ciclo estão 1º,
2º e 3º anos; no segundo, 4º e 5º anos; no terceiro, 6º e 7º anos; e no quarto,
8º e 9º anos. É no terceiro ciclo, no 7º ano, que se inicia o aprendizado de
números inteiros, por isso nossa atenção especial ao ensino de Matemática no
Ensino Fundamental. Os PCN estabelecem alguns objetivos gerais a serem
65
alcançados no ensino de Matemática para os alunos do Ensino Fundamental,
de maneira que esses alunos sejam capazes de:
- identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas; - fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); - selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente; - resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis; - comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas; - estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares; - sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções; - interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. (BRASIL, 1998, p. 48)
O ponto de partida para o ensino de Matemática apontado nos PCN é a
resolução de problemas.
[...] No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. (BRASIL, 1998, p. 40)
Esta prática faz com que alunos se sintam desafiados a resolver tais
situações, de forma a desenvolver estratégias de resolução. Assim, o
conhecimento matemático perde o aspecto de simplesmente dominar
algoritmos e passa a ter significado para o aluno; porém, de acordo com os
PCN, a resolução de problemas tem sido utilizada em “atividades
66
complementares” para a fixação de conhecimentos já adquiridos, ou seja,
ensina-se um conceito matemático e, então, aplica-se um problema com a
finalidade de verificar se os alunos são capazes de associar tal situação ao
conhecimento adquirido.
Todavia, tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos. (BRASIL, 1998, p.40).
Partindo da premissa de que a resolução de problemas é uma
orientação para a aprendizagem, porque proporciona um contexto em que é
possível conhecer novos conceitos e procedimentos matemáticos, os PCN
sugerem que o problema proposto demande a realização de uma sequência de
ações e de estratégias para que se construa o resultado. Ou seja, ao resolver
um problema, o aluno deve elaborar procedimentos de resolução (tentativas ou
hipóteses); executar a estratégia elaborada; comparar e discutir o resultado
com os resultados dos colegas para, no final dessas etapas, validar os
procedimentos utilizados e o resultado obtido.
Além da resolução de problemas, vários outros recursos são
apresentados pelos PCN como caminhos para “fazer matemática” (BRASIL,
1998, p.42) em sala de aula, sendo citados no texto:
• Os Jogos Matemáticos: os jogos constituem-se em meios atrativos para
apresentação de problemas, para os quais alunos despertam interesse
em elaborar estratégias de resolução. Por meio dos jogos, o professor
pode desenvolver um trabalho de formação de atitudes como, por
exemplo, o enfrentamento de desafios, a busca de soluções, criação de
estratégias, entre outras, que favorecem o desenvolvimento crítico dos
alunos e que são considerados necessários à aprendizagem de
Matemática.
• A História da Matemática: revelando-a como uma criação humana, suas
necessidades e preocupações em diferentes culturas e em diferentes
momentos da história. A própria história dos conceitos matemáticos
sugere caminhos para a abordagem deles, deixando explícitos os
objetivos que se pretende alcançar com o ensino. Por exemplo, o
67
surgimento dos conjuntos numéricos. A história nos mostra que houve a
necessidade de se estabelecer novos números para que fosse possível
a resolução de situações que envolviam medidas, lucros ou prejuízos,
etc.
• O uso das Tecnologias da Informação e da Comunicação: segundo os
PCN, as calculadoras, os computadores e outros elementos
tecnológicos são amplamente utilizados em atividades diárias de
alunos, e, por este motivo, tornaram-se um excelente instrumento de
apoio para o ensino e a aprendizagem de Matemática quando utilizados
em função do objetivo que se pretende atingir, e a partir da orientação
dessa utilização para que ocorra a aprendizagem.
Com relação à seleção de conteúdos para o ensino de Matemática do
Ensino Fundamental, no texto dos PCN são elencados os estudos nos blocos:
Números e Operações; Espaço e Formas; e Grandezas e Medidas, que
interligam as áreas de Aritmética, Álgebra e Geometria; e, Tratamento da
Informação, tratando o ensino de Lógica como integrante desses conteúdos
desde os anos iniciais, já que a Lógica é inerente ao conhecimento
matemático.
Entre os conteúdos apresentados no bloco de Números e Operações,
apresenta-se o ensino de números inteiros. De acordo com os PCN:
Os números inteiros podem surgir como uma ampliação do campo aditivo, pela análise de diferentes situações em que esses números estejam presentes. Eles podem representar diferença, “falta”, orientação e posições relativas. As primeiras abordagens dos inteiros podem apoiar-se nas idéias intuitivas que os alunos já têm sobre esses números por vivenciarem situações de perdas ou ganhos num jogo, débitos e créditos bancários ou outras situações. (BRASIL, 1998, p.66)
Diante disso, entendemos que é importante que os alunos
compreendam o surgimento de um novo conjunto numérico como ampliação do
conjunto dos números naturais, assim como é importante que o conhecimento
prévio que os alunos trazem desses números seja aproveitado, fazendo com
que os alunos percebam que os números inteiros estão presentes em várias
situações do cotidiano deles.
68
É importante, também, que os alunos compreendam a importância de
conhecer e dominar as operações com os elementos desse novo conjunto.
O estudo desses números não poderá, no entanto, restringir-se apenas a esses aspectos mas incorporar situações que permitam a compreensão das regras do cálculo com os inteiros pela observação de regularidades e aplicação das propriedades das operações com os naturais. (BRASIL, 1998, p.66)
É Portanto, necessária a ampliação do conhecimento no campo dos
números positivos e dos números negativos, que não se baseie apenas em
intuições, ou seja, que possibilite que o aluno domine o conceito de números
inteiros, e saiba operá-los para resolver problemas, sejam estes apresentados
pelo professor ou em situações do cotidiano.
De acordo com os PCN, ao trabalhar com números inteiros, nem sempre
é possível basear-se em situações concretas e recomendam quanto ao ensino
formal para esses números:
(...) ao desenvolver um tratamento exclusivamente formal no trabalho com os números inteiros, corre-se o risco de reduzir seu estudo a um formalismo vazio, que geralmente leva a equívocos e é facilmente esquecido. Assim, devem-se buscar situações que permitam aos alunos reconhecer alguns aspectos formais dos números inteiros a partir de experiências práticas e do conhecimento que possuem sobre os números naturais. (BRASIL, 1998, p. 100)
Também de acordo com os PCN, os alunos desenvolvem, nos anos
iniciais, uma noção intuitiva de números negativos, fruto das experiências deles
ou dos familiares, como, por exemplo, perder pontos em um jogo, saldos
bancários ou temperatura. Por este motivo, considera-se importante, para a
construção do significado de números negativos, que a abordagem e o trabalho
com as operações fundamentais sejam feitos por meio de análises desses tipos
de situações.
A abordagem geométrica é recomendada por meio da construção ou
apresentação da reta numérica, pois colabora com a compreensão de valores
menores que o zero. De acordo com os PCN, a reta numérica serve de recurso
para a exploração de alguns aspectos:
• visualizar o ponto de referência (origem) a partir do qual se definem os dois sentidos;
69
• identificar um número e seu oposto (simétrico): números que se situam à mesma distância do zero;
• reconhecer a ordenação dos inteiros: dados dois números inteiros quaisquer, o menor é o que está à esquerda (no sentido positivo da reta numérica); assim, dados dois números positivos será maior o que estiver mais distante do zero e dados dois negativos será maior o que estiver mais próximo do zero;
• comparar números inteiros e identificar diferenças entre eles; • inferir regras para operar com a adição e a subtração, como:
(+3) + (−5) = + 3 − 5 = − 2. (BRASIL, 1998, p. 98,99)
Para a iniciação das operações de adição e de subtração, além do uso
da reta numérica, os PCN também recomendam a utilização do ábaco dos
inteiros, que consiste em duas varetas verticais fixadas em um bloco, nas quais
se indica a que vai receber as quantidades positivas e a que vai receber as
quantidades negativas utilizando argolas de cores diferentes para marcar
pontos e permite que os alunos visualizem quantidades positivas e negativas e
situações associadas ao zero. Outro recurso para o ensino de adição e de
subtração de inteiros é a construção de tabelas que permitem observar
regularidades e padrões de comportamento da série numérica apresentada.
Mesmo apresentando tais sugestões, nos PCN, reconhecem-se as
dificuldades que cercam o ensino dos números inteiros como causa do baixo
desempenho dos estudantes nas avaliações. Segundo este documento,
[...] o estudo dos números inteiros costuma ser cercado de dificuldades, e os resultados, no que se refere à sua aprendizagem ao longo do ensino fundamental, têm sido bastante insatisfatórios. (BRASIL, 1998, p. 97)
Para auxiliar o professor no ensino desses números, apontam alguns
obstáculos que são encontrados por alunos ao entrar em contato com eles,
salientando a importância de serem reconhecidos:
- Conferir significado às quantidades negativas; - Reconhecer a existência de números em dois sentidos a partir de zero, enquanto para os naturais a sucessão acontece num único sentido; - Reconhecer diferentes papéis para o zero (zero absoluto e zero origem); - Perceber a lógica dos números negativos, que contraria a lógica dos números naturais – por exemplo, é possível “adicionar 6 a um número e obter 1 no resultado”, como também é possível “subtrair um número de 2 e obter 9”; - Interpretar sentenças do tipo x = − y, (o aluno costuma pensar que necessariamente x é positivo e y é negativo). (BRASIL, 1998, p.98)
70
Os obstáculos listados no texto dos PCN estão diretamente ligados à
noção de obstáculos epistemológicos, descrita por Brousseau (1976). Pois a
concepção que o aluno tem de número natural, organizada em sua
aprendizagem, por exemplo, pode causar, a princípio, certa confusão quando
for apresentado a ele o conceito de número inteiro. Surgirão dúvidas e até
mesmo erros e para que este novo aprendizado aconteça, é necessário que o
aluno reorganize os conhecimentos prévios, adaptando o novo conhecimento
aos já acomodados em sua aprendizagem, para superar esses obstáculos.
Dessa forma, os quatro primeiros obstáculos citados pelos PCN
constituem-se em obstáculos epistemológicos, pois estão diretamente
relacionados ao conhecimento do conceito que o aluno possui de números
naturais, pois, como estes, representam quantidades de coisas ou objetos;
torna-se, a princípio, difícil para o aluno compreender que existam coisas ou
objetos em número menor que zero. Da mesma forma que o zero, antes
considerado a menor quantidade verificada, deve ser compreendido em seus
dois significados, o do valor absoluto, como quantidade, e também como o
ponto de origem para uma única reta numérica, para a qual se dá o outro
sentido, contrário ao dos números naturais, em ordem crescente.
Assim como o quarto obstáculo, que consideramos o mais frequente e
mais fácil de ser percebido, que é a percepção da lógica de números inteiros
em oposição à lógica dos naturais, pois é possível que o aluno relute em
admitir que em uma adição entre dois números negativos a soma seja menor
que as parcelas, por exemplo (− 3) + (− 2) = (− 5) quando, em seu
conhecimento, até então comprovado, por tratar-se de uma adição, a soma
sempre seria maior que as parcelas, pois refere-se ao ato de juntar duas ou
mais coisas ou objetos.
Apenas o quinto obstáculo apresentado pelos PCN, ou seja, a
interpretação de sentenças do tipo x = − y, talvez, possa não ser um obstáculo
ao ensino, pois, se um obstáculo dá-se a partir de um conhecimento
estabelecido e que produz um resultado satisfatório em determinado domínio,
entendemos que o aluno até então não tenha adquirido conhecimento
71
suficiente no campo algébrico para gerar um obstáculo nesse momento da
aprendizagem. Sendo assim, consideramos que este último se caracteriza
como uma possível dificuldade na aprendizagem e não como um obstáculo.
4.2 Números Inteiros e as DCE
Nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (DCE) de 2008
organizam-se os campos de estudo de cada disciplina e denominam-se
Conteúdos Estruturantes “os conhecimentos de grande amplitude” (PARANÁ,
2008, p. 49), os quais se subdividem em conteúdos básicos, que se articulam
com os específicos. Os Conteúdos Estruturantes da disciplina de Matemática
propostos nas DCE são: Números e Álgebra; Grandezas e Medidas;
Geometria; Funções; e Tratamento da Informação. Os números inteiros fazem
parte do Conteúdo Estruturante “Números e Álgebra” e os conteúdos
específicos para eles são: adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação de inteiros.
O ensino de números inteiros é tratado no texto das DCE de forma não
isolada dos outros conjuntos, ou seja, não é dado nenhum tipo de orientação
para o ensino específico desses números, como acontece nos PCN. É
apresentado um quadro contendo os conteúdos básicos, considerados
imprescindíveis para o Ensino Fundamental, a partir dos quais o professor deve
elaborar o Plano de Trabalho Docente. Neste quadro, estão dispostos, para
cada ano, os conteúdos estruturantes que se desdobram nos conteúdos
básicos e as expectativas de aprendizagem a que estão atrelados. Para o
conteúdo básico Números Inteiros, essas diretrizes estabelecem apenas dois
objetivos a serem observados pelo professor no momento da avaliação: o
aluno, ao ser avaliado, deve ter condições de “Reconhecer os números inteiros
em diferentes contextos" e "Realizar operações com números inteiros”
(PARANÁ, 2008, p.78).
Considerando que seja essencial o aspecto cognitivo da aprendizagem,
essas diretrizes propõem que todos os conteúdos sejam abordados por meio
72
de tendências metodológicas de ensino que fundamentem a prática docente,
entre as quais destacam a resolução de problemas, a modelagem matemática,
as mídias tecnológicas, a etnomatemática, a história da Matemática e as
investigações matemáticas.
• Resolução de problemas: as DCE, ao abordarem a resolução de
problemas, utilizam-se de definições de autores como: Dante, 2003;
Schoenfeld, 1997; Smole e Diniz, 2001 e Polya, 2006, a partir das quais
podemos entender que as etapas da resolução de problemas são: ler e
compreender o problema; retirar dele as informações consideradas
importantes para a resolução; elaborar uma estratégia para essa
resolução e executá-la; validar o resultado obtido por meio de
comparação e da verificação de se esse resultado faz sentido de acordo
com o enunciado; e, caso seja necessário, elaborar um novo plano de
resolução. Com a resolução de problemas, o aluno tem a oportunidade
de aplicar conhecimentos matemáticos de que dispõe para resolver
diferentes situações; e, ao fazer uso da resolução de problemas, o
professor torna as aulas mais dinâmicas, nas quais o aluno pode lançar
mão de vários recursos, como a oralidade e o desenho, por exemplo.
• Modelagem matemática: as DCE consideram a modelagem matemática
como uma metodologia de ensino que pressupõe a problematização de
situações do cotidiano e também a valorização do contexto social do
aluno, pois “[...] procura levantar problemas que sugerem
questionamentos sobre situações de vida” (p.64), contribuindo, dessa
forma, para a formação crítica do aluno. Caracterizam, por fim, que fazer
modelagem é fazer arte, pois as soluções encontradas não valem
apenas para uma questão particular, mas servirão pelo menos de
suporte para outras aplicações.
• Mídias tecnológicas: de acordo com as DCE, o uso de recursos
tecnológicos (softwares, televisão, calculadoras, entre outros) favorece
as experimentações matemáticas e potencializa a resolução de
problemas.
73
• Etnomatemática: assim como Soares (2006), as DCE acham importante
o trabalho com a etnomatemática, e, segundo este documento, este
trabalho reconhece e registra questões de relevância social que
produzem o conhecimento matemático, e que esse conhecimento não é
único, manifestando-se por meio de diferentes teorias e práticas, nos
diversos ambientes culturais. A importância da etnomatemática dá-se
por tratar de um ensino que valoriza a história dos estudantes,
reconhecendo e respeitando suas raízes culturais. Ainda segundo as
DCE:
O trabalho pedagógico deverá relacionar o conteúdo matemático com essa questão maior – o ambiente de indivíduo e suas manifestações culturais e relações de produção e trabalho. (PARANÁ, 2008, p. 64)
• História da Matemática: de acordo com as DCE, a história da
Matemática pode ser um referencial para a elaboração de atividades e a
criação de situações problema, bem como um instrumento para a
compreensão dos conceitos matemáticos, vinculando descobertas
matemáticas a fatos sociais, a circunstâncias e correntes filosóficas que
determinaram o pensamento científico influenciando os avanços de cada
época. Dessa forma, talvez seja possível que o uso da história da
Matemática ajude a responder os porquês em sala de aula, pois, por
meio dela, busca-se propiciar ao aluno o entendimento da construção
histórica do conhecimento matemático.
• Investigação matemática: segundo as DCE, as investigações
matemáticas acontecem a partir de exercícios simples, para os quais
não se dispõe de respostas prontas ou métodos para uma resolução
imediata.
Na investigação matemática, o aluno é chamado a agir como um matemático, não apenas porque é solicitado a propor questões, mas, principalmente porque formula conjecturas a respeito do que está investigando. (PARANÁ, 2008, p. 67)
De acordo com as diretrizes, os processos de ensino e de aprendizagem
são complexos e, portanto, nenhuma dessas tendências metodológicas
representa uma única possibilidade para ensinar e aprender. Por isso, é
recomendado que se promova uma articulação entre elas.
74
Apesar das diretrizes curriculares demonstrarem, em seu texto, uma
preocupação com a metodologia de ensino a ser utilizada pelo professor, não
há orientações específicas que sirvam de apoio ao trabalho dele para
introdução e ensino de algum conteúdo. Não há neste documento uma
discussão a cerca dos conteúdos elencados para cada ano e, mais
especificamente, para o ensino de números inteiros, o qual, de acordo com o
que vimos, é cercado de dificuldades e possíveis obstáculos.
4.3 Livros didáticos e o ensino de números inteiros
Dos dez livros didáticos de 7º ano que são parte de coleções aprovadas
no último Programa Nacional do Livro Didático para as últimas séries do ensino
fundamental (PNLD/2011), tivemos acesso a nove deles, e dividimos estes
livros em dois grupos de acordo com as características observadas. Nos dois
grupos, observou-se o uso de novas metodologias, de contextualização e de
interdisciplinaridade, porém a característica que distingue os dois grupos é que,
nos livros por nós separados em um deles, percebemos a predominância da
valorização do uso de regras para a introdução de números inteiros. Assim,
selecionamos um livro de cada grupo, na ordem em que eles aparecem no guia
do PNLD/2011, para analisar. A proposta é levantar neles como os autores
fazem a introdução do conceito de números inteiros, a abordagem geométrica
e a abordagem das quatro operações fundamentais com esses números,
confrontando-as com as orientações dos PCN e das DCE. Buscamos, também,
identificar, se houver, obstáculos didáticos ou fatores que possam interferir na
aprendizagem.
Partindo do pressuposto de que o livro didático é disponibilizado como
material de apoio para a aprendizagem dos alunos, consideramos como
critérios para a nossa análise os objetivos estabelecidos pelos PCN para o
ensino de Matemática; os objetivos a serem alcançados no ensino dos
números inteiros apontados nas DCE; e os caminhos para fazer matemática
indicados nos dois documentos, como, por exemplo, a resolução de problemas,
os jogos matemáticos, a história da Matemática e o uso de tecnologias, entre
75
outros. Analisamos, também, as sugestões e orientações apresentadas no
manual do professor, sobre esse conteúdo, para o trabalho em sala de aula.
Segundo Artigue (1995), “tradicionalmente” o professor não se dá conta
da importância da realização de uma análise a priori em sua prática docente.
Consideramos que a análise do livro didático é importante no momento da
escolha, e deve ser feita considerando as características dos alunos, a região
em que a escola se encontra, entre outros fatores que interferem no processo
de ensino.
4.3.1 – Coleção: A Conquista da Matemática
(José Ruy Giovanni Jr. e Benedicto Castrucci, Editora FTD, SP. 2009)
Na resenha apresentada para esta coleção, no guia do PNLD/2011,
afirma-se que o livro é dividido em Unidades, nomeadas pelos conteúdos
básicos, por exemplo: Potências e Raízes, O Conjunto dos Números Inteiros,
entre outras, e essas unidades se subdividem em capítulos que são
estruturados em seções. Além disso, que se destaca por adotar, na introdução
e no desenvolvimento dos conceitos, textos de história da Matemática e de
outras áreas do saber. No manual de orientação ao professor, descreve-se em
detalhes a aplicação dos exercícios propostos, bem como, o objetivo a ser
alcançado a partir deles, sugerindo atividades com materiais concretos e jogos
envolvendo números inteiros.
Para a unidade O conjunto dos Números Inteiros, os autores
estabelecem como objetivo que os alunos compreendam que números
positivos e negativos podem ser utilizados para representar situações reais. Na
abertura dessa unidade, são abordadas algumas situações, como, por
exemplo, o banco de horas de uma empresa, explicando que quando um
funcionário chega atrasado ou sai mais cedo do trabalho fica devendo horas,
da mesma forma que quando um funcionário chega mais cedo ou sai mais
tarde fica com um crédito de horas; a profundidade de perfuração de um poço
da Petrobrás para a extração do petróleo; e a grande variação de temperatura
diurna e noturna no deserto do Saara.
76
Como vimos, os PCN orientam que a introdução dos números inteiros
seja baseada em experiências que os alunos trazem do cotidiano, o que
julgamos ser feito a partir dessas situações.
O primeiro capítulo da unidade, sob o título A Ideia de Números Inteiros,
inicia-se com a seção “Explorando”. Nela, são apresentadas duas atividades, a
primeira envolvendo o painel de controle de um elevador e a segunda, uma
tabela que mostra o desempenho de alguns times ao final de um campeonato.
Os autores sugerem ao professor que estas atividades sejam resolvidas
coletivamente, e que ele aproveite a oportunidade para investigar os
conhecimentos prévios dos alunos a respeito de números negativos.
Também a História da Matemática aparece nesse capítulo com a
apresentação de um breve texto, um recorte da História da Matemática para
relatar a dificuldade da aceitação da ideia de número negativo. Segundo os
autores, é importante que os alunos conheçam a história dos números, e
também como surgiram os números negativos. Além disso, sugerem que o
professor proponha aos alunos que façam pesquisas sobre a história desses
números, aprofundando o resumo que é apresentado no livro.
De acordo com os PCN, a utilização de fatos históricos ajuda na
compreensão da aplicação do conteúdo e os objetivos a serem alcançados,
sugerindo caminhos para a abordagem deles, porém, neste capítulo, o uso da
História da Matemática é apresentado apenas como informação, um breve
recorte dessa história e não como um caminho para a introdução de números
negativos. Trata-se da difícil aceitação da ideia de números negativos por
alguns matemáticos da antiguidade, enquanto hindus e chineses utilizavam
estes números informalmente em práticas comerciais, como descrevemos no
Capítulo 2: A História da Matemática.
Na seção que segue, sob o título Entendendo os números negativos,
são apresentadas ilustrações a partir dos números naturais, com afirmações do
tipo “Agora só faltam 50 quilômetros”, “vou fazer 13 anos”, “pode escolher 12
laranjas, por favor?” (GIOVANNI JR.; CASTRUCCI, 2009, p. 31). A partir
dessas ilustrações, outras situações são apresentadas nas quais a resolução
77
não é possível em ℕ, fazendo-se, então, necessária a introdução do conceito
de números negativos.
A Figura 6 ilustra uma situação na qual dois termômetros marcam a
temperatura de 10ºC, porém diferem pela posição em que estão marcadas, um
marca 10ºC acima de zero e outro, abaixo de zero.
Figura 6: Situação problema para a introdução dos números negativos. Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p. 31.
A partir desses dois termômetros, é explicado que os pontos A e B
representam temperaturas distintas, embora estejam a uma mesma distância
do ponto de origem, o zero, verificando que o ponto A está 10ºC acima de zero
e o ponto B está a 10ºC abaixo de zero. Para eliminar uma possível confusão,
a utilização dos símbolos + e de − é feita para diferenciar essas duas
temperaturas, assim, a temperatura indicada pelo ponto A pode ser
representada por 10ºC e a temperatura indicada pelo ponto B pode ser
representada simbolicamente por −10ºC. Explicam ainda que é usual dizer que
10 é um número inteiro positivo e −10 um número inteiro negativo.
Outras situações são apresentadas para evidenciar a utilidade dos
números negativos no cotidiano. Dessa forma, verificamos a possibilidade de
um enfrentamento ao possível obstáculo apontado por Glaeser (2010), que é
dar significado às quantidades negativas.
Abordando o conceito de número negativo, são propostos exercícios nos
quais as respostas são interpretativas, feitas por meio de números inteiros,
positivos ou negativos. Giovanni Jr. e Castrucci (2009) sugerem que o
78
professor conduza uma das atividades com dramatização de situações da vida
real, tornando o ensino mais atrativo. Como por exemplo, na questão a seguir:
Fábio tem um saldo de 300 reais na conta corrente. Qual será o saldo (em números inteiros positivos ou negativos), se ele: a) retirar 250 reais? b) depositar 200 reais? c) depositar 100 reais? d) retirar 320 reais? (GIOVANNI JR; CASTRUCCI, 2009, p.34)
Para essa simulação, é necessária a reprodução de materiais, como as
cédulas, uma escala numérica contemplando números positivos e negativos,
na qual será indicada a movimentação na conta corrente de Fábio e duas
caixas, uma representando a conta corrente de Fábio e outra representando o
dinheiro que pertence ao banco. Dessa forma, quando o aluno representar um
depósito na conta corrente de Fábio, colocará cédulas na caixa; quando fizer
uma retirada, tirará da caixa o valor indicado e, quando a retirada for maior do
que o valor que existe na caixa, o aluno deverá retirar o valor excedente na
caixa que representa o banco, mostrando que Fábio torna-se devedor, portanto
o saldo dele ficará negativo. O professor deve registrar, na escala numérica
feita na lousa, cada passo dessa movimentação, evidenciando o zero e
mostrando a importância dele como ponto de referência para números positivos
e negativos.
Essa prática pode ajudar alunos a dar significado aos valores
observados no resultado de cada movimentação, indo ao encontro das
orientações dos PCN, que sugerem que o ensino dos números inteiros deve
acontecer a partir de situações no campo aditivo, cuja resolução não seja
possível em ℕ.
A apresentação formal do conjunto dos números inteiros é colocada a
partir da junção dos números inteiros positivos, dos inteiros negativos e do
zero, e este conjunto é representado pela letra ℤ, demonstrando a importância
do aluno ter conhecimento de que está diante de um conjunto numérico.
A reta numérica é apresentada a partir da ilustração de alguns
instrumentos de medição como a fita métrica e a trena. Em seguida, é
construída, passo a passo, uma reta numérica, como apresentado na Figura 7.
79
Figura 7: Construção da reta numérica. Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p. 35. Entendemos que, ao adotar-se o ponto O, associando-se a ele o número
zero, busca-se diferenciar o zero como ponto de origem do zero em seu valor
absoluto e, dessa forma, lidar com mais um dos obstáculos apontados pelos
PCN e também descrito por Glaeser (2010), que é a dificuldade em reconhecer
o zero como o ponto de origem, além do seu valor absoluto. Da mesma forma
que ao iniciar a construção da reta numérica a partir do ponto zero e indicar os
números positivos à direta e os números negativos à esquerda, ao invés de
duas retas contrárias que se sobrepõem, busca-se evitar o obstáculo da
unificação da reta numérica, também apontado por Glaeser (2010); e o
obstáculo previsto nos PCN que é reconhecer a existência de números em dois
sentidos, a partir do zero.
Outras retas são apresentadas, com intervalos diferentes entre seus
pontos, mostrando a aplicação de cada uma delas, como na Figura 8. A
imagem geométrica dos números é verificada, nomeando-os como abscissas
dos pontos em destaque.
80
Figura 8: Reta numérica.
Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p. 36.
Os exercícios seguintes apresentam situações problema e também
atividades práticas de memorização. De acordo com as orientações no manual
de apoio ao professor, os exercícios que utilizam a reta e a posição dos
números inteiros são propostos objetivando que o aluno reconheça o conjunto,
compreenda a simetria entre os números e também a comparação entre eles.
Os autores sugerem que as atividades sejam feitas em duplas, proporcionando
a troca de informações entre os alunos e algumas delas realizadas
coletivamente, com o acompanhamento do professor para que ele faça
intervenções, quando forem necessárias.
Na seção denominada “Brasil Real” são expostas situações em que são
utilizados números positivos e números negativos. Sugere-se que o professor
instigue o aluno a pesquisar e apresentar à turma outras situações em que
estes números são necessários.
Para evidenciar o módulo de um número como a distância em que este
se encontra de um ponto de origem, é apresentada uma situação na qual dois
moradores, frequentadores de um clube do bairro, encontram-se para a prática
de algumas atividades físicas. Um deles mora a quatro quadras do clube e o
outro mora a seis quadras do mesmo clube, em sentidos opostos, como mostra
a Figura 9.
81
Figura 9: Abordagem do módulo de um número inteiro.
Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p. 39.
Segundo os PCN, a utilização da reta numérica ajuda a visualização do
zero como ponto de referência, bem como, a identificação do oposto de um
número. Utilizando-se a reta, de acordo com a Figura 9, verifica-se então que:
• o módulo de −4 é 4, representando-se por |−4| = 4
• o módulo de +6 é 6, representando-se por |+6| = 6
Dessa forma, o módulo de qualquer número, positivo ou negativo, é sempre
positivo. Nomeados, então, como números opostos ou simétricos, estes são
posicionados na reta numérica, desde que apresentem a mesma distância do
82
ponto zero, ou seja, têm o mesmo módulo. Assim, |−3| = 3 da mesma forma
que |+3| = 3.
Para o ensino da comparação entre os números inteiros, os autores
apresentam, na seção Explorando, uma atividade na qual são descritas as
temperaturas médias registradas em um mesmo dia em cinco países. A partir
dessas informações, os alunos devem verificar em qual país o clima estava
mais quente.
A comparação dos números inteiros é feita de forma ilustrada, que
seguem afirmações do tipo: “uma temperatura de 5ºC abaixo de zero é maior
que uma temperatura de 15ºC abaixo de zero” (GIOVANNI JR.; CASTRUCCI,
2009, p. 43), proporcionando a comparação entre dois números inteiros e
expressando essa relação por meio dos sinais >, < ou =, como, por exemplo, é
apresentado na Figura 10.
Figura 10: Comparação entre dois números inteiros. Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p. 439.
Os exercícios que seguem essa demonstração, segundo os autores,
objetivam proporcionar situações em que o aluno identifique, na reta numérica,
o módulo de um número inteiro como a distância dele ao ponto zero, os
números opostos ou simétricos, bem como, proporcionar ao aluno a
compreensão do conjunto dos números inteiros, podendo descrever alguns
subconjuntos de ℤ.
83
No manual de apoio ao professor, é sugerido, de acordo com a
conveniência da turma, a aplicação de jogos e atividades que explorem somas
algébricas e a compreensão de números opostos, o que nos remete a mais
uma consideração à orientação dada nos PCN e também nas DCE, a utilização
de jogos didáticos para despertar o interesse do aluno.
Para iniciar a adição de números inteiros, os autores utilizam novamente
a seção “Explorando”, com situações cotidianas, proporcionando a
interdisciplinaridade, a primeira atividade está apresentada na Figura 11.
Figura 11: Seção Explorando, adição dos inteiros. Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p.45
Na situação a, é dada a temperatura mínima de um dia em Brasília,
20ºC e a variação dessa temperatura, aumentando em 8ºC. Pede-se, então, a
temperatura máxima desse dia em Brasília. Como as duas temperaturas dadas
são números positivos e no enunciado diz que a temperatura inicial teve um
aumento, é provável que o aluno realize a operação de adição sem maiores
problemas, ou seja, 20 + 8 = 28.
Na situação b, a temperatura inicial em Toronto era de −1ºC e
posteriormente aumentou em 6ºC, pergunta-se então, qual a temperatura
depois desse aumento. Podemos supor que, para a realização da operação
84
que se constituiu, (−1) + (+6), será necessário, a princípio, a utilização da reta
numérica para auxiliar o trabalho do professor e proporcionar a compreensão
dos alunos. Marca-se inicialmente o ponto (−1) e como se indica um aumento
de temperatura, parte-se para a direita (→) em seis casas, chegando ao ponto
(+5). Após a representação na reta numérica realizar a operação a partir da
sentença (−1) + (+6) = (+5), observando as regras de sinais.
A situação c assemelha-se à anterior e, sendo assim, a resolução
também será semelhante a ela: (−8) + (+7) = (−1).
Notamos que a organização das situações apresentadas nesta seção
vão de acordo com a orientação dos PCN, as quais recomendam que números
negativos devem aparecer como complemento aos positivos, em situações em
que a resolução não seja possível em ℕ.
Algumas situações são propostas para que o aluno analise em seguida a
representação desse cálculo na reta numérica. Observamos mais uma
orientação dos PCN, que é a utilização da reta numérica para a resolução de
situações no campo aditivo que envolvam números positivos e negativos.
A Figura 12 mostra a adição de dois números inteiros positivos,
descrevendo os movimentos no sentido positivo na reta numérica.
Figura 12: Adição de números inteiros positivos Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p.47
85
Na Figura 13, apresentamos outro momento da mesma situação, no qual
se realiza a adição de dois números inteiros negativos.
Figura 13: Adição de números inteiros negativos Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p.47 De acordo com os PCN, a utilização da reta numérica favorece a
compreensão de situações como as que foram apresentadas nas figuras
acima. Ou seja, favorece a compreensão dos procedimentos das operações
que envolvem números negativos, auxiliando o ensino de regras de sinais para
o campo aditivo.
Após a análise de outras situações envolvendo a adição de números
positivos e negativos, sempre seguidas da apresentação da reta numérica, são
definidas as regras para a memorização de procedimentos de cálculo. Sendo,
para números com mesmo sinal:
• Quando os dois números forem positivos, a soma será um número positivo.
• Quando os dois números forem negativos, a soma será um número negativo.
• O módulo de resultado é igual à soma dos módulos das parcelas. (GIOVANNI JR; CASTRUCCI, 2009, p. 49, grifo do autor).
Para a adição de números inteiros com sinais contrários, segue a regra:
• Quando dois números tiverem sinais diferentes, o sinal do resultado corresponderá ao sinal do número que está mais distante da origem.
• O módulo do resultado é igual à diferença entre os módulos das parcelas
• A soma se dois números opostos ou simétricos é igual a 0. (GIOVANNI JR; CASTRUCCI, 2009, p. 51, grifo do autor)
86
Dois Desafios são propostos, nos quais o aluno deve descobrir o
segredo da primeira pirâmide de blocos, e completar a segunda de acordo com
a estratégia descoberta na anterior. Segundo as orientações no manual de
apoio ao professor, estas atividades têm como objetivo desafiar o aluno a
utilizar a lógica, o raciocínio e os conhecimentos que já possui para a sua
solução.
Para a adição de três ou mais parcelas de inteiros, são relembradas as
propriedades da adição em ℕ: fechamento, comutativa, associativa e elemento
neutro da adição. Os exercícios objetivam dar significado à operação de adição
em situações contextualizadas, com sistematizações breves, outros dão mais
enfoque às regras para resolução, porém, no manual de orientação para o
professor, afirmando que “nada melhor que aprender brincando” (GIOVANNI
JR.; CASTRUCCI, 2009, p.51), os autores sugerem a utilização de um jogo, o
Jogo dos Cartões, no qual, para saber quem é o vencedor, é necessário
encontrar uma soma de inteiros.
A eliminação dos parênteses é apresentada como uma forma
simplificada de fazer a adição de números inteiros. Vários exemplos são
verificados, como mostramos na Figura 14.
Figura 14: Notação simplificada da adição de números inteiros Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p. 55
87
Os autores destacam, no manual do professor, a importância de se
apresentar novos conhecimentos a partir de situações cotidianas, porém, fica
evidente a valorização da memorização, da sistematização e do uso de regras
para a resolução dos exercícios que seguem a explicação.
A subtração de números inteiros é apresentada no livro como uma
“adição da primeira parcela com o oposto da segunda”, a partir de números
naturais. Para essa explicação, os autores utilizam algumas situações como,
por exemplo, a da Figura 15.
Figura 15: Subtração de números inteiros Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p. 56. Ao abordar situações envolvendo a subtração em que o primeiro número
(minuendo) é menor que o segundo (subtraendo), os autores explicam que só é
possível em ℤ, pois a diferença entre dois inteiros é sempre um número inteiro,
ampliando assim o conjunto ℕ. Apesar da preocupação em ilustrar situações
nos exemplos, os exercícios propostos para a subtração valorizam a utilização
do uso de regras de sinais.
Na seção “Brasil Real”, são apresentadas várias situações relativas à
temperatura no Brasil e no mundo. Os autores sugerem que o professor peça
aos alunos que pesquisem e tragam recortes de jornais ou revistas com
informações sobre temperaturas, então, em um trabalho de grupo, os alunos
deverão formular problemas que envolvam adição e subtração de números
88
inteiros. Para reforçar este aprendizado, sugerem a utilização do Jogo dos
Dados.
As adições algébricas de números inteiros são apresentadas passo a
passo, com o objetivo de favorecer a aprendizagem prática da eliminação
correta de parênteses, colchetes e chaves, conforme a Figura 16.
Figura 16: Adição algébrica
Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p. 62. Os autores sugerem que o professor faça uma primeira adição algébrica
com os alunos no quadro, resolvendo-a coletivamente e depois os incentive a
resolver as demais adições, utilizando os procedimentos apontados no livro,
proporcionando, assim, a autonomia do aluno. A organização em duplas
também é sugestão para a troca de informações ou a troca das atividades,
para que um aluno faça a correção da atividade do colega.
Para a abordagem da multiplicação de números inteiros, foram
observados três casos. No primeiro caso, a multiplicação é feita entre dois
inteiros positivos; no segundo caso, os números são um inteiro positivo e outro
negativo; e no terceiro caso, a multiplicação é feita entre dois inteiros
negativos, definindo a regra de sinais para a multiplicação. Para efetuar essa
multiplicação entre dois inteiros negativos é utilizada a tabela de multiplicação,
apresentada na Figura 17.
89
Figura 17: Tabela de multiplicação dos inteiros Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009)p. 65.
A utilização da tabela de multiplicação também é sugerida no texto dos
PCN, porém pede-se que o registro inicial seja o do produto entre números
positivos, utilizando um conhecimento prévio do aluno.
Segundo os autores, os exercícios propostos objetivam a aprendizagem
da multiplicação entre dois ou mais inteiros, valorizando a regra de sinais, e
sugerem que o professor construa outras tabelas como essa, para reforçar a
ideia de que o produto entre dois números negativos será sempre um número
positivo.
As propriedades da multiplicação em ℤ são descritas de acordo com as
propriedades da multiplicação em ℕ (fechamento, comutativa, associativa,
elemento neutro e a propriedade distributiva em relação à adição). Para
enriquecer o trabalho da multiplicação com inteiros, os autores propõem uma
atividade utilizando material concreto. Nela, os cartões vermelhos representam
números negativos e os cartões azuis representam números positivos.
As expressões numéricas envolvendo adição, subtração e multiplicação
de números inteiros surgem a partir de situações e desafios que não nos
parece fazer parte de um contexto significativo para o aluno. Na Figura 18,
90
apresentamos uma situação que evidencia essa constatação. Entendemos que
se trata de sentenças matemáticas que não instigam o aluno à resolução, por
ser algo abstrato, muito distante da realidade do aluno e, para a sua resolução,
é necessário que o professor provoque no aluno a curiosidade do resultado.
Figura 18: Expressões numéricas Fonte: (GIOVANNI JR e CASTRUCCI, 2009) p. 69. No manual do professor, os autores salientam a importância de o
professor orientar o aluno a resolver essas expressões seguindo a ordem das
operações utilizadas, iniciando-se o cálculo por multiplicações e, em seguida,
adições e subtrações, na ordem em que aparecer da esquerda para a direita.
O uso da calculadora é proposto a partir de uma situação na qual a
personagem vai ao supermercado levando R$ 20,00 e uma lista de compras
com seis itens, e o valor unitário de cada produto. É necessário, então, verificar
se o valor é suficiente para pagar essa despesa, e esse cálculo é realizado
utilizando a calculadora, mostrando como utilizar a tecla da memória. Outra
situação semelhante é apresentada, dessa vez para o aluno resolver utilizando
a calculadora e os recursos aprendidos no exemplo anterior. Na seção
“Chegou a sua vez”, os alunos podem trabalhar em duplas ou individualmente
para resolver a situação apresentada. Nela, o aluno é desafiado a utilizar as
funções da calculadora, entre elas, a memória.
O “Jogo dos Produtos” é proposto para estímulo e diversão na
aprendizagem. Iniciando a divisão de números inteiros, os autores destacam
91
que algumas divisões não são possíveis em ℕ, como, por exemplo, (+9) ÷
(−2), pois o resultado não é um número inteiro. As divisões exatas com
números inteiros são apresentadas como a operação inversa da multiplicação,
obedecendo a mesma regra de sinais. Por exemplo:
(+20) ÷ (−5)
(+20) ÷ (−5) = q, de modo que (−5) ∙ q = (+20)
Assim, (+20) ÷ (−5) = − 4.
A sugestão dos autores, para proporcionar aprendizagem, é que os
alunos elaborem algumas situações a partir das expressões apresentadas.
Para a resolução de expressões numéricas envolvendo as quatro
operações fundamentais, é sugerido que os alunos as resolvam em duplas,
anotando as regras que utilizaram em cada passo da resolução.
No livro, aborda-se, também, a potenciação de números inteiros, a raiz
quadrada exata desses números e, encerrando o capítulo, são propostas
análises de gráficos e tabelas em que aparecem números inteiros, positivos e
negativos.
4.3.2 - Coleção: Aplicando a Matemática
(Alexandre Luís Trovon de Carvalho; Lourisnei Fortes Reis. Casa Publicadora
Brasileira, Tatuí/SP. 2010)
Segundo a síntese avaliativa desta coleção, no guia do PNLD/2011:
A principal característica é o uso da ideia intuitiva de função na apresentação da maior parte dos conceitos, desde o 6º ano. O desenvolvimento dos conteúdos é feito com base em exemplos e o diálogo com o aluno é incentivado, permitindo que ele se aproprie gradualmente dos novos conteúdos. A geometria também se destaca como recurso para a interpretação de diversos conteúdos. (BRASIL, 2011, p. 47)
Os livros são divididos em unidades, e estas se subdividem em
capítulos. O livro do 7º ano possui nove unidades, e a Unidade 3, que trata dos
números negativos, está dividida em seis capítulos: “Haja mais Números”;
92
“Números Negativos e sua Representação”; “Somando e Subtraindo” e
“Multiplicando e Dividindo”.
De acordo com o Manual de apoio ao Professor, os autores estabelecem
para esta unidade os seguintes objetivos:
1. Identificar situações concretas em que se faz necessário o uso de números negativos. 2. Utilizar a reta numerada para representar os números negativos e positivos na resolução de problemas simples. 3. Utilizar a ideia de partículas para representar as operações com números negativos. 4. Utilizar a ideia de funções nas operações com números negativos. (CARVALHO; REIS, 2010, Manual do professor, p. 22 e 23)
Podemos sugerir, então, a partir de tais objetivos, que estes autores dão
enfoque ao ensino dos números negativos com ênfase na contextualização. No
primeiro capítulo, é possível constatar essa afirmação considerando as três
situações que os autores utilizam para abordar esses números. A primeira
delas está representada na Figura 19.
Figura 19: Situação 1 envolvendo números negativos. Fonte: CARVALHO e REIS, 2010, p. 103 De acordo com os autores, no manual de apoio ao professor, é
importante que o aluno perceba a necessidade de utilização de números
negativos em questões que envolvem temperaturas, saldos, altitudes, etc. Na
segunda situação, utilizam-se números negativos em saldos bancários, como
apresentado na Figura 20.
93
Figura 20: Situação 2 envolvendo números negativos.
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 104. Podemos perceber, nessas duas situações, que o vocabulário utilizado é
simples e de fácil entendimento, e entendemos que, por meio delas, o aluno
perceberá a utilidade dos números negativos, bem como, a necessidade de
conhecer a representação deles.
A questão interdisciplinar é colocada neste capítulo, na seção “Mãos à
obra”, na qual é proposta uma pequena pesquisa referente à temperatura do
corpo humano, definição de fusão e ebulição, e em que temperaturas elas
ocorrem.
Os “Exercícios de Aprendizagem” e os “Exercícios de Fixação”, como
são denominados pelos autores, trazem atividades com situações semelhantes
às citadas nas figuras acima. Por meio delas, o aluno pode estudar como
surgem os números negativos, e qual o sentido dessas quantidades negativas
isoladas, já que este é um obstáculo apresentado nos PCN e também por
Glaeser (2010) em seus estudos.
Na seção “Desafio”, os autores explicam que o nosso calendário é feito
com base na data do nascimento de Cristo, e que os anos que vêm antes de
Cristo são registrados como a.C. (antes de Cristo), e os que vêm depois Dele
d.C. (depois de Cristo), mas que hoje em dia não é mais usual utilizar d.C, pois
o nascimento Dele marca o início da contagem dos anos. A partir dessa
explicação, algumas datas de nascimento e morte de alguns personagens da
história são apresentadas para que o aluno faça a contagem de quantos anos a
pessoa viveu. Nessa seção, notamos a falta de menção à história da
94
Matemática, proporcionando o conhecimento de um fato ou uma curiosidade
matemática, ou então de números negativos. Como vimos anteriormente, os
PCN recomendam a utilização da História da Matemática, pois ela sugere
caminhos para a abordagem, deixando claros os objetivos a serem alcançados.
No Capítulo 2 dessa Unidade, que se intitula: Números Negativos e sua
Representação, os autores fazem comparações entre números positivos e
números negativos. Apresentam, em um termômetro, a variação de
temperatura que, a princípio, estava em −3ºC e, em seguida subiu + 3ºC,
ficando em 0ºC. Essa representação é feita para apresentar ao aluno o oposto
de um número e, a partir desse termômetro, é feita uma ilustração da reta
numérica, na qual são observados os números e seus opostos. Na Figura 21,
apresentamos essa observação.
Figura 21: Números opostos na reta numérica. Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 110
De acordo com as orientações no Manual do Professor, esse momento
deve ser explorado para a verificação da ordem em que os números aparecem
na reta, fazendo comparações entre eles, estendendo-se até as frações e
95
decimais positivos e negativos. Como já vimos anteriormente, a sugestão de
utilização da reta numérica para a verificação dos opostos também é dada
pelos PCN. Cid (2002) aponta esta situação, entre outras situações que
classifica como de deslocamento, como uma das mais utilizadas pelos livros
didáticos atuais.
A explicação dada na Figura 21, assim como as atividades que são
sugeridas em seguida, auxilia o aluno na compreensão das propriedades da
reta e pode colaborar com a superação de mais um obstáculo observado por
Glaeser (2010), que é a unificação da reta numérica, ou seja, favorece a
compreensão do aluno que os números negativos estão dispostos na mesma
reta que os positivos, porém em sentido oposto. O mesmo obstáculo é
verificado nos PCN, que é a dificuldade em reconhecer a existência de
números nos dois sentidos a partir do zero (até então para o aluno a sucessão
dos números só acontece em um único sentido).
Para a abordagem da adição e da subtração de números inteiros, no
Capítulo 3, sob o título Somando e Subtraindo, os autores utilizam situações
por meio de modelos de partículas positivas e negativas, como mostra a Figura
22.
Figura 22: Abordagem da Adição e Subtração de Inteiros. Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 113.
96
As adições entre partículas positivas são de fácil compreensão, pois
pertencem ao conjunto ℕ, portanto já são usuais em diversos contextos para o
aluno, como apresentado na Figura 23.
Figura 23: Adição de inteiros positivos.
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 114.
É necessário, porém, o auxílio do professor relembrando ao aluno que
partículas positivas e negativas neutralizam-se entre si e um pouco mais de
atenção por parte do aluno quanto a isso, quando a adição envolve um número
de partículas negativas maior que de positivas, visto na Figura 24.
Figura 24: Adição de inteiros positivos e negativos.
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 114.
Os autores utilizam, nessa situação, a neutralização das partículas para
justificar o resultado negativo que foi obtido. De acordo com Cid (2002), a
utilização de modelos de neutralização é comum em livros didáticos, e entre as
mais comuns estão as situações que envolvem perdas e ganhos.
A subtração de partículas positivas acontece sem a utilização da
“ferramenta” neutralização, já que se trata de uma subtração entre números
naturais. Há, inicialmente, um grupo de seis partículas positivas, e deseja-se
97
retirar quatro dessas partículas. Restam, então, duas partículas positivas
(6 – 4 = 2), como na Figura 25.
Figura 25: Subtração de inteiros positivos.
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 114.
Já a subtração de um número maior de um menor é feita conforme
apresentado na Figura 26.
Figura 26: Subtração de um inteiro maior de outro menor.
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 115.
Para efetuar a subtração de um número maior de um menor utilizando
este modelo, é necessário que o professor fique atento a possíveis
interpretações equivocadas por parte do aluno. Poderão surgir algumas
dúvidas, pois temos inicialmente um conjunto com quatro partículas positivas e
deseja-se retirar 7 das mesmas partículas, sendo necessário então adicionar
ao conjunto três partículas positivas e três negativas, para se retirar as sete
98
partículas positivas que agora se encontram no conjunto, e verifica-se que
sobram neste apenas as partículas negativas que foram adicionadas (Figura
26).
A mesma atenção por parte do professor se faz necessária para a
exemplificação da subtração de dois números negativos (−3) − (−4), na qual é
necessário adicionar em um conjunto que inicialmente contém três particular
negativas, um par de partículas (positiva e negativa), para então retirar-se as
quatro partículas negativas, restando, assim, a partícula positiva que justifica a
operação (−3) − (−4) = 1. Na Figura 27, ilustra-se o esquema para esta
situação.
Figura 27: Subtração de inteiros negativos.
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 115.
Os “Exercícios de Aprendizagem” e também os “Exercícios de Fixação”
trazem atividades que seguem estas explicações. Sugerem o uso da metáfora
de partículas positivas e negativas, e apresentam situações envolvendo adição
e subtração de números inteiros (dívidas e temperatura); sequências de adição
e de subtração, nas quais é necessário que o aluno observe a regularidade das
mesmas para, então, completar os números que faltam; além da utilização do
“jogo dos inteiros”, no qual todas as cartas são numeradas, com as pretas
representando números negativos e as brancas, números positivos. Para a
99
verificação da pontuação, é necessário adicionar todos os valores das referidas
cartas.
No manual de apoio ao professor, os autores sugerem o uso de outras
atividades, por exemplo, a reta numerada, (Figura 28) com deslocamentos para
a direita e para a esquerda, permitindo a verificação gráfica da adição e da
subtração dos inteiros.
Figura 28: Sugestão de atividade, adição e subtração de inteiros.
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) Manual do Professor. p. 23.
Como vimos anteriormente, os PCN recomendam o uso da reta
numérica para facilitar a compreensão do aluno na adição e na subtração de
números inteiros, inferindo regras para essas operações. É possível também,
com essa representação, verificar a ordem em que esses números estão
dispostos na reta, favorecendo a visualização do zero como ponto de origem e
comparações entre números inteiros.
A utilização da reta numérica, em atividades como as sugeridas nesse
livro, podem colaborar, numa tentativa de evitar ou superar alguns dos
100
obstáculos que são previstos nos PCN no ensino de números inteiros, como a
existência de números nos dois sentidos da reta, a partir do zero, e alguns dos
obstáculos apontados por Glaeser (2010), como a dificuldade em unificar a reta
numérica e a ambiguidade dos dois zeros.
Em outra atividade sugerida no Manual do professor (Figura 29) os
autores utilizam a metáfora de buracos e montes de terra de mesmo tamanho,
sendo que os buracos representam números negativos e os montes, números
positivos.
Figura 29: Sugestão de atividade para adição e subtração de inteiros.
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) Manual do professor, p. 23.
Aparentemente, a ideia nessa atividade é a de que o aluno associe os
buracos a quantidades negativas isoladas, visualizando, então, a obtenção dos
resultados das operações que envolvem números positivos e negativos.
Porém, é necessário que o professor deixe claro que este exemplo tem a
finalidade de colaborar com a visualização, pois em situações reais, torna-se
difícil que buracos e montes tenham exatamente o mesmo tamanho.
101
Uma terceira atividade sugerida no manual do professor é a utilização
dos quadrados mágicos, nos quais, verificando a soma das linhas, colunas e
diagonais, o aluno deve completar os dois quadrados seguintes, conforme a
Figura 30.
Figura 30: Sugestão de atividade para adição e subtração de inteiros.
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) Manual do professor, p. 23.
Acreditamos que, para a realização de atividades como esta da Figura
28, é necessária a intervenção do professor, instigando o aluno, fazendo com
que ele se sinta desafiado, primeiro a descobrir o resultado em cada quadrado
mágico, para depois descobrir quais números faltam nos espaços que estão
em branco.
Um Desafio é proposto ao aluno. Nele é apresentada a soma
1 + 2 + 3 − 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100
a tarefa do aluno é apresentar outra adição na qual seja possível obter soma
100 utilizando menor quantidade dos sinais de + e de −, podendo utilizar o
mesmo recurso que da adição anterior (os números 7 e 8 aparecem juntos).
No Capítulo 4, sob o título Multiplicando e Dividindo, os autores iniciam a
multiplicação de inteiros por meio da ilustração de um ciclista movendo-se
sobre uma linha numerada, de acordo com algumas regras: ir para a esquerda
significa ir para o sentido negativo e para a direita significa ir para o sentido
positivo; o tempo futuro é representado por um número positivo e o passado
por um número negativo.
A Figura 31 mostra como foi realizada a multiplicação.
102
Figura 31: Multiplicação de inteiros. Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 120.
Se o ciclista está no ponto zero, e, a partir dele, vai em direção leste a
uma velocidade de 5 km/h, daqui duas horas estará a uma distância de 10 km.
Logo a multiplicação 5 × 2 = 10. Entendemos que é necessário maior atenção
do aluno ou o auxílio do professor para que se compreenda a situação
apresentada na Figura 32, na qual o ciclista deve andar a uma velocidade de
5km/h, movendo-se para o leste. Querendo-se representar o produto 5 × (−2)
= −10, a intenção é analisar a posição do ciclista a 2 horas atrás. O cuidado
que se deve tomar é que, indo na direção leste entende-se, segundo as regras
determinadas para esta situação, que ele vai para o sentido positivo, e,
portanto, o aluno pode entender que o resultado seria + 10 e não −10. A
intervenção do professor se faz necessária na leitura e compreensão de que a
intenção deste exemplo era mostrar onde o ciclista estava 2 horas antes,
trabalhando, então, com o oposto de 2.
103
Figura 32: Situação 1, multiplicação de inteiros na reta numerada.
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 120.
Podemos verificar, nessa mesma figura, outro exemplo. A multiplicação
(−2) × 3 = (−6). Agora o ciclista move-se para o oeste (indicando o sentido
negativo), a uma velocidade de 2km/h, o resultado (−6) será a posição em que
o ciclista estará daqui a três horas.
A segunda situação apresentada (Figura 33) é análoga à anterior. Nela,
a intenção é representar na linha numerada o produto (−3) × (−4) = 12,
pensando que o ciclista se deslocou para oeste, e pede-se onde ele estava 4
horas antes.
Figura 33: Situação 2, na linha numerada da multiplicação de inteiros.
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 121.
Outra sugestão apresentada para a Multiplicação de inteiros nesse livro
é a observação da sequência de regularidades nos resultados, como
apresentado na Figura 34.
104
Figura 34: Multiplicação de inteiros por meio da observação dos resultados
Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 121.
Este procedimento pode facilitar a memorização dos resultados em uma
sequência de multiplicação em que um dos fatores é constante. Não nos
parece conveniente a utilização deste procedimento antes que o aluno
compreenda as regras de multiplicação, o que pode levar o aluno à adição ou à
subtração de números inteiros.
Apesar de ser descrita como uma situação, a divisão de números
inteiros é apresentada como o processo inverso da multiplicação, inicialmente
realizada com números naturais, como apresentado na Figura 35.
Figura 35: Divisão de inteiros. Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) p. 122.
No manual de apoio ao professor, é sugerido que ele justifique as
propriedades da multiplicação entre inteiros por meio da propriedade
distributiva. Por exemplo: 3 × (1 − 1) = 0, pela propriedade distributiva temos
que 3 × 1 + 3 (−1) = 3 − 3 = 0, justificando o resultado obtido.
105
Também no manual do professor é sugerida outra atividade para
“treinamento” (como os autores definem) das operações de multiplicação e
divisão de inteiros. A tabela apresentada na Figura 36 deve ser, inicialmente,
completada no quadrado sombreado, utilizando a multiplicação dos números
naturais, observando os números que estão dispostos nas linhas horizontal e
vertical. De acordo com as orientações, o professor pode utilizar esta tabela
para explicar o que ocorre quando se multiplica um número positivo por um
número negativo.
Figura 36: Tabela para multiplicação e divisão dos inteiros. Fonte: (CARVALHO e REIS, 2010) Manual do professor, p. 24.
A construção da tabela de multiplicação é recomendada também pelos
PCN, como recurso que permite observar a regularidade dos resultados,
positivos ou negativos, de acordo com as regras de sinais para essa operação.
Os Exercícios de Aprendizagem e os Exercícios de Fixação que seguem
este capítulo são propostos seguindo os exemplos do ciclista da reta
numerada, e também da observação de sequências de multiplicação a serem
completadas. Na seção Desafio há atividades para operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão de números racionais positivos e negativos.
Encerrando o capítulo com a seção Projeto 1, é proposto o Jogo dos
Inteiros, o qual é constituído por 54 cartas, formadas por cartões pretos e
106
brancos. Os pretos representam números positivos e os brancos, números
negativos, e dois cartões do zero. Cada número aparece em dois cartões de
cada uma das cores. Este jogo consiste em três rodadas e, na primeira, cada
jogador recebe 3 cartas, na segunda, 4 e na terceira, 5 cartas. Em cada
rodada, os jogadores podem trocar uma de suas cartas por outra do monte,
sem ver o valor dela. Ao fim de cada rodada, ganha quem tiver a maior soma
nos valores das cartas. Com este jogo, também pode ser realizada a
multiplicação ao invés da adição dos números que aparecem nas cartas
brancas e pretas.
Como justificativa, no manual de apoio ao professor, Carvalho e Reis,
(2010) afirmam que “O jogo pode ser algo prazeroso, e a intenção aqui é
despertar a curiosidade, trazendo mais facilidade na manipulação dos números
relativos em problemas numéricos” (CARVALHO; REIS, 2010, p. 24).
Estabelecem como objetivo para este jogo: “1) Desenvolver a agilidade do
cálculo mental com inteiros relativos; 2) Aprimorar o raciocínio numérico; 3)
Facilitar a solução de problemas numéricos através da recreação individual e
em grupos” (CARVALHO; REIS, 2010, p.24).
4.4 Considerações sobre o estudo dos Documentos e d os Livros
Didáticos
Para o ensino de Matemática de maneira geral, tanto os PCN quanto as
DCE do Estado do Paraná trazem orientações que se referem às novas
metodologias de ensino, ou “caminhos para se fazer matemática” como são
chamados nos PCN. De acordo com tais documentos, a resolução de
problemas, a utilização de jogos matemáticos, a História da Matemática, a
Etnomatemática, a Modelagem Matemática, a utilização de tecnologias e
mídias e a investigação matemática (DCE) colaboram para um melhor
aproveitamento desse ensino.
No Quadro 1, é exposto quais desses recursos são contemplados como
e em que momento os autores fazem uso do mesmo. Chamaremos de Livro 1
107
o livro “A Conquista da Matemática”, de Giovanni Jr. e Castrucci e de Livro 2
Aplicando a Matemática, de Carvalho e Reis.
Livro 1 Livro 2 Resolução de
Problemas Exercícios Exercícios
Jogos Matemáticos Desafios e atividade Desafios e atividades
complementar (adição) complementar (final do capítulo).
História da Matemática Introdução do conceito Não utiliza
De Número Inteiro
Tecnologias e Mídias Calculadora Não utiliza
Modelagem Matemática Não utiliza Não utiliza
Etnomatemática Não utiliza Não utiliza
Investigação Matemática Trabalhos de pesquisa Não utiliza Quadro 1- Metodologias de ensino.
De acordo com a tabela, os recursos metodológicos mais utilizados
pelos autores dos livros didáticos analisados são a resolução de problemas e
os jogos matemáticos.
Para o ensino e a aprendizagem de números inteiros especificamente,
as DCE apenas estabelecem dois objetivos, enquanto os PCN trazem
orientações para a introdução desse conceito com abordagem geométrica e
das operações entre números positivos e negativos, além de apontar alguns
dos possíveis obstáculos que podem surgir durante os processos de ensino e
de aprendizagem.
Os PCN sugerem que os números inteiros surjam a partir de situações
contextualizadas, apoiando-se nas ideias que os alunos já têm sobre esses
números e como complemento ao conjunto dos números naturais. Mas,
observam que, no ensino de números inteiros, nem sempre é possível basear-
se em situações concretas, portanto, é necessário reconhecer, em experiências
práticas e no conhecimento que o aluno possui de números naturais, aspectos
108
formais dos números inteiros. Em sua pesquisa, Cid (2002) destaca a
importância da contextualização na introdução do ensino de números inteiros,
pois, dessa forma, evita-se que o aluno apenas domine regras para operar e
não compreenda situações nas quais o uso desses números é necessário. Nos
dois livros analisados, a abordagem é feita com situações que podem ser
comuns à vida diária do aluno. De maneira geral, são apresentados alguns
fatos de determinadas regiões, situações de variação de temperatura, entre
outros.
A abordagem geométrica dos inteiros é feita pelos autores de acordo
com a recomendação dos PCN, o qual afirma que a mesma deve servir como
recurso para a exploração de aspectos como a visualização do zero como
ponto de origem aos dois sentidos da reta; a identificação de um número na
reta, bem como, o seu oposto; o reconhecimento da ordem em que os números
inteiros estão dispostos, facilitando visualmente a comparação entre eles; e a
inferência das regras de adição e de subtração.
Ainda para a abordagem das operações de adição e de subtração de
inteiros, os PCN sugerem, além da reta numérica, a utilização do ábaco dos
inteiros. Um terceiro recurso para a abordagem dessas operações seria a
construção de tabelas de adição, para que o aluno visualize nela as
regularidades e padrões de comportamento das séries numéricas
apresentadas. No primeiro livro analisado, a abordagem das operações
acontece por meio da reta numérica, caracterizando o modelo de deslocamento
citado por Cid (2003). Já no segundo livro, além da reta numérica ainda
observou-se a utilização de tabelas e também do modelo de partículas
positivas e negativas, que caracteriza o modelo de neutralização, citado pela
mesma autora. Os PCN apontam, ainda, algumas dificuldades encontradas por
alunos na aprendizagem de números inteiros e classificam como obstáculos do
ensino, salientando a importância destes serem reconhecidos pelo professor,
como conferir significado às quantidades negativas; reconhecer a existência de
dois sentidos da reta numérica, a partir do zero; reconhecer o zero absoluto e o
zero origem; perceber que a lógica dos números inteiros, que contraria a lógica
dos naturais, por exemplo, a soma de dois números naturais será sempre um
109
número natural maior que as parcelas da adição, o que nem sempre ocorre
entre números inteiros; e interpretar sentenças do tipo x = -y. Entre estes, ao
nosso ver, apenas o primeiro deles contradiz o conceito de obstáculo tal como
definiu Brousseau (1976), pois o aluno ainda não conhece formalmente o
número negativo, portanto não tem estabelecido um conhecimento que possa
vir a ser considerado contraditório ao novo.
Para facilitar a visualização, utilizamos os quadros abaixo para
sistematizar a verificação dessas orientações e das sugestões dos recursos
que auxiliam o ensino, pelos autores dos livros que foram analisados.
No Quadro 2, observamos a orientação dos documentos oficiais e
verificamos como os autores abordam a introdução do conceito de números
inteiros.
PCN Livro 1 Livro 2 Situações comuns Banco de horas Temperaturas, e noção intuitiva profundidades, painel saldo bancário, do aluno de elevador, saldo de datas a.C e d.C gols, temperatura. Quadro 2 - Abordagem do conteúdo – Números Inteiros
É possível perceber nos livros observados a orientação dos PCN de que,
na abordagem do conceito de números inteiros, sejam utilizadas situações
comuns no cotidiano do aluno. Ambos trazem na introdução do conteúdo
situações que são vivenciadas pelos alunos e que envolvem números
negativos, tais como temperaturas, saldos bancários, saldo de gols, entre
outras.
No Quadro 3, trazemos a orientação dos documentos oficiais e a
verificação de como os autores fazem a abordagem geométrica dos números
inteiros.
PCN Livro 1 Livro 2 Construção ou Construção da reta Apresentação da apresentação da numérica, módulo e reta numérica, Reta numérica simetria. números opostos, comparação.
110
Quadro 3 - Abordagem geométrica dos números inteiros.
No Livro 1, a reta numérica é inicialmente construída passo a passo,
após a apresentação de alguns instrumentos de medição mais utilizados e,
portanto, mais conhecidos entre os alunos, como a trena e a fita métrica.
Traça-se uma reta, na qual é marcado um ponto qualquer, denominando-o
ponto zero; em seguida, os pontos à direita dele, que representam os números
positivos e são marcados os pontos à esquerda, que representam os números
negativos. Já no Livro 2, a reta é apresentada a partir de uma figura
semelhante ao termômetro, porém com uma escala com intervalos de um em
um, observando nessa reta o ponto zero como origem e os números positivos à
direta dele e os negativos à esquerda.
No Quadro 4, trazemos a orientação dos documentos oficiais e a
verificação de como os autores abordam as operações de adição e de
subtração de números inteiros.
PCN Livro 1 Livro 2 Ampliação de ℕ, Resolução de situações Modelo das Reta numérica, utilizando a reta partículas positivas ábaco dos inteiros numérica. e negativas. tabelas. (Neutralização) Quadro 4 - Abordagem às operações de adição e subtração dos inteiros.
Comparando as duas formas de abordar as operações de adição e de
subtração, concluímos que a forma utilizada pelos autores do Livro 1, ou seja, a
resolução de operações com a utilização da reta numérica pode tornar mais
clara a compreensão dos procedimentos e das regras, como foi previsto nos
PCN, pois favorece a visualização do deslocamento realizado para essas
operações.
No Quadro 5, apresentamos a orientação dos documentos oficiais e a
verificação de como os autores abordam as operações de multiplicação e de
divisão de números inteiros.
111
PCN Livro 1 Livro 2 Tabelas de Tabelas de multiplicação, Ciclista na reta multiplicação e verificação das numérica, divisão de inteiros propriedades e regras. tabela de multiplicação. Quadro 5 - Abordagem às operações de multiplicação e divisão dos inteiros. Como foi descrito no Capítulo 3, a abordagem das operações de
multiplicação e de divisão nem sempre é possível por meio de situações
cotidianas, como descreveu Glaeser (2010) ao se referir ao último obstáculo –
o desejo de um modelo que seja de fácil compreensão para a estrutura aditiva
e a multiplicativa - que, segundo ele, só foi superado por Hankel (1867) ao
assumir que os números negativos não são extraídos da natureza e, dessa
forma, não há como estabelecer modelos concretos para justificar a regra de
sinais, nem como justificar as estruturas aditivas e multiplicativas por meio de
um modelo unificador.
A forma de abordar o conceito de número inteiro, assim como a
abordagem geométrica feitas pelos autores desses dois livros, podem
colaborar para a superação de possíveis obstáculos do ensino desses
números.
Observamos que a abordagem das operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão de inteiros, é realizada nos dois livros de acordo com as
orientações dadas nos PCN (1998) de maneira que colabore com a superação
dos obstáculos observados pelo referido documento. Ainda assim, entendemos
a presença do professor como indispensável, atuando como mediador do
conhecimento, auxiliando o aluno na superação de obstáculos que
possivelmente surjam, evitando assim possíveis dificuldades de aprendizagem.
112
Considerações Finais
Retomando nossas questões de pesquisa
Com essa pesquisa tivemos como objetivo “Levantar, em pesquisas em
Educação Matemática, as dificuldades de aprendizagem e os obstáculos
verificados para o ensino dos números inteiros, buscar as orientações para o
ensino desses números em documentos que regem a educação básica, e
verificar se essas orientações se fazem presentes nos livros didáticos”.
Para alcançar tais objetivos, realizamos uma pesquisa documental, na
qual fizemos um estudo da história dos números negativos; procuramos
pesquisas em Educação Matemática que tratavam de dificuldades relacionadas
ao ensino de números inteiros, buscando verificar se estas pesquisas
apontavam dificuldades de aprendizagem ou levantavam obstáculos para o
ensino desses números, tendo como base o conceito de obstáculo
epistemológico de Brousseau (1976). Verificamos, nos PCN (1998) e nas DCE
(2010), as orientações dadas para dar suporte à prática docente, e buscamos
em, dois livros didáticos, verificar como estes tratam o desenvolvimento deste
conteúdo, se contemplam as orientações dadas pelos documentos analisados.
Levantamos então, quatros questões de pesquisas que tentaremos
responder a seguir.
1 - Quais obstáculos aparecem na literatura em Educação Matemática
sobre o ensino de números inteiros?
Para tentar responder a esta questão, recorremos à classificação de
obstáculos de Brousseau (1976). Segundo ele, existem três origens para
obstáculos didáticos, a origem ontogênica ocorre em decorrência do
desenvolvimento cognitivo do aluno; a origem didática, que está relacionada à
concepção de ensino do professor e suas escolhas didáticas; e, por fim, os
obstáculos de origem epistemológica, que não se constitui pela falta de um
conhecimento, mas é um conhecimento que tem validade em determinado
113
domínio, porém quando aplicado fora desse domínio ou na ampliação dele,
produz respostas erradas ou insatisfatórias.
Sendo assim, os obstáculos didáticos de origem ontogênica e didática
descritos por Brousseau (1976) se constituem em dificuldades de
aprendizagem, e, para que sejam superadas, é necessário que sejam
realizadas mudanças ou adaptações nas ações didáticas do professor em sala
de aula.
Temos então os obstáculos de origem epistemológica, que caracterizam-
se como obstáculos do ensino, visto que destes não há como fugir, pois fazem
parte do conhecimento do aluno. Dessa forma, a pesquisa de Glaeser (2010)
levanta alguns obstáculos epistemológicos.
Glaeser (2010) apontou alguns obstáculos considerados por ele como
epistemológicos: Inaptidão para manipular quantidades isoladas; dificuldade
em dar sentido a quantidades negativas isoladas; dificuldade em isolar a reta
numérica; ambiguidade dos dois zeros; estagnação no estágio das operações
concretas (dificuldade de afastar-se de modelos concretos); e desejo de um
modelo unificador que justifique a estrutura aditiva e a multiplicativa.
Cid (2003) aponta algumas críticas a esta lista, e ao analisarmos suas
justificativas, compartilhamos com a teoria da autora. Consideramos de
relevância para nosso trabalho a critica que Cid (2003) faz baseando-se nas
ideias de Duroux (1982). Esta tem por base a definição de obstáculo
epistemológico proposta por Brousseau (1976) a qual define que um obstáculo
é um conhecimento e não a falta dele. Dessa forma Duroux (1982) afirma que
os dois primeiros obstáculos apontados por Glaeser (2010), a “Inaptidão para
manipular quantidades isoladas” e a “dificuldade em dar sentido a quantidades
negativas isoladas”, não deveriam ser considerados como tais, visto que
configuram falta de conhecimento. Sendo um novo conhecimento para o aluno,
estes obstáculos didáticos poderiam ser considerados como dificuldades e
podem ser evitados.
Os PCN também apontam alguns obstáculos no ensino dos números
inteiros, salientando a importância de serem reconhecidos pelo professor, tais
114
como: conferir significado a quantidades negativas, reconhecer a existência de
números nos dois sentidos da reta, a partir do zero, reconhecer o zero absoluto
e o zero origem, perceber a lógica dos números negativos, que contraria a
lógica dos naturais, e, interpretar sentenças do tipo x = -y.
2 - Quais dificuldades aparecem na literatura em Educação Matemática
sobre a aprendizagem de números inteiros?
As dificuldades que encontramos nas pesquisas verificadas em nossa
Revisão foram elencadas em três categorias, devido à similaridade de
descrições por parte dos pesquisadores que as levantaram.
- Dificuldade para realizar a conversão de um problema com números
negativos, do enunciado na língua materna para a linguagem numérica.
- Dificuldade de compreender o conceito de números negativos, bem
como realizar operações básicas com eles.
- Dificuldade que em atribuir significado a quantidades negativas.
Duas das pesquisas verificadas apontam dificuldades relacionadas ao
conceito de ensino que os professores têm e estão relacionadas aos
procedimentos didáticos, material de apoio e leituras atualizadas por partes dos
docentes. De acordo com entrevistas a professores de Matemática que realizou
em sua pesquisa, Soares (2007) afirma que estes não possuem o hábito de
manter-se atualizados quanto ao uso de novas metodologias para o ensino de
Matemática. A pesquisadora afirma, ainda, que as dificuldades dos alunos
seriam menores se o ensino de Matemática se baseasse nos conhecimentos
prévios dos alunos. Rossi (2009), ao concluir seu trabalho, afirma que é
importante uma análise do livro didático, por parte do professor, no momento
da escolha e, que isso pode contribuir para o êxito dos processos de ensino e
de aprendizagem. 3 – Quais orientações são dadas pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais e pelas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná
para o ensino de números inteiros?
Tanto os PCN quanto as DCE fazem referência à importância de leituras
atualizadas por parte dos professores no que se refere às novas metodologias
115
para o ensino de Matemática, como, por exemplo, a Resolução de Problemas,
a História da Matemática, a utilização de Jogos Matemáticos e das Mídias
tecnológicas buscando incentivar o aluno para a aprendizagem.
Verificamos em algumas pesquisas analisadas a utilização desses
recursos, como, por exemplo, Gonçalves (2007), que propõe a utilização de
software matemático, ou Neves (2010) e Bordin (2011) que sugerem o uso de
jogos matemáticos adaptados para a introdução do conceito de números
inteiros.
Além desses recursos, as DCE sugerem, ainda, que os conteúdos
matemáticos sejam abordados por meio de tendências metodológicas da
Educação Matemática, como a Etnomatemática, a Modelagem Matemática e a
Investigação Matemática, afirmando que todas têm o mesmo grau de
importância, complementando-se entre si.
Quanto ao ensino específico de números inteiros, os PCN trazem
orientações para nortear o trabalho do professor. Este documento sugere que o
ensino dos números inteiros seja apresentado em situações em que estes
números estejam presentes, como uma ampliação dos Naturais para o campo
aditivo. Assim como sugere Soares (2006), que este ensino apoie-se nas ideias
intuitivas que os alunos trazem desses números, ou seja, que valorize o
conhecimento prévio dos alunos sobre números negativos.
Porém, os PCN reconhecem a necessidade de que estas situações
levem os alunos à compreensão de regras de cálculos envolvendo números
inteiros, pela observação de regularidades e das propriedades das operações
com números naturais, pois nem sempre é possível o trabalho com números
inteiros baseando-se em situações concretas.
Assim como Passoni (2002) e Todesco (2006), os PCN sugerem que já
nos anos iniciais os alunos desenvolvem noções intuitivas dos números
negativos, fruto de experiências familiares, como saldos bancários, saldos de
gols, entre outras.
116
A abordagem geométrica dos números inteiros é outra recomendação
dos PCN, explorando alguns aspectos como a ambiguidade do zero, a
verificação do oposto de cada número pertencente a esta reta, a comparação
entre estes números. A utilização da reta numérica favorece, ainda, a
compreensão de regras para operações de adição e de subtração com inteiros.
Além da utilização da reta numérica para a abordagem das operações
de adição e de subtração, os PCN sugerem o uso do ábaco dos inteiros, além
da construção de tabelas, para observação das regularidades apresentadas. A
construção dessas tabelas também é recomendada para a abordagem da
operação de multiplicação com números inteiros.
Reconhecendo a importância deste documento, e cientes de que o livro
didático representa um importante instrumento de apoio ao trabalho do
professor, formulamos então a quarta questão:
4 – As orientações presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais e
nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná estão contempladas em livros
didáticos aprovados pelo PNLD?
Para responder a esta pergunta, buscamos observar, em dois livros
didáticos de Matemática, se estes contemplam as orientações dos PCN quanto
à abordagem e operações com números inteiros, além da utilização dos
recursos e tendências metodológicas citadas nas DCE.
Verificamos, nesses livros, a observância às orientações quanto à
abordagem do conceito de operações nos campos aditivo e multiplicativo.
Quanto à utilização de recursos metodológicos como jogos e mídias
tecnológicas, verificamos que os jogos estão contemplados em ambos os livros
em diversos momentos do capítulo, mas o uso de recursos tecnológicos se faz
presente apenas em um deles e de maneira superficial, por meio da instrução
da utilização de calculadora em operações com números inteiros no campo
aditivo.
De acordo com os PCN e também com as DCE, a História da
Matemática sugere caminhos para a abordagem dos conceitos, porém,
117
observamos que apenas um dos livros faz menção à história dos inteiros e,
ainda assim, com um recorte que aponta a dificuldade de aceitação dos
números negativos, fato que pode causar, de início desânimo ao aprendizado.
Concluímos, contudo, que muitas das orientações dos PCN estão
contempladas nos dois livros didáticos verificados. Além disso, é possível ver
tentativas de criar situações em que o aluno tenha condições de superar
obstáculos tais como dar sentido a quantidades negativas; reconhecer a
existência de números nos dois sentidos da reta, a partir do zero; reconhecer o
zero absoluto e o zero origem; e inferir regras para operar com inteiros, no
campo aditivo.
5.2 Sugestões para próximas pesquisas
Ao finalizar nossa pesquisa, e diante de várias leituras sobre os
problemas na aprendizagem relacionados aos Números Inteiros, salientamos a
importância do professor identificar se estes problemas constituem-se em
dificuldades de aprendizagem ou obstáculos epistemológicos.
Pôde-se observar na História da Matemática e nos trabalhos de Glaeser
(2010) a existência de possíveis obstáculos relacionados aos Números Inteiros.
Este fato deve ser levado em conta por professores para que, caso sejam
detectados, estes obstáculos sejam enfrentados e superados.
A falta de compreensão dos alunos em situações de ensino e de
aprendizagem de números inteiros faze com que eles rotulem este tema como
difícil ou complexo. Em nossa Revisão, ficou evidente a preocupação dos
autores em utilizar metodologias de ensino diferenciadas na busca da
superação desse desafio.
O diferencial de nossa pesquisa é que buscamos caracterizar a
dificuldade de aprendizagem e obstáculo epistemológico, identificando-os em
diversos momentos.
Considerando o estudo documental realizado em nossa pesquisa e a
utilização de metodologias diferenciadas nas pesquisas nela relatadas,
118
deixamos como sugestão para continuação da mesma, a possibilidade da
elaboração e aplicação de uma sequência de ensino, tal como sugeriu Glaeser
(2010), utilizando metodologias diferenciadas, para verificar se os obstáculos
listados por ele ainda estão presentes no ensino atual.
Outra sugestão que pode ser considerada é a exploração de um
obstáculo apontado nos PCN: interpretar sentenças do tipo x = − y. Para
buscar responder por que o aluno costuma pensar que necessariamente x é
positivo e y é negativo.
119
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