PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA

DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL

FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

OBTENÇÃO SIMPLIFICADA DE CURVAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICAS A PARTIR DE

ENSAIOS MONÓTONOS.

RODRIGO DE PAULA DUARTE

AGOSTO DE 2015

RODRIGO DE PAULA DUARTE

OBTENÇÃO SIMPLIFICADA DE CURVAS TENSÃO -DEFORMAÇÃO CÍCLICAS A PARTIR DE ENSAIOS

MONÓTONOS.

Dissertação apresentada ao Programa

Francisco Eduardo Mourão Saboya de Pós -

Graduação em Engenharia Mecânica da UFF ,

como parte dos requisi tos para a obtenção do

t í tu lo de Mestre em Ciências em Engenharia

Mecânica.

Orientador: Heraldo Si lva da Costa Mattos (PGMEC/UFF )

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, AGOSTO DE 2015

II

OBTENÇÃO SIMPLIFICADA DE CURVAS TENSÃO -DEFORMAÇÃO CÍCLICAS A PARTIR DE ENSAIOS

MONÓTONOS.

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos

Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:

Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (Ph.D) Universidade Federal Fluminense

(Orientador)

Prof. João Marciano Laredo Reis (Ph.D.) Universidade Federal Fluminense

Prof. Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco (D.Sc.) Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET-RJ)

III

Dedico este trabalho

à minha noiva,

aos meus pais,

aos professores,

aos meus familiares,

e a todos os meus amigos.

IV

AGRADECIMENTOS

À Universidade Federal Fluminense, que me graduou como engenheiro

mecânico e me ofereceu inúmeras oportunidades de acesso ao conhecimento.

Ao Professor Heraldo Silva da Costa Mattos pela orientação, pelas palavras de

incentivo e pelo apoio constante.

Ao Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal

Fluminense que me concedeu esta oportunidade.

À minha noiva Maíra Guzzo Rodrigues por todo o amor, amizade, compreensão

e apoio durante esta caminhada.

Aos meus pais José Duarte e Leia de Souza Paula Duarte que foram os

responsáveis pela minha formação, educação e também pelo apoio e amor em toda

minha vida e à minha irmã Luciana de Paula Duarte, pelo companheirismo e amizade.

A todos os meus familiares, amigos e colegas pela ajuda sempre presente e pelo

incentivo em continuar os estudos.

V

RESUMO

Uma definição adequada do comportamento elasto-plástico cíclico é uma etapa

fundamental em qualquer método para predição da fadiga de baixo ciclo numa estrutura

metálica. Em geral, as equações constitutivas mais realísticas para a plasticidade cíclica

são consideradas complexas demais para serem usadas em problemas mais simples de

engenharia, já que supostamente elas requerem simulações caras, usando códigos de

elementos finitos mais sofisticados. Muitos códigos comerciais consideram equações

constitutivas sofisticadas (como o modelo de Lemaitre-Chaboche). No entanto, todos

esses códigos requerem que o usuário forneça as propriedades do material, ou seja, as

constantes que caracterizam o material na teoria. Dentro dessas constantes, justamente

as relacionadas com os endurecimentos cinemático e isotrópico podem variar

amplamente, ainda que para um mesmo material, visto que elas dependem de fatores

microestruturais como, por exemplo, fases, tamanho de grão, etc. Desta maneira, essas

propriedades são de difícil caracterização em tabelas, pois há muitas variáveis

envolvidas. Além disso, durante testes, uma flexão importante pode ocorrer no

espécime devido ao desalinhamento das garras. No presente trabalho é apresentado um

procedimento experimental simplificado para identificar os parâmetros relacionados

com os endurecimentos cinemático e isotrópico, usando apenas um ensaio de tração, o

qual pode ser realizado em máquinas bastante simples. Ele é adequado em materiais

com endurecimento ou amolecimento cíclicos desprezíveis. Curvas cíclicas obtidas,

utilizando-se deste procedimento simplificado, são comparadas com curvas tensão

versus deformação obtidas em ensaios cíclicos, mostrando uma boa concordância nos

resultados.

VI

ABSTRACT

An adequate definition of the cyclic elasto-plastic behaviour is a basic step for

any method of low-cycle fatigue prediction of a metallic structure. Generally, the most

physically realistic constitutive theories of cyclic plasticity are considered too complex

to be used in simpler engineering problems, since they are supposed to require

expensive numerical simulations using sophisticate finite element codes. Many

commercial codes are able to account for sophisticated constitutive equations (such as

the Lemaitre-Chaboche model). Nevertheless, every existing commercial codes require

the user to provide the adequate material parameters that pondered in the constitutive

theory. The material constants related with the isotropic and kinematic hardening may

vary a lot, even for the same material, since they depend on many microstructural

factors, such as phases, grain size and so on. The experimental identification of these

variables require cyclic tests, which are not easy to perform. In some tests, due to some

misalignment of the grips, a non-negligible flexion of the specimen may occur. The

present work is concerned with the proposition of a simple experimental procedure to

identify all material parameters related with the isotropic and kinematic hardening in the

Lemaitre-Chaboche model using only one tensile test that can be performed in any

ordinary testing machine. This is true in particular cases with negligible cyclic softening

or hardening. The cyclic curves obtained using the simplified approach are compared

with the curves obtained in cyclic tests, showing a very good agreement on the results.

VII

SUMÁRIO Resumo ...................................................................................................................... V

Abstract ................................................................................................................... VI

Sumário .................................................................................................................. VII

Lista de Figuras ...................................................................................................... IX

Lista de Tabelas.................................................................................................... XIII

Lista de Símbolos ................................................................................................ XIV

1. Introdução ................................................................................................................ 1

1.1. Proposta do Presente Trabalho ............................................................................ 3

2. Referências Bibliográficas .................................................................................. 4

2.1. Conceitos fundamentais sobre ensaios trativo-compressivos cíclicos .............. 4

2.1.1. Tensão e Deformação ................................................................................ 6

2.1.2. Fenômenos durante ensaios em materiais metálicos ............................... 10

2.2. Modelo e identificação de coeficientes em ensaios uniaxiais em materiais

metálicos....................................................................................................................... 23

2.2.1. Equações do Modelo ............................................................................... 23

2.2.2. Identificação dos Coeficientes ................................................................ 23

3. Materiais e Métodos ............................................................................................ 28

3.1. Materiais Utilizados ............................................................................................ 28

3.2. Ensaios Cíclicos ................................................................................................... 29

3.2.1. Corpos de Prova para Ensaios Cíclicos ................................................... 29

3.2.2. Equipamentos para os Ensaios Cíclicos Trativo-Compressivos ............. 31

3.2.3. Cuidados durante a execução dos Ensaios Cíclicos ................................ 35

3.3. Ensaios Trativos .................................................................................................. 36

3.3.1. Corpos de Prova para Ensaios Trativos Monótonos ............................... 36

3.3.2. Equipamentos para os Ensaios Trativo ................................................... 37

3.3.3. Resultados e Análises .............................................................................. 41

4. Manuseio das Curvas ......................................................................................... 47

4.1. Obtenção da Curva de um Ensaio Cíclico ........................................................ 47

4.1.1. Considerações.......................................................................................... 47

VIII

4.1.2. Método para Obtenção da Curva Estabilizada ........................................ 48

4.1.3. Resultados para o Ciclo Estabilizado Simulado Inicial .......................... 52

4.2. Método Numérico Implementado ...................................................................... 52

4.2.1. Resumo das Instruções ............................................................................ 53

4.2.2. Detalhamento das Instruções ................................................................... 54

4.2.3. Código Comentado .................................................................................. 54

4.3. Comparação do Método...................................................................................... 65

4.3.1. Comparação do Método para o ASTM 6351. ......................................... 70

4.3.2. Comparação do Método para o ASTM 7075. ......................................... 73

5. Conclusão ................................................................................................................ 76

5.1. Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros ............................................. 76

Referências Bibliográficas ..................................................................................... 78

IX

Lista de Figuras

Figura 1.1 - Geometria dos Corpos de Prova Padrão. Fonte: [1] 01

Figura 1.2. - Sistema de Alinhamento da garra. Fonte: [1] 02

Figura 2.1 - (a) Corpo de prova de seção circular; (b) Corpo de prova de seção

retangular. Fonte [2] 05

Figura 2.2 - Exemplo de uma máquina universal com parafuso e outra controlada por

um pistão. Fonte [4] 06

Figura 2.3 - Relação da Tensão e da Deformação sob um carregamento uniaxial.

Fonte [10] 08

Figura 2.4 - Comparação entre as curvas tensão vs deformação para um aço de baixo

carbono com uma liga de alumínio. Fonte: [5] 09

Figura 2.5 - Fenômeno do Endurecimento faz variar a tensão limite de escoamento

devido à plastificação. Fonte [1] 10

Figura 2.6 - Carregamentos prescritos. Fonte [1] 11

Figura 2.7 - Efeito Bauschinger. Fonte [1] 12

Figura 2.8 - Efeito Bauschinger para liga de alumínio ASTM 7050 a temperatura

ambiente. 13

Figura 2.9 - Liga de alumínio ASTM 7050 a temperatura ambiente. Ensaio cíclico com

deformação prescrita. Variação da tensão limite de escoamento. 13

Figura 2.10 - Curva Tensão vs Deformação em um ensaio cíclico em um liga ASTM

7050 a temperatura ambiente. 15

Figura 2.11 - Curva Tensão vs deformação plástica associada de um ensaio cíclico em

uma liga ASTM 7050. 15

X

Figura 2.12 - Tensão vs Deformação Plástica Acumulada de um ensaio cíclico em uma

liga ASTM 7050. 16

Figura 2.13 - Variação do segmento elástico no ensaio da liga ASTM 7050. Fonte: [1] 17

Figura 2.14 - Visualização das variáveis X e Y. Fonte: [1] 17

Figura 2.15 - Curva típica do endurecimento isotrópico versus deformação plástica

acumulada. Fonte: [1] 18

Figura 2.16 - Curva endurecimento cinemático vs deformação plástica, típica para

ensaios monótonos com temperatura constante. Fonte: [1] 18

Figura 2.17 - Evolução do endurecimento cinemático típica em ensaios cíclicos. Fonte:

[1] 18

Figura 2.18 - Fenômeno de Amolecimento Cíclico em amplitude de deformação

prescrita. Fonte: [1] 19

Figura 2.19 - Fenômeno de Amolecimento Cíclico em amplitude de tensão prescrita. 19

Figura 2.20 - Fenômeno de Endurecimento Cíclico com amplitude de deformação

prescrita. Fonte [1] 20

Figura 2.21 - Fenômeno de Endurecimento Cíclico com amplitude de tensão prescrita.

Fonte [1] 20

Figura 2.22 - Fenômeno de Adaptação Elástica. Fonte [1] 21

Figura 2.23 - Fenômeno de Acomodação Plástica. Fonte [1] 21

Figura 2.24 - Deformação plástica cíclica sem estabilização. Fonte [1] 22

Figura 2.25 - Endurecimento Cíclico numa liga ASTM 6351. 22

Figura 2.26 - Flexão do corpo de prova numa liga ASTM 6351. 22

Figura 2.27 - Carregamento com deformação prescrita para identificação dos

coeficientes. Fonte: [1] 23

Figura 2.28 - Identificação experimental de σy. Fonte: [1] 24

XI

Figura 2.29 - Comparação entre a curva experimental obtida e a curva para o ciclo

estabilizado. 25

Figura 3.1 - Corpos de Prova segundo a norma ASTM E606/E606M-12. Fonte [10] 29

Figura 3.2 - Geometria dos Corpos de Prova para Ensaios Cíclicos. Fonte [10] 30

Figura 3.3 - Sentido de laminação e de obtenção dos corpos de prova. Fonte [1] 31

Figura 3.4. Exemplo de um Equipamento para Ensaios Cíclicos. Fonte: Instron 32

Figura 3.5 - Extensômetro anexado a um corpo de prova 33

Figura 3.6 - (a) Esquemático de um extensômetro elétrico resistivo.

(b) Esquema de montagem em um corpo de prova. 33

Figura 3.7 - Diferentes modos de fixação segundo a norma ASTM E606/606M-12.

Fonte [10] 34

Figura 3.8 - Sistema de fixação com garra. Fonte Instron. 35

Figura 3.9 - Sistema de alinhamento da garra. Fonte [1] 36

Figura 3.10 - Geometria dos corpos de prova prismáticos utilizados nos ensaios trativos. 37

Figura 3.11 - Máquina de Ensaios Universal Shimadzu AG-100kNX. Fonte Shimadzu 38

Figura 3.12 - a)Teste 1, deslocamentos medidos com uma câmera de precisão;

b)Teste 2, deslocamentos medidos com um extensômetro. 39

Figura 3.13 - Adesivos para a obtenção dos deslocamentos. 39

Figura 3.14 - Vídeo-extensômetro do LED / LMTA. 40

Figura 3.15 - Esquemático com o funcionamento de um vídeo-extensômetro. 42

Figura 3.16 - Tensão x Deformação para os ensaios com a câmera e com o

extensômetro. 42

Figura 3.17 - Medição dos Módulos de Elasticidade a 0,02% e 0,2% de deformação. 43

Figura 3.18 - Deformação Plástica Associada. 44

XII

Figura 3.19 - Medição de v1 e v2. 45

Figura 4.1: Carregamentos e deformações prescritas. Fonte [1] 47

Figura 4.2: Primeira translação. 48

Figura 4.3: Segunda translação. 49

Figura 4.4: Restrição para o intervalo escolhido. 50

Figura 4.5: Rotação da curva. 50

Figura 4.6: Ciclo estabilizado. 51

Figura 4.7 - Interface para a entrada de dados. 53

Figura 4.8 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio de Tração Monótono da liga

ASTM 6351. 65

Figura 4.9 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio de Tração Monótono da liga

ASTM 7050. 66

Figura 4.10 - Simulação da Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Trativo-

Compressivo Cíclico para a liga ASTM 6351. 66

Figura 4.11 - Simulação da Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Trativo-

Compressivo Cíclico para a liga ASTM 7050. 67

Figura 4.12 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Realizado Trativo-

Compressivo Cíclico para a liga ASTM 6351. 67

Figura 4.13 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Realizado Trativo-

Compressivo Cíclico para a liga ASTM 7050. 68

Figura 4.14 - Curva Tensão x Deformação Plástica o Ensaio Cíclico Realizado para a

liga ASTM 6351. 68

Figura 4.15 - Curva Tensão x Deformação Plástica o Ensaio Cíclico Realizado para a

liga ASTM 7050. 69

Figura 4.16 - Intervalo onde o Ciclo é convergente para a liga ASTM 6151. 69

XIII

Figura 4.17 - Intervalo onde o Ciclo é convergente para a liga ASTM 7050. 70

Figura 4.18 - Comparação entre o Ensaio Cíclico Simulado e o Ensaio Cíclico Não

Estabilizado para a liga ASTM 6351. 71

Figura 4.19 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Não Estabilizado

para a liga ASTM 6351. 71

Figura 4.20 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Simulado para a

liga ASTM 6351. 72

Figura 4.21 - Comparação entre o Ensaio Cíclico Simulado e o Ensaio Cíclico Não

Estabilizado para a liga ASTM 7050. 73

Figura 4.22 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Não Estabilizado

para a liga ASTM 7050. 74

Figura 4.23 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Simulado para a

liga ASTM 7050. 74

XIV

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 - Razão dimensional dos CPs adotados em diferentes normas. 5

Tabela 3.1 - Composição Química das Ligas de Alumínio. 28

Tabela 3.2 - Resultados dos Ensaios de Tração Monótonos. 45

Tabela 4.1 - Resultados do Ciclo Estabilizado Simulado. 52

Tabela 4.2 - Comparação dos Resultados para a liga ASTM 6351. 72

Tabela 4.3 - Comparação dos Resultados para a liga ASTM 7050 75

XV

Lista de Símbolos

L0 Comprimento inicial do corpo de prova;

D0 Diâmetro inicial do corpo de prova;

A0 Área inicial do corpo de prova;

F(t) Função força aplicada ao corpo de prova em relação ao tempo;

ΔL Alongamento do corpo de prova;

σ(t) Função Tensão aplicada ao corpo de prova em relação ao tempo;

ε(t) Função deformação aplicada ao corpo de prova em relação ao tempo;

1 Tensor identidade;

Tensor de Cauchy;

Tensor deformação;

Coeficiente de Poisson;

tr (·) Traço de um tensor;

Trabalho por unidade de volume em relação ao tempo;

ε0p Deformação plástica;

p0 Deformação plástica acumulada;

Y Endurecimento isotrópico;

X Endurecimento cinemático;

a, b Constantes referentes ao comportamento plástico do material;

S

Tensor desviador de tensão;

u Deslocamento em determinado ponto material;

XVI

sr componente radial da tensão;

sq

componente circunferencial da tensão;

sz

componente axial da tensão;

uS

tensão de ruptura;

ρ resistividade do material;

v1, v2 Parâmetros relacionados com o endurecimento isotrópico;

E Módulo de elasticidade do material.

1

CAPÍTULO 1

1. INTRODUÇÃO

1.1.PROPOSTA DO PRESENTE TRABALHO

O presente trabalho leva em consideração os modelos de elasto-platicidade

introduzidos por Lemaitre-Chaboche que vêm sendo utilizados amplamente em

pesquisas nessa área. No entanto, para o uso efetivo do modelo, é necessário medir

variáveis intrínsecas não somente ao material, como também ao elemento que será

utilizado na aplicação, pois muitas dessas variáveis também estão relacionadas com o

processo de fabricação da peça. Sendo assim, ensaios cíclicos trativo-compressivos,

atualmente, são uma etapa obrigatória para cada elemento analisado.

Devido às variações e à complexidade do modelo, o método de elementos finitos

tornou-se ferramenta frequentemente utilizada neste tipo de análise. Todavia, as

variáveis do material continuam sendo requeridas como entrada, novamente carecendo

de um ensaio cíclico trativo-compressivo.

Esse tipo de ensaio, ainda hoje, encontra uma série de dificuldades para a sua

realização que podem ser tanto econômicas, quanto práticas e humanas, e que acabam

tornando-se entraves para o desenvolvimento de pesquisas neste campo.

A possibilidade de ser executado um ensaio cíclico trativo-compressivo nem

sempre pode ser contemplada em todos os equipamentos, devido a limitações do próprio

equipamento ou a dificuldades na usinagem de um corpo de prova resistente à

flambagem. Os corpos de prova padrões devem possuir dimensões complexas de se

obter, nem sempre alcançáveis nos equipamentos de usinagem disponíveis, como o

corpo de prova padrão representado na figura 1.1.

2

Figura 1.1 – Geometria dos Corpos de Prova Padrão. Fonte: [1]

As limitações do equipamento de ensaio incluem as dificuldade de controle e as

deficiências da garra, que deve evitar o escorregamento e o desalinhamento, para que o

corpo de prova não flambe ou fleta, como mostrado na Figura 1.2, a seguir. Para um

controle efetivo, são necessárias experiência, acuidade e domínio do equipamento de

testes, este o qual muitas vezes não é bem manuseado nem mesmo pela equipe de

vendas do próprio fabricante.

Figura 1.2 – Sistema de Alinhamento da garra. Fonte: [1]

No presente trabalho, será demonstrada a possibilidade de gerar-se uma curva do

ciclo estabilizado a partir de uma curva obtida apenas em um ensaio de tração

monótono, utilizando-se um corpo de prova retangular, não havendo desta maneira a

preocupação com a flambagem do mesmo.

3

Por se tratar de um ensaio trativo monótono, dispensam-se os custos com a

fabricação de corpos de prova complexos e dos com um equipamento muito mais

dispendioso de recursos monetários e humanos, visto que é um ensaio que pode ser

executado em equipamentos vastamente conhecidos experimentados pela comunidade

científica.

Em seguida, para validação do método, as curvas obtidas serão comparadas com

curvas estabilizadas obtidas em ensaios cíclicos reais, realizados por Feliciano e da

Costa Mattos em [1], para um corpo de prova cilíndrico de dimensões padrão, feito em

alumínio.

No Capítulo 2, serão apresentados os conceitos fundamentais sobre ensaios

trativos, ensaios de carga e descarga e ensaios cíclicos, necessários para o bom

entendimento deste trabalho, concomitantemente à revisão bibliográfica.

O Capítulo 3 apresentará os materiais e métodos utilizados nos ensaios,

juntamente com as ponderações sobre cada método, explanações sobre equipamentos

para execução dos teste e para medição dos resultados.

O Capítulo 4 dissertará sobre o método numérico desenvolvido para facilitar a

obtenção de curvas de ensaios cíclicos trativo-compressivos a partir de um ensaio

monótono. Também será apresentado um programa desenvolvido em Visual Basic for

Applications de maneira que facilite a obtenção da simulação dessa curva e, ao final do

capítulo, será demonstrada uma comparação desse método aplicando-o em curvas

trativas monótonas e comparando-as às curvas obtidas em ensaios cíclicos reais,

realizados por Feliciano e da Costa Mattos em [1]. A partir dessas curvas, obtêm-se as

variáveis necessárias para o modelo de Lemaitre-Chaboche.

O Capítulo 5 apresentará a conclusão, recomendações para a réplica destes

ensaios e métodos, além de sugestões para trabalhos futuros.

4

CAPÍTULO 2

2.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

2.1 Conceitos fundamentais sobre ensaios trativo-compressivos cíclicos

Os ensaios abordados no presente trabalho serão todos do tipo uniaxiais em

corpos de prova metálicos e este capítulo abordará uma visão geral sobre o

comportamento dos corpos de prova durante esses ensaios em carregamentos

monótonos e cíclicos que causem uma deformação permanente mensurável no corpo de

prova.

Nesses tipos de ensaio, um corpo de prova será submetido a um esforço

crescente em sua direção axial, que tenderá a alongá-lo ou a comprimi-lo. A história da

força em relação ao alongamento sofrida pelo material é anotada e, a partir dessa

relação, podem ser extraídas informações como por exemplo as tensões de escoamento,

tensões de ruptura do material, porcentagem de alongamento, porcentagem da área

reduzida, módulo de Young e o endurecimento sofrido pelo material. Esses parâmetros

são importantes para a seleção de materiais em qualquer aplicação de engenharia.

Desta maneira, para manter uma boa rastreabilidade entre ensaios e uma base de

comparação, tanto os ensaios quanto os corpos de prova devem seguir uma

padronização, um conjunto de normas que descrevem a geometria dos corpos de prova,

bem como eles devem ser confeccionados, juntamente como o ensaio deve ser

realizado. Uma gama de normas produzidas por sociedades profissionais no assunto,

como a American Society of Testing and Materials (ASTM), a British Standard, JIS

Standard e a DIN Standard, estão à disposição e sua escolha varia de acordo com a

região, padrão de medidas, disponibilidade, material e conveniência. Cada norma

contém uma variedade de padrões descritos para um grupo específico de materiais,

baseado nas suas dimensões e histórico de fabricação. Por exemplo, a norma ASTM E8

[2] é um método de teste padrão para ensaio trativos em materiais metálicos, mas a

norma ASTM B557 [3] descreve a padronização para ensaios trativos em corpos de

5

prova de alumínio forjado ou fundido e/ou ligas de magnésio. O objetivo deste trabalho,

no entanto, não será detalhar cada procedimento para se realizar esse tipo de ensaio.

Para tal, sugere-se consultar a seção 3 do Annual Book os ASTM Standards [4] e as

normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas, a ABNT.

Um corpo de prova deve ser preparado em uma seção circular ou retangular

dentro do comprimento determinado, como ilustrado nas Figuras 2.1.a e 2.1.b

respectivamente, dependendo da norma utilizada. Ambas as pontas do corpo de prova

devem possuir comprimento suficiente para serem firmemente fixadas no equipamento,

de maneira que essa fixação não ocasione um estado triaxial de tensões, mas ainda

mantenha o corpo de prova preso durante o ensaio.

Figura 2.1 - (a) Corpo de prova de seção circular; (b) Corpo de prova de seção

retangular. Fonte: [2]

O comprimento inicial, L0, é padronizado e muda de país para país, mas varia de

acordo com o diâmetro inicial, D0, ou a área da seção inicial, A0, do corpo de prova,

como listado, a exemplo, na tabela 2.1. Na tabela, está exibida a proporção entre o

comprimento inicial pela área inicial, em corpos de prova a partir de uma placa com

seção retangular, , e do comprimento incial pelo diâmetro inicial, em corpos

de prova a partir de uma barra com seção circular, .

Tabela 2.1 - Razão dimensional dos CPs adotados em diferentes normas

Tipo ASTM BS DIN

Placa 4,5 5,65 11,3

Barra 4,0 5,0 10,0

6

Os equipamentos mais comuns usados para os ensaios de tração ou de tração e

compressão são as chamadas máquinas universais, que são equipamentos onde um

parafuso eletromecânico ou um servo eletro-hidráulico atua tracionando ou

comprimindo o corpo de prova. Atualmente, a maioria desses equipamentos funciona

em conjunto com um computador, que controla a intensidade e frequência da carga ou o

deslocamento desejado, dispondo graficamente os resultados obtidos. A Figura 2.2

exemplifica dois tipos de máquinas universais.

Figura 2.2 - Exemplo de uma máquina universal com parafuso e outra controlada por

um pistão. Fonte: [4]

2.1.1 Tensão e Deformação

Quando um corpo de prova é submetido a tensões externas, o metal sofrerá uma

deformação elástica e plástica. Normalmente, padroniza-se a apresentação dos

resultados do ensaio usando-se, no lugar da força, F(t), e do alongamento, ΔL, as

variáveis σ(t) e ε(t), definidas a seguir nas Equações 2.1 e 2.2, e que serão chamadas

daqui por diante de tensão e de deformação.

(2.1)

(2.2)

7

A unidade adotada para tensão no sistema internacional é o Pascal (1 Pa = 1

N/m2). Por tradição, a tensão é usualmente apresentada em MPa (1 MPa = 106 Pa = 1

N/mm2). Em alguns livros, a variável σ é chamada de tensão “de engenharia”, para

diferenciá-la da tensão “real” dada pela razão entre a força aplicada e a área real da

seção transversal deformada.

Essa relação entre a Tensão e a Deformação nos permite obter a história do

comportamento do material independentemente da geometria ou magnitude da força

aplicada, enquanto a deformação na seção útil for homogênea. Logo, basta ensaiar

algum tipo de corpo de prova padrão, cuidadosamente concebido para que a região útil

se comporte como uma barra solicitada axialmente com a deformação o mais

homogênea possível, para se obter uma curva válida para qualquer outra geometria

(seção transversal e comprimento). Vale a pena observar que, para deformações

pequenas (menores do que 5%, isto é ε < 0.05), a tensão “de engenharia” e a tensão

“real” podem ser confundidas. Para um leitor familiarizado com a Termomecânica dos

Meios Contínuos, vale a pena comentar que o corpo de prova é concebido de forma que

o tensor tensão de Cauchy, notado aqui como σ , seja dado numa base cartesiana com

uma das direções coincidentes com o eixo do corpo de prova, por:

(2.3)

onde σI é a tensão “real”, enquanto a deformação for homogênea. Se a deformação for

razoavelmente pequena (ε < 0.005), o tensor deformação linearizado, notado aqui como

ε , tem a seguinte forma

; 0 < v < 0,5 (2.4)

onde a variável v depende do processo. O papel desta variável e a sua dependência com

a história de deformação permanente do corpo de prova não serão discutidos neste

capítulo.

Através dessa relação de tensão e deformação, exemplificada na Figura 2.3,

pode ser, então, plotado o gráfico, onde é possível mensurar uma série de variáveis,

8

como o módulo de Young, o endurecimento cinemático, o endurecimento aniso ou

isotrópico e a tensão de escoamento, além de ser possível tirar conclusões sobre o que

ocorreu com o corpo de prova durante os ensaios, como o efeito Bauschinger, o

amolecimento ou endurecimento cíclico, viscosidade do metal e o envelhecimento.

Esses fenômenos serão abordados mais a frente neste mesmo capítulo.

Figura 2.3 - Relação da Tensão e da Deformação sob um carregamento uniaxial. Fonte: [10]

Uma relação linear entre σ e ε, se a tensão for menor do que um certo valor

limite. Seguindo a Lei de Hook,

(2.5)

define-se o Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young, E, do material, como a razão

entre a tensão σ e a deformação ε, como está mostrado na figura 2.3. Se a tensão for

superior a este valor limite, observa-se uma relação não linear entre σ e ε.

Ao continuar com o carregamento, ultrapassaremos o regime elástico e o

material irá começar a escoar justamente no início da deformação plástica. O momento

onde ocorre o escoamento pode ser observado diretamente da distensão da curva em

9

metais CCC, como ferro, aços de baixo carbono, molibdênio e titânio policristalino,

iniciando um fenômeno chamado estricção. Neste ponto, o escoamento atinge a tensão

de escoamento superior da estricção e é seguida por uma abrupta redução da tensão até

atingir o ponto de escoamento inferior da estricção. Nesta seção, o corpo de prova

continua se alongando sem uma mudança significativa nos níveis de tensões. Após

ultrapassar uma certa deformação durante a estricção, aumentos de tensão terão um

alongamento correspondente. Esse fenômeno está associado a uma pequena quantidade

de átomos intersticiais ou substitucionais. Quando a matriz é invadida por esses átomos,

a tensão necessária para deslocar as discordâncias do material naquela região aumenta.

Essa rigidez devido aos átomos intersticiais está associada ao ponto de escoamento

superior da estricção, e, quando a linha de deslocamento estiver livre de átomos como

soluto, a tensão cai abruptamente, onde está associada ao ponto de escoamento inferior

durante a estricção, como pode ser visualizado na Figura 2.4. Complementarmente, o

fenômeno de estricção também é afetado com a quantidade de átomos como solutos na

solução sólida e pela energia de interação entre os átomos solutos e as discordâncias.

Figura 2.4 - Comparação entre as curvas tensão vs deformação para um aço de baixo

carbono com uma liga de alumínio. Fonte: [5]

Por outro lado, os metais de estrutura cristalina CFC, como as ligas de alumínio,

não apresentam o fenômeno de estricção bem marcado como as estruturas CCCs. Eles

apresentam um transição suave na curva de tensão de engenharia versus deformação.

A determinação da tensão limite acima da qual existem deformações

irreversíveis é um problema experimental, pois depende, dentre outras coisas, da

10

precisão da medição de deformação utilizada. Para superar estas subjetividades, adota-

se um limite convencional σy correspondente a uma deformação permanente δp pré-

estabelecida e considerada pequena a ponto de poder ser desprezada (ver a figura 17).

Usualmente, para controle de qualidade de materiais, considera-se δp = 0,002

(alongamento permanente de 0,2% da seção útil do corpo de prova). No entanto, para

estudos envolvendo carregamentos cíclicos fora do limite elástico (fadiga plástica

oligocíclica), sugere-se usar um limite dez vezes menor δp = 0,0002 (alongamento

permanente de 0,02% da seção útil do corpo de prova).

2.1.2 Fenômenos durante ensaios em materiais metálicos

Ao ser ensaiado, o corpo de prova nos conta uma história e, através somente do

gráfico de Tensão versus Deformação é possível identificar o que ocorreu com o corpo

antes e durante o ensaio. Esses fenômenos podem apresentar-se de diversas maneiras,

como a variação do módulo de elasticidade, viscosidade, envelhecimento, estricção,

amolecimento, variação do limite de escoamento, efeito Bauschinger, amolecimento e

endurecimento cíclico.

Fazendo-se sucessivos carregamentos de carga e descarga com amplitude

crescente, verifica-se que o limite de elasticidade (também chamado de limite de

escoamento) é afetado pela plastificação. A tensão de escoamento no início de cada

novo ciclo de carga é sempre maior do que a tensão σy, caracterizando o fenômeno de

endurecimento, como nos mostra a Figura 2.5.

Figura 2.5 - Fenômeno do Endurecimento faz variar a tensão limite de escoamento

devido à plastificação. Fonte: [1]

11

Também pode ser realizado o ensaio de carga e alívio com cargas compressivas,

mas o procedimento se torna muito mais complexo, pois o corpo de prova deve ser

capaz de suportar as tensões compressivas de maneira que não ocorra o fenômeno da

flambagem. Combinando-se os ensaios trativos seguidos de ensaios compressivos,

temos os ensaios cíclicos trativos compressivos, que serão referidos apenas como

ensaios cíclicos.

Existem duas possibilidades para a realização de ensaios cíclicos, como

evidenciou Feliciano em [1]: (a) Ensaio com força (tensão) prescrita ou (b) Ensaio com

alongamento (deformação) prescrito. Em geral, carrega-se ciclicamente o corpo de

prova a baixas frequências para evitar efeitos de propagação de ondas que causem

deformações não homogêneas dentro da seção útil (sugere-se frequências sempre

menores do que 5 Hz). Também deve se tomar cuidado para evitar a flambagem do

corpo de prova, quando submetido a cargas compressivas. A figura 2.6 mostra os

diferentes tipos de carregamentos prescritos. É importante notar que trata-se de uma

representação esquemática e que várias formas de carregamento (triangular, senoidal,

etc.) podem ser aplicadas com diferentes valores médios (o carregamento não precisa

ser perfeitamente alternado). Nos comentários feitos a seguir, considera-se sempre que o

corpo de prova é inicialmente “virgem” e que, salvo comentários expressos, os ensaios

não apresentam influência dos fenômenos de viscosidade e nem de envelhecimento. Na

ausência destes fenômenos, a forma e a frequência (sempre abaixo de 5 Hz) do

carregamento influem muito pouco na curva tensão x deformação.

Figura 2.6 - Carregamentos prescritos. Fonte: [1]

12

É importante enfatizar novamente o fato de que um ensaio com o deslocamento

δ do sistema de carga prescrito é diferente de um ensaio com deslocamento prescrito do

corpo de prova, já que o sistema também se deforma. Para uma seção útil de

comprimento L, a deformação é sempre dada pela relação, a qual é diferente da relação

ε = ΔL/L ε = δ/L.

Havendo evolução da deformação plástica, o limite de escoamento à tração (σET)

e o limite de escoamento à compressão (σEC) se alteram a cada ciclo e não são

necessariamente iguais. A plastificação altera não somente o limite à tração, mas

também o limite à compressão, induzindo uma anisotropia no material. Este fenômeno é

conhecido como Efeito Bauschinger e está mostrado esquematicamente na figura 2.7. A

figura 2.8 mostra este fenômeno observado num ensaio real para uma liga de alumínio

ASTM 7050 a temperatura ambiente. Em geral, após uma tração, o limite de

escoamento à tração aumenta e o valor absoluto do limite de escoamento à compressão

diminui.

Figura 2.7 - Efeito Bauschinger. Fonte: [1]

Observa-se que, a cada ciclo, os valores limites σET e σEC para uma deformação

plástica fixa ε0p podem ser bastante diferentes, como está exemplificado na Figura 2.8.

A figura 2.9 mostra este fenômeno num ensaio real, efetuado a temperatura ambiente

por Feliciano em [1]. Portanto, os limites σET e σEC não dependem apenas da deformação

plástica, mas também da deformação plástica acumulada, definida da seguinte forma:

(2.6)

13

Figura 2.8 - Efeito Bauschinger para liga de alumínio ASTM 7050 a temperatura

ambiente.

Figura 2.9 - Liga de alumínio ASTM 7050 a temperatura ambiente. Ensaio cíclico com

deformação prescrita. Variação da tensão limite de escoamento.

A deformação plástica acumulada é uma grandeza positiva que caracteriza um

“caminho percorrido” num determinado número de ciclos. É simples verificar que, se

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004

Tensão vs Deformação Plástica

14

εp > 0, ∀t (ensaio de tração estritamente monótono), então p(t) = ε

p(t), ∀t.

Analogamente, se εp < 0, ∀t (ensaio de compressão estritamente monótono), então p(t) =

-εp(t), ∀t.

A variável p é um parâmetro de grande importância no estudo da plasticidade

cíclica. Muitos problemas interessantes de integridade estrutural ocorrem em situações

onde a amplitude de deformação plástica é muito pequena, mas a deformação plástica

acumulada aumenta progressivamente. Nestes casos, embora aparentemente as

deformações permanentes sejam desprezíveis, quanto maior a deformação plástica

acumulada, maior a probabilidade de aparecimento de uma macrofissura, pois o

trabalho por unidade de volume,

(2.7)

é recuperável (fenômeno reversível). Daqui por diante, por definição, considera-se que,

para um corpo de prova “virgem” (corpo de prova sem anisotropia inicial, isto é, com as

tensões iniciais de escoamento à tração e à compressão de mesmo valor absoluto) as

condições iniciais são: p(t=0) = εp(t=0) = 0.

As curvas σ vs εp e σ vs p podem ser obtidas facilmente à partir da curva σ vs ε e

fornecem informações importantes na análise do endurecimento do corpo de prova em

ensaios cíclicos. Seja um conjunto experimental de n pares ordenados (σi, εi). Isto é:

; com t0 < t1 < t2 < ... < tn. No instante t0 supõe-se que a deformação

plástica ε0p e a deformação plástica acumulada p0 são conhecidas. Dado um par (σi, εi)

com i > 0, obtém-se a deformação plástica εip associada através da seguinte relação:

(2.8)

A deformação plástica acumulada pi, para i > 0, é obtida num ciclo de carga ou

de descarga, através das seguintes relações:

(2.9)

(2.10)

15

Isto é, o incremento da deformação plástica acumulada num processo de carga

ou de descarga a cada instante é igual ao módulo do incremento da deformação plástica.

A figura 2.11 mostra a curva tensão versus deformação plástica associada ao ensaio

feito numa Liga de alumínio ASTM 7050 a temperatura ambiente, mostrado na figura

2.10. A figura 2.12 mostra a curva tensão versus deformação plástica acumulada

associada ao ensaio mostrado na figura 2.10. A tensão acumulada seria a representação

do acúmulo de deformações a cada ciclo, o que resultará numa falha por fadiga devido

ao somatório dessas deformações sucessivas, por mais ínfimas que sejam.

Figura 2.10 - Curva Tensão vs Deformação em um ensaio cíclico em um liga ASTM

7050 a temperatura ambiente.

Figura 2.11 - Curva Tensão vs deformação plástica associada de um ensaio cíclico em

uma liga ASTM 7050.

-5,00E+02

-4,00E+02

-3,00E+02

-2,00E+02

-1,00E+02

0,00E+00

1,00E+02

2,00E+02

3,00E+02

4,00E+02

5,00E+02

-8,00E-03 -6,00E-03 -4,00E-03 -2,00E-03 0,00E+00 2,00E-03 4,00E-03 6,00E-03 8,00E-03

Tensão x Deformação

-5,00E+02

-4,00E+02

-3,00E+02

-2,00E+02

-1,00E+02

0,00E+00

1,00E+02

2,00E+02

3,00E+02

4,00E+02

5,00E+02

-4,00E-03 -3,00E-03 -2,00E-03 -1,00E-03 0,00E+00 1,00E-03 2,00E-03 3,00E-03 4,00E-03

Deformação Plástica Associada

16

Figura 2.12 - Tensão vs Deformação Plástica Acumulada de um ensaio cíclico em uma

liga ASTM 7050.

O efeito do processo de deformação plástica nos limites de escoamento a tensão

e a deformação pode ser melhor analisado definindo-se o conceito de Segmento

Elástico. Num dado instante t, o segmento elástico é o conjunto das tensões que não

causam escoamento.

Experimentalmente, observa-se que o processo de plastificação afeta o segmento

elástico, fazendo que ele aumente de tamanho e se translade. A Figura 2.13 mostra a

evolução do segmento elástico em alguns instantes do ensaio mostrado na figura 2.10. O

aumento de tamanho causado pelo processo de plastificação é chamado de

Endurecimento Isotrópico e a translação do Segmento Elástico (anisotropia induzida

pela plastificação) de Endurecimento Cinemático. Para facilitar a análise dos

endurecimentos, é interessante introduzir as variáveis X e Y definidas à partir da

seguinte mudança de variáveis:

(2.11)

(2.12)

Assim, temos que 2Y será o tamanho do Segmento Elástico e X será a coordenada do

centro do Segmento Elástico, como está ilustrado na Figura 2.14.

-5,00E+02

-4,00E+02

-3,00E+02

-2,00E+02

-1,00E+02

0,00E+00

1,00E+02

2,00E+02

3,00E+02

4,00E+02

5,00E+02

0,00E+00 1,00E-02 2,00E-02 3,00E-02 4,00E-02 5,00E-02 6,00E-02 7,00E-02

Tensão vs Deformação Plástica Acumulada

17

Figura 2.13 - Variação do segmento elástico no ensaio da liga ASTM 7050. Fonte: [1]

Figura 2.14 - Visualização das variáveis X e Y. Fonte: [1]

Experimentalmente verifica-se que os limites de escoamento à tração e à

compressão e, concomitantemente, X e Y, dependem da deformação plástica εp e da

deformação plástica acumulada p. Na ausência de fenômenos de envelhecimento e para

uma temperatura constante, é razoável considerar que o endurecimento cinemático e o

endurecimento isotrópico só dependem destas variáveis.

Em geral, numa temperatura constante, o endurecimento isotrópico só depende

da deformação plástica acumulada (ensaios monótonos ou não) e aumenta com até

atingir um valor de saturação, como mostrado na figura 2.15.

18

Figura 2.15 - Curva típica do endurecimento isotrópico versus deformação plástica

acumulada. Fonte: [1]

O comportamento da variável associada ao endurecimento cinemático é análogo,

no caso de ensaios monótonos à temperatura constante, como demonstra a Figura 2.16,

atingindo um valor máximo. No entanto, em ensaios não monótonos verifica-se que a

variável X, o endurecimento cinemático, depende fortemente tanto da deformação

plástica εp como de p, como mostra a Figura 2.17.

Figura 2.16 - Curva endurecimento cinemático vs deformação plástica, típica para

ensaios monótonos com temperatura constante. Fonte: [1]

Figura 2.17 - Evolução do endurecimento cinemático típica em ensaios cíclicos. Fonte: [1]

19

Em muitos ensaios com deformação plástica mensurável o endurecimento

cinemático e o endurecimento isotrópico são tais que verifica-se o fenômeno de

amolecimento cíclico ou de endurecimento cíclico, mostrado esquematicamente nas

figuras 2.18, 2.19, 2.20 e 2.21. Nos materiais que apresentam amolecimento cíclico a

amplitude de tensão Δσ diminui durante alguns ciclos sucessivos em ensaios com

deformação prescrita, e, em ensaios com tensão prescrita, a amplitude de deformação

aumenta durante alguns ciclos sucessivos. No endurecimento cíclico, a amplitude de

tensão Δσ aumenta durante alguns ciclos sucessivos em ensaios com deformação

prescrita, e, em ensaios com tensão prescrita, a amplitude de deformação Δε diminui a

cada ciclo sucessivo.

Figura 2.18 - Fenômeno de Amolecimento Cíclico em amplitude de deformação

prescrita. Fonte: [1]

Figura 2.19 - Fenômeno de Amolecimento Cíclico em atitude de tensão prescrita. Fonte: [1]

20

Figura 2.20 - Fenômeno de Endurecimento Cíclico com amplitude de deformação

prescrita. Fonte: [1]

Figura 2.21 - Fenômeno de Endurecimento Cíclico com amplitude de tensão prescrita. Fonte: [1]

Após alguns ciclos com endurecimento ou amolecimento cíclico, a curva σ vs ε

tende a se estabilizar. Isto é, a resposta a uma solicitação periódica se torna também

periódica. Usualmente chama-se esta parte periódica da curva σ vs ε de ciclo

estabilizado.

A viscosidade pode fazer que o comportamento do corpo de prova num ensaio

cíclico dependa fortemente da frequência e da forma da solicitação. No presente

trabalho, abordaremos apenas os materiais elastoplásticos, os quais não sofrem

influência direta da taxa de deformação aplicada durante o carregamento enquanto são

ensaiados.

A resposta periódica pode ser perfeitamente elástica, cujo fenômeno é chamado

de Adaptação Elástica e está exemplificado na Figura 2.22, onde o ciclo estabilizado é

perfeitamente elástico, isto é, após alguns ciclos não há evolução da deformação plástica

e nem da deformação plástica acumulada. A amplitude de deformação plástica |εp| e a

deformação plástica acumulada, p, são limitadas.

21

A resposta periódica também pode apresentar alguma deformação plástica

cíclica ou apresentar um laço de histerese, cujo fenômeno é denominado de

Acomodação Plástica, exemplificado na Figura 2.23, onde o ciclo estabilizado apresenta

um laço de histerese. A amplitude de deformação plástica |εp| é limitada, mas a

deformação plástica acumulada, p, aumenta.

Figura 2.22 - Fenômeno de Adaptação Elástica

Figura 2.23 - Fenômeno de Acomodação Plástica. Fonte: [1]

Após o início da resposta periódica, quando acontece a estabilização, é possível

o aparecimento de uma macro-fissura por fadiga. Neste caso, as deformações deixam de

ser homogêneas na parte útil do corpo de prova e a resposta novamente deixa de ser

periódica. Se um ensaio com tensão prescrita não for puramente alternado, é possível

que não haja resposta periódica (estabilização), havendo um fenômeno de deformação

plástica cíclica progressiva até a ruptura, como mostrado na figura 2.24. Neste caso,

tanto a amplitude de deformação plástica, |εp|, quanto a deformação plástica acumulada,

p, aumentam progressivamente.

22

Figura 2.24 - Deformação plástica cíclica sem estabilização. Fonte: [1]

Nas figuras 2.25 e 2.26 a seguir, estão apresentados ensaios reais apresentando

os diferentes tipos de fenômenos descritos esquematicamente nas figuras anteriores.

Figura 2.25 - Endurecimento Cíclico numa liga ASTM 6351.

Figura 2.26 - Flexão do corpo de prova numa liga ASTM 6351.

-300,000

-200,000

-100,000

0,000

100,000

200,000

300,000

-0,00600 -0,00400 -0,00200 0,00000 0,00200 0,00400 0,00600

Tensão x Deformação

-300,000

-200,000

-100,000

0,000

100,000

200,000

300,000

-0,0020 -0,0010 0,0000 0,0010 0,0020

Tensão x Deformação Plástica

23

2.2 Modelo e identificação de coeficientes em ensaios uniaxiais em materiais

metálicos.

2.2.1 Equações do Modelo

Baseado nas observações fenomenológicas apresentadas anteriormente, Lemaitre

e Chaboche [5] e Marquis [6] propuseram as seguintes equações capazes de representar

o comportamento elasto-plástico do material:

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

2.2.2 Identificação dos Coeficientes

O objetivo desta seção é elucidar o procedimento básico, conforme foi

dissertado por Feliciano em [1], para se obter os coeficientes E, σy, a, b, v1, v2 a partir da

curva σ x ε experimental obtida num ensaio cíclico com amplitude de deformação

prescrita. Todos os coeficientes podem ser obtidos a partir de um único ensaio cíclico

com deformação prescrita perfeitamente alternada ( εmax = - εmin = ε0 )

Figura 2.27 - Carregamento com deformação prescrita para identificação dos

coeficientes. Fonte: [1]

24

Conforme foi comentado anteriormente neste capítulo, o módulo de elasticidade

será obtido a partir da região elástica na curva Tensão vs Deformação, utilizando-se o

métodos dos mínimos quadrados para os pares que se encontram na região cujos pares

ordenados apresentem tensão maior do que 20% e menor que 60% da máxima tensão

medida no primeiro quadrante do ensaio, já que pode haver um escorregamento no

aparelho, não percebido facilmente a olho nu. O método dos mínimos quadrados é a que

se segue na equação

(2.19)

O valor de σy é obtido conforme foi comentado no anteriormente neste capítulo.

É o ponto de intercessão entre a curva experimental e uma reta de inclinação E passando

pelo ponto ε = δp (cuja equação é σ = E(ε - δp )), conforme demonstra a Figura 2.28. A

escolha de δp irá depender do grau de precisão desejado, isto é, abaixo de que valor uma

deformação permanente pode ser desprezada. Em geral as normas sugerem δp = 0.002,

mas esta estimativa só é adequada se as deformações envolvidas forem muito maiores

do que 0.05. Se as deformações envolvidas forem muito menores do que 0.05, sugere-se

usar δp = 0.0002.

Figura 2.28 - Identificação experimental de σy. Fonte: [1]

Uma vez determinados os valores de E e de σy , é possível obter-se a curva σ x

εp, que é fundamental para a obtenção dos demais coeficientes. A curva σ x ε

p é obtida a

partir da curva σ x ε sabendo-se que

25

(2.20)

A Figura 2.26 é um exemplo de curva tensão vs deformação plástica associada

obtida a partir da curva tensão vs deformação na Figura 2.25 para uma liga ASTM

6351.

Em alguns ensaios, devido a erros de implementação (principalmente flexão do

corpo de prova devido a desalinhamento das garras) a curva σ x εp no ciclo estabilizado

pode não ser perfeitamente simétrica e o módulo de elasticidade pode parecer estar

variando.

Para a identificação experimental dos coeficientes, sugere-se trabalhar com uma

curva corrigida, baseada na parte trativa da curva (a deformação plástica máxima deve

ser igual (em módulo) à deformação plástica mínima e a tensão máxima deve ser igual

(em módulo) à tensão, conforme ilustrado na Figura 2.29 que apresenta a curva σ x εp

obtida para o corpo de prova de Alumínio ASTM 6351, que evidenciadamente sofreu

uma flexão, e sua respectiva curva corrigida.

Figura 2.29 - Comparação entre a curva experimental obtida e a curva para o ciclo

estabilizado.

Para a determinação dos coeficientes a e b, é necessário obter expressões

analíticas para X e Y. Por definição, a deformação plástica acumulada p e a deformação

plástica εp estão relacionadas da seguinte forma:

-300,000

-200,000

-100,000

0,000

100,000

200,000

300,000

-0,0020 -0,0015 -0,0010 -0,0005 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020

Tensão vs Deformação Plástica

Ensaio Cíclico Ciclo Estabilizado

26

(2.21)

Logo, quando tem-se que e a lei de evolução (2.16) para a

variável X pode ser expressa da seguinte maneira:

, na tração (2.22)

Usando-se a condição de contorno , obtém-se a seguinte

solução analítica para a equação (2.22):

Tração:

, se

(2.23)

Raciocinando de forma análoga à que foi feita para a tração, se , a lei de

evolução (2.16) para a variável X pode ser expressa da seguinte maneira:

, na compressão (2.24)

Usando-se a condição de contorno , obtém-se a seguinte

expressão analítica:

Compressão:

, se

(2.25)

A equação (2.17) também pode ser resolvida analiticamente, obtendo-se:

(2.26)

Das equações (2.14) e (2.15) segue que, se e (ou seja,

σ-X ≥ 0). Logo, usando-se a equação (2.17) é possível verificar que, quando Φ = 0 ⇒ σ =

X + Y.

Analogamente, se e (ou seja, σ-X ≤ 0 ). Neste caso,

usando-se a equação (2.17) é possível verificar que, quando Φ = 0 ⇒ σ = X -Y .

27

Tração: σ = X + Y

Compressão: σ= X – Y (2.27)

Logo, de (2.23), (2.26) e (2.27) segue que:

Tração:

, se

(2.28)

Compressão:

, se

(2.29)

Assim, para a obtenção a partir de ensaios experimentais das demais variáveis do

material, a, b, v1 e v2, recomenda-se acompanhar a dissertação de Feliciano em [1], onde

ele explica detalhadamente o procedimento para se obter essas variáveis. O objetivo

deste trabalho se restringe apenas em introduzir e elucidar o tema, como uma forma de

embasar o leitor para que este compreenda o método que será proposto no Capítulo 4.

28

CAPÍTULO 3

3.MATERIAIS E MÉTODOS

3.1. Materiais Utilizados

O material escolhido foi o alumínio, tanto pela facilidade de ser encontrado

comercialmente, quanto pela facilidade de ser ensaiado em laboratório e, assim, obter

estimativas para seu comportamento elasto-plástico e para suas propriedades. O

alumínio também é utilizado amplamente na indústria aeronáutica, que busca

infindavelmente otimizar o conhecimento de suas propriedades mecânicas.

Os ensaios trativos monótonos foram realizados com corpos de prova fabricados

em ligas de alumínio comum, facilmente encontradas no mercado e fornecidas na forma

de barras de seção retangular. Para a etapa de comparação para validação do método, os

ensaios foram realizados segundo o procedimento apresentado na dissertação de

Feliciano e Costa Mattos[1], cujos corpos de prova foram fabricados nas ligas ASTM

6351 e ASTM 7050. Esta, fornecida na forma de placas e aquela fornecida na forma de

barras. Esse tipo de pesquisa vem sendo desenvolvida no LMTA por mais de dez anos,

conforme foi apresentado no trabalho de Feliciano em [1], onde foram apresentados

estudos com observações fenomenológicas em ensaios uniaxiais em materiais

metálicos. Esse trabalho serve de base de estudo e, principalmente, para comparação

dos seus ensaios cíclicos trativo-compressivos com o método apresentado no Capítulo

4. Obtendo-se as curvas similares às encontradas por Feliciano em seu trabalho,

podemos assegurar que, ao aplicarmos a sua metodologia, encontraremos as mesmas

variáveis para o material.

Tabela 3.1 - Composição Química das Ligas de Alumínio

Mg Si K Fe Cu Zn Mn Al Total %

AL 7050 1,21 1,63 ND 0,41 6,89 ND 0,92 88,94 100

AL 6351 1,67 0,23 ND 0,50 2,40 10,45 0,60 85,25 100

29

3.2. Ensaios Cíclicos

3.2.1. Corpos de Prova para Ensaios Cíclicos

Para ensaios cíclicos trativo-compressivos, são necessários cuidados especiais

quanto aos corpos de prova durante a parte compressiva do ensaio. Sua geometria e a

carga aplicada devem ser tais que evitem a flambagem do corpo de prova durante a

compressão. A melhor seção para esse corpo de prova será aquela simétrica no dois

eixos. Deve-se considerar também o raio de giração do corpo, evitando seções muito

alongadas. Geralmente a seção desse corpo de prova costuma ser circular para garantir a

simetria em todas as direções e o trecho que sofrerá o alongamento deverá se estender

por cerca de 3 vezes o diâmetro da seção estudada e o corpo em si deve possuir cerca de

20 vezes o diâmetro, para que a seção estudada fique longe do esforço das garras e

possa garantir um estado biaxial de tensões.

A norma ASTM E606/ E606M-12 especifica as geometrias para a fabricação do

corpo de prova, conforme está ilustrado na Figura 3.1, para diferentes formas de

fixação, inclusive a por garras como foi a forma utilizada nos ensaios.

Figura 3.1 - Corpos de Prova segundo a norma ASTM E606/E606M-12. Fonte [10]

30

A geometria escolhida no trabalho de Feliciano e Costa Mattos[1] e utilizada

para os ensaios cíclicos foi conforme ilustrado na Figura 3.2, atendendo à norma ASTM

E606 / E606M-12.

Figura 3.2 - Geometria dos Corpos de Prova para Ensaios Cíclicos. Fonte [10]

Observando a geometria do corpo de prova, é possível notar que o seu processo

de usinagem demanda tempo e recursos financeiros. Para a sua usinagemm deve ser

observado o sentido de laminação do tarugo ou da barra, diminuir suas dimensões

principais e usiná-lo por torneamento em vários passes para se obter o diâmetro e

comprimento necessários para os ensaios, juntamente com o raio de adoçamento e o raio

de concordância pré-definido. Muitos desses passos requerem uma extenuada

experiência do torneiro mecânico ou, então a utilização de um Torno de Comando

Numérico para que o corpo atinja as dimensões no devido alinhamento e acabamento.

Posteriormente, deve-se lixar e polir o corpo de prova repetidamente para que este

adquira o acabamento superficial ideal.

Nota-se, portanto, que a obtenção dos corpos de prova para ensaios cíclicos

constitui-se em uma tarefa que demanda disponibilidade de tempo e de diferentes

aparelhos de usinagem, muitos deles com alto valor de mercado, e que requer arguta

performance e prática durante as operações de usinagem.

31

Figura 3.3 - Sentido de laminação e de obtenção dos corpos de prova. Fonte [11]

3.2.2. Equipamentos para os Ensaios Cíclicos Trativo-Compressivos

Os equipamentos para Ensaios Cíclicos Trativo-Compressivos devem ser

capazes de executar esforços com força prescrita ou com deformação prescrita. A forma

mais segura para se executar esse tipo de ensaio é através de força prescrita, pois,

quando começa a estricção do corpo de prova, sua área diminui, diminuindo assim a

resistência à aplicação da força pela máquina. O equipamento correrá o risco de

processar essa informação e interpretá-la como uma redução na força aplicada,

aumentando então a força exercida. Com maior força exercida maior a estricção e mais

rápida será a diminuição de área, levando a um aumento mais rápido da força e gerando

um ciclo que rapidamente escalonará e culminará com o brusco rompimento do material

perante uma força cada vez maior, levando um maior desgaste e possíveis danos ao

32

equipamento. Um exemplo ilustrativo de um equipamento para ensaios cíclicos trativo-

compressivos pode ser visualizado na figura 3.4, a seguir.

Figura 3.4. Exemplo de um Equipamento para Ensaios Cíclicos. Fonte: Instron

A capacidade de mensurar com exatidão a força aplicada nas células de carga

também deve ser considerada, juntamente com a acurácia para se medir os

deslocamentos realizados no corpo de prova durante os ensaios. Essa medição dos

deslocamentos geralmente é realizada por extensômetros que podem ser dos mais

variados tipos, como extensômetros mecânicos, ópticos, acústicos e, os mais difundidos,

os elétrico-resistivos, cujo princípio de funcionamento se baseia em transformar

pequenas deformações em variações equivalentes em resistência elétrica, utilizando-se

33

de pontes de Wheatstone. Esses extesômetros devem ser afixados na seção útil do corpo

de prova, conforme ilustrado nas Figura 3.5 e Figuras 3.6a e 3.6b, tornando-se um

apêndice extra no corpo que pode resultar em uma leve alteração dos resultados obtidos.

Devido a essa possibilidade de alteração dos resultados, foram desenvolvidos

métodos que evitam o contato com o corpo de prova durante as medições de

deslocamento. Uma ponderação sobre um desses métodos será abordado mais adiante

no Capítulo 3, na subseção 3.3.2.

Figura 3.5 - Extensômetro anexado a um corpo de prova

Figura 3.6 - (a) Esquemático de um extensômetro elétrico resistivo.

(b) Esquema de montagem em um corpo de prova.

34

O tipo de fixação do corpo de prova com o equipamento também é um ponto a

se considerar. A norma ASTM E606/606M-12 exemplifica diferentes formas de fixar o

corpo de prova ao maquinário como as com o uso de um colar de fixação cilíndrico ou

cônico que servem para corpos com cabeça achatada. Temos também a fixação por

rosca que prenderá corpos com ponta roscada e a fixação por garras cônicas. Esses

modos de fixação estão ilustrados nas Figura 3.7 e Figura 3.8.

Figura 3.7 - Diferentes modos de fixação segundo a norma ASTM E606/606M-12.

Fonte [10]

35

Figura 3.8 - Sistema de fixação com garra. Fonte Instron.

O desalinhamento do CP é, certamente, o fator que mais introduz erros no

experimento. É possível utilizar técnicas mais ou menos caras para minimizar este

problema, como por exemplo, o uso de “strain gauges” em três pontos diferentes da

seção central, de forma a medir (e reduzir) os momentos fletores e (ou) o uso de garras

especiais. No entanto, estas alternativas são sofisticadas e limitam a identificação destes

coeficientes em laboratórios menos equipados.

3.2.3. Cuidados durante a execução dos Ensaios Cíclicos

Além da obtenção dos corpos de prova ser complexa, a execução dos ensaios

também deve levar em conta estes fatores em especial: a carga e o alinhamento das

garras.

A carga aplicada às garras de fixação deve ser maior que a carga do

carregamento para evitar o escorregamento do corpo de prova, mas uma alta tensão

pode ocasionar deformação e deslizamento da cabeça do corpo de prova. Somado a este

fato, também, deve-se considerar a axialidade das garras e alinhar seus eixos superiores

e inferiores, se possível com o auxílio de um sistema de alinhamento que ajuste sua

concentricidade e a sua angulação, conforme pode ser observado na Figura 3.9.

36

Figura 3.9 - Sistema de alinhamento da garra. Fonte [1]

3.3. Ensaios Trativos

3.3.1. Corpos de Prova para Ensaios Trativos Monótonos

Para ensaios cíclicos trativo monótonos, não temos mais a grande preocupação

quanto à flambagem do corpo de prova. Isso constitui uma grande diferença entre estes

teste em relação à obtenção, usinagem e preparação do corpo de prova, já que sua seção

não necessita mais ser simétrica, resistente à flambagem, com raio de giração adequado.

O corpo de prova para os ensaios trativos monótonos deve possuir seção homogênea ao

longo de seu comprimento e este mesmo comprimento deve ser grande o suficiente para

que a seção útil em análise esteja longe dos componentes de fixação, para que, assim, se

garanta um estado biaxial de tensões na região.

Para ilustrar a simplicidade dos corpos de prova e a facilidade de execução deste

ensaio, foi adquirida uma barra comercial de alumínio comum com seção retangular. A

barra "chata" foi cortada com lâmina serrilhada em partes iguais, cujas dimensões finais

padrão foram de 3,4mm x 25,3mm x 200mm, conforme ilustra a Figura 3.10. O

comprimento do corpo foi determinado de maneira que a deformação na seção útil

ficará homogênea e poderá ser assegurado um estado biaxial de tensões no centro do

corpo. Reforça-se o fato que, devido à essa geometria adotada para o corpo de prova,

apenas carregamentos trativos poderão aplicados, pois há a possibilidade da barra

flambar durante um ensaio compressivo.

37

Figura 3.10 - Geometria dos corpos de prova prismáticos utilizados nos ensaios trativos.

3.3.2. Equipamentos para os Ensaios Trativos Monótonos

Os equipamentos para ensaios trativos monótonos vêm sendo utilizados desde a

época de Leonardo Da Vinci, e constituem uma das bases fundamentais da engenharia

mecânica para o estudo das propriedades mecânicas dos materiais, sendo fonte de

estudo contínuo, além de estar presente uma grande parcela de instituições acadêmicas e

industriais.

Dessa maneira, devido à sua grande difusão no mercado, esse tipo de

equipamento pode ser encontrado por valores mais acessíveis, juntamente com o fato de

que, por já ter sido ser estudado e ensaiado repetidas vezes, uma base de conhecimento

do ensaio e do uso do equipamento já foi desenvolvida, ocasionando num grande

simplicidade em seu uso. Ou seja, os equipamentos para ensaios trativos monótonos são

mais baratos e mais simples de se operar, quando comparados com o maquinário para a

execução de ensaios cíclicos.

No presente trabalho, uma barra prismática de alumínio foi ensaiada duas vezes

em um carregamento axial trativo monótono com deslocamento do sistema prescrito em

1mm/min, em temperatura ambiente, para obtenção de um gráfico tensão versus

deformação e, a partir desses dados, ser possível obter seu módulo de elasticidade, sua

tensão limite de escoamento, o tamanho e as coordenadas do segmento elástico e os

valores para o endurecimento cinemático e isotrópico.

O equipamento para os ensaios de tração utilizado foi uma máquina universal de

ensaios Autograph AG-X da Shimadzu, com capacidade para 100kN, ilustrada na

Figura 3.11 e que se encontra no Laboratório de Ensaios em Dutos (LED / LMTA).

38

Esse modelo possui precisão de ±0,5% da força apresentada (para 1/100 até 1/1000 da

capacidade da célula de carga ). +/- 0,3% da força mostrada (para 1/1 até 1/100 da

capacidade da célula de carga ).

O corpo de prova foi afixado com o auxílio de garras de pressão, posicionadas

numa distância suficientemente longe do centro da peça para garantir um estado plano

de tensões na seção útil a ser estudada.

Figura 3.11 - Máquina de Ensaios Universal Shimadzu AG-100kNX. Fonte Shimadzu.

Para evitar interferências devido ao contato dos extensômetros elétrico-

resistivos, dois métodos foram utilizados para medir os deslocamentos durante os

ensaios. No primeiro ensaio, os deslocamentos foram mensurados com um vídeo

extensômetro, ou seja, uma câmera de precisão devidamente configurada com o

programa da máquina universal e, no segundo ensaio, os deslocamentos foram

mensurados justamente com um extensômetro elétrico-resistivo, conforme ilustrado

pelas Figuras 3.12a e Figura 3.12b. Os dois ensaios foram realizados de tal maneira com

o intuito de que seja possível comparar e avaliar a performance do vídeo extensômetro e

dos extensômetros de contato, para obtenção dos deslocamentos .

O vídeo-extensômetro é um equipamento capaz de executar medidas de

deformações através da captura contínua de imagens da amostra durante o ensaio,

usando uma ou mais câmeras de vídeo conectadas a um computador. Ele consiste em

um conjunto de equipamentos que captam o deslocamento das marcas colocadas no

corpo de prova, como os adesivos fixados no corpo na figura 3.12a e Figura 3.13. No

39

vídeo-extensômetro utilizado neste trabalho os principais elementos são: um par de

câmeras, um programa para processamento da imagem e para o controle da máquina de

ensaio, além de acessórios como suportes para a câmera e para a iluminação, entre

outros, como podem ser visualizados na Figura 3.14 e no esquemático da Figura 3.15.

Figura 3.12 - a)Teste 1, deslocamentos medidos com uma câmera de precisão;

b)Teste 2, deslocamentos medidos com um extensômetro.

Figura 3.13 - Adesivos para a obtenção dos deslocamentos.

40

Figura 3.14 - Vídeo-extensômetro do LED / LMTA.

Figura 3.15 - Esquemático com o funcionamento de um vídeo-extensômetro.

O outro tipo de extensômetro utilizado foi do tipo elétrico-resistivo, cuja fixação

deve ser executada através da aplicação de torque em parafuso de pressão

cuidadosamente, para que não haja escorregamento nem danos ao corpo de prova ou ao

instrumento. Os extensômetros elétrico-resistivos têm seu princípio de funcionamento

na medição da variação da resistência proporcionalmente à variação das dimensões do

corpo de prova.

No extensômetro, a resistência elétrica R de um condutor de seção transversal

uniforme A, comprimento L e resistividade do material ρ são dadas por:

(3.1)

Derivando e dividindo pela resistência total R, tem-se que:

(3.2)

41

A mudança na seção transversal, dA, acontece devido à deformação imposta

durante o ensaio na direção transversal ao eixo de aplicação da força e, pela

conservação de massas, temos que o diâmetro final do fio condutor, Øf, e,

consequentemente, dA serão então:

(3.3)

(3.4)

Assim, temos que:

(3.5)

Cada liga metálica, usada na fabricação do condutor, possui um fator

relacionado com a sua sensibilidade, Sa, tabelado e que será condizente com a taxa de

variação da sua resistência em função da deformação aplicada. Temos para Sa, então

que:

(3.6)

Da Equação 3.5, acima, podemos observar que a parcela 1+2ν é a parcela

relacionada com a variação nas dimensões e que a outra parcela,

, refere-se à

variação na resistividade. Fato este que, até então, acredita-se estar relacionado à

variação na mobilidade de elétrons livres.

3.3.3. Resultados e Análises

Para a etapa de execução dos ensaios, as deformações consideradas para a

obtenção das propriedades do alumínio foram menores do que 5%. Logo, é possível

considerar modelos de pequenas deformações e contabilizar as tensões de engenharia.

O primeiro ensaio, Ensaio 1, foi o realizado com o vídeo-extensômetro e o

segundo ensaio, Ensaio 2, foi o realizado com o extensômetro elétrico-resistivo. Os

resultados de cada um dos ensaios foram impressos em gráficos e estão ilustrados a

seguir.

42

Figura 3.16 - Tensão x Deformação para os ensaios com a câmera e com o

extensômetro.

Como pode ser observado na Figura 3.16, ambos os ensaios convergiram para

uma mesma curva tensão versus deformação com mínima diferença entre si, validando

o uso dos dois métodos para a obtenção dos deslocamentos. O gráfico considerado a

partir de então foi o do Ensaio 2, o ensaio com o extensômetro, pois este apresentava

um aspecto ligeiramente mais acurado e melhor apresentável.

Em seguida, foram realizadas as medições do Módulo de Elasticidade em dois

pontos de deformação. Como o alumínio é um material elastoplástico e os ensaios

foram realizados em temperatura ambiente constante, o módulo de elasticidade esperado

deverá ser constante, referente à inclinação da reta do regime elástico. Foram adotados

dois limites de escoamento para comparação, um a 0,02% de deformação permanente na

seção útil do corpo de prova e outro a 0,2%. Em geral, para controle de qualidade de

materiais, usa-se essa deformação permanente como 0,2%, mas para estudos

envolvendo carregamentos cíclicos fora do limite elástico (fadiga plástica oligocíclica),

é usado um limite dez vezes menor, ou seja, 0,02%.

Para identificação do Módulo de Elasticidade, foi obtido através da técnica de

mínimos quadrados apresentada a seguir:

(3.7)

No Capítulo 4, o procedimento numérico pondera sua escolha para pares que

estariam dentro da região elástica como aceitáveis todos os pares cujas tensões são

menores que 60% do valor da tensão máxima medida e no mínimo 20% da tensão

-100

0

100

200

300

-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 Ten

são

(M

Pa)

Deformação

Comparação Ensaio 1 x Ensaio 2

Ensaio 1: Câmera

Ensaio 2: Extensômetro

43

máxima, pois considera-se que o extensômetro pode sofrer um escorregamento durante

os ensaios.

As retas para o Módulo de Elasticidade foram plotadas e estão dispostas,

juntamente com as curvas de tensão versus deformação, na Figura 3.17. Mesmo este

ensaio não sendo um ensaio cíclico, o seu intuito futuro é ser trabalhado numericamente

para tornar-se o equivalente a um ensaio cíclico, como será abordado no Capítulo 4.

Sendo assim, foi considerada um deformação permanente de 0,02% e, para esse valor de

deformação plástica, pôde ser determinada a tensão de escoamento do material, que está

descrita na Tabela 3.2, adiante neste capítulo.

Figura 3.17 - Medição dos Módulos de Elasticidade a 0,02% e 0,2% de deformação.

Também foi plotado o gráfico da deformação plástica associada, que nos servirá

mais a frente durante a medição das variáveis para o Segmento Elástico e também no

procedimento para obtenção das curvas para ensaio cíclico no Capítulo 4. Ela está

ilustrada na Figura 3.18 e nos mostra somente as tensões referentes às tensões acima do

limite de escoamento do material para a sua condição de encruamento inicial. Ou seja,

ela demonstra apenas as deformações plásticas, definidas por:

(3.8)

0

50

100

150

200

250

-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08

Ten

são

(M

Pa)

Deformação

Tensão x Deformação - Extensômetro

Tensão x Deformação

Módulo de Elasticidade 0,0002

Módulo de Elasticidade 0,002

44

Figura 3.18 - Deformação Plástica Associada.

Com as curvas obtidas, será executada uma simulação, no Capítulo 4, para torná-

la equivalente a um carregamento trativo-compressivo cíclico e, a partir dela, serão

medidos os parâmetros do material.

Os valores mensurados serão E, v1, v2, σy, onde v1 e v2 são parâmetros que estão

relacionados com o endurecimento isotrópico, cuja variável associada com o

endurecimento isotrópico será representada por Y, segundo observado na Equação 3.6.

Para temperatura constante, o endurecimento isotrópico só dependerá da deformação

plástica acumulada e aumentará junto com ela até atingir um valor de saturação, Ymáx.

Temos que:

Y = v1 (1-e(-v2 p)

) + σy (3.9)

A partir dessa equação, é possível observar que, para um valor muito grande de

p, somente a parcela referente a v1 e a σy será relevante e, assim, é possível obter Ymáx,

quando:

(3.10)

Utilizando-se um programa para obtenção de parâmetros através de pares

ordenados, pode-se observar que a assíntota horizontal convergirá para o valor de Ymáx,

sendo possível encontrar v1, como observado no gráfico plotado na Figura 3.19, sendo

possível, assim, obter os valores de v1, v2 e de Ymáx e, com esses valores, pode-se obter

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

σ-σ

y

εp

Deformação Plástica Associada

Def. Plástica

45

o endurecimento cinemático, X, através da equação para o ciclo estabilizado, como

demonstrado no Capítulo 4.

Figura 3.19 - Medição de v1 e v2.

Os resultados obtidos para os ensaios no Capítulo 3, estão demonstrados na

Tabela 3.2, a seguir:

Tabela 3.2 - Resultados dos Ensaios de Tração Monótonos.

σy 160 MPa

E 69 GPa

v1 19,75 MPa

v2 126,028 MPa

Ymáx 180,035 MPa

Em seguida, no Capítulo 4, com o gráfico da Tensão versus Deformação Plástica

Associada em mãos, será demonstrado que é possível simular um ensaio de

carregamento cíclico trativo e compressivo de maneira fiel à realidade e que permita a

obtenção das demais propriedades de um ensaio cíclico estabilizado para um mesmo

corpo de prova de mesmas propriedades.

Essa aquisição é importante para definir os parâmetros da etapa seguinte, onde

serão comparados com as propriedades obtidas em carregamentos cíclicos para a

validação do método. Por exemplo, quanto maior a deformação plástica acumulada,

46

maior a probabilidade de aparecimento de uma macro-fissura no material

experimentado.

47

CAPÍTULO 4

4.MANUSEIO DAS CURVAS

4.1 Obtenção da Curva de um Ensaio Cíclico

4.1.1 Considerações

O objetivo deste capítulo é apresentar um método numérico o qual demonstra ser

possível obter-se um gráfico de um ensaio cíclico a partir apenas de um gráfico obtido

por um ensaio de tração monótono. Como visto nos Capítulos 2 e 3, a execução dos

ensaios de tração são extremamente mais simples de ser efetuadas e requerem menor

quantidade de recursos financeiros e humanos, além requerer menor expertise para sua

execução e de menor trabalho para a confecção dos corpos de prova.

O carregamento cíclico para a aproximação simulada será considerado como um

carregamento cíclico de deformação prescrita, onde a amplitude de deformação será

constante, sua média será nula. Ou seja, a deformação máxima será igual à deformação

mínima. Para essas deformações, usaremos a nomenclatura de ε0p, obtendo, então, -ε0

p =

ε0p, como mostrado na Figura 4.1.

Figura 4.1: Carregamentos e deformações prescritas. Fonte [1]

48

A simulação considera também um carregamento sem endurecimento, nem

amolecimento cíclico e estabilizado no primeiro ciclo. Em geral, essa aproximação é

uma boa aproximação para materiais elasto-plásticos, que costumam estabilizar no

primeiro, segundo ou terceiro ciclo, não apresentando, assim, grandes desvios da

simulação.

Essa metodologia para o obtenção da curva estabilizada, partindo de uma curva

de um ensaio apenas trativo monótono, se dá manuseando-se uma curva de Tensão

versus Deformação Plástica, em apenas três passos, que serão descritos a seguir.

4.1.2 Método para Obtenção da Curva Estabilizada

Para o primeiro passo, será preciso estabelecer um intervalo de deformação

plástica, [-ε0p , ε0

p], para o gráfico. É importante notar que, como o intuito é obter as

constantes do material para os modelos de Lemaitre e Chaboche [5], o intervalo de

deformação deverá respeitar os limites para pequenas deformações. Outro ponto notório

também é que essa deformação não deve exceder a deformação referente ao limite de

tensão máximo.

No exemplo, esse intervalo foi escolhido para ε0p = ±10

-2, um valor o qual é

possível considerar modelos de pequenas deformações e contabilizar as tensões de

engenharia. A curva será transladada, então, para a esquerda, grafando-a a partir do

ponto -ε0p. Para efeito didático, a curva original será nomeada Curva 1, e a curva

modificada será nomeada Curva 2. A translação se dará da forma exibida na Figura 4.2

e demonstrada na seguinte equação:

(4.1)

49

Figura 4.2: Primeira translação

No segundo passo, deverão ser identificadas as tensões correspondentes para o

ponto +εp

0, nas Curvas 1 e 2, obtendo-se σ1(+ε0p) e σ2(+ε0

p). Com esses valores, deverá

ser aplicada a sua diferença a todos os valores de tensão da curva modificada, Curva 2,

transladando-a, desta maneira, para baixo. Observe, na Figura 4.3 e na equação abaixo,

que σ3(+ε0p) = σ1(+ε0

p).

Justamente essa translação é a que está relacionada com o endurecimento

cinemático, este que translada o segmento elástico no eixo 0y. Portanto, é razoável

realizar estimar esta aproximação em materiais cujo ciclo estabilizado aparece logo nos

primeiros ciclos.

σ σ

σ σ

(4.2)

0

50

100

150

200

250

-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08

Curva 1

Curva 2

-50

0

50

100

150

200

250

-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08

Curva 1

Curva 3

50

Figura 4.3: Segunda translação

Como foi estabelecido o intervalo de deformações plásticas entre + ε0p e - ε0

p,

deve-se restringir o gráfico à esse intervalo, eliminando os valores além, bem como os

valores negativos da Curva 3, como foi exemplificado na Figura 4.4.

Figura 4.4: Restrição para o intervalo escolhido

O terceiro passo se dará pela replicação da Curva 3 rotacionada em 180° em

torno do eixo 0z, como pode ser observado na Figura 4.5, visto que os níveis de tensão

alcançados na parte trativa do primeiro quadrante se repetem e são razoavelmente iguais

à parte compressiva no terceiro quadrante. Logo, para a rotação, simplesmente deve-se

fazer:

σ σ (4.3)

Figura 4.5: Rotação da curva

0

50

100

150

200

250

-0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015

Curva 1

Curva 3

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

-0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015

Curva 1

Curva 3

Curva 4

51

Como o gráfico analisado se trata de um gráfico da Tensão versus Deformação

Plástica, não teremos a inclinação típica de um regime elástico durante o

descarregamento trativo para o carregamento compressivo e novamente durante a

transição da compressão para a tração. Nesses intervalos, no entanto, teremos uma reta

perpendicular ao eixo das abscissas, descrevendo o regime elástico como sendo um

regime sem deformações permanentes, essa reta denota, assim, o segmento elástico,

característico pelo endurecimento isotrópico e pelo endurecimento cinemático.

Tratando o gráfico, é obtida a curva de um ensaio cíclico para o material

ensaiado apenas por um ensaio de tração, como ilustrado na Figura 4.6. Desta curva,

então, podem ser extraídas as propriedades do material, como as constantes referentes

ao comportamento plástico do material, a e b, e o segmento elástico, como o

endurecimento isotrópico e o endurecimento cinemático.

Os valores para a e b, constantes constituintes do comportamento plástico do

material, não foram calculadas já que esta foi uma das propostas apresentadas no

trabalho do Feliciano e Costa Mattos, apresentada em [1]. Além disso, Feliciano nos

mostra que, apesar dos valores de a e b serem bem díspares, o aspecto do gráfico não é

alterado drasticamente.

Figura 4.6: Ciclo estabilizado

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

-0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015

52

Essas propriedades, juntamente com o ciclo estabilizado serão fundamentais

para a obtenção da vida do material a fadiga e de previsões para um acoplamento

termomecânico e serão comparadas com as obtidas utilizando-se o método de ensaio

tradicional, com o intuito de validar este método.

Com o ciclo estabilizado, é possível calcular o segmento elástico do material

ensaiado, que são caracterizados pelo endurecimento isotrópico, Y, onde 2Y caracteriza

o tamanho do segmento, e pelo endurecimento cinemático, X, que dará a coordenada

posicionando o segmento. X e Y são obtidos através de:

(4.4)

(4.4)

4.1.3 Resultados para o Ciclo Estabilizado Simulado Inicial

Os resultados obtidos utilizando-se o procedimento para obtenção da curva

Tensão versus Deformação Plástica de um ciclo estabilizado estão dispostas na Tabela

4.1, a seguir:

Tabela 4.1 - Resultados do Ciclo Estabilizado Simulado.

σy 160 MPa

E 69 GPa

v1 19,75 MPa

v2 126,028

Ymáx 180,035 MPa

Xmáx 28,065 MPa

4.2 Método Numérico Implementado

Para maior facilidade no processamento dos dados dos ensaios, o passo a passo

descrito no Capítulo 4.1.2 foi implementado em um programa de processamento de

dados, utilizando a linguagem Visual Basic for Applications, comumente conhecida

como VBA. Seu código pode ser visualizado adiante, na seção 4.2.3, onde cada

instrução notável recebe comentários relevantes a que se destinam.

53

4.2.1 Resumo das instruções

O programa destina-se a receber como entrada os valores de um ensaio de

tração, sendo a Tensão em MPa inseridas na coluna "A" a partir da célula "A2" e os

valores de deformação na coluna "B" a partir da célula "B2" na aba "DADOS", como

pode ser visualizado na Figura 4.7.

Em seguida, ao apertar o botão "Gerar Gráfico", o código em VBA será

disparado, abrindo-se uma janela onde deverá ser inserida a deformação máxima para o

ensaio cíclico. Baseado nos dados de entrada, o programa definirá um valor máximo

aceitável para a deformação máxima. Caso o valor inserido na caixa não seja um valor

válido, o programa acusará o erro e encerrará suas iterações.

Figura 4.7 - Interface para a entrada de dados

Após entrar com a deformação máxima, o programa analisará os dados e

calculará o Módulo de Elasticidade, segundo a o método dos mínimos quadrados,

levando em conta somente os pares cujos valores de tensão se encontram no intervalo

entre 20% a 60% da tensão máxima informada, pois está sendo estimado que a parcela

referente à deformação elástica encontra-se por essa região.

54

Em seguida, com o Módulo de Elasticidade já calculado, a interação criará uma

nova tabela em uma nova aba com os dados repetidos para a tensão e processados para a

deformação plástica associada, utilizando a Equação 3.7. Também será informado o

módulo de elasticidade calculado e a Tensão de escoamento, seguindo a metodologia

apresentada no Capítulo 3.3.3 e exemplificado na Figura 3.17.

Com os dados necessários da tensão e da deformação plástica, é possível aplicar

o procedimento descrito no Capítulo 4.1.2, executando as duas translações, uma rotação

e a disposição dos dados na tabela criada ao longo das colunas "A" e "B". Após

arrumados os dados, gera-se o gráfico da Tensão versus Deformação Plástica,

juntamente com a medição do segmento elástico, obtendo-se Xmáx e Ymáx, como

demonstrado no Capítulo 4.1.

Conhecendo-se Ymáx, é possível mensurar v1, como descrito no Capítulo 3.3.3.

4.2.2 Detalhamento das Instruções

Inicialmente, criou-se uma aba chamada "DADOS" em uma planilha do

aplicativo Microsoft Office Excel 2007 e, para o cabeçalho, inseriu-se o texto "Tensão

MPa" na célula A1 e o texto "Deformação" na célula A2, para que os dados de entrada

sejam inseridos nas respectivas colunas com as dimensões indicadas.

Em seguida, foi inserido um botão como Controle de ActiveX, o qual foi

nomeado "Gerar Gráfico". Este controle foi configurado com o código VBA disposto a

seguir.

4.2.3 Código Comentado

i. Primeiramente, o código foi seccionado em diferentes partes

correspondentes a cada passo relevante. No início do código, deve-se declarar seu tipo e

desabilitar a atualização da tela enquanto ele estiver rodando para não exibir cada linha

sendo escrita, o que consumiria tempo e diminuiria o desempenho do processo. As

variáveis não declaradas são automaticamente reconhecidas como o tipo string.

Private Sub CommandButton21_Click()

Application.ScreenUpdating = False

55

ii. Na próxima instrução, abre-se uma caixa de diálogo que será preenchida

com a deformação máxima pretendida para ao ensaio cíclico, estabelecendo o intervalo

de deformação ou informando que a caixa não foi preenchida e encerrando o processo.

epmax = InputBox("Por favor, preencha a deformação máxima para o ensaio cíclico")

If IsEmpty(epmax) Or epmax = "" Then

MsgBox ("Por favor, entre com a deformação máxima para o ensaio cíclico")

Exit Sub

End If

iii. Na próxima seção, conta-se a quantidade de linhas inseridas na aba

"DADOS". Define-se i como a quantidade de linhas, que será um valor inteiro. A

variável i2 também será a quantidade de linhas e será usada posteriormente. iz será a

variável para encerrar o comando Do While.

Dim i As Integer

i = 1

iz = 0

Do While iz = 0

If IsEmpty(Sheets("DADOS").Range("A" & i)) Then

iz = 1

Else

i = i + 1

End If

Loop

i = i - 1

i2 = i

iv. A variável epmax está declarada como string, então precisaremos de

epmax2 como Double para realizar operações com ela. Assim, será checado se o valor

inserido na caixa é um valor válido dentro dos limites inseridos nos dados de entrada.

Dim epmax2 As Double

56

epmax2 = epmax

If epmax2 > Sheets("DADOS").Range("B" & i).Value / 2 Then

MsgBox ("Limite de deformação suportado para este ensaio trativo é de " &

Sheets("DADOS").Range("B" & i).Value / 2)

Exit Sub

Else

End If

v. Neste passo, será criado o gráfico de Tensão versus Deformação na aba

"DADOS", que extrairá seus dados de "A2" até "B"i, mas antes deve-se primeiro

eliminar todos os gráficos da aba "DADOS".

Dim chtObj As ChartObject

Sheets("DADOS").Activate

For Each chtObj In ActiveSheet.ChartObjects

chtObj.Delete

Next

Charts.Add

ActiveChart.ChartType = xlXYScatterSmoothNoMarkers

ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets("DADOS").Range("A2:A" & i)

ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsObject,

Name:=Sheets("DADOS").Name

With ActiveChart

.HasTitle = True

.ChartTitle.Text = "Tensão vs Deformação"

.Axes(xlValue).HasMajorGridlines = False

End With

ActiveChart.SeriesCollection(1).XValues = Sheets("DADOS").Range("B2:B" & i)

ActiveChart.SeriesCollection(1).HasDataLabels = False

ActiveChart.HasLegend = False

ActiveChart.Axes(xlValue).HasMajorGridlines = True

57

With ActiveChart.Parent

.Height = 325 'tamanho

.Width = 500 'tamanho

.Top = 200 'posição

.Left = 150 'posição

End With

vi. Agora, deve-se achar as linhas correspondentes a 20% de σmáx 60% de

σmáx para, em seguida, calcular o módulo de elasticidade E. Aqui, iz receberá os valores

de cada célula de tensão até chegar na linha correspondente a 60% e ii receberá o valor

da linha correspondente a 20%.

Dim maximo20 As Double

Dim maximo60 As Double

maximo20 = (2 / 10) *

Application.WorksheetFunction.Max(Sheets("DADOS").Range("A1:A" & i))

maximo60 = (6 / 10) *

Application.WorksheetFunction.Max(Sheets("DADOS").Range("A1:A" & i))

ii = 2

Do While iz <= maximo60

iz = Sheets("DADOS").Range("A" & ii).Value

If iz <= maximo20 Then

i = ii + 1

Else

End If

ii = ii + 1

Loop

iz = ii - 1

58

vii. Nesta parte, o objetivo será calcular E, definindo S como Tensão; E

como deformação; ee será o quadrado da deformação; Mod_E será o Módulo de

Elasticidade.

S = 0

E = 0

ee = 0

Se = 0

Mod_E = 0

Do While i <= iz

S = Sheets("DADOS").Cells(i, 1).Value

E = Sheets("DADOS").Cells(i, 2).Value

Se = Se + (S * E)

ee = ee + E * E

i = i + 1

Loop

Mod_E = Se / ee

'MsgBox ("E = " & Mod_E & "MPa")

viii. Nesta parte, será calculada a tensão de escoamento, denotada por Sy. i2

será o valor máximo referente à última linha das tensões informadas na entrada na aba

"DADOS". a e b serão valores que correrão as linhas até que seja encontrado o valor

dentro do intervalo referente a 99% ou 101% do Sy calculado teoricamente para uma

deformação de 0,02%.

Dim a As Integer

Dim b As Integer

Dim Sy As String

a = 2

b = 0

Do While a <= i2

59

If Sheets("DADOS").Cells(a, 1).Value >= 0.99 * Mod_E *

(Sheets("DADOS").Cells(a, 2).Value - 0.0002) And Sheets("DADOS").Cells(a,

1).Value <= 1.01 * Mod_E * (Sheets("DADOS").Cells(a, 2).Value - 0.0002) Then

Sy = Sheets("DADOS").Cells(a, 1).Value

'MsgBox Sy

'MsgBox ("Sy = " & Sy & " >= " & 0.99 * Mod_E * (Sheets("DADOS").Cells(a,

2).Value - 0.0002) & "; <= " & 1.01 * Mod_E * (Sheets("DADOS").Cells(a, 2).Value -

0.0002))

ab = a

a = i2

End If

a = a + 1

Loop

ix. Esta seção do programa criará uma nova aba, onde serão escritas os

valores calculados. Ela seguirá a ordem das abas com nome padrão sequencial, sem

apagar as antigas, e, em VBA, será identificada por WS_ep. Em seguida, calculará as

deformações plásticas e as escreverá na nova aba, na coluna "A" a partir da linha 2, e

copiará as tensões correspondentes da aba de entrada para a nova aba.

Dim p As Integer 'p será a linha do epmax'

Dim epmax3 As Double 'Ajudará no IF para achar a linha do ep'

Dim WS_ep As Worksheet

'WS_ep.Name = "S x ep"'

Set WS_ep = Sheets.Add(after:=Sheets(Sheets.Count))

With WS_ep.Range("B1:W1")

.Font.Bold = True

.WrapText = True

End With

p = 0

i = 2

iz = 0

60

Do While iz = 0

epmax2 = 2 * epmax + 2 * ((Sheets("DADOS").Cells(i, 1).Value) / Mod_E)

'OBS: A deformação plástica deve ir até 2*epmax, pois, quando houver a Translação1,

ela irá voltará até ep.'

epmax3 = epmax

If Sheets("DADOS").Cells(i, 2).Value > epmax2 Or

IsEmpty(Sheets("DADOS").Cells(i, 2).Value) Then

iz = 1

i = i - 1

Else

WS_ep.Cells(i, 2).Value = Sheets("DADOS").Cells(i, 2).Value -

(Sheets("DADOS").Cells(i, 1).Value / Mod_E)

If p = 0 And WS_ep.Cells(i, 2).Value >= epmax3 Then

'OBS: Procurando a linha do epmax, onde p será essa linha'

p = i

Else

End If

i = i + 1

End If

Loop

Sheets("DADOS").Range(Cells(1, 1), Cells(i, 1)).Copy

Destination:=WS_ep.Range("A1")

WS_ep.Range("B1").Value = "Deformação Plástica"

61

x. Neste ponto, será executada a primeira translação, conforme explicado no

Capítulo 4.1.2 e ilustrado na Figura 4.2.

Dim cell As Range

WS_ep.Range("D1").Value = "Translação1 [ep2]"

iz = 2

epmax2 = epmax

Do While iz <= i

WS_ep.Cells(iz, 4).Value = WS_ep.Cells(iz, 2).Value - epmax

If WS_ep.Cells(iz, 4).Value >= epmax2 Then

WS_ep.Range("A" & (iz + 1) & ":" & "D" & i).Clear

i = iz

Else

End If

iz = iz + 1

Loop

iz = iz - 1

xi. Agora, serão efetuadas a segunda translação, conforme ilustrado na

Figura 4.3, e, logo em seguida, a rotação, como na Figura 4.5. S_EC será a tensão máx

correspondente à Compressão, S_ET será a tensão máx correspondente à Tração X será

o endurecimento cinemático X será o endurecimento isotrópico. Esses valores serão

dispostos nas colunas "C", "E" e "F", e serão organizadas num passo posterior.

Dim Delta_S As Long

Dim S_EC As Long

Dim S_ET As Long

Dim X As Long

Dim Y As Long

62

WS_ep.Range("C1").Value = "Translação2 [Tensão2]"

WS_ep.Range("E1").Value = "Rotação [Tensão3]"

WS_ep.Range("F1").Value = "Rotação [ep]"

Delta_S = WS_ep.Cells(i, 1).Value - WS_ep.Cells(p, 1).Value

S_EC = (Sy - Delta_S)

MsgBox ("S_EC = " & S_EC & " MPa")

S_ET = WS_ep.Cells(p, 1).Value

MsgBox ("S_ET = " & S_ET & " MPa")

Y = (S_ET + S_EC) / 2

MsgBox ("Ymáx = " & Y & " MPa")

X = S_ET - Y

'MsgBox ("Xmáx = " & X & " MPa")

i = 2

Do While i <= iz

WS_ep.Cells(i, 3).Value = WS_ep.Cells(i, 1).Value - Delta_S 'Translação2'

WS_ep.Cells(i, 5).Value = -WS_ep.Cells(i, 3).Value 'Rotação'

WS_ep.Cells(i, 6).Value = -WS_ep.Cells(i, 4).Value 'Rotação'

i = i + 1

Loop

xii. Aqui, neste passo, serão deletadas as entradas negativas no gráfico

gerado, conforme explicado no procedimento do Capítulo 4.2, ilustrado na Figura 4.4.

WS_ep.Activate

WS_ep.Range("A" & (p + 1) & ":" & "B" & iz).Clear

63

xiii. Agora, organiza-se a disposição das informações para gerar-se o gráfico

da Tensão versus Deformação Plástica. É preciso inverter as posições das colunas

referentes à Tensão com as referentes à Deformação.

WS_ep.Columns("A:A").Insert Shift:=xlToRight,

CopyOrigin:=xlFormatFromLeftOrAbove '

WS_ep.Range("C1:C" & p).Copy Destination:=WS_ep.Range("A1")

WS_ep.Columns(3).EntireColumn.Delete

WS_ep.Range("E2:" & "E" & iz).Cut Destination:=WS_ep.Range("B" & (p + 1))

WS_ep.Range("F2:" & "F" & iz).Cut Destination:=WS_ep.Range("A" & (p + 1))

WS_ep.Range("C2:" & "C" & iz).Cut Destination:=WS_ep.Range("B" & (p + iz))

WS_ep.Range("D2:" & "D" & iz).Cut Destination:=WS_ep.Range("A" & (p + iz))

WS_ep.Cells((p + 2 * iz - 1), 1).Select

WS_ep.Range("C1:W1").Delete

WS_ep.Columns("A:W").HorizontalAlignment = xlCenter

WS_ep.Columns("A:W").VerticalAlignment = xlCenter

WS_ep.Columns("A:W").ColumnWidth = 12

xiv. Agora, finalmente, deve ser gerado o gráfico da Tensão versus a

Deformação Plástica.

Charts.Add

ActiveChart.ChartType = xlXYScatterSmoothNoMarkers

ActiveChart.SetSourceData Source:=WS_ep.Range("A2:B" & (p - 1 + 2 * (iz)))

ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsObject, Name:=WS_ep.Name

With ActiveChart

.HasTitle = True

.ChartTitle.Text = "Tensão vs Deformação Plástica"

End With

64

ActiveChart.SeriesCollection(1).HasDataLabels = False

ActiveChart.HasLegend = False

With ActiveChart.Parent

.Height = 325 'tamanho

.Width = 500 'tamanho

.Top = 50 'posição

.Left = 200 'posição

End With

WS_ep.Range("M1").Value = "E ="

WS_ep.Range("N1").Value = Mod_E

WS_ep.Range("O1").Value = "MPa"

WS_ep.Range("M2").Value = "Sy ="

Dim S_Integer As Integer

S_Integer = Sy

Sy = Sy - S_Integer

WS_ep.Range("N2").Value = S_Integer + Sy

WS_ep.Range("O2").Value = "MPa"

WS_ep.Range("M3").Value = "Xmáx ="

WS_ep.Range("N3").Value = X

WS_ep.Range("O3").Value = "MPa"

WS_ep.Range("M4").Value = "Ymáx ="

WS_ep.Range("N4").Value = Y

WS_ep.Range("O4").Value = "MPa"

WS_ep.Range("M5").Value = "v1 ="

WS_ep.Range("N5").Value = Y - (S_Integer + Sy)

WS_ep.Range("O5").Value = "MPa"

65

xv. Ao final, é importante lembrar de habilitar novamente as atualizações da

tela, para que as alterações possam ser visualizadas novamente.

Application.ScreenUpdating = True

End Sub

4.3 Comparação do Método

Com o propósito de validar o método, a dissertação de Feliciano e Costa Mattos

[1], foi usada como referência, onde foram realizados ensaios tanto trativos monótonos,

quanto ensaios trativo-compressivos cíclicos.

As curvas dos ensaios de tração monótonos foram submetidas ao método

descrito no Capítulo 4.1.2, suas curvas tensão-deformação foram geradas e as

propriedades do material foram extraídas e comparadas com as obtidas pelos ensaios

realizados por Feliciano e Costa Mattos em [1].

Os materiais utilizados foram descritos no Capítulo 3.1 e os corpos de prova e o

método de ensaio no Capítulo 3.2. Sua curva referente ao ensaio de tração monótono

pode ser visualizada na Figura 4.8 e Figura 4.9.

Figura 4.8 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio de Tração Monótono da liga

ASTM 6351.

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00

-0,01000 0,00000 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000

66

Figura 4.9 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio de Tração Monótono da liga

ASTM 7050.

Com a aplicação do método descrito no Capítulo 4.1.2, as curvas cíclicas

simuladas obtidas foram as ilustradas nas figuras 4.10 e 4.11, a seguir.

Figura 4.10 - Simulação da Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Trativo-

Compressivo Cíclico para a liga ASTM 6351.

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00

400,00

450,00

500,00

0,00000 0,00500 0,01000 0,01500 0,02000 0,02500 0,03000

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

100,00

200,00

300,00

-0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002

Tensão vs Deformação Plástica

67

Figura 4.11 - Simulação da Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Trativo-

Compressivo Cíclico para a liga ASTM 7050.

Os resultados obtidos por Feliciano e Costa Mattos em [1] foram exemplificados

nas Figuras 4.12 e 4.13 para as Curvas de Tensão versus Deformação, e nas Figuras

4.14 e 4.15 para as Curvas de Tensão versus Deformação Plástica.

Figura 4.12 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Realizado Trativo-

Compressivo Cíclico para a liga ASTM 6351.

-400,00

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004

Tensão vs Deformação Plástica

-300,000

-200,000

-100,000

0,000

100,000

200,000

300,000

-0,00600 -0,00400 -0,00200 0,00000 0,00200 0,00400 0,00600

Tensão x Deformação

68

Figura 4.13 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Realizado Trativo-

Compressivo Cíclico para a liga ASTM 7050.

Figura 4.14 - Curva Tensão x Deformação Plástica o Ensaio Cíclico Realizado para a

liga ASTM 6351.

-5,00E+02

-4,00E+02

-3,00E+02

-2,00E+02

-1,00E+02

0,00E+00

1,00E+02

2,00E+02

3,00E+02

4,00E+02

5,00E+02

-8,00E-03 -6,00E-03 -4,00E-03 -2,00E-03 0,00E+00 2,00E-03 4,00E-03 6,00E-03 8,00E-03

Tensão x Deformação

-300,000

-200,000

-100,000

0,000

100,000

200,000

300,000

-0,00200 -0,00100 0,00000 0,00100 0,00200

Tensão x Deformação Plástica

69

Figura 4.15 - Curva Tensão x Deformação Plástica o Ensaio Cíclico Realizado para a

liga ASTM 7050.

Como pode-se ver, ambas as curvas, do ASTM 6351 e do ASTM 7075, para o

ensaio cíclico realizado sofreram uma distorção provocada pela flexão do corpo de

prova, muito provavelmente devido ao desalinhamento da garras de fixação do corpo de

prova no equipamento, já que é possível constatar que o módulo de elasticidade é menor

do que no início do ensaio.

Conforme foi investigado por Feliciano, é necessário utilizar um ciclo

estabilizado do alumínio, para obter valores exatos, contornando o problema da flexão

do corpo de prova. Isso se dará escolhendo o intervalo onde as curvas cíclicas

convergem para uma mesma posição, como ilustrado nas Figura 4.16 e 4.17.

Figura 4.16 - Intervalo onde o Ciclo é convergente para a liga ASTM 6351.

-5,00E+02

-4,00E+02

-3,00E+02

-2,00E+02

-1,00E+02

0,00E+00

1,00E+02

2,00E+02

3,00E+02

4,00E+02

5,00E+02

-0,00400 -0,00200 0,00000 0,00200 0,00400

Tensão x Deformação Plástica

-300,000

-200,000

-100,000

0,000

100,000

200,000

300,000

-0,0020 -0,0015 -0,0010 -0,0005 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020

Tensão vs Deformação Plástica

70

Figura 4.17 - Intervalo onde o Ciclo é convergente para a liga ASTM 7050.

Para o ciclo estabilizado, deve-se usar um mesmo intervalo de deformação, onde

é recomendado ajustá-lo para a parte positiva das deformações, referente à tração, já que

o problema da flambagem ocorre durante a compressão. Os primeiros ciclos têm um

peso maior para a sua seleção, já que nesses ciclos a deformação causada pela

flambagem foi menor do que nos ciclos posteriores.

4.3.1 Comparação do Método para o ASTM 6351.

Na Figura 4.18, foi comparado o ensaio cíclico simulado juntamente com o

ensaio cíclico real, mas devido à flexão do corpo de prova, como já discutido, a

simulação não foi convergente.

Em seguida, é comparado o Ciclo Estabilizado para a liga ASTM 6351 com o

ensaio Cíclico, na Figura 4.19, cujo corpo de prova sofreu flambagem. Também foi

comparado o Ciclo Estabilizado com o Ensaio Cíclico Simulado, na Figura 4.20, onde é

possível averiguar que houve uma grande semelhança entre as curvas.

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004

Tensão vs Deformação Plástica

Ensaio Cíclico Ciclo Estabilizado

71

Figura 4.18 - Comparação entre o Ensaio Cíclico Simulado e o Ensaio Cíclico Não

Estabilizado para a liga ASTM 6351.

Figura 4.19 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Não Estabilizado

para a liga ASTM 6351.

-300

-200

-100

0

100

200

300

-0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002

Ensaio Cíclico Ensaio Simulado

-300,000

-200,000

-100,000

0,000

100,000

200,000

300,000

-0,0020 -0,0015 -0,0010 -0,0005 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020

Tensão vs Deformação Plástica

72

Figura 4.20 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Simulado para a

liga ASTM 6351.

As variáveis do material foram mensuradas, tanto para o Ciclo Estabilizado,

quanto para o Ensaio Cíclico Simulado, e seus resultados foram comparados e podem

ser averiguados na Tabela 4.2, a seguir:

Tabela 4.2 - Comparação dos Resultados para a liga ASTM 6351

E σy Ymáx Xmáx v1 v2 a b

Ensaio Simulado

78381,98 237,90 246,00 12,00 8,10 0,001 19328,50 894,87

Ciclo Estabilizado

78381,98 239,75 247,77 12,77 8,02 0,001 19140,00 551,43

Erro 0,0% 0,8% 0,7% 6,1% 1,0% 0,0% 0,0% 38,4%

Comparando os resultados, pode-se concluir que a diferença percentual é muito

pequena para E, σy, Ymáx, Xmáx e v1. Para Xmáx, apesar da diferença percentual ter sido

grande o valor absoluto da diferença foi de apenas 0,77 MPa, um valor extremamente

aceitável para o método, visto as grandezas do ensaio. Essa justificativa também se

aplica aos valores medidos para "a" e "b", cuja equação possui uma sensibilidade alta e

-300,00

-200,00

-100,00

0,00

100,00

200,00

300,00

-0,0008 -0,0006 -0,0004 -0,0002 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008

Tensão vs Deformação Plástica

73

uma pequena variação nos valores de entrada pode gerar grandes discrepâncias na saída,

porém, ainda assim, a ordem de grandeza dos valores permaneceu numa faixa aceitável.

Para o ensaio com o alumínio ASTM 6351 é possível aprovar a acurácia do método.

4.3.2 Comparação do Método para o ASTM 7050.

Na Figura 4.21, foi comparado o ensaio cíclico simulado juntamente com o

ensaio cíclico real, mas devido à flexão do corpo de prova, como já discutido, a

simulação não foi convergente.

Em seguida, é comparado o Ciclo Estabilizado para a liga ASTM 7050 com o

ensaio Cíclico, na Figura 4.22, cujo corpo de prova sofreu flambagem. Também foi

comparado o Ciclo Estabilizado com o Ensaio Cíclico Simulado, na Figura 4.23, onde é

possível averiguar que houve uma grande semelhança entre as curvas.

Figura 4.21 - Comparação entre o Ensaio Cíclico Simulado e o Ensaio Cíclico Não

Estabilizado para a liga ASTM 7050.

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004

Tensão vs Deformação Plástica

Ensaio Cíclico Ensaio Simulado

74

Figura 4.22 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Não Estabilizado

para a liga ASTM 7050.

Figura 4.23 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Simulado para a

liga ASTM 7050.

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004

Tensão vs Deformação Plástica

Ensaio Cíclico Ciclo Estabilizado

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

-0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002

Tensão vs Deformação Plástica

Ensaio Cíclico Estabilizado Ensaio Simulado

75

As variáveis do material foram mensuradas, tanto para o Ciclo Estabilizado,

quanto para o Ensaio Cíclico Simulado, e seus resultados foram comparados e podem

ser averiguados na Tabela 4.3, a seguir:

Tabela 4.3 - Comparação dos Resultados para a liga ASTM 7050

E σy Ymáx Xmáx v1 v2 a b

Ensaio Simulado

87399,37 276,28 294,00 36,00 17,72 0,001 19538,70 288,89

Ciclo Estabilizado

87399,37 279,26 300,86 36,96 21,60 0,001 23052,50 251,74

Erro 0,0% 1,1% 2,3% 2,6% 18,0% 0,0% 15,2% 12,8%

Comparando os resultados, pode-se concluir que a diferença percentual é muito

pequena para E, σy, Ymáx e Xmáx. Para v1, apesar da diferença percentual ter sido grande

o valor absoluto da diferença foi de apenas 3,88MPa, um valor extremamente aceitável

para o método, visto as grandezas do ensaio. Essa justificativa também se aplica aos

valores medidos para "a" e "b", cuja equação possui uma sensibilidade alta e uma

pequena variação nos valores de entrada pode gerar grandes discrepâncias na saída,

porém, ainda assim, a ordem de grandeza dos valores permaneceu numa faixa aceitável.

Para o ensaio com o alumínio ASTM 7050 é possível, mais uma vez, aprovar a acurácia

do método.

Sendo assim, o método que simula a obtenção de uma curva de um ensaio

cíclico trativo-compressivo a partir de um ensaio apenas trativo monótono mostrou-se

eficaz, cujos resultados apresentaram-se dentro de um limite aceitável, visto que o

ensaio real provavelmente sofreu influência de fatores como o desalinhamento das

garras que vieram a contribuir com a flambagem do corpo de prova.

76

CAPÍTULO 5

5.CONCLUSÃO

5.1. Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros

Conforme visto anteriormente, o conhecimento do comportamento das

propriedades mecânicas dos materiais é extremamente importante para prever sua

resposta em aplicações de engenharia. A falta de seu conhecimento pode levar a

interpretações errôneas e a falhas gravíssimas.

O estudo da vida a fadiga depende diretamente da obtenção do ciclo estabilizado

trativo-compressivo, bem como estudos de acoplamentos termomecânicos em

carregamentos cíclicos.

O mesmo estudo é significativo nos casos de fadiga dos componentes

mecânicos. Uma ínfima parcela de deformação é acrescida durante cada ciclo,

resultando num aumento gradual da deformação plástica acumulada. Essa deformação, a

olho nu, torna-se muito difícil de ser percebida, mas, no decorrer de sucessivos ciclos,

ela avança para uma súbita falha do componente.

Sendo assim, o estudo de carregamentos cíclicos, mesmo possuindo notória

importância, por questões financeiras, mercadológicas e sócio-geográficas, nem todas as

instituições de ensino e pesquisa no país possuem recursos para a obtenção dos

equipamentos específicos para a realização de um ensaio trativo-compressivo. O

maquinário para a usinagem do corpo de prova resistente à flambagem, juntamente com

as máquinas capazes de realizar a compressão e a tração cíclica, representam grandes

investimentos e enormes ponderações quanto aos orçamentos das instituições.

Não somente a obtenção desses equipamentos, mas também sua operação,

calibragem, alinhamento e controle também são fatores importantíssimos, apesar de não

serem amplamente dominados pelos poucos pesquisadores inseridos nesse âmbito.

Sendo assim, o contínuo desenvolvimento de uma metodologia que possibilite o

uso de corpos de prova encontrados facilmente no meio comercial, bem como a

77

utilização de um maquinário mais simples e acessível, é imprescindível para a

disseminação da pesquisa e do conhecimento científico em nosso país. O método

introduzido neste trabalho, então, preenche essa lacuna, apresentando bons resultados,

como demonstrado nas figuras Figura 4.20 e Figura 4.23.

Finalmente, como uma sugestão para o contínuo desenvolvimento do presente

trabalho, é sugerido novos ensaios para validar o método em diferentes materiais. Ele,

também, torna possível simulações de ensaios cíclicos para estudos de fadiga em

polímeros, cujos corpos de prova geralmente são adquiridos sob a forma de placas. Uma

outra sugestão seria o desenvolvimento de um método equivalente para a simulação de

um ciclo trativo-compressivo também em materiais elasto-viscoplásticos.

78

Referências Bibliográficas

[1] Heraldo da Costa Mattos, Paulo Feliciano Soares Filho, Identificação Sistemática de

Propriedades da Elasto-Plasticidade e da Elasto-Viscoplasticidade Cíclicas;

[2] ASTM E8 / E8M - Standard Test Methods for Tension Testing of Metallic

Materials;

[3] ASTM B557 - Standard Test Methods for Tension Testing Wrought and Cast

Aluminum- and Magnesium-Alloy Products;

[4] Annual Book of ASTM Standards;

[5] Lemaitre J., Chaboche J.L., Mécanique des matériaux solides. Editions Dunod,

Paris, (1986) / J. L. Chaboche e J. Lemaitre. Mechanics of Solid Materials. Cambridge

University Press, U.K., 1990;

[6] Marquis, D., Modélisation et identification de l’écrouissage anisotrope des Métaux.

PhD thesis, University Paris 6, France (1979);

[7] Heraldo da Costa Mattos, Rubens Sampaio Filho, Uma Contribuicao a Formulacao

Termodinamica da Elastoplasticidade e da Elastoviscoplasticidade, 1988;

[8] Heraldo da Costa-Mattos, Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco, Non-isothermal low-

cycle fatigue analysis of elasto-viscoplastic materials;

[9] Ciarlet, P.G. and Lions, J.L., 1990, "Handbook of Numerical Analysis", Vol.I,

North-Holland-Elsevier Science Pub;

[10] Coletânea de normas da American Society for Testing and Materials (ASTM) que

envolvem uma série de normas, entre elas:

i. ASTM E606 - 12 Standard Test Method for Strain-Controlled Fatigue Testing;

79

ii. ASTM 468 - 11 Standard Practice for Presentation of Constant Amplitude

Fatigue Test Results for Metallic Materials;

iii. ASTM 466 - 07 Standard Practice for Conducting Force Controlled Constant

Amplitude Axial Fatigue Tests of Metallic Materials.

[11] H.S. da Costa Mattos, I.N. Bastos, J.A.C.P. Gomes, A thermodynamically

consistent modelling of stress corrosion tests in elasto-viscoplastic materials, Corros Sci

80 (2014) 143–53.