ВИСША АТЕСТАЦИОННА КОМИСИЯСПЕЦИАЛИЗИРАН НАУЧЕН СЪВЕТ ПОРАДИОФИЗИКА ФИЗИЧНА И КВАНТОВА

ЕЛЕКТРОНИКА

Петър Александров Иванов

Обработка на квантова информация с атоми ийони

Научна специалност: 010301Теоретична и математична физика

АВТОРЕФЕРАТ

на дисертация за придобиване наобразователната и научна степен

“Доктор”

Физически факултетСофийски университет “Св. Климент Охридски”

Научен ръководител:доц. д-р Николай Витанов

Рецензенти:ст.н.с.II ст.д-р Стефка Карталева

доц. дфзн Тодор Мишонов

София2008

Дисертационният труд е обсъждан и насочен за защита към СНС по Радиофизика,физична и квантова електроника при ВАК на специализиран научен семинар на катедренсъвет в катедра Теоретична физика на Физическия факултет към Софийския университет“Св. Климент Охридски”, състоял се на 03.06.2008 г.

Дисертантът е редовен докторант към групата по Квантова оптика и квантова ин-формация, Физически факултет към Софийски университет “Св. Климент Охридски”

Брой страници – 154Брой фигури – 43Брой цитирани литературни източници – 100

Защитата на дисертационния труд ще се проведе на:

16.12.2008 г. от 16:15 часа в аудитория А209 на Физическия факултет наСофийския университет “Св. Климент Охридски”, бул. Джеймс Баучер 5на заседание на СНС по Радиофизика, физична и квантова електроника.Материалите по защитата са на разположение на интересуващите сев библиотеката на Физическия факултет на Софийския университет“Св. Климент Охридски”, бул. Джеймс Баучер 5, и в библиотеката на ИФТТ при БАН,бул. Цариградско шосе 72.

2

Актуалност на темата, цел и задачи на дисертационниятруд

Квантовата информация е една от най-атрактивните и бързо развиващи се областина съвременната физика. Началото й датира от прочутата работа на Питър Шор, кой-то показва, че квантовият компютър би факторизирал число експоненциално по-бързоот класическия компютър. Алгоритъмът на Гровър е друг пример за мощта на кванто-вия компютър. В него се показва, че квантовият компютър може да намери маркиранобект в неструктурирана база данни с N обекта с помощта на

√N опита, квадратично

по-бързо от класическия алгоритъм за търсене, където необходимия брой стъпки е N/2.Тези алгоритми, както и редица експериментални и технологични постижения доведохадо експоненциалното нарастване на интереса в тази област.

Квантовата информация се състои от три основни области: квантови компютри, кван-това криптография и квантова комуникация. Най-голямата и най-впечатляващата от тяхса квантовите компютри. Те не само биха ускорили решаването на множество численотрудни задачи, за които класическите алгоритми са неефективни, но и редица численизадачи, които са нерешими по принцип на класически компютър. Редица препятствия,блокиращи пътя към квантовия компютър, са преодолени (например схема за корекцияна грешките). Понастоящем експерименталните демонстрации са на елементарно ниво(кюбитно въртене, създаване на сплетени състояния и демонстриране на някои квантовиалгоритми), но перспективите са оптимистични, особено предвид факта, че тази област ена малко над 10 години.

Квантовата информация е уникална мултидисциплинарна област. Докато в началотоот квантова информация се интересуваха основно квантови физици и най-вече специалис-ти по квантова оптика, голям брой изследователи от други области на физиката навлязохабързо в тази област, а също учени от други науки (компютърни науки, математика, химия,дори биология).

Структура и обем на дисертациятаНастоящият дисертационен труд е оформен в четиринадесет глави както следва:

• Глава 1 ни запознава с основните понятия и направления в квантовата информация.

• Глава 2 разглежда математичният апарат описващ динамиката на квантова системаот две и повече състояния взаимодействаща с лазерно поле. Специално внимание еобърнато на трансформацията на Морис–Шор, която факторизира изродена системаот две състояния като множество от независими системи от две състояния.

• Глава 3 е посветена на физическата реализация на оператора на отражение в сис-тема от N -долни състояния (формиращи кюнит) и едно горно състояние. Показаное, че всяка унитарна трансформация може да се представи като произведение отоператори на отражение.

• Глава 4 описва така наречената обратна задача в квантовата механика: при даденоначално и крайно състояние, да се намери вида на унитарната матрица. Даден еметод за създаване и контролиране на суперпозиция от състояния.

• В Глава 5 е предложен оптимизиран метод за томография на неизвестно квантовосъстояние на система от три нива. Показано е, че за определяне на параметрите(зеселености и кохерентности) на матрицата на плътност са необходими набор отдевет независими измервания.

3

• Глава 6 е посветена на бурно развиващата се област на йони, хванати в йонна уловка.Даден е основния математичен апарат.

• В Глава 7 е предложен метод за създаване на заплетените W състояния. Предложе-ната техника е сравнена със съществуващите методи. Дискутирана e възможносттаза създаване на произволно многочастично унитарно преобразувание.

• Глава 8 е посветена на еднопосочния квантов компютър. Предложен е метод за съз-даване на клъстер състояние от 4, 5, и 6 йона.

• В Глава 9 е разгледана адиабатна техника за създаване на йонни вибрационни със-тояния на движение (Фок състояния). Предложената техника е сравнена със същес-твуващите до сега методи.

• В Глава 10 е предоставен основния математичен апарат описващ еволюцията наквантова система намираща се в чисто или смесено състояние.

• В Глава 11 се разглежда система от две състояния взаимодействаща с лазерно полев присъствието на дефазиращи процеси. Намерено е аналитично решение на урав-нението на Блох в адиабатна граница.

• Глави 12 и 13 са посветени на стимулиран Раманов адиабатен процес под действиетона дефазиране и спонтанна емисия. Решено е уравнението на Лиувил. Полученитерезултати са сравнение с численото решаване на уравнението.

• Глава 14. Приноси

Глава 1. Увод

Квантовата информация е нова бурно развиваща се област от съвременната физика.Фундаменталният носител на информация е квантова система от две състояния, нареченакюбит. Създаването и контролирането на едночастични и многочастични състояния, чрезвъншно лазерно поле е основна част в построяването на квантовия компютър [1]. Такъвуред би решил множество задачи експоненциално по-бързо в сравнение с класическия ком-пютър. Като пример е алгоритъмът на Шор [2], който факторизира число експоненциалнопо-бързо отколкото всеки класически алгоритъм. Друг интересен пример е алгоритъмътна Гровър [3], който намира неизвестен елемент от равно вероятна база данни след O(

√N)

стъпки. За построяването на квантов компютър са нужни огромен брой кюбити. До тозимомент най-реалистичните физични системи, кандидати за квантов компютър, са йонихванати в йонна уловка [4], Бозе–Айнщайн кондензат в оптична решетка [5], квантовиточки [6] и др. Реализацията на даден квантов алгоритъм изисква последователност отедночастични и многочастични унитарни преобразувания приложени върху един или по-вече кюбити. В квантовата информация, унитарните преобразувания се наричат гейтове.Като важен пример за такива гейтове са матриците на Паули

σx =

[0 11 0

], σy =

[0 −ii 0

], σz =

[1 00 −1

], (2)

и гейт на Адамар

H =1√2

[1 11 −1

]. (3)

4

Важна част от квантовата информация е двучастичния контрол-нот гейт (CNOT), койтоможе да се запише в матрична форма по следния начин

H =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

. (4)

Всяко многочастично унитарно преобразувание може да се разложи като произведение отедночастични гейтове и двучастични CNOT гейтове [1].

Контролираното многочастично взаимодействие между кюбитите създава така наре-чените заплетени състояния, които са интересни освен за фундаменталното изучаване наквантовата механика, така също намират приложение в свръх прецизната спектроско-пия [7] и в квантовата информация [1]. Заплетено състояние е многочастично състояние,вълновият вектор на което не може да се представи като тензорно произведение на инди-видуалните едночастични вълнови вектори. Като пример за такова заплетено състояниее двукюбитното Бел състояние

|Bell〉 =1√2

(|01〉 |02〉+ |11〉 |12〉) , (5)

където |n1,2〉 (n = 1, 2) е състоянието, съответно на първия и втория кюбит. Според веро-ятностната интерпретация на квантовата механика, ако първия кюбит е намерен в със-тояние |01〉 или |11〉, то тогава втория кюбит ще е в състояние |12〉 или |01〉, дори когатоняма физическо взаимодействие между тях. Заплетени състояния са експериментално де-монстрирани в различни физични системи, като йони в йонна уловка, фотони, атоми врезонатор, Бозе-Айнщайн кондензат в оптична решетка, квантови точки и др.

Стъпка към разбирането на ролята на заплетените състояния в квантовата информа-ция е въвеждането на модела на еднопосочния квантов компютър [8]. В този нов модел,системата от кюбити се приготвя в заплетено клъстер състояние. Създаването на раз-лични едникюбитни и двукюбитни гейтове се осъществява чрез измерване на определенброй кюбити, по този начин клъстер състоянието се разрушава, следователно процесът енеобратим (еднопосочен).

Интересен проблем в квантовата информация е използването на системи с повече отдве състояния, наречени кюнити. Причината за това е факта, че в система от N състо-яния информацията се кодира в 2(N − 1) реални параметри. Като сравнение, в кюбитинформацията се кодира в два параметъра: една заселеност и една фаза. Следователно,използването на кюнити, вместо кюбити би довело до значително редуциране на броячастици, необходими за извършването на даден квантов алгоритъм.

Основен проблем в квантовата информация е нежеланото взаимодействие между кю-ботите и заобикалящата ги среда, водещо до необратима загуба на кохерентност. Примерза такива некохерентни процеси са дефазирането и спонтанната емисия.

Глава 2. Система с две нива във външно поле итрансформация на Морис–Шор

В тази Глава ще разгледаме динамиката на система състояща се от основно състояние|0〉 и възбудено състояние |1〉, под действието на лазерно поле. Хамилтонианът на системаот две състояния има следните собствени вектори и собствени стойности

H0 |0〉 = E0 |0〉 , (6)H0 |1〉 = E1 |1〉 , (7)

5

Собствените вектори |0〉 и |1〉 служат като базис в Хилбертовото пространство, къдетовълновия вектор |Ψ (t)〉 може да се запише като

|Ψ (t)〉 = C0 (t) |0〉+ C1 (t) |1〉 . (8)

Тук, Cn (t) (n = 0, 1) е вероятностната амплитуда, чиято абсолютна стойност Pn (t) е за-селеността на ниво |n〉 в момент t.

Електричната компонента на лазерното поле има вида

E (t) = E0 (t) e cos (ωLt + φ) , (9)

където E0 (t) е време зависимата амплитуда, e е единичния вектор по посока на елект-ричното поле, ωL е лазерната честота, и φ е лазерната фаза. В диполно приближение,взаимодействието между системата с две състояния и лазерното поле, се описва с Хамил-тониан

V (t) = −eE (t) .r, (10)

където r е оператор на позицията на валентния електрон. Еволюцията на вълновия векторсе описва с време зависимото уравнение на Шрьодингер

i~d

dt|Ψ (t)〉 =

(H0 + V (t)

)|Ψ (t)〉 . (11)

Замествайки (8) в уравнението на Шрьодингер и предполагайки, че лазерната честотаωL е равна или близка до честотата на преход ω0 = (E1 − E0) /~ (приближение на вър-тящата се вълна), получаваме система от две обикновени диференциални уравнения завероятностните амплитуди

id

dtC0 (t) =

Ω∗ (t)

2ei(∆t+φ)C1 (t) , (12)

id

dtC1 (t) =

Ω (t)

2e−i(∆t+φ)C0 (t) , (13)

където C1 (t) = C1 (t) eiω0t. Тук

Ω (t) =eE0 (t) 〈1| e · r |0〉

~(14)

е Раби честотата, параметризираща силата на взаимодействие на атома с лазерното поле,и

∆ = ωL − ω0 (15)

е честотната разлика между лазерната честота и честотата на преход.

Трансформация на Морис–Шор

Нека разгледаме случая на изродена система от две нива, включваща множество от Nдолни състояния |ψk〉 (k = 1, 2, . . . , N) с обща енергия EN , и множество от горни състояния|τk〉 (k = 1, 2, . . . , M) с обща енергия E. Ще предполагаме, че N ≥ M . Всяко долно състо-яние е свързано кохерентно с лазерно поле с всички горни състояния, но няма директнавръзка с множеството от долни състояние фиг. 1, понеже разглеждаме само разрешени

6

1ψ2ψ 3ψ Nψ

1τ 2τMτ

( )t∆

Фигура 1: Изродена система от две нива

диполни преходи. В разглеждания модел, предполагаме че Раби честотите Ωnm (t) на пре-хода между долните |ψn〉 и горните |τm〉 състояния имат една и съща времева зависимостf (t), но различни амплитуди Vnm

Ωnm (t) = 2Vnmf (t) . (16)

Хамилтонианът на системата след приближение на въртящата се вълна има блочна струк-тура

H (t) =

[0 Vf (t)

V†f (t) D (t)

], (17)

където компонентите на (N ×M)-размерната матрица V са амплитудите на Раби често-тите Vnm

V =

V11 V12 . . . V1M

V21 V22 . . . V2M...

... . . . ...VN1 VN2 . . . VNM

. (18)

Елементите на M -мерната диагонална матрица D (t) са честотните разлики: D (t) =1∆ (t).

Морис и Шор показват [9], че оригиналната система от две изродени нива може дасе представи, след подходяща смяна на базиса, като множество от независими системис две нива и множество от несвързани, тъмни състояния. Морис–Шор състоянията |χn〉(n = 1, 2 . . . ,M) и |dk〉 (k = 1, 2 . . . , N0) са суперпозиция от |ψm〉, докато |ξn〉 са суперпози-ция от |τm〉.

1λ 2λ Mλ

1χ 2χ Mχ

1ξ 2ξ Mξ

1d0Nd

Фигура 2: Морис–Шор трансформацията факторизира оригиналната изродена системаот две нива в множество от M независими системи от две състояния с ефективни Рабичестоти λnf (t) (n = 1, 2 . . . ,M) и множество от N0 = N−M несвързани, тъмни състояния.

7

Глава 3. Декомпозиране на произволно унитарнопреобразувание U(N) чрез оператора на отражение

Оператор на отражение

Операторът на отражение ОХ (оператор на Хаусхолдер) се дефинира по следния начин

M (χ) = 1− 2 |χ〉 〈χ| , (19)

където |χ〉 е N -мерен нормализиран комплексен вектор и I е единичния оператор. ОХ еермитов и унитарен, M (χ) = M (χ)† = M (χ)−1, което означава, че M (χ) е инволюти-вен. Ако векторът |χ〉 е реален, M (χ) има проста геометрична интерпретация: отражениеотносно (N -1)-мерна равнина с нормален вектор |χ〉

Обобщен ОХОбобщеният ОХ има следния вид

M (χ; ϕ) = 1+(eiϕ − 1

) |χ〉 〈χ| , (20)

където |χ〉 е отново N -мерен нормализиран комплексен вектор и ϕ е произволна фаза.Обобщеният ОХ е унитарен, M (χ; ϕ)−1 = M (χ; ϕ)† = M (χ;−ϕ), и детерминтата му еdetM (χ; ϕ) = eiϕ.

Физична реализацияОХ и обобщения ОХ имат проста физическа реализация в система от N долни състо-

яния |n〉 (n = 1, 2, . . . , N), формиращи кюнит, свързани кохерентно и едновременно чрезN лазеpни полета с едно горно състояние |e〉, както е показано на фиг. 3 Такава N -подна

e

N 3 2 1

NΩ 1Ω 2Ω 3Ω

∆

Фигура 3: Физична реализация на оператора на отражение и на обобщения оператор на от-ражение: N изродени долни състояния, формиращи кюнит, са свързани кохерентно с общогорно състояние чрез лазерни полета с еднаква време зависимост, една и съща честотнаразлика, но с възможни различни амплитуди и фази .

структура може да се създаде, чрез свързването на магнитните поднива на различни J=1нива с едно J=0 ниво, чрез различно поляризирани лазерни импулси; за кютрит (системаот три състояния) само едно J=1 ниво е достатъчно.

Хамилтонианът на системата, след приближение на въртящата се вълна, има вида

H (t) =~2

0 0 . . . 0 Ω1 (t)0 0 . . . 0 Ω2 (t)...

... . . . ......

0 0 . . . 0 ΩN (t)Ω∗

1 (t) Ω∗2 (t) . . . Ω∗

N (t) ∆ (t)

, (21)

8

къдетоΩn (t) = χnf (t) eiβn (n = 1, 2 . . . , N) , (22)

са Раби честотите, χn са амплитудите, βn са лазерните фази, и f (t) описва времеватазависимост на Раби честотата.

Резонансен модел

Решението на уравнението на Шрьодингер за унитарния пропагатор

i~d

dtU (t) = H (t)U (t) , (23)

може да се намери в [10]. Когато честотната разлика е нула ∆ = 0, и за специфична площна импулса

A = χ

∫ tf

ti

f (t) dt = 2 (2k + 1) π (k = 0, 1, 2 . . .) , (24)

унитарният пропагатор има вида

UN+1 =

0

UN...0

0 . . . 0 −1

. (25)

Тук UN е N -мерна унитарна матрица, която представлява пропагатора в долното мно-жество от състояния и има форма на ОХ (19), UN = M (χ). Компонентите на N -мерниявектор |χ〉 са нормализираните Раби честоти, със съответните лазерни фази

|χ〉 =1

χ[χ1, χ2, . . . , χN ]T , (26)

и χ =√

χ21 + χ2

2 + . . . + χ2N .

Модел на Розен–Зинер

Обобщеният ОХ се реализира в случая, когато честотната разлика е различна от нула.Например за специфичната форма на импулса f (t) = sech(t/T ), при константна честотнаразлика ∆ =const (модел на Розен–Зинер), и при площ на импулса A = 2πl (l = 1, 2, . . .),унитарният пропагатор има вида

UN+1 =

0

UϕN

...0

0 . . . 0 e−iϕ

. (27)

Пропагаторът UϕN е физичната реализация на обобщения ОХ (20), Uϕ

N = M (χ; ϕ). Фазатаϕ зависи от честотната разлика и за произволно l се дава с

ϕ = 2 argl−1∏

k=0

[∆T + i (2k + 1)] . (28)

9

Декомпозиране на произволна U(N) трансформация с операторина отражение

Всяко унитарно преобразувание може да се представи като произведение на N − 1 ОХM (χn) (n = 1, 2, . . . , N − 1) и една N -мерна фазова трансформация Φ (φ1, φ2, . . . , φN) =diageiφ1 , eiφ2 , . . . , eiφN

U = M (χ1)M (χ2) · · ·M (χN−1) Φ (φ1, φ2, . . . , φN) , (29)

или като произведение на N обобщени ОХ

U = M (χ1; ϕ1)M (χ2; ϕ2) · · ·M (χN ; ϕN) . (30)

Декомпозицията на U(N) като произведение на матрици на Хаусхолдер представлява фи-зична реализация на най-общата трансформация на кюнит, след само N − 1 взаимодейст-вия и една фазова трансформация (29), или след N взаимодействия (30). Това е значител-но оптимизиране на броя взаимодействия, в сравнение със съществуващите методи, прикоито необходимия брой е от порядък O (N2) [11]. Декомпозицията също представлява иматематически интерес, понеже осигурява естествена параметризация на U(N) групата.

Глава 4. Създаване и контролиране на суперпозиция отсъстояния

Декомпозицията на U(N) трансформация, дава възможност да решим интересниятпроблем: при зададени начално и крайно състояниня, да намерим унитарната трансфор-мация, която свързва двете състояния. Решението на този проблем зависи в какво състо-яние е приготвена системата: дали е чисто или смесено. Ако системата се намира в чистосъстояние, решението може да се представи като произведение на два ОХ или като единобобщен ОХ. Ако системата е в смесено състояние, тогава двете състояния се свързват снай-обща унитарна трансформация. Техниката може дори да се обобщи когато двете със-тояния имат различни константи на движение: тогава освен кохерента еволюция е нужнои включването и на некохерентен процес, като дефазиране или спонтанна емисия.

Преход между чисти състояния

Чисто квантово състояние се описва с вълнов вектор |Ψ〉 =∑N

n=1 cn |n〉, където век-торите |n〉 представляват базисните състояния на кюнита фиг. 3, a cn са комплекснитевероятностни амплитуди за дадено състояние |n〉. При дадено начално състояние |Ψi〉 икрайно състояние |Ψf〉 на кюнита, ние търсим вида на пропагатора, такъв че

|Ψf〉 = U |Ψi〉 . (31)

Решението може да се представи като произведение на два ОХ

U = M (χj)M (χi) , (32)

където

|χα〉 =|Ψα〉 − eiϕαn |n〉√

2 [1−Re (〈Ψα |n〉 eiϕαn)]. (33)

Тук |n〉 е произволно избрано кюнитно състояние, ϕαn = arg [Ψα]n, и α = i, f .

10

От друга страна, наличието на допълнителен параметър, фазата ϕ в обобщения ОХ,позволява всеки две състояния да бъдат свързани само с един обобщен ОХ

U = M (χ; ϕ) , (34)

където

|χ〉 =|Ψf〉 − |Ψi〉√

2 (1−Re〈Ψf |Ψi〉), (35)

ϕ = 2 arg (1− 〈Ψf |Ψi〉) + π. (36)

Пример

Нека разгледаме прехода между състоянията

|1〉+ |3〉√2

→ |1〉+ eiπ/3 |2〉+ eiπ/7 |3〉√3

, (37)

който може да се осъществи чрез два ОХ, с вектори

|χi〉 = [−0.383, 0, 0.924]T , (38)

|χf〉 =[−0.460, 0.628eiπ/3, 0.628eiπ/7

]T, (39)

или чрез само един обобщен ОХ с

|χ〉 =[0.194e0.213πi, 0.863e−0.454πi, 0.467e−0.083πi

]T, (40)

и фаза ϕ = 0.574π. На фиг. 4 e показана еволюцията на заселеностите за прехода (37) иотклонението D (t) дефинирано като

D (t) =

∑mn

∣∣ρmn (t)− ρfmn

∣∣∑

mn

∣∣∣ρimn − ρf

mn

∣∣∣, (41)

където ρmn са елементите на матрицата на плътност на кютрита. От фигурата се вижда,че когато времето расте отклонението клони към нула, което е индикация, че желанатасуперпозиция е създадена.

Преходи между смесени състояние, с еднакви константи надвижение

Смесено квантово състояние се описва с матрица на плътност, която може да се запишекато

ρ =N∑

n=1

rn |ψn〉 〈ψn| . (42)

Собствените стойности rn на ρ удовлетворяват∑N

n=1 rn = 1, а собствените вектори |ψn〉са ортонормализирани. Матрицата на плътност е ермитова и може да се параметризира с

11

0

1

2

Ω3

Ω2

Ω1

Rab

i Fre

quen

cies

(un

its

of 1

/T)

0

0.5

1.0

-10 -5 0 5 10

D

P3

P2

P1

Time (units of T)

Popu

lati

ons

Фигура 4: Горната фигура показва лазерните импулси, а долната заселеностите за прехода(37). Индивидуалните амплитуди χn (n = 1, 2, 3) се дават чрез компонентите на вектора(40) всяка умножена с χ. Честотната разлика е ∆T = 0.791, която генерира фаза ϕ =0.574π.

N2−1 реални параметри. Ермитов Хамилтониан ще индуцира унитарна еволюция междуначалното смесено състояние ρi и крайното състояние ρf ,

ρf = UρiU†. (43)

Унитарната еволюция не променя собствените стойности rn на ρ, следователно те са кон-станти на движение. По общо, ако еволюцията е унитарна, матрицата на плътност при-тежава N константи на движение, които са TrρnN

n=1. Следователно унитарна трансфор-мация може да свърже само състояния с еднакви константи на движение. Състояния сразлични константи на движение се свързват с не ермитов Хамилтониан. В този случай енеобходимо включването на некохерентен процес, като дефазиране или спонтанна емисия.

При дадени ρi и ρf , унитарната трансформация в (43) може да се запише като

U = RfRi, (44)

където Ri и Rf са унитарните матрици, които диагонализират съответно ρi и ρf . Уни-тарната трансформация U може да се представи като произведение на N − 1 ОХ и еднафазова трансформация (29), или като произведение на N обобщени ОХ (30). По този на-чин, преходът между две смесени състояния изисква най-обща унитарна трансформация.

Основни резултати и изводи от Глави 3 и 4

В Глава 3 е предложена физичната реализация на оператора на отражение в системаот N изродени долни състояния, формиращи кюнит, свързани кохерентно с N лазерниимпулси с едно общо горно състояние. Показали сме, че най-общата унитарна трансфор-мация U(N) може да се разложи като произведение от N − 1 ОХ и една N -мерна фазова

12

трансформация, или като произведение на N обобщени ОХ. Предложената техника по-добрява съществуващите до сега методи, при които необходимия брой взаимодействия еот порядък O (N2).

Физичната реализация на обобщения ОХ изисква нерезонансно взаимодействие, с чес-тотна разлика различна от нула. Тази реализация има важно предимство: при големичестотни разлики (голяма площ на импулса), заселеността на горното състояние по времена взаимодействието е малка, което е от значение, ако времето му на живот е малко.

В Глава 4 е предложена техника, която позволява да се свържат всеки две състояния,чисти или смесени в система от N състояния. За решаването на този проблем има двестъпки. Първо, математичното получаване на пропагатора; второ, неговата физична ре-ализация. Показано е, че всеки две чисти състояния могат да бъдат свързани чрез дваОХ, или чрез един обобщен ОХ. Преходът между смесени състояния с еднакви константина движение изисква най-обща унитарна трансформация. Случая на преход между със-тояния с различни константи на движение е необходимо включването на некохерентнипроцеси като дефазиране или спонтанна емисия.

Глава 5. Томография на квантово състояние

В тази Глава предлагаме метод за измерване на параметрите на неизвестна напълноили частично кохерентна суперпозиция от състояния на система от три нива, формиращикютрит. Такава схема се създава, при свързването на магнитните поднива m = −1, m = 0,и m = 1 на J = 1 ниво с J = 0 ниво с лазерни импулси с линейна (π), дясно кръгова (σ+),и ляво кръгова (σ−) поляризации. Кютритно състояние се описва с матрица на плътност

ρ =

ρ−1−1 ρ−10 ρ−11

ρ01 ρ00 ρ01

ρ1−1 ρ10 ρ11

, (45)

където елементите й са неизвестните параметри, които искаме да определим.Основната идея на техниката е да проектираме търсените ρmn върху заселеността на

горно, възбудено състояние |e〉, след което да измерим флуоресценцията, поради спонтаннаемисия от него.

Има два начина за селектиране на сигнала. Първо чрез оптично изпомпване на засе-леността на горното състояние. Тогава сигналът е

S = FΓe

∫ tf

ti

ρee (t) dt, (46)

където Γe е честотата на разпад на горното състояние и F е множител, който зависи отброя частици и ефективността на детектора.

Алтернативният начин е чрез бързо импулсно възбуждане, където сигналът се дава с

S = Fρee (tf ) . (47)

Заселеността ρee (t) зависи от неизвестните елементи на суперпозицията, както и отлазерните параметри (интензивности и фази). Измервайки сигнала при различни лазернипараметри, ние получаваме система от алгебрични уравнения за неизвестните елементи насуперпозицията, от които последните ги определяме. Неизвестният фактор F може да сеелиминира, вземайки отношения на сигнали, понеже той не зависи от лазерните парамет-ри. Метода на оптично изпомпване има предимство пред бързото импулсно възбуждане,

13

понеже при него не е задължително при всяко ново измерване на сигнала, Раби честотитеи честотните разлики да бъдат едни и същи.

Девет независими измервания на сигнала, при различни лазерни фази и елиптичностиса достатъчни за определянето на елементите на матрицата на плътност. Ако неизвестнотосъстояние е чисто, тогава броя на измерванията е седем.

Глава 6. Йонна уловка

Йонната уловка представлява една от най-подходящите система за квантова информа-ция [12]. Както името подсказва, йонната уловка ограничава заредена частица в определе-на област в пространството, чрез прилагането на статично и променливо радио-честотноелектрично поле [13]. По специално, ние ще разгледаме линейна радио-честотна уловка,наречена уловка на Паул, която се състои от четири електрода, както е показано на фиг.5. Потенциалът, който се създава по оста на симетрия (успореден на оста z) се дава с

Фигура 5: Линейната уловка на Паул се състои от четири електрода. Двата срещуположниелектрода са свързани към единия полюс на радио-честотен (rf) източник на напрежение,докато другите два са свързани към другия полюс. За да се получи ограничение на движе-нието във всички посоки е необходимо прилагане на допълнително статично електричнополе в двата края на електродите. Оста на симетрия между електродите е оста на улавяне.

φ =U0 + V0 cos ωrf t

2r20

(x2 − y2

), (48)

където ωrf е радио-честотата между противоположните елетроди, r0 е разстоянието меж-ду оста на улавяне и повърхността на електрода. Разбира се, движението на йона все ощене е ограничено по посока на оста z. За да се получи улавяне във всички посоки е необ-ходимо прилагането на допълнително статично напрежение U върху два допълнителнипръстеновидни електроди в двата края. Като резултат, движението на йона е ограниченов тримерното пространство и потенциала, в който се намира се дава с

Z |e|φ3D =mω2

r

2

(x2 − y2

)+

mω2zz

2

2. (49)

Честотата на трептене в радиално направление (успоредно на оста x и y) има вида

ωr =Z |e|V0√2mr2

0ωrf

. (50)

14

Честотата на трептене в аксиална посока се дава с

ω2z =

2ξZ |e|Umz2

0

, (51)

където z0 е разстоянието между центъра на уловката и пръстеновидния електрод и ξе геометричен фактор. Типично, честотата на трептене в радиална посока е много по-голяма от честотата на трептене в аксиална посока (ωr À ωz), по този начин радиалнотоосцилиране може да се пренебрегне.

Нека разгледаме случая на N йона в линейна уловка на Паул, с честота на трептенеωz. Потенциалната енергия на системата има вида

V =N∑

n=1

1

2mω2

zz2n (t) +

N∑n,m=1

Z2e2

8πε0

1

|zn (t)− zm (t)| , (52)

където с zn (t) означаваме позицията на n-тия йон. За достатъчно ниски температури zn (t)може да се апроксимира като

zn (t) = z0n + rn (t) , (53)

където z0n е равновесното положение, а rn (t) е малко отклонение от него. Решавайки кла-

сическите уравнения на движение се получава, че система от N йона има N възможнивибрационни моди. Най-ниско енергетичната е така наречената център на масата мода,при която йоните трептят в унисон с честота ω1 = ωz. Следващата вибрационна мода едишащата мода, при която йоните трептят с честота ω2 =

√3ωz и амплитуда пропорци-

онална на разстоянието до центъра на уловката. Забележително е, че двете честоти независят от N , а честотите на по-високите моди зависят слабо от N .

Взаимодействие с лазерно поле

Ние предполагаме, че йона може да се апроксимира като система с две състояния, |0〉 и|1〉. Нека по посока на оста z се разпространява електрично поле E (z, t) = E0ε cos (kz − ωLt + φ),с амплитуда E0, поляризация ε, честота на трептене ωL, вълнов вектор k, и лазерна фа-за φ. Взаимодействието между йона и електричното поле в диполно приближение и впредставяне на взаимодействието се дава с

HI (t) = ~Ωσ+ expi[η

(a†eiωzt + ae−iωzt

)−∆t + φ]

+ h.c, (54)

където Ω е Раби честотата, ∆ = ωL − ω0 е честотната разлика, η =√~k2/2mωz е Ламб-

Дике параметъра, σ+ = |1〉 〈0| е оператор на раждане на йонно възбуждане, a† и a саоператори на раждане и унищожение на вибрационен квант (фонон). Ако Ω ¿ ωz, при∆ = 0 имаме преходи които не изменят вибрационното число n, |0, n〉 ↔ |1, n〉 (носещпреход), при ∆ = −ωz раждането на йонно възбуждане е съпроводено с унищожение нафонон, |0, n〉 ↔ |1, n− 1〉 (червен преход), при ∆ = −ωz раждането на йонно възбужданее съпроводено с раждане на фонон, |0, n〉 ↔ |1, n + 1〉 (син преход), фиг. 6.

15

n

n

Carrier

1n +

1n −

Blue Red

0

1

Фигура 6: Йонната уловка естествено свързва йонните вътрешни състояния със собствени-те си вибрационни състояния. Три възможни прехода съществуват при различна честотнаразлика: ∆ = 0 носещ преход, ∆ = −ωz червен преход, ∆ = ωz син преход.

Глава 7. Създаване на W състояниеВ тази Глава предлагаме техника за създаване и контролиране на заплетени състояния

и за конструиране на произволна многочастична унитарна трансформация. По специалноние предлагаме ефикасен метод за създаване на W състояния в линейна уловка на Паул.W състоянията са едни от най-важните заплетени състояния, понеже са максимално ус-тойчиви относно измерването на даден кюбит. Съществуващите методи за създаване наW състояние са чрез прилагане на поредица от лазерни импулси с определена площ, катоброя им расте линейно с увеличаването на броя йони.

Ние разглеждаме N йона в линейна уловка, които взаимодействат с отделни лазерниимпулси. Ние предполагаме, че йоните са охладени достатъчно, така че да осцилиратоколо равновесното си положение в направление на оста x на улавяне. Лазерните честотиωn за всеки йон са настроени близо до резонансния червен преход ωn = ω0 − ν + δn,където ω0 е честотата на Бор, ν е честотата на уловката, и δn е малка честотна разлика.Хамилтонианът на системата в Ламб–Дике граница (η ¿ 1) се дава с [14]

HI (t) =N∑

n=1

~ηnΩn (t)

2√

N

[a†σ−n ei(δnt+φn) + aσ+

n e−i(δnt+φn)]. (55)

Функцията Ωn (t) = Ωnf (t) е Раби честотата на n-тия йон, която характеризира връзкатас общата вибрационна мода.

Хамилтонианът (55) комутира с оператора на броя възбуждания N = a†a+∑N

n=1 σ+n σ−n ,

[HI (t) ,N] = 0, следователно Хилбертовото пространство се разпада на подпространствас определен брой възбуждания m. Например за m = 1, Хилбертовото пространство сесъстои от следните състояния, фиг. 7.

|ψ1〉 = |11, 02, . . . , 0N〉 |0〉 , (56)...

|ψN〉 = |01, 02, . . . , 1N〉 |0〉 , (57)|ψN〉 = |01, 02, . . . , 0N〉 |1〉 . (58)

За специфична площ на импулса унитарният пропагатор U, който действа на състояния-та с едно йонно възбуждане представлява обобщен ОХ U = M (χ; ϕ). Векторът на взаимо-действие се дава с |χ〉 = 1

g[g1, g2, . . . , gN ]T , където компонентите му са gn = ηΩn (t) e−iφn/

√N

и g =√

g21 + . . . + g2

N , а фазата ϕ се дава с (28).

16

0ψ

1ψ 2ψ Nψ

δ

( )1g t ( )2g t ( )Ng t

Фигура 7: Колективни състояния на йоните в йона уловка, включващи нула (долнотониво) и едно йонно възбуждане (горните нива).

Таблица 1: Максималният брой йони, за които КФТ може да се създаде без да има ефектот затоплянето на фононите, за три вида йони.

Ion ν/2π heating Nmax Nmax

(MHz) time τ by SU(2) by HRs40Ca+ 1.7 190 ms 23 8025Mg+ 5.25 3 ms 8 179Be+ 10 0.1 ms 3 4

За създаването на W състояние |W 〉 = 1√N

(|10 . . .〉+ |01 . . .〉+ |00 . . . 1〉), ние предпола-гаме че системата е подготвена в начално състояние |Ψi〉 = |10 . . . 0〉 |0〉. Преходът междутова начално състояние и W състояние се осъществява с вектор на взаимодействието |χ〉със следните компоненти

|χ〉 =

[1−√N, 1 . . . , 1

]√

2(N −√N

) . (59)

Следователно за създаването на W състояние е необходимо лазерни импулси с определаплощ и Раби честота, приложени едновременно към всичките йони. Методът може дасе разшири до констроирането на произволна многочастична унитарна трансформация,понеже ние знаем че всяка U(N) може да се разложи като произведение на N − 1 ОХ иедна N -мерна фазова трансформация (29), или като N обобщени ОХ (30).

Един от основните проблеми при йонните уловки е затоплянето на вибрационните моди.Обикновено времето, за което вибрационното състояние е добре дефинирано е от порядъкна ms. Понеже фононите служат като междинна стъпка при създаването на заплетенисъстояния, то затоплянето им води до нежелано намаляване на прецизността на създаде-ното състояние или унитарна трансформация. Методът предложен тук, оптимизира броястъпки на взаимодействие, следователно е по- устойчив относно тези некохерентни ефекти.Като пример сме разгледали констроирането на квантова Фурие трансформация (КФТ),чрез обобщени ОХ. В разглеждания случай размерността на КФТ е равна на броя йони N .Съществуващите SU(2) методи за констроиране на U(N) трансформация изискват бройстъпки на взаимодействие от порядък O (N2). В таблица (1) сме дали максималния броййони, за които КФТ може да се създаде, без да има ефект от затоплянето на фонони-те, в случая на Хаусхолдер метода и SU(2) метода. Както се вижда, оптимизирането наброя стъпки използвайки операторите на отражение, води до значително увеличение наразмерността на КФТ.

17

Основни резултати и изводи от Глава 7

В Глава 7 сме предложили нов метод за създаване на заплетено W състояние в йон-на уловка. Показали сме, че за лазерни импулси с определена площ на импулса и Рабичестоти, приложени едновременно към всички йони, началното състояние |10 . . . 0〉 |0〉 сепрехвърля в заплетеното W състояние. Предоставен е метод за констроиране на произвол-на многочастична унитарна трансформация чрез оператори на отражение. Като примере разгледан КФТ. Техниката е сравнена с досега съществуващите методи, като е показанопреимуществото й.

Глава 8. Създаване на клъстер състояния чрезколективно взаимодействие

В тази Глава, предлагаме нова, експериментално реализуема техника за създаване нависоко заплетените клъстер състояния. Тези състояния са източник на така нареченияеднопосочен квантов компютър [8]. В този нов модел, кюбитите се приготвят в клъстерсъстояния. Създаването на произволен едночастичен или многочастичен гейт става чрезизмерването на определен брой кюбити. Един от начините за създаване на клъстер със-тояния е първо да приготвим всеки кюбит в състояние |+〉 = (|0〉+ |1〉) /

√2, след което

да приложим фазов гейт (CP) |m〉 |n〉 → (−1)mn |m〉 |n〉 (m, n = 0, 1) между всеки двасъседни кюбита.

Първото експериментално демонстриране на клъстер състояния е с атоми поставени воптична решетка [5]. Четири фотонно клъстер състояние е демонстрирано с фотони [15].До този момент клъстер състояния не са демонстрирани с йони в йонна уловка, коитопредставляват една от най-подходящите системи за квантов компютър.

Ние разглеждаме N йона, с резонансна честота на преход ω0, в линейна уловка наПаул. Всеки йон, взаимодейства с две лазерни полета (бихроматично взаимодействие) счестоти ωb = ω0 + νp − δ и ωr = ω0 − νp + δ настроени близо до синия и червения преходна избраната вибрационна мода νp, с честотна разлика ±δ. Хамилтонианът на систематаима вида

HI (t) = ~N∑

k=1

σ+k

(a†gb

kei(δt+φb

k) + agrke−i(δt+φr

k))

+ h.c, (60)

където взаимодействието между вътрешните и външните състояния на йона се характе-ризира с честота gc

k (t) = spkη

ckΩ

ck (t) /2

√N (c = r, b). Функциите Ωc

k (t) са Раби честотите,които изискваме да имат еднаква времева зависимост f (t). Ние избираме честотната раз-лика δ да бъде много по голяма от |δ| À gb,r

k , по този начин всички преходи с честотниразлики lδ (l = ±2,±3, . . .) могат да бъдат пренебрегнати, фиг. 8. Четири-йонното клъстерсъстояние

|Ψ4〉 = |0000〉+ |1100〉+ |0011〉 − |1111〉 , (61)

принадлежи на множеството от състояния с n фонона, фиг. 8. Другите две множестваот състояния съдържат n + 1 и n − 1 фонона. Нашият метод има важно предимство, аименно не зависи от вибрационното число n. Това означава, че системата може да бъдеприготвена в произолно (дори и неизвестно) начално вибрационно състояние.

За създаването на |Ψ4〉 е необходимо системата да бъде приготвена в начално състояние|Ψ4

i 〉 = |0000〉. Поредица от две последователни взаимодействия със специфични честот-ни разлики δ и честоти gk са достатъчни за осъществяването на прехода |Ψ4

i 〉 → |Ψ4〉.Техниката е приложима и за N = 5, и 6. В тези два случая, началните състояния са съ-ответно |Ψ5

i 〉 = |000〉 |B56〉 и |Ψ6i 〉 = |B12〉 |00〉 |B56〉, където |Bnm〉 = (|00〉+ |11〉) /

√2 е Бел

18

δ

n

1n +1000 0100 0010 0001 1110 1101 1011 0111

1n −1000 0100 0010 0001 1110 1101 1011 0111

0000 1100 1010 1001 0110 0101

0011 1111

δ

δ−

1ξ

, 11n n+Λ

1ξ

1,1n n−Λ

2ξ

2χ

2ξ

, 12n n+Λ

1,2n n−Λ

8ξ

, 18n n+Λ

1,8n n−Λ

8χ

8ξ

Morris-Shore transformation

3ξ 4ξ 5ξ6ξ 7ξ

, 13n n+Λ , 1

4n n+Λ , 1

5n n+Λ , 1

6n n+Λ , 1

7n n+Λ

3χ 4χ 5χ 6χ7χ

1n −

n

1n +

3ξ 4ξ 5ξ 6ξ 7ξ

1,3n n−Λ 1,

4n n−Λ 1,

5n n−Λ 1,

6n n−Λ 1,

7n n−Λ

1χ

δ−

Фигура 8: (Горе): Колективни състояния на йоните, взаимодействащи с две лазерни полетас честоти близо до синия и червения резонансен преход с честотни разлики ±δ. (Долу):След подходяща смяна на базиса, системата може да се представи като множество отнезависими системи от три състояния.

състояние. Отново поредица от две взаимодействия със специфични лазерни параметри,осъществяват прехода

∣∣Ψ5,6i

⟩ → |Ψ5,6〉. За N > 6, методът отново работи, но началнитесъстояния са твърде сложни, по този начин техниката става непрактична.

Основни резултати и изводи от Глава 8.

В Глава 8 е предоставен метод за създаване на клъстер състояния от 4, 5, и 6 йона. Восновата на техниката е идеята за бихроматично взаимодействие: всеки йон взаимодействас две лазерни полета с честоти близо до синия и червения резонансен преход. Показаное, че техниката не зависи от вибрационното състояние на системата, по този начин еустойчива относно затопляне на фононите. За създаването на тези клъстер състояния енеобходимо поредица от две взаимодействия със специфични начални състояния, честотниразлики δ и честоти gk.

Глава 9. Адиабатен метод за създаване на Фоксъстояния

В тази Глава предлагаме адиабатен метод за създаване на вибрационни (Фок) състо-яния в система от йони в йонна уловка. Ние разглеждаме N йона в линейна уловка наПаул, взаимодействащи с едно общо лазерно поле. Лазерната честота ωL е настроена близодо синия резонансен преход на център на масата вибрационна мода, ωL = ω0 + ν − δ (t),

19

където ω0 е честотата на Бор, ν е честотата на улавяне, и δ (t) е време зависима честотнаразлика. Хамилтонианът на системата се дава с

HI (t) = ~g (t)N∑

n=1

[a†σ+

n ei∫ t

tiδ(τ)dτ−iφn + aσ−n e

−i∫ t

tiδ(τ)dτ+iφn

], (62)

където взаимодействието между вътрешните йонни и колективните вибрационни състо-яния се характеризира с g (t) = ηΩ (t) /2

√N . Тук Ω (t) е Раби честотата и η е Ламб–

Дике параметъра. Хамилтонианът (62) описва анти Джейнс–Къмингс модел, който за-пазва разликата между вътрешните йонни и вибрационни възбуждания. Ние предпола-гаме, че системата е подготвена в състояние |0102 . . . 0N〉 |0〉, където |n〉 е Фок състояниес n фонона (n = 0, 1, 2 . . .) и |0102 . . . 0N〉 е колективно основно състояние на йоните. Вся-ко множество от състояния с n фонона и n йонни възбуждания е CN

n -пъти изродено,където CN

n = N !/ [n! (N − n)!]. Като пример е илюстриран случая за три йона, фиг. 9.Хилбертовото пространство се състои от следните базисни състояния:

δ(t)

2δ(t)

3δ(t)

g(t)

√2g(t)

√3g(t)

|111〉|3〉

|000〉|0〉

|100〉|1〉 |010〉|1〉 |001〉|1〉

|110〉|2〉 |101〉|2〉 |011〉|2〉

Фигура 9: Колективни състояния на три йона, свързани чрез едно общо лазерно поле сцентър на масата вибрационна мода. Разликата между броя йонни възбуждания и броявибрационни възбуждания се запазва. Лазерния импулс е настроен близко да синия резо-нансен преход с честотна разлика δ (t). Взаимодействието между нива с n и n + 1 фононасе характеризира с g (t)

√n + 1.

|0102 . . . 0N〉 |0〉 , (63)|01 . . . 1k . . . 0N〉 |1〉 , (64)|01 . . . 1k . . . 1m . . . 0N〉 |2〉 (65)... (66)|1112 . . . 1N〉 |N〉 , (67)

и има размерност dimH =∑N

n=0 CNn = 2N . След подходяща смяна на базиса се показва,

че еволюцията на системата е ограничена в (N + 1)-мерна "стълба"от състояния, къдетонай-долното състояние е |0102 . . . 0N〉 |0〉, най-горното е |1112 . . . 1N〉 |N〉, и всички междин-ни са заплетените Дике състояния [16], фиг. 10. Ние желаем да пренесем заселеносттаот най-долното състояние с нула фонони до най-горното с N фонона, |0102 . . . 0N〉 |0〉 →|1112 . . . 1N〉 |N〉. Това може да се постигне, използвайки "bow-tie"модела. В този модел

20

δ(t)

2δ(t)

3δ(t)

λ0,1(t)

λ1,2(t)

λ2,3(t)

|111〉|3〉

|000〉|0〉

Фигура 10: За създаването на Фок състояния, еволюцията на системата е ограничена дочетири нива.

Раби честотата и честотната разлика имат следния вид

Ω (t) = Ω0 sec h (t/T ) , (68)δ (t) = δ0 tan h (t/T ) . (69)

Ако еволюцията е адиабатна, тоест лазерните параметри удовлетворяват адиабатното ус-ловие

(πηΩ0T )2

2N ln 1/ε≥ πδ0T ≥ N ln 1/ε, (70)

където ε е малък параметър (ε ¿ 1), заселеността от най-долното състояние се прехвърлянапълно в най-горното състояние с N фонона. Ако се приложи втори лазерен имплус съссъщата времева зависимост и лазерна честота близка до червения резонансен преход, ниеполучаваме |1112 . . . 1N〉 |N〉 → |0102 . . . 0N〉 |2N〉. Следователно, прилагайки последовател-но лазерни импулси с честоти в синия и червения резонансен преход на център на масатавибрационна мода е възможно да създадем Фок състояние |kN〉 (k = 1, 2, . . .). Понеже тех-никата е адиабатна, ефективността на процеса остава висока при изменение на честотатаg (0) T и честотната разлика δ0T , при условие че адиабатното условие (70) е изпълнено,фиг. 11.

Фигура 11: Числено пресмятане на ефективността на създаване на пет-фононно Фок със-тояние, като функция на 2g (0) T и δ0T . Симулацията решава уравнението на Шрьодингерс Хамилтониан (62).

Предложената техника може да се приложи за създаване на суперпозиция от Фоксъстояния и за създаване на заплетено GHZ състояние.

21

Основни резултати и изводи от Глава 9.

В Глава 9 е предложен адиабатен метод за създаване на вибрационни Фок състояния.Показано е, че за специфична форма на Раби честотата и честотната разлика, заселе-ността на начално приготвеното състояние с нула фонони се прехвърля в състояние с Nфонона. Показано е, че ефективността на процеса остава голяма при изменение на лазер-ните параметри, при условие че адиабатното условие е изпълнено. Техниката може да сеобобщи за създаване на некласически състояния на движение като суперпозиция от Фоксъстояния и за създаване на заплетени GHZ състояния.

Глава 11. Адиабатна еволюция на система с две нивапод действието на дефазиращ процес

В настоящата Глава представяме аналитично описание на адиабатна еволюция на сис-тема с две нива взаимодействаща с лазерно поле, за произволно начално смесено състояниеи под действието на некохерентен дефазиращ процес. Такъв некохерентен процес може дабъде причинен например поради еластични удари между атомите, или поради флуктоа-ции в лазерното поле. Ние ще използваме уравнението на Блох, което дава възможностда се опише еволюцията на квантова система за произволни начални смесени състоянияи под действието на некохерентен процес. За система с две състояния взаимодействащас лазерно поле, уравнението на Блох след приближение на въртящата се вълна се давас [17]

d

dtB (t) = F (t)B (t) , (71)

където B (t) = [u (t) , v (t) , w (t)]T е вектора на Блох и

F (t) =

0 −∆ (t) 0∆ (t) 0 −Ω (t)

0 Ω (t) 0

. (72)

Тук Ω (t) е Раби честотата и ∆ = ω0−ω е честотната разлика между честотата на преход ω0

и лазерната честота ω. Компонентите на вектора на Блох u (t) и v (t) са два-пъти реалнатаи имагинерната част на ρ12 (t), докато w (t) = ρ22 (t)− ρ11 (t) е разликата в заселеностите,където ρmn (m, n = 1, 2) са матричните елементи на статистическия оператор.

Ние сме получили адиабатно решение на уравнението на Блох за най-общото началносмесено състояние. Адиабатното условие има следния вид

√Ω2 (t) + ∆2 (t) À

∣∣∣ϑ (t)∣∣∣ , (73)

където ϑ (t) = arctan Ω (t) /∆ (t). Понеже взаимодействието е напълно кохерентно, големи-ната на вектора на Блох се запазва за всяко начално състояние: u2

f +v2f +w2

f = u2i +v2

i +w2i .

Ефектът от дефазиращ процес върху квантовата динамика се моделира чрез въвеж-дането на дефазиращ член в уравнението на Блох

d

dtB (t) = [F (t) + D (t)]B (t) , (74)

където матрицата D (t) описва дефазиращия процес

D (t) = −Γ (t)

1 0 00 1 00 0 0

. (75)

22

Той се характеризира с честота Γ (t) ≥ 0, която изразява времевата скала T = Γ−1 на про-цеса, който разрушава фазовите връзки между състоянията без да изменя заселеностите.

-1.0

-0.5

0

0.5

1.0

-5.0 -2.5 0 2.5 5.0

BB

RZ

AE

lgΓT

Popula

tion I

nver

sion

Фигура 12: Крайната разлика в заселеностите като функция на Γ, за моделите на Розен–Зинер, Алън–Ебърли и Бамбини–Берман. Точките показват численото решение на урав-нението на Блох, докато плътните криви са адиабатните решения.

Уравнението на Блох (74) е решено в адиабатна граница, където адиабатното условиеима следния вид

√Ω2 + ∆2 À

∣∣∣ϑ∣∣∣ , (76)

√Ω2 + ∆2 À Γ. (77)

В сравнение с кохерентния случай, дефазирането намалява големината на вектора наБлох: u2

f + v2f + w2

f < u2i + v2

i + w2i . Като примери сме разгледали моделите на Розен–

Зинер, Алън–Ебърли и Бамбини–Берман. Решенията са сравнени с численото решение науравнението на Блох, фиг. 12.

Глави 12 и 13. Стимулиран Раманов адиабатен процеспод действието на дефазиране и спонтанна емисия.

Стимулиран Раманов адиабатен процес (СТИРАП) е техника за адиабатно пренася-не на заселеност от начално заселено състояние |ψ1〉 до крайно състояние |ψ3〉, които сасвързани с трето междинно състояние |ψ2〉 чрез две лазерни полета [18]. Уникална чертана СТИРАП е, че горното състояние |ψ2〉 не се заселва, дори и транзитно по време на вза-имодействието. Причината за това е, че по време на адиабатната еволюция на системата,заселеността е "хваната"в адиабатното тъмно състояние |φ0〉, което е кохерентна супер-позиция от състояния |ψ1〉 и |ψ3〉. Такова състояние се формира в случая на дву-фотоненрезонанс между състояния |ψ1〉 и |ψ3〉. Ако лазерните импулси са приложени контраин-туитивно, Сток импулса Ωs (t) предхожда напомпващия импулс Ωp (t), заселеността отсъстояние |ψ1〉 се прехвърля напълно в състояние |ψ3〉.

СТИРАП под действието на дефазиращ процес

Дефазирането води до разрушаване на кохерентностите (извън диагоналните елементи наматрицата на плътност) между състоянията без да засяга директно заселеностите. Причи-ната за такива ефекти са примерно флуктоациите в лазерното поле или еластичните ударимежду атомите. Съществуването на тъмно състояние, което е кохерентна суперпозиция

23

ΩS ΩP

|ψ2⟩ ∆

|ψ1⟩

|ψ3⟩

γ12

γ13

γ23

Фигура 13: Система от три състояния в Λ конфигурация. Състояния |ψ1〉 и|ψ2〉 са свързанис напомпващ лазерен импулс Ωp (t), докато |ψ2〉 и|ψ3〉 са свързани с Стокс лазерен импулсΩs (t). Кривите линии показват дефазирането между нивата.

между |ψ1〉 и |ψ3〉 е в основата на СТИРАП. За да бъде процесът с голяма ефективност,подържането на тази суперпозиция е от голямо значение

Ефектът от дефазиране фиг. 13 се моделира чрез въвеждането на допълнителен членв уравнението на Лиувил

i~d

dtρ = [H,ρ] + D, (78)

където Хамилтониана на системата се дава с

H (t) =~2

0 Ωp (t) 0Ωp (t) 2∆ Ωs (t)

0 Ωs (t) 0

. (79)

Матрицата D (t) описва некохерентния процес и има следния вид

D (t) = −i~

0 γ12ρ12 γ13ρ13

γ21ρ21 0 γ23ρ23

γ31ρ31 γ32ρ32 0

. (80)

Тук γnm са честотите, които характеризират дефазиращия процес.В случая на адиабатна еволюция, уравнението на Лиувил е решено. Намерено е, че

ефективността на процеса зависи само от дефазирането между състояния |ψ1〉 и |ψ3〉.Решението за заселеността на състояние |ψ3〉 се дава с

ρ33 =1

3+

2

3e−γ13T 2/4τ2

, (81)

където T е ширината на лазерния импулс и τ е закъснението между двата импулса. Нафиг. 14 е показано сравнението между аналитичното решение (81) и численото решениена уравнението на Лиувил.

СТИРАП под действието на спонтанна емисия

В адиабатна граница междинното ниво |ψ2〉 не е заселено. В реални физични системикато атоми и молекули, това ниво се разпада към по ниско енергетичните нива |ψ1〉 и|ψ3〉. Ако този разпад стане достатъчно голям адиабатичността на процеса се нарушава иефективността на СТИРАП намалява. Описанието на този проблем е по трудно отколкото

24

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 2 4 6 8 10

numericalanalytical

ρ11, ρ22

ρ33

Dephasing Rate (units of 1/T)

Popu

lati

ons

Фигура 14: Крайните заселености като функция на γ13. Точките показват численото ре-шение на уравнението на Лиувил и плътните линии са адиабатните решения.

описанието на дефазиране, понеже спонтанната емисия се явява от състояние, което нее заселено в адиабатна граница. По този начин ние не може да използваме адиабатноторешение на уравнението на Лиувил.

Ефектът от спонтанна емисия отново се описва чрез въвеждане на допълнителен членв уравнението на Лиувил. В този случай, матрицата D (t) има следния вид

D (t) = −i~Γ

−ρ22 ρ12 0ρ12 2ρ22 ρ23

0 ρ23 −ρ22

, (82)

където Γ е честотата на разпад на състояние |ψ2〉. Когато Γ À Ω0, където Ω0 е Рабичестотата, решението за заселеността на ниво |ψ3〉 за специфична форма на импулсите е

ρ33 = 1− exp

[−

√π

2

Ω20T

2Γ

]. (83)

Решението е сравнено с численото интегриране на уравнението на Лиувил, фиг. 15.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

10-2 1 102 104

ΩS = 0

ΩS ≠ 0

Spontaneous Emission Rate (units of 1/T)

Popu

latio

n ρ 33

Фигура 15: Крайната заселеност на ниво ρ33 като функция на Γ. Точките показват чис-леното решение на уравнението на Лиувил и плътнaтa линия e аналитичното решение(83).

Основни резултати и изводи от Глави 11, 12 и 13.Разгледана е еволюцията на системи от две и три състояния под действието на неко-

херентни процеси, като дефазиране и спонтанна емисия. За система от две състояния поддействието на дефазиране и за произволно начално състояние е решено уравнението наБлох, в адиабатна граница. Разгледан е ефекта от дефазиране и спонтанна емисия върхуефективността на СТИРАП. Получените решения са сравнение с числените симулации науравненията на Блох и Лиувил.

25

Глава 14. Основни приноси в дисертационния труд

В настоящия дисертационен труд е разделен на три големи раздела. В първи разделразглеждаме проблема за кохерентен контрол на система от N състояния. Вторият разделе посветен на йони в йонна уловка. Предложени са различни методи за създаване назаплетени и вибрационни състояния. Раздел три разглежда еволюцията на система от двеи три нива, взаимодействащи с лазерно поле, в присъствието на дефазиране и спонтаннаемисия. :

• Предложена е физична реализация на оператора на отражение в система от N със-тояния, кохерентно свързани с едно горно ниво с N лазерни импулси. Показано е,че всяка кюнитна унитарна трансформация може да се разложи като произведениеот N оператори на отражение. Предложеният метод е по-бърз от съществуващите,където броя на необходимите взаимодействия е от порядък O (N2). Резултатите сапубликувани в А[1].

• Разгледан е метод за създаване и контролиране на суперпозиция от състояния всистема от N нива. Показано е, че всеки две произволни чисти състояния могат дабъдат свързани с унитарно преобразувание, което се представя като произведениена две отражения или като едно обобщено отражение. Разгледан е случая на преходмежду смесени състояния с еднкакви константи на движение и при различни. Впървият случай се изисква най-обща унитарна трансформация, докато при втория енеобходими и включването на некохерентхи процеси, като дефазиране и спонтаннаемисия. Резултатите са публикувани в A[2].

• Предложен е метод за томография на пълна или частична кохерентна суперпозицияот три състояния, формиращи кютрит. Показано е, че неизвестното състояние можеда бъде определено в най-общия случай, след девет измервания на сигнала, приразлични елиптичности и лазерни фази. Ако неизвестното състояние е чисто, тонеобходимия брой измервания е седем. Методът е сравнен със съществуващите досега методи за томография на кютритно състояние. Резултатите са публикувани вА[3]

• Предложена е физична реализация на оператора на отражение в йонна уловка. Пре-доставена е нова техника за създаване на заплетени W състояния, като и за физич-ната реализация на произволно многочастично унитарно преобразувание. Методитеса сравнени с съществуващите до сега. Резултатите са публикувани в А[4]

• Предоставен е метод за създаване на клъстер състояния от 4, 5, и 6 йона след самодве взаимодействия с лазерни полета с спецефична Раби честота и честотна разлика.Показано е, че метода не зависи от вибрационното число, по този начин е устойчивотносно затопляне на вибрационните моди. Резултатите са предоставени в А[5].

• Разгледана е адиабатна техника за създаване на йонни вибрационни Фок състояния,чрез глобално взаимодействие с един лазерен импулс. Показано е, че метода можеда се обобщи за създаване на суперпозиция от Фок състояния и за йонно заплетеноGHZ състояние. Резултатите са публикувани в А[6].

• Изследван е ефекта от дефазиране върху еволюцията на система от две състояния,взаимодействаща с лазерно поле. Решено е уравнението на Блох в адиабатна граница.Резултатите са публикувани в А[7].

26

• Разгледан е ефекта от дефазиране и спонтанна емисия върху ефективността на сти-мулирания Раман адиабатен процес. Решено е уравнението на Лиувил. Резултатитеса публикувани в А[8] и A[9].

27

Библиография

[1] M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information(Cambridge University Press, Cambridge, 2000); D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger,The Physics of Quantum Information: Quantum Cryptography, Quantum Teleportation,Quantum Computation (Springer-Verlag, Berlin, 2000).

[2] P. W. Shor, SIAM J. Comput. 26, 1484 (1997).

[3] L. K. Grover, Phys. Rev. Lett. 79, 325 (1997).

[4] D. Leibfried, E. Knill, S. Seidelin, J. Britton, R. B. Blakestad, J. Chiaverini, D. B. Hume,W. M. Itano, J. D. Jost, C. Langer, R. Ozeri, R. Reichle, and D. J. Wineland, Nature438, 639 (2005).

[5] O. Mandel, M. Greiner, A. Widera, T. Rom, T. W. Hansch and I. Bloch, Nature (London)425, 937 (2003).

[6] K. R. Brown, D. A. Lidar, and K. B. Whaley, Phys. Rev. A 65, 012307 (2001).

[7] J. J. Bollinger, W. M. Itano, D. J. Wineland, and D. J. Heinzen, Phys. Rev. A 54, R4649(1996).

[8] R. Raussendorf and H. J. Briegel, Phys. Rev. Lett. 86, 5188 (2001); H. J. Briegel and R.Raussendorf, Phys. Rev. Lett. 86, 910 (2000).

[9] J. R. Morris and B. W. Shore, Phys. Rev. A 27, 906 (1983).

[10] E. S. Kyoseva and N. V. Vitanov, Phys. Rev. A 73, 023420 (2006).

[11] M. Reck, A. Zeilinger, H. J. Bernstein, and P. Bertani, Phys. Rev. Lett. 62, 58 (1994);

[12] J. I. Cirac and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 74, 4091 (1995).

[13] D. Leibrfried, R. Blatt, C. Monroe and D. Wineland, Rev. Mod. Phys. 75, 281 (2001).

[14] D. F. V. James, Appl. Phys. B 66, 181 (1998).

[15] P. Walther K. J. Resch, T. Rudolph, E. Schenck, H. Weinfurter, V. Vedral, M. Aspelmeyerand A. Zeilinger, Nature (London) 434, 169 (2005); G. Vallone E. Pomarico, P. Mataloni,F. De Martini, and V. Berardi., Phys. Rev. Lett. 98, 180502 (2007).

[16] I. E. Linington and N. V. Vitanov, Phys. Rev. A. 77 , 010302 (2008).

[17] B. W. Shore, The Theory of Coherent Atomic Excitation (Wiley, New York, 1990).

28

[18] U. Gaubatz, P. Rudecki, S. Schiemann, and K. Bergmann, J. Chem. Phys. 92, 5363 (1990);N. V. Vitanov, M. Fleischhauer, B. W. Shore and K. Bergmann, Coherent manipulationof atoms and molecules by sequential laser pulses, in Adv. At. Mol. Opt. Phys., ed. B.Bederson and H. Walther (Academic, New York, 2001), vol. 46, pp. 55-190.

Публикации, използвани при разработването надисертационния труд

A1 P. A. Ivanov, E. S. Kyoseva, and N. V. Vitanov, Engineering of arbitrary U(N) transformationby quantum Householder reflections, Phys. Rev A 74, 022323 (2006).

A2 P. A. Ivanov, B. T. Torosov, and N. V. Vitanov, Navigation between quantum states byquantum mirrors, Phys. Rev. A 75, 012323 (2007).

A3 P. A. Ivanov and N. V. Vitanov, State reconstruction of a qutrit by a minimal set ofdiscrete measurements, Opt. Commun. 264, 368 (2006).

A4 P. A. Ivanov, and N. V. Vitanov, Synthesis of arbitrary unitary transformations of collectivestates of trapped ions by quantum Householder reflections, Phys. Rev A 77, 012335(2008).

A5 P. A. Ivanov, N. V. Vitanov, and M. B. Plenio, Creation of cluster states of trapped ionsby collective addressing, Phys. Rev A 78, 012323 (2008).

A6 I. E. Linington, P. A. Ivanov, N. V. Vitanov, and M. B. Plenio, Robust control of quantizedmotional state of a chain of trapped ions by collective adiabatic passage, Phys. Rev A77, 063837 (2008).

A7 P. A. Ivanov and N. V. Vitanov, Adiabatic evolution amidst dephasing, Phys. Rev. A 71,063407 (2005).

A8 P. A. Ivanov, N. V. Vitanov, and K. Bergmann, Effect of dephasing on stimulated Ramanadiabatic passage, Phys. Rev. A 72, 063409 (2004).

A9 P. A. Ivanov, N. V. Vitanov, and K. Bergmann, Spontaneous emission in stimulatedRaman adiabatic passage, Phys. Rev. A 72, 053412 (2005).

Участие на конференции и летни школиB1 2003 July, 35th Meeting of the European Group for Atomic Systems (EGAS 35), Brussels,

Belgium. (poster contribution)

B2 2005 July, 12th Central European Workshop on Quantum Optics, Ankara, Turkey (postercontribution).

B3 2005 November, Central European Workshop on Quantum Optics, Palermo, Italy (postercontribution).

B4 2006 July, 20th International Conference on Atomic Physics, ICAP Innsbruck, Austria.(poster contribution)

B5 2007 September, Photons, Atoms, and Qubits, London, UK (poster contribution).

29