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I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática 01 a 06 de novembro de 2016

Bonito - Mato Grosso do Sul - Brasil

OFICINA 1A - ASSOCIADA À CONFERÊNCIA 1

CONTRIBUIÇÕES TEÓRICAS E METODOLÓGICAS DA TEORIA DOS

CAMPOS CONCEITUAIS PARA A APRENDIZAGEM E O ENSINO DE

MATEMÁTICA

Rosinalda Aurora de Melo Teles

UFPE, Brasil

[email protected]

Veridiana Rezende

UNESPAR, Brasil

[email protected]

Resumo: Nesta oficina o objetivo principal foi abordar possíveis contribuições teóricas e

metodológicas da teoria dos campos conceituais para a aprendizagem e o ensino de matemática.

Para tanto, sob a ótica dessa teoria e das imbricações entre campos conceituais, discutiu situações

que dão sentido aos números irracionais e às fórmulas de área de figuras geométricas planas. A

análise prévia destas situações incluirá a reflexão sobre conceitos, propriedades e representações

simbólicas relacionadas aos diversos campos conceituais envolvidos. Com a intenção de discutir

possíveis teoremas em ação, falsos ou verdadeiros, que podem ser mobilizados por estudantes ao

experimentarem situações relacionadas aos números irracionais e às fórmulas de áreas de figuras

geométricas planas. Explorou antecipações de procedimentos de resolução, bem como possíveis

erros relacionados às imbricações entre campos conceituais e também a campos conceituais

específicos de cada situação analisada. A sistematização das reflexões emergidas no decorrer da

oficina deu-se a partir de resultados de algumas pesquisas, tais como Rezende (2013), Rezende e

Nogueira (2014; 2012), Teles (2010) e Teles e Bellemain (2010). Dentre os resultados produzidos

situa-se a elaboração de propostas para outras pesquisas neste tema, bem como reflexões

relacionadas às contribuições da compreensão das imbricações entre campos conceituais para a

aprendizagem e o ensino de matemática.

Palavras-chave: Ensino de Matemática. Números irracionais. Fórmulas de área e perímetro.

Introdução

Neste texto discutimos os aportes teóricos e as atividades que foram desenvolvidas

na Oficina Contribuições Teóricas e Metodológicas da Teoria dos Campos Conceituais

para a Aprendizagem e o Ensino de Matemática, associada à conferência 1 do I Simpósio

Latino-Americano de Didática da Matemática.

O principal aporte teórico das reflexões foi a Teoria dos Campos Conceituais, uma

teoria psicológica que se refere ao desenvolvimento cognitivo dos sujeitos, sobretudo

quando ligado à aprendizagem escolar e ao trabalho. Para Vergnaud (2009), um sujeito

aprende e se desenvolve em qualquer idade, inclusive na fase adulta. De acordo com este



autor, um conceito não pode ser reduzido à sua definição. Para o estudo de um conceito são

necessários diversos outros conceitos, situações, símbolos, representações, propriedades e

teoremas interligados, formando o que o pesquisador denomina de campo conceitual.

O pesquisador atribui muita importância aos conhecimentos implícitos possíveis de

serem manifestados nas ações dos sujeitos, os quais podem ser identificados como

invariantes operatórios, que podem ser diferenciados em duas categorias: conceitos em

ação e teoremas em ação.

Um termo explorado na oficina, imbricações entre campos conceituais, é fruto do

estudo de doutoramento de Teles (2007), que investigou relações e articulações entre os

campos conceituais das grandezas, da geometria, numérico, algébrico e funcional na

matemática escolar, na formulação e no tratamento de problemas envolvendo as fórmulas

de área do retângulo, do quadrado, do paralelogramo e do triângulo. Para a autora,

Com o termo “imbricações” caracterizamos um tipo de relação em que os

campos conceituais se sobrepõem mutuamente, se articulam e a partir

dessa “interconexão dinâmica” são gerados novos significados para os

conteúdos matemáticos em foco (TELES, 2007).

De acordo com Teles (2007), as imbricações podem ser vistas sob três pontos de

vista: explicação para índices elevados de ausência de resposta; como abertura de

possibilidades de procedimentos de resolução e fonte de erros oriundos dos vários campos

conceituais.

Dados coletados e analisados por Teles (2007) e também por Rezende (2013),

embora esta última autora não utilize a expressão imbricações entre campos conceituais,

apontam que o tratamento de situações nas quais estão envolvidas fortes imbricações exige

que os sujeitos naveguem de um campo conceitual para outros e que articulem seus

conhecimentos para tratar de maneira pertinente os problemas postos. Emergem daí os

questionamentos: quais são as consequências das imbricações para o desempenho dos

alunos? Quais são as consequências das imbricações para o ensino de Matemática? Embora

não intencionemos responder neste texto estes questionamentos, propomos elementos para

reflexão nesta perspectiva.

Assim, na condução da oficina, discutimos, inicialmente, teoremas em ação

possíveis de serem mobilizados por alunos de diferentes níveis de ensino em situações

envolvendo números irracionais, tendo como referência principal os estudos de Rezende

(2013). Na sequência, discutimos a influência das imbricações entre campos conceituais

em situações envolvendo fórmulas de área de figuras geométricas planas, que tem como

principal referencial os estudos de Teles (2007). Intencionamos sistematizar e encontrar



pontos comuns oriundos destas duas reflexões a partir de resultados de pesquisas, tais

como Rezende (2013), Rezende e Nogueira (2014; 2012), Teles (2010) e Teles e

Bellemain (2010).

Teoremas em ação mobilizados por alunos de diferentes níveis de ensino em situações

envolvendo números irracionais

Ao resolver determinada tarefa, relacionada ou não ao contexto escolar, os

sujeitos mobilizam diversos conhecimentos que muitas vezes não são possíveis de serem

explicitados. Vergnaud (2003) atribui muita importância a este tipo de conhecimento,

implícito, pois, para Vergnaud, não é apenas a resolução de um problema pelos sujeitos

que interessa, mas sim o modo como eles resolvem e, principalmente, os conhecimentos

implícitos mobilizados por eles ao resolver um problema.

De acordo com Vergnaud (2009), é difícil para uma criança explicitar suas

competências em palavras, e, apesar de certa experiência em determinadas situações,

muitos adultos também não conseguem explicitar verbalmente boa parte dos

conhecimentos que utilizam na ação. É nesse sentido que Vergnaud introduz o conceito de

invariante operatório, e o define como os conhecimentos que um sujeito dispõe, na ação,

para resolver determinada situação.

Os invariantes operatórios são diferenciados em duas categorias: conceitos em ação

e teoremas em ação: “Um conceito em ação é um conceito considerado pertinente na ação.

Um teorema em ação é uma proposição tida como verdadeira na ação” (VERGNAUD,

2009, p.23). Os conceitos em ação e os teoremas em ação são de naturezas distintas. Os

primeiros não são passíveis de serem verdadeiros ou falsos, eles apenas são pertinentes ou

não para a situação. Já os teoremas em ação podem ser verdadeiros ou falsos, e a

desestabilização de teoremas em ação falsos pode ser fonte de aprendizagem para o aluno.

Por esse motivo, a escolha das situações apresentadas aos alunos deve ocorrer, sempre que

possível, com a intenção de propiciar reflexões, hesitações e desestabilização de

conhecimentos equivocados dos alunos, de modo a proporcionar avanços e aprendizagens

aos alunos.

Identificar um teorema em ação nas respostas dos sujeitos nem sempre é uma tarefa

fácil para o pesquisador e para o professor. Para que isto aconteça, é preciso que seja

realizada uma análise cautelosa de respostas de diversos sujeitos, frente a várias situações,

para que com muita cautela o pesquisador, ou o professor, possa indicar possibilidades de



teoremas ação mobilizados nas respostas dos sujeitos. Consideramos importante a

identificação de possíveis teoremas em ação mobilizados por alunos relacionados a

determinados conceitos matemáticos para que estas categorias de pensamento possam ser

divulgadas para outros professores, de modo que eles possam preparar suas aulas levando

em consideração estes conhecimentos que serão manifestados por seus alunos, diante de

determinadas tarefas matemáticas.

Com o respaldo da teoria dos Campos Conceituais, tanto para elaboração do

instrumento diagnóstico quanto para as análises de conhecimentos implícitos dos sujeitos

de sua pesquisa, Rezende (2013) desenvolveu sua tese de doutoramento com o objetivo de

analisar os conhecimentos mobilizados por alunos brasileiros, que finalizam o Ensino

Fundamental, Médio e Licenciatura em Matemática, e por alunos franceses de níveis de

ensino correspondentes, Collège, Lycée e Licenciatura em Matemática, em tarefas

matemáticas envolvendo números irracionais. A coleta de dados ocorreu pode meio de

entrevistas individuais, que foram filmadas, com tarefas matemáticas previamente

elaboradas para 42 alunos resolverem.

Para a realização de sua pesquisa, Rezende (2013) realizou diversos estudos,

incluindo estudos históricos e epistemológicos a respeito dos números irracionais,

documentos curriculares, livros didáticos, ementas de disciplinas escolares que envolvem

números irracionais (Educação Básica e Cursos de Licenciatura em Matemática). Com

estes estudos, a pesquisadora percebeu que a compreensão dos números irracionais está

relacionada ao conjunto das situações que envolvem equações algébricas de grau maior ou

igual a 2, representação decimal dos números irracionais, números racionais, conceitos de

infinito, potências, raízes (quadradas, cúbicas etc.), teorema de Pitágoras, medidas de

segmentos, figuras geométricas (quadrado, círculo etc.), entre outras, além dos diferentes

símbolos, propriedades, teoremas e formas de se representar um número irracional, o que

sob a ótica de Teles (2007) poderia ser considerado imbricações entre campos conceituais.

Para a elaboração das situações presentes no diagnóstico de pesquisa, Rezende

(2013) considerou diversos conceitos, símbolos, teoremas, propriedades e situações

presentes no campo conceitual dos números irracionais. O instrumento de pesquisa

consistiu de nove tarefas elaboradas com nível de dificuldade correspondente ao 9º ano do

Ensino Fundamental, que foram aplicadas a todos os sujeitos da pesquisa, e consistiu de

diversas situações, elaboradas, inicialmente, envolvendo representações simbólica

(numérica, algébrica), geométrica, gráfica e linguagem natural. Além disso, as atividades

foram elaboradas buscando contemplar dez ideias base de números irracionais:



I.Compreender sobre as infinitas casas decimais de alguns números.

II.Compreender que alguns números podem ser representados como a razão

entre dois números inteiros e outros números não podem.

III.Diferenciar um número irracional de um número racional: saber que um

número irracional não pode ser escrito como a razão entre dois números

inteiros, e que um número irracional possui infinitas casas decimais não

periódicas.

IV.Considerar a existência de números irracionais e perceber pra quê esses

números servem.

V.Saber aplicar o teorema de Pitágoras.

VI.Aceitar a existência de segmentos de medidas Nnn , .

VII.Aceitar que a equação px 2 tem solução real, para todo Rp

(REZENDE, 2013, p.98).

Assim, considerando os estudos realizados por Rezende (2013), para esta proposta

de oficina, apresentou-se aos participantes uma das situações analisadas pela referida

pesquisadora:

a) Existe um quadrado de medida de área seja 213 cm ? Em caso positivo,

indique a medida do lado. Em caso negativo, justifique a sua resposta.

b) Considere a figura a seguir. Podemos afirmar que a área do quadrado ABCD

é 213 cm ? Em caso positivo, calcule a área do quadrado ABCD. Em caso

negativo, justifique a sua resposta.

Com a intenção de propiciar aos participantes da oficina reflexões a respeito de

antecipação de respostas de alunos de diferentes níveis de ensino diante dessa situação,

considerando erros, acertos e indicativos de teoremas em ação, falsos e verdadeiros, foi

solicitado que os participantes se organizassem em duplas ou trios para realizarem as suas

reflexões a respeito desta situação, e as registrassem numa ficha.

Na sequência, houve um momento de discussão conjunta entre todos os

participantes, conduzido pelas duas pesquisadoras ministrantes da oficina, a respeito dos

conhecimentos e possíveis respostas de serem mobilizadas por alunos de diferentes níveis

de ensino ao resolverem a situação proposta.

Para sistematizar as discussões emergidas na oficina, as pesquisadoras

apresentaram parte dos resultados da pesquisa de doutorado de Rezende (2013),

juntamente com alguns exemplos de protocolos de alunos, sujeitos da pesquisa, que



resolveram a esta situação. Para sistematização foram apresentados aos participantes os

teoremas em ação, falsos e verdadeiros, que foram modelados por Rezende (2013), em

função das respostas e possíveis conhecimentos implícitos mobilizados pelos sujeitos da

pesquisa.

Para exemplificar parte do que foi abordado na oficina para a sistematização das

informações indicadas pelos participantes, apresentamos na sequência deste texto alguns

protocolos e fragmentos das entrevistas com os alunos, juntamente com parte das análises,

extraídos da pesquisa de Rezende (2013).

Quadro 1: Fragmento de respostas de alunos relacionados a existência ou não de um

quadrado de medida de área 213 cm

Fragmentos de respostas dos alunos TA

F2: Não, porque eu não consigo encontrar um número que vezes ele mesmo dá 13, né.

Porque 13 não tem raiz exata, né... Só se for um número quebrado. Essa eu não sei...

TAF8 e

TAF10

C1: Não, porque seria um número com vírgula e muitos dígitos... seria preciso uma régua

com muitos milímetros.

TAF8 e

TAF10

M1: Ah, é possível, mas... é complicado... (silêncio). O lado é infinito. (silêncio) Ah, eu

diria que existe... eu acho que é exato na aproximação, né?

TAF10

G6: Não! Raiz quadrada de treze é irracional. [...] Não, não existe.

TAF10

M6: Só vai existir o quadrado se 3,605551275x3,605551275 der 13 [a aluna realizou tal

multiplicação na calculadora e o resultado foi 13 e conclui que não existe].

TAF5, TAF8 e

TAF10

G3: Ah, eu não acredito não! Porque daí, o lado dele vai ter que medir 13 ... Apesar de

que 13 é um número construtível! Então, a rigor existe. [...] Então, tá, existe também

um quadrado com área

TAV4 e

TAV6

Fonte: Rezende (2013)

Após a análise das respostas de todos os sujeitos de sua pesquisa, Rezende modelou

onze teoremas em ação falsos e oito teoremas em ação verdadeiros, possíveis de serem

manifestados nas respostas dos sujeitos participantes de sua pesquisa, no que se refere à

compreensão dos números irracionais. No quadro 1, a sigla TAF corresponde a teorema em

ação falso e a sigla TAV corresponde a teorema em ação verdadeiro. Alguns TAF e TAV

que serão explorados na oficina, em função da situação proposta são:

TAF5: Se Rp não é quadrado perfeito, então p é o número decimal exibido

pelo visor da calculadora.

TAF8: Se Rp , não é quadrado perfeito, então não existe Rx tal que

px 2



TAF10: Se Rb não é quadrado perfeito, então não existe um quadrado cuja

medida de área é bA 2cm .

TAV4: Sejam p e Rq , .2qpqp

TAV6: Se Rb então existe um quadrado de área bA

2cm

cuja medida dos lados é b cm .

No que se refere ao item a) da situação apresentada, que diz respeito à existência ou

não de um quadrado de medida de área 213 cm , onze alunos (dentre quatorze)

entrevistados do Ensino Fundamental (e Collége) responderam que não existe o quadrado

de medida de área 213 cm porque não existe um número cujo quadrado resulta em 13,

indicando a mobilização dos teoremas em ação falsos TAF8 e TAF10.

Em relação aos alunos do Ensino Médio (e Lycée), predominou respostas

relacionadas à existência de um quadrado de medida de área aproximadamente igual a

213 cm , ou alegaram a possiblidade de existir o quadrado em questão, porém, neste caso,

os alunos não souberam exprimir a medida do lado do quadrado. Segue um fragmento de

diálogo com um dos alunos do Ensino Médio, que diz respeito a medida de área

aproximadamente igual da 213 cm :

Aluno: Vai existir o quadrado. O lado mede 3,605551275... E a área vai ser 12,9999. Vai

faltar 1cm.

Pesquisadora: Então, você acha que existe o quadrado de medida de área 213 cm ?

Aluno: (Silêncio) Não existe! Eu acho que não... Porque eu não sei se tem fim (aponta

para o número 3,605551275) ou não tem fim.

Em relação aos alunos do Ensino Superior, as análises das entrevistas mostraram

avanço no desempenho dos alunos franceses, pois os cinco alunos franceses entrevistados

responderam de modo rápido e correto à questão, indicando a mobilização dos teoremas

em ação verdadeiros TAV4 e TAV6. Dentre os alunos brasileiros do Ensino Superior,

quatro, dentre os sete entrevistados, mobilizaram os TAV6 e TAV8. Rezende (2013)

percebeu nos alunos brasileiros do Ensino Superior dúvidas, equívocos e hesitações

durante as reflexões acerca da questão proposta, indicando que se tratou de uma situação



nova para a maioria dos alunos entrevistados, sendo possível perceber momentos de

aprendizagens a cada nova situação, conforme o diálogo a seguir:

Aluno: De cara eu responderia que não, mas... eu tô desconfiado de todas as

questões (risos). Mas eu desconfio que não.

Pesquisadora: Então você acha que não existe o quadrado de área 213 cm

Aluno: Eu acho que não.

Pesquisadora: Por que você acha que não existe?

Aluno: Mas pera lá, eu posso usar a calculadora? (o aluno digita raiz de treze na

calculadora e diz) Se eu fizesse a representação deste número aqui numa reta, eu

poderia fazer um quadrado, a partir desta representação com esta medida. Dá sim.

Pesquisadora: Com estes números que aparece no visor da calculadora?

Aluno: Não, não com estes números, mas com uma representação igual a gente faz

com raiz de dois.

A influência das imbricações entre campos conceituais em situações envolvendo

fórmulas de área de figuras geométricas planas: fator de entrave e de possibilidades

De acordo com Teles e Bellemian (2010), ao olharmos fórmulas de área de figuras

geométricas planas sob a ótica das imbricações entre Campos Conceituais, podemos vê-las

como um elemento do campo conceitual das grandezas geométricas e também como um

elemento que articula vários campos conceituais. São elementos do campo das grandezas

geométricas, pois expressam relações entre comprimentos de figuras geométricas planas e,

entre outros aspectos, desempenham papel importante na aprendizagem do conceito de

área. Por outro lado, uma fórmula, enquanto representação algébrica de uma relação entre

variáveis, pressupõe aspectos algébricos e funcionais; a área de uma figura é uma

grandeza; figuras geométricas planas pertencem ao campo geométrico; o resultado obtido

por meio da aplicação de uma fórmula para calcular a área de uma figura, dada a unidade

de área, é um número resultante de operações.



Figura 1: Elementos de diferentes campos conceituais que influenciam as fórmulas

de área de figuras geométricas planas

Ao mapear situações que conferem significado ao conceito de fórmula, Teles

(2007) identificou várias classes de usos para as fórmulas: calcular a área de figuras;

calcular comprimentos que caracterizam a figura; comparar áreas de figuras; produzir

figuras em condições dadas; estabelecer relações entre grandezas; otimizar e operar com

grandezas de mesma natureza. Como exemplo, apresentamos uma questão envolvendo

fórmula de área para comparar:

Figura 2: Exemplo do uso da fórmula para comparar áreas

Neste exemplo, o campo conceitual geométrico está relacionado à leitura e a

interpretação das figuras geométricas: retângulo e quadrado e suas propriedades; o campo

conceitual das grandezas à mobilização das fórmulas de área do retângulo e do quadrado; o

campo conceitual algébrico à modelização e manipulação simbólica das expressões

geradas pela escrita das fórmulas e o campo conceitual funcional ao papel da letra como



variável, caracterizado inclusive pela ausência de unidades de medida na questão, que

implica em aceitar que para qualquer valor (restrito a um domínio) e para qualquer unidade

vale a relação estabelecida.

Na investigação de imbricações entre os campos conceituais das grandezas, da

geometria, numérico, algébrico e funcional na matemática escolar, na formulação e no

tratamento de problemas envolvendo as fórmulas de área do retângulo, do quadrado, do

paralelogramo e do triângulo, e especificamente ao identificar conhecimentos oriundos dos

diversos campos conceituais em foco, assim como suas imbricações no tratamento de

situações envolvendo fórmulas de área do retângulo, do quadrado, do paralelogramo e do

triângulo e mapear invariantes operatórios e representações simbólicas referentes às

fórmulas de área do retângulo, do quadrado, do paralelogramo e do triângulo subjacentes

aos procedimentos de resolução de alunos do ensino médio, Teles (2007) aponta que as

imbricações podem ser vistas sob três pontos de vista: explicação para índices elevados de

ausência de resposta; como abertura de possibilidades de procedimentos de resolução e

fonte de erros oriundos dos vários campos conceituais. Passamos a seguir a discutir cada

um destes modos de pensar as imbricações entre campos conceituais, tal como foi feito na

oficina em tela.

a) Explicação para índices elevados de ausência de resposta:

Nesta perspectiva as imbricações podem ser vista como fator de entraves,

caracterizado principalmente pela ausência de respostas, ou seja, nenhuma tentativa de

solução pelos sujeitos da pesquisa de Teles (2007), como no exemplo a seguir:

Uma região retangular tem 42 cm de perímetro e 104 cm2 de área. Quais são as dimensões

dessa região?

Esta questão foi extraída de um livro didático1, propõe o cálculo das dimensões do

retângulo em função do perímetro e da área e coloca em jogo as seguintes variáveis e seus

respectivos valores: uso da fórmula para calcular; tipo de figura - retângulo; ausência da

figura no enunciado; domínio numérico - números naturais; unidade de comprimento –

cm e de área cm2. Neste problema o campo algébrico intervém como uma ferramenta a

serviço da resolução de problemas (GARCIA, 1997), possibilitando a formulação e a

resolução desta questão por meio de equações através de regras para manipulação de

símbolos algébricos. Porém, para escrever a expressão algébrica que poderá conduzir à

1 Dante, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. Editora Ática: São Paulo, 2002. 8ª série.



resposta correta, é preciso também mobilizar conhecimentos do campo das grandezas

geométricas: os conceitos de área e perímetro e as relações que podem ser estabelecidas

entre eles e ainda conhecimentos do campo geométrico: propriedades do retângulo. Apesar

de ser esperado um procedimento algébrico, as análises de Teles (2007) apontam que

37,5% dos 46 alunos que responderam a questão utilizaram “procedimento numérico”,

procurando por tentativas, pares de números cujo produto seja 104 e a soma 21. Por outro

lado, além dos sujeitos que mobilizaram conhecimentos dos vários campos conceituais

para resolver a questão, Teles (2007) evidenciou um alto percentual de ausência de

respostas (quase 50% dos alunos testados) evidenciada na análise quantitativa, ao que

Teles (2007) afirma que pode ser pelo menos parcialmente explicada pela dificuldade de

mobilizar conhecimentos importantes dos campos conceituais: das grandezas, da geometria

e o da álgebra. O quadro a seguir ilustra, no universo de 46 alunos testados a quantidade de

acertos, erros e ausência de resposta:

b) Abertura de possibilidades de procedimentos de resolução:

Para ilustrar as imbricações nesta perspectiva de abertura de possibilidades de

procedimentos de resolução retomamos o exemplo proposto na Figura 2: Uso da fórmula

para comparar áreas. Ao refletirmos sobre quais seriam os conceitos matemáticos

necessários para resolvê-la corretamente? Que procedimentos poderiam ser utilizados para

resolvê-la? E quais erros os estudantes poderiam cometer? Retomamos, neste texto e na

oficina, os resultados obtidos por Teles (2007) para um grupo de 50 alunos do segundo ano

do ensino médio. Chama a atenção o percentual de acertos acima de 50% na questão,

conforme ilustrado no gráfico a seguir:

Fonte: Teles(2007)

No entanto, Teles (2007) destaca os variados procedimentos de resolução e



justificativas adotados pelos estudantes, relacionados aos diversos campos conceituais. Por

exemplo, justificativas baseadas nas expressões algébricas, como esta a seguir:

Figura 3: Procedimento e justificativa baseada na expressão algébrica

Ou baseada num procedimento numérico como este a seguir:

Figura 4: Procedimento numérico

c) Fonte de erros oriundos dos vários campos conceituais

As imbricações entre campos conceituais como fator de entrave foi uma das

constatações mais evidenciadas no estudo de Teles (2007). Em praticamente todas as

questões utilizadas no teste diagnóstico elaborado pela autora, foi possível associar os

erros cometidos pelos sujeitos à ausência ou a mobilização de teoremas em ação falsos

relacionados aos diversos campos conceituais envolvidos.

Neste exemplo a seguir, baseado numa questão extraída de um livro didático, que

possui como variáveis e seus respectivos valores: uso da fórmula para otimizar; tipo de

figura – retângulo; figura ausente do enunciado; domínio numérico do dado é natural,

porém, resultado decimal, possui um aspecto importante, que inclui conhecimentos



dos vários campos conceituais: “dado um perímetro fixo, o retângulo de maior área

construído com este perímetro é um quadrado”. É necessário que o aluno caracterize

geometricamente as figuras geométricas: retângulo e quadrado. Se o aluno dominar

esta propriedade, pode ir diretamente à resposta da questão dividindo 30 em 4 partes

iguais, já que o perímetro do quadrado corresponde à soma dos comprimentos dos

quatro lados e os lados do quadrado são congruentes. Neste problema, um

procedimento possível é a elaboração de uma tabela atribuindo valores numéricos às

dimensões do retângulo e o respectivo cálculo da área, como faz o aluno no protocolo

abaixo:

No entanto, não obtém a resposta correta, pois neste procedimento, embora

aparentemente estritamente numérico, o aluno precisa mobilizar conhecimentos relativos

ao conceito de área e perímetro, ou seja, é necessário compreender que a soma das medidas

dos quatro lados do retângulo é 30m, portanto o aluno precisa distribuir estes 30m em

partes iguais duas a duas, o que mobiliza um aspecto geométrico relacionado à propriedade

do retângulo e também numérico, haja vista que a divisão de 30 em partes iguais duas a

duas resulta em um número racional provavelmente expresso de forma decimal. Feito isto,

precisa mobilizar a fórmula da área do retângulo. A atribuição dos valores às variáveis

também pressupõe a análise do domínio e do contradomínio da função área.

Ainda, ao refletirmos sobre esta mesma questão proposta no teste diagnóstico por

Teles (2007), destacamos a possibilidade de serem utilizados para resolução procedimentos

geométricos; procedimentos algébricos e/ou procedimentos numéricos. Mais uma vez

refletimos que, ao mesmo tempo em que as imbricações podem possibilitar a mobilização

de diferentes procedimentos associados aos diversos campos conceituais; pode também

gerar erros relacionados aos diferentes campos. Ainda neste exemplo, Teles (2007)



evidenciou, em protocolos de duas escolas diferentes, alunos que responderam totalmente

o teste, acertando quase 100% das questões. No entanto, se depararam com a limitação do

domínio numérico restrito aos naturais, como ilustrado na figura a seguir:

Num estudo específico envolvendo fórmulas de área para otimização, sob a ótica

das imbricações, Teles e Bellemain (2010), identificaram, nos erros cometidos pelos

alunos, fortes imbricações entre campos conceituais. Por exemplo, interpretação da figura,

relacionado ao campo geométrico, erros de confusão entre área e comprimento, ligado ao

campo das grandezas, reforçando a necessidade de trabalhar a dissociação entre área e

comprimento na abordagem do conceito de área, erro de manipulação algébrica, no campo

algébrico; erro no procedimento numérico, situado no campo numérico. Em alguns

procedimentos foi possível identificar aspectos dos vários campos, evidenciando o papel

das imbricações como entrave para resolução de determinadas situações.

O uso de fórmulas de área em problemas de otimização, está relacionada às

aplicações do conceito de máximo e de mínimo no estudo das funções, recorrente em

livros didáticos de Matemática para o último ano do Ensino Fundamental (9º ano ou 8ª

série) e para o 1º ano do Ensino Médio, conforme identificado na análise de livros

didáticos realizada por Teles (2007). Quando as fórmulas são utilizadas para otimizar, está

em jogo de maneira central o aspecto funcional, pois elas expressam relações de

dependência entre variáveis (comprimentos e área). Trata-se, por exemplo, de determinar a

maior área possível em função de um comprimento fixo.

Considerações

Tomando como ponto de partida o principal objetivo desta oficina - abordar

possíveis contribuições teóricas e metodológicas da teoria dos campos conceituais para a

aprendizagem e o ensino de matemática, esperamos, a partir das situações propostas aos

participantes, indicadas no corpo deste texto, propiciar reflexões e discussões no que tange



às contribuições da teoria dos campos conceituais, com foco na identificação e modelação

de teoremas em ação, falsos e verdadeiros, e das imbricações entre campos conceituais,

possíveis de serem revelados nas aulas de matemática.

As situações selecionadas para as reflexões desta oficina dizem respeito à fórmulas

de área e perímetro de figuras planas, e podem ser discutidas a partir das imbricações entre

campos conceituais, a saber, os campos conceituais geométrico, numérico, algébrico,

funcional, bem como a partir da identificação de teoremas em ação falsos e verdadeiros,

possíveis de serem manifestados nas respostas dos alunos, bem como situações que possam

desestabilizar esses possíveis conhecimentos equivocados dos alunos.

Além disso, dentre os resultados esperados, situa-se a elaboração de propostas para

outras pesquisas neste tema decorrente da coleta de dados junto aos participantes da

oficina, com a autorização dos participantes, principalmente no que se refere às

contribuições das imbricações entre campos conceituais e da importância da identificação e

possível desestabilização de teoremas em ação falsos.

Referências

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Franceses Relacionados ao Campo Conceitual dos Números Irracionais. Perspectivas

em Educação Matemática. V.7, número temático, pp.476-492, 2014.

REZENDE, V.; NOGUEIRA, C. M. I. Existe ou não existe um quadrado de medida de

área 213cm ? Educação Matemática em Revista. N.36, pp.05 - 13, 2012.

REZENDE, V. Conhecimentos sobre números irracionais mobilizados por alunos

brasileiros e franceses: um estudo com alunos concluintes de três níveis de ensino.(Tese

de doutorado). Universidade Estadual de Maringá, Maringá, 2013.

TELES, R. A. M., Um Estudo Sobre a Influência do Campo Algébrico na Resolução

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Paulo, V. 12, pp.129 - 142, 2010.

TELES, R. A. M.; Bellemain, P. M. B. Fórmula de Área para Otimização: Um Olhar

sob a Ótica das Imbricações entre Campos Conceituais. Educação Matemática em

Revista. N.31, 2010.

VERGNAUD, G. O que é aprender? In. A aprendizagem Matemática na perspectiva da

Teoria dos Campos Conceituais. Org. BITTAR, Marilena, MUNIZ, Cristiano Alberto.

Editora CRV, Curitiba, 2009.

_____________. La théorie des champs conceptuels. Recherche en Didactique des

Mathématiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, v. 10, n. 2.3, p. 133-170, 1990.

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