Ondaletas: Uma Necessidade?!

Por

MSc. Augusto César Barros Barbosa - 5333348

Métodos Observacionais em Climatologia e Meteorologia de Mesoescala

Professora: Dra. Leila Maria Vespoli de Carvalho

São Paulo

16 outubro 2008

Objetivo

Mostrar dentro de um contexto histórico, à necessidade de se utilizar a transformada em ondaletas como uma ferramenta (técnica) importante na investigação de fenômenos não-estacionários, onde a análise de Fourier tradicional não é recomendável (Farge, 1992).

Uma Breve História: Fourier, Joseph

Físico e Matemático Francês.

Nasceu em 21 de Março de1768 em Auxerre (França).

Faleceu em 16 de Maio de 1830 em Paris aos 62 anos.

Joseph Fourier afirmou que qualquer função periódica f(x) poderia ser expressa por uma somatória de senos e cossenos da seguinte forma:

onde a0, ak e bk são os coeficientes de Fourier da série.

2

0

2

0

2

0

0

10

.)()(1

,)cos()(1

,)(2

)()cos()(

dxkxsenxfb

dxkxxfa

dxxfa

kxsenbkxaaxf

k

k

kkk

A Transformada de Fourier (TF) é uma ferramenta útil para saber a contribuição para a energia total da série temporal (estacionária), de cada função seno e cosseno que estão presentes nesta série.

A TF é definida da seguinte forma:

dxexfFx

xi

2)()(

onde ω é a freqüência e f(x) é a série temporal. Note que ocorre o que se chama de “Convolução”. Princípio importante para o entendimento da teoria das ondaletas.

A Convolução

“Toda transformação linear que seja invariante por translação, pode ser escrita sob a forma de uma convolução.”

Define-se a convolução contínua unidimensional entre duas funções f(x) e g(x), no ponto t como:

dttxgtftxgxft

)()()()()(

Onde:1. f(x) representa uma série temporal qualquer.2. g(x) representa um filtro que tem o papel de identificar e selecionar o período de cada componente oscilatória presente em f(x).

A Linearidade da TF

dqc

wgcwfdxexgcdxexf

dxexcgxfxcgxf

xi

xx

xi

xi

x

..

)()()()(

)()()()(

22

2

Demonstração da linearidade da transformada de Fourier em funções unidimensionais f(x) e g(x), onde c é uma constante qualquer.

A Linearidade da Convolução

dqc

txhxgcII

e

txhxfI

onde

dttxhtgcdttxhtf

dttxhtcgtftxhxcgxf

II

t

I

t

t

..

)()()(

)()()(

:

)()()()(

)()()()()()()(

Demonstração da linearidade da convolução para as funções unidimensionais f(x), g(x) e uma função fixa h(x), onde c é uma constante pertencente aos reais.

Relação entre a TF e a ConvoluçãoA seguinte propriedade básica relaciona a operação de convolução com a transformada de Fourier. Onde f(x) e g(x) são funções quaisquer.

dqcwgwftxgxf

ementeConsequent

dkkgdttf

Assim

dxdkdx

dt

dx

dx

dx

dktxk

setemespaçonotodeslocamenPelo

dxdttxgtftxgxf

wg

k

ki

wf

t

ti

xi

x t

ee

e

..),()()()()(

:

)()(

:

:,___

)()()()()(

)(

2

)(

2

2

Aplicação da TFComo exemplo ilustrativo será mostrado três séries temporais de funções senos com 16s de duração e de amplitudes e freqüências diferentes (1, 5 e 10Hz).

O Espectro de Energia

A figura mostra a presença das três freqüências promovidas pelas funções senos presentes na série temporal.

A Transformada de Fourier Janelada

Gabor em 1946, percebeu a deficiente aplicabilidade da TF em séries temporais não-estacionárias.

Problemáticas:

1. Janela Fixa.

2. Energia Infinita (-∞ & +∞).

A Transformada em Ondaleta Contínua

A transformada em ondaletas contínua é uma transformada linear que pode ser utilizada na análise de sinais não-estacionários para extrair informações das variações em freqüência desses sinais.

Para que uma função seja denominada de Função Ondaleta (FO), representada pela letra psi, deve satisfazer a duas propriedades distintas, descritas abaixo:

1ª) A integral dessa função deve ser zero, ou seja:

t

dtt 0)(

Continua...

2ª) A FO deve possuir energia unitária, isto é:

De um modo geral as funções denominadas de ondaletas, possuem a propriedade básica de dupla localização em tempo e em freqüência, onde:

Tempo: Ocorre por ser localizada em um intervalo finito.

Freqüência: Se dá ao fato da TF da FO poder ser interpretada como um filtro passa-banda.

1)(2

dttt

Localização Tempo - Freqüência

Arbitrado pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg

A Função Ondaleta

A análise por ondaletas baseia-se na CONVOLUÇÃO do sinal em estudo f(t) com sucessivas funções representativas de escalas diferentes, as funções ondaletas ψj,k(t).

A função ondaleta pode ser definida da seguinte forma:

A Transformada em ondaleta de uma função f(t) é definida como se segue:

0;1

)( 0,

j

j

kt

jtkj

dtj

kttf

jtW

N

t

kj

1

*0, )(

1)(

Continua...

As funções são funções ondaletas derivadas da ondaleta base por translações e por mudanças de escala.

j

kt0

0;__1

)(

)()(

jescaladeMudançaj

t

jt

e

Translaçãoktt

j

k

Assim a transformada em ondaletas contínua de uma série temporal f(t) é definida como a convolução da função (série) com o complexo conjugado da ondaleta mãe escalonada e normalizada.

A Função Ondaleta Base de MorletA função ondaleta base de Morlet é definida da seguinte forma:

Logo a transformada em ondaletas utilizando a FO de Morlet será:

GaussianoEnvelopeI

eetI

ttio

_

)(2

0 2

1

4

1

dteetfjj

ktW j

kt

t

j

tki

kj

20 )(2/1)(4/1

, )(

Como em geral a operação de convolução é mais complexa de calcular do que a TF, usa-se o teorema da convolução para determinar as integrais das funções convoluídas, calculando-se o produto das TF das funções envolvidas.

Sinal da Função Ondaleta de Morlet

Parte Real (Linha Sólida) e Parte Imaginária (Linha Pontilhada), parte da Ondeleta de Morlet com ω0=6. Figura tirada de D. Maraun & J. Kurts (2004).

(a) Sinal da ondeleta de Morlet com largura e amplitude arbitrária, (b) Construção da ondeleta de Morlet (azul tracejado) a partir de uma onda seno (verde), modulada por um pacote gaussiano (vermelho), Torrence & Compo (1998).

Significância Estatística Pk

Para a significância estatística da ondeleta, pode-se utilizar a ‘hipótese nula’ em que o sinal é ruído vermelho com dado ‘Background Power Spectrum (Pk)’ Allen & Smith (1996), em que se encontra:

221

21

iαe

αkP

Onde:

1. α é a autocorrelação da série com o ruído vermelho.

2. k são os índices da freqüência de Fourier.

Sinal Escalonado e Deslocado

Exemplo de uma Função Ondaleta escalada e transladada, utilizando-se a ondaleta-base de Morlet (Parte superior). Sinal não normalizado. Figuras tiradas da dissertação de Regis Rossi Alves Faria, EPUSP - 1997.

Janelas de Análise no Plano Tempo – Freqüência para TEF e Ondaletas

Figuras tiradas da dissertação de Regis Rossi Alves Faria, EPUSP - 1997.

A Translação e a Dilatação no Espaço

O termo ondaletas refere-se a um conjunto de funções com forma de pequenas ondas geradas por dilatações Ψ(t)→Ψ(2t) e, translações, Ψ(t)→Ψ(t+1),de uma função geradora base.

Suponhamos uma série temporal com comprimento s de 1024 pontos de tal forma que tenhamos:

Logo a 1ª escala será:

2n-1 2n-1

2n

)(1010242 períodosescalasnns n

pontosn 512291 9

Continua...Em seguida teremos:

pontosn

pontosn

pontosn

2219

.

.

.

128273

256282

1

7

8

A representação de “Multiresolução” fornece uma moldura hierárquica simples para interpretação de informação da série temporal. A diferentes resoluções, os detalhes de um sinal geralmente caracterizam diferentes estruturas do mesmo.

Em seguida teremos: 2n-2 2n-2 2n-2 2n-2

2n

Continua...O processo mostrado anteriormente proporcionará um diagrama conhecido como “Periodograma de Ondaletas”, como mostrado logo abaixo:

Resultados...Note que, através do periodograma, podemos identificar exatamente quais as freqüências predominantes em uma série temporal qualquer. Tal fato, é extremamente importante na análise de séries temporais não-estacionárias.

A Transformada em Ondaletas Cruzada

Assim como na TF é possível definir a ondaleta cruzada de duas séries temporais, como Wn

XY=WXWY*, onde (*) denota o complexo conjugado e (n=1,...N); além disso, define-se o espectro de energia da ondaleta cruzada como sendo:

YkPX

kPν

(p)νZp

YX

(s)Y*n(s)WX

nWD

onde Zν(p) é o nível de confiança associado com a probabilidade p para o Probability Density Function (PDF) definido pela raiz quadrada do produto de duas distribuições Q2. Por exemplo, os 5% do nível de significância nos gráficos das OC deve ser utilizado Z2(95%).

O Ângulo de Fase da Ondaleta Cruzada

A média circular de um conjunto de ângulos (ai, i =1...n) é definido de acordo com (Zar et al., 1999).

n

i)isen(aYe

n

i)i(aXXYama

1__

1cos,2tan

O Transforma em Ondaletas CoerênciaDe acordo com Torrence & Webster (1999), pode-se definir a Ondaleta Coerência entre duas séries temporais como:

2121

212

(s)YnWs.S(s)X

nWsS

(s))XYnWS(s

(s)nR

Continua...É útil pensar em ondaletas coerência como um coeficiente de correlação localizado em tempo-freqüência-espaço. A definição de S se dá da seguinte forma:

(s)))n(Wtempo(SescalaSS(W)

s

st

c(s)nWs(W)|tempoS

22

2

1

onde Sescala denota a suavização ao longo da escala dos eixos das ondaletas e Stempo no tempo. Para a ondaleta base de Morlet, um operador de suavização é dado de acordo com Torrence & Webster (1999).

ss))|.Π(c(s)n(Ws(W)|escala

S 602

Áreas de Aplicação

1. Turbulência Atmosférica (C. Rodrigues Neto et al.,2001)Processamento de Sinais (M. Vertteli & C. Herley, 1992)

2. Sistemas Hidrológicos (D. J. R. Nordemann, 1998)

3. Geofísica Espacial (M. J. A. Bolzan, 2005 )

4. Interação Oceano-Atmosfera (Barbosa & Camargo, 2006)

5. Convecção Tropical (Weng & Lau, 1994)

6. O ENSO (Gu & Philander, 1995)

7. Frentes Frias Atmosféricas (Gamage & Blumen, 1993)

8. Estruturas coerentes em fluxos turbulentos (Farge, 1992)

AplicaçãoA figura mostra uma língua fria (Ondas de Instabilidade Tropical - OIT)

Diagrama de Hovmöller da TSM no Equador, 1ºN, 2ºN, 3ºN e 4ºN; para o ano de 2001. Temperatura em ºC.

TSM filtrada em 20-60 dias. Anomalias em ºC.

1. TSM e o vento completamente em fase.

2. Vento avançado 45º da TSM. A TSM responde em 1/8 do período.

3. Vento avançado 90º da TSM. A TSM responde em 1/4 do período.

4. Vento avançado 135º da TSM. A TSM responde em 3/8 do período.

5. Vento e TSM em fase completamente opostas.

6. Vento defasado 225º da TSM, ou a TSM avançada 135º do vento. O vento responde com 3/8 do período.

7. Vento defasado 90º da TSM. O vento responde em 1/4 do período.

8. Vento defasado 45º da TSM. O vento responde em 1/8 do período.

A Interpretação Física

Dias Juliano:

50: 19/02

100:10/04

150:30/05

200:19/07

250:07/09

300:27/10

350:16/12

Dias Juliano:

50: 19/02

100:10/04

150:30/05

200:19/07

250:07/09

300:27/10

350:16/12

Dias Juliano:

50: 19/02

100:10/04

150:30/05

200:19/07

250:07/09

300:27/10

350:16/12

XWTTSMxUU

1ºN19ºW

2001.

WTCTSMxUU

1ºN19ºW

2001.

Dias Juliano:

50: 19/02

100:10/04

150:30/05

200:19/07

250:07/09

300:27/10

350:16/12

XWTTSMxVV

1ºN19ºW

2001.

WTCTSMxVV

1ºN19ºW

2001.

Continua...

Existe a Necessidade de um Filtro?É útil pensar em ondaletas como consecutivos filtros passa-banda, mas até quando isso é viável?

Continua...

Considerações Finais...

A TRANSFORMADA WAVELETS (ONDALETAS), REVELA NO TEMPO QUAL PARTE DO SINAL ANALISADO TRANSPORTA ENERGIA SIGNIFICATIVA E, EM QUAIS FREQÜÊNCIAS (ESCALAS). TODAVIA, A UTILIZAÇÃO DE UM FILTRO EM ALGUNS CASOS TORNA-SE BASTANTE VIÁVEL.

Augusto Barbosa.

Obrigado!!!