Ondas Opostas:Umaonda estacionriaem umalinha de transmisso uma onda na qual a distribuio decorrente eltrica,tenso eltrica, oucampo eltrico formado pelasuperposiode duas ondas de mesmafrequnciase propagando na direo oposta. O efeito uma srie denodos(deslocamentozero) eantinodos(deslocamento mximo) em pontos fixos ao longo da linha de transmisso. Esta onda estacionria pode ser formada quando uma onda transmitida a partir de uma extremidade da linha de transmisso e refletidana outra extremidade por umcasamentodeimpedncias,ex., descontinuidade, como umcircuito abertoou umcurto-circuito. Na prtica, perdas na linha de transmisso e outros componentes significa uma reflexo perfeita e uma onda estacionria pura nunca gerada. O resultado umaonda estacionria parcial, que uma superposio de uma onda estacionria e uma outra onda. A forma de onda resultante medida pelarelao de ondas estacionrias(ROE).

Descrio MatemticaQuando h um movimento oscilatrio harmnico simples, como por exemplo em uma corda, o deslocamentode cada ponto da onda pode ser descrito pela equao:

Sendo: An(x)aamplitude, que depende da posio x do elemento, afrequncia angular(medida emradianospor segundo), na constante de fase, t a variveltempo.A funoAn(x) a forma da onda quando a vibrao tem seu deslocamento mximo e em seu n-simo modo pode ser definida por:

Onde: kn onmero de onda(definido por 2/n)Utilizando ambas as equaes podemos definir a funo da onda em seu n-simo harmnico por:

Presumindo que ambas as condies necessrias para que ocorra o movimento da onda estacionria sejam satisfeitas. So elas: Cada ponto da onda oscila em movimento harmnico simples ou permanece em repouso. O movimento de dois pontos da onda que no sejam nodos oscilam defasados em 180 ou em fase.Ondas Estacionrias em Cordas:

Os trs primeiros harmnicos de uma corda com ambas as extremidades fixas.Em certas frequncias de oscilao cordas com uma ou ambas as extremidades fixas podem gerar ondas estacionrias.Corda com Ambas as Extremidades Fixas:Se excitada uma corda fixa em ambas as extremidades com um movimento harmnico simples de amplitude pequena, so produzidos padres de ondas estacionrias para certas frequncias de excitao. As frequncias que geram este comportamento so chamadas de frequncia de ressonncia. A menor frequncia de ressonncia chamada defrequncia fundamental(vamos chama-la def1) e produz um padro de onda estacionria chamado demodo fundamentalou primeiroharmnico. Cada frequncia de ressonncia juntamente com a respectiva funo de onda corresponde a ummodo de vibrao. Como a corda est fixa em ambas as extremidades, nestes locais formado um nodo. Nota-se assim que no primeiro harmnico haver somente um antinodo, no segundo haver dois antinodos e assim por diante. A partir destas observaes e considerandoocomprimento de onda, temos que: A distncia entre dois nodos consecutivos, que a mesma de dois antinodos, vale. A distncia entre um n e um ventre consecutivo vale.Sendo L o comprimento da corda, ele pode ser expresso por:

Ondenrepresenta o n-sima harmnica.1Corda com Uma das Extremidades Fixa e a Outra Livre:Quando uma das extremidades se encontra fixa e a outra, por exemplo, se encontra ligada a um anel (de massa desprezvel) livre para deslizar na vertical, sem atrito. Como o movimento da corda livre na vertical, diz-se que aquela uma extremidade livre. Como a massa do anel desprezvel, a fora vertical gerada pela corda geraria uma acelerao infinita ao anel. Se a forma da corda junto ao anel permanecer horizontal a acelerao se manter finita. Assim, na extremidade livre da corda haver um antinodo. Deve-se notar, portanto, que diferentemente da corda fixa em ambas extremidades, a cada harmnica h um nmero mpar de antinodos. Como a corda representa a distncia entre um nodo (a extremidade fixa) e um antinodo (a extremidade livre), o comprimento da corda dado por:

Ondenrepresenta o n-sima harmnica, no havendo os harmnicos pares nesse sistema.1Ondas Sonoras Estacionrias[editar|editar cdigo-fonte]Tubos Sonoros[editar|editar cdigo-fonte]

Flauta que representaTubo Sonoro Aberto. Para obter diferentes frequncias (notas musicais), o msico muda a posio dos dedos, determinando o local em que o tubo ficar aberto, ou varia o tamanho do tubo.Os tubos sonoros contm uma coluna de ar que pode executar uma vibrao estacionria.Se as duas extremidades do tubo so desobstrudas, ele denominadotubo aberto; chamamos detubo fechadoo tubo que tem a extremidade tapada. Como so ondaslongitudinais, a construo da vibrao estacionria no tubo deve obedecer s seguintes condies de contorno: as extremidades abertas so locais onde a vibrao livre, correspondendo, portanto, a ventres; as extremidades fechadas so locais onde no h vibrao longitudinal; so, portanto, ns.4Iremos considerar um tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada. Como uma onda sonora pode ser considerada uma onda de presso ou uma onda de deslocamento e as oscilaes de presso e deslocamento so defasadas em 90, em uma onda sonora estacionria onde h um nodo de presso h um antinodo de deslocamento e vice-versa. Se a circunferncia do tubo for muito menor que o comprimento da onda, podemos dizer que a onda sonora no tubo unidimensional e h um nodo de presso na extremidade aberta do tubo. H, portanto, um antinodo na extremidade fechada do tubo. Assim as oscilaes em um tubo com uma extremidade aberta e a outro fechada se assemelha com uma corda com uma extremidade fixa e a outra livre. Seguindo a mesma interpretao, em um tubo com ambas as extremidades abertas, h um nodo de presso em cada extremidade. Estas configuraes fazem com que as ondas estacionrias em um tubo de ambas as extremidades abertas se assemelhe as de uma corda com ambas as extremidades fixas.1Em uma coluna de ar que estejaaberta em ambas as extremidades, no modo fundamental, o comprimento de onda o dobro do comprimento da coluna de ar e , portanto, a frequnciaf1fundamental . De maneira similar, as frequncias dos harmnicos superiores so2f1, 3f1,....Os harmnicos superiores so mltiplos inteiros da frequncia fundamental. Como esto presentes todos os harmnicos, podemos expressar as frequncias naturais de vibrao como:

Ondenrepresenta o n-sima harmnica,v a velocidade do som no ar,Lcomprimento do tubo.Se uma coluna de ar fechada em uma extremidade e aberta na outra, a extremidade fechada um n de deslocamento. Neste caso, o comprimento de onda para o modo fundamental quatro vezes o comprimento da coluna. Portanto, a frequncia fundamentalf1 igual ae as frequncias dos harmnicos superiores so iguais a3f1, 5f1,.... Isto ,em uma coluna de ar que fechada em uma extremidade, apenas os harmnicos mpares esto presentese estes so:

As ondas estacionrias em colunas de ar so as fontes primrias dos sons produzidos por instrumentos de sopro. Em um instrumento de sopro de madeira, uma chave pressionada abrindo um furo no lado da coluna. O furo define a extremidade da coluna vibrante de ar(pois age como uma extremidade aberta- a presso pode ser liberada), de modo que a coluna de seja de fato encurtada e a frequncia fundamental de eleve. Em um instrumento de metal, o comprimento da coluna de ar mudado por uma seo ajustvel, como em umtrombone de vara, ou adicionando-se segmentos ao tubo, como feito em umtrompetequando uma vlvula pressionada.5