Opções - Avaliação Prof. Antonio Lopo Martinez. Valor intrínseco - ganho que pode ser realizado se a opção for exercida imediatamente: –Call: preço do

Opções - AvaliaçãoProf. Antonio Lopo Martinez

• Valor intrínseco - ganho que pode ser realizado se a opção for exercida imediatamente:– Call: preço do ativo - preço de exercício

• S0 - X– Put: preço de exercício - preço do ativo

• Valor do Tempo: diferença entre o preço da opção e o seu valor intrínseco.

Valores das Opções

• Valor da Opção de Compra: a) Preço da ação aumentab) Preço da ação cai• Preço aumenta substancialmente mais

provável exercício da opção. • Desembolso de X no futuro e PV(X) hoje• Dessa forma, valor = S0 – PV(X)

Valores das Opções

Determinantes de Valores de Opções de Compra

Se Variável Aumentar Valor da CallPreço da Ação S AumentaPreço de exercício X DiminuiVolatilidade AumentaPrazo ate vencimento T AumentaTaxa de juros AumentaPagamento de dividendos Diminui

Valores das Opções: Call

Valor da Opção

X Preço da ação

Valor da CallValor Intrínseco

Valor do Tempo

Modelo (árvore) Binomial

0

+

V

-

a

b

c

d

e

f

g

Tempo

Valor

0

+

V

-

a

b

c

de

f

g

Valor

Tempo

0

+

V

-

a

b

c

d

e

f

g

Tempo

Valor

0

+

V

-

a

b

c

d

e

f

g

Tempo

Valor

Modelo Binomial

• f = preço da opção• S = preço da ação• Su = preço futuro acima de S, retorno da

opção será fu

• Sd = preço futuro abaixo de S, retorno da opção será fd

Modelo Binomial

• Não envolve as probabilidades de o preço da ação subir ou cair.

• Não se está avaliando a opção em termos absolutos. Estamos calculando em termos do preço da ação objeto.

• Probabilidades de oscilações ascendentes ou descendentes futuras já estão incorporadas no preço da ação.

Modelo Binomial ...

fS

fuSu

fdSd fdSdfuSu

:Risco SemCarteira

Retorno da Carteira:Taxa Livre de Riscos

f = e-rT [pfu + (1 - p) fd ]

onde: p = erT - du - d

Modelo Binomial ...

• Variável p = probabilidade de uma oscilação ascendente no preço da ação

• Variável 1-p = probabilidade de uma oscilação descendente

• pfu + (1 - p) fd = retorno esperado da opção

• Dessa forma, valor atual da opção é seu valor futuro esperado, descontado à taxa livre de risco.

Modelo Binomial ...

• Delta

• É a razão de mudança no preço da opção da ação em relação à mudança no preço da ação objeto.

• É a quantidade de ações que devemos ter para cada opção vendida.

SdSufdfu

Exemplo

• O preço atual da ação é $20• Em 3 meses (0.25 anos) o preço será

$22 ou $18• Preço de exercício de uma Call é $21• Call do tipo européia Preço da Ação=$22

(aumento de 10%)

Preço da Ação=$18(redução de 10%)

Preço da Ação=$20

ExemploSu = 22 ƒu = 1

Sd = 18 ƒd = 0

S ƒ

p

(1– p )

Sd Sufd fu

1-0 22-18 = 0,25

fdSdfuSu:Risco SemCarteira

22 x 0,25 – 1 = 18 x 0,25 – 0

4,5 = 4,5

Modelo Binomial ...

fuSdSufdfuSur

SdSufdfuSrf

SdSufdfu

fuSurSrf

rfuSufS

TT

TT

T

11

11

1

fS

fuSu

fdSd fdSdfuSu

:Risco SemCarteira

Retorno da Carteira:Taxa Livre de Riscos

Modelo Binomial ...

durufd

duduurfu

rf

rufdduurfudurf

dufuufdufurfdrfudurf

fudufdfuur

dufdfurf

TT

T

TTT

TTT

TT

111

1

111

111

11

Modelo Binomial

du

rudu

drdudu

drp

dudrp

pfdpfur

f

durufd

dudrfu

rf

durufd

duduurfu

rf

TTT

T

T

TT

T

TT

T

11111

1

1..1

1

111

1

111

1

Modelo Binomial

• O preço atual da ação é $20• Em 3 meses (0.25 anos) o preço será

$22 ou $18• Preço de exercício de uma Call é $21• Call do tipo européia Preço da Ação=$22

(aumento de 10%)



Exemplo

• Considerando taxa de juros livre de risco = 12% a.a.

• Obtemos p da seguinte forma:

p du d

rT

e e0.12 0.25 0911 09 06523.. . .

Su = 22 ƒu = 1

Sd = 18 ƒd = 0

S ƒ

p

(1– p )

Calculando o Valor da Call

O Valor da opção é:e–0.120.25 [0.65231 + 0.34770] = 0.633

Su = 22 ƒu = 1

Sd = 18 ƒd = 0

Sƒ

0.6523

0.3477

Valor de uma Call

• O preço atual da ação é $50• Em 2 meses (0.166667 anos) o preço

será $53 ou $48• Preço de exercício de uma Call é $49• Call do tipo européia• Taxa livre de risco = 10%

Exemplo

• Considerando taxa de juros livre de risco = 10% a.a.• Obtemos p da seguinte forma:

p = erT - d e 0,10x0,166667 - 0,96 = 0,5681 u - d 1,06 - 0,96

Su = 53 ƒu = 4

Sd = 48 ƒd = 0

S ƒ

p

(1– p )


O Valor da opção é:e–0.100.16667 [0.5681 + 0.43190] = 2,23

Su = 53 ƒu = 4

Sd = 48 ƒd = 0

Sƒ

0.5681

0.4319

Considerando 2 períodos de Tempo

• Cada período é de 3 meses

20

22

18

24.2

19.8

16.2


• Valor no ponto B = e–0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257

• Valor no ponto A = e–0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) = 1.2823

201.2823

22

18

24.23.2

19.80.0

16.20.0

2.0257

0.0

A

B

C

D

E

F

Exemplo de uma Put• O preço atual da ação é $50• Em 1 ano o preço será $60 ou $40• Preço de exercício da Put é $52


Preço da Ação=$60(aumento de 20%)


Exemplo



6282.08.02.18.0ee 10.05

dudp

rT

Su = 60 ƒu = 0

Sd = 40 ƒd = 12

S ƒ

p

(1– p )

Calculando o Valor da Put

O Valor da opção é:e–0.05x1 [0.6282x0 + 0.3718x12] = 4,24

Su = 60 ƒu = 0

Sd = 40 ƒd = 12

Sƒ

0.6282

0.3718

Exemplo de uma Put

• Preço de exercício da Put é $52

504.1923

60

40

720

484

3220

1.4147

9.4636

A

B

C

D

E

F

1) S0 = $50ST = $60 ou $42i = 12%X = $48n = 6 mesesQual valor da Call?

2) S0 = $80ST = $75 ou $85i = 5%X = $80n = 4 mesesQual valor da Put?

Exercícios

3) S0 = $40ST = $45 ou $35i = 8%X = $40n = 3 mesesQual valor da Put?

4) S0 = $50ST = + 6% ou – 5% i = 5%X = $51n = dois próximos periodos de 3 mesesQual valor da Call?

Exercícios

Exercício 1

• Considerando taxa de juros livre de risco = 12% a.a.• Obtemos p da seguinte forma:

p = erT - d e 0,12x0,5 - 0,84 = 0,6161 u - d 1,2 - 0,84

Su = 60 ƒu = 12

Sd = 42 ƒd = 0

S ƒ

p

(1– p )


O Valor da opção é:e–0.12 x 0.5 [0.6161 x 12 + 0.3839 x 0] = 6,96

Su = 60 ƒu = 12

Sd = 42 ƒd = 0

Sƒ

0.6161

0.3839

Exercício 2



6345.09375.00625.19375.0ee 333,00.05

dudp

rT

Su = 85 ƒu = 0

Sd = 75 ƒd = 5

S ƒ

p

(1– p )


O Valor da opção é:e–0.05x0,333 [0.6345x0 + 0.3655x5] = 1,80

Su = 85 ƒu = 0

Sd = 75 ƒd = 5

Sƒ

0.6345

0.3655

Exercício 3



5808.0875.0125.1875.0ee 25,00.08

dudp

rT

Su = 45 ƒu = 0

Sd = 35 ƒd = 5

S ƒ

p

(1– p )


O Valor da opção é:e–0.08 x 0,25 [0.5808x0 + 0.4192 x5] = 2,06

Su = 85 ƒu = 0

Sd = 75 ƒd = 5

Sƒ

0.5808

0. 4192

Exercício 4

• Cada período é de 3 mesesp = erT - d e 0,25x0,05 - 0,95 = 0,5689

u - d 1,06 - 0,95

50

53

47,5

56,18

50,35

45,125


• Valor no ponto B = e–0.25 x 005(0.5689x5,18 + 0.4311x0) = 2,91

• Valor no ponto A = e–0.25 x 005(0.56892,91 + 0.43110) = 1,635

50

53

47,5

56,185,18

50,350.0

45,1250.0

2,91

0.0

A

B

C

D

E

F

• Valor intrínseco de uma call = S0 – PV(X)

Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)

d1 = [ln(So/X) + (r + 2/2)T] (T1/2)

d2 = d1 - (T1/2)

Black-Scholes ...

ondeCo = valor (prêmio) da opção de compraSo = preço atual do ativo-objetoN(d) = probabilidade que um elemento retirado

aleatoriamente de uma distribuição normal seja inferior a d.

Podemos pensar que N(d) = probabilidades ajustadas pelo risco de que a opção de compra irá vencer “in the money”

0 < N(d) <1,0

Black-Scholes ...

N(d) -> quanto mais próximo de 1,0, maior a probabilidade da opção ser exercida e, consequentemente, maior seu valor.

N(d) -> quanto mais próximo de 0, menor a probabilidade da opção ser exercida e, consequentemente, menor seu valor.

Black-Scholes ...

X = preço de exercícioe = 2.71828, a base do logaritmo naturalr = taxa de juros livre de risco (anualizada e

composta continuamente)T = prazo de vencimento da opção em anosln = função logaritmo naturaldesvio padrão anualizado da taxa de

retorno do ativo-objeto

Black-Scholes

Calculando N(d)

0)(1

0))((1)(

33

221

x sexNx se kakakaxZ

xN

33267,09372980,01201676,04361836,0

21)(

.11

3

21

22

aaa

exZ x

kx

So = R$100 X = R$95r = 0,10 T = 0,25 (trimestre)= 0,50d1 = [ln(100/95)+(0.10+(052/2)).0.25]/(05.251/2)

= 0.43 d2 = 0.43 - ((5.251/2)

= 0.18N (0.43)* = 0.666; e N (0.18)* = 0.571*Tabela de distribuição normal cumulativa

Exemplo de uma Call


Co = 100 X .666 - 95 e- (.10 x .25) X .571 Co = 13.70

Valor da Call

So = R$52X = R$50r = 12%T = 0,25 (trimestre)= 0,30

Exemplo 2

d1 = [ln(52/50)+(0.12+(02/2)).0.25](0,3x .251/2)

= 0.5365 d2 = 0.5365 - ((0.251/2)

= 0.3865N (0.5365) = 0,7042; e N (0.3865) = 0,6504

Exemplo 2


Co = 52 X 0,7042 - 50 e- (.12 x .25) X 0,6504 Co = 5,06

Valor da Call

Opções - Paridade Put-Call (sem dividendos)

• Investidor:– compra opção de compra– lança opção de venda– Ambas com mesmo X e T

• No vencimento podem ocorrer:ST < X ST > X

Pagamento call comprada 0 ST - XPagamento put lançada -(ST – X) 0Total ST - X ST – X


• Considere as duas carteiras seguintes:– Carteira A: uma call européia + valor

presente do preço de exercício em dinheiro– Carteira B: uma put européia + o ativo-objeto

• Ambas valem Máximo(ST , X ) no vencimento das opções. Logo elas devem possuir o mesmo valor hoje:

C - P = S0 - X(1+rf)T

• Desigualdade = Oportunidade de arbitragem


Carteira 1 Carteira 2

P + S0 C + Xe -rT

ST < X

ST > X

(X-ST)+ST

= X( 0 )+X

= X

( 0 )+ST

= ST

(ST -X)+X= ST

Preço do ativo objeto na data de vencimento

Oportunidade de Arbitragem

• Preço da Ação: $110• Preço da Opção de Compra (n=6, X = $105) $ 17• Preço da Opção de Venda (n=6, X = $105) $ 5• Taxa anual de juros livre de risco (efetiva) 10,25%• Juros no período (6 meses) 5%

C - P = S0 - X(1+rf)T

17 - 5 = 110 - 105/1,05

12 10

Opções - Paridade Put-Call Arbitragem (1)

•Compra ações por $110 •Tomar emprestado X (1+rf)T = $100•Compre P por $5• Venda C por $17• Lucro imediato de $2

Compre a de menor preço e venda a de maior !

Qual o valor desta operação na data de vencimento?

12 10

Opções - Paridade Put-Call Arbitragem (1)

Fluxo em 6 mesesPosição Imediato ST < X ST > XComprar ações - 110 ST ST

Tomar emprestado + 100 -105 -105Vender call + 17 0 -(ST –105)Comprar put - 5 105 - ST 0Total 2 0 0

P = C + PV (X) - So = C + Xe-rT - So

Exemplo (continuação):C = 13.70 X = 95 S = 100r = .10 T = .25P = 13.70 + 95 e -(.10 x .25) - 100P = 6.35

Usando a Paridade Put-Call para Obter o Valor da Put

Fator Efeito no ValorPreço do ativo aumentaPreço de exercício diminuiVolatilidade do ativo aumentaPrazo de vencimento aumentaTaxa de juros livre de risco aumentaTaxa de dividendos pagos diminui

Fatores que influenciam o valor das Opções: Call

Valor da Opção x Taxa de Juros

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

0.0% 5.0% 10.0% 15.0% 20.0% 25.0%

Call Put(volatiliade) 0.25T (em anos) 4X 100So 100

Parâmetros

Valor da Opção x Prazo de Vencimento

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Call Put(volatiliade) 0.25r (anual) 5.0%X 100So 100

Parâmetros

Valor da Opção x Volatilidade

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Call PutT (em anos) 4r (anual) 5.0%X 100So 100

Parâmetros

Valor da Opção x Preço de Exercício

-20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

0 50 100 150 200 250

Call PutT (em anos) 4r (anual) 5.0%(volatiliade) 0.25So 100

Parâmetros

Valor da Opção x Preço do Ativo-objeto

-20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

0 50 100 150 200 250

Call PutT (em anos) 4r (anual) 5.0%(volatiliade) 0.25X 100

Parâmetros

Portfolio Insurance

Protegendo a Carteira Protective Put

Lucro

X

Lucro

XLucro

X+

Car

teira

Opç

ão d

e V

enda

Problemas de Implementação

• Encontrar no mercado as Puts sobre o ativo-objeto (carteira);

• Aproximações “inadequadas” do ativo-objeto, como uma carteira de mercado (ex. IBOVESPA, S&P500, DAX, CAC40, Strait Times, Hang Seng, FTSE, etc.);

• Prazo de vencimento das Puts x Prazo da Proteção (insurance).

Como solucionar os problemas acima?

A Protective Put Sintética

• Considerando uma carteira de $ Z milhões:– calcula-se o “delta” de uma Put teórica, que

possui as características desejadas para a proteção;

– vende-se uma proporção da carteira equivalente ao “delta” da opção (Put);

– investe-se o valor resultante da venda de parte da carteira em títulos de renda livre de riscos.

• Falha desta estratégia: o “delta” muda com o preço das ações. Daí implementa-se uma versão dinâmica (dynamic hedging).

Calculando o Delta de uma Put

• Árvore Binomial:

• Black & Scholes:

• Carteira:

duS

dSXMáxuSXMáx

.0;.0;.

T

TrXS

d

dN

.2ln

12

0

1

1

N

iiiw

1

.

Protective Put Sintética - Exemplo

• Valor atual da carteira (S) = $ 100 milhões• Prazo do programa de proteção (T) = 4

anos• Retorno mínimo = 0% (Preço de exercício

da Put (X) = Valor atual da carteira)• Volatilidade (desvio padrão, ) = 25% a.a.• Taxa de juros livre de riscos (r) = 5% a.a.• Carteira não paga dividendos ou

dividendos são reinvestidos

Delta

258,01742,0165,0

65,0425,0

4.225,005,0100

100ln2

1

N

d


• Valor a ser investido em títulos livres de risco = . S = 0,258x100 = $25,8 milhões

• Valor da carteira a ser mantido em ações = $100 - $25,8 = $74,2 milhões


A. Valor atual da carteira - Ações 100,000,000B. Valor atual da carteira - Títulos livre de riscos 0C. Queda no valor (A x 20%) -20,000,000D. Delta da Put -0.258E. Aumento no valor Put (C x D) 5,156,921F. Variação Total da carteira (C + E) -14,843,079

Valor Total da Carteira (A + B + F) 85,156,921

A. Valor atual da carteira - Ações 74,215,396B. Valor atual da carteira - Títulos livre de riscos 25,784,604C. Queda no valor (A x 20%) -14,843,079D. Queda/Aumento Títulos livre de riscos 0E. Variação da carteira (C + D) -14,843,079

Valor Total da Carteira (A + B + F) 85,156,921

Carteira e Protective Put Sintética

Carteira e Protective Put existente no Mercado


(volatiliade) 0.25r (anual) 0.05T (em anos) 3.996X 100So 85.16d1 0.328d2 -0.172N(d1) 0.629N(d2) 0.432Valor Call 18.16Valor Put 14.90

Parâmetros(volatiliade) 0.25r (anual) 0.05T (em anos) 4X 100So 100d1 0.650d2 0.150N(d1) 0.742N(d2) 0.560Valor Call 28.40Valor Put 10.27

Parâmetros

Valor atual da carteira 100,000,000Delta da Put -0.258

Ações 74,215,396 Títulos livre de riscos 25,784,604

Carteira e Protective Put SintéticaValor atual da carteira 85,156,921Delta da Put -0.371

Ações 53,530,320 Títulos livre de riscos 31,626,601

Carteira e Protective Put Sintética

Data D-1 Data D

O que acontece se todo mercado utilizar o delta-hedging?

Protective Put Sintética - Exemplo II

1.BSf

rBSufu 1

rBSdfd 1

61,0;65,1.;.%5;4

100;100;0;

d u aar T

X S SXMáxPutf

• Suponhamos que daqui a 4 anos o valor da carteira pode aumentar 65% ou cair 39%. Qual o valor de uma Put lançada sobre a carteira?

Protective Put Sintética - Exemplo II

22,131.72,50375,0.1001..100 Bf

0.22,1.165 B39.22,1.61 B 72,50

375,0

B

1..100 Bf

405,01.65,1.1000;65,1.100100 BMáx

405,01.61,0.10061,0.100100 BMáx

10,27Put e -0,258 : Scholes& Black

Estabelecendo a Proteção

10050,3750,6222,1372,50375,01100

11

SS

B-S.-B Sou Put-BSSBS.SPutS

: SCarteira a Put a ndoAcrescentaBS.PutCarteira da ValorS

Ações Bonds

Opções - Referências

• Essentials of Investments; Bodie, Kane and Marcus, 3rd ed.

• Options, Futures, and Other Derivatives; Hull, 4th ed.

• Paul Wilmott on Quantitative Finance; Wilmott, 1st ed.

• Real Options; Antikarov and Copeland, 1st ed.

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