11

OrigemOrigem FFíísicasica e e MatemMatemááticaticadasdas EstruturasEstruturas GeomGeoméétricastricas

FractaisFractais

ObjetivoObjetivo::ApresentarApresentar a a origemorigem dos dos fractaisfractais nanaMatemMatemááticatica nana FFíísicasica e e nana NaturezaNatureza

22

Indices de Indices de AssuntosAssuntos• Mecânica

- 1a, 2a, e 3a Leis de Newton• Mecânica do Continuo

- Equação de Movimento e Relações Contituivas- Diagramas Tensào X Deformação- Espaço dual e Grandezas Complementares

• Termodinâmica- 1a, 2a, 3a Leis- Teorema de Euler- Equação de Euler- Equação de Gibbs-Duheim- Funções e Potenciais Termodinâmicos

• Mecânica Estatistica- Leis da Mecânica das Partículas- Peso Estatistico- Espaço de Fase e Fractais- Contagem de Estados- Relação de Boltzmman- Contagem de Gibbs- Transformada de Laplace das Funções e Potenciais Termodinâmicos- MultiFractais

• A Fisica dos Fractais e a Teoria da Dissipação- Função de Dissipação- Padrões Geométricos formados em Fenômenos Dissipativos- Fractais Geométricos, Dinâmicos, e Termodinâmicos

• Teoria Fractal- Caracterização Fractal

• Proposta da Modelagem Fractal Ossea

33

MECÂNICA CLMECÂNICA CLÁÁSSICASSICA

• 1a Lei de Newton

• 2a Lei de Newton

• 3a Lei de Newton

1

N

i ii

p mv p m v

1

Ni

i

dpdpF Fdt dt

açao reaçãoF F

Mecânica das Partículas (Discreto)

44

MECÂNICA DO MECÂNICA DO CONTCONTííNUONUO

• Equação• de Movimento

• Leis Constitutivas : Sólido e Fluido

.d v

f Pdt

.v v

Mecânica dos Sólidos e Fluidos

55

DiagramasDiagramas de de TensãoTensão DeformaDeformaççãoão

• Comportamento:Elástico (Lei de Hooke), Plástico e Viscoso

66

EspaEspaççoo Dual e Dual e GrandezasGrandezasComplementaresComplementares

• Tensao X Deformação

Deformação X Tensão

1 12 2

U E

1 1 ????2 2

77

TERMODINÂMICATERMODINÂMICA

• 1a Lei: Balanço de Energia

• 2a Lei: Entropia

• 3a Lei: CalorEspecífico

Q W dU

0 0TotalQ dS

T

0lim 0T

dQdT

88

GrandezasGrandezas TermodinâmicasTermodinâmicas• Extensivas: dependem do

tamanho ou extensão do sistema

• Ex: Energia, Entropia, Numero de Partículas

• Intensivas:• Não dependem do

tamanho ou extensão do sistema

• Ex: Temperatura, Pressão, PotencialQuímico

, , ,U S V N

, ,T P

99

TeoremaTeorema de Euler de Euler parapara as as FunFunççõesõesHomogêneasHomogêneas emem EscalaEscala

1

nn

k kk k

FF X XX

1

n

k kk k

FdF X dXX

~ ;k x

F F dM M dU UX X dV V dV V

o o

o o

L ll L

ol

oL

Condição de Homogeneidade

1010

EquaEquaççãoão de Euler de Euler e e

EquaEquaççãoão GibbsGibbs--DuheimDuheim

1( , , ) PS U V N U V NT T T

( , , )U S V N TS PV N

0SdT VdP Nd

• Formalismo daEnergia

• Formalismo daEntropia

• Equação de Gibbs-Duheim

1111

EspaEspaççoo Dual e Dual e GrandezasGrandezasComplementaresComplementares

• Formalismo daEnergia

• Formalismo daEnergia

F U TS UST

1212

MotivaMotivaççãoão parapara o o SurgimentoSurgimentodos dos PotenciaisPotenciais TermodinâmicosTermodinâmicos

• Ciclo de Carnot:Maximização daEficiência – DuasIsotermas e Duas

Adiabáticas no Diagrama PV

Maximização do Trabalho

Energia Útil

1313

PotenciaisPotenciais TermodinâmicosTermodinâmicosouou

EnergiasEnergias LivresLivres de:de:

G U TS PV N

F U TS PV N

H U PV TS N

• Helmholtz

• Entalpia

• Gibbs

G H TS

1414

TransformadaTransformada de de LegendreLegendre

Descreve os Fenômenos utilizando as derivadas das Funçõe Extensivas

o que equivale as

Grandezas Intensivas

;U US T V PS V

1515

GrandezasGrandezas UteisUteis nana DescriDescriççãoão de de ProcessosProcessos TermodinâmicosTermodinâmicos

U UG U S VS V

UF U SS

UH U VV

• Helmholtz: ProcessoIsotérmico

• Entalpia: ProcessoIsobárico

• Gibbs: Isotérmico e Isobárico – Mudançasde Estado

1616

MECÂNICA ESTATMECÂNICA ESTATÍÍSTICASTICA

1

115 23~ 10 10

N

i iiN

i

i

p mv p m v

dpdpF Fdt dt

N particulas

1717

MecânicaMecânica dasdas ParticulasParticulasXX

TermodinâmicaTermodinâmicaComo relacionar as Grandezas Termodinâmicas com as

Leis Fundamentais da Mecânica das Particulas?

Discreto X Contínuo

1818

Micro e o Macro CosmoMicro e o Macro Cosmo

• Densidade de Estados X Entropia

1919

EntropiaEntropia X X DensidadeDensidade de de EstadosEstados

• Relação de Boltzmann-Planck

2020

MicroscMicroscóópicopico parapara MacroscMacroscóópicopico

• Termodinâmica : Transformada de Legendre

• Mecânica EstatisticaTransformada de Laplace

UF U SS

UH U VV

/E KTp e/ /F KT E KTZ e ou U Ee d

lnS k Z

2121

EspaEspaççoo de de FaseFase• Uma Partícula • Sistema de Partículas

2222

EspaEspaççoo de de FaseFase• Uma particula • Sistema de Partículas

2323

FractaisFractais MatemMatemááticosticosnono

EspaEspaççoo dasdas FasesFases

2424

DefiniDefiniçção de Fractaisão de Fractais

• FRACTAIS: são objetos geométricos auto-invariantes por transformação de escala que possuem dimensão fracionária

• Invariância por Transformação de Escala - (partes semelhantes ao todo). = lo/Lo (fator de escala) que pode ser por:

AUTO-SIMILARIDADE ou AUTO-AFINIDADE.(Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca)

• A Extensão do Objeto, Md, depende do tamanho da régua de medida utilizada, Lo, isto é,

Md() = Mdod-D se D = d Md() = Mdo.

2525

Invariância por TransformaInvariância por Transformaçção de ão de EscalaEscala

Def: Partes Semelhantes ao Todo

• Exemplo: Pinus

Outros Exemplos:Nuvens, Trincas, Cristais

de Gelo, Rochas,Rios, Cidades, etc(Niveis Hierárquicos de

Estruturas)

2626

EstruturaEstrutura FractalFractal

Caracteristicas:•Apresenta vazios na Estrutura• Dimensão Fracionária• Invariância por Transformação de Escala

2727

ComparaComparaççãoão entreentre GeometriasGeometrias• Euclidiana de Formas Regular • Fractal de Formas Irregulares

2828

DimensõesDimensões de de ExcessoExcesso e de e de FaltaFalta

• Excede a um Ponto mas não é uma Reta• Excede a uma Reta mas não é um Plano• Excede a um Plano mas não é um Sólido

( 1)faltaD D d excessoD D d

1d D d

Perspectivas de Visualização

2929

Para que servem na PrPara que servem na Práática?tica?

• Servem para se Descrever Matematicamente Estruturas Irregulares, que a Geometria Euclidiana dos Elementos Básicos: Ponto, Reta, Plano e Espaço não écapaz

Geometria Regular Geometria Irregular

Modelagem Geométrica

3030

FenômenosFenômenos FractaisFractais

3131

RelaRelaççõeõe MatemMatemááticasticas FractaisFractais

• Tudo sai da Modelagem Geométrica daEstrutura Fractal

q

q

p e

q e

q f q

•Probabilidadelocal ou peso estatístico

•Função de Partição

•Expoente de Massa Fractal

3232

RelaRelaççãoão FractaisFractais e e TermodinâmicaTermodinâmica

• TermodinâmicaFractal

• TermodinâmicaClássica

• Funções GeométricasFractais

• Funções e PotenciaisTermodinâmicas

3333

PadrõesPadrões de de DissipaDissipaççãoãoEncontradosEncontrados nana NaturezaNatureza

Geometrias Otimizadaspara os Processos de Dissipação

3434

FractaisFractais NaturaisNaturais

3535

ConclusãoConclusão• Visto que há uma relação direta entre as

Grandezas Fractais e os PotenciasTermodinâmicos.

• Portanto, a modelagem e a caracterizaçãogeométrica fractal podem fornecem informaçõesimportantes a serem utilizados nos modelos de Remodelação Óssea, Osseointegração, FraturaÓssea, etc.

• Todas as grandezas Extensivas e Intensivasque dependem da geometria Óssea podemutilizar a relação de Volume Ósseo nosModelos

• Fenômenos de Evolução DInâmica podemutilizar a Derivada do Volume no tempo

3636

AgradecimentosAgradecimentos

Muito Obrigado a Todos!

Vamos Trabalhar e Trabalhar

Medir, Calcular, Modelar para

para

PublicarTem muito pano para Manga

3737

ReferênciasReferências BibliogrBibliográáficasficas