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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA
PRODUÇÃO DIDÁTICA PEDAGÓGIGA
Titulo: O software GeoGebra aplicado ao estudo dos Triângulos.
Autor Rita de Cassia Albônico de Bovi
Escola de Implementação Colégio Estadual Nestor Victor dos Santos
Município da Escola São Miguel do Iguaçu
Núcleo Regional de Educação Foz do Iguaçu
Orientador Marcos Lübeck
Instituição de Ensino Superior UNIOESTE – Foz do Iguaçu
Disciplina/Área Matemática
Produção Didático-Pedagógica Unidade Didático Pedagógica
Relação Interdisciplinar Língua Portuguesa
Público Alvo 8º Ano
Resumo O trabalho que ora apresento como Projeto de Intervenção Pedagógica vem de encontro à angústia de muitos professores da área de Matemática, que buscam incansavelmente novas metodologias para o ensino dessa disciplina que, na maioria das vezes, é vista como difícil e inacessível por muitos de nossos alunos. Assim, o referido projeto se reportará ao uso das tecnologias no Ensino Fundamental, onde o software GeoGebra ocupará um papel de mediador para tornar o estudo dos triângulos no 8º ano algo atraente, promovendo também a integração do estudante com as Tecnologias da Informática aplicadas à Educação Matemática. Ressalto que o uso do software GeoGebra permite trabalhar a Geometria de forma dinâmica e visual, já que o mesmo possibilita o movimento das mais variadas formas geométricas, facilitando a compreensão dos educandos, levando-os ao interesse pelo assunto, e ainda, tornando as aulas mais atrativas e com possibilidade de atingir a maioria dos objetivos propostos de ensino e de aprendizagem.
Palavra chave
Software GeoGebra, tecnologias, triângulos e geometria.
1. APRESENTAÇÃO
Esta produção didático-pedagógica se caracteriza como uma Unidade
Didática, que faz parte do PDE (Programa de Desenvolvimento Educacional),
direcionada ao estudo dos Triângulos, através do uso do software GeoGebra,
destacando a necessidade da inserção de tecnologias para a construção do
pensamento matemático dos alunos do Ensino Fundamental Fase II.
Apresenta um encaminhamento metodológico através da resolução de
exercícios e aplicação em situações problemas.
O presente material didático-pedagógico é parte de um plano de
trabalho que tem por objetivo principal mediar a compreensão do estudo
dos Triângulos com todos os seus elementos e classif icações
util izando o software GeoGebra, buscando uma nova aprendizagem
baseando-se no conhecimento e na compreensão que os alunos já possuem.
O material produzido será desenvolvido com os alunos do 8º Ano do
Ensino Fundamental Fase II do Colégio Estadual Nestor Victor dos
Santos – Ensino Fundamental e Ensino Médio, situado no município de
São Miguel do Iguaçu – Paraná, Núcleo Regional de Foz do Iguaçu.
Pretende-se com este trabalho auxiliar o educando quanto a
visualização dos triângulos, generalizando e representando o fazer matemático
de forma que permita a construção, confrontando a teoria e a prática, inseridas
nos conteúdos pertinentes ao 8º ano, bem como integrar a Matemática ao
mundo atual, discutindo e analisando os problemas que envolvam a Geometria,
recuperando o lúdico na Matemática através do uso de software, despertando a
curiosidade do aluno, proporcionando deste modo o aumento da sua
criatividade e da sua produtividade com o uso das tecnologias dentro da
disciplina de Matemática.
Para a aplicação e desenvolvimento desta unidade didática foram
previstos 10momentos em sala de aula e no laboratório de informática no
horário normal das aulas. Ao todo serão realizadas 32 horas de atividades
com os alunos a serem aplicadas no 1º semestre de 2014.
2. REVISÃO TEÓRICA
Durante as duas últimas décadas o governo do Estado do Paraná vem
investindo em tecnologias para a Educação Básica, como: computadores (Paraná
Digital), TV pendrive; acesso a internet, equipamentos multimídias como data
show, e agora com Tablets para professores do Ensino Médio, fazendo com que
os professores busquem uma nova forma de fazer e ensinar a Matemática.
Conforme as Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica
do Paraná:
A aprendizagem de Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios. (PARANÁ, 2008, p.45).
Todo esse incentivo é de grande valia, mas tem levantado diversas
questões. Dentre elas a preocupação com as novas metodologias implementadas
em sala de aula, ao novo papel do professor, dos alunos, do conhecimento e
principalmente do bom uso do computador em sala de aula.
E pensando no novo papel do professor no uso das tecnologias conclui-se
que este deverá criar situações de aprendizagem, desafiar e apoiar o educando,
diversificando as metodologias, para que não se crie expectativa referente ao uso
desses recursos e ao mesmo tempo, a insegurança ou resistência em alterar a
prática de ensino, pois nesse novo contexto o professor é desafiado a rever e
ampliar seus conhecimentos a fim de enfrentar as novas situações, haja vista que
muitos professores não têm conhecimento de informática e o óbvio é que se
invista também na formação do profissional, além do que, ele próprio busque esse
conhecimento. Ora, as tecnologias estão presentes no cotidiano de nossos alunos
e quanto mais próximos à eles estivermos, melhor será o relacionamento e o
processo de ensino-aprendizagem.
Sobre as mídias educativas, Paraíso (2007) diz que:
[...] a mídia educativa faz acreditar na possibilidade de práticas bem sucedidas (independentemente do lugar onde o docente esteja e trabalhe). Faz sonhar com uma escola boa e de qualidade. Faz acreditar que as mudanças dependem apenas de atitudes “emocionais e profissionais” dos professores. (p.169-170).
Essa mudança de atitude é que muitas vezes esbarra na resistência ao uso
das novas tecnologias e na falta de espaço adequado para atividades
pedagógicas com essas tecnologias, pois vemos que nas escolas públicas,
primeiro não foram planejadas de forma a receber a projetos de informática e
ambientes para uso de Televisão e outras tecnologias. Os poucos espaços que
“sobram” são utilizados em Sala de Apoio ou outros projetos da escola; o segundo
problema é a falta de manutenção nos equipamentos, geralmente falta de pessoal
capacitado; e mediante esses problemas, a maioria dos professores se acomoda
e continua somente com o uso do quadro e giz.
Sobre isso, Ponte, Oliveira e Varandas (2003) dizem que:
O trabalho com as novas tecnologias envolve muitos imprevistos de ordem técnica (computadores avariados, problemas com o servidor local, problemas de rede e de comunicação com o exterior). Esses problemas, por vezes, perturbaram o desenvolvimento das aulas, obrigando a alterar o que estava previsto. (p. 173).
Nas salas de aula do Ensino Fundamental fase II, nos deparamos com
alunos que apresentam diferentes capacidades em conhecimento, em cultura e
diferentes níveis de interesse e, além disso, muitos alunos com déficit de
aprendizagem. Portanto, a utilização de recursos de informática pode e deve ser
um recurso didático a ser utilizado pelos professores em suas aulas, permitindo o
planejamento de situações didáticas para auxiliar o aluno a superar suas
dificuldades, sejam em termos de conhecimento ou de aprendizagem.
Sobre o uso de tecnologias e novas metodologias, Moran (2011) diz que
“aos poucos, a sala de aula irá se tornar um lugar de começo e de finalização de
atividade de ensino-aprendizagem, intercalado com outros tempos, em que
frequentaremos outros ambientes” (p. 94). Assim, as tecnologias são o meio para
tornar o professor um mediador da aprendizagem.
A utilização de novas tecnologias na educação requer uma mudança nas
metodologias tradicionais, pois não basta o uso de novas tecnologias, o professor
precisa dar sentido a esse uso, auxiliando na produção do conhecimento do
aluno, de forma participativa, auxiliando e incentivando a criatividade. Isso exige
do professor uma reformulação de suas práticas e estratégias levando a inclusão
de ferramentas, tornando-as aliadas importantes para uma real aprendizagem.
Conforme Moran (2011):
O domínio pedagógico das tecnologias na escola é complexo e demorado. Os educadores costumam começar utilizando-as para melhorar o desempenho dentro dos padrões existentes. Mais tarde, animam-se a realizar algumas mudanças pontuais e, só depois de alguns anos, é que educadores e instituições são capazes de propor inovações, mudanças mais profundas em relação ao que vinham fazendo até então. Há um tempo grande entre conhecer, utilizar e modificar processos. (p. 90).
Ainda sobre o uso das tecnologias na educação, as Diretrizes Curriculares
para a Educação Básica do Estado do Paraná (2006), indicam um caminho para o
ensino da Matemática, e nesse sentido ressaltam que “[...] o trabalho com as
mídias tecnológicas insere diversas formas de ensinar e aprender e valoriza o
processo de produção de conhecimento” (p. 38). O professor deve conhecer as
possibilidades e dominar os recursos computacionais existentes, sendo que cabe
a ele atualizar-se delas para contribuir com o processo educacional. Assim, nesse
contexto, o professor é indispensável, pois se torna o orientador do processo de
aprendizagem.
Por isso, Miskulin (2003) diz que:
Acreditamos que é possível à escola renovar-se. Para tanto, cumpre existirem mecanismos de sua integração às novas produções e necessidades sociais, condição de sua eficiência para a promoção e a inserção plena dos alunos aos setores sociais produtivos. (p. 221).
A tecnologia é um recurso para o professor motivar suas aulas, e além
disso, propiciar ao educando uma nova forma de gerar e disseminar o
conhecimento através de uma formação que vem ao encontro com os anseios da
sociedade.
Sobre o uso das tecnologias, Borba e Penteado (2003) dizem que “é
preciso trabalhar com projetos – recomendam os orientadores pedagógicas que
constantemente, enviam para as escolas sugestões de temas a serem
desenvolvidos” (p. 22). Sendo que para desenvolver esses projetos um recurso
fundamental é a informática, desde a pesquisa até as apresentações em data
show, além é claro do uso de softwares gratuitos disponíveis na rede.
Proporcionar o conhecimento das tecnologias aos nossos educandos, não
os auxiliam somente na aprendizagem escolar, mas posteriormente, no mercado
de trabalho. Logicamente que o educador deve enfatizar o uso dessa ferramenta
para seu objetivo educacional.
Conforme D’Avila (2003):
[...] o processo de ensino e de aprendizagem neste novo ambiente de comunicação, que surge com a interconexão mundial de computadores, exige uma nova concepção de ensino e de aprendizagem baseada na pedagogia construtivista/piagetiana, dialógica/paulofreriana, dialética, em que professor e aluno aprendem ao mesmo tempo, havendo uma relação de cumplicidade no processo de ensino aprendizagem. (p. 273).
O avanço tecnológico e cultural exige um novo paradigma educacional que
está centrado no respeito aos diferentes saberes, à diversidade étnica, cultural e
ideológica, sendo necessário que o educador se aproprie de tais conhecimentos e
busque meios e adquira experiência com as novas tecnologias, para
posteriormente fazer um bom uso das mesmas.
O trabalho com Geometria em nossas escolas por muitos anos ficou
esquecido ou foi deixado para o final do ano letivo, e talvez esteja aí a grande
dificuldade de muitos dos nossos educandos para com este ramo da Matemática,
o que faz com que normalmente não saibam distinguir um quadrado de um cubo,
ocorrendo o mesmo com outros polígonos e poliedros.
Segundo Toledo (1997):
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no Ensino Fundamental, porque, através deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. (p. 221).
É relevante essa visão já que a Geometria está presente em nosso
cotidiano, seja na natureza ou em obras construídas pelo homem.
Para Nasser e Tinoco (2006) a Geometria deve ser ensinada de forma
dinâmica, tal que, “na era da imagem e do conhecimento, a geometria não pode
continuar a ser ensinada de forma estática, seguindo o estilo introduzido por
Euclides” (p. 8). Para esses autores, a manipulação dos objetos geométricos
auxilia na formação de uma imagem mais completa de certos conceitos, além é
claro do uso do computador e de softwares como ferramentas para o ensino da
Geometria.
Um software que deveria ser mais usado pelos professores de Matemática
é o GeoGebra, que é um programa de geometria dinâmica para ser usado em
sala de aula. Com ele podemos fazer diversas construções como retas, pontos,
polígonos e mudá-los dinamicamente depois. Esse programa possibilita seu uso
sem precisar ter o conhecimento de todas suas ferramentas.
Segundo Miskulin (2003):
As novas tecnologias geram o maior uso da informática e da automação nos meios de produção e serviços, implicando em novas atitudes dos seres humanos, consequentemente, a função da Educação e da escola deve mudar, proporcionando formação integral do sujeito, crítica, consciente e voltada à liberdade. (p. 221).
Isso torna de suma importância a compreensão e orientação da inserção
das tecnologias no interior da escola, especialmente “no sentido de proporcionar
aos indivíduos o desenvolvimento de uma Inteligência crítica, mais livre e
criadora” (MISKULIN, 2003, p. 219).
O GeoGebra é um software livre de geometria dinâmica criado por Markus
Hahenwater em 2001 na Universidade de Salzburg para ser utilizado em
ambientes de sala de aula. Este programa foi criado com o objetivo de ser um
instrumento de trabalho adequado ao ensino da Matemática combinando
processos algébricos e geométricos. Com ele se pode criar pontos, vetores,
segmentos, retas, secções cónicas bem como funções de forma gráfica ou
algébrica e alterá-los dinamicamente. Possui a vantagem didática de apresentar,
ao mesmo tempo, os dois tipos de representações de um mesmo objeto
(geométrica e algébrica), de forma interligada, permitindo reforçar os conceitos e
propriedades que o aluno tem mais dificuldades de visualizar. Este software reúne
recurso de geometria, álgebra e cálculo. Mas para uma boa utilização do
software, é necessário que o professor estude essa ferramenta para trabalhar
com ela de forma eficaz.
Referente as características do GeoGebra, o seu idealizador diz que “a
característica mais destacável do GeoGebra é a percepção dupla dos objetos:
cada expressão na janela de Álgebra corresponde a um objeto na Zona de
Gráficos e vice-versa” (HOHENWARTER, 2007), tornando assim o software
interessante e um auxiliar de peso no processo de ensino-aprendizagem.
Com o software GeoGebra a linguagem científica da Matemática pode
fazer maior sentido para o aluno, já que as explicações utilizando o quadro negro
se tornam por demais abstratas, muitas vezes dificultando a compreensão e,
consequentemente, a aprendizagem do educando.
Com o auxilio do GeoGebra, além de uma ilustração, o aluno passa a ter
um recurso para indicar a construção das propriedades geométricas. A utilização
desse programa traz grandes benefícios quanto ao entendimento de elementos
matemáticos, das formas e figuras. Portanto, espera-se que o uso do computador
no ambiente escolar, ultrapasse o “treino” para a manipulação dessas ferramentas
e procure atingir metas consistentes, com visão crítica para inovar, criar projetos,
onde o professor seja um mediador do conhecimento do aluno, e este, um ser
ativo, sujeito do seu conhecimento. E que isso ocorra apoiando-se em
metodologias de ensino de boa qualidade.
3. ATIVIDADES DIDÁTICAS
1º MOMENTO – EXPOSIÇÃO DO TRABALHO
OBJETIVO: Levar ao conhecimento dos professores, direção, equipe pedagógica,
funcionários e alunos do 8º ano, o projeto que será implementado durante 32
horas aulas.
TEMPO ESTIMADO: 4 aulas
ESPAÇO: Auditório, sala de aula e laboratório de Informática
DESENVOLVIMENTO: explanação do projeto de intervenção pedagógica e da
produção didática na forma de Unidade Didática para a Direção, Equipe
Pedagógica, Professores e demais funcionários do Colégio Estadual Nestor Victor
dos Santos durante a Semana Pedagógica de fevereiro de 2014 e no início do
ano letivo para os alunos dos 8ºs anos do período da manhã. Esta apresentação
será composta dos objetivos, justificativa do tema, a metodologia que será
aplicada e de alguns exemplos das atividades que serão realizadas.
2º MOMENTO - APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA
OBJETIVO: Apresentar o software GeoGebra que será a ferramenta utilizada
durante as aulas no estudo dos triângulos.
TEMPO ESTIMADO: 4 horas aula.
ESPAÇO: Laboratório de Informática.
DESENVOLVIMENTO: Verificar quantos alunos têm o conhecimento de
informática para poder realizar a divisão da turma em duplas, a fim de que no
laboratório possam realizar as atividades propostas. Acessar o software
GeoGebra nos computadores do Paraná Digital, observando a tela inicial e
explorando cada ícone afim de entender para que serão utilizados, como por
exemplo:
Ao clicar em Exibir, a opção Eixo está ativada, por isso aparecem os
eixos cartesianos na janela Geométrica. Para retirá-los basta desmarcar
essa opção. Se desejar que a janela geométrica fique quadriculada,
selecione Malha. Essas alterações podem ser feitas também clicando com o
botão direito do mouse sobre a janela geométrica. Isso faz abrir uma caixa
com algumas opções.
Nos itens abaixo, vemos algumas das opções encontradas na
barra de botões:
Em todos os botões aparece uma seta no canto inferior direito. Esta,
ao ser clicada, permite visualizar as opções existentes. Por exemplo:
Clicando na seta do botão , visualizamos as seguintes opções:
Assim em cada botão veremos todas as possibilidades que temos neles
para realizarmos nossas tarefas.
3º MOMENTO - UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE EM ATIVIDADES1.
OBJETIVO: Conhecer os ícones da tela inicial, realizando atividades.
TEMPO ESTIMADO: 3 aulas
ESPAÇO: Laboratório de Informática.
DESENVOLVIMENTO: Relembrando a explanação das aulas anteriores,
realizaremos atividades direcionadas para a utilização do software, como:
a. Crie dois pontos livres.
b. Construa um segmento de reta com extremidades nos pontos criados no
item anterior.
c. Apague o segmento construído, inclusive as extremidades (para apagar um
objeto, clique sobre ele com o botão direito do mouse e, a seguir, clique em
Apagar ou use a ferramenta , na barra de botões).
d. Usando apenas a ferramenta , construa um outro segmento de reta.
e. Marque o ponto médio do segmento construído no item anterior.
f. Movimente uma das extremidades do segmento. Observe a janela geométrica
e a janela algébrica.
g. Clique sobre o segmento com o botão direito do mouse, a seguir
clique em Propriedades e mude a cor e a “espessura” da linha.
h. Construa a circunferência que passa pelas extremidades do segmento.
i. Renomeie as extremidades do segmento (clique sobre cada extremidade do
segmento, com o botão direito do mouse e, no menu que abrirá, clique em
Renomear. Na janela que aparecerá, digite o novo nome do ponto e clique em
Aplicar).
1O 3º, 4º, 5º e 7º momentos apresentam atividades retiradas de Barcelos e Batista (2009).
j. Trace uma reta paralela ao segmento.
k. Esconda o segmento (na janela algébrica, clique sobre o nome do
segmento com o botão direito do mouse e, então, desative a opção exibir
objeto). A seguir exiba-o novamente (repita o procedimento anterior, porém,
ativando a opção exibir objeto). Também é possível esconder objetos
clicando, com o botão direito do mouse, sobre o segmento, na janela
geométrica
l. Selecione um arquivo novo, sem salvar as alterações feitas (a menos
que deseje).
m. Selecione a ferramenta Polígono. Construa alguns polígonos, estando
a janela geométrica com os eixos cartesianos e malha quadriculada. A seguir,
retire os eixos cartesianos e a malha, da janela geométrica.
n. Solicite uma nova janela, para tanto, clique em Arquivo, e a seguir, em
Nova janela.
o. Selecione a ferramenta Polígono regular e construa um octógono
regular.
4º MOMENTO - CONSTRUÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS:
OBJETIVO: Construir as diversas figuras geométricas planas utilizando o
software.
TEMPO ESTIMADO: 3 aulas
ESPAÇO: Laboratório de Informática.
DESENVOLVIMENTO: No laboratório de informática, em duplas realizar
atividades de construção de figuras planas.
Atividade 1
a. Abra um arquivo novo.
b. Construa uma circunferência utilizando a ferramenta .
c. Construa uma circunferência utilizando a ferramenta .
d. Movimente os dois círculos, pelo centro. Descreva a diferença você
observou entre as duas opções.
e. Copie o que está na janela geométrica e cole em um arquivo de um editor
de texto (para copiar, clique em Arquivo, no alto da tela, selecione Exportar e,
então, clique em Copiar para área de transferência).
Atividade 2
Abra um arquivo novo.
a. Construa um quadrado ABCD, sem utilizar a ferramenta polígono regular,
que possa ser movimentado pela tela sem perder suas propriedades.
b. Marque os ângulos internos do quadrado.
c. Mostre, na janela geométrica, a medida dos lados do quadrado (clique
sobre um lado qualquer do quadrado, com o botão direito do mouse; no
menu que abrirá clique em Propriedades; na janela que aparecerá,
selecione todos os segmentos, com o botão control do teclado apertado;
em exibir rótulo, selecione Nome & Valor e clique em Fechar).
d. Movimente um dos vértices e confira sua construção, observando as
medidas dos ângulos e dos lados.
e. No menu, no alto da tela, clique em Exibir e, a seguir, clique em
Protocolo de construção. Reveja a sequência de passos de sua
construção. Ao terminar, feche essa janela.
Atividade 3
a. Abra um arquivo novo.
b. Construa um triângulo retângulo ABC que possa ser movimentado pela tela
sem perder suas propriedades.
c. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas.
d. Movimente um dos vértices e confira sua construção.
e. Salve a construção feita (esta será utilizada na atividade 6).
5º MOMENTO - CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS
OBJETIVO: Construir triângulos com o software GeoGebra a fim de observar os
lados e ângulos de cada um.
TEMPO ESTIMADO: 3 aulas.
ESPAÇO: Laboratório de Informática.
DESENVOLVIMETO: Relembrar a classificação dos triângulos quanto aos lados,
depois construir triângulos conforme as atividades a seguir:
Atividade 1
a. Abra um arquivo novo.
b. Construa um triângulo isósceles ABC que possa ser movimentado pela
tela sem perder suas propriedades.
c. Observe as medidas dos lados do triângulo, na janela algébrica. Movimente
um dos vértices e confira sua construção.
d. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas.
e. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você observou
quanto à medida dos ângulos da base.
Atividade 2
a. Abra um arquivo novo.
b. Construa um triângulo equilátero ABC, sem utilizar a ferramenta polígono
regular, que possa ser movimentado pela tela sem perder suas propriedades.
c. Observe as medidas dos lados do triângulo, na janela algébrica.
Movimente um dos vértices e confira sua construção.
d. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas.
e. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você
observou quanto à medida dos ângulos internos.
Atividade 3
a. Abra o arquivo que contém o triângulo retângulo.
b. Trace a mediana relativa a hipotenusa. Mostre na janela geométrica à
medida dessa mediana e da hipotenusa.
c. Compare as medidas indicadas no item b.
d. Movimente um dos vértices e compare novamente a medida da
mediana relativa à hipotenusa com a medida da hipotenusa.
e. Enuncie com suas palavras a propriedade que você observou.
6º MOMENTO – ÂNGULOS INTERNOS DO TRIÂNGULO2
OBJETIVO: Mostrar aos alunos que a soma dos ângulos internos de qualquer
triângulo é sempre 180°. Levar os alunos a explorar figuras poligonais através da
visualização e construção no software GeoGebra, para a verificação dos ângulos
internos do triângulo.
TEMPO ESTIMADO: 3 aulas.
ESPAÇO: Laboratório de Informática.
DESENVOLVIMETO: Conversação com os alunos, passando as informações
gerais sobre a atividade, explicando que para que os objetivos sejam atingidos
será necessário que todos caminhem juntos, ou seja, realizem a atividade “passo
a passo”, para que concluam juntos. O aluno que tiver mais conhecimento em
informática deverá auxiliar o colega para que todos entendam os comandos do
programa. Relembrar com os alunos:
Triângulo é um polígono que possui três lados, três ângulos internos e três
ângulos externos.
Quanto às medidas dos ângulos internos temos:
2 O 6º Momento apresenta atividades retiradas do Portal Dia a Dia Educação da SEED.
Triângulo acutângulo: todos os ângulos internos são agudos, isto é, as
medidas dos ângulos são menores do que 90°.
Triângulo obtusângulo: um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um
ângulo com medida maior do que 90°.
Atividade 1: Soma dos ângulos internos de um triângulo.
a) Construir um triângulo equilátero;
b) Obtenha os seus ângulos internos;
c) Construir um triângulo retângulo;
d) Marcar os seus ângulos internos;
e) Construir um triângulo qualquer;
f) Marcar os seus ângulos internos;
g) Movimente um dos vértices do triângulo criado na letra e do exercício e
verifique o que acontece com seus ângulos.
Observação: a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre
180°.
Atividade 2
a. Crie três pontos na tela do GeoGebra.
b. Com a ferramenta polígonos crie um polígono com vértices nos pontos já
criados.
c. Com a ferramenta ângulo meça os ângulos internos formados nessa figura.
d. Some os ângulos internos da figura. E anote o resultado dessa soma.
e. Construa outros triângulos na tela do GeoGebra e some seus ângulos
internos.
f. O que você observa quando compara as somas dos ângulos internos dos
triângulos? Sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo, a que
conclusão pode-se chegar?
Atividade 3
Determine o perímetro e a área dos triângulos construídos anteriormente
utilizando as ferramentas cm e cm² e compare os resultados.
7º MOMENTO - CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS
OBJETIVO: Fixar os conceitos de mediatriz, ponto médio, razão, bem como
classificá-los quanto aos ângulos.
TEMPO ESTIMADO: 3 aulas.
ESPAÇO: Laboratório de Informática.
DESENVOLVIMETO: através do uso do software trabalhar os conceitos de
mediatriz, ponto médio de um segmento e razão, posteriormente aplicar esses
conceitos nos triângulos realizando a análise dos ângulos para poder classificá-
los.
Atividade 1
a. Abra um arquivo novo.
b. Construa um triângulo ABC.
c. Marque os pontos médios dos lados AB e AC, de modo que o ponto médio
de AB seja D, e o ponto médio de AC seja E.
d. Trace DE. Observe, na janela algébrica, a medida de DE e BC. Utilizando os
recursos do software, determine a razão entre as medidas (estando visível o
Campo de Entrada, no rodapé da tela, digite d/b, se assim estiverem
nomeados respectivamente, DE e BC e clique enter) o valor da razão
aparecerá na janela algébrica.e. Ative a ferramenta Inserir texto ( ), clique
em qualquer lugar na janela geométrica, a seguir, na janela que será aberta digite:
“DE/BC= “ + (d/b) e clique em aplicar.
f. Movimente um dos vértices do triângulo e observe a razão entre as medidas
de DE e BC. Descreva a propriedade observada.
Atividade 2
a. Abra um arquivo novo.
b. Construa um triângulo ABC.
c. Utilizando a ferramenta Mediatriz (no menu que contém Reta
Perpendicular) construa a mediatriz do lado AB e do lado AC. Marque o ponto
D, interseção das duas retas.
d. Trace a mediatriz do lado BC, movimente um dos vértices e verifique que ela
também passa por D.
e. Trace a circunferência de centro D que passa por A. Observe as posições
dos pontos B e C em relação à circunferência.
f. Movimente um dos vértices do triângulo e descreva o que foi observado
quanto ao ponto de interseção das mediatrizes.
g. Salve a construção feita.
Atividade 3
a. Abra um arquivo novo.
b. Construa um triângulo ABC.
c. Trace duas alturas desse triângulo e marque o ponto D, interseção dessas
retas.
d. Trace a terceira altura, movimente um dos vértices e verifique que ela
também passa por D (ortocentro do triângulo ABC).
e. Movimente novamente um dos vértices de forma a obter triângulos
acutângulos, obtusângulos e retângulos.
f. Relacione a posição do ortocentro com a classificação dos triângulos
quanto à medida de seus ângulos (acutângulo, obtusângulo ou retângulo).
8º MOMENTO - CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS3
OBJETIVO: Calcular as medidas dos lados, ângulos, perímetro e área; Classificar
os diferentes tipos de triângulos em relação à medida dos lados em isósceles,
equilátero e escaleno.
TEMPO ESTIMADO: 3 aulas.
ESPAÇO: Laboratório de Informática.
DESENVOLVIMETO: com as ferramentas disponíveis no software trabalhar
medidas dos lados e ângulos do triângulo bem como o perímetro e área.
Atividade 1
Construa um triângulo Escaleno. Determine: Suas medidas de lados,
perímetro, área, e ângulos.
1º PASSO: Clique na terceira caixa de ferramentas e em polígono.
2º PASSO: Clique em três pontos distintos e não colineares da tela do
GeoGebra, e mais um clique em cima do primeiro ponto. Está construído
um triângulo Escaleno.
3º PASSO: Clique na sexta caixa de ferramentas, em seguida em distância ou
comprimento, depois no ponto A em seguida em distância ou comprimento, depois
no ponto A em seguida em B. está medido o segmento AB. Repita o terceiro passo
para os segmentos BC e CA.
4º PASSO: Quanto ao perímetro. Relembrando seu conceito: “é a Soma das
medidas de todos os lados de um polígono”. Portanto, é só somar os valores
dos segmentos encontrados nos passos anteriores.
5º PASSO: Medir a área do polígono. Clique na sexta caixa de ferramentas
depois em área. Depois clique dentro do triângulo e então aparecerá o valor da
área.
3O 8º momento apresenta atividades retiradas de Ferreira (2010).
6º PASSO: Para medir os ângulos, clique na sexta caixa de ferramentas, depois
em três pontos distintos, sempre em sentido anti-horário em relação aos pontos
do polígono, sendo o ponto do centro, o ângulo a ser medido. Portanto para
medir o ângulo BÂC, clicar em B, depois em A por fim em C. Repetir o 6º passo
com os demais ângulos.
Atividade 2
Construa um triângulo dados três lados AB = 6 cm, AC = 4 cm e BC = 4,5 cm.
1º PASSO: Criar o segmento AB. Clique na terceira caixa de ferramentas, em
seguida em “segmento com dado comprimento a partir de um ponto”. Seguindo,
clique em um ponto da tela do GeoGebra, aparecerá uma caixa de diálogo
solicitando o tamanho do segmento, digite 6. Está criado o segmento AB .
2º PASSO: Crie um círculo de raio AC, centro em “A”. Clique na quinta caixa de
ferramentas, e em “círculo dado centro e raio”. Depois clique no centro do círculo
que será o ponto “A”, aparecerá uma caixa de diálogo escrita raio, digite o raio
que é a medida do segmento AC = 4 cm. Você criou o círculo “c”.
3º PASSO: Crie um círculo de raio AC, centro em “B”. Clique na quinta caixa de
ferramentas, e em “círculo dada centro e raio”. Depois clique no centro do círculo
que será o ponto “B”, aparecerá uma caixa de diálogo escrita raio, digite o raio
que é a medida do segmento BC = 4,5 cm. Você agora criou o círculo “d”.
4º PASSO: Criar a interseção entre os dois círculos. Para isso clique na segunda
caixa de ferramentas e “interseção de dois objetos”. Em seguida clique em cada
círculo, aparecerá o ponto “C” e “D”, que se tratam das interseções de “c” e “d”,
escolha um deles, “C” por exemplo.
5º PASSO: Traçar os segmentos BC e AC. Clique na terceira caixa de
ferramentas e em “segmento defino por dois pontos”, em seguida clique em “A”
depois em “D”, clique agora em “B” e em seguida em “D”.
ATIVIDADE 3 - DIFERENTES TIPOS DE TRIÂNGULOS EM RELAÇÃO À
MEDIDA DOS LADOS4
a) Movimente os vértices e responda: é possível representar um triângulo com
dois lados de medidas iguais?
b) É possível representar um triângulo com três lados de medidas iguais?
c) É possível representar um triângulo com três lados de medidas diferentes?
d) É possível representar um triângulo com os lados de medida 3, 5 e 4 cm?
e) É possível representar um triângulo com os lados de medida 3, 5 e 9 cm?
9º MOMENTO - ÂNGULOS DOS TRIÂNGULOS
OBJETIVO: Calcular a soma dos ângulos internos dos triângulos.
TEMPO ESTIMADO: 3 aulas.
ESPAÇO: Laboratório de Informática.
DESENVOLVIMETO: com as ferramentas disponíveis no software trabalhar
medidas dos ângulos do triângulo.
Atividade 1
Abra um arquivo novo. Nesta atividade, utilizaremos a Janela de Álgebra.
a. Construa um triângulo qualquer.
b. Marque os ângulos internos desse triângulo. Para isto, selecione a
ferramenta ‘Ângulo’ e clique sobre os pontos no sentido horário.
c. Clique com o cursor na caixa de comando Entrada que fica no canto inferior
esquerdo da Janela. Digite a soma α+β+γ e pressione a tecla ‘Enter’. Essas letras
encontram-se à direita desta entrada. Dê um clique na letra correspondente a um
dos ângulos e esta aparecerá na caixa de entrada.
d. Observe que na janela de álgebra aparecerá a soma δ.
e. Mova os vértices e observe os ângulos na janela algébrica.
4Esta atividade foi retirada de Assis e Bezerra(2011).
f. Salve a construção.
ATIVIDADE 2
Triângulo retângulo(I)
a. Construa um triangulo retângulo que possa ser movimentado sem perder suas
características.
b. Meça os ângulos e lados, movimente-o e observe.
c. Agora construa um quadrado sobra a hipotenusa, e um quadrado sobre cada
cateto.
d. Pinte o triangulo de rosa, e os quadrados de roxo, e meça a área dos quadrados.
e. Compare a área do quadrado maior com a soma das áreas dos quadrados dos
catetos. O que você observa?
f. Movimente o triangulo e refaça as somas. Salve a construção.
ATIVIDADE 3
Triangulo retângulo(II)
a. Construa uma circunferência pelo centro A e um de seus pontos B, e trace a reta
AB.
b. Chame de C a outra interseção da circunferência com a reta AB.
c. Marque um ponto D sobre a circunferência, diferentes dos pontos B e C
d. Faca os segmentos BD e CD.
e. Marque o ângulo CDB.
f. Movimente o ponto D sobre a circunferência.
g. Classifique o triângulo pelos seus ângulos. Você construiu o triângulo anterior da
mesma maneira? Por quê?
10º MOMENTO – Construção de triângulo
OBJETIVO: Formular atividades envolvendo triângulos.
TEMPO ESTIMADO: 3 aulas.
ESPAÇO: Laboratório de Informática.
DESENVOLVIMETO: com as ferramentas disponíveis no software e o conteúdo
de triângulos que foi trabalhado no decorrer destas aulas, cada dupla deverá
formular dois exercícios descrevendo o enunciado de forma minuciosa de modo
que os colegas entendam, em seguida trocar com outra dupla para que seja
resolvido.
4. AVALIAÇÃO
Para a aplicação desta Unidade Didática optou-se por utilizar a
metodologia da resolução de exercícios e problemas, onde serão tratadas
diversas situações que estarão direcionando para o estudo dos triângulos.
Para o estudo dos triângulos através do software GeoGebra é necessário
que os alunos tenham um conhecimento prévio de informática, para que ao
menos saibam manusear o mouse e seguir alguns comandos.
Pretende-se avaliar a participação nas atividades e o relacionamento em
duplas e com os demais colegas, incentivando a colaboração com os colegas
com maior dificuldade no uso das tecnologias, bem como fazer uso da linguagem
matemática e sua relação com a resolução das atividades propostas, de modo a
buscar caminhos para uma aprendizagem significativa e que nos próximos anos
possam aplicar o software em outros conteúdos.
Assim sendo, o professor deverá avaliar se os objetivos propostos
foram alcançados através de registros, observações contínuas do aluno durante
a realização das atividades, bem como sua participação ativa e postura crítica
no relacionamento com os demais alunos da turma.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta presente produção Didático-Pedagógica, será um valioso instrumento no
momento da implementação do projeto na escola, contribuindo para a superação
dos problemas diagnosticados no ensino de matemática, durante os anos finais
do Ensino Fundamental Fase II, por grande parte dos alunos, além de servir
como material de apoio aos demais professores da rede.
Este trabalho apresenta atividades envolvendo o uso do software GeoGebra
como um recurso metodológico para o ensino de triângulos.
Certamente será mais produtivo se o próprio aluno construir suas atividades,
criando e resolvendo situações problemas, tornando assim o ensino-
aprendizagem uma tarefa cada vez mais desafiadora e empolgante, pois por meio
delas é possível estimular os educadores e motivar os educandos. Pode-se
afirmar que este trabalho proporcionará uma rica experiência referente ao uso
das tecnologias disponíveis no Colégio, possibilitando melhorias do trabalho em
sala de aula.
Para finalizar é necessário destacar que este material está em construção,
ficando assim o desafio da continuidade e reflexão sobre esse tema,
aprimorando-o e adaptando-o para ser aplicado de acordo com cada realidade.
6. REFERÊNCIAS
ASSIS, Cibele Castro de; BEZERRA, Maria da Conceição Alves. Atividades Com
O Geogebra: possibilidades para o ensino e a aprendizagem da Geometria no
Fundamental. Universidade Federal da Paraíba. XIII Conferência Interamericana
de Educação Matemática. 2011.
BARCELOS, Gilmara Teixeira; BATISTA, Silvia Cristina Freitas. Geometria
Dinamica Utilizando O Software Geogebra. Licenciatura em Matemática.
Instituto Federal de Ciências e Tecnologias Fluminense. Rio de Janeiro. 2009.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e
Educação Matemática. 3ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
D’ÁVILA, Cristina Maria. Pedagogia cooperativa e educação a distância: uma
aliança possível. Educação e Contemporaneidade, Salvador, v. 12, n. 20, p.
273-285, jul./dez., 2003.
FERREIRA, Claudino Roberto. Ensinando A Matemática Com O Geogebra.
Universidade do Sudoeste da Bahia/Campus de Itapetinga. Bahia. 2010.
HOHENWARTER, Markus. GeoGebra Quickstart: Guia rápido de referência
sobre o GeoGebra. Disponível em:
<http://www.mtm.ufsc.br/~jonatan/PET/geogebraquickstart_pt.pdf>. Acessado em:
10/05/2013.
LEONARDI, Rosangela. Plano de aula: Soma dos ângulos internos do Triângulo.
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o=100>, acessado em 07/10/2013
MALTEMPI, Marcus Vinicius. Construcionismo: pano de fundo para pesquisas em
informática aplicada à Educação Matemática. In. BICUDO, Maria Aparecida
Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho (org.). Educação Matemática: pesquisa
em movimento. 2 ed. Revisada. São Paulo: Cortez, 2005. p. 264-282.
MORAN, José Manuel. A Educação que desejamos: novos desafios e como
chegar lá. 5ª Ed. Campinas: Papirus, 2011.
MISKULIN, Rosana Giaretta Sguerra. As possibilidades didático-pedagógicas de
ambientes computacionais na formação colaborativa de professores de
Matemática. In FIORENTINI, Dário (org.). Formação de Professores de
Matemática. Campinas: Mercado de Letras, 2003. p. 217-248.
NASSER, Lilian; TINOCO, Lúcia. Curso Básico de Geometria. Rio de Janeiro:
Projeto Fundão/UFRJ, 2006.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação.
Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba:
SEED/DEPG, 2006.
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Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba:
SEED/DEPG, 2008.
PARAÍSO, Marlucy Alves. Currículo e Mídia Educativa Brasileira: poder, saber
e subjetivação. Chapecó: Argos, 2007.
PONTE, João Pedro da; OLIVEIRA, Hélia; VARANDAS, José Manuel. O
Contributo das Tecnologias de Informação e Comunicação e da Identidade
Profissional. In FIORENTINI, Dário (org.). Formação de Professores de
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TOLEDO, Marília. Didática da Matemática: como dois e dois a construção da
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TONIAL, Liliane. Plano de aula: Ângulos dos triângulos e quadriláteros.
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