OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE … · Montar com palitos de fósforo a figura e, usando o raciocínio lógico, montar as igualdades corretamente movimentando alguns palitos

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO

PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA – PDE/2013

TITULO: Espaço de conhecimento e criatividade construídos utilizando exercícios

da olímpiada de matemática

AUTOR: Silmara Fiori

Disciplina/área Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização

Colégio Estadual José de Anchieta, Rua

Juazeiro, 1501

Município da Escola Quedas do Iguaçu – PR

Núcleo Regional de Educação Laranjeiras do Sul

Professora Orientadora Prof.ª.: Ms. Maria Regina Carvalho Macieira

Lopes

Instituição de Ensino Superior UNICENTRO – Guarapuava

Relação Interdisciplinar

Resumo Neste trabalho é apresentada a unidade

didática destinada aos alunos do 6º e 7º anos

da rede Estadual de Ensino. A apreensão dos

conteúdos matemáticos é efetivamente

central na formação dos indivíduos e a

Olimpíada de Matemática, a OBMEP possui

um material de estudo que apesar de rico e

de grande valia é pouco utilizado nas escolas

estaduais. Pretende-se, então, trabalhar com

esse material de forma a ser possível tornar o

estudo mais interessante e prazeroso. Serão

abordados diversos conteúdos matemáticos

como: sistema de numeração decimal,

números inteiros, números decimais, fração,

potenciação, medidas, perímetro, área,

volume e geometria. Com alguns conteúdos

será possível confeccionar o material para

que o aluno perceba na prática como é mais

fácil a resolução. Dessa forma acredita-se

que é possível tornar o estudo dos conteúdos

uma fonte geradora de ideias e atitudes.

Palavras – chave Olimpíada de Matemática, Resolução de

Problemas.

Público alvo: Alunos do 6º e 7º anos da Rede Estadual de

Ensino

2. APRESENTAÇÃO:

A Matemática é uma forma de aprender sobre as coisas a partir de padrões

abstratos. Quanto mais diversificadas as maneiras de pensar sobre as situações,

melhor. A Matemática é algo humano, é uma maneira de resolver problemas

apenas pensando neles, é praticando e calculando que se pode chegar ao

resultado.

A Olimpíada de Matemática pode trazer para o processo ensino

aprendizagem grandes contribuições para o dia-a-dia escolar, por mostrar que é

praticando que se chega a solução.

Nas DCES (Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná), um dos desafios

no ensino de Matemática e a abordagem de conteúdos para a resolução de

problemas. Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem a

oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas

situações, de modo a resolver a questão proposta (DANTE, 2003).

A resolução de problemas segundo Polya (2006) envolve quatro fases:

A compreensão do problema: na qual é de fundamental importância

que o aluno seja capaz de identificar o que o problema está solicitando.

O estabelecimento de um plano: baseado no que já se conhece e

nas experiências já vivenciadas, o aluno escolhe o que acredita ser ideal

para a solução do problema. Se o plano não der certo, muda-se a

estratégia de pensamento para a resolução.

A execução do plano: é colocar em prática o procedimento escolhido

estabelecendo um plano que leva a desenvolver a resposta correta.

O retrospecto, ou examinar a solução obtida: é a revisão dos

procedimentos e cálculos efetuados.

O professor deve, com naturalidade, auxiliar os alunos para que os

mesmos adquiram determinação e capacidade, incluindo assim, oportunidade

para desenvolver operações, descobrindo e incutindo importante conhecimento

para solucioná-los, através de cálculos, desenho ou oralidade.

A resolução de problema é uma habilitação prática como, digamos, é a natação. Adquirimos qualquer habilitação por imitação e prática. Ao tentarmos nadar, imitamos o que os outros fazem com as mãos e os pés para manter suas cabeças fora d’água e, afinal, aprendermos a nadar pela prática da natação. Ao tentarmos resolver problemas, temos de observar e imitar o que fazem outras pessoas quando resolvem os seus e por fim, aprendemos a resolver problemas, resolvendo-os. (POLYA, 2006, p. 4)

Ao se pensar o ensino de Matemática e em como melhorar o desempenho

dos educadores, dos educandos e da própria escola é interessante lançar um

novo olhar sobre as Olimpíadas de Matemática, pois, é por meio dela que vamos

procurar transformar o ensino, incentivando a leitura, a interpretação e o gosto

pelos estudos.

Concomitantemente, a concepção de educação e a resolução de

problemas nos aspectos metodológicos, visa atender as necessidades dos

educadores e otimizar assim o trabalho docente. A resolução de problema é um

procedimento didático que pode dar conta das situações propostas, pois é

baseada no estudo de situações abertas e sugestivas que leva o educando a uma

atitude ativa com esforço para buscar suas próprias respostas.

A presente unidade didática será implementada com os alunos do 6º e 7º

ano do Colégio Estadual José de Anchieta-Ensino Fundamental e Médio de

Quedas do Iguaçu, no contraturno de suas aulas. Esta unidade contém uma

abordagem dos conteúdos com sugestões de atividades variadas: leitura,

interpretação, escrita de problemas, material prático e jogos.

Sugere-se que os alunos façam o registro dos recursos utilizados para a

resolução dos problemas, tais como: desenhos, gráficos, tabelas, esquemas,

apoio de materiais manipuláveis e uso da tecnologia, pois, assim irá possibilitar e

favorecer para a formação do pensamento matemático.

A produção didático pedagógica tem como objetivo geral mobilizar um

estudo de forma significativa desenvolvendo o raciocínio lógico na temática do

educando, fazendo com que busque uma formação mais completa, influenciando

na melhoria do ensino por meio de atividades das Olimpíadas de Matemática.

Este curso é proposto aos alunos e pode ser aplicado por outros

professores que demonstrarem interesse pelo mesmo.

Serão trabalhados 8 encontros de 4 horas, totalizando 32 horas de

atividades com resolução de problemas, reservando 15 minutos para o intervalo.

Os conteúdos são diversificados e foram distribuídos de forma que não se

tornassem cansativos e para não ficar muito tempo no mesmo tema, por isso, os

assuntos foram mudados e retomados novamente em alguns casos.

3. MATERIAL DIDÁTICO:

Primeiro dia (4 horas):

No primeiro encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos

por estarem participando do projeto. Serão explicados os objetivos do mesmo. (30

minutos).

Vídeo (documentário completo da OBMEP) (20 minutos) disponível no site

WWW.youtube.com/watch?v=sgiT4ayINGQ com objetivo de conscientizar e

envolver os alunos com mais interesse pelas Olimpíadas de Matemática.

Conversação e discussão sobre o vídeo (10 minutos).

Separar os alunos em grupos de 3 ou 4 participantes para dar início às

atividades matemáticas a serem desenvolvidas (2: 45 minutos).

http://www.youtube.com/watch?v=sgiT4ayINGQ

Neste dia serão resolvidos problemas simples, sobre os quais o aluno terá

que pensar e testar suas habilidades lógicas e matemáticas. Cada situação será

lida e explicada para que permita uma relação de descobertas.

PROBLEMA 01 – Palitos de fósforo

Objetivo: Entender a lógica do problema.

Conteúdo: Raciocínio lógico e operações com números inteiros.

Pré-requisito: Ter noção de igualdade e saber as operações com números

inteiros.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção, observar a figura, a posição dos

palitos. Montar com palitos de fósforo a figura e, usando o raciocínio lógico,

montar as igualdades corretamente movimentando alguns palitos.

(Edição Especial OBMEP – 2009)1 Redesenhar as figuras 1, mexendo apenas um

palito, para tornar corretas as igualdades.

Figura 1: Palitos de fósforos

Resposta: A partir do desenho dado, mexendo apenas um palito a resposta será:

II – I = I

I – III = - II

II – I = I

1 Edição Especial OBMEP – Volume 2 da coleção Explorando o Ensino de Matemática – 2009, P. 165, n. 2.

PROBLEMA 02: - Áreas dos triângulos

Objetivo: Estabelecer relações de medidas fazendo estimativas simples entre os

dois triângulos.

Conteúdo: Medida de comprimento e área.

Pré-requisitos: Entender como medir, achar a altura e a área dos triângulos.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção, observar os desenhos, explicar

aos alunos a área do triângulo, como achar a altura e com o auxílio de uma régua

e compasso desenhar os triângulos, observando que as alturas têm medidas

diferentes; calculando a área, o que é possível observar?

(Edição Especial OBMEP – 2009)2 Na figura 2. Qual é a área maior?

Figura 2: Áreas dos triângulos

Resposta: O triângulo de base 30, a altura é 20.

O triângulo de base 40, a altura é 15.

As áreas são iguais a 300.

PROBLEMA 03: A lagarta

Objetivo: Levar o aluno a perceber através de dedução, desenho e cálculo a

solução para o problema.

Conteúdo: Medidas de comprimento.

Pré-requisito: Ter noção de medidas de comprimento.

2 Edição Especial OBMEP – Volume 2 da Coleção Explorando o Ensino de Matemática – 2009, P. 163, n. 7.

Desenvolvimento da atividade: Ler e entender os dados do problema. Desenhar o

mastro em mm, para que se possa compreender como a lagarta vai chegar ao

topo do mastro.

(A Experiência Russa)3 Uma lagarta, saindo do solo, sobe um mastro com 75 cm

de altura. Cada dia ela sobe 5 cm e cada noite ela escorrega 4 cm. Quando ela

vai chegar pela primeira vez no topo do mastro?

Resposta: A maior parte das pessoas iria achar que, como a lagarta consegue

subir um total de 1cm por dia, levaria 75 dias. Entretanto, cinco dias antes, no

septuagésimo dia, ela terá subido 70 cm e o esforço do próximo dia fará com que

ela suba os 5 cm finais. Portanto, a lagarta estará no topo do mastro ao final de

71 dias (antes do início da septuagésima primeira noite).

PROBLEMA 04: A gata de Pedrinho

Objetivo: Desenvolver o raciocínio lógico para a solução do problema.

Conteúdo: Raciocínio lógico e tratamento da informação.

Pré-requisito: Saber deduzir e ter a noção de como argumentar e entender o que

está no problema.

Desenvolvimento da atividade: Ler e compreender a situação do problema,

raciocinar de maneira a tornar certo ou errado o que está dizendo o problema.

(A Experiência Russa)4 A gata de Pedrinho sempre espirra antes de uma chuva.

Ela espirrou hoje. Pedrinho pensou: “Isto significa que vai chover”. Ele está certo?

Resposta: Não, ele não está certo. O fato de que o evento A (a chuva) sempre

causa o evento B (o espirro da gata) não significa que o evento B causa o evento

3 FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo

Zero, P. 2, n. 5. 4 FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo

Zero, P. 2, n. 10.

A. Este é um exemplo de um tipo de erro lógico muito comum, confundir uma

proposição lógica com sua recíproca.

PROBLEMA 05: O filho do pai

Objetivo: Estimular o raciocínio lógico.

Conteúdo: Raciocínio lógico e tratamento da informação.

Pré-requisito: Saber deduzir o raciocínio lógico e atenção.

Desenvolvimento da atividade: Ler o problema quantas vezes for necessário,

substituir a pessoa por um nome qualquer.

Usar o nome de um homem, e na sequência, trocar esse nome usando nome de

mulher; ler várias vezes o problema substituindo o nome feminino, masculino, até

conseguir chegar a uma explicação, se é possível ou não.

(A Experiência Russa)5 O filho do pai de uma pessoa está falando com o pai do

filho desta pessoa e esta pessoa não está participando da conversa. Isto é

possível?

Resposta: Sim, é possível, se a pessoa for uma mulher.

PROBLEMA 06: Figuras semelhantes

Objetivo: Desenvolver a habilidade para dividir em figuras geométricas

semelhantes.

Conteúdo: Geometria plana.

Pré-requisito: Precisa ter noção de tamanho, espaço, igualdade, de formas e

semelhança.


Zero, P. 2, n. 12.

Desenvolvimento da atividade: Com o auxílio de uma régua fazer o desenho dado

no problema e tentar achar uma maneira de dividir a figura em 4 partes

semelhantes.

(A Experiência Russa)6 Corte a figura 3 ilustrada em quatro figuras, cada uma

semelhante à original com dimensões pela metade.

Figura 3: Figuras semelhantes

Resposta:

Segundo dia (4 horas):

No segundo encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos

por estarem presentes e participando das atividades. (10 min.)


Zero, P. 229, n. 129.

Neste dia os alunos irão resolver problemas de análise combinatória, e

surgirá várias perguntas como: “Quantas maneiras existem de dirigir de um ponto

A até um ponto B? Quantas maneiras existem para combinar? Quantos caminhos

existem?” Estas e muitas outras perguntas surgirão no decorrer de cada situação

problema. Será necessário que os alunos registrem com atenção através de

desenhos e esquemas, pois, desta forma favorecerá a formação do pensamento.

Serão resolvidos os problemas num período de (3:35 min.)

PROBLEMA 01: A festa do chá

Objetivo: Ler e compreender o problema.

Conteúdo: Análise combinatória

Pré-requisito: É preciso saber interpretar o problema e definir uma formação de

pensamento que ajude na resolução.

Desenvolvimento da atividade: Após a leitura, através de conversação o aluno

deve entender o esquema e representar através de desenho. A solução também

é possível através de uma multiplicação.

(A Experiência Russa)7 Existem cinco tipos diferentes de xícaras de chá e três

tipos diferentes de pires na loja “A Festa do Chá”. De quantas maneiras você

pode formar um conjunto de xícara com pires?

Resposta: Vamos escolher uma xícara primeiro. Então para completar o conjunto,

podemos escolher qualquer um dos três pires. Logo temos 3 conjuntos diferentes

com a mesma xícara. Como existem cinco xícaras diferentes, temos 15 conjuntos

diferentes ou seja: (5 x 3 = 15)


Zero, P. 11, n. 1.

PROBLEMA 02: A festa do chá 2


Conteúdo: Análise combinatória.



Desenvolvimento da atividade: Após a leitura, através de conversação, o aluno

deve entender o esquema e representar através de desenho. A solução é

possível através da multiplicação de três fatores.

(A Experiência Russa)8 A loja “A Festa do Chá” também tem quatro tipos

diferentes de colheres de chá. Quantos conjuntos diferentes podem ser

comprados considerando em uma xícara, um pires e uma colher de chá?

Resposta: Começamos com qualquer um dos 15 conjuntos do problema anterior.

Existem quatro maneiras diferentes de completá-lo com uma colher de chá.

Portanto, o número de todos os conjuntos possíveis é 60 pois: (5 x 3 = 15 e 15 x 4

= 60).

PROBLEMA 03: País das Maravilhas






deve entender o esquema no desenho para solucionar. Deve compreender

também que precisa multiplicar.


Zero, P. 11, n. 2.

(A Experiência Russa)9 No País das Maravilhas existem três cidades A, B e C.

Existem seis estradas ligando A a B e quatro estradas ligando B a C (veja a figura

1). De quantas maneiras é Possível dirigir de A a C?

Figura 01: País das Maravilhas

Resposta: 6 x 4 = 24

PROBLEMA 04: País das Maravilhas 2


Conteúdo; Análise combinatória.

Pré-requisito: É preciso ler, observar o desenho e ter a formação de um plano

para solucionar.


deve entender o esquema do desenho para saber que deverá multiplicar e somar

para chegar a resposta.

(A Experiência Russa)10 Foi construída uma cidade nova D e diversas estradas

novas no País das Maravilhas (veja a figura 2). E agora, de quantas maneiras é

possível dirigir de A a C.


Zero, P. 11, n. 3. 10

FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo Zero, P. 12, n. 4.

Figura 2: País das Maravilhas 2

Resposta: Considere dois casos: nosso trajeto passa por B ou D. Em cada caso é

bem fácil calcular o número de trajetos possíveis; se o trajeto passar por B,

existem 24 maneiras de dirigir de A a C; caso contrário, existem seis maneiras.

Para obter a resposta, basta somar estes dois números. Assim, existem 30

trajetos possíveis.

PROBLEMA 05: A festa do chá 3



Pré-requisito: Saber como será montado o esquema para desenhar a situação do

problema dado.

Desenvolvimento da atividade: Após a leitura, através de conversação, entender

que para chegar a solução serão feitas três multiplicações e somar os resultados.

(A Experiência Russa)11 Na loja “A festa do chá” são vendidos cinco tipos

diferentes de xícaras de chá, três tipos de pires e quatro tipos de colheres de chá.

Quantas compras diferentes de dois itens com nomes diferentes podem ser

feitas?

11


Resposta: Existem três casos possíveis: uma xícara e um pires, uma xícara e

uma colher ou um pires e uma colher. Então, o número de possibilidades em cada

um destes três casos: (3 x 5 = 15 ; 3 x 4 = 12 ; 5 x 4 = 20) somando os resultados

15 + 12 + 20 = 47

PROBLEMA 06: Tocaia


Conteúdo: Análise Combinatória.

Pré-requisito: Ler o problema, saber quem são as consoantes e as vogais para

definir a formação do pensamento que ajude a solucionar.

Desenvolvimento da atividade: Formar um esquema com as consoantes e as

vogais para perceber que o resultado pode também ser obtido através da

multiplicação dos fatores.

(A Experiência Russa)12 De quantas maneiras é possível escolher uma vogal e

uma consoante da palavra “TOCAIA”?

Resposta: Existem oito maneiras diferentes. Pois as consoantes são T e C; as

vogais são O, A, I e A. Então (2 x 4 = 8).

Terceiro dia (4 horas):

No terceiro encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos

por estarem presentes e participando das atividades (10 min.)

Neste dia serão resolvidos problemas envolvendo Geometria Plana, uma

oportunidade para o desenvolvimento do pensamento lógico e consistente. A

12

FORMIN. Dimitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG. Ilia, Círculos Matemáticos – Experiência Russa – Capítulo Zero, P.18, n.29.

geometria é uma parte da matemática que tem diversos elos, com ótimas

oportunidades de demonstrar a integridade da Matemática. (3:35 min.)

PROBLEMA 01 Tábuas

Objetivo: Descobrir uma maneira para atravessar o rio usando a atenção e o

raciocínio.

Conteúdos: geometria, grandezas e medidas.

Pré-requisito: o aluno precisa entender o ângulo de 90 graus e medidas de

comprimento.

Desenvolvimento da atividade: em uma folha de papel cartolina confeccionar o

desenho em (cm). Explicar para o aluno o ângulo de 90 graus e a transformação

das medidas que no problema estão em metros.

Recortar o rio e as tábuas. Com o material confeccionado em mãos, tentar achar

uma maneira (movimentando as tábuas em cima do rio) para atravessá-lo

(A Experiência Russa)13 Um rio com 4 metros de largura faz uma curva de 90º

(veja a figura 1). É possível cruzar o rio usando duas tábuas com 3,9 m de

comprimento cada?

Figura 1: Tábuas

Resposta: veja figura 2.

13


Figura 2: Tábuas

PROBLEMA 02 Figuras no vazio

Objetivo: Aguçar o estímulo visual através da atenção, dobradura e recorte.

Conteúdo: Geometria

Pré-requisito: ter a noção para dobrar a folha em partes iguais e recortar.

Desenvolvimento da atividade: cada aluno receberá uma folha de papel, lápis,

régua e tesoura. Ler o problema com atenção e pôr em prática através de

dobradura e recorte para chegar a solução.

(OBMEP Banco de Questões 2012)14 Joãozinho dobrou duas vezes uma folha de

papel quadrada, branca de um lado e cinza do outro, e depois recortou um

quadradinho como na figura 3.

Figura 3: Figuras no vazio

14

OBMEP 2012 – Nível 1 – Somando Novos talentos para o Brasil – Banco de Questões – Geometria, P. 19, n. 30.

Qual das figuras ele encontrou quando desdobrou completamente a folha?

Resposta: A alternativa correta é a letra E.

PROBLEMA 03 Tesoura e papel

Objetivo: Obter formas geométricas a partir de dobradura e recorte.

Conteúdos: Geometria e área de figuras planas.

Pré-requisito: Saber medidas de comprimento, entender a maneira de dobrar a

folha de papel corretamente e saber calcular a área de figuras planas.

Desenvolvimento da atividade: Ler atentamente o problema para entender o que

está pedindo e após conversação sobre o mesmo, com uma folha de papel, fazer

as medidas indicadas no problema, fazer a dobradura conforme o desenho,

recortar onde está indicado, desdobrar o que ficou dobrado e calcular as áreas

das novas figuras.

(OBMEP Banco de Questões 2013)15 Uma folha de papel é retangular, com base

igual a 20 cm e altura 10 cm. Esta folha é dobrada nas linhas pontilhadas

conforme mostra a figura 4, e no final recortada por uma tesoura na linha

indicada, a qual é paralela à base e está na metade da altura do triângulo.

Figura 4: Tesoura e papel

15

OBMEP 2013 – Nível 3 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 54, n. 3.

a) Depois de cortar no local indicado, em quantas partes a folha ficou

dividida?

b) Qual é a área da maior parte?

Figura 4: Tesoura e papel

Resposta: A folha foi dividida em três pedaços. Os dois quadrados recortados nos

cantos superior esquerdo e superior direito tem lado igual a 5 cm. Como a área do

quadrado é 5 x 5 = 25. A folha é um retângulo de 20 x 10 = 200. Subtraindo a

área total pela área dos dois quadrados nos cantos, concluímos que a área do

pedaço maior da folha após o corte pela tesoura é 200 – 2 x 25 = 200 – 50 = 150

cm2.

PROBLEMA 04 Polígono

Objetivo: Obter a partir do desenho dado novas formas geométricas para

encontrar a área.

Conteúdos: Geometria, perímetro e área de figuras planas.

Pré-requisito: Ter noção de como é calculado o perímetro e a área de figuras

planas e a partir do desenho saber o processo para achar a área.

Desenvolvimento da atividade: Ler o problema com atenção, observar o desenho,

o perímetro do mesmo e descobrir a área. Poderão ser confeccionados 25

quadrados de 2 cm de lado em papel cartolina e recortados, para que seja

possível montar a figura 5 dada e assim ter a certeza de que está correta a

resposta.

(OBMEP nível1 2013)16 A figura 5 representa um polígono em que todos os lados

são iguais horizontais ou verticais e tem o mesmo comprimento 2 cm. O perímetro

desse polígono é 56 cm. Qual é a sua área?

Figura 5: Polígono

Resposta: Seu perímetro é a soma dos comprimentos, como são 28 segmentos e

cada lado 2 cm, então 28 x 2 = 56. A área de cada quadra do é 2 x 2 = 4 e a do

polígono é 25 x 4 = 100 cm2

PROBLEMA 05 Três pontos colineares

Objetivo: Estimular a observação por meio da atenção visual.

Conteúdo: Geometria.

Pré-requisito: Saber o que são pontos colineares.

Desenvolvimento da atividade: Ler o problema e a partir do desenho dado

observar e ir traçando quantas maneiras é possível três pontos colineares.

(OBMEP Banco de Questões 2013)17 Nove pontos são desenhados em uma folha

de papel, como mostrados na figura 6. De quantas maneiras é possível escolher

três pontos colineares?

16

Prova OBMEP 2013 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 2, n. 9. 17


Figura 6: Três pontos colineares

Resposta: Existem 8 maneiras de se escolherem três pontos colineares.

PROBLEMA 06 Círculos e círculos

Objetivo: Calcular a área do círculo.

Conteúdo: Geometria e área.

Pré-requisito: saber calcular a área do círculo.

Desenvolvimento da atividade: primeiramente explicar ou relembrar como calcular

a área do círculo, observar e entender metade e inteiro. Ler atentamente o

problema e descobrir os cálculos que terá que realizar para chegar a solução do

mesmo, analisando que se sobrepor a região pintada de cinza na parte não

pintada vai se obter um círculo completo cinza.

(OBMEP Banco de Questões 2013)18 Na figura 7 veem-se círculos grandes e

pequenos. Os círculos grandes tem raio 2, e os círculos pequenos tem raio 1.

Qual é a área da região pintada de cinza?

18


Figura 7: Círculos e círculos

Resposta: A área da região pintada de cinza é a área de um círculo de raio 2,

logo, r é igual a .

Quarto dia (4horas):

No quarto encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos

por estarem presentes. (15 min.) Continuarão resolvendo problemas envolvendo

geometria por ser um conteúdo intrigante e que precisa analisar cada situação

com bastante atenção e interesse. (3:30 min.).

PROBLEMA 01 Triângulos com palitos de fósforo

Objetivo: Compreender através da observação a sequência dada.

Conteúdo: Sequência lógica e geometria.

Pré-requisito: Através da observação, ter a noção de como será a sequência para

dar continuidade e chegar a solução.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema, observar os

desenhos, montar os desenhos dados com palitos de fósforo, dar sequência com

os palitos até chegar ao quinto triângulo e contar quantos palitos de fósforo foram

usados para montar a sequência.

(OBMEP nível1 2012)19 Renata montou uma sequência de triângulos com palitos

de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura 1. Quantos palitos ela vai usar

para construir o quinto triângulo da sequência?

Figura 1: Triângulos com palitos de fósforo

A)36 B)39 C)42 D)45 E)48

Resposta: Observe que o primeiro triângulo é formado por 3 palitos, o segundo

por 3 + 6 = 9 palitos e o terceiro por 3 + 6 + 9 = 18 palitos. Seguindo esse padrão,

o quinto triângulo será formado por 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45 palitos.

PROBLEMA 02 Quantos quadrados?

Objetivo: Sistematizar o conhecimento construído a partir da atenção e

observação.


Pré-requisito: Ter noção de vértice e de formação de quadrados.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema e a partir do desenho

dado, traçar quadrados com o lápis para descobrir quantos quadrados com vértice

nos pontos é possível desenhar.

19

Prova OBMEP 2012 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1 , n. 2.

(OBMEP Banco de Questões 2013)20 O professor Ciconete desenhou no

quadrado os seguintes pontos: (veja a figura2).

.

Figura 2: Quantos quadrados?

Em seguida, ele perguntou aos seus alunos quantos quadrados com vértices em

tais pontos é possível desenhar. Qual é a resposta correta para a pergunta do

professor Ciconete?

Resposta: Considere primeiramente os quadrados de lado 1 que são seis

quadrados. Podemos também desenhar quadrados de lado 2 cujos vértices são

pontos do reticulado que é um quadrado.

É possível desenhar quadrados orientados em uma direção diferente que são três

quadrados. Assim concluímos que a resposta para a pergunta do professor

Ciconete é 6 + 1 + 3 = 10.

PROBLEMA 03 Azulejos de Pedro

Objetivo: Desenvolver a atenção e a observação assim como ter noção de

espaço.


Pré-requisito: Ter noção de espaço e atenção. 20


Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema, observar os

desenhos das peças e o espaço que terá que encaixar as mesmas sem sobrar ou

faltar espaço. A partir de uma malha quadriculada desenhar, colorir e recortar as

peças para encaixar no tabuleiro dado com as medidas do problema.

(OBMEP Bando de Questões 2011)21 Pedro é um pedreiro. Ele tem um grande

número de azulejos de três tipos, como mostrado na figura 03:

Figura 3: Azulejos de Pedro

O menor lado de cada azulejo mede 10 cm. Ele quer ladrilhar completamente uma

bancada de uma cozinha sem cortar qualquer azulejo.

a) Mostre como ele poderá alcançar seu objetivo se a bancada for um

retângulo de 60 cm x 50 cm.

b) Mostre como ele poderá alcançar seu objetivo se a bancada for um

quadrado de 60 cm x 60 cm.

Resposta: a) Serão cinco peças em formato de L e duas peças em formato de +.

b) Serão quatro peças em formato de L e e quatro peças em formato de +.

PROBLEMA 04 RETÂNGULO 9 x 4

Objetivo: Relembrar seus conhecimentos de medidas para chegar a solução

exata do problema.

21

OBMEP 2011 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – Geometria - P. 16, n. 8.

Conteúdos: Medidas de comprimento e geometria.

Pré-requisito: Ter noção de espaço e medidas de comprimento.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o que está pedindo o problema e

em folha de cartolina desenhar com lápis e régua o retângulo de 9 x 4 cm e tentar

descobrir como terá que fazer para chegar ao quadrado de 6 x 6 com três peças e

com duas peças. Quando descobrir a maneira correta, recortar as figuras

montando corretamente como fala o problema e colar no espaço da resposta.

(OBMEP Banco de Questões 2011)22 A) Divida um retângulo de 9 x 4 cm em três

peças e remonte-as de modo a formar um quadrado de 6 x 6 cm. B) Divida um

retângulo de 9 x 4 cm em duas peças e remonte-as de modo a formar um

quadrado de 6 x 6 cm.

Resposta: A) Dividimos o retângulo 9 x 4 em dois retângulos 2 x 3 e em um

retângulo de 4 x 6 como mostra a figura 4.

Figura 4: Retângulo 9 x 4

B) Dividimos o retângulo 9 x 4 em duas figuras iguais em forma de L e as

agrupamos como mostra a figura 5.

Figura 5: Retângulo 9 x 4

22


PROBLEMA 05 Herança para 5 filhos

Objetivo: Dividir em partes iguais.


Pré-requisito: Ter noção de espaço e igualdade.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção, entender o processo de divisão

em partes iguais e a partir do desenho dado, com o lápis descobrir uma maneira

de dividir em cinco partes iguais e que em cada parte fique um quadrado cinza.

(OBMEP Banco de questões 2011)23 Divida a figura 6 em cinco partes do mesmo

formato e com áreas iguais de tal modo que cada parte contenha exatamente um

quadrado cinza.

Figura 6: Herança para 5 filhos

Resposta: A figura 7 mostra a solução do problema Herança para 5 filhos.

Figura 7: Herança para 5 filhos

23

OBMEP 2011 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – Desafios - P. 21, n. 30.

PROBLEMA 06 Contando quadrados

Objetivo: Observar e traçar corretamente os quadrados.


Pré-requisito: Saber ligar os pontos e formar quadrados.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema e com o lápis ligar os

pontos contando os quadrados formados.

(OBMEP Banco de Questões 2011)24 Doze pontos são marcados sobre uma

grade de pontos, como mostra a figura 8. Quantos quadrados podem ser

formados ligando quatro desses pontos?

Figura 8: Contando quadrados

Resposta: São cinco quadrados pequenos, quatro quadrados médios e dois

quadrados grandes. Então, no total são 5 + 4 + 2 = 11 quadrados.

Quinto dia (4 horas):

No quinto encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos

por estarem presentes em mais uma tarde de atividades. Em seguida

responderão exercícios variados envolvendo operações com números inteiros,

números decimais, frações, porcentagem e medidas de capacidade.(3:45 min.).

24


PROBLEMA 01 Esqueleto do Cubo

Objetivo: Encontrar uma maneira para efetuar o problema através de operações

matemáticas.

Conteúdos: Geometria e operações matemáticas.

Pré-requisito: Saber observar a figura e imaginar o real da mesma, entendendo

que através de operações matemáticas chegará ao resultado.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção e através de conversação com os

demais colegas e professora, entender a figura desenhada, para que através das

operações matemáticas se chegue ao processo de resolução.

(OBMEP Banco de Questões 2011)25 O esqueleto de um cubo 6 x 6 x 6 é formado

por cubinhos 1 x 1 x 1 como na figura 1. Quantos cubinhos formam este

esqueleto?

Figura 1: Esqueleto do cubo

Resposta: O esqueleto do cubo é formado por uma camada superior e uma

inferior com 20 cubinhos cada e quatro colunas com 4 cubinhos cada. Assim o

total de cubinhos é 2 x 20 + 4 x 4 = 56 cubinhos.

25


PROBLEMA 02 Tira retangular

Objetivo: Desenvolver a atenção e a observação por meio de interpretação.

Conteúdo: Conjuntos numéricos.

Pré-requisito: Saber interpretar o problema e através de rascunho com uma tira

de papel e lápis chegar a solução do mesmo.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção, desenhar e recortar uma tira de

papel para ir rascunhando os números conforme o enunciado do problema e

chegar a solução.

(OBMEP nível1 2012)26 A figura mostra parte de uma tira retangular de papel

dividida em quadrinhos numerados a partir de 1. Quando essa tira é dobrada ao

meio, o quadradinho com o número 19 fica em cima do que tem o número 6.

Quantos são os quadradinhos? (veja figura 2 )

Figura 2: Tira retangular

A)24 B)25 C)26 D)27 E)28

Resposta: Quando a tira é dobrada ao meio, o último quadradinho fica em cima

do quadradinho do número 1. Como o quadradinho 19 caiu em cima do 6, o 20

caiu em cima do 5, o 21 em cima do 4, o 22 em cima do 3, o 23 em cima do 2 e o

24 em cima do 1. Logo a tira de papel tem 24 quadradinhos.

PROBLEMA 03 Professora Luísa

Objetivo: Calcular corretamente o menor número possível.

26

Prova OBMEP 2012 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1, n. 2.

Conteúdos: Números decimais, frações e porcentagem.

Pré-requisito: Ter noção dos conteúdos utilizados para solucionar o problema.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção e através de conversação

interpretar o problema para resolver corretamente.

(OBMEP nível1 2012)27 A professora Luísa observou que o número de meninas

de sua turma dividido pelo número de meninos dessa mesma turma é 0,48. Qual

é o menor número possível de alunos dessa turma?

A)24 B)37 C)40 D)45 E)48

Resposta: O número 0,48 pode ser escrito na forma de uma fração decimal como

48/100. Simplificando esta fração de modo que o numerador e o denominador

seja os menores possíveis, obtemos

. Os números 12 e 25

representam respectivamente o número de meninas e de meninos; logo 12 + 25 =

37 alunos.

PROBLEMA 04 Muro em 15 dias

Objetivo: Interpretar corretamente o problema

Conteúdo: Número inteiro

Pré-requisito: Efetuar multiplicações com números inteiros.

Desenvolvimento da atividade: Ler o problema com atenção, interpretar e calcular

corretamente.

(OBMEP Banco de Questões 2010)28 Um pedreiro é capaz de assentar 8 metros

de muro por dia. Quantos metros de muro esse pedreiro consegue assentar em

15 dias?

27


A)104 B)110 C)120 D)128 E)112

Resposta: Se o pedreiro assenta 8 metros por dia, em 15 dias assentará 15 x 8 =

120 metros. A opção correta é a C.

PROBLEMA 05 Quanto pesa?

Objetivo: Interpretar e calcular o peso corretamente.

Conteúdos: Grandezas e medidas.

Pré-requisito: Ter noção de medidas de massa e divisão de números inteiros.

Desenvolvimento da atividade: Ler o problema com atenção e interpretar a

operação matemática que terá a resolução do problema.

(OBMEP Banco de Questões 2010)29 A balança da figura 3 está em equilíbrio

com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas

iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso

de quantas bolas?

Figura 3: Quanto pesa?

A)1 B)2 C)3 D)5 E)6

Resposta: O peso de três saquinhos é igual ao peso de seis bolas. Daí

concluímos que o peso de um saquinho é igual ao peso de duas bolas. A opção

correta e a B.

28

OBMEP 2010 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões – P. 1, n. 2. 29


PROBLEMA 06 Qual é o volume?

Objetivo: Desenvolver a percepção visual e a noção de quantidade.

Conteúdos: Grandezas e medidas.

Pré-requisito: Ter a base sobre as noções de grandezas e medidas, entender a

representação através de frações e ser bom observador.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção, observar o desenho e através do

mesmo, interpretar quanto representa o volume de cada alternativa.

(OBMEP Banco de Questões 2010)30 Três frascos, todos com capacidade igual a

um litro, contem quantidades diferentes de um mesmo líquido, conforme a figura

4. Qual das alternativas melhor expressa o volume do líquido contido nos frascos

A, B e C, nessa ordem?

Figura 4: Qual é o volume?

A)

;

;

B)

;

;

C)

;

;

D)

;

;

E)

;

;

30


Resposta: As figuras mostram que os volumes ocupados pelos líquidos

correspondem, aproximadamente, a mais do que da metade do frasco A, o que

elimina as opções (a) e (e), à metade no frasco B e a menos da metade no frasco

C, o que elimina (c) e (d). O único grupo de frações que corresponde a essas

estimativas é 2/3 ( mais do que a metade), ½ ( metade ) e ¼ (menos do que a

metade). A opção correta é B.

Sexto dia (4 horas):

No sexto encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos por

estarem presentes em mais um encontro (15 min.).

Neste dia resolverão problemas com porcentagem, média aritmética, geometria,

potenciação e medidas de comprimento; isto por se tratarem de problemas

variados, mas de grande importância para o aprendizado dos alunos. (3:30min.)

PROBLEMA 1 Descontos e descontos

Objetivo: Calcular o desconto através de operações.

Conteúdo: Porcentagem

Pré-requisito: Saber fazer cálculos com porcentagem.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema e através de

conversação com o grupo descobrir que operações darão a resposta correta para

o problema.

(OBMEP Banco de Questões 2010)31 Uma farmácia dá desconto de 30% sobre o

preço de tabela de todos os medicamentos que vende. Ao adquirir um remédio

cujo preço de tabela é R$ 120,00, quantos reais uma pessoa irá pagar?

A) 36 B) 84 C) 64 D) mais do que 116 E) 94

31


Resposta: 30% de 120 ou seja, 30/100 = 0,3 então: 0,3 x 120 = 36. Assim a

pessoa 120 – 36 = 84 reais

OU 100 – 30 = 70% de 120 ou seja, 0,7 x 120 = 84 reais.

PROBLEMA 02 Consumo de água

Objetivo: Calcular a média do consumo de água.

Conteúdo: Média aritmética.

Pré-requisito: Saber fazer operações matemáticas e ter noção de média entre os

números.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema e entender que a

média aritmética entre os números é dada a partir da soma dos números e

dividido pela quantidade de valores.

(OBMEP Banco de Questões 2010)32 Na tabela 1 vemos o consumo mensal de

água de uma família durante os 5 primeiros meses de 2004. Qual é o consumo

mensal médio de janeiro a maio dessa família em m3?

Tabela 1: Consumo de água

A)11,3 B)11,7 C)12,7 D)63,5 E)317,5

32


Resposta: O consumo mensal médio é a soma dos consumos mensais dividida

pelo número de meses. Então:

m3

PROBLEMA 03 Desenhando o cubo

Objetivo: Estimular o visual através da atenção.


Pré-requisito: Ter atenção e saber analisar a situação dada.

Desenvolvimento da atividade: Ler o problema; em folha de cartolina, com lápis e

régua, desenhar a planificação do cubo e os desenhos existentes na posição

correta das faces do cubo. Recortar, montar e colar o cubo, analisando a

alternativa correta.

(OBMEP Banco de Questões 2010)33 A figura 1 foi desenhada em cartolina e

dobrada de modo a formar um cubo.

Figura 1: Desenhando o cubo

Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?

A)

33


B)

C)

D)

E)

Resposta: Alternativa B

PROBLEMA 04 Mosaicos quadrados

Objetivo: Estimular a curiosidade através do raciocínio.

Conteúdos: Geometria e potenciação.

Pré-requisitos: Saber desenhar quadradinhos e quantos quadradinhos brancos e

pretos vão aumentar em cada desenho da sequência dada de mosaicos.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção e com régua e lápis continuar

desenhando a sequência de mosaicos para chegar a 80 azulejos pretos e através

da contagem dos quadradinhos brancos chegar a resposta do problema. Também

pode-se chegar a resposta através da potenciação do número de azulejos

brancos em cada mosaico.

(OBMEP Banco de Questões 2010)34 Uma sequência de mosaicos é construída

com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o

primeiro formado por um azulejo branco cercado por azulejos pretos, o segundo

por quatro azulejos brancos cercados por azulejos pretos e assim,

sucessivamente, como indica a figura 2. Se numa sequência de mosaicos

formada de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos

serão os azulejos brancos utilizados?

Figura 2: Mosaicos quadrados

A)55 B)65 C)75 D)85 E)100

Resposta: Através do desenho da sequência de mosaicos é possível ir contando

os quadradinhos pretos e depois os brancos para chegar a 55 azulejos brancos.

Ou o número total de azulejos brancos nesta sequência de cinco mosaicos é:

12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 azulejos brancos.

PROBLEMA 05 Quatro formiguinhas

Objetivo: Descobrir através de cálculos matemáticos a distância

percorrida.Conteúdo: Medidas de comprimento.

Pré-requisito: Saber calcular com medidas de comprimentos com atenção.

34


Desenvolvimento da atividade: Ler o problema com atenção, observar o desenho

dado as distâncias percorridas pelas formigas, quanto mede cada espaço

percorrido e através de cálculos ir somando os trajetos.

(OBMEP Banco de Questões 2010)35 Quatro formigas atravessam o piso de uma

sala coberto de lajotas retangulares, segundo os trajetos indicados na figura 3.

Qual é o comprimento do trajeto percorrido por Biloca.

Figura 3: Quatro formiguinhas

A)30 dm B)35dm C)55dm D) 24dm E)48dm

Resposta: 3 diagonais 3 x 5 = 15

4 larguras 4 x 3 = 12

2 comprimentos 2 x 4 = 8

Então: 15 + 12 + 8 = 35dm

PROBLEMA 06 Dominós

Objetivo: Entender o processo da multiplicação através das peças do dominó.

Conteúdo: Números

Pré-requisito: Saber o processo simples da multiplicação.

Desenvolvimento da atividade: Ler o problema e através de uma multiplicação

simples entender o processo usado na figura com as peças do dominó.

35


(OBMEP Banco de Questões 2010)36 Juliana representou uma multiplicação com

5 dominós. Seu irmão Bruno trocou 2 dominós de posição (veja a figura 4) e

agora a multiplicação ficou errada. Troque de volta a posição de dois dominós

para que a multiplicação fique novamente correta.

Figura 4: Dominós

Resposta: veja a figura 5.

Figura 5: Dominós

Sétimo dia (4 horas):

No sétimo encontro os alunos serão recepcionados com agradecimentos

por estarem presentes em mais um dia de atividades e responderão problemas de

36

OBMEP 2010 – Nível 1 – Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de Questões –- P. 19, n. 123.

contagem que podem ser resolvidos com raciocínios simples ou com operações

matemáticas. (3:45 min.)

PROBLEMA 01 Possíveis Bandeiras

Objetivo: Habituar o aluno a trabalhar com problemas de contagem.

Conteúdo: Geometria e números inteiros.

Pré-requisito: Entender o processo de contagem para solucionar o problema.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema, observar que o

modelo da bandeira usa apenas duas cores para colorir e que são três cores para

combinar; então, quais serão as possíveis combinações de bandeiras que

poderão ser desenhadas e coloridas? Após conversação no grupo desenhar as

mesmas e colori-las.

(OBMEP Métodos de Contagem e Probabilidade PIC 2012)37 Uma bandeira com

a forma mostrada na figura 1 vai ser pintada utilizando duas das cores dadas.

Figura 1: Possíveis bandeiras

Resposta: São seis possíveis combinações. Preta e cinza; preta e branca; cinza e

preta; cinza e branca; branca e preta; branca e cinza.

37

OBMEP – PIC 2012 – Métodos de Contagem e Probabilidade – Capítulo 1 – P. 1, n. 1.

PROBLEMA 02 Líder e vice-líder

Objetivo: Desenvolver a imaginação para problemas simples.

Conteúdo: Probabilidade

Pré-requisito: Ter noção de combinar e atenção para chegar a solução correta.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção o problema e observar as

possíveis possibilidades de combinação através de conversação com o grupo.

(OBMEP Métodos de Contagem e Probabilidade PIC 2012)38 Um grupo de quatro

alunos (Alice, Bernardo, Carolina e Daniel) tem que escolher um líder e um vice-

líder para um debate.

A) Faça uma lista de todas as possíveis escolhas. Organize a sua lista do

seguinte modo: primeiro escreva todas as possibilidades em que Alice é a

presidente, depois, aquelas em que Bernardo é presidente, e assim por

diante.

B) Conte o número de possíveis escolhas e verifique que o Princípio

Multiplicativo fornece a mesma resposta.

Resposta: Alice e Bernardo; Alice e Carolina; Alice e Daniel.

Bernardo e Alice; Bernardo e Carolina; Bernardo e Daniel.

Carolina e Alice; Carolina e Bernardo; Carolina e Daniel.

Daniel e Alice; Daniel e Bernardo; Daniel e Carolina. Então: 3 x 4 = 12

possibilidades

PROBLEMA 03 Quatro contas

Objetivo: Despertar o aluno para cálculos mentais.

Conteúdo: Operações com números inteiros.

Pré-requisito: Saber efetuar operações simples e o processo de contagem.

38

OBMEP – PIC 2012 – Métodos de Contagem e Probabilidade – Capítulo 1 – P. 11, n. 1.

Desenvolvimento da atividade: Ler o problema com atenção, observar a figura e

efetuar os cálculos pedidos.

(OBMEP nível1 2009)39 Partindo do número 2 na figura 2 e fazendo as quatro

contas no sentido da flecha o resultado é 12, porque 2x24=48, 48:12=4, 4x6=24 e

24:2=12.

Se fizermos a mesma coisa partindo do maior número que aparece na figura, qual

será o resultado?

Figura 2: Quatro contas

A) 18 B) 32 C) 64 D)72 E) 144

Resposta: Alternativa E – 144

PROBLEMA 04 Acampamento

Objetivo: Desenvolver habilidades para raciocinar.

Conteúdo: Probabilidade.

Pré-requisito: Ter noção de combinação.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção os dados do problema e imaginar

a situação, através de conversação com seus colegas de grupo descobrir a

solução. Se cada nome apareceu na lista três vezes e o nome de cada um é

39


diferente; são seis noites e a cada noite dois amigos ficavam de vigia, então como

é preciso pensar para chegar a solução?

(OBMEP nível 1 2009)40 Um grupo de amigos acampou durante seis noites e,

toda noite, dois deles vigiaram o acampamento. Cada um ficou de guarda três

vezes, nunca com o mesmo amigo. Quantos eram os amigos?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 18

Resposta: São seis noites, cada noite dois amigos ficavam de vigia, então 6 x 2 =

12 nomes. Mas cada nome apareceu na lista três vezes, então 12 : 3 = 4 amigos.

Chamando os amigos de A, B, C e D a lista de vigias será: A e B; A e C; A e D; B

e C; B e D; C e D.

PROBLEMA 05 Discos de papelão

Objetivo: Ordenar corretamente os discos através da observação.


Pré-requisito: Saber analisar através da observação a ordem correta em que os

discos estão sobrepostos.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção a situação do problema. Com

folha de cartolina e compasso desenhar os discos, recortá-los e identificá-los com

as letras indicadas. Então tentar pôr em ordem os discos.

(OBMEP nível1 2006)41 Cinco discos de papelão foram colocados um a um sobre

uma mesa, conforme mostra a figura 3. Em que ordem os discos foram colocados

na mesa?

40

Prova OBMEP 2009 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 3, n. 11. 41


Figura 3: Discos de papelão

A) V, R, S, U, T

B) U, R, V, S, T

C) R, S, U, V, T

D) T, U, R, V, S

E) V, R, U, S, T

Resposta: Alternativa A

PROBLEMA 06 A soma

Objetivo: Desenvolver habilidades para cálculos simples.

Conteúdo: Números inteiros.

Pré-requisito: Ter noção e soma entre os números.

Desenvolvimento da atividade: Ler o exercício e calcular a resposta mentalmente

ou através de rascunhos.

(OBMEP nível1 2006)42 Quanto é 99 + 999 + 9 999?

A) 10 997

B) 11 007

42


C) 11 097

D) 99 997

E) 99 999

Resposta: Alternativa C.

Oitavo dia (4 horas):

No oitavo e último encontro os alunos serão recepcionados com

agradecimentos por estarem presentes (5min.). Neste dia os alunos responderão

problemas variados e será explicado aos mesmos que será uma pequena

Olimpíada de Matemática e eles deverão chegar a uma solução sem discutir com

o grupo ou com a professora sobre os problemas dados. Os problemas serão

respondidos individualmente e após a resolução dos problemas, será feita a

correção e também marcado o número de acertos. Os alunos que obtiverem mais

acertos serão premiados com homenagem e lembrancinhas. (3:40min).

PROBLEMA 01 Terreno

Objetivo: Determinar o perímetro através de cálculo.

Conteúdo: Medidas de comprimento.

Pré-requisito: Saber somar medidas.

Desenvolvimento da atividade: Cada aluno vai ler o problema e tentar entender a

maneira correta para efetuar o mesmo.

(OBMEP nível1 2005)43 Daniela quer cercar o terreno representado pela figura 1.

Nessa figura dois lados consecutivos são sempre perpendiculares e as medidas

43

Prova OBMEP 2005 –Nível 1 – 1ª Fase – P. 2, n. 8.

de alguns lados estão indicadas em metros. Quantos metros de cerca Daniela

terá que comprar?

Figura 1: Terreno

A) 140 B) 280 c) 320 D) 1 800 E) 4 800

Resposta: Alternativa B

PROBLEMA 02 Litros de gasolina

Objetivo: Desenvolver o raciocínio através de cálculos.

Conteúdo: Medida de capacidade

Pré-requisito: Entender que operação terá que usar para encontrar a solução.

Desenvolvimento da atividade: Ler individualmente e tentar interpretar o mesmo

através de cálculos para se chegar a solução.

(OBMEP nível1 2005)44 A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é

de 50 litros. As figuras 2 e 3 mostram o medidor de gasolina do carro no momento

de partida e no momento de chegada de uma viagem feita por João. Quantos

litros de gasolina João gastou nesta viagem?

44


Figura 2: Litros de gasolina Figura 3: Litros de gasolina

A) 10 B) 15 C)18 D) 25 E) 30

Resposta: Alternativa D. As figuras mostram que o tanque de gasolina do carro

continha ¾ no momento da partida e ¼ no momento de chegada. Deste modo

João gastou ¾ - ¼= ½ do tanque na viagem. Como o tanque tem capacidade para

50 litros, metade de 50 é 25 litros.

PROBLEMA 03 Aninha

Objetivo: Interpretar e calcular corretamente.

Conteúdo: Números decimais.

Pré-requisito: Ter noção de peso e operações com números decimais.

Desenvolvimento da atividade: Ler e interpretar o problema.

(OBMEP nível1 2006)45 Aninha nasceu com 3,250 quilos. A figura 4 mostra

Aninha sendo pesada com um mês de idade. Quanto ela engordou, em gramas,

em seu primeiro mês de vida?

45


Figura 4: Aninha

A)550 B)650 C)750 D)850 E)950

Resposta: Alternativa D. 4100 – 3250 = 850 gramas.

PROBLEMA 04 Partes iguais

Objetivo: Identificar a figura correspondente.

Conteúdo: Geometria e proporção.

Pré-requisito: Saber identificar partes de um todo.

Desenvolvimento da atividade: Ler com atenção para interpretar e identificar a

alternativa correta.

(OBMEP nível1 2008)46 Cada uma das figuras está dividida em 16 partes iguais.

Em qual delas a parte cinza correspondente a 5/8 da área total?

46


A)

B)

C)

D)

E)

Resposta: Alternativa D. Todas as figuras são formadas por 16 partes iguais e

5/8=10/16. Logo, a única figura que serve é a que tem 10 partes de cor cinza.

PROBLEMA 05 Praça de Quixajuba

Objetivo: Analisar com atenção que horas o relógio estava marcando.

Conteúdo: Medidas de tempo.

Pré-requisito: Ter noção de medidas de tempo e saber interpretar o problema

dado.

Desenvolvimento da atividade: Ler e analisar o desenho, tentando assim

interpretar o mesmo.

(OBMEP nível1 2009)47 Benjamim passava pela Praça de Quixajuba, quando viu

o relógio da praça pelo espelho da bicicleta, como na figura 5. Que horas o relógio

estava marcando?

Figura 5: Praça de Quixajuba

A)5h 15min B)5h 45min C)6h 15min

D)6h 45min E)7h 45min

Resposta: Alternativa A. 5h 15min.

47


PROBLEMA 06 Expressões

Objetivo: Proporcionar aos alunos a oportunidade de calcular com atenção.

Conteúdo: Expressões numéricas.

Pré-requisito: Ter habilidades com as operações.

Desenvolvimento da atividade: Observar as expressões numéricas e calculá-las.

(OBMEP nível1 2007)48 Qual das expressões tem maior resultado?

A) (6 + 3) x 0

B) 6 x 3 x 0

C) 6 + 3 x 0

D) 6 x (3 + 0)

E) 6 + 3 + 0

Resposta: Alternativa D

4. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS:

Acredita-se que as atividades propostas por meio da resolução de

problemas sejam uma busca interessante de interpretação e diálogo para que o

grupo sinta-se desafiado e motivado em resolver.

A implementação da unidade didática representa uma etapa de

responsabilidade e muitos desafios. O objetivo deste material é aprimorar e

oportunizar novos talentos ajudando-os em sua formação crítica e reflexiva.

Durante a aplicação do Projeto de Intervenção Pedagógica, o docente

avaliará e observará continuamente os progressos dos alunos. Por se tratar de

crianças com níveis diferentes e ritmos próprios de aprendizagem, pode ser

necessário fazer alterações nos problemas propostos, visando o aperfeiçoamento

48 Prova OBMEP 2007 – Nível 1 – 1ª Fase – P. 1, n. 2.

do trabalho e a concretização dos objetivos almejados nesta experiência

inovadora.

REFERÊNCIAS

__________Sobre a Resolução de Problemas de Matemática na High Shool. In: Krilik, S; Reys, R.E.A. Resoluções de Problema na Matemática escolar. São Paulo: atual, 1997.

BUTHS, Thomas. Formulando Problemas Adequadamente. In: Krulik, S; Reys, R. E. Escolar. São Paulo: Atual, 1997.

DANTE. Luiz Roberto, Didática de Resoluções de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2005.

Edição Especial OBMEP - Volume 2 da coleção Explorando o Ensino de Matemática – 2009.

FORMIN. Dmitri, GENKIN. Sergey, ITENBERG Ilia, Círculos Matemáticos - Experiência Russa.

OBM – Olimpíada Brasileira de Matemática. Disponível em www.obm.obm.org.br. Acesso em 05 de novembro de 2013.

OBMEP 2005 – nível 1–1ª fase - Somando Novos Talentos para o Brasil.

OBMEP 2006 – nível 1 – 1ª fase - Somando Novos Talentos para o Brasil.



OBMEP 2010 – nível 1 - Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de questões.

http://www.obm.obm.org.br/

OBMEP 2011 – nível 1 - Somando Novos Talentos para o Brasil – Banco de questões.



OBMEP. Regulamento 2012.s.d. disponível em: >http:/www.obmep.org.br/regulamento.html>acesso em 28 de outubro de 2013.

OMEP- PIC 2012 - Métodos de Contagem e Probabilidade http://www.obmep.org.br/docs/Apostila2-contagem.pdf (dia 06/11/2013).

PARANÀ, Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática, Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Curitiba PR, 2008.

POLYA. G. A Arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

http://www.obmep.org.br/docs/Apostila2-contagem.pdf

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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE … · Montar com palitos de fósforo a figura e, usando o raciocínio lógico, montar as igualdades corretamente movimentando alguns palitos