Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

1 FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO – PRODUÇÃO DIDÁTICO–PEDAGÓGICA TURMA PDE/2013

Título: Equações de 1º grau com uma variável: uma questão de equilíbrio.

Autora Nilva Ropelatto Abreu

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Enira Moraes Ribeiro – EFMP

Município da escola Paranavaí

Núcleo Regional de Educação Paranavaí

Professor Orientador Carlos Ropelatto Fernandes, Prof. M. Sc.

Instituição de Ensino Superior UNESPAR/FAFIPA

Relação Interdisciplinar

(indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)

Não está prevista

Resumo Esta produção didático-pedagógica tem por objetivo principal resgatar e utilizar os conhecimentos sobre as operações aritméticas e suas propriedades para compreender e construir estratégias significativas para o cálculo algébrico, principalmente a resolução de equações de 1º grau com uma variável. Elaboramos esse material didático acreditando que a metodologia a ser explorada possa ser uma forma, através de variadas situações abordadas, em que o aluno pense, expresse algebricamente e produza significados para os conceitos abstratos encontrados nas equações de 1º grau.

Palavras-chave (3 a 5 palavras) Álgebra; Equações de 1º grau; Recursos Didáticos.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo 7º Ano do Ensino Fundamental

2 APRESENTAÇÃO

Esta produção didático-pedagógica tem por objetivo principal resgatar e

utilizar os conhecimentos sobre as operações aritméticas e suas propriedades para

compreender e construir estratégias significativas para o cálculo algébrico,

principalmente a resolução de equações de 1º grau com uma variável. O material

didático será aplicado durante a implementação pedagógica na escola, numa turma

de 7º ano do Ensino Fundamental do Colégio Estadual Enira Moraes Ribeiro –

Ensino Fundamental, Médio e Profissionalizante.

A matemática é importante como organizadora do pensamento. Ela não é

somente um conjunto de técnicas e de maneiras de resolver equações e de fórmulas

para calcular. Na realidade, o que dá poder e encanto à matemática são as ideias.

Dentro da estrutura da matemática existe a linguagem algébrica e dentro

destas as equações. Embora seja possível resolver muitos problemas com a

aritmética, em geral a álgebra com o uso das equações permite resolvê-los de

maneira mais rápida e uniforme, por isso, além de conhecer e saber utilizar as

propriedades das operações numéricas é necessário dominar as propriedades e

técnicas do cálculo algébrico.

De acordo com Paraná (2008), nas Diretrizes Curriculares da Educação

(DCEs) de Matemática:

o conceito de álgebra é muito abrangente e possui uma linguagem permeada por convenções diversas de modo que o conhecimento algébrico não pode ser concebido pela simples manipulação de conteúdos abordados isoladamente. Defende-se uma abordagem pedagógica que os articule, na qual os conceitos se complementem e tragam significado aos conteúdos abordados. (PARANÁ, 2008, p. 52).

A partir dessa reflexão procurar-se-á na elaboração deste material didático

sobre o estudo das equações de 1º grau com uma variável usar recursos didáticos,

que orientem o aluno para que caminhe em direção ao processo de generalização.

Na abordagem escolar, ao falarmos de álgebra quando começam as

representações simbólicas aparecem as dificuldades dos alunos. Pelas experiências

em sala de aula com os alunos do 7º ano do Ensino Fundamental pode-se perceber

que quando o aluno ouve falar em álgebra, aqui se tratando das equações,

pergunta-se: para que servem tantas letras? Este material será elaborado pensando-

se em responder a este questionamento e tentar também responder as

problemáticas abaixo:

Nesta fase escolar, ao se trabalhar com a álgebra, o aluno já desenvolveu

o pensamento algébrico em estudos anteriores? Isso dificultará a sua

aprendizagem ao se tratar deste assunto?

Utilizando uma metodologia baseada nas operações inversas e nos

princípios de equivalência das igualdades, em que serão feitas analogias

com a balança de dois pratos, o aluno desenvolverá o pensamento

algébrico, compreenderá e construirá significados para a resolução de

equações de 1º grau com uma variável?

Diante de tanta dificuldade encontrada pelo aluno no que se refere à

compreensão dos conceitos algébricos, o conteúdo equações de 1º grau com uma

variável será encaminhado tendo o cuidado de explorar a passagem da aritmética

para a álgebra sem que haja ruptura entre as mesmas, e sua relação com as

propriedades e algoritmos que o aluno já conhece, ou seja, partindo-se sempre do

paralelo entre a linguagem numérica e a algébrica e entre o cálculo numérico e o

algébrico.

De acordo com Lins e Gimenez (1997, p. 152), “a educação algébrica deve

compreender dois objetivos centrais: 1) permitir que os alunos sejam capazes de

produzir significados para a álgebra; e, 2) permitir que os alunos desenvolvam a

capacidade de pensar algebricamente.” Com a metodologia que será desenvolvida

usando-se a manipulação da balança de dois pratos, espera-se que o aluno consiga

apropriar-se desses significados para que possa aplicá-los nas mais diversas

situações algébricas. Pretende-se que o aluno também construa o significado da

igualdade entre os membros da equação e desenvolva outras habilidades tais como:

o significado de equação e as manipulações que fazemos para validar a igualdade

em uma equação.

Nesta proposta do material didático, ao se trabalhar com a álgebra, espera-se

que o aluno desenvolva o pensamento algébrico e compreenda e construa

significados para a resolução de equações de 1º grau com uma variável. Para isso,

será utilizada uma metodologia em que serão feitas analogias com a balança de dois

pratos, baseadas nas operações inversas e os princípios de equivalência das

igualdades.

A proposta de utilizar materiais manipuláveis (balança de pratos e moedas)

tem por objetivo auxiliar a compreensão dos conceitos matemáticos tornando assim

o ensino significativo, pois, segundo Gavanski e Lima (2010),

o uso de materiais concretos é justificado, sobretudo, por seu valor e sua importância na dinâmica das aulas, tornando-se mais atrativas. Certamente, contribui para a melhoria da qualidade do ensino e para a aprendizagem significativa; auxilia na construção e compreensão de conceitos matemáticos; na motivação dos alunos incentivando o gosto pela Matemática; ajuda a desenvolver o raciocínio, a criatividade e a linguagem dos alunos; torna os alunos mais participativos nas aulas. (GAVANSKI; LIMA, 2010, p. 106).

Acredita-se que não se pode aprender com compreensão apenas pela

demonstração do professor, mas sim, quando o aluno experimenta e registra cada

descoberta feita. Por isso, passar pela experiência de resolver equações realizando

analogias com a balança de dois pratos realmente poderá fazer com que seja

possível compreender a aplicação dos princípios de equivalência das igualdades e

as operações inversas, deixando de ser assim uma tarefa mecânica.

Será trabalhada a compreensão da técnica resolutiva baseada em dois

recursos: as operações inversas e a “ideia da balança” (equilíbrio – princípios de

equivalência), com a meta de não se tratar a resolução de equações como mera

tarefa mecânica, não havendo o típico “muda de lado e muda-se o sinal”, pois é

importante que o aluno entenda que na regra de “passar para o outro lado” está

embutido um conceito matemático chamado operação inversa, pois as equações

não devem ser pensadas apenas como um mecanismo para se isolar incógnitas

com solução única. O professor proporcionará também a discussão sobre o conjunto

solução da equação para que fique claro qual o domínio numérico a que se refere.

Durante a aplicação da metodologia é importante que fique bem claro o

conceito de operações inversas, pois além de ser usado na resolução de equações

de 1º grau, o mesmo será utilizado na resolução de outros tipos de equações e

situações, em estudos posteriores, como por exemplo: equações exponenciais,

logarítmicas e irracionais, na trigonometria e nos cálculos de ângulos de triângulos.

É nessa perspectiva que elaboramos esse material didático, acreditando que

a metodologia a ser explorada possa ser uma forma, a partir de variadas situações

abordadas, em que o aluno pense, expresse algebricamente e produza significados

para os conceitos abstratos encontrados nas equações de 1º grau.

3 MATERIAL DIDÁTICO

3.1 SÍMBOLOS/CÓDIGOS E LINGUAGENS

TAREFA 1: Usamos muitos símbolos/códigos convencionais para representar ou

transmitir uma informação, que são nacionais ou universais. Existem dois tipos de

códigos: os que “escondem” a mensagem (por exemplo: senhas do cartão

magnético de clientes para acessar os caixas eletrônicos de bancos) e os que são

combinados para todas as pessoas usarem (exemplos: placas de trânsito e códigos

usados nas redes sociais para nos comunicar).

a) Desenhe cinco símbolos que você conhece. Depois peça para o seu colega

escrever o significado de cada um.

TAREFA 2: Existe um tipo de linguagem chamada de carta enigmática que mistura

desenhos e palavras ou mensagens secretas que podem ser escritas com a

substituição de números ou símbolos por letras.

a) No quadro com o alfabeto latino coloque o valor de cada letra abaixo dela.

Empregue os números de 1 a 26 na ordem crescente.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

b) Decifre a mensagem, substituindo os números por letras de acordo com os

valores de cada letra do quadro anterior.

22 15 3 5 5 21 13 1 16 5 19 19 15 1 13 21 9 20 15

5 19 16 5 3 9 1 12

c) Escreva uma mensagem para seu colega decifrar usando números

(conforme o exercício acima).

d) Um aluno chamado João, usando o quadro do alfabeto com seus devidos

valores (conforme a atividade do item a) e uma operação matemática,

pensou em uma regra e determinou que o valor do nome MARIA era igual a

42. Descubra e escreva qual a regra usada pelo João. Utilizando a regra

que João usou qual o valor de seu nome? Escolha o nome de um colega e

escreva qual o seu valor. Os nomes mais compridos têm sempre os valores

elevados? Justifique.

(Atividade adaptada de ZASLAVSKY, 2000. p. 73).

e) No quadro com o alfabeto latino foi designado um símbolo para cada letra.

A B C D E F G H I J K L M

N O P Q R S T U V W X Y Z

Usando os símbolos do quadro, escreva uma mensagem para o seu

colega decifrar (você pode usar símbolos e letras).

f) Utilizando as informações do quadro, onde cada símbolo representa um

valor numérico, substitua os símbolos por números e resolva as operações.

Depois, escreva o resultado encontrado usando os símbolos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

+

Some com e depois divida por . Que resultado encontrou?

Multiplique por e diminua . Qual o resultado?

TAREFA 3: Agora vamos usar outros símbolos associados a operações para

comunicar ideias matemáticas. Escreva as frases na linguagem matemática

representando o valor desconhecido por uma letra.

a) Um número somado com três é igual a oito.

____________________

b) Pensei um número e depois o somei com outro número.

____________________

c) Um número dividido por cinco é igual a três.

____________________

d) O dobro de um número somado com cinco.

____________________

e) Um número dividido por quatro é igual a dois.

____________________

f) O triplo de um número menos quatro.

____________________

g) A terça parte de um número mais seis.

____________________

h) Um número menos quatro é igual a doze.

____________________

i) O dobro de um número é igual a dez.

____________________

j) O triplo de um número é igual a quinze.

____________________

3.2 EXPRESSÕES LITERAIS OU ALGÉBRICAS

As frases escritas na linguagem Matemática que apresentam letras e podem

conter números são chamadas de expressões literais ou algébricas. As expressões

algébricas são estudadas por um ramo da Matemática chamada Álgebra, no qual

também se estudam equações e cálculo com variáveis e incógnitas, as quais são

representadas por letras.

3.3 EQUAÇÕES DE 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL

Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual haja uma ou

mais letras representando números desconhecidos, é denominada equação.

A palavra equação tem o prefixo equa, que quer dizer igual, já a palavra

incógnita significa desconhecida.

Toda equação tem:

Uma letra que indica um número desconhecido;

E o sinal de = (igual).

A letra utilizada para representar um número desconhecido é a incógnita da

equação. Na equação 2x + 6 = 13, por exemplo, a incógnita é x.

Numa equação, a expressão que vem à esquerda do sinal de igual é

chamada de 1º membro e a da direita de 2º membro.

2x + 6 = 13

↕ ↕

1º membro 2º membro

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

2x + 6 = 13

↕ ↕ ↕

termos da equação

De acordo com Castrucci, Giovanni e Giovanni Jr (2002, p. 121), toda

equação que, reduzida à sua forma mais simples, assume a forma ax = b, onde x

representa a incógnita e a e b são números racionais, com a ≠ 0 (zero) é

denominada equação do 1º Grau com uma incógnita.

TAREFA 4: De acordo com a definição de equações, copie no quadro a seguir as

seis expressões algébricas que você escreveu na TAREFA 3 que representam

equações e identifique os termos, membros e a incógnita em cada uma delas.

Equação Termos 1º membro 2º membro Incógnita

3.4 IDEIAS DE EQUILÍBRIO EM SITUAÇÕES COTIDIANAS

TAREFA 5: Pensando em ideias em que haja necessidade de equilíbrio, responda

as questões abaixo:

a) Quantos alunos tem na sala de aula?

b) Quantos são os meninos? E as meninas?

c) É possível formar pares de casais na sala de aula, sem que sobre nenhum

aluno? Se não for possível, qual deveria ser o número de meninos e

meninas?

d) Se você tem R$ 10,00, poderá comprar algum produto que custe R$ 15,00

sem ficar devendo nada? Sempre deverá levar em conta o quanto você

tem para poder gastar?

e) Em nosso dia-a-dia há necessidade de adequarmos nossos gastos aos

ganhos que recebemos? Por quê?

f) Para podermos conviver bem com as outras pessoas há necessidade de

termos controle de nossas emoções? Por quê?

g) Em nossas atitudes quanto ao consumo e descarte de produtos devemos

nos preocupar com as questões ambientais? Se sim, justifique.

3.5 BALANÇA DE PRATOS

A balança é um dos instrumentos de medição mais antigos que se conhece.

As balanças tiveram origem na antiga civilização egípcia, em torno de 5.000 a.C.

A balança de pratos é a mais conhecida. Embora o seu uso não seja muito

comum hoje em dia, em algumas feiras de produtos alimentícios ainda podemos

encontrá-la. É composta por dois braços paralelos e pratos nas suas extremidades.

Com ela podemos comparar o peso de dois objetos. Para realizar a pesagem,

coloca-se um ou mais objetos de peso conhecido (peso-padrão) em um prato e, no

outro, o objeto que se deseja pesar. São acrescidos ou retirados mais pesos-

padrões até que se estabeleça o equilíbrio entre os dois pratos, o que resulta no

peso relativo do objeto.

A balança de pratos e moedas (conforme a figura abaixo) será utilizada em

nossos estudos sobre as ideias de equilíbrio e as equações.

Figura 1 – Balança de pratos e moedas Figura 2 – Balança de pratos

Fonte: ABREU, 2013 Fonte: ABREU, 2013

OBS.: As moedas colocadas em cada um dos pratos sempre serão de mesma

massa.

TAREFA 6: Observando e utilizando a balança de pratos, responda aos seguintes

questionamentos.

a) Ao colocar uma moeda igual em cada um dos pratos, o que acontecerá

com a balança?

b) Se acrescentar uma moeda num dos pratos, o que acontecerá com a

balança?

c) O que se deve fazer para que a balança volte ao equilíbrio?

d) Se aumentar as moedas em um dos pratos, o que se deve fazer no outro

para que o equilíbrio se mantenha?

e) E se diminuir as moedas de um prato, deve-se fazer o mesmo no outro

prato para que o equilíbrio se mantenha?

f) Escreva o que você observou que é necessário fazer para que a balança

fique em equilíbrio.

g) Temos cinco pacotes embalados contendo 1, 2, 3, 4 e 5 moedas e escrito

sobre eles as letras x, y, z, r e s (aleatoriamente). Usando a balança e

moedas soltas (mesmo valor), vamos descobrir quantas moedas tem cada

pacote, ou seja, o valor de: x, y, z, r e s.

Ao colocar o pacote x num prato da balança, o que devo fazer para

descobrir o seu valor? Quanto vale?

Faça o mesmo com os outros pacotes e escreva o valor de cada letra:

y = ______ z = _______ r = _______ s =______

3.6 LETRAS NA ÁLGEBRA, SINAL DE MULTIPLICAÇÃO E A MULTIPLICAÇÃO

PELO NÚMERO 1

Na álgebra podemos usar as letras do alfabeto, maiúsculas e minúsculas. Já

vimos que a letra utilizada para representar um número desconhecido é a incógnita

da equação. Nas equações a letra mais usada é o x, mas pode ser usada qualquer

letra para representar a incógnita.

Em representações algébricas, para não confundirmos o sinal de

multiplicação (x) com a incógnita x (por exemplo: 3 x x = 3 vezes o x), usamos o

ponto (.) para representar a multiplicação e indicamos por 3.x ou simplesmente

suprimimos o sinal da multiplicação e escrevemos 3x. Fazemos o mesmo quando

temos 4.a = 4a ou 5.z = 5z.

Quando multiplicamos uma letra pelo número 1, por exemplo, 1x, 1b ou 1y, o

resultado será a própria letra. Portanto, 1x = x, 1b = b e 1y = y.

3.7 RESOLVENDO EQUAÇÕES DE 1º GRAU

Resolver uma equação significa descobrir o valor da incógnita que torna a

igualdade verdadeira, ou seja, é obter a solução ou a raiz da equação, pois ao

substituir a incógnita pela raiz encontrada verifica-se a igualdade, tornando a

sentença verdadeira.

TAREFA 7: Vamos usar a balança de pratos em equilíbrio e moedas para

compreender e construir significados para a resolução de equações de 1º grau com

uma variável baseando-nos em dois recursos: as operações inversas e os princípios

de equivalência das igualdades.

I.

PRIMEIRO PRATO SEGUNDO PRATO

Coloca-se 1 pacote embalado com

moedas, escrito x sobre este pacote,

e mais três moedas soltas.

Coloca-se 8 moedas soltas.

a) Registre a situação acima em forma de equação:

b) O que precisamos fazer para que só o pacote x fique no primeiro prato?

c) O equilíbrio se mantém?

d) Que ação temos que fazer nos dois pratos para que se mantenha o

equilíbrio?

e) Podemos dizer que quando se tira (subtrai) o mesmo peso dos dois pratos

da balança o equilíbrio se mantém?

f) Registre a ação.

g) Que equação ficou na balança?

h) Registro da ação completa realizada.

i) Qual a solução da equação? Justifique.

II.

PRIMEIRO PRATO SEGUNDO PRATO

Coloca-se 1 pacote com moedas

embaladas escrito x – 2 sobre este

pacote.

Coloca-se 9 moedas soltas.

a) Registre a situação acima em forma de equação.

b) O que precisamos fazer para que só o pacote x fique no primeiro prato?

c) O equilíbrio se mantém?

d) Que ação temos que fazer nos dois pratos para que se mantenha o

equilíbrio?

Podemos dizer que quando se adiciona o mesmo peso aos dois pratos da

da balança o equilíbrio se mantém?

f) Registre a ação.

g) Que equação ficou na balança?

h) Registro da ação completa realizada.

i) Qual a solução da equação? Justifique.

III.

PRIMEIRO PRATO SEGUNDO PRATO

Colocam-se 2 pacotes contendo

moedas, escrito x em cada um.

Colocam-se 10 moedas soltas.

a) Registre a situação acima em forma de equação.

b) Em quantas partes teríamos que dividir o conteúdo do prato 1 para obter

somente um pacote com x moedas neste prato? Dividir por dois significa

que devo retirar um pacote x?

c) O que deve ser feito no outro prato para não desequilibrar a balança?

Dividir novamente por dois, significa que devo retirar a metade das

moedas?

d) Podemos concluir qual é o valor do x?

e) Que equação ficou na balança?

f) Some x com x. Qual é o resultado?

g) Registro da ação completa realizada.

h) Podemos dizer que 5 é a solução da equação? Justifique.

IV.

PRIMEIRO PRATO SEGUNDO PRATO

Coloca-se 1 pacote com moedas

embaladas escrito y/3 sobre o pacote.

Colocam-se 2 moedas soltas.

a) Registre a situação acima em forma de equação.

b) O que significa y/3? É o mesmo que dividir o valor de y por 3?

c) Quantas vezes deve-se multiplicar o pacote y/3 para se obter um pacote

inteiro de y moedas?

d) Para responder, verifique na balança.

É correto então colocar mais dois pacotes com moedas embaladas e

escrito y/3 no primeiro prato?

O que deve ser feito no outro prato para não desequilibrar a balança?

e) Podemos concluir qual é valor do y?

f) Registro da ação completa realizada.

g) Então podemos dizer que 6 é a solução da equação? Justifique.

3.8 EQUAÇÕES EQUIVALENTES E OS PRINCÍPIOS DE EQUIVALÊNCIA

Nas quatro situações representadas na TAREFA 7 vimos que é possível

retirar ou colocar moedas na balança sem desequilibrá-la, desde que se retire ou

coloque a mesma quantidade em cada prato.

Duas ou mais equações que apresentam o mesmo conjunto solução (não

vazio) são denominadas equações equivalentes.

Pode-se escrever uma equação equivalente a uma equação dada por meio de

algumas transformações baseadas nos princípios de equivalência das igualdades.

Mori e Onaga (1996, p. 104) definem os princípios de equivalência das igualdades:

aditivo e multiplicativo, conforme abaixo:

3.8.1 Princípio Aditivo das Igualdades

Adicionando ou subtraindo um mesmo número aos dois membros de uma

igualdade obtém-se uma outra sentença que ainda é uma igualdade.

3.8.2 Princípio Multiplicativo das Igualdades

Multiplicando ou dividindo por um mesmo número (diferente de zero) os dois

membros de uma igualdade obtém-se uma nova sentença que ainda é uma

igualdade.

3.9 AS EQUAÇÕES E AS OPERAÇÕES INVERSAS

TAREFA 8: Analise o processo que foi utilizado para resolver as quatro equações da

TAREFA 7, depois descreva o que foi realizado em cada equação para encontrar a

solução:

a) x + 3 = 8 ______________________________________________

x + 3 – 3 = 8 – 3 ______________________________________________

x = 5 ______________________________________________

b) x – 2 = 9 ______________________________________________

x – 2 + 2 = 9 + 2 ______________________________________________

x = 11 ______________________________________________

c) 2x = 10 ______________________________________________

2x:2 = 10:2 ______________________________________________

x = 5 ______________________________________________

d) y/3 = 2 ______________________________________________

3.y/3 = 3.2 ______________________________________________

3/3y = 6 ______________________________________________

y = 6 ______________________________________________

e) A operação inversa da adição é a subtração e vice-versa. A operação

inversa da multiplicação é a divisão e vice-versa. O que se pode concluir

quanto à utilização das operações inversas ao resolver uma equação?

f) Na prática, ao resolver uma equação, é necessário fazer todas as

operações que aparecem na resolução das equações acima? Justifique.

TAREFA 9: Encontre a solução das seguintes equações, usando as operações

inversas, a ideia do equilíbrio da balança e aplicando os princípios aditivos e

multiplicativos das igualdades.

a) a + a + a – 2 = 7

b) 3b + 5 = 17

c) x/2 – 4 = 3

d) y + 2y = 5 + 4

TAREFA 10: Usando desenhos de uma balança de dois pratos em equilíbrio,

represente cada situação abaixo. Escreva as equações que as representam (use

uma letra para os objetos) e resolva-as usando as operações inversas e aplicando

os princípios aditivos e multiplicativos das igualdades.

a)

PRIMEIRO PRATO SEGUNDO PRATO

Um peso de 8 kg Um pacote de arroz e um peso de

3 kg

b)

PRIMEIRO PRATO SEGUNDO PRATO

Dois sacos de batatas de pesos iguais Um peso de 16 kg

c)

PRIMEIRO PRATO SEGUNDO PRATO

Quatro caixas com pesos iguais, um

peso de 5 kg e outro de 3 kg.

Um peso de 20 kg e uma caixa de

peso igual as do 1º prato

d)

PRIMEIRO PRATO SEGUNDO PRATO

Três litros de leite com pesos iguais e um

peso de 1 kg.

Dois litros de leite de peso igual

aos do 1º prato e um peso de

2 kg.

TAREFA 11: Forme grupos com três alunos. Pesquisem no livro didático fornecido

pelo professor, no capítulo sobre equações de 1º grau. Encontre três atividades com

balanças, copie-as e resolva-as. Depois cada aluno da equipe irá apresentar e

explicar no quadro negro uma atividade para toda a classe.

TAREFA 12: A professora pediu aos seus alunos que resolvessem a equação:

6x + 3 = 15.

Um aluno resolveu a equação da seguinte forma:

6x = 15 + 3

x = 18

x = 18 – 6

x = 12

a) Ele cometeu dois erros na resolução. Quais foram os erros?

b) Resolva corretamente a equação.

(Atividade adaptada de ANDRINI; VASCONCELLOS, 2012, p. 205).

3.10 ABORDAGEM HISTÓRICA DAS EQUAÇÕES

TAREFA 13: Vamos pesquisar sobre a origem dos símbolos, no texto: A origem dos

símbolos, páginas 22 a 31, do livro Equação: o idioma da álgebra, da coleção

Contando a História da Matemática, do autor Oscar Guelli. Com base no que leu,

responda os questionamentos abaixo:

a) As equações sempre foram escritas da forma que as representamos

atualmente?

b) A história nos conta que Diofante (325 – 409 a.C.) de Alexandria foi o

primeiro matemático a fazer uso sistemático de abreviações nos problemas

e nas operações com números. Quais os símbolos que usava para

representar as equações abaixo?

x + 4 = 16 ______________________________________________

x – 3 = 10 ______________________________________________

4x + 15 = x + 18 ______________________________________________

c) Como é conhecido o matemático François Viète (1540 – 1603)? Justifique.

d) Quais os significados e a que se referiam os termos al-jabr e qabalah no

livro sobre as operações al-jabr e qabalah?

e) Qual letra Viète usava para representar os sinais de mais e menos nas

equações? Qual foi o pensamento de Viète para usar o sinal de + e – nas

equações? E o que significava a palavra in nas equações?

f) Quais matemáticos usaram o sinal de igual nas equações de Viète?

g) Quem aperfeiçoou a álgebra de Viète? E quais as inovações que criou?

3.11 GENERALIZAÇÕES NA ÁLGEBRA

TAREFA 14: Cada sequência a seguir tem uma regularidade. Determine os dois

próximos termos em cada sequência e explique como funciona cada uma:

a) 2, 4, 8, 10, ____, ____.

b) 1, 6, 11,16, ____, ____.

c) 1, 2, 4, 8, 16, ____, ____.

d) 64, 32, 16, ____, ____.

e) Escreva simbolicamente a regra que determina o próximo termo em cada

sequência acima, considerando cada termo como valor de n.

TAREFA 15: Usando palitos de sorvete faça um triângulo. Acrescentando sempre

dois palitos, vá obtendo novos triângulos.

a) Desenhe como ficou o 1º e o 2º triângulo. Quantos palitos foram usados em

cada um?

b) Observe o quadro e complete-o, se necessário recorra aos palitos de

sorvete:

Número de triângulos Número de palitos

1

2

3

4

8

12

c) O número de palitos é igual ao número de triângulos?

d) É possível escrever a regra que permite você saber quantos palitos deve

usar num desenho para qualquer quantidade de triângulos? Explique como

você pensou.

e) Usando p para representar o número de palitos e t, o número de triângulos,

tente escrever simbolicamente a regra que existe na relação do número de

triângulos com o número de palitos.

f) Use a regra simbólica para descobrir quantos palitos são necessários para

construir 50 triângulos. E 80 triângulos? E 120 triângulos?

TAREFA 16 –Observe a sequência de figuras abaixo:

a) Qual a próxima figura da sequência? Desenhe.

b) E a seguinte? Desenhe.

c) Escreva a regra de formação dessa sequência.

d) Observando a sequência, quantos losangos têm cada figura?

e) Quantos losangos têm a 6ª figura da sequência?

f) Que expressão algébrica pode ser escrita para representar a regra dessa

sequência?

g) Usando a expressão algébrica que representa a regra da sequência,

determine a quantidade de losangos da 9ª, 20ª e da 100ª figura da

sequência.

(Atividade adaptada de SOUZA; DINIZ, 1996. p. 24).

TAREFA 17: Certo encanador cobra R$ 45, 00 fixos a cada trabalho realizado mais

R$ 8,00 por hora de trabalho.

a) Escreva uma expressão algébrica que represente o valor cobrado por esse

encanador em x horas de trabalho.

b) Quantos reais esse encanador vai cobrar por um trabalho de 4 horas? E de

6 horas?

TAREFA 18: Uma pessoa calça sapatos tamanho 37. Será que ela tem um pé com

37cm de comprimento?

Nada disso! Um sapato tamanho 37 corresponde a um pé com 24 cm de

comprimento, aproximadamente.

Para dar essa informação, nós usamos a fórmula algébrica:

S = 5p + 28 S = Número do sapato.

4 p = Comprimento do pé em centímetros.

a) Use a fórmula para confirmar a resposta dada acima, onde p = 24 cm.

b) Agora veja se a fórmula funciona para você. Meça o comprimento do seu

pé, e aplique a fórmula resolvendo a equação.

c) Se uma pessoa calça sapato número 40. Qual é o comprimento do seu pé?

(Informações e atividade adaptadas de IMENES; JAKUBOVIC; LELLIS,

1992. p. 5-6).

TAREFA 19: Pesquise no livro didático fornecido pelo professor, no capítulo sobre

equações de 1º grau, duas atividades envolvendo sequências, copie-as e resolva-as.

3.12 PROBLEMAS DE MATEMÁTICA E A APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES

Os grandes matemáticos do passado realizavam até mesmo competições em

praça pública para ver quem era capaz de achar a solução para certos problemas.

Hoje, desafio você a encontrar a solução para os problemas propostos nas tarefas

abaixo. Sei que será capaz.

TAREFA 20: Qual é a mágica? Posso adivinhar a idade de qualquer aluno da sala.

Duvidam disso? Então, cada um pensa em sua idade, registra e resolve as

operações que escrevi abaixo. Quando terminarem, vou perguntar a três alunos da

sala, qual o resultado que cada um encontrou, de acordo com as respostas de cada

um, direi as suas idades. Vamos lá:

Pense na sua idade;

Multiplique sua idade por 4;

Some 20 ao resultado;

Subtraia o dobro de sua idade;

Tire 10;

Some o triplo de sua idade ao resultado;

Qual o resultado final?

a) Qual será a mágica? Será que tem alguma relação com o cálculo das

equações?

b) Após descobrir a mágica, formem duplas e tentem adivinhar a idade de seu

colega.

c) Será que a mágica funciona se seu amigo escolher e efetuar as operações

com a idade dele? Façam juntos: o amigo escreve as operações, você

registra e resolve a equação. Escreva o que podemos concluir.

(Adaptada de Guelli, 1992, p. 38).

TAREFA 21: O desafio agora é resolver um problema antigo sobre herança,

parecido com aqueles que os matemáticos árabes resolviam há mil anos. Entre os

árabes, as heranças costumavam ser repartidas de modo a favorecer o filho mais

velho.

a) Meus 45 camelos serão dados aos meus filhos. O filho do meio terá o

dobro do caçula. O mais velho terá o triplo do caçula mais 3. Quantos

camelos cada filho receberá? Dica: use seus conhecimentos sobre

equações, traduzindo o problema para a linguagem algébrica.

(Adaptada de Imenes; Lellis, 1997, p. 206-207).

TAREFA 22: Agora você irá usar o seu livro didático. O professor irá selecionar

problemas envolvendo o estudo sobre equações e propor que você os resolva.

Sucesso nas resoluções.

4 ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

4.1 SÍMBOLOS/CÓDIGOS E LINGUAGENS

TAREFA 1: Antes de iniciar a tarefa, o professor poderá discutir com os alunos sobre

a importância dos códigos em nossos dias, exemplo: “a senha” no uso do cartão

magnético. E os códigos/símbolos que são nacionais ou universais, combinados

para todas as pessoas usarem (ex. sinais de trânsito). Utilizar slides (no projetor

multimídia) com figuras de variados símbolos, ir mostrando um a um, pedir que os

alunos digam o que significam. Propor a tarefa. Seria interessante que os alunos

estivessem dispostos em duplas.

TAREFA 2, letras a, b, c, d, e: Com o objetivo de ensinar o que é criptografia; dar

exemplos de códigos e ensinar a importância da criptografia até os dias de hoje,

poderá ser passado o vídeo da Série Matemática na escola, dos autores Torezzan,

Roman e Cuyabano intitulado: A César o que é de Cesar, disponível:

<http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1067>, com duração de 12 minutos. Após

assistirem ao vídeo e promover as discussões, propor que realizem a TAREFA 2 da

letra a até a letra e.

TAREFA 2, letra f: A ideia é introduzir a incógnita de maneira lúdica, pois a tarefa

apresenta símbolos e números juntos. Após os alunos realizarem a tarefa, o

professor poderá desafiar os alunos a criarem mais operações usando o quadro e

realizar trocas entre os colegas para que as resolvam.

TAREFA 3: Professor, nesta tarefa o aluno irá traduzir as frases para a linguagem

matemática, com o intuito de ajudá-los a familiarizar-se com as representações,

como símbolos e letras, buscando desenvolver o seu pensamento algébrico.

4.2 EXPRESSÕES LITERAIS OU ALGÉBRICAS

Conforme sugestões que constam nas orientações da TAREFA 4, o professor

entrega os textos com as definições de expressões literais ou algébricas dos itens

3.2 e 3.3 deste material.

4.3 EQUAÇÕES DE 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL

TAREFA 4: A sugestão é que o professor divida a sala em grupos, distribua um livro

didático de autores diferentes para cada grupo e proponha uma pesquisa sobre a

definição das expressões literais ou algébricas e equações de 1º grau com uma

variável e dentro das equações o significado das letras, membros e termos. Após

realizar a pesquisa, sorteie o grupo para que apresente a sua pesquisa a toda a

turma da sala. Os próximos grupos sorteados complementarão a pesquisa.

Sugestão de vídeo: Sétimo Ano – Cálculos Algébricos (Parte 01). Disponível

em <https://www.youtube.com/watch?v=qI5GDUqJSQA>, com duração de 11

minutos. Revisa o que são expressões algébricas e a sua simplificação através de

exemplos práticos.

O professor entrega os textos com as definições conforme itens 3.2 e 3.3

deste material, os alunos farão a leitura e de acordo com as pesquisas realizadas

poderão completar os textos.

Para reforçar a pesquisa, pode-se passar o vídeo: Sétimo Ano - Equações do

Primeiro Grau (Parte 01).mp4 – disponível no endereço: https://www.youtube.com/

watch?v=zXdILkwwmN0 com duração de 12 minutos. A sugestão é para que o

vídeo seja exibido até os 5 minutos e 27 segundos.

E nesse momento entrega a tarefa para ser realizada. Sempre ao corrigir as

tarefas proporcione a participação de todos os alunos.

4.4 IDEIAS DE EQUILÍBRIO EM SITUAÇÕES COTIDIANAS

TAREFA 5: Nesta tarefa pretende-se salientar a ideia de equilíbrio em situações

cotidianas, com o intuito de verificar a necessidade de equacionar em nosso dia–a-

dia, para isso o professor entrega a tarefa escrita e pede que respondam aos

questionamentos individualmente. Após todos responderem, será feita uma

discussão com a participação de toda a turma.

4.5 BALANÇA DE PRATOS

Professor entregue por escrito o texto do item 3.5, proponha a leitura coletiva,

e discuta sobre o texto e as figuras 1 e 2. Em seguida apresente a balança de pratos

e moedas (material manipulável) que será utilizada nos estudos (TAREFAS) sobre

as ideias de equilíbrio e as equações.

4.6 LETRAS NA ÁLGEBRA, SINAL DE MULTIPLICAÇÃO E A MULTIPLICAÇÃO

PELO NÚMERO 1

Professor, entregue por escrito o texto do item 3.6, proponha a leitura e

solicite a participação de todos os alunos nas discussões sobre o texto.

TAREFAS 6 e 7: Antes das tarefas, pode-se passar o vídeo: Sétimo Ano – Equações

do Primeiro Grau (Parte 01).mp4 – disponível no endereço: https://www.youtube.com

/watch?v=zXdILkwwmN0 com duração de 12 minutos. A sugestão é para que o

vídeo seja exibido a partir dos 5 minutos e 27 segundos, pois trata de encontrar

mentalmente a raiz da equação, ou seja, define com exemplos o que é a raiz de uma

equação de 1º grau.

A proposta nestas tarefas é de utilizar materiais manipuláveis, como a balança

de pratos (confeccionada conforme Figura 1 e 2 no item 3.5) e moedas, que tem por

objetivo auxiliar a compreensão dos conceitos matemáticos, tornando assim o

ensino significativo.

Acredita-se que não se pode aprender com compreensão apenas pela

demonstração do professor, mas quando o aluno experimenta e registra cada

descoberta feita. Por isso, para realizar a TAREFA 6, sugere-se que o aluno tenha

em mãos moedas de mesmo peso e confeccione sua própria balança usando uma

régua, dois copos de cafezinho descartáveis e três pedaços de barbante, como

mostra a Figura 3 a seguir.

Figura 3 – Balança: régua e copos

Fonte: ABREU, 2013

Para aplicar a TAREFA 7, propõe-se que o professor entregue uma atividade

de cada vez e vá realizando cada passo utilizando-se da balança e moedas,

conforme as atividades das letras a; b; c, e d. Os alunos irão observar o que

acontece com a balança diante dos questionamentos e ações do professor, que fará

analogias com o material manipulável, baseadas nas operações inversas e os

princípios de equivalência das igualdades. O aluno deverá registrar os resultados de

acordo com os questionamentos de cada atividade. Ao se trabalhar desta forma com

a álgebra, espera-se que o aluno desenvolva o pensamento algébrico, compreenda

e construa significados para a resolução de equações de 1º grau com uma variável.

4.7 EQUAÇÕES EQUIVALENTES E OS PRINCÍPIOS DE EQUIVALÊNCIA

O professor entrega por escrito o texto do item 3.8, e segue as orientações

conforme constam nas TAREFAS 8, 9, 10, 11 e 12.

4.8 AS EQUAÇÕES E AS OPERAÇÕES INVERSAS

TAREFAS 8, 9, 10, 11 e 12: Primeiro o professor entrega por escrito o texto do item

3.8, propõe a leitura coletiva, solicitando a participação de todos os alunos nas

discussões sobre o texto. Sugestão de vídeo para reforçar o assunto: Matemática –

Linguagem Algébrica. Disponível em <https://www.youtube.com/watch?v=UaK8127

JLAs> Duração 5 minutos. Depois, a proposta é para que os alunos resolvam a

TAREFA 8. Sugere-se o vídeo: Sétimo Ano – Equações do Primeiro Grau (parte

02).mp4. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Drq-_45yfRk com

duração de 19 minutos e 17 segundos, mas é viável passar o vídeo até os 7

minutos, pois até aí contribui para compreender e reforçar a aprendizagem sobre

equações.

Agora proponha as TAREFAS 9, 10, 11 e 12 (que já devem estar impressas)

individualmente, para assegurar a aprendizagem. Nesta atividade, o atendimento

será individual e o papel do professor é de observador, organizador, mediador e

incentivador da aprendizagem. Quando todos os alunos tiverem terminado a

atividade peça que, espontaneamente ou por sorteio, venham até o quadro negro

para fazer a correção das atividades. O professor sempre solicita a participação da

turma na conclusão das respostas.

4.9 ABORDAGEM HISTÓRICA DAS EQUAÇÕES

TAREFA 13: Professor, leve para a sala cópias do texto: A origem dos símbolos,

páginas 22 a 31, do livro – Equação: o idioma da álgebra, da coleção Contando a

História da Matemática, do autor Oscar Guelli. Divida a turma em grupos para

realizarem a pesquisa e responder aos questionamentos propostos na TAREFA 13.

Aqui a intenção é de proporcionar aos alunos, através da pesquisa direcionada, a

abordagem histórica das equações para que percebam a relação entre o que foi

produzido ao longo da história e o que se ensina hoje e percebam também a

importância da evolução matemática dos conteúdos no avanço tecnológico atual, o

qual não seria possível sem a contribuição das culturas passadas. Após a realização

da pesquisa e tarefa serão feitas discussões sobre o assunto para se chegar aos

objetivos propostos.

Sugestão de vídeos para completar o estudo:

Equações – Origem. Disponível em <https://www.youtube.com/watch?v=LkZ-

b8Z7_bU>. Através de uma música é contada a história da álgebra e do matemático

François Viète.

Origens da Álgebra. Disponível em <https://www.youtube.com/watch?v=

B6UxI1G26No>. Trata do significado da álgebra e onde surgiu.

4.10 GENERALIZAÇÕES NA ÁLGEBRA

TAREFAS 14, 15, 16, 17, 18 e 19: Professor, a ideia é formar grupos de 4 alunos e

propor as tarefas de 14 até 19, para que os alunos as resolvam. Essas tarefas têm

como objetivo desenvolver o pensamento algébrico, representando simbolicamente

este raciocínio, buscando a crescente generalização e abstração. Nesta atividade,

novamente, o papel do professor é de observador, organizador, mediador e

incentivador da aprendizagem, percorrendo os grupos. Quando todos os grupos

tiverem terminado as atividades, sorteie o grupo e um aluno do grupo sorteado (isso

já deve ser combinado com a turma antes de propor as atividades) para que vá até o

quadro negro para fazer a correção da TAREFA 14 e assim sucessivamente. O

professor solicita a participação da turma para ver se usaram a mesma estratégia na

resolução e concluir a resposta.

Na TAREFA 19 é interessante que o professor forneça livros didáticos de

autores diferentes para cada grupo, assim os alunos poderão contemplar uma

variedade de atividades diferentes e, cada grupo, compartilhará com toda a turma a

atividade escolhida.

4.11 PROBLEMAS DE MATEMÁTICA E A APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES

TAREFAS 20, 21 e 22: Antes de iniciar as tarefas, sugere-se que seja proporcionado

aos alunos que assistam ao vídeo: Novo Telecurso – Aula 03/70 - Matemática –

Álgebra, disponível em <https://www.youtube.com/watch?v= C86ZJcebLko> com 13

minutos de duração, o qual faz uma discussão sobre a linguagem da álgebra, o

surgimento do raciocínio algébrico desde a antiguidade e o significado dos símbolos.

Também apresenta situações problemas cotidianas e as cinco etapas importantes do

raciocínio algébrico para a resolução dos problemas.

Será importante discutir com os alunos sobre os grandes matemáticos do

passado que realizavam até mesmo competições em praça pública para ver quem

era capaz de achar a solução para certos problemas em forma de jogos e desafios.

Após as discussões desafiar os alunos para que, em duplas, encontrem a solução

para os problemas propostos nas tarefas.

Na TAREFA 20, o desafio é descobrir qual “mágica” que o professor usa para

descobrir a idade dos alunos da sala, mediante o pedido para que resolvam algumas

operações. Diante da resposta encontrada pelo aluno o professor diz qual é a idade

dele. Esta tarefa estabelece o elo entre o pensamento lógico e a representação,

chegando ao entendimento de que ao montarem uma equação descobrem a

“mágica”.

Na TAREFA 21 o desafio é resolver um problema antigo sobre herança. E na

TAREFA 22 a proposta é usar o livro didático da turma, onde o professor seleciona

os problemas envolvendo equações. Resolvidas as tarefas, os alunos são

convidados a discutirem as soluções encontradas, com toda a turma, envolvendo

todos os aspectos da resolução do problema. O professor intervém sempre que

necessário, garantindo que ocorra o ensino-aprendizagem.

5 REFERÊNCIAS

ABREU, Nilva Ropelatto. Figura 1 - Balança de pratos e moedas. Paraná. 2013. 1 fotografia, color. (Coleção Particular).

______. Figura 2 – Balança de pratos. Paraná. 2013. 1 fotografia, color. (Coleção Particular).

______. Figura 3 - Balança: régua e copos. Paraná. 2013. 1 fotografia, color.

(Coleção Particular).

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São Paulo: do Brasil, 2012.

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álgebra. 1. ed. São Paulo: Ática, 1992.

IMENES, Luis Márcio Pereira; LELLIS, Marcelo. Matemática. 1. ed. São Paulo:

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LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. 6. ed. Campinas. São Paulo: Papirus, 1997.

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