Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

PARANÁ

GOVERNO DO ESTADO

Secretaria de Estado da Educação

Superintendência da Educação Diretoria de Políticas e Programas Educacionais

Programa de Desenvolvimento Educacional

RENATO MARTINS

PIPAS: GEOMETRIA AS EXPERIÊNCIAS COM UM GRUPO

DE ALUNOS

oposta de Ação na a em forma de Unidade Didática apresentado à Coordenação Estadual do Programa de Desenvolvimento Estadual da Educação do Paraná, como requisito parcial à obtenção de título de Professor/PDE. Orientador: Professor Doutor Marcelo Rodrigues Jardim.

APUCARANÁ 2013

1. FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

Título Pipas: Geometria as experiências com um grupo

de alunos

Autor Renato Martins

Disciplina/Área Matemática/Matemática

Escola de Implementação

do Projeto e sua

Localização

Colégio Estadual Rosa Deucia Calsavara

Rua Uruguai Nº 95

Município da Escola Cambira – Paraná

Núcleo Regional de

Educação

Apucarana – Paraná

Professor Orientador Prof. Dr. Eliandro Rodrigo Cirilo

Instituição de Ensino

Superior

Universidade Estadual de Londrina – UEL

Relação Interdisciplinar Disciplina de Ciências

Resumo A presente unidade didática, tem por

finalidade buscar uma nova metodologia de

ensino que auxilie os afazeres do docente em

sua classe. O objetivo consiste em explorar os

conteúdos de área, perímetro e correlatos

abordados na disciplina de matemática do 6º ano,

visando articular conjectura e técnica. Sendo

assim, pretende-se com esta investigação

trabalhar a essência da geometria, por meio da

construção de pipas, como tática de instrução de

aprendizagem contextualizando a matemática. A

finalidade é que o aluno adquira mais

conhecimento para a construção de seu saber,

que o mesmo possa aumentar suas habilidades e

competências em decodificar conceitos. Desta

forma, o saber torna-se mais significativo e

interessante, valorizando o aluno na sociedade.

Palavras-chave Pipas; Geometria; Matemática; Brinquedos

Formato do Material

Didático

Unidade Didática

Público Alvo Alunos do 6º ano do Ensino Fundamental

2. APRESENTAÇÃO

As relações com o ensino dos conteúdos de matemática ao longo da

carreira de professor do Ensino Básico, é a bagagem que me leva a trabalhar

questões didáticas práticas que espertam o interesse dos alunos e os fazem traduzir

ensinamentos teóricos, na produção de material que foca primeiramente o ensino

da matemática e as dificuldades encontrada no processo de ensino simplesmente

teórico.

Despertar os alunos para lhes facilitar a compressão dos materiais que

transformados podem ser utilizados em métodos didáticos para a aprendizagem e

aplicação, é uma obrigação daqueles dos professores.

A experiência de décadas no ensino da matemática, tive uma visão dos

problemas de dificuldades de aprendizagem dos conteúdos ensinados teoricamente

sem que o aluno saiba porque e para que está sendo ensinado e qual a sua utilidade.

Uma experiência da utilidade da matemática da vida cotidiana e a tomada de um

conteúdo como produção de Pipas, que desperte o interesse do aluno, é possível tornar

a disciplina e seus conteúdos mais fácil de ser aprendidos e aplicados?

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

3.1 Breve Histórico da Matemática

Esta evolução histórica que projeta ao longo do tempo através de fases ou

período a matemática utilizada por diferentes civilizações, ao ser estudada com detalhes,

mostra que uma descoberta levou a outra e proporcionou importantes avanços nas

diferentes áreas de conhecimento tanto científico como tecnológico que culmina com o

atual estágio de desenvolvimento, que garante à matemática uma posição singular entre as

ciências e as construções tecnológicas que não existiriam sem ela.

Por volta do século IX e VIII a.C., a matemática engatinhava na Babilônia. Os babilônios e os egípcios já tinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse para as suas necessidades práticas, e não de uma ciência organizada. Na Babilônia, a matemática era cultivada entre os escribas responsáveis pelos tesouros reais. Apesar de todo o material algébrico que tinham os babilônios e egípcios, só podemos encarar a matemática como ciência no sentido moderno da palavra a partir dos séculos VI e V a.C., na Grécia. A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la. Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas. Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade. As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo. Inicialmente, o homem precisava ter noção de quantidade. Para isso precisava contar, quantificar para definir número de pessoas, elementos, objetos, animais, espaço de tempo, áreas, distância, etc. Era a matemática de utilidade imediata, como a que se usa no cotidiano atual (OLIVEIRA 1986, p. 6).

Segundo o autor acima citado, esta projeção evolutiva ao longo do tempo

estabelece também o fundamento da unidade matemática. Diferentes povos utilizam-se de

meios que garantem a mesma estrutura numérica para cada civilização, mesmo que

representada com símbolos diferenciados.

As convenções são diferentes. As medidas temporais, espaciais, de massa, etc.,

dão uma dimensão aparentemente variada à matemática. Entretanto, os resultados,

quando comparados, são tão semelhantes que a matemática passa a ser uma ciência

comum a todos os povos, de todos os tempos.

Os meios de ensinar e de aprender, de comunicar e utilizar a matemática ao longo

do tempo esteve sempre presente no nível de desenvolvimento de cada civilização. As

circunstâncias ambientais foram sempre fundamentais para o homem inventar e aplicar

conhecimentos matemáticos. Pode-se tomar como exemplo o caso dos egípcios, que

criaram a Geometria pela necessidade de delimitar as margens inundadas do rio Nilo, para

saber qual a área que pertencia a quem.

Todas as áreas mais desenvolvidas da matemática e de outras ciências estiveram

sempre na dependência de circunstâncias que levaram a necessidades de desenvolvimento

(tal foram as navegações para os portugueses).

Quanto maior o desenvolvimento, mais detalhado o desafio a ser vencido,

maiores detalhes foram projetados pelo homem na matemática. Na atualidade, os

fantásticos programas de computadores, os complexos e eficientes softwares, só são

possíveis com tanta precisão graças à matemática em um estágio refinado de

desenvolvimento.

Entretanto, este não têm maior importância para a humanidade atual que a das

tábuas destinadas a armazenar dados e informações extraídas das observações

astronômicas dos babilônios do passado.

As tábuas destinadas a armazenar dados, e informações extraídas de observações astronômicas, foram os primeiros bancos de dados importantes que garantiram importantes conhecimentos para gerações futuras (OLIVEIRA, 1986, p. 7).

Oliveira (1986) ressalta que a Grécia com seu desenvolvimento filosófico

teve grandes nomes desta área que foram matemáticos.

Pitágoras, Heron de Alexandria e Diofante de Alexandria, Euclides, e muitos

outros, conviveram com aqueles que praticavam a matemática cotidiana, como Talles de

Mileto.

As conquistas romanas e o envolvimento desta civilização com elementos

históricos, entre eles a presença do cristianismo, fizeram com que as ciências deixassem

de ser estudadas por séculos.

Depois vieram os muçulmanos que tomaram áreas de vários continentes e

desenvolveram as ciências, entre elas a matemática. No final da Idade Média, mesmo com

as proibições de Roma, os estudos de matemática se desenvolveram também entre os

cristãos.

A civilização grega ofereceu importante contribuição para o desenvolvimento da matemática. Mesmo depois de dominados pelos romanos, a soma das duas civilizações clássicas continuou apresentando resultados nas ciências e nas artes. Ao longo da Idade Média dois fatos importantes influenciaram opostamente no desenvolvimento da matemática: O surgimento da civilização árabe organizada sobre a influência das pregações de Maomé e a expansão deste povo por várias partes da Europa e Ásia, atingindo a Índia e somando os conhecimentos das duas civilizações, criando a matemática indo arábica, que contribui com o sistema decimal de numeração, a criação dos algarismos hoje utilizados em quase todo o mundo, substituindo os romanos, milenares. Foram utilizadas largamente as tábuas para os cálculos de valores trigonométricos, frações, raízes, etc. Foi um período de grandes conquistas entre os povos não cristãos (OLIVEIRA, 1986, p. 9).

Oliveira (1986) destaca que com o advento do Renascimento as ciências

passaram a ocupar lugar de destaque no desenvolvimento do conhecimento humano. A

matemática teve importância crescente em todas as áreas.

A expansão científica, o desenvolvimento de um trabalho cada vez mais

destacado em todos os sentidos, a aplicação de instrumentos de precisão e as descobertas

crescentes em diferentes áreas do conhecimento, fez com que a matemática alcançasse

estágios cada vez mais avançados e especialmente envolvesse o passado com o

presente. As teorias matemáticas de grandes nomes da antigüidade se projetaram para a

atualidade e passara, a ser aplicadas com a atualização de novos estudiosos.

A queda de Constantinopla em 1453 representou o colapso do Império Bizantino, e serviu como um marco cronológico conveniente na história dos acontecimentos políticos. A importância da data para a história da matemática, no entanto, é discutível. Afirma-se freqüentemente que por essa ocasião refugiados que escaparam para a Itália levaram manuscritos preciosos dos antigos tratados gregos, e assim puseram o mundo europeu ocidental em contato com as obras da antigüidade (...) A matemática clássica, executadas as partes mais elementares de Os elementos de Euclides, era uma disciplina inteiramente esotérica, só acessível aos que tinham grande preparo prévio; por isso a revelação dos tratados gregos nesse campo a princípio não interferiu muito no prosseguimento da tradição medieval. Os estudos medievais latinos da geometria elementar a teoria das proporções, bem como as contribuições árabes às operações aritméticas e métodos algébricos, não apresentavam dificuldades comparáveis às associadas às obras de Arquimedes e Apolônio. Os ramos mais elementares é que iam chamar a atenção e aparecer em obras impressas (BOYER, 1994, p. 197).

Boyer (1994) mostra que embora a matemática continue abrindo caminhos em

diferentes áreas do conhecimento, o que se tem hoje como base dos conteúdos

ensinados e aplicados, tem como fundamento a Idade Moderna, onde surgiram e

desenvolveram ao mais diversos nomes se projetaram na aritmética, na álgebra, na

geometria, nas áreas de cálculo e em toda a matemática superior, atualmente aplicada

como a base de toda uma realidade concreta, trabalhada como a grande abertura para

a realização e compreensão da lógica que se encontra embasada nesta área.

Os avanços da tecnologia que teve início com a Revolução Industrial no

século XVIII, e que chega aos dias atuais com um estágio inimaginável há poucas

décadas, principalmente nas áreas da informática, da medicina e das conquistas

espaciais, certamente não teriam a mesma precisão e nem alcançaria o mesmo

nível de realização, sem a presença da matemática.

3.2 Algumas Informações sobre a Geometria

Conceitualmente, segundo Oliveira (1986), a Geometria é uma das áreas da

Matemática extremamente usada no cotidiano, por quase todas as pessoas. Porém no

momento de aprendê-la dentro do que estabelece os princípios pedagógicos, quase ninguém a

relaciona com o eu faz.

Ao longo da história surgiram grandes nomes como Tales de Mileto, Pitágoras, além

de muitos outros que apenas se utilizaram da lógica para alcançar resultados na aplicação da

Geometria e resolver problemas inimagináveis para a época em que viveram.

No sentido moderno, geometria é a disciplina matemática que tem por objetivo o

estudo do espaço e das formas nele contidas.

Palavra de origem grega formada por geo (terra) e metria (medida). Há cerca de cinco

mil anos, os agrimensores egípcios eram capazes de marcar terrenos e medir seus perímetros

e áreas. Era uma tarefa importante porque determinava quanto de imposto cada dono de terra

pagaria. Esse conjunto de conhecimentos que possibilitava a medida de terras foi chamado de

geometria pelo historiador grego Heródoto. A partir de 600 a.C., os gregos avançaram muito

nesses conhecimentos. Assim, a geometria deixou de servir apenas para medição de terras,

transformando-se na ciência que estuda figuras como retângulos, cubos, esferas, etc e que é

um dos ramos fundamentais da matemática. Apesar de os egípcios terem sido os primeiros

agrimensores, antes deles alguns povos pré-históricos já mostravam conhecimentos de

geometria, fazendo por exemplo, tecidos ornamentados com losangos e quadrados e usando

simetrias de vários tipos.

A geometria é o estudo das propriedades das curvas e superfícies, e suas generalizações, porá meio do cálculo. Na maior parte dos casos, a geometria diferencial investiga curvas e superfícies nas vizinhanças imediatas de qualquer de seus pontos. Conhece-se esse aspecto da geometria diferencial como geometria diferencial local. Porém, há às vezes propriedades da estrutura total de uma figura geométrica que decorrem de certas propriedades locais que a figura apresenta em cada um de seus pontos. Isso leva ao que se chama de geometria integral ou geometria diferencial global (EVES, 2004, p. 601).

A Geometria pode ser vista como o estudo das formas e do espaço, de suas medidas

e de suas propriedades. Os alunos descobrem relações e desenvolvem o senso espacial

construindo, desenhando, medindo, visualizando, comparando, transformando e classificando

figuras. A discussão de idéias, o levantamento de conjeturas e a experimentação das hipóteses

precedem as definições e o desenvolvimento de afirmações formais. A exploração informal da

Geometria pode ser motivadora e matematicamente produtiva, nos primeiros ciclos do Ensino

Fundamental. Nesta etapa, o ensino de Geometria deve recair sobre a investigação, o uso de

ideias geométricas e relações, ao invés de se ocupar com definições a serem memorizadas e

fórmulas a serem decoradas.

A mais antiga disciplina matemática se ocupa do estudo das propriedades do espaço e

recebe o nome de geometria. Na Babilônia, a geometria se dedicou preferentemente à resolução

dos problemas de triângulos retângulos. Os estudos babilônicos influenciaram os geômetras

gregos, que tiveram nos Elementos de Euclides a melhor expressão de suas teorias. A geometria

de Euclides se baseou no estudo do volume das figuras geométricas de revolução (esferas,

cilindros, cones) e das regras de paralelismo e proporcionalidade.

Historicamente de acordo com Boyer (1994) nas antigas culturas do Egito e da

Mesopotâmia, a geometria consistia simplesmente de um conjunto de regras empíricas. Os

gregos, entre os quais destacou-se Euclides, no século III a.C., sistematizaram todos os

conhecimentos existentes sobre o tema e estabeleceram seus fundamentos num conjunto de

axiomas dos quais, segundo princípios dedutivos, se obtinham os demais resultados. A

discussão dos princípios da geometria euclidiana levou à construção, no século XIX, de novos

sistemas geométricos, denominados geometrias não-euclidianas, e desembocou na

generalização de seus métodos e sua aplicação a espaços cada vez mais abstratos.

A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. O

filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros historiadores das

ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações

anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida).

Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos

astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do

teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São

etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos

conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria.

E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma

definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito (BURIASCO, 1994, p. 53).

Buriasco (1994) ressalta que Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o

triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas

enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que

envolvia em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução

de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das

ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem

demonstração (postulados o axiomas) para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três

conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes

servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência

de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de

Euclides.

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano:

palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito

começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar

unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único

homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou

cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos (OLIVEIRA, 1986, p. 12).

Para Oliveira (1986) o problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto

dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o

vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam

por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo.

Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O

teorema de Pitágoras explica por que: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos

catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 32+42=52, isto é,

9+16=25.

Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-

retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente

começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo

dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície

retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastavam

contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim

nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio

extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e

dividi-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo

12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas

partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente,

é a metade da área do quadrado.

Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos (BOYER, 1994, p. 76).

Boyer ressalta que de fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso

de um rio. E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se

apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por

circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os antigos

geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar

uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo

como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver

com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a

circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais

de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo.

Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de

6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma circunferência,

basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.

E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante.

Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de

um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.

Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em

determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do

círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como

lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo

mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente

dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a

área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.

O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um

pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional, já

determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome só tem uns

duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, significando circunferência.

Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular (FERREIRA, 1991. p. 121).

Para Ferreira (1991) uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon,

que significa "muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por

intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e

outros aparelhos. “O que não é de estranhar” desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria

sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos

problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da

distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.

Geometria plana e no espaço: as ciências das figuras, que são mais concretas do que a dos números, precederam a ciência dos números. As figuras existiram antes dos números. Foi pela geometria, de fato, que os antigos gregos demonstraram seus teoremas. Os egípcios demarcavam suas terras às margens

do Nilo, antes das cheias e quando o rio voltava ao leito, retomavam as mesmas áreas mesmo que não fosse o mesmo local. Usavam para isso, as medidas das figuras planas e o método de cálculo de áreas (ANDRÉ, 1994, p. 39).

A necessidade de delimitar áreas, de ter um meio de sobreviver juntamente com a

família, através da cultura do solo, fez com que o homem criasse a ciência das figuras que

receberia mais tarde o nome de geometria, que na verdade significa “medida da terra”. Seria

impraticável a vida humana sem esta ciência, se não fosse inventada outra similar.

3.3 O Ensino da Matemática

Ao comentar a história da matemática, no capítulo anterior, verificou-se que

esta surgiu fundamentada nas necessidades do ser humano em resolver problemas

que surgiam em seu cotidiano. Hoje há uma continuidade na aplicação da

matemática para resolver os problemas que surgem no dia a dia. Porém, a solução

destes problemas não é tratada da mesma forma que antes, porque a matemática

tomou o rumo da importância científica e tecnológica e passou a ser ensinada com

estas características.

A evolução da matemática fez com que ela se transformasse em uma ciência complexa. De sua simplicidade original, foi sendo distribuída em diferentes áreas e tornando-se mais profunda. Quando a educação atingiu a maioria das pessoas estabeleceu princípios de planejamento e organização. Os conteúdos matemáticos assumiram uma posição científica com exclusividade. Perdeu-se o sentido da matemática do "senso comum". Desencadeou-se dificuldades de aprendizagem (BOYER 1994, p. 139)

Cabe aos educadores, principalmente aos professores de matemática,

buscar novos caminhos para o seu ensino, sem criticar a complexidade atingida

pelos conteúdos matemáticos, mas antes disso, deve haver uma preocupação com

o ensino justificativo para a solução dos problemas que surgem a cada momento na

vida de todas as pessoas e para o desenvolvimento da matemática É importante

estabelecer a relação da matemática escolar com a da vida e praticá-la de forma

eficiente, fato que foi ignorado pelo "Movimento da Matemática Moderna que:

Ao aproximar a Matemática escolar da Matemática pura, centrando o ensino nas estruturas e fazendo uso da linguagem unificadora, a reforma deixou de considerar um ponto básico que viria a se tornar

seu maior problema: o que se propunha estava fora do alcance dos alunos em especial daqueles das séries iniciais e do ensino fundamental. O ensino passou a ter preocupações excessivas com abstrações internas à própria Matemática, mais voltadas à teoria do que à prática. A linguagem da teoria dos conjuntos, por exemplo, foi introduzida com tal ênfase que a aprendizagem de símbolos e de uma terminologia interminável comprometia o ensino do cálculo, da geometria e das medidas (BRASIL, 1997, p. 21).

Segundo a citação acima verificando as dificuldades encontradas pelos

alunos para aprender a matemática ensinada ao longo do tempo, professores da

área passaram a buscar novas metodologias para mudar esta situação.

Há resistência por parte dos professores conservadores que preferem

manter o ensino da matemática dentro da linha tradicional. Mas a maioria tem

proposto inovações, mudanças, métodos mais atualizados, voltados para o uso de

material concreto, que permite, contribuir com o processo ensino-aprendizagem e

relacionar os conteúdos com as atividades do cotidiano.

Para atingir a estes objetivos há de se buscar mudanças no modelo

educacional, nos educadores, enfim nos professores de matemática.

Para mudar, pois a Matemática na Escola - tornando-a dinâmica, rica, viva - antes precisamos mudar o conceito que temos dela. Precisamos reconhecê-la fruto do trabalho humano e, como tal, está sujeito a erros e acertos. Precisamos, também reconhecer que ela evolui e se modifica no tempo em função do uso que se faz dela. Assim como o Português que falamos hoje é bastante diferente do Português falado no Brasil, há três séculos, também a Matemática que usamos hoje é diferente. Só para citar um exemplo: há mil anos ninguém conhecia o zero... e um milênio é apenas uma gota no oceano do tempo (UM SALTO PARA O FUTURO - Programa nº 09-12/05/ 95).

É preciso refletir sobre as mudanças que a Matemática sofreu ao longo do

tempo. Sentir que o modo com que ela vem sendo trabalhada tem dificultado a

aprendizagem e criado um grupo seleto daqueles que têm lugar garantido no mundo

desta ciência.

A matemática como ciência de todos os povos tornou-se histórica e social. É

utilizada de forma semelhante por todas as civilizações que alcançaram um nível de

desenvolvimento.

A situação ensinar/aprender é norteada pela satisfação que o indivíduo sente em usar a ciência para seu ajustamento ao meio, para suavizar suas lutas, para resolvendo problemas dar-lhe maior

condição de cidadão. É nessa direção que se providencia a formação de hábitos, atitudes e desenvolvimento de habilidades que lhe possibilitarão ultrapassar barreiras e desfrutar das oportunidades férteis que a vida moderna lhe apresenta (BRITTO, 1984, p. 150).

Para Britto (1984) o encaminhamento do processo de ensino que conduz a

este tipo de reação, depende da compreensão do que se ensina. Não há como

negar que a matemática é a disciplina que traz dificuldades de compreensão e

aprendizagem para a maioria dos alunos. Antes de qualquer tipo de investida no

campo do ensino, é necessário planejar para atender às necessidades dos alunos,

em primeiro lugar, depois os demais objetivos da educação.

O programa pedagógico dos estudos em etnomatemática coincide, algumas vezes, com a perspectiva questionada. Claro que a pesquisa em etnomatemática é em geral bem mais elaborada que a tentativa empírica do professor neste exemplo, apesar disso, seus pressupostos metodológicos e teóricos sofrem algumas vezes da mesma fragilidade no que diz respeito à análise psicológica do que é tomado como o "dia-a-dia (MEIRA, 1993, p. 55, apud Brasil, 1997).

É preciso facilitar a aprendizagem do ensino da matemática, tornando-a

mais simples de ser aprendida e aplicada.

Analisando ainda a questão pelo ângulo histórico a cultural, pode-se

observar a posição mais atualizada dos BRASIL, (1997) que orientam a um ensino

voltado para a etnomatemática.

A História da Matemática, bem como os estudos da Etomatemática, são importantes para explicitar a dinâmica da produção do conhecimento, histórica e socialmente. Além dos temas apresentados, cada escola pode desenvolver projetos envolvendo outras questões consideradas de relevância para a comunidade. Temas relacionados à educação do consumidor, por exemplo, são contextos privilegiados para o desenvolvimento de conteúdos relativos a medida, porcentagem, sistema monetário, e, desse modo, podem merecer especial atenção no planejamento de Matemática (BRASIL, 1997, p. 34).

Neste sentido a preocupação dos Parâmetros Curriculares Nacionais de

Matemática apresenta uma sugestão que, se colocada em prática, fará com que a

matemática cumpra seu papel de construção da cidadania.

O papel que a Matemática desempenha na formação básica do cidadão norteia estes Parâmetros. Falar em formação básica para a cidadania significa falar de inserção das pessoas no mundo do trabalho, das relações

sociais e da cultura, no âmbito da sociedade brasileira. A pluralidade de etnias existentes no Brasil, que dá origem a diferentes modos de vida, valores, crenças e conhecimentos, apresenta-se para a educação matemática como um desafio interessante (BRASIL, 1997, p. 29).

Para Brasil (1997), trata-se de uma preocupação com um trabalho que

esteja ligado ao desenvolvimento atual da educação para as gerações que a

estão recebendo. Sendo fundamental que se estude meios tanto com métodos

como material utilizado e conteúdos apresentados.

Dá uma ideia das dificuldades de aprendizagem em matemática porque esta

foi ensinada ao longo do tempo e até recentemente, presa à memorização e com

ausência da compreensão.

A Matemática foi ensinada; porém, um método verbalístico, preso à memorização de símbolos e formas, que exigia o exercício da memória sem as vantagens da compreensão. Os ensinamentos tinham base no método dedutivo, não contando com os recursos da curiosidade, da experimentação ou da concretização (BRITTO, 1984, p. 151).

As mudanças que precisam ocorrer no contexto metodológico devem considerar

aspectos que tenham significado para o aluno. O seu cotidiano é um elemento importante

neste processo. Elaborar um planejamento de ensino de matemática que seja ao mesmo

tempo prático e flexível, torna-se necessário e importante para que os alunos passem a ter

contato com a prática cotidiana, tanto em sua ação contínua, como ao tomar

conhecimento de como funcionam as áreas de atuação dos setores econômicos.

Proporcionar ao aluno em sala de aula uma atuação em que a matemática esteja presente

no que faz e colocá-lo em contato com pessoas nas empresas da comunidade, para saber

como estas utilizam a matemática, é uma das formas de desenvolver o conhecimento e

proporcionar a aprendizagem, tornando a matemática significativa e prática.

A matemática aplicada no cotidiano do aluno pode ser melhor entendida quando

é relacionada com a experiência, no contato desta com a realidade.

É fundamental que o professor analise a questão da aprendizagem que, quando

se trata da matemática é mais difícil para a maioria dos alunos. Buscar as causas destas

dificuldades e colocar os alunos diante da realidade do cotidiano industrial, comercial e

prestador de serviço, de modo geral, torna-se cada vez mais urgente para melhorar o

aproveitamento do desempenho do aluno em sala de aula.

A aprendizagem da matemática na sala de aula é um momento de interação entre a matemática organizada pela comunidade científica, ou seja, a matemática formal e a matemática como atividade humana. Em primeiro lugar, não devemos nos esquecer de que o professor ‚ uma pessoa, que organiza, ele próprio a sua atividade matemática. Mesmo que uma pessoa seja cientificamente treinada, sua atividade não segue necessariamente as formas dedutivas aprovadas pela comunidade científica. Em segundo lugar, mas não secundariamente, a matemática praticada na sala de aula é uma atividade humana porque o que interessa nessa situação é a aprendizagem do aluno ( CARRAHER, 1994, p. 12).

Para Carraher (1994) é fundamental que a educação passe a se preocupar

com métodos mais significativos para ensinar matemática.

Foi com esse objetivo que os alunos de uma escola pública estadual do

Ensino Fundamental, da cidade de Apucarana, Estado do Paraná, foram buscar

conhecimentos sobre a matemática que está presente em estabelecimentos industriais e

comerciais da comunidade.

3.4 O Ensino de Matemática na Construção de Pipas

O Ser humano, com sua capacidade imaginativa e criativa, é capaz de

construir tudo aquilo que ainda não existe.

Mesmo sem instrumento para ajudá-lo na produção de material, capaz de

transformar ideias em realidade.

As pipas ou papagaios, objetos simples de construção cuja função é

somente para brincar, são um exemplo neste sentido.

A história das pipas é recheada de mistérios, de lendas, símbolos e mitos, mas principalmente de muita magia, beleza e encantamento. Tudo de ter começado quando o homem primitivo se deu conta de sua limitação diante da capacidade de voar dos pássaros. Essa frustração foi o mote para que ele desse asas a sua imaginação (História das Pipas, s/d).

Trata-se, portanto de algo que despertou (e desperta) no homem um sentimento

psicológico, de deixar seus pensamentos subirem nem alto, já que ele não pode realizar

esta façanha.

Papagaio, brinquedo que consiste em uma armação de bambu ou madeira leve,

coberta de papel fino, e que, por meio de uma linha, se empina, mantendo no ar

(YAMAZATO, 2005, p. 15)

Com o tempo, diante da necessidade de materializar a matemática para que a

criança venha a entendê-la em aplicação no cotidiano, as pipas passaram a ser de

suma importância no ensino da Geometria.

Uma dificuldade notável entre os alunos do ensino fundamental em matemática envolve a aprendizagem dos conceitos de geometria, por esta razão, este trabalho tem como objetivo principal contextualizar conteúdos de geometria através da construção de pipas. O trabalho inicia com aplicação de uma atividade diagnóstica visando identificar a familiaridade dos alunos com conteúdos de geometria e o conceito de proporcionalidade e algumas situações problemas envolvendo o cálculo de perímetro e área de figuras planas (BRASIL, 1997, 27).

A junção das atividades dos conteúdos de matemática com as pipas com

instrumentos de brincadeira, desperta o interesse do aluno, pois normalmente ela nunca

pensou que algo tão comum no seu dia-a-dia fosse ferramenta para ser usada no ensino

da Geometria, por causa das figuras que representa.

A elaboração e execução da unidade didática nas escolas, trabalhando com as

pipas são bem vindas por parte dos alunos.

4 ATIVIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS

ATIVIDADE 4.1 – Certa vez um menino ganhou material para construir cinco pipas

para soltar no dia de São João. Cada pipa tinha formatos diferentes uma quadrada e

as outras todas retangulares. Todas as pipas possuem a mesma área sendo que a

primeira tem as seguintes medidas: Lado maior igual a 90 cm e o lado menor igual a

40 cm. O menino chamou três amigos para confeccionar as cinco pipas. Sabendo

que todas as pipas tem a mesma área. Responda o que se pede:

a) O perímetro do quadrado.

b) O perímetro do retângulo com um dos lados igual a 80 cm.

c) O perímetro do retângulo com um dos lados igual a 48 cm.

d) O perímetro do retângulo com um dos lados igual a 72 cm.

e) O perímetro do retângulo com um dos lados igual a 40 cm.

f) Qual a área total de papel que o menino vai gastar para confeccionar as

pipas?

ATIVIDADE 4.2 – A segunda etapa será a construção da pipa utilizando os

conteúdos abordados na atividade 1. Os alunos serão divididos em equipes de um número

adequado para construir as pipas.

Após a construção da pipa, os alunos serão orientados a determinar o perímetro

e a área da pipa, bem como as formas geométricas utilizadas.

Materiais necessários: Folha sulfite; Régua; Tesoura; Cola; Calculadora; Varetas

de bambu; Linha Nº 10; Papel de seda (cores diversificadas – pelo menos 4 cores) Papel

crepom (cores diversificadas – pelo menos 2 cores)

ATIVIDADE 4.3 A terceira etapa terá uma atividade lúdica, os alunos vão

escolher um lugar adequado para soltar as pipas, orientados pelo professor. Um lugar

longe de fios elétricos, onde não tem trânsito de motos, automóveis, carroças, pessoas à

cavalo etc. Deve-se observar em primeiro lugar a segurança dos alunos, e de outras

pessoas, nesta atividade os alunos observarão a velocidade e a direção do vento,

necessária para empinar as pipas, bem como o relevo mais adequado para a execução da

atividade.

5. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Inicialmente, será aplicada uma atividade diagnóstica sobre conteúdos geométricos

adquiridos nas séries anteriores. Tais conteúdos referem-se à identificação de formas

geométricas planas, como quadrado, retângulo, triângulo, trapézio, paralelogramo e

losango, unidades de medida de comprimento e determinação de valores para perímetro e

área de figuras planas. O objetivo desta etapa é investigar se o aluno é capaz de identificar

as diversas formas geométricas bem como suas particularidades.

6. AVALIAÇÃO

Os alunos serão avaliados no decorrer de todo o desenvolvimento do trabalho,

onde, será necessário analisar a capacidade de relacionar os conteúdos matemáticos já

trabalhados, com situações cotidianas, e o comprometimento com a atividade em questão.

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Essa produção é uma unidade didática que propõe desenvolver uma nova

estratégia metodológica com o tema Pipas: Geometria as experiências com um

grupo de alunos, por meio da confecção pipas, com o objetivo de tornar o ensino da

matemática mais dinâmico e significativo.

8. REFERÊNCIAS

ANDRÉ, Antônio. Matemática básica. São Paulo: Ática, 1994. BOYER, Carl B. História da matemática. São Paulo: Edgar Blöcher Ltda., 1994. BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasília-DF, Ministério da Educação e do Desporto, 1997: 34. BRITTO, Neyde Carneiro de. Didática especial. São Paulo: Editora do Brasil, 1984. BURIASCO, Isidoro. A matemática e a história do homem. São Paulo: Atlas, 1994.

CARRAHER, Terezinha, et alli. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1994.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas – SP: UNICAMP, 2004.

FERREIRA, Eduardo Sebastiani. Por uma teoria da etnomatemática. Bolema, ano 6, nº 7, 1991.

FERREIRA, J.A., Matemática fácil. São Paulo: Ática, 1977. KEN, Yamazoto. O engenheiro de Pipas. São Paulo: Comunicação, 2005.

OLIVEIRA, Antonio Marmo de. Matemática hoje. São Paulo: Editora do Brasil, 1986

Paraná. Um Salto Para o Futuro, Programa Nº 09/12/05/ 95. Secretaria de Estado da Educação.

Um Estudo Matemático de Pipas decorativas. Disponível em: www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/.../834-2227-1-RV.pdf . Acesso em: 6 jun. 2013.