PREFEITURA DE SÃO PAULO

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

COORDENADORIA REGIONAL DE EUCAÇÃO – CS

EMEF VARGEM GRANDE

T.C.A. – TRABALHO COLABORATIVO DE AUTORIA

TEOREMA DE TALES: UM JEITO MAIS FÁCIL DE SE

ENTENDER

Professor orientador: Simone Kamei

Nome: Arícia Cordeiro Alves Nº 02, 9⁰E

Nome: Luana da Costa Pereira Nº18, 9⁰E

Nome: Jaqueline da Silva Mota Nº12, 9ºF

Nome: Sara Suzi dos Santos Nº21, 9⁰F

São Paulo

2014

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SUMÁRIO

1. Introdução .............................................................................................. 4

2. Quem foi Tales de Mileto? ..................................................................... 5

3. O Teorema de Tales .............................................................................. 7

3.1 – No desenho geométrico ................................................................ 8

3.2- Aplicação do Teorema de Tales .................................................... 9

4. Pesquisa sobre a aprendizagem do Teorema de Tales ...................... 11

5. A construção da maquete .................................................................... 13

6. The Chrysler Building ……………………………...……………...………. 17

7. Cálculos para descobrirmos a altura real da árvore.............................. 20

8. Demonstração do Teorema de Tales na maquete................................ 21

9. Conclusões ........................................................................................... 22

9.1- Sara Suzi dos Santos .................................................................... 22

9.2- Jaqueline da Silva Mota ................................................................. 23

9.3- Arícia Cordeiro Alves ..................................................................... 24

9.4- Luana da Costa Pereira ................................................................. 25

10. Referências bibliográficas .................................................................... 26

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INTRODUÇÃO

Fazendo uma pesquisa com os alunos dos 9º Anos, percebemos que eles

têm algumas dificuldades no entendimento do Teorema de Tales.

Devido a essa dificuldade dos alunos, gostaríamos de demonstrar para

eles que não tem nenhum segredo para poder aprendê-la.

Através de pesquisas sobre a vida de Tales, suas descobertas e da

construção de uma maquete de um prédio e uma árvore, desenvolvemos o mesmo

raciocínio que Tales utilizou a mais de 2 500 anos atrás. Basta prestar atenção, ter

um pouco de força de vontade e conseguirão alcançar seu objeto.

Pretendemos mudar o jeito de pensar dos alunos, e mostrar que não é

difícil a lógica do Teorema de Tales, e com a maquete demonstrar que parece difícil,

mas não é.

Com base na nossa explicação queremos tentar criar um modo mais fácil

e prático para o ensino e entendimento do Teorema de Tales.

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Quem foi Tales de Mileto?

Tales de Mileto nasceu por volta do ano 640 a.C. e foi um dos grandes

matemáticos gregos.

!

Foi reconhecido como o primeiro filósofo do Ocidente e apontado como um

dos setes sábios da Grécia Antiga. Ele Nasceu em Mileto, uma antiga colônia grega

localizada na Ásia Menos, por volta de 645 ou 624 a.C.. Alguns estudiosos

consideram Tales o pai da filosofia ocidental. Também instituiu a Escola Jônica e

estabeleceu conhecimento sobre a ética, a política, a verdade e a totalidade que

ainda são estudados e considerados nos tempos contemporâneos.

Ele foi um visionário, percebia a realidade muito além do seu tempo.

Tales visitou o Egito, onde entrou em contato com o estudo científico, em

particular, astronomia, já bastante evoluída. Tales aprendeu ali a teoria dos eclipses

do Sol e da Lua, ou pelo menos, que esses fenômenos se repetem de acordo com

um ciclo tal que sua previsão se torna possível. Os estudos de geometria e

astronomia mostravam aos pensadores que, com cálculos e intuição, muitos fatos

eram explicados, como as dimensões dos campos, a distância e altura das

montanhas, o movimento dos astros.

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O Objetivo das viagens de Tales era provavelmente o estabelecimento de

relações comerciais entre os dois povos. Conciliando suas tarefas mercantis com o

estudo, encontrou uma maneira de aprender mais, entrando em contado com

pensadores que poderiam ajudá-lo a alargar seus conhecimentos. Para Tales, cada

problema da vida era interessante, provavelmente considerava igualmente

importantes um negócio comercial, um problema político, um teorema de geometria,

ou ainda uma questão que dissesse respeito à Terra.

Tales aprendeu no Egito a calcular a altura das pirâmides e a medir as

distâncias dos navios no mar. Estes conhecimentos lhe vieram dos sacerdotes

egípcios, depositários da Ciência. Mas, ao contrário de seus mestres que

transmitiam esses conhecimentos como segredos profissionais conquistados

duramente e desligados uns dos outros, Tales pretendeu encontrar neles ordem e

razão e estabelecer uma lógica.

Tales veio a falecer, provavelmente em 558 ou 556 Antes de Cristo.

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O Teorema de Tales

Ilustração que mostra uma aplicação do teorema de Tales

!

Medição da altura de uma pirâmide: a sombra da pirâmide (30), está para a

sombra do anteparo (15), assim como a altura da pirâmide (21) está para a a altura

do anteparo (10,5).

Assim sendo:

___30___ = ___21___

15 10,5

A tradição atribui este teorema ao filósofo grego Tales de Mileto, e afirma que

quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos

segmentos delimitados nas transversais são proporcionais. Diz-se que o teorema foi

usado na medição da altura de uma pirâmide.

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No desenho Geométrico

No desenho geométrico o teorema se aplica às construções que dividem um

segmento em partes iguais ou proporcionais

. !

Lê-se: o segmento AD está para DB, assim como AE está para EC, ou seja,

___AD___ = ___AE___

DB EC

As razões são iguais entre ambos.

A partir do teorema, podemos escrever outras proporções, como:

___AB___ = ___AC___ ou ___DB___ = ___EC___

AD AE AB AC

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APLICAÇÃO DO TEOREMA DE TALES

Na ilustração a seguir, percebemos que as avenidas das Rosas, das

Margaridas e dos Lírios são paralelas. As ruas dos Pinheiros e dos Eucaliptos são

transversais a essas avenidas. Será que podemos, com as informações desse

mapa, determinar a distância entre a farmácia e o banco? Vamos descobrir como?

!

Traçamos um modelo matemático para a situação. Como as avenidas são

paralelas e as ruas transversais a elas, aplicaremos o teorema de Tales.

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200 m x

400 m 500 m

___200___ = ___X___

400 500

400.x = 200.500

400.x = 100 000

x = ___100 000___

400

X = 250 m

A distância entre a farmácia e o banco é de 250 metros.

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PESQUISA SOBRE A APRENDIZAGEM DO TEOREMA DE TALES

Fizemos uma pesquisa com os alunos dos 9⁰ anos, na EMEF Vargem

Grande, para sabermos quais eram as dificuldades que eles encontravam para

entender o Teorema de Tales.

Montamos o seguinte questionário:

1) Você aprendeu o Teorema de Tales?

2) Você achou difícil?

3) Você teria alguma sugestão para que o ensino desse conteúdo fosse mais

fácil?

Dessas questões, montamos a seguinte tabela:

Em seguida, montamos os gráficos:

!

Aprendeu Teorema de

Tales?

Achou Difícil? Teria um jeito mais fácil

de aprender?

Sim:64 Sim:50 Sim:11

Não:28 Não:42 Não:81

0

18

35

53

70

Aprendeu Não Aprendeu

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!

!

Com a última pergunta, obtivemos a seguinte sugestão:

Resposta de um aluno: “Colocando os números em seus devidos lugares e

não ter que trocar o sinal, pois isso que às vezes nos confunde.”

0

13

25

38

50

Achou Dificil Não achou

0

23

45

68

90

Jeito mais facil de fazer

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A CONSTRUÇÃO DA MAQUETE

Tiramos o prédio da maquete de um livro com várias construções famosas.

Decidimos escolher o “THE CHRYSLER BUILDING” porque o achamos muito

bonito, e chamativo. Era só imprimir as folhas e montá-lo como um quebra-cabeça

em três dimensões.

!

Para montar o prédio usamos régua, tesoura, estilete, cola e papel Vergê

210g.

Resolvemos dividir as folhas entre os integrantes do grupo, cada uma ficou

com 11 folhas.

Para recortar os quadradinhos demorou cinco dias. Após recortarmos todas

as folhas utilizamos um manual de como montar o prédio. Foi uma sensação ótima

quando vimos o prédio montado, pois não foi fácil, porque todos diziam que não

iríamos conseguir, mas no final conseguimos. Achamos muito legal montar o prédio.

Pudemos aprender que pode ser complicado, mas não impossível.

Foram usadas para montar a maquete ao todo, vinte e duas folhas. A altura

do prédio na maquete é 69,5 cm.

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!

A árvore foi feita com papel Vergê 210g. Para montá-la usamos um papel e

um palito de churrasco. Recortamos os pedaços que iríamos usar, onde foram

desenhadas usando lápis, tesoura, estilete e cola. Montamos a árvore usando cinco

círculos de tamanhos diferentes, dobramos em 4 partes, depois fizemos um furo no

topo e colamos no palito de churrasco.

!

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O Trabalho será colado em uma cartolina e desenharemos a sombra do

prédio e da árvore, para medirmos e provarmos o Teorema de Tales.

Para a apresentação iremos fazer um banner e explicar para as pessoas, o

que é “Teorema de Tales” e como resolver as contas.

!

!

!15

O prédio da maquete pronto.

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Prédio The Chrysler Building

Seguiremos com uma breve história do prédio que será apresentado no

trabalho.

Na década de 20 foi marcada por grande progresso industrial, sobretudo no

setor automotivo, onde um empresário chamado Walter P. Chrysler se destacou por

fabricar carros modernos naquela época.

!

Em 1928, a Chrysler Corporation se tornou a segunda maior fabricante de

automóveis, do mundo e líder industrial nos Estados Unidos com duas novas linhas

de carros: Plymouth e De Setor diferentemente de outros empresários do ramo,

Chryles queria ter a sede de sua companhia em Nova York em vez de Detroit e havia

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decidido construir um edifício imponente, uma declaração às glórias da era moderna.

As obras foram iniciadas em 19 de Setembro de 1928 e seguiram em ritmo

acelerado sendo feito quatro andares por semana. Na época, outros dois prédios

foram construídos, sendo levantados na mesma cidade e ao mesmo tempo,

iniciando a mais alta das cidades e, então, do mundo.

Em outubro de 1929 a estrutura do Manhattan Bank estava praticamente

completa e todos acreditavam que Chrysler havia perdido a disputa, foi quando Van

Alen pôs em prática seu plano secreto: O ' Vertex' um espira de aço inoxidável com

tamanho equivalente a sete andares estava sendo construídos dentro do prédio, no

vão dos elevadores.

O prédio foi terminado oficialmente em 27 de Maio, de 1930 em alguns meses

depois, infelizmente foi desbancado pelo Empire State Builing que se tornou, por

muitos anos, o mais alto.

A Chrysler Building foi construído como símbolo da superioridade e

imponência dos automóveis Chrysler e se tornou um dos prédios mais bonitos do

mundo. Em seu topo, tem um espiral de aço inoxidável com arcos brilhantes e

janelas triangulares vazadas, semelhante ao radiador de um automóvel. O metal

chamado “Nirosta” foi escolhido por sua capacidade de refletir a luz do sol como o

chassi de um carro novo. Abaixo da coroa prateada, vê-se oito cabeças de águia

similares a do capô do Chrysler Plymouth 1929. Depois, os cantos do prédio exibem

tampas de radiadores de veículos Chrysler.

O edifício Chrysler foi conhecido por William Van Alen para sediar a empresas

automobilísticas norte-americanas Chrysler. Quando foi anunciado o planejamento

para a construção do prédio em 19 de setembro de 1928, ocorreu uma forte

competição entre arquitetos da cidade para construir “o arranha-céu mais alto do

mundo”, como chamavam os idealizados do projeto. Apesar da disputa da vaga de

arquiteto chefe e do desejo de construir um prédio recordista, o ritmo da construção

foi natural, e não houve acidentes com morte. Chrysler, que determinou outra altura

para a construção, que agora seria de 282 metros de altura.

Walter Chrysler, presidente da Chrysler Automobile Corporation, acrescentou

uma dezena de detalhes arrojados no projeto do prédio, alguns associados aos

carros da época.

A construção teve inicio em 19 de setembro de 1928. No total cerca de

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3.826.000 de tijolos foram usados na construção. Mesmo antes de sua conclusão, a

Chrysler já competia com outro prédio a ser construído em Manhattan, o The Trump

Building projetado por H. Craig Severante. Determinou uma altura maior para o seu

projeto e mais tarde tomaria este lugar, o prédio mais alto do planeta. Como

vingança, Van Além incluiu 56 metros na antena de seu projeto, que foi construída

de dentro para fora do prédio. A antena foi concluída após quatro etapas de

construção. Em 23 de outubro de 1929, a antena foi concluída no exterior do domo

do edifício.

!

O prédio foi concluído em 28 de maio de 1930, ultrapassando o seu rival, o

The Trump e a Torre Eiffel. Aberto ao público em 17 de maio de 1931, o Edifício

Chrysler foi a primeira estrutura habitável a ultrapassar a altura de 1.000 pés (305

metros), porém apenas um ano depois da sua conclusão,o Chrysler foi superado

pelo Arrojado Empire State Building. Embora tenha sido superado na sua altura

mundial, o Chrysler Building ainda é considerado um dos prédios mais alto do

planeta, medindo 319 metros de altura.

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Cálculos para descobrirmos a altura real da árvore

Através da maquete, com as medidas prontas, calcularemos a altura real da

árvore, utilizando proporcionalidade e a regra de três simples.

Se a altura real do prédio é de 319 m e a altura do prédio da maquete é 69,5

cm. Qual é a altura real da árvore, se na maquete, a árvore mede 20 cm?

A altura real do prédio é 319 m e a maquete tem a altura de 69,5 cm. A árvore

em proporcionalidade tem 20 cm na maquete e é o “X”, o qual não sabemos o

tamanho real. Para resolvermos esse problema temos que multiplicar o 319 m por

100, então teremos o prédio real em cm também. Depois disso devemos fazer a

regra de três simples, multiplicando em “x”.

“O número de cima pelo de baixo e o de baixo pelo de cima”. Então,

dividiremos o resultado da multiplicação pelo número que estará junto à letra x.

Observe os cálculos:

Prédio árvore

31 900 cm x

69,5 cm 20 cm

69,5 . x = 31 900 . 20

69,5 . x = 638 000

x = ___638 000___

69,5

x = 9 180 cm.

Esse valor seria de 91,80 metros de altura. Sabemos que um pinheiro não

atinge essa altura, mas o que vale é a intenção.

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Demonstração do Teorema de Tales na maquete

!

A altura do prédio é de 69,5 cm e da árvore 20 cm. A sombra da árvore é

representada pela letra a e a sombra do prédio pela letra b.

Prédio árvore

69,5 cm 20 cm

b cm a cm

69,5 . a = b . 20

Sabendo-se a medida de uma das sombras é possível calcular a medida da

outra sombra.

Na maquete, demonstraremos através das medidas das sombras a altura do

prédio.

O cálculo só será possível realizsar, no dia da apresentação do trabalho, pois

mediremos as sombras no dia. E colocaremos em anexo neste trabalho.

!21

Conclusão

Tales de Mileto era um grande matemático considerado como um dos sete

sábios da Grécia. Tales descobriu uma forma mais fácil de descobrir a altura de uma

pirâmide. Ele percebeu que os raios solares eram paralelos tanto na pirâmide

quanto em uma árvore, descobriu então que suas sombras também eram

proporcionais aos seus objetos de origem. Ele já sabia a altura da árvore, mas não

sabia a altura da pirâmide, então ele resolveu fazer a regra de três simples,

descobrindo assim, a altura real da pirâmide.

Gostaríamos de demonstrar para as pessoas que existe uma forma mais fácil

de aprender Teorema de Tales, com base nisso, fizemos uma pesquisa dia

2/09/2014 com alunos do 9° Anos, e percebemos que a maioria dos alunos

aprendeu, mas acharam difícil.

Para mostrar aos alunos uma forma mais fácil, resolvemos fazer a

maquete de um prédio e uma árvore para demonstrar o Teorema de Tales.

Sara Suzi Dos Santos, 9ºF

!22

Conclusão

Tales de mileto era um grande matemático. Ele mediu a sombra das

pirâmides e da árvore, para saber a altura real da pirâmide. Ele percebeu que os

raios solares eram paralelos, e viu que as sombras também eram proporcionais, e

que ele poderia utilizar a regra de três simples para calcular a altura real das

pirâmides.

Fizemos uma pesquisa na qual a maioria dos alunos do 9° anos aprenderam,

mas acharam difícil.

O objetivo da maquete do prédio e da árvore é para dar um exemplo da

mesma coisa que o Tales fez para descobrir o tamanho das pirâmides. E saber o

tamanho real da árvore usando a sombra do prédio.

A maquete foi feita para demonstrar para os alunos que existe uma forma

mais fácil de aprender o Teorema de Tales.

Jaqueline Motta, 9ºF

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Conclusão

Tales nasceu em Mileto, e ele foi um grande matemático. Os cálculos que ele

descobriu são utilizados em nosso dia-a-dia até hoje. Ele usou esse raciocínio para

calcular a altura da pirâmide ou de alguma coisa que tivesse altura.

Tales queria saber a altura real da pirâmide, foi então, que ele descobriu uma

maneira de fazer e que hoje em dia é chamado de Teorema de Tales. Ele descobriu

que através dos raios solares, que eram paralelos, ele poderia medir a sombra da

pirâmide e a sombra de uma árvore e relacionar essa medida com suas alturas

reais. Utilizando a regra de três simples podemos descobrir o valor da altura da

pirâmide.

Fizemos uma maquete de um prédio e de uma árvore. Iremos demonstrar

para os alunos o mesmo raciocínio que Tales utilizou para calcular a altura da

pirâmide.

Fizemos uma pesquisa no dia 02/09/2014 com os alunos dos 9° anos. Na

pesquisa percebemos que a maioria dos alunos achou difícil de compreender a

lógica que ele utilizou, por isso, resolvemos fazer esse trabalho.

Aricia Cordeiro Alves, 9ºE

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Conclusão

Podemos concluir que Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego

nascido na Ásia Menor descendente de uma família oriunda da Fenícia ou Beócia,

devido a sua sabedoria ele foi incluído entre os sete sábios da antiguidade.

Nosso objetivo é mostrar que existem maneiras mais fácies de se aprender

Teorema de Tales.

Construímos uma maquete de um prédio chamado “THE CHRYSLER

BUILDING” e uma árvore, do tipo pinheiro, para a demonstração da ideia que o

Tales teve, quando calculou a altura da pirâmide.

Fizemos uma pesquisa com os alunos dos 9ºAnos e o resultado foi que a

maioria dos alunos aprenderam, mas acharam difícil de compreender o tema, então

fizemos esse trabalho para que os alunos entendessem com mais facilidade.

Luana Da Costa Pereira, 9ºE

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Andrini, Álvaro e Vasconcellos, Maria José – Praticando matemática, 9º ano. Editora

do Brasil 2012.

Shing, Sheung Yee – Origami Architecture: Papercraft Models of the World’s most

famous buildings – Hong kong, 2011.

Sites da internet:

HTTP://artesanato.blog.br/arvores-de-natal-de-papel

HTTP://WWW.KLICKEDUCACAO.COM.BR/BCORESP/BCORESP_MOSTRA/

0,6674,POR-972-3131,00.HTML

http://www.estudopratico.com.br/biografia-do-filosofo-tales-de-mileto/

pt. wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales_(intersecao)

http://owen-c.deviantart.com/art/The-Chrysler-Building-198075756

http://www.skycraper.org/EXHIBITIONS/FAVORITES/fav_chrysler.htm

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