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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
Título: GEOGEBRA NO ENSINO DAS FUNÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU.
Autor Vilmar Simm
Disciplina Matemática
Escola de implementação do projeto e sua localização
Colégio Estadual Pedro Araújo Neto Rua: Presidente Kenedy, 200
Município da escola General Carneiro
Núcleo Regional de Educação União da Vitória
Professor Orientador Profª Ms. Maria Ivete Basniak
Instituição de Ensino Superior UNESPAR – CAMPUS UNIÃO DA VITÓRIA
Resumo Vive-se em uma sociedade altamente tecnológica, todo dia ao abrirmos uma página da internet nos deparamos com novos produtos, cada vez com mais tecnologias, a sociedade busca incessantemente por soluções rápidas e estão conseguindo utilizando as tecnologias. Enquanto isso, a educação continua utilizando tecnologias bem antigas, tais como: quadro e giz, (...). Isto, muitas vezes faz com que as crianças não vejam a Escola de forma atrativa e acabem se desmotivando. Tal fato se constitui em argumento para a escolha da linha de estudo: os Softwares Matemáticos. O projeto será desenvolvido no Colégio Estadual Pedro Araújo Neto de General Carneiro, com alunos das primeiras séries do ensino médio. O objetivo é que os alunos compreendam funções, com suas propriedades, seus conceitos, seus gráficos, de uma maneira mais dinâmica e interativa, utilizando-se de um software dinâmico, o Geogebra.
Palavras-chave Geogebra; Funções; Ensino.
Formato do Material Unidade Didática
Público Alvo Primeira série do Ensino Médio do Colégio Estadual Pedro Araújo Neto.
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO - SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS–DPPE
VILMAR SIMM
GEOGEBRA NO ENSINO DAS FUNÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
GENERAL CARNEIRO-PR
2013
VILMAR SIMM
GEOGEBRA NO ENSINO DAS FUNÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU
Unidade Didática elaborada pelo
professor Vilmar Simm, do Núcleo
Regional de Educação de União da
Vitória, como parte integrante do
Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE 2013, para
implementação no Colégio estadual Pedro
Araújo Neto, de General Carneiro,
Paraná, sob orientação da professora Ms.
Maria Ivete Basniak.
GENERAL CARNEIRO-PR
2013
APRESENTAÇÃO
A presente unidade didática é o resultado da pesquisa desenvolvida no
Programa de Desenvolvimento Educacional 2013 e tem como objetivo apresentar
material didático no ensino das funções matemáticas. Utilizando o software
Geogebra com toda sua dinamicidade e interatividade. O mesmo será aplicado no
Colégio Estadual Pedro Araújo Neto-EFM e tem como objetivos o ensino de
conceitos, propriedades, construção de tabelas e gráficos de funções do primeiro e
segundo grau.
Nós professores de Matemática não devemos usar as novas tecnologias de
forma que estas sejam um mero passatempo, simplesmente ilustrando as aulas,
fazendo de nossos laboratórios de informática um espaço puramente recreativo,
colocando as novas tecnologias como pseudoinovação, continuando num processo
de ensino instrucionista. Precisamos evoluir para uma ação mais ampla, e para que
isso aconteça precisamos nos tornar mais dinâmicos, acompanhando as novas
tendências no ensino da Matemática. Devemos sim incorporar de maneira clara e
pedagógica a utilização das novas tecnologias no ensino e apropriação de
conteúdos e suas propriedades, de uma maneira mais prática e prazerosa.
Um grande problema no ensino da matemática está no processo de ensino
aprendizagem, o qual é muitas vezes mecânico, sem dinamicidade. Uma das
ferramentas para se buscar essas transformações está ligada ao uso das
tecnologias para buscar e efetivar essa transformação. Segundo D’Ambrósio,
(2001):
É preciso substituir os processos de ensino que priorizam a exposição, que levam a um receber passivo do conteúdo, através de processos que não estimulem os alunos à participação. É preciso que eles deixem de ver a matemática como um produto acabado, cuja transmissão de conteúdo é vista como um conjunto estático de conhecimentos e técnicas.
Está claro então que deve haver uma ruptura no processo de ensino-
aprendizagem, uma maior reflexão no uso de novos recursos tecnológicos, no
ensino de Matemática, se repensando o papel do professor para a educação atual e
futura:
… o professor não pode mais reproduzir os modelos educacionais que ele próprio vivenciou enquanto aluno. Mudaram o mundo, os objetivos e a concepção de ensino – portanto, precisa mudar também o professor. As considerações psicológicas sugerem que o professor tem o papel de levar o aluno a reconstruir modelos matemáticos em outras situações, representá-
los de maneira a poder utilizar os mais poderosos sistemas simbólicos da Matemática, como instrumento de pensamento, utilizá-los em situações que lhe deem significado. As questões sociológicas discutem a representação social do professor e lhe abrem perspectivas para uma nova definição a ser conquistada por novas maneiras de interagir com seus alunos. As considerações antropológicas devem tornar o professor consciente de que são seus alunos e pode ajudar a construir um futuro para eles próprios. As considerações epistemológicas e históricas devem engajar o professor num processo de reavaliação do que importa incluir no currículo (CAMPOS E NUNES, 1994, p 6-7).
Uma mudança no processo ensino-aprendizagem, para uma concepção
construtivista, requer entre ouras coisas, uma postura ativa do professor, alunos
motivados e rupturas de paradigmas, como Valente diz:
A sala de aula deve deixar de ser o lugar das carteiras enfileiradas para se tornar um local em que o professor e alunos podem realizar um trabalho diversificado em relação ao conhecimento. O papel do professor deixa de ser o “entregador” de informação, para ser o facilitador do processo de aprendizagem. O aluno deixa de ser passivo, de ser o receptáculo das informações, para se ativo aprendiz, construtor de seu conhecimento (VALENTE, 1991, p. 17-18).
Essa mudança no processo de ensino-aprendizagem pode ter como
facilitador fundamental as novas tecnologias, principalmente no ensino da
Matemática os softwares dinâmicos que:
São ferramentas de construção: desenhos de objetos e configurações geométricas são feitos a partir das propriedades que os definem. Através de deslocamentos aplicados aos elementos que compõe o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que caracterizam a situação. Assim, para um dado objeto ou propriedade, temos associada uma coleção de “desenhos em movimento”, e os invariantes que aí aparecem correspondem às propriedades geométricas intrínsecas ao problema. E este é o recurso didático importante oferecido: a variedade de desenhos estabelece harmonia entre aspectos conceituais e figurais; configurações geométricas clássicas passam a ter multiplicidade de representações. Propriedades geométricas são descobertas a partir dos invariantes no movimento (GRAVINA, 1996, p. 6).
Historicamente, a procura e a necessidade por respostas rápidas e imediatas,
nos direcionam às tecnologias, e o Ensino não pode ficar alheios a esses fatos.
A escolha do software Geogebra se deu principalmente por dois motivos: ser
livre e por ser dinâmico. O que o habilita como uma ferramenta pedagógica
importante na abordagem, experimentação e construção de conceitos, de muitos
conteúdos matemáticos.
A grande vantagem de sua utilização é que as construções feitas no Geogebra são dinâmicas, isto é, podem ser manipuladas com o auxílio do mouse. Essa caraterística do software permite que durante as aulas possa haver uma abordagem mais experimental e construtiva, através da exploração do mesmo (GERÔNIMO, 2010, p.01).
No primeiro momento será apresentado, de maneira expositiva, o software
Geogebra aos alunos para que estes possam visualizar as ferramentas disponíveis
sem se aprofundarem em todas as possibilidades do software, considerando-se isso
que gastariam um tempo desnecessário e dispersaria a turma. Será explorado
apenas:
01) Barra de Menus Na qual cada item tem várias funções que podem
ser acessadas com o botão esquerdo do mouse.
02) Barra de comandos em que cada caixa possui ferramentas que
podem ser acessadas, clicando no triângulo ,do lado direito inferior de
cada caixa.
03) A intuitividade do software : sempre vai aparecer
o que é possível fazer com a ferramenta. Neste exemplo “Selecione todos os
vértices, e então, clique novamente no vértice inicial”.
04) Campo de entrada local onde digitamos os comandos para que o Geogebra
execute.
A seguir serão apresentadas atividades a serem realizadas no laboratório de
informática, podendo ser trabalhado em grupos de até três alunos de acordo com o
número de máquinas disponíveis. O passo a passo das construções será entregue
impressa aos alunos e uma duração de aproximadamente 24 horas aulas.
ATIVIDADE 01: PLANO CARTESIANO
Objetivos:
Relembrar o que é plano cartesiano.
Identificar os quadrantes.
Inserir pontos no plano cartesiano.
Reconhecer par ordenado.
Usando o software vamos fazer uma retomada do plano cartesiano, da seguinte
maneira:
1) Carregue o Geogebra, feche a janela de álgebra clicando no “x”
.
2) Com o cursor em cima da janela geométrica (gráfica), clique no botão direito do
mouse, vai aparecer , clique em malha, com o botão esquerdo.
Essa tela como se apresenta é o sistema de Coordenadas Cartesianas, mais
conhecido como Plano Cartesiano, o qual foi criado por René Descartes com o
objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares, um
horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo
horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são
retas. Esses dois eixos dividem esse plano em quatro quadrantes.
4) Com a ferramenta , novo ponto, marque 20 pontos distribuídos nos 4
quadrantes.
5) Para facilitar a visualização das coordenadas (sua localização), com o cursor em
cima do ponto A, clique no botão direito do mouse, e em seguida clique com o lado
esquerdo do mouse em propriedades.
6) Na janela que abriu, com o botão esquerdo do mouse clique em, “exibir rótulo”, e
nome e valor . Repita o procedimento, para todos os pontos.
7) Anote em seu caderno as coordenadas de cada ponto, A(x,y). O primeiro valor é o
número que corresponde, na horizontal, no eixo x (chamado de abscissa), e o
segundo é o valor na vertical, no eixo y, que é chamado de ordenada.
8) Tecle “Esc”. (Com esse comando você sai de qualquer ferramenta e retorna para
). Coloque o cursor em cima de um ponto e o arraste para
onde desejar.
Você também pode inserir um ponto pelo campo de entrada, fazendo:
9) Digite U=(0,-3), dê “enter”, V=(0,0), dê “enter” e assim tantos quantos forem
necessários.
10) Clique no canto superior esquerdo em “arquivo” e em seguida, clique em gravar
como. Na tela que abriu, em “gravar em”, clique no triângulo do lado direito para
abrir as opções de onde salvar e selecione a opção desejada. Na mesma tela, em
baixo, nomeie esse arquivo, “plano_cartesiano_seu_nome” e clique em gravar.
11) Feche o arquivo, clicando no canto superior direito no “x”.
ATIVIDADE 02: NOÇÃO DE FUNÇÃO I
Objetivos:
Perceber a correspondência biunívoca entre as grandezas.
Expressar matematicamente situações-problema.
Reconhecer a dependência entre as variáveis.
Expressar matematicamente a sentença que representa a função.
Construindo a Tabela no Geogebra
Construa uma tabela para abastecer um tanque se possuir: R$ 10,00;
R$ 20,00; R$ 30,00; R$ 40,00; R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 70,00; R$ 8,000 e R$ 90,00,
sendo R$ 2,80 o valor do litro. Para isso:
01) Carregue o Geogebra.
02) Vá em exibir e clique em “planilha”. Feche a janela de álgebra clicando no “x”
. Também feche a janela gráfica (ou de visualização) clicando no
“x” .
03) Na célula A1 digite “valor” e em B1 digite litros.
04) Complete a coluna ‘valor” com os 9 valores propostos.
05) Complete a coluna “litros” fazendo os cálculos necessários.
** Após completar a tabela, alguns alunos deverão expor a seus colegas como chegaram aos
resultados. A partir disso o professor faz a discussão comparando os procedimentos adotados pelos alunos para a quantidade de litros. O professor pode questioná-los:
** A forma de achar a quantidade de L para cada valor. O procedimento matemático é sempre o
mesmo?
* Supondo que digam que “sim”.
* Então qual é?
* Espera-se que os alunos respondam que L=v/2,80.
* O que aconteceu com a quantidade de litros de gasolina?
* Após os alunos completarem a tabela, fazer esses cálculos utilizando a planilha do Geogebra.
* Excelente e importante se os alunos observarem que neste exercício a quantidade de litros foi dependente da quantidade de reais, mas, que poderia ser ao contrário: o valor pode ser dependente da quantidade de litros, dependendo de como a pessoa pede para fazer o abastecimento do tanque. Se não for colocado pelos alunos, o professor deverá fazer a colocação de maneira provocativa ao contexto.
Os alunos fazem os cálculos necessários manualmente e completam a tabela
com os valores. E, em seguida, utilizando os recursos do software. Seguindo os
seguintes passos:
1) Na célula B2 temos 3.57 (3,57 citado anteriormente que o Geogebra não aceita
vírgula como separador decimal), em B3 7.14 L.
2) Então vamos fazer com que o software calcule a quantidade de litros. Em B2
digite a sentença matemática para o litro L=v/2,80.
3) Agora selecionando B2 arraste na vertical arraste até onde desejar.
Nesta etapa poderão ser inseridos valores que se desejar que o software efetue os
cálculos.
4) Agora poderemos alterar ou acrescentar valores em reais e obtermos os litros
correspondentes na coluna “litros”.
ATIVIDADE 03: NOÇÃO DE FUNÇÃO II
Agora vamos construir um quadrado e uma tabela que relacione a medida do
* Observação para o professor. * Observação para o professor.
seu lado com sua área. Para isso:
01) Abra o Geogebra.
02) Feche a janela de álgebra
03) Com o botão direito do mouse em cima da janela de visualização, desabilite os
eixos .
04) Selecione a ferramenta polígono regular , e clique duas vezes na tela do
Geogebra. Abrir-se-á a tela ·. Digite 4 e dê “enter”.
05) Com o cursor em cima da figura, clique no botão direito do mouse. Isto fará com
que abra uma janela. Clique em “propriedades” e depois em “básico”. Troque o pol1,
por área. Marque abaixo “exibir rótulo”: .
06) Selecione a ferramenta “distância, comprimento ou perímetro” . Posicione o
cursor em cima de cada lado e clique.
07) Clique em “exibir” na barra de menus e em seguida clique em planilha.
08) Na planilha que abriu do lado direito da tela, elabore uma tabela com duas
colunas, uma com a medida do lado e a outra com a área, com pelo menos 10
medidas. Altere a figura e faça as anotações dos valores que você observar. Para
isso, posicione o cursor em cima do ponto A ou B, segure e arraste para ver o que
acontece. Se aumentar a figura e a tela ficar pequena, deslize o botão central do
mouse para trás para diminuir o “zoom”.
Em seguida responda as perguntas, observando a tabela construída.
a) O que é dado em função do quê?
b) Qual a variável dependente?
c) Qual a variável independente?
d) Existe uma lei de associação para a área do quadrado?
e) Como fica a lei escrita matematicamente? Podemos dizer que o tamanho da área
depende da medida do lado? E a medida do lado depende da área?
Na grande maioria das situações do nosso dia a dia, o valor de uma grandeza
depende do valor de outra grandeza. Assim, vimos no exemplo, que o valor
necessário para abastecer o tanque de combustível de um carro depende do valor
unitário do “litro” ou que a quantidade de litros depende do valor em “reais”,
disponível. Ainda, que a área de uma região poligonal depende da medida dos seus
lados. Relações como estas podem ser representadas através de funções. Logo:
“Função é uma regra que associa a cada objeto de um conjunto A um e apenas
um objeto de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e
o conjunto B é chamado de contradomínio.”
** Na tabela os valores coletados pelos alunos, provavelmente serão diferentes,
* Também é importante observara a relação de dependência entre as variáveis, que poderia ser o contrário.
ATIVIDADE 04: DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO (IMAGEM)
Objetivos:
Reconhecer o que é domínio e contradomínio.
Visualizar graficamente o domínio e contradomínio.
Determinar a imagem de uma função do 1º grau.
Considerando que o domínio são todos os valores de saída e o contradomínio
são os valores de chegada, para visualizarmos a chegado dos valores do eixo x nos
valores do eixo y, faremos uma construção gráfica. Para isso:
01) Abra o Geogebra.
02) Clique na ferramenta controle deslizante e posicione o cursor na tela do
Geogebra. Clique no botão esquerdo do mouse e observe que abre uma tela. No
intervalo, mude para -10 até 10 e incremento 0.1. Clique em aplicar. Repita o
procedimento para criar o controle deslizante b.
03) No campo de entrada digite f(x)=a*x + b, dê “enter”.
* Observação para o professor.
04) Selecione a ferramenta “novo ponto” e clique em cima da reta construída, no
primeiro quadrante, criando o ponto A.
05) Selecione a ferramenta reta perpendicular ,clique no ponto A e em seguida
no eixo x. Repita o processo com a mesma ferramenta, clicando no ponto A e em
seguida no eixo y.
06) Selecione a ferramenta (interseção de dois objetos). Clique na intersecção
da reta formada com o eixo x e na intersecção com o eixo y.
06) Na janela de álgebra oculte as duas retas, desmarcando as mesmas .
07) Selecione a ferramenta “segmento definido por dois pontos” . Clique em A e
em seguida em B. Depois, com a mesma ferramenta, clique em A e em seguida em
C, criando dois segmentos AB e AC.
08) Coloque o cursor em cima do ponto B sobre o eixo x. Clique do lado direito do
mouse e em propriedades. Marque exibir rastro. Clique na aba da cor e marque a
cor “verde”. Abra estilo em 5.
09) Repita o procedimento anterior para o ponto C que está sobre o eixo y, só que
outra cor “azul”.
10) Com o cursor em cima do ponto “A” arraste-o ao longo da reta formada por
f(x)=a*x + b, digitada no campo de entrada.
11) Deixe os valores dos controles deslizantes: a=1 e b=2.
12) Com a ferramenta mova o ponto A e verifique o rastro em cima do eixo x e no
eixo y. Em seguida responda a questão:
a) Quando o ponto A tem valor 1 para “x” qual o valor de “y”?
b) Com o cursor em cima de A, clique com o botão direito do mouse e depois em
propriedades, básico e marque nome e valor. Continue mudando a localização do
ponto A observando os valores das coordenadas de A.
13) Para que possamos utilizar posteriormente o arquivo vamos salvá-lo. Para isso:
clique em arquivo, gravar como, escolha a pasta onde quer salvar, dê um nome ao
arquivo e clique em gravar.
** No momento em que o aluno vai percorrendo com o ponto A sobre a reta formada pela função
f(x)=1*x+2 o rastro do ponto vai colorindo os valores do eixo x (domínio) e os valores correspondente no eixo y (contradomínio).
O domínio e o contradomínio são dois conjuntos de números. No exemplo do
abastecimento do tanque de gasolina, o domínio são os valores pagos, o
contradomínio são as quantidades de litros de gasolina correspondente a cada valor.
A função, nesse caso, é a sentença matemática (modelo matemático) que nos dá a
quantidade de litros (imagem) para cada valor, (L=v/2,80).
Muitas vezes é conveniente representar uma relação funcional através de
uma equação do tipo y=f(x); e as letras, x e y são chamadas de variáveis. Em
particular, como o valor numérico de y é determinado pelo x, y é chamado de
variável dependente e x de variável independente. Observe que não há nada de
especial nos símbolos x e y; uma função y=x+4, por exemplo, também poderia ser
escrito na forma s=t+4 ou w=u+4.
ATIVIDADE 05: FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU.
Objetivos:
Reconhecer as funções do primeiro grau bem como suas representações
algébricas e gráficas.
Compreender a variação dos valores envolvidos (coeficientes).
Reconhecer a condição de existência de uma função.
Como vimos nas construções anteriores existem números associados às
variáveis, as quais são chamadas de coeficientes. A alteração dos valores destes
coeficientes irá provocar alterações na sentença. Na sentença matemática y= ax + b,
as letras x e y representam as variáveis, enquanto a e b são denominadas
coeficientes. Vamos ver isso na nossa construção anterior. Então:
01) Abra a construção anterior que foi salva do Geogebra.
02) Com o cursor sobre a reta formada, clique no botão direito do mouse e em
seguida em “propriedades”, “exibir rótulo”, “nome e valor”.
* Observação para o professor.
03) Com o cursor em cima do ponto A, clique no botão direito do mouse e em
seguida em propriedades e em básico. Marque “exibir rótulo” e “nome e valor”.
Repita esse procedimento na mesma tela selecionando o ponto B e C no lado
esquerdo.
04) Com o cursor no controle deslizante arraste deixando a=0. E responda
observando a reta f(x)=a*x +b.
a) Que posição a reta assume em relação ao eixo x?
b) Que relação existe entre b e a interseção da reta com o eixo y?
c) Quais são os valores que o domínio assume?
d) E no eixo y, quais são os valores do contradomínio?
e) Nessa condição a reta corta o eixo x, se cortar quais as coordenadas desse
ponto?
05) Agora com a=1 e b=0 e deslocando o ponto A.
a) O que acontece com os valores das coordenadas do ponto A, em todos os deslocamentos do mesmo?
b) Em qual valor a reta corta o eixo x?
c) Em qual valor a reta corta o eixo y?
d) Qual o valor de y quando x=1, x=-3, x=3?
e) O que acontece com o domínio e o contradomínio quando movimentamos o ponto A?
06) Com o cursor em b deixe, b=0 e escreva:
a) O que acontece com o gráfico quando você altera o valor do a?
b) E quando se movimenta o ponto A quais são os valores do domínio e
contradomínio
07) Deslize os controles deslizantes e deixe a=0 e b≠0 e responda.
a) Alterando os valores de b>0 e b<0, o que acontece com a reta?
b) E movimentado o ponto A, quais os valores do domínio e o contradomínio?
08) Agora altere para a=1 e b≠0, nesse caso coloque o cursor em cima da reta, habilitar rastro e alterando b, responda:
a) O que houve na janela de visualização com a reta? Qual alteração da reta sobre o eixo y?
ATIVIDADE 06: IMAGEM DE PONTO EM UMA FUNÇÃO.
Objetivos:
Estabelecer a imagem de um ponto.
Reconhecer o domínio e a imagem, graficamente de um ponto.
Em grupos de três alunos façam uma construção gráfica no Geogebra para
responder as questões abaixo, referentes às quatro funções dadas:
f(x)=2x+4 f(x)=3x+5 f(x)=-3x+5 f(x)=-4x-3
a) Calcule a imagem de x=1, x=2, x=-3, x=1/3 e x=-2. Primeiro façam isso
algebricamente.
b) Qual o domínio de cada função? E o contradomínio?
Sigam os passos da construção abaixo e façam a comparação de suas
respostas, entre os membros do grupo e para tanto:
01) Abram o geogebra.
02) No campo de entrada digitem a=1,na coluna esquerda , cliquem na
bolinha para exibir o objeto.
03) Campo de entrada digitem A=(a,0), (para vincular o ponto A ao controle
deslizante a).
04) Botão direito em cima do controle deslizante, lado direito do mouse,
propriedades, controle deslizante, alterem o intervalo para -20 e 20 o incremento 0.1
(0,1).
05) Campo de entrada digitem f(x)=2*x+4, enter.
06) Com a ferramenta ,construam uma reta perpendicular ao eixo x, passando
por A, clicando no ponto A e no eixo x.
07) Com a ferramenta “interseção de dois objetos” , em cima da interseção da
reta perpendicular ao eixo x e reta da função dada, marque o ponto B (lembre da
ferramenta , para mover janela, se necessário)
08) Com a ferramenta reta perpendicular , cliquem em cima de B e do eixo y.
Com a ferramenta interseção de dois objetos construam um ponto C em cima do
eixo y e a reta perpendicular traçada a ele.
09) Na janela de álgebra ocultem as duas retas ,com a ferramenta,
segmento definido por dois pontos construam segmento AB e CB. Com o cursor
sobre o segmento alterem o estilo para pontilhado do AB e CB.
10) Com o cursor em cima de A, propriedades, básico, exibir rótulo, nome e valor.
Faça isso para B e C na mesma tela, selecionando os mesmos no lado esquerdo.
11) Deslizando o controle deslizante, que é o nosso x, tem-se a imagem que pode
ser visualizada no ponto C ou D.
12) Para alterar a função, na mesma construção, na janela de álgebra, dê dois
cliques com o botão esquerdo do mouse em cima da função, para alterar a função
selecione o “a”, digite seu novo valor, selecione o “b”, digite seu novo valor e dê
enter.
13) Alterem o valor do x com o controle deslizante a e observem os valores das
imagens no ponto B ou C.
14) Clique em “arquivo”, “gravar como”. Na tela que abriu escolham onde quer em
gravar. Deem um nome: imagem_ponto_seu_nome e cliquem em gravar.
ATIVIDADE 07: ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU.
Objetivos:
Identificar uma função do 1º grau.
Determinar quando a função é crescente ou decrescente.
Reconhecer o zero da função.
Relacionar o coeficiente a, com função crescente ou decrescente.
Vamos fazer uma construção gráfica no Geogebra para auxiliar algumas
questões referentes ao estudo dos sinais da função do 1º grau. Após várias
construções feitas percebemos que sua representação gráfica é um segmento linear.
Agora vamos nos ater ao sinal do domínio e contradomínio dessas funções, para
tanto:
01) Abra o Geogebra.
02) Clique em arquivo, localize a pasta e o arquivo da construção anterior que foi
salvo, selecione-o e clique em abrir.
Nesta atividade, com o conhecimento já adquirido dos coeficientes a e b e
utilizando a construção gráfica do Geogebra, responda as questões referentes às
seguintes funções:
a) f(x) =2x+4 b) f(x) =-2x+5 c) f(x) =3x+2 d) f(x) =-x+4
a) Fazendo para todas as quatro funções, x1=2 e x2=3, anote suas imagens(y).
Relacione os valores de x com os valores de y.
b) Qual o coeficiente que determina se a função é crescente ou decrescente? Qual
coeficiente que altera o valor do y? Como?
c) O que acontece com os valores do x e do y, quando a função é crescente?
d) O que acontece com os valores de x e y, quando a função é decrescente?
** Espera-se que os alunos façam x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2), para a>0, função crescente ou x1<x2 ⇒
f(x1)>f(x2), a<0,função decrescente. * Espera-se que eles percebam, que quando a>0, do lado direito do zero os valores de y terão o mesmo sinal (+), ou seja, aumentando os valores de x aumenta y e o contrário também, diminuindo os valores de x os valores de y também diminuem, recebe o nome de função crescente. * E quando a<0, do lado direito do zero os valores de y terão valores contrários, ou seja, quanto mais os valores de x aumentos mais os valores de y diminuem e do lado esquerdo do zero, sinal contrário do a, ou seja, quanto mais diminuir x mais aumenta y, que recebe o nome de função decrescente.
Estudar o sinal da função y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y
é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é
negativo.
Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a
função, isto, torna f(x) = 0. Geometricamente para f(x) =ax + b, a≠0, a abscissa do
ponto em que a reta corta o eixo x.
Uma função é crescente no conjunto dos números reais (R), quando os
valores de x1 e x2, sendo x1 < x2 resultarem em f(x1) < f(x2). No caso da função
decrescente no conjunto dos números reais, teremos x1 < x2, resultando em f(x1) >
f(x2).
* Observação para o professor.
ATIVIDADE 08: FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU I.
Objetivos:
Reconhecer uma função polinomial do segundo grau.
Identificar diferença do gráfico da função do 1º grau e 2º grau.
Identificar o gráfico como sendo uma parábola.
Calcular os pontos de uma função do 2º grau na planilha do software e
construir seu gráfico na tela do mesmo.
Com o quadrado e a sentença matemática área=l², que define sua área,
escrevendo em forma de função, ou seja, f(l) =l², faremos uma construção gráfica no
geogebra. E após a construção alguns questionamentos importantes.
Construção:
01) Abra o Geogebra.
02) Campo de entrada digite, a=1, dê enter.
03) Na janela de álgebra, clique na bolinha do número .
04) Com o cursor em cima do controle deslizante a, clique com o botão direito do
mouse na tela aberta. Clique em controle deslizante e deixe -20 a 20 e o incremento
de 0.1. Dê “enter” e feche a tela.
05) No campo de entrada digite f(l)=l^2, dê “enter”.
06) No campo de entrada digite A=(a,0), dê “enter”.
07) Ative a ferramenta reta perpendicular, clique no ponto A e no eixo x.
08) Ative a ferramenta “interseção de dois objetos”, clique na intersecção da reta
perpendicular ao eixo x e o gráfico da função.
09) Ative a ferramenta reta perpendicular, clique com o botão esquerdo no ponto B e
em seguida no eixo y.
10) Ative a ferramenta interseção de dois objetos. Clique com o botão esquerdo do
mouse em cima da intersecção da reta perpendicular ao eixo y que passa por B.
11) Na janela de álgebra, oculte as retas b e c.
12) Ative a ‘ferramenta segmento definido por dois pontos”, clique no ponto A e, em
seguida no ponto B. Com a mesma ferramenta, clique no ponto B e em seguida no
ponto C.
13) Posicione o cursor em cima do ponto B. Clique no botão direito, em
propriedades, básico, marque exibir rótulo e nome e valor. Na mesma tela, clique na
aba cor e selecione a cor verde para seleciona-la. Na mesma tela, clique em estilo,
em tamanho do ponto e selecione 3. Dê enter e feche a tela.
Responda:
a) Os valores do eixo x, em relação ao quadrado, representam os valores de quê? E
os valores do eixo y?
b) Alterando os valores de x (lado do quadrado), o quadrado existe para todos eles?
c) Que tipo de gráfico se forma quando digitamos f(l)=l²?
** Espera-se que os alunos percebam que no eixo x estão os valores do lado(l) do quadrado e no
eixo y os valores da área do quadrado.
* Neste momento espera-se que o aluno veja a diferença do gráfico da função do 1º grau (uma reta) e a curva que representa essa função.
ATIVIDADE 9: FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU II.
Objetivos:
• Reconhecer uma função polinomial do segundo grau.
• Identificar a diferença do gráfico da função do 1º grau e 2º grau.
• Identificar o gráfico como sendo uma parábola.
• Identificar como função do 2º grau quando a≠0.
Na construção anterior, da área do quadrado, percebemos que o gráfico formado
na tela do Geogebra, não é uma reta e sim uma parábola. Logo, esse é um exemplo
de uma função polinomial do 2º grau, tendo como definição f: R→R é dada por f(x)=
ax²+bx+c com a, b, e c, reais com a≠0.O domínio das funções quadráticas é em
geral os números reais, ou seus subconjuntos, porém se a função estiver
relacionada a uma situação real deve se adequar ao contexto. Como podemos
* Observação para o professor.
perceber, anteriormente nem todos os valores podem ser tomados como medidas
para o lado do quadrado.
Em grupos de 3 alunos construir uma tabela de duas colunas e 7 linhas. Para
cada função, completar a tabela, utilizando os valores para x sugeridos abaixo.
Marcar os pontos na tela do Geogebra com a malha exibida e depois, usar a caneta
do Geogebra para ligar os pontos obtidos. Finalmente, inserir a função no campo de
entrada.
a) Seja a função y=x²-2x-3, construa uma tabela utilizando como domínio os
seguintes valores para x, -2, -1,0,1,2,3,e 4.
b) Seja a função y=-x²+2x+3, construa uma tabela utilizando como domínio os
seguintes valores para x, -2, -1,0,1,2,3 e 4.
** O professor deve observar o que está sendo feito pelos alunos, para posteriores colocações.
* Espera-se que entre as construções tenhamos construções semelhantes a essa construção apresentada abaixo.
Para verificar a questão acima, sigam os passos:
01) Abra o Geogebra.
02) Na barra de menus, clique em exibir e clique em planilha.
03) Feche a janela de álgebra e a janela de visualização.
04) Na célula A1 digite x e em B1 digite y.
05) Na coluna x inserir, os valores -2, -1, 1, 0, 1, 2, 3 e 4.
06) Na célula ao lado do primeiro valor de x, digite =1*(A2)^2-2*A2-3 e dê enter.
07) Clique em cima da célula B2, e arraste a fórmula colocada na vertical para todos
os valores da tabela.
08) Deixe duas linhas em branco, construa a segunda tabela, seguindo os mesmos
passos.
09) Clique em exibir, clique em janela de visualização 2.
10) Coloque o cursor no lado esquerdo da janela de visualização e arraste a mesma
deixando apenas as duas colunas da planilha.
11) Clique com o botão direito em cima da janela de visualização, e clique em exibir
* Observação para professor.
malha.
12) Agora com a ferramenta novo ponto, marque os pontos da primeira tabela.
13) Clique com o botão direito em cima do ponto A. Na janela aberta, clique com o
botão esquerdo em cima de cor, (deixando cor azul). No lado esquerdo selecione
cada ponto marcado e altere para azul e feche essa janela.
14) Ative a ferramenta caneta na barra de menus e ligue os pontos marcados.
15) Faça o mesmo para os pontos da segunda tabela na janela de visualização que
já está com a primeira construção. Utilizando as propriedades altere a cor dos
pontos dessa tabela para vermelho.
16) Digite no campo de entrada f(x)=1*(x)^2-2*x-3 e dê “enter”.
17) Digite no campo de entrada f(x)=-1*(x)^2+2*x+3
Agora respondam:
a) Onde ficaram os pontos marcados no plano cartesiano, quando foi digitada a
função no campo de entrada?
b) Se calcularmos dois pontos, conseguimos traçar o gráfico?
c) O que se pode dizer com o traçado feito com a caneta e o gráfico que o software
construiu?
d) Com dois pontos apenas podemos construir esse gráfico?
ATIVIDADE 10: OS COEFICIENTES a, b e c.
Objetivo:
Identificar a posição da concavidade da parábola.
Identificar onde e quando a parábola corta o eixo x.
Identificar onde e quando a parábola corta o eixo y.
Como já vimos, a função do 2º grau é dada por f(x)=ax²+bx+c,sendo a, b e c
números reais e a≠0. Faremos uma construção no Geogebra para a análise das
variações desses parâmetros, de forma que possamos alterá-los e analisar as
mudanças provocadas. Para tanto:
01) Abra o Geogebra.
02) Clique no menu ferramentas, clique em arquivo, clique em gravar como. Na tela
aberta escolha uma pasta que esteja usando para seus arquivos, digite um nome
como coeficientes_segundo_grau_paulo, clique em gravar.
03) No campo de entrada digite a=1, dê “enter”, digite b=2, dê enter e digite c=3,
enter.
04) Com o botão direito do mouse em “a”, clique na bolinha que está do lado
esquerdo do a, faça o mesmo para “b” e “c”. Aparecerão os segmentos na janela de
visualização (controles deslizantes). Clique com o botão direito em cima de a, clique
em propriedades, clique em controle deslizante, deixe mínimo -30 e máximo 30 e
incremento 0.1 (0,1).Repita o mesmo procedimento para b e c, selecionando-os na
janela de álgebra e dê “enter”.
05) No campo de entrada digite f(x)=a*x^2+b*x + c, dê “enter”.
06) Com a ferramenta interseção de dois objetos, crie um ponto (A) na interseção da
parábola com o eixo y. Clique em propriedades do ponto, em básico, marque exibir
rótulo, deixe marcado: nome e valor.
07) Selecione a ferramenta interseção de dois objetos, clique nas interseções da
parábola com o eixo x. Caso a sua parábola não esteja interceptando o eixo x, altere
o coeficiente “c”, até que a parábola o intercepte.
08) Automaticamente criou-se o ponto B e C. Clique com o botão direito do mouse
em cima do ponto B, clique em propriedades, na tela aberta clique em básico,
marque exibir rótulo e nome e valor. Alterne do lado esquerdo na janela de álgebra
para o ponto C e execute o mesmo procedimento.
09) Quando for fechar abre uma janela pedindo se quer gravar, clique em gravar.
Agora utilizando a ferramenta mover, altere os valores de a, b e c e responda as
questões:
Com b≠0 e c≠0,descreva o que acontece com o gráfico da parábola, quando:
a) a=0
b) a>0
c) a<0
** Espera-se que eles respondam que quando a=0, a função passa a ser do 1º grau, a>0 a
parábola tem a abertura voltada para cima (convexa), a<0 abertura voltada para baixo (côncava).
Agora a≠0 e c≠0, alterando o valor do parâmetro b, responda:
a) O que ocorre com a parábola quando b=0?
b) O que ocorre com a parábola quando aumentamos o valor de b em relação ao
eixo y?
c) O que ocorre com a parábola quando diminuímos o valor de b em relação ao eixo
y?
** Espera-se que os alunos percebam que, quanto maior for o valor de b mais o gráfico é
deslocado à esquerda de y. Quanto menor é deslocado à direita e quando é zero fica centralizado no eixo y. Quando b=o, ele será o vértice da parábola.
e) O que se altera quando alteramos o valor do c?
f) Qual a conclusão que se pode tirar do parâmetro c em relação à parábola?
* Importante os alunos perceberem que sempre a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,c).
ATIVIDADE 11: ZEROS (OU RAÍZES) DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Objetivos:
Interpretar geometricamente e algebricamente as raízes da função quadrática.
Perceber a facilidade de achar os zeros, utilizando o geogebra.
* Espera-se que os alunos usem a construção gráfica, da atividade anterior. Para achar os zeros da função.
Para o programa possa carregar a construção anterior que foi salva, siga esses
passos:
01) Abra o Geogebra.
02) Clique em arquivo.
03) Clique em abrir.
04) Ache a pasta que você salvou, selecione o arquivo e clique em abrir.
05) Altere o valor dos controles deslizante a, b e c, de acordo com cada equação,
fazendo a leitura do gráfico em seguida. Toda vez que pedir para gravar deve-se,
* Observação para o professor. * Observação para o professor.
confirmar para utilizar essa construção posteriormente.
Determine aos zeros das seguintes funções quadráticas.
a) f(x)= x²-4x-5.
b) y=x²+20x+25
c) y= x²+2x
d) y=2x²-3x+4
e) f(x)=x²-7x+10
g) y=x²-7x+10
h) y=x²+2x+1
i) y=4-x²
Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que
anulam a função, ou seja, que tornam f(x)=0. Logo os zeros são os pontos que a
parábola intercepta o eixo x (para um ponto cortar o eixo y deve ter y=0)
Ou seja, para determinar os zeros devemos resolver a equação ax²+bx+c =0
ATIVIDADE 12: INTERPRETAÇÃO DO DELTA.
Objetivos:
Identificar a relação do delta com as raízes da função quadrática.
Para responder os questionamentos que serão colocados a seguir, vamos
usar a construção anterior. Como nosso interesse é o delta insira o mesmo na
construção que foi carregada no geogebra. Para isso:
01) Digite no campo de entrada Delta =b^2-4*a*c, e dê “enter”.
02) Clique em cima do “delta”, clique em renomear, na tela que abriu do lado direito,
clique no alfa, encontre o símbolo ∆, clique nele e dê “ok”. Renomeou o delta para ∆.
03) Deslize os controles deslizante para responder as questões.
04) Quando for fechar a construção, confirme a gravação.
Deixando a>0, alterando os controles.
a) Quantos zeros a função tem quando o ∆ >0?
b) Quantos zeros a função tem quando o ∆ <0?
c) Quantos zeros a função tem quando o ∆ =0?
Deixando a<0, alterando os controles.
a) Quantos zeros a função tem quando o ∆ >0?
b) Quantos zeros a função tem quando o ∆ <0?
c) Quantos zeros a função tem quando o ∆ =0?
Complete o quadro abaixo com um esboço da parábola e as respostas.
A >0 A <0
∆ >0
x
x
a) A função tem quantos zeros?..........................................................................................
b) A parábola corta o eixo x.................................................................................................
∆ =0
x
x
a) A função tem quantos zeros?...........................................................................................
b) A parábola corta o eixo x.................................................................................................
∆ <0
x
x
a) A função tem quantos zeros?............................................................................................
b) A parábola corta o eixo x..................................................................................................
ATIVIDADE 13: ESTUDO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA.
Objetivos:
Identificar algebricamente e graficamente o vértice da função.
Identificar o vértice como máximo ou mínimo da função.
Calcular algebricamente as coordenadas do vértice da parábola.
As coordenadas do vértice.
A parábola, que representa o gráfico da função, f(x)=ax²+bx+c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas coordenadas são xv=-b/2a (abscissa) e yv=∆/4a (ordenada).
Agora vamos adicionar essas ferramentas à construção gráfica, para que ela efetue
o cálculo do vértice da parábola, fazendo assim:
01) Se fechou a construção anterior, carregue novamente.
02) No campo entrada digite xv=-b/(2*a), dê “enter”.
03) No campo de entrada digite yv=-∆/(4*a), dê “enter”.
04) Para visualizar o vértice, digite no campo de entrada V=(xv,yv) e dê “enter”.
05) Clique em cima do ponto V, em propriedades, em básico, marque exibir rótulo,
nome e valor.
06) Altere os coeficientes a, b, e c, deslizando os controles deslizantes.
Encontre o ponto V(xv,yv), vértice da parábola, que representa o gráfico das seguintes funções:
a) f(x)=x²-6x+5
b) y=x²-2x-3
c) y=-x²+2x-1
d) y=x²-4
e) y=3x²-2x+2
f) y=3x²-4x
g) f(x)=x²-10x+9
ATIVIDADE 14: ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Objetivos:
Identificar quais os valores de x deixam os valores de y>o (positivo) y<o
(negativos) e y=0 (nulo).
Saber construir o esboço gráfico, de uma função quadrática.
Escrever em notação de conjuntos os valores de (x) que tornam a função y>0,
y=0 ou y<0.
Estudar o sinal de uma função f(x) =ax²+bx+c, com a, b e c pertencentes aos
reais, com a≠0, é determinar os valores reais de x que: tornam a função positiva,
tornam negativa a função e tornam nula a função.
No caderno, os alunos, em duplas, devem fazer o estudo dos sinais das seguintes
funções, calculando as raízes das funções e fazendo f(x)=0. Devem ainda fazer um
esboço do gráfico, para que possam realizar a leitura dos sinais da função:
a)f(x)=x²-7x+10 b)f(x)=-3x²+2x+1 c)f(x)=x²-6x+9 d)f(x)=-5x²+2x-3.
Esse estudo deve ser registrado para que possa ser comparado e verificado com o
software posteriormente.
Para esta atividade vamos fazer uma construção no geogebra, procedendo assim:
1) Abra o Geogebra, vá em “gravar como” dê um nome “sinal_2grau_paulo”, escolha
a pasta a ser salvo o arquivo e clique em “gravar”.
2) Na caixa de entrada digite a=1, enter, b=-1,enter, c=-2, aperte enter, digite
f(x)=a*x^2+b*x + c, aperte enter, clique no botão direito do mouse em cima de a do
lado esquerdo ,marque as três bolinhas para exibir os objetos.
3) Com o botão direito em cima de a na janela de álgebra, clique em propriedades,
controles deslizante, altere os valores para -20 e 20, deixando como 0.1 (0,1) o
incremento. Execute o mesmo procedimento sem fechar a tela para b e grave o
arquivo.
4) No campo de entrada digite Ponto(EixoX), pressione enter, esc e arraste o ponto
criado, deixando na parte positiva do eixo x.
5) No campo de entrada digite Raiz(f),pressione enter. (dois pontos foram criados B
e C na intersecção da função com o eixo x, as raízes ou zeros).
5) Campo de entrada (x(A),f(x(A))), enter (foi criado um ponto em cima da parábola
com o valor de x do ponto A e y da função o ponto D).
7) Campo de entrada (0,f(x(A))), enter, (foi criado um ponto em cima do Eixo y e com
valor do y do ponto A o pondo “E”)
8) Caixa de entrada Segmento(A,D), enter, Segmento(D,E), enter. Clique com o
botão direito em cima do segmento AD criado, propriedades, estilo, pontilhado. Faça
isso na mesma tela do lado esquerdo com o segmento EA.
9) Selecione inserir texto ,escolha um local da tela, clique do lado esquerdo do
mouse de digite IMAGEM POSITIVA, “enter”, novamente “inserir texto”. Digite
IMAGEM NEGATIVA, “enter”, novamente “inserir texto”. Digite IMAGEM NULA,
“enter”.
10) Com o botão direito do mouse arraste os três textos na área gráfica. Em
seguida, clique com o botão direito em “IMAGEM POSITIVA”, propriedades, texto.
Deixe o tamanho em grande e negrito, também altere a cor. Agora, em avançado,
condições para exibir objetos digitem: y(E)>0. Na mesma tela faça os mesmos
procedimentos para “IMAGEM NEGATIVA”, deixe uma cor diferente da anterior e em
condições para exibir objetos digite y(E)<0, em imagem nula outra cor, em exibir
objetos y(E)=0.
Agora utilizando a construção feita no Geogebra vamos analisar graficamente, os
sinais das funções:
a)f(x)=x²-7x+10 b)f(x)=-3x²+2x+1 c)f(x)=x²-6x+9 d)f(x)=-5x²+2x-3.
Agora começando pela função (x)=x²-7x+10, utilizando o controle deslizante deixe a=1, b=-7 e c=10.Ou seja construa o gráfico da função.
a) Graficamente os valores x' e x'', são iguais aos x do ponto B e C? (Se não aparecer as coordenadas do ponto B e C, botão direito do mouse no Ponto B, propriedades, básico, marque “exibir rótulo” e “nome e valor”).
b) Altere o valor de x (abscissa do ponto A) movendo A com o cursor do mouse, e responda:
Para quais valores de x, y=0?
Para quais valores de x, y>0?
Para quais valores de x, y<o?
Referências:
ARAÚJO, LUIS CLÁUDIO LOPES; NÓBREGA, JORGE CÁSSIO COSTA. Aprendendo Matemática com o Geogebra. São Paulo, Editora Exato, 2010.
GRAVINA, M. A. SANTAROSA, L. M. A aprendizagem da matemática em ambientes informatizados. In: Anais do IV congresso RIBIE, 1998. Disponível em: http://lsm.dei.uc.pt/ribie/docfiles/txt200342413933117.pdf Acessado: 21/05/2013
D'AMBRÓSIO, U., BARROS, J. P. D. Computadores, escola e sociedade. São Paulo: Scipione, 1988. VALENTE, José Armando. Liberando a mente: computadores na educação especial.
D´AMBRÓSIO, U. Educação Matemática: da Teoria à Pratica. Campinas: Papirus, 2001. CAMPOS, T. M. M; NUNES, T. Tendências atuais do ensino e aprendizagem da Matemática. Brasília, n. 62, abr/jun, p. 3-7, 1994.
GERONIMO, João Roberto. Geometria Euclidiana: um estudo com o software Geogebra. João Roberto Geronimo, Rui Marcos de Oliveira Barros, Valdeni Soliani Franco. Maringá: Eduem, 2010.
