Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

AS CONTRIBUIÇÕES DE VAN HIELE NA ELABORAÇÃO DE UMA SEQUENCIA

DE ATIVIDADES PARA O ENSINO DOS QUADRILÁTEROS

Rosalire Terezinha da Silva.

Prof da Rede Estadual de Ensino

Marcia Maioli

Prof do Departamento de Matemática da UEM

Resumo

O presente artigo faz uma abordagem sobre o ensino dos quadriláteros

utilizando as orientações descritas por van Hiele para o ensino da geometria. A

teoria de van Hiele descreve cinco níveis de compreensão que informam as

características do processo do desenvolvimento do pensamento geométrico. Nesse

aspecto propõe-se uma sequência de atividades envolvendo quadriláteros, de

maneira que se respeite o nível do pensamento geométrico em que o aluno se

encontra. Para a compreensão dos níveis do pensamento geométrico, utilizaremos

algumas propriedades que caracterizam o modelo. Pois além de muito significativas,

podem orientar o professor na tomada de decisões quanto ao ensino. Como

resultado alcançado com a realização desse trabalho, pode se dizer que houve

mudanças tanto no comportamento didático pedagógico do professor, quanto no

envolvimento dos alunos. Observou-se que em relação à compreensão dos

conteúdos trabalhados os alunos demonstraram-se mais autônomos e produtores

do próprio conhecimento.

Palavras- chave: Ensino da geometria; Quadriláteros; Teoria de van Hiele

INTRODUÇÂO

Constatamos que nossos alunos apresentam dificuldades na compreensão

dos conceitos geométricos. Talvez tais dificuldades sejam decorrentes da forma em

que a maioria de nós professores trabalhamos os conteúdos de geometria, tendo

como apoio apenas os livros didáticos. Temos observado que desta forma não

conseguimos o nível de aprendizagem esperado dos nossos alunos. Podemos

comprovar essa deficiência na nossa prática pedagógica quando nos deparamos

com os resultados das nossas avaliações diárias. Outro ponto bastante visível são

os poucos acertos conseguidos pelos alunos em questões envolvendo geometria, na

Prova Brasil, Enem e outras avaliações que acontecem no âmbito da própria escola.

Alguns fatores acabam contribuindo para uma defasagem no ensino da

geometria, por exemplo: o despreparo metodológico do professor, e o tempo

insuficiente para trabalhar os conteúdos de geometria na sua totalidade, pois

geralmente são deixados para ser trabalhados no final do ano letivo.

Ao considerar as dificuldades acima mencionadas, proponho desenvolver

meu projeto de intervenção pedagógica, utilizando uma proposta de ensino que

venha auxiliar minha prática no ensino da geometria.

Com a intenção de melhorar a prática pedagógica ao ensinar geometria,

pretendo trabalhar com uma sequência de atividades envolvendo quadriláteros

amparada na Teoria de van Hiele. Tal teoria apresenta como idéia básica, que a

aprendizagem da geometria acontece passando por níveis graduais de pensamento.

Nesse modelo van Hiele afirma que o aluno só pode alcançar o nível de pensamento

seguinte passando pelo anterior. Cada nível tem sua linguagem própria, e esses

níveis nada tem a ver com a idade ou maturidade do aluno. O modelo mostra que é

possível levar o aluno a representar novos conceitos com melhor entendimento da

geometria se considerarmos seus níveis de compreensão.

Além de fornecer uma compreensão daquilo que há de específico em cada nível de pensamento geométrico, os van Hiele identificaram algumas generalidades que caracterizam o modelo. Essas

propriedades são particularmente significativas para os educadores, pois podem orientar a tomada de decisões quanto ao ensino (MONTGOMERY,1994, p.4).

É preciso refletir sobre nossa prática pedagógica, conhecer como nosso aluno

aprende, e entender que podemos facilitar a aprendizagem do nosso aluno,

dificultar ou até mesmo impedir que ele aprenda.

É possível que a forma como, organizamos as atividades possa contribuir

para desinteresse dos alunos, tornando a aula maçante e pouco atrativa.

Nessa perspectiva indaga-se, como ensinar geometria de forma

interessante, para que o aluno tenha um bom desempenho na construção dos

conceitos geométricos, mais precisamente, neste trabalho, nos conceitos e

propriedades relativos aos quadriláteros.

Com a proposta de minimizar as dificuldades citadas busca-se com esse

trabalho adquirir conhecimentos que possam orientar a seleção e organização de

atividades para conteúdos de geometria. A proposta neste trabalho é selecionar

atividades que respeitem os níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico

dos alunos. A teoria de van Hiele nos embasará na identificação desses níveis.

Escolhi os quadriláteros por se tratar de um conteúdo abordado nas

séries com as quais trabalho.

Segundo pesquisadores que se baseiam na teoria de van Hiele, na

formação de conceitos geométricos existe um avanço entre os níveis de

desenvolvimento do pensamento geométrico. Porém isso só é possível se

proporcionarmos ao nosso aluno uma sequência de atividades que obedeçam a

hierarquia desses níveis.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA/REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN), criticam a

prática tradicional do ensino da matemática que consiste na apresentação oral dos

conteúdos pelo professor, partindo de definições, exemplos e demonstrações de

propriedade seguidos de listas de exercícios para fixação, como se o aluno

adquirisse conhecimento pela reprodução. A reprodução correta pelo aluno seria

um sinal que houve aprendizagem.

Essa prática de ensino tem se mostrado ineficaz, pois a reprodução correta pode ser apenas uma simples indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir alguns procedimentos mecânicos, mas não apreendeu o conteúdo e não sabe utilizá-lo em outros contextos (PCN, 2007, p.30).

Ainda de acordo com os PCN, a medida que se restabelece o papel do aluno

diante do saber, o papel do professor que ensina matemática também deve ser

redimensionado. Para uma nova proposta de trabalho deve-se considerar o aluno

como agente da aprendizagem. O papel do professor toma dimensões como

organizador e consultor no processo da aprendizagem. O que se pretende nesse

trabalho é aprimorar nosso papel de organizador nesse processo.

Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática do

Paraná (2008), a aprendizagem da matemática consiste em criar estratégias que

possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às ideias de modo a

tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar.Desse

modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular

e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou lista de exercícios.

Podemos observar as mais diferentes formas geométricas a nossa volta.

Algumas dessas formas estão presentes na natureza e outras são resultados da

ação do homem. É comum encontrarmos relações e conceitos geométricos

incorporados à nossa linguagem, idéias e valores estéticos, e na organização que

damos aos objetos (FONSECA, et. al, 2002).

O ensino da geometria permite o entendimento e a visualização do espaço, a

exploração das formas e a capacidade de representá-las através do desenho e

construção dos sólidos além de desenvolver habilidades importantes em outras

áreas do conhecimento. Ainda oferece oportunidades para que o aluno possa

investigar, descrever e compreender as propriedades e conceitos geométricos.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais:

O pensamento geométrico desenvolve-se inicialmente pela visualização: as crianças conhecem os espaços como algo que

existe ao redor delas. As figuras geométricas são reconhecidas por suas formas, por sua aparência física, em sua totalidade, e não por suas partes ou propriedades (BRASIL,1997, p.127).

Para Dobarro (2010), o ensino dos conceitos geométricos tem por objetivo

interferir na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento e

no desenvolvimento do raciocínio dedutivo do estudante.

O indivíduo que domina o conhecimento geométrico é capaz de estabelecer relações e conhecer maneiras de como os conceitos e relações são utilizadas, ou seja, os procedimentos aprendidos, entre eles as destrezas em geometria, como desenhar, planificar, usar nomes corretos, visualizar transformações em figuras, generalizar os conceitos para outros tópicos da Matemática e para situações do dia-a-dia (VIANNA, apud DOBARRO; BRITO, 2010, p.35).

Dobarro (2010), concordando com Viana, afirma que nas tarefas de

geometria, os alunos se diferenciam quanto ao conhecimento que possuem, seja

relativo aos conceitos ou procedimentos. Nesse aspecto o modelo de van Hiele

contribui para que essas diferenças sejam compreendidas.

A teoria de van Hiele para o pensamento em geometria foi criado por Pierre

van Hiele e sua esposa Dina van Hiele-Geoldof, tendo por base as dificuldades

apresentadas por seus alunos holandeses. Ele estudou a maturidade de

pensamento de estudantes em geometria tendo sugerido que esses alunos

progrediam através de uma sequência hierárquica dos níveis de compreensão

enquanto aprendiam geometria (CROWLEY,1994).

Van Hiele, em 1995, descreveu cinco níveis, com maior ênfase no que ele

descreveu como nível visual ou básico. Percebeu que as ações, no patamar do

pensamento visual, são muito importantes para o desenvolvimento do pensamento

geométrico. A experiência também é fator fundamental para o desenvolvimento de

um nível de pensamento, para outro mais elevado (CROWLEY,1994).

Segundo Nasser (2010), o progresso entre, e nos níveis, não ocorre num

período curto de tempo. É necessário o amadurecimento nas estratégias, objetos de

estudo e linguagem próprias de cada um dos níveis. O avanço de um nível para o

seguinte se dá através da vivência de atividades adequadas e cuidadosamente

ordenadas pelo professor. Portanto, a elevação de nível depende muito mais de uma

aprendizagem adequada do que a idade ou maturação, destacando o papel do

professor. Cabe ao professor selecionar atividades que o aluno deve vivenciar para

que avance para o nível seguinte.

O modelo de van Hiele é um guia para a aprendizagem, e um instrumento

para a avaliação das habilidades dos alunos em geometria. Os cinco níveis de

compreensão informam quais são as características do processo de pensamento

dos alunos em geometria ( ALVES, 2010).

Segundo van Hiele cada nível é caracterizado por relações entre os objetos de estudo e linguagem próprias. Consequentemente, não pode haver compreensão quando o curso é dado num nível mais elevado do que o atingido pelo aluno. E sugere cinco níveis hierárquicos, no sentido de que o aluno só atinge determinado nível de raciocínio após passar por todos os níveis inferiores (NASSER,1998, p.4).

O quadro a seguir relaciona os níveis de van Hiele e suas características:

Quadro 1: níveis de van Hiele.

Nível de van Hiele Características Exemplo

Básico: Reconhecimento ou visualização

Identificação, comparação e nomenclatura de figuras geométricas, com base em sua aparência

Classificação de quadriláteros (Recorte) em grupos de quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos e trapézios.

Nível 1: Análise

Análise das figuras em termos de seus componentes, reconhecimento de suas propriedades e uso dessas propriedades para resolver problemas.

Descrição de um quadrado através de suas propriedades: 4 lados, 4 ângulos retos, lados iguais, lados opostos paralelos.

Nível 2: Síntese ou dedução informal

Percepção da necessidade de uma definição precisa, e de que uma propriedade pode decorrer de outra; argumentação lógica informal e ordenação de classes de figuras geométricas.

Descrição do quadrado pelas propriedades mínimas: 4 lados iguais e 4 ângulos retos. O retângulo é um paralelogramo, pois também possuis os lados opostos paralelos.

Nível 3: Dedução formal

Domínio do processo dedutivo e de demonstrações; reconhecimento de condições necessárias e suficientes.

Demonstração de propriedades dos triângulos e quadriláteros usando a congruência de triângulos

Nível 4: Rigor

Estabelecimento de teoremas em diversos sistemas comparação do mesmo.

Estabelecimento e demonstração de teoremas em uma geometria finita.

(Fonte: Nasser, 1998, p.5)

Os van Hiele assinalam que, numa sala de aula, cada aluno pensa em

diferentes níveis e, além disso, apresentam modos de pensar diferente dos

professores (ALVES,2010).

O modelo criado por van Hiele, orienta o professor como melhorar o ensino da

geometria, contribuindo para que o aluno tenha um bom aproveitamento na

aprendizagem dos conteúdos de geometria. Proporciona ao professor condição

identificar formas de raciocínio do aluno, verificando em que nível ele se encontra,

se o professor identificar que o aluno se encontra em um nível inferior aos demais da

turma, ele tem subsídios para levar o aluno a avançar seu nível de compreensão

(SILVA; CANDIDO, 2007).

Crowley (1994) descreve que o progresso ao longo dos níveis, acontece

muito mais pela orientação dada pelo professor, que pela maturidade ou idade do

aluno. Para tratar estas questões os van Hiele propuseram cinco fases de

aprendizagem: interrogação, orientação dirigida, explicação, orientação livre, e

integração.

Alves (2010) resume as características dessas fases no quadro a seguir.

Quadro 2: fases de Aprendizagem do modelo de van Hiele.

FASES DE APRENDIZAGEM CARACTERÍSTICAS

Questionamento ou Informação

(fase 1)

- Professor e aluno dialogam sobre o material de estudo;

- Apresentação de vocabulário do nível a ser atingido;

- O professor deve perceber quais os conhecimentos

anteriores do aluno sobre o assunto a ter estudado.

Orientação Direta (fase 2) - Os alunos exploram o assunto de estudo através do

material selecionado pelo professor;

- As atividades deverão proporcionar respostas específicas e

objetivas.

Explicitação (fase 3) - O papel do professor é o de observador;

- Os alunos trocam experiências, os pontos de vista

diferentes contribuirão para cada um analisar suas ideias.

Orientação Livre (fase 4) - Tarefas constituídas de varias etapas, possibilitando

diversas respostas, a fim de que o aluno ganhe experiência

e autonomia.

Integração (fase 5) - O professor auxilia no processo de síntese, fornecendo

experiências e observações globais, sem apresentar novas

ou discordantes idéias.

(Fonte: Alves, 2010, p.71)

Com base na teoria de van Hiele, se o ensino de geometria for desenvolvido

de acordo com as fases de aprendizagem, haverá um favorecimento para aquisição

de um nível de pensamento no conteúdo trabalhado.

Esse artigo tem por objetivo utilizar o modelo de van Hiele como uma prática

inovadora, para o ensino da geometria. Como essa intenção, desenvolvemos uma

sequência de atividades, respeitando os níveis do pensamento geométrico como

descreve o modelo de van Hiele.

Escolhemos o estudo dos quadriláteros por ser um conteúdo apropriado ao 7º

ano do ensino fundamental. Além disso, esse conteúdo nos dá condições de

abordarmos outros conhecimentos básicos para o ensino da geometria.

O modelo de van Hiele afirma que só é possível o avanço de um nível do

pensamento geométrico passando pelo anterior.

Para tanto o modelo sugere algumas propriedades de suma importância, que

embasa e orienta o professor.

Nessa perspectiva o professor apresenta o material de estudo, dialoga com

os alunos e investiga os conhecimentos já adquiridos por eles. E por meio do

material proposto, os alunos exploram o assunto. Neste momento o papel do

professor é apenas de orientador, questiona e observa.

É importante que os alunos criem hipóteses troquem idéias e experiências

entre si. O questionamento do professor leva o aluno a pensar e repensar suas

conclusões. O que se espera é que o aluno aos poucos vá amadurecendo suas

idéias e construindo seu próprio conhecimento.

ATIVIDADES:

Elaboramos e apresentamos aos alunos uma seqüência com as atividades

apresentadas a seguir.

Atividade 1 Vamos estudar sobre "os quadriláteros". Nesse momento o professor questionará a turma com o objetivo de verificar, quais conhecimentos os alunos possuem sobre quadriláteros.

a) Sobre o que vocês acham que vamos falar?

b) O que significa a palavra quadrilátero?

c) Olhem ao redor e identifique objetos na forma de quadriláteros.

d) Formar grupos de três alunos entregar para cada grupo um envelope

contendo uma série de recortes poligonais e pedir que eles identifiquem os quadriláteros.

Obs: Após a separação das figuras, questionar cada equipe observando quais os

critérios que cada equipe usou para identificar as respostas, porém, só observar as respostas sem interferir. Nosso objetivo é levar o aluno a construir aos poucos seus próprios conhecimentos. Considerações sobre a atividade: Observou-se nessa atividade que a maioria dos

alunos não associava quadriláteros como figura de quatro lados. Porém

consideravam quadrilátero como quadrado observando apenas sua forma física.

Quando solicitado que identificassem ao seu redor, objetos na forma de

quadriláteros citaram como exemplo: janelas, quadro, TV, carteira, mesa. Ainda

afirmavam que esses objetos tinham forma quadrada. Somente após o uso do

dicionário, passaram a definir quadrilátero como figura de quatro lados. Ao realizar a

atividade d, a maior parte dos alunos adotou como critério para separar os recortes

poligonais o número de lados das figuras. Algumas equipes não consideram o

quadrilátero qualquer, usando o termo “não é quadrado”.

Atividade 2 Levar para a sala, vários sólidos geométricos com faces de várias formas. Pedir que os alunos discutam entre si e respondam as seguintes questões:

a) Você conhece alguns destes sólidos? Que nome eles tem? b) De quantas “partes” ele é formado?

c) Quais destas “partes” poderiam ser chamadas de faces?

d) Desenhe em seu caderno as faces que você identificou no sólido. Você sabe

o nome destas figuras?

e) Existe alguma semelhança entre estas figuras? Quais?

f) Existem diferenças? Quais?

Sugestões: O professor pode levar planificações para montar os sólidos, ou

construir com os alunos.

Considerações sobre a atividade: Nessa atividade, grande parte dos alunos não

diferenciava figuras planas das espaciais. Apenas alguns alunos conseguiram

identificar o retângulo, o quadrado e o triângulo como face de alguns sólidos

apresentados. Os únicos sólidos reconhecidos por parte dos alunos foi o cubo e a

pirâmide. Foram entregues para os alunos várias caixas de múltiplas formas, para

que fossem abertas e observadas suas planificações, depois de muito diálogo e

questionamentos, foi entregue, em folhas sulfite, planificações de sólidos para que

fossem montados. Depois da manipulação dos sólidos, discussões entre os alunos e

questionamentos pelo professor, os alunos conseguiram responder as questões sem

grandes dificuldades.

Na realização das primeiras atividades ocorreu um fato interessante os

alunos queriam que a professora desse as respostas, e as escrevesse no quadro,

alguns alunos ficaram inconformados com o encaminhamento da aula. A professora

explicou que, para que houvesse aprendizagem era necessário que pensassem,

discutissem com os colegas as questões e chegassem a algumas conclusões

próprias. Que o importante não era simplesmente dar respostas, mas pensar e

argumentar sobre elas.

Atividade 3

Dividir a turma em equipe e pedir que os alunos, com o uso do geoplano forme várias figuras de quatro lados, e as desenhe em seu caderno (caso saibam, colocar o nome das figuras formadas). Considerações sobre a atividade: Essa atividade foi muito atrativa. Os alunos

entenderam como uma brincadeira e disputavam entre as equipes quem formava mais figuras de quatro lados, procuravam, no livro didático, descobrir o nome da figura (o livro didático era a única fonte de pesquisa disponível no momento), sem perguntar para o professor. Aqui um dos nossos objetivos, que era tornar os alunos mais independentes, começa a se caracterizar.

Atividade 4 Utilizando o software GeoGebra desenhar figuras planas com 4 lados e nominar as conhecidas. Considerações sobre a atividade: Nesta atividade podemos movimentar

livremente os lados das figuras e observar as transformações ocorridas. Interessante que, nessa atividade, se confirmou a observação feita nas atividades anteriores. Os alunos se mostraram mais independentes, mesmo não conhecendo as ferramentas do software GeoGebra, se envolveram com mais interesse, segurança e autonomia por terem domínio desse meio tecnológico. Uma surpresa: com poucas explicações já estavam dominando a ferramenta.

Atividade 5 (Inspirada em Nasser, 1998)

Objetivo: Observar semelhanças e diferenças entre os pares de figuras.

Dividir a turma em duplas, pedir que pintem os pares de figuras semelhantes, recorte

as figuras e cole em seus cadernos os pares de figuras geométricas um em baixo do

outro.

11

6

7

10

10

11

12

12

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6

7

8

9 9

8

Obs: a folha de registro a seguir, deverá ser preenchida pelos alunos que registrarão

elementos comuns e algumas diferenças entre as figuras de cada par, o professor

analisa os registros dos alunos, faz um resumo das diferenças e semelhanças

mencionadas. Discute com a turma as informações sobre as características comuns

e diferenças entre cada par de figuras, e pede que os alunos faça o registro no

caderno ao lado da colagem.

Folha de Registro

Nomes:______________________________________________Turma:________

Pares De Figuras Elementos Em Comum Diferenças

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

(Nasser; Sant'Ana,1998, p.11)

Considerações sobre a atividade: Nessa atividade observou-se que os alunos

tinham poucos argumentos para comparar as figuras, como semelhança.

Prenderam-se muito ao número de lados e de ângulos, e, em relação às diferenças,

ao formato e ao tamanho. Depois da análise da atividade o professor promoveu uma

nova discussão para se obter outras semelhanças e diferenças ex: medidas dos

lados medidas dos ângulos, figuras planas e espaciais, nome das figuras.

Atividade 6 (Compilada de Nasser, 1998, p.15)

Objetivo: Observar se o aluno deverá é capaz de classificar os quadriláteros.

Entregar a folha com os 24 quadriláteros como mostra as figuras a seguir,

pedir que os alunos recortem as figuras e separe os quadriláteros em grupos e pinte

cada grupo de uma cor. Espera-se que os alunos separem em grupos de quadrados,

retângulos, paralelogramos, losangos e outros. Caso não aconteça, o professor

deverá orientá-los.

O professor após verificar que todos conseguiram separar os grupos de

figuras geométricas da forma desejada, pedir que colem o conjunto de figuras no

caderno deixando espaço para posteriormente o registro das propriedades. Os

alunos que souberem poderão dar nome aos grupos de quadriláteros.

a

u

f

Considerações sobre a atividade: A dificuldade maior nessa atividade foi separar

entre as figuras o grupo do losango e trapézio. O que já era previsto pelo modelo de

van Hiele para esse nível de aprendizagem.

h

m

c

d e

j k

b

i

l

n

g

o

q s

v

t

p

r

Nessa fase, os alunos analisam as figuras em termos de seus componentes,

reconhecem suas propriedades e fazem uso delas para resolver situações

problemas.

As atividades nesta fase, devem proporcionar aos alunos oportunidade para: medir,

colorir, dobrar, recortar, modelar, e ladrilhar a fim de identificar propriedades de

figuras e outras relações geométricas.

Atividade 7

Juntar os alunos dois a dois e, para cada dupla, entregar um envelope ou saquinho

contendo os recortes (em E.V.A.), dos 24 quadriláteros como mostra a atividade

anterior, pedir que os alunos separem os grupos de quadriláteros. Após a separação

levar os alunos a responder as seguintes questões:

a) O que essas figuras todas têm em comum?

b) Quais os critérios você usou para separar os grupos?

c) Você sabe dizer quando é que dois lados de uma figura são paralelos?

d) Você poderia identificar aqui na sala objetos que apresentam segmentos

paralelos?

e) Dentre as figuras recebidas, identifique aquelas que têm dois lados paralelos.

f) O que você fez pra descobrir que o lado dessas figuras são paralelos?

g) Quais são as figuras que não possuem lados paralelos?

h) Quais das figuras apresentam apenas um par de lados paralelos?

Obs 1: O uso da linguagem de forma que o aluno compreenda é muito importante

ex: "um par de lados paralelos", deve ser bem esclarecido para o aluno.

i) Quais das figuras têm dois pares de lados paralelos?

j) Dentre as figuras que têm dois pares de lados paralelos, quais destas figuras tem

lados com a mesma medida?

l) Quais dessas figuras apresentam dois pares de lados paralelos, e quais são as

figuras que tem todos os ângulos iguais?

Obs2: Nesse momento o professor relembra com os alunos o que são ângulos.

Podem-se desenvolver as seguintes atividades:

m) No seu caderno, usando a régua, desenhe duas retas que se cruzam e pinte

cada ângulo que se formou com o "cruzamento" das retas, um de cada cor.

n) Quantos ângulos elas formam?

o) Eles são iguais?

p) Usando palitos de sorvete e percevejo ou canudinhos represente duas retas que

se cruzam formando ângulos iguais. Explicar que cada um desses ângulos recebe o

nome de ângulo reto.

Atividade 8

Objetivo: Levar o aluno a perceber em uma figura plana que o número de lados é

igual ao número de ângulos.

Considere as seguintes figuras planas e responda:

a) Quantos lados ela tem?

b) Quantos ângulos ela tem?

Atividade 9

Retomar os recortes da atividade 7.

a) Observando as figuras que tem dois pares de lados paralelos, quais são as

figuras que apresentam todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos

retos?

b) Qual é o nome dessas figuras?

c) Você se lembra como são chamadas as figuras planas que tem 4 lados?

d) Você sabe como se chama os quadriláteros que tem todos os ângulos retos?

Obs: Se o aluno mostrar apenas o retângulo, chamar a atenção para o quadrado

que também possui os ângulos retos.

4 1

2

3

5

e) Como são chamados os quadriláteros que tem todos os lados com a mesma

medida?

f) Como são chamados os quadriláteros que tem dois pares de lados paralelos?

g) Como são chamados os quadriláteros que tem lados paralelos?

Atividade 10 (Inspirada em Crowley, 1994)

Entregar para os alunos uma malha como mostra a figura a seguir (a malha

entregue para o aluno não deve ser colorida), pedir que os alunos pintem com a

mesma cor os ângulos de mesma medida.

Considerações sobre as atividades 7, 8, 9 e 10: Depois de retomarmos os

estudos sobre ângulos e paralelas, percebe-se uma maior compreensão dos

componentes e propriedades dos quadriláteros. A partir da atividade 10 observou se

uma grande mudança no comportamento dos alunos em relação a pesquisa e

levantamento de questões entre si, as discussões entre eles se tornaram mais

comum. A linguagem e os termos utilizados se tornou totalmente diferente da

linguagem utilizada no inicio das atividades Ficou evidente nesse momento que os

alunos se encontravam no mesmo nível de aprendizagem. Todos participavam e

contribuíam com sua opinião, algo que não havia acontecido durante as aulas até

então. Os alunos que apresentavam maior grau de dificuldade acompanhavam as

atividades de forma surpreendente. A turma parecia caminhar junta, muitas

respostas coerentes e interessantes, alguns alunos superaram nossas expectativas.

Atividades 11 (Inspirada em Nasser, 1998)

Fazer um cartaz grande como mostra o desenho. Pedir para os alunos colarem no

cartaz as figuras correspondente a cada espaço.

Confeccionar tiras escritas com o nome dos quadriláteros, ex:

Pedir que os alunos coloquem essas tiras com o nome dos quadriláteros

sobre cada informação do cartaz.

Considerações sobre a atividade: Esta atividade mostrou com clareza o avanço

dos níveis proposto por van Hiele. Pela descrição dos níveis a maioria dos alunos

apresentou características do nível 2 (síntese ou dedução ionformal) no que se

refere à inclusão de classes dos quadriláteros. Mas ainda não foi possível concluir

se eles perceberam as propriedades mínimas para definir cada quadrilátero.

Observou-se que os alunos conseguiram descrever alguns quadriláteros através

das suas propriedades e fazer a inclusão nos conjuntos. Exemplo: descrição do

quadrado através de várias de suas propriedades (sem, no entanto, perceber que

uma pode decorrer da outra): 4 lados iguais, quatro ângulos retos, que é também um

retângulo. O retângulo possui dois pares de lados paralelos e 4 ângulos retos, que o

retângulo também é um paralelogramo. Que o trapézio possui um par de lados

paralelos e o losango dois pares de lados paralelos e 4 lados de mesma medida.

quadrados quadrilátero paralelogramo

trapézio

retângulo losango

4 Lados

Lados paralelos

2 Lados paralelos

Lados" iguais" ângulos

i "iguais " lados e

ângulos iguais

CONCLUSÃO

O trabalho realizado com base no modelo de van Hiele, nos deu um embasamento

teórico que nos levou a uma significante mudança para nossa prática pedagógica.

Por exemplo: não responder de imediato os questionamentos dos alunos, e sim,

induzi-los eles a refletir tirando suas próprias conclusões. Outra mudança diz

respeito à preparação das atividades, problematizando mais cada situação ao invés

de seguir puramente o que é apresentado em livros didáticos. O modelo reforça a

idéia de que a forma, ou a proposta de ensino a que o professor se propõe contribui

para o processo e aprendizagem.

O desenvolvimento desse trabalho proporcionou o nivelamento da turma. Durante a

realização das atividades observou-se que os alunos caminhavam juntos, alunos

que antes demonstravam desinteresse e grandes dificuldades participavam

ativamente das atividades. A princípio, os alunos pediam as respostas e chegaram

ao ponto de dizer que a professora não queria ensinar. Porém, ao serem orientados

para que pensassem sobre as situações propostas e discutirem entre si para

relatarem suas conclusões, observou-se uma maior autonomia na realização das

atividades.

Uma observação importante para desenvolver o modelo de van Hiele, é que o

professor deve assumir o papel de orientador. Ter o cuidado para não responder ao

questionamento dos alunos na ânsia de ajudá-los. Por diversas vezes tive que me

conter para não dar as respostas. Pois o modelo se opõe as respostas prontas pelo

professor. Outra observação interessante é que a realização desse trabalho me

levou a refletir sobre o tipo de formação que estamos submetendo nosso aluno, se

de autonomia ou dependência. Assumir o papel de professor orientador levando o

aluno a ser o produtor do próprio conhecimento não é tarefa fácil. Porém ao

desenvolver uma sequência de atividade obedecendo as propriedades do modelo de

van Hiele, pude experimentar essa possibilidade, para o ensino da geometria.

Fica claro que a forma como apresentamos o conteúdo muitas vezes limita o nosso

aluno como mero espectador, e receptor dos conhecimentos que são repassados

durante as aulas. Para levar o aluno a construir seu próprio conhecimento, é

importante uma grande mudança na prática pedagógica do professor. É preciso

repensar o papel do educador como orientador do processo.

REFERÊNCIAS:

ALVES, George S.; PEDRO II, Colégio; SAMPAIO, Fábio F. O Modelo de

Desenvolvimento do Pensamento Geométrico de van Hiele e Possíveis

Contribuições da Geometria Dinâmica. Revista de Sistemas de Informação da

FSMA, n. 5, p. 69-76, 2010.

BRASIL, Ministério da Educação e da Secretaria de Educação Fundamental

Parâmetros Curriculares Nacionais (matemática). Brasília: MEC/SEF, 1998.

CROWLEY, Mary L. O modelo van Hiele de desenvolvimento do pensamento

geométrico. Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1994.

DOBARRO, Viviane R; BRITO, Márcia R. F. Um estudo sobre a habilidade

matemática na solução de problemas de geometria. Revista de Ensino de

Ciências e Matemática, v. 1, n. 1, p. 34-46, 2010.

MAIOLE, Marcia. Uma oficina para formação de professores com enfoque em

quadriláteros. São Paulo; 2002; Dissertação de Mestrado-PUC/São Paulo.

NACARATO, Adair Mendes; PASSOS, Carmem Lucia Bramcagliom. Geometria nas

séries iniciais: Análise sob a perspectiva da prática pedagógica. Edufscar, São

Carlos, 2003.

NASSER, Lilian; O desenvolvimento do raciocínio em geometria. Boletim

GEPEM, Rio de Janeiro, n.27 p.93,1990.

NASSER, Lilian.; SANT 'ANA, Neide P. Geometria segundo a teoria de van Hiele,

Rio de Janeiro: IM, 1998.

SILVA, Luciana; CANDIDO, Cláudia C. Modelo de aprendizagem de geometria do

casal van Hiele. Disponível em www.ime.usp.br/cpq/main/arquivos/outros/Luciana

% 20 Silva.pdf. Acesso em 05/05/2013.