Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO

PRODUÇÃO DIDÁTICA – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2013

Uma proposta para ensino de números naturais no 6º ano, por meio da

metodologia resolução de problemas.

Autor Marlene Hirmer Mourão Hartmann

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização

Colégio Estadual Rancho Alegre E.F.M.

Localizado na Rua Amapá Nº 350.

Município da escola Rancho Alegre D’Oeste.

Núcleo Regional de Educação Goioerê

Professor Orientador Talita Secorun dos Santos

Instituição de Ensino Superior Faculdade Estadual de Ciências e Letras de

Campo Mourão

Resumo

Propõe-se a trabalhar a metodologia de

resolução de problema com números naturais no

6º Ano do Ensino Fundamental. A resolução de

situações problemas é uma forma de

encaminhamento metodológico que levam ao

processo de ensino e aprendizagem de conteúdo

específico de matemática e suas relações de

interdependências que enriqueçam o processo

pedagógico de forma a abandonar abordagens

fragmentadas, levando a articulação dos

conteúdos. O objetivo do trabalho é o de

desenvolver um estudo acerca do uso de

situações problema como encaminhamento

metodológico na discíplina de Matemática, para o

desenvolvimento de raciocínio lógico a partir da

apresentação de desafios dando oportunidade de

aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos

em novas situações, de modo a resolver a

questão proposta.

A instituição de ensino escolhida para a

aplicação da Unidade Didática é o Colégio

Estadual Rancho Alegre – Ensino Fundamental e

Médio, na disciplina de matemática, tendo como

público alvo alunos do 6º Ano.

Pretende-se com este trabalho levar o aluno a

uma atitude de investigação em relação aquilo

que lhe é proposto onde o problema é o ponto de

partida e a orientação para a aprendizagem e a

construção do conhecimento, tendo o professor

como guia e os alunos como co-construtores

desse conhecimento.

Palavras-chave Educação Matemática; Resolução de problemas;

Metodologia.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo

Alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental

Apresentação

Esta Unidade Didática tem como objetivo elaborar um material de apoio,

direcionada a alunos da Educação Básica. Este material será aplicado a alunos do

6º ano do Ensino Fundamental do colégio Estadual Rancho Alegre, durante o

primeiro semestre do ano letivo de 2014. Pretende-se com este trabalho trazer uma

abordagem diferenciada para o ensino da Matemática por meio da Resolução de

problema, embasado na metodologia Engenharia Didática de (ARTIGUE, 1988),

para uma análise mais detalhada, dos pró e dos contra desta abordagem.

Segundo as Diretrizes Curriculares para a Educação Básica-DCE Matemática

(2008, p.42) o ensino de matemática tem como um dos desafios a abordagem de

conteúdos a partir da resolução de problemas, sendo visto como uma metodologia

pela qual o estudante terá oportunidade de aplicar os conhecimentos matemáticos já

adquiridos em novas situações de modo a resolver a questão proposta.

Dante (2005, p.11) afirma que as situações problemas levam o aluno a

desenvolver o raciocínio lógico de forma inteligente e eficaz por meio de recursos

disponíveis, levando-o a propor soluções às questões do cotidiano.

Sendo assim, achamos necessário proporcionar ao aluno a oportunidade de

aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações-problemas, na

busca de referências para compreender melhor os conceitos matemáticos.

O desenvolvimento da habilidade de resolução é uma meta de longo prazo.

Isso exige um compromisso de envolver os alunos com resolução de problemas o

maior número de vezes possível. Tanto para a resolução de problema quanto para o

ensino da resolução de problemas Polya (1957) apud (DEGUIRE p. 113, 1997).

Assim, entende-se que a resolução de problemas não é apenas um mero

achado

o de informações, e sim tem um papel importante na vida do aluno, pois “[...]

qualquer situações que exija o pensar do indivíduo para solucioná-lo” (Dante, 2005,

p.09) e contribuindo para a formação do aluno como cidadão. E Polya (2006, p.29)

reforça que: a atenção concedida ao problema pode também estimular a memória e

propiciará recordação de pontos relevantes. Ou seja, ao resolver um problema o

aluno terá que fazer um retrospecto em sua mente do conteúdo estudado nos anos

anteriores para que possa resolver questão proposta pelo professor e em seguida

analisar o resultado para ver se condiz com o enunciado, assim ele conseguirá ter

uma visão crítica da realidade. Numa aula de resolução de problemas, o professor

deve fazer o papel de incentivador e moderador das ideias geradas pelos alunos.

Dessa forma, os alunos participam ativamente “fazendo matemática” e não

passivamente “observando a Matemática” ser feita pelo professor (TERESKA, 2010,

p.12).

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. Este pode ser modesto, mas se desafiar à curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter ( Polya, 1994.p.48).

Para Van de Walle (2009, p.57) muitas vezes se fala em trabalhar com

resolução para se ensinar matemática sem se ter uma ideia objetiva do que é um

problema. Há diversas concepções de problema. Para algumas pessoas é um

pequeno texto onde aparecem alguns números e que para resolver tem que fazer

uma operação qualquer. Para Walle, um problema é definido como qualquer tarefa

ou atividade para o qual os estudantes não têm métodos ou regras prescritas ou

memorizadas, nem a percepção de que haja um método especifico para chegar à

solução correta.

Onuchic (1999, p.215) expõe que, problema é tudo aquilo que não se sabe

fazer, mas que se está interessado em resolver. Partindo desse pressuposto fica

evidente que é importante reconhecer que a matemática deve ser trabalhada por

meio da Resolução de problemas e deve acontecer num ambiente de investigação

orientada em resolução de problemas.

Em um trabalho onde um problema é ponto de partida e orientação para a

aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-a através de sua resolução.

Professor e aluno juntos desenvolvem esse trabalho e a aprendizagem se realiza de

modo colaborativo em sala de aula. (ALLEVATO. Onuchic. 2007: ONUCHIC:

ALLEVATO. 2005).

Lima (1999, p.3) explica que:

Durante o período da matemática moderna, nas décadas de 60 e 70, ocorreu no ensino de Matemática uma forte predominância da conceituação. E, sob essa ótica a matemática que então se ensinava nas escolas era mais “[...] um vago e inútil exercício de generalidades [...]”. (Lima, 1999, p.3)

Diante da citação de Lima, Dante (2005, p.30) afirma que “ensinar a resolver

problemas é uma tarefa mais difícil do que ensinar conceitos, habilidades e

algoritmos matemáticos”.

De acordo com ONUCHIC:

Um dos problemas que se observou no ensino de matemática, em que a resolução de problemas era baseada na adoção e domínio de estratégias, é o fato de que muitos entenderam que esse domínio seria atingido pela repetição, onde era proposta uma lista de problemas semelhantes uns ao outros, e o aluno podia usar determinadas técnicas ou estratégias na resolução e assim colocar em evidência o caminho percorrido até chegar à solução. Ademais se o aluno repetisse, nas avaliações, o que o professor havia feito, concluía-se que o aluno tinha aprendido (apud ALLEVATO, 2005, p.5)

Sob este ponto de vista, torna-se relevante observar que o processo

mecânico ora mencionado para resolver problemas, não pode ser considerado

aprendizagem. Para cada diferente situação problema apresentada, requer um

raciocínio lógico de organização, levantamento de dados e procedimentos de ações

para resolução do mesmo.

Vale ressaltar que os problemas podem ser trabalhados como meio para

desenvolver a autonomia da educando ou como ponto de partida para a construção

do conhecimento por parte do educando ou ainda como um desafio intelectual.

Dante (2005, p.11), explica que:

De acordo com a metodologia de ensinar Matemática por meio da Resolução de Problemas, uma das questões mais importantes é como apresentar um problema de modo que os alunos queiram resolvê-lo, compreendendo e retendo o conteúdo envolvido na sua resolução. De que forma a Resolução de Problemas pode colaborar no desenvolvimento do seu espírito crítico, da criatividade, da capacidade de análise tornando a matemática útil e prazerosa. (Dante, 2005, p.11)

Sendo assim, elaboramos a seguinte questão de pesquisa.

Ao trabalhar uma metodologia diferenciada para sala de aula como a resolução de

problema, os alunos do 6º ano que nunca a utilizaram, é possível encontrar

elementos em suas resoluções que de indícios que entenderam o conceito de

números naturais?

Para responder está pergunta teremos que alcançar os seguintes objetivos:

Elaborar situações problemas que estimule o aluno a querer fazer

matemática;

Fazer com que o aluno entenda os conteúdos dos números naturais por meio

da resolução de problema;

Ensinar aos alunos a resolverem problemas de matemática;

Desenvolver uma atitude investigadora perante as situações-problemas;

Reforçar e ampliar os significados das quatro operações com números

naturais;

Fazer com que o aluno seja capaz de analisar, interpretar, resolver situações-

problema, envolvendo a ideias de adição, subtração, multiplicação e divisão

de números naturais.

Para responder a nossa pergunta, e atingir nossos objetivos, preparemos

algumas possibilidades de resolução problema segundo George Polya, 2006 no livro

A arte de resolver problemas:

2. Possibilidades de Resolução de problemas.

2.1 Etapas para resolução de problemas segundo Polya.

Esses passos foram retirados do livro “A arte de resolver problemas” de

George Polya (2006).

2.1.1 Compreender o problema, perceber nitidamente o que é

necessário: Para isso, saber ler o enunciado é fundamental. Depois da leitura

atenta do problema, procure identificar quais são os seus dados e o que é pedido;

usando uma notação adequada e verificando que condições ela deve satisfazer.

Trace uma figura se for possível.

_ O que se pede no problema?

_ Quais são os dados e as condições do problema?

_ É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?

_ É possível estimar a resposta? (ter uma ideia de qual será a resposta?).

O aluno precisa compreender o problema e para que isso ocorra, o enunciado

verbal do problema precisa ficar bem entendido. O problema deve ser bem

escolhido, nem muito difícil nem muito fácil, natural e interessante.

2.1.2 Elaborar um plano para resolver o problema: Neste passo, deve-se

ter uma ideia geral de que calculo construções e figuras serão necessárias para

chegar à resposta, ou seja, deve-se planejar o trabalho.

_ Qual é o seu plano para resolver o problema?

_ Que estratégia você tentará?

_ Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este?

_ Tente organizar os dados em tabelas, gráficos ou diagrama.

_ Tente resolver o problema por partes.

O caminho que vai desde a compreensão do problema até o estabelecimento

de um plano, pode ser longo e tortuoso. Cabe ao professor propiciar ao aluno

questionamento e propor sugestões que possa levar o aluno a ter ideia brilhante

para solucionar o problema.

2.3 Executar o plano para resolver o problema:

Estabelecido o plano, o passo seguinte é executá-lo com paciência e cuidado,

certificando-se, a cada etapa, de que nenhum detalhe foi omitido e que cada uma

delas foi cumprida corretamente.

_ Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo.

_ Efetue todos os cálculos indicados no plano.

_ Execute todas as estratégias pensadas obtendo várias maneiras de resolver

o mesmo problema.

Se o aluno houver realmente concebido um plano mesmo com ajuda, o

professor terá então um período de relativa tranquilidade. O maior risco é o de que o

estudante esqueça o seu plano, ou que utilize o plano de um colega ou aceite o

plano por influência do professor. Nesse caso o aluno terá dificuldade em executar o

plano estabelecido.

2.4 Fazer retrospecto ou verificação: Examinar a solução obtida.

_ Examinar se a solução obtida está correta. É de fato a desejada?

_ Existe outra maneira de resolver o problema?

_ Como se modifica o resultado se alguns dados forem alterados?

_É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes?

_ Essa análise retrospectiva costuma ser tão útil à aprendizagem quanto à

própria resolução.

Percebe-se que alguns alunos, uma vez chegados à solução do problema

passam para outro problema sem discutir ou verificar as soluções encontradas do

problema. Assim, eles perdem uma fase importante e instrutiva do trabalho da

resolução. Se fizerem um retrospecto da resolução completa, reconsiderando e

reexaminando o resultado final e o caminho que levou até este, eles poderão

consolidar o seu conhecimento e aperfeiçoar a sua capacidade de resolver

problemas.

De acordo com que propõe o pesquisador George Polya, procurei selecionar

e elaborar uma sequência de problemas interessantes e desafiador que estimula os

alunos a resolver o problema com o conhecimento já adquirido, levando a procurar

a solução dos problemas utilizando as quatro fases que o autor

propõe:compreensão do problema;elaboração de um plano; execução do plano e

verificação da solução encontrada.

Metodologia

A metodologia adotada nesta unidade Didática será a engenharia didática que

é um método de pesquisa que concentra seu campo de análise nas ações e nos

meios da ação sobre o sistema de ensino como um processo empírico e conduz a

investigação sobre as ações de ensino com particular cientificidade. (CHEVALLARD

apud ARTIGUE, 1996).

A engenharia Didática foi um avanço metodológico que surgiu no início de

1980, quando a noção de engenharia didática emergiu na didática da matemática.

Segundo ARTIGUE (apud ALMOULOUD 2007, p.171) metodologia de

pesquisa.

É uma forma de trabalho didático comparável ao trabalho do engenheiro que, para realizar um projeto, se apoia em conhecimentos científicos da área. Pode ser utilizada em pesquisa que estudam os processos de ensino e aprendizagem de um dado objeto matemático e, em particular, a elaboração de novas

estratégias para um dado conceito (apud ALMOULOUD, 2007,

p.171).

Explicando as fases da engenharia didática

1) Análise preliminar: O objetivo dessa fase é identificar os problemas de ensino

e aprendizagem, que caracteriza os sujeitos, as condições da realidade onde

será realizado o ensino, ela se dá apoiada em um referencial teórico. A

primeira fase comporta as seguintes vertentes.

Estudar as funcionalidades e os obstáculos epistemológicos relativos

ao conceito;

Analisar a estrutura matemática do conceito investigador, o ensino

usual e seus efeitos;

As concepções que os alunos podem desenvolver a partir da

abordagem proposta;

Fazer o estudo da transposição didática do saber considerando o

sistema educativo no qual se insere o trabalho;

Discutir e definir os fundamentos teóricos e os procedimentos

metodológicos que nortearão a fase experimental e as análises a

priori e a posteriori nesta etapa de pesquisa.

Segundo ARTIGUE (1988), cada uma dessas fases, é retomada e

aprofundada ao longo do trabalho de pesquisa, em função das necessidades

emergentes. Isso significa que a expressão “analise preliminar” não implica que após

o inicio da fase seguinte não possa retomá-la, visto que a temporalidade identificada

pelo termo “preliminar ou prévia” é relativa, pois se refere apenas a um primeiro nível

de organização. Na realidade deve ser um trabalho concomitante com as demais

fases da pesquisa. Estas análises preliminares devem permitir aos pesquisadores a

identificação das variáveis didáticas potenciais que serão explicadas e manipuladas

nas fases que se seguem: A construção da sequência de ensino e análise a priori.

2) Concepção e análise a priori: É a que define as variáveis globais e locais nas

qual o pesquisador definirá as variáveis que estarão sobre controle. As

situações-problemas devem ser concebidas de modo a permitir ao aluno agir,

se expressar, refletir e evoluir por iniciativa própria, adquirindo assim novos

conhecimentos. O papel do professor nesta etapa e o de mediador e

orientador; suas intervenções devem ser feitas de maneira a não

prejudicarem a participação do aluno no processo de aprendizagem, onde o

comportamento esperado do aluno é o foco principal da análise (Artigue 1988,

p.8).

O objetivo de uma análise a priori é determinar como as escolhas efetuadas

permitem controlar os comportamentos dos alunos e explicar seu sentido. Dessa

forma, em uma análise a priori devemos:

Descrever as escolhas das variáveis locais e as característica da

situação didática a ser desenvolvida.

Analisar a importância da situação para o aluno e, em particular, em

função das possibilidades de ações, escolha de estratégias, tomada de

decisões, controle e validação que o aluno terá. As ações do aluno são

vistas no funcionamento, quase isolado, do professor, que, sendo o

mediador no processo, organiza a situação de aprendizagem de forma

a tornar o aluno responsável por sua aprendizagem.

Prever comportamentos possíveis e tentar mostrar como análise feita

permite controlá-los, assegurando que os comportamentos esperados,

se e quando eles intervêm, resultem do desenvolvimento do

conhecimento visado pela aprendizagem.

A análise a priori é importantíssima, pois permite, ao professor, poder controlar a

realização das atividades dos alunos e também, identificar e compreender os fatos

observando. Assim, as conjecturas que vão aparecer poderão ser consideradas, e

algumas poderão ser objeto de um debate cientifico em sala de aula.

3) Aplicação da sequência didática: É o momento de se colocar em

funcionamento todo o dispositivo construído, corrigindo-o quando as análises

locais do desenvolvimento experimental identificam essa necessidade, o que

implica retorno à análise a priori, um processo de complementação. Ela é

seguida de uma fase de análise a posteriori que se apoia no conjunto de

dados recolhidos durante a experimentação: observações realizadas sobre as

sessões de ensino e as produções dos alunos em sala de aula ou fora dela.

4) Análise a posteriori e validação: É o conjunto de resultados que se pode tirar

da exploração dos dados recolhidos através das observações da aplicação da

sequência didática que contribui para a melhoria dos conhecimentos didáticos

em questão. Assim, a análise a posteriori depende das ferramentas técnicas

(material didático, vídeo) ou teóricas (teoria das situações, contrato didático,

etc.) utilizadas com as quais se coletam os dados que permitirão a construção

dos protocolos de pesquisa, e este serão analisados profundamente pelo

pesquisador e as informações obtidas serão confrontadas com a análise a

priori realizada. O objetivo é relacionar as observações com os objetivos

definidos a priori e estimar a reprodutibilidade e a regularidade dos

fenômenos didáticos identificados.

Embasados na Engenharia didática e na resolução de problemas pretende-se

criar um ambiente onde haja a cooperação dos participantes do grupo, de buscar, de

explorar novas descobertas, deixando evidente que o mais importante é o processo,

a maneira que o grupo irá resolver os problemas apresentados pelo professor e não

o tempo gasto para resolvê-lo ou chegar à resposta final.

Hiebert e Behr (1991) recomendam que (a) o ensino deveria ser mais

orientado para o significado do que para o símbolo; (b) em lugar de se colocar o

conhecimento como um pacote pronto e acabado o ensino deveria encorajar os

alunos a construírem seu próprio conhecimento.

Sendo assim, além da Engenharia didática pretendemos trazer traços da

metodologia resolução que conta com nove etapas, que será obedecida neste

trabalho na aplicação de situações problemas em sala de aula do 6º ano do Ensino

Fundamental.

1) Preparação do Problema

Nesta etapa o professor seleciona ou faz adaptação de um problema já

existente, visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento.

Esse problema será chamado problema gerador.

2) Leitura individual

Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua

leitura.

3) Leitura em conjunto

Formar grupo e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos, pois no

mundo real, aprender é muitas vezes um processo compartilhado onde os

estudantes precisam experimentar esse processo colaborativo e deve-se dar a eles

oportunidade de aprender uns com os outros. Assim, os alunos serão organizados

em pequenos grupos (3 ou 4 alunos), onde haverá troca de ideia permitindo uma

aprendizagem em grupo.

4) O papel do professor: observar e orientar

Nesta etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do

conhecimento, o seu papel agora e o de abservador, organizador, consultor,

mediador, interventor, controlador, incentivador da aprendizagem. O professor deve

lançar questões desafiadoras e ajudar os alunos a se apoiarem, uns nos outros, para

superar as dificuldades encontradas nas resoluções dos problemas. Se as

dificuldades forem à leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos,

lendo lhes o problema.

Se houver dificuldade com palavras desconhecida no texto do problema o

professor pode com os alunos consultar o dicionário para sanar essas dúvidas. O

professor ao fazer essa intermediação, leva os alunos a pensar, e para que eles

pensem deve dar um tempo, enquanto isso o professor acompanha suas

explorações observa, analisa o desenvolvimento dos alunos e estimula o trabalho

colaborativo entre os membros dos grupos. O professor participa da aula como

mediador, leva os alunos a pensar e incentivando a troca de ideias entre eles. O

professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos já adquiridos e

técnicas operatórias já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto.

Além disso, o professor também estimula - os a escolher diferentes métodos a partir

dos próprios recursos (ábaco, material dourado, palitinho) de que dispõem.

É importante que o professor atenda os alunos em suas dificuldades,

colocando-se como interventor e questionador dessas dificuldades apresentadas.

Ele deve acompanhar suas explorações e ajuda-los, quando necessário. As

resoluções realizadas nos grupos devem ser apresentadas e entregue por escrito ao

professor.

5) Resolução do problema

Depois de tiradas as dúvidas sobre o enunciado do problema os alunos, em

seus grupos tentará resolver o problema num trabalho cooperativo e colaborativo.

Considerando os alunos como co-construtores da “Matemática Nova” que se quer

abordar o problema gerador é aquele que ao longo de sua resolução conduzirá os

alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula.

6) Registro das resoluções na lousa

O grupo elege o seu representante, e o mesmo registra na lousa suas

resoluções. Não importa o resultado se está certo ou errado ou feito por diferentes

processos, devem ser apresentada para que todos os alunos da sala as análises e

discutam.

7) Plenária e análise dos resultados

Para esta etapa, o professor convida todos os alunos da sala para discutirem

as diferentes resoluções registradas na lousa pelos representantes dos grupos onde

cada grupo vai analisar os métodos usados pelas outras equipes, defendendo seus

pontos de vista e esclarecendo suas dúvidas. Este é um momento importante para a

aprendizagem, pois o professor se coloca como guia e mediador das discussões,

incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos da classe.

8) A busca pelo consenso

Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções obtidas para o

problema, o professor propõe a classe, a chegar a um consenso sobre o resultado

correto ou mais satisfatório para o momento.

9) Formalização do conteúdo

Neste momento, chamado de “formalização”, o professor faz uma síntese na

lousa do conteúdo que ele pretende trabalhar com os alunos naquele problema, de

uma forma organizada e apresentada em linguagem matemática, apresentando os

conceitos, os princípios e os procedimentos construídos por meio da resolução de

problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das

propriedades qualificadas sobre o assunto abordado.

Vale ressaltar, ainda que, na metodologia proposta por Onuchic e Allevato

(2009), os alunos primeiro têm contato com o problema sem conhecer o conteúdo

matemático formal necessário para a sua resolução. Este é um dos motivos pelo

qual este método gera debate, a interação e a descoberta por parte do aluno.

Unidade I

Para dar continuidade as etapas do Programa de Desenvolvimento

Educacional (PDE), do governo do Paraná, apresentaremos à equipe pedagógica o

tema a ser abordado no projeto: Metodologia para Resolução de Problemas com

Números Naturais no 6º ano do Ensino Fundamental. No segundo Momento,

será realizada reunião com os pais, colhendo assinatura das autorizações de

concessão de direitos autorais e de imagens, informando como serão desenvolvidas

as atividades. Para as atividades deste projeto, os alunos poderão ser organizados

em equipe de 3 ou 4 alunos.

A escola é de médio porte inserida num município pequeno, onde a principal

atividade econômica é a agricultura. Geralmente os alunos do 6° ano apresentam

dificuldades com números naturais, principalmente quando envolvem as quatro

operações em situações problemas. Apresentam dificuldades na leitura e

interpretação do enunciado e consequentemente na resolução. Desta forma, as

atividades propostas têm a finalidade de:

Estudar a funcionalidade e os possíveis obstáculos relativos ao

conceito de números naturais;

Analisar a estrutura matemática do conceito investigador, o ensino

usual e seus efeitos;

As concepções que os alunos podem desenvolver a partir da

abordagem proposta;

Discutir e definir os fundamentos teóricos e os procedimentos

metodológicos que nortearão a fase experimental e as análises a priori e a

posteriori nesta etapa de pesquisa.

1ª atividade

Iniciaremos a aula com alguns questionamentos

1º passo: Fazer algumas perguntas para os alunos sobre:

a) Você gosta da disciplina de matemática?

b) Onde você acha que podemos aplicar a matemática que aprendemos

na sala de aula?

c) Será que aprender matemática pode ser divertido?

Análise a priori: Com estas perguntas, pretendemos conhecer os nossos alunos, e

suas visões acerca da disciplina de matemática.

Vídeo: Donald no País da matemática. (7min)

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=10057

Análise a priori: Ressaltar a importância da matemática na nossa vida;

mostrar que a matemática não é um bicho de sete cabeças, apresentar a

matemática de um jeito divertido, tentando atrair atenção do aluno.

Após o vídeo faremos outra vez as mesmas perguntas acima.

a) Você gosta da disciplina de matemática?

b) Onde você acha que podemos aplicar a matemática que aprendemos na

sala de aula?

Figura 1 - Números

Hartmann - 2013

c) Será que aprender matemática pode ser divertido?

d) Você utiliza matemática nos jogos e brincadeiras?

e) Você vê formas geométricas na natureza, nos prédios, nas ruas, avenida?

Em posse das respostas, faremos uma plenária para debater, se por meio do

vídeo os alunos podem mostrar mais interesse pela disciplina de matemática.

2ª atividade

Apresentação do problema: “O caso das noventa maçãs”, sugerido no livro

Matemática divertida e curiosa. (Malha Tahan ano 2008 p.58 e 59).

As noventa maçãs

Um camponês tinha três filhas, e como quisesse, certa vez, pôr à prova a

inteligência das jovens, chamou-as e disse-lhe:

-Aqui estão 90 maçãs que vocês deverão vender no mercado. Maria, que é a

mais velha, levará 50; Clara receberá 30, e Lúcia ficará com as 10 restantes. Se

Maria vender 7 maçãs por um tostão, as outras deverão vender também pelo mesmo

preço, isto é, 7 maçãs por um tostão; se Maria resolver vender a 300 réis cada uma ,

será esse o preço pelo qual Clara e Lúcia deverão vender as maçãs que possuírem.

O negócio deve ser feito de modo que todas as três apurem, com a venda das

maçãs, a mesma quantia.

Figura 2 - Menina 1

Araujo - 2013

- E eu posso dar de presente algumas das maçãs que levo?_

perguntou Maria.

- De modo algum_replicou o velho camponês. -A condição por mim

imposta é essa: Maria deve vender 50, Clara deve vender 30, e Lúcia só poderá

vender 10. E pelo preço que Maria vender, as outras devem também vender. Façam

à venda de modo que apurem, no final, quantias iguais.

Como as moças se sentissem atrapalhadas, resolveram consultar, sobre o

complicado problema, um mestre-escola que morava nas vizinhanças.

O mestre-escola, depois de meditar durante alguns minutos, disse:

- Esse problema é muito simples. Vendam as maçãs conforme o velho

determinou e chegarão ao resultado que lhe pediu.

As jovens foram ao mercado e venderam as maçãs; Maria vendeu50; Clara

vendeu 30 e Lúcia10. O preço foi o mesmo para todas, e cada uma apurou a mesma

quantia.

Diga-nos agora caros alunos como as moças resolveram à questão?

Objetivo: promover interações de conteúdos matemáticos com o cotidiano do aluno;

identificar as operações que deve realizar para solucionar esse problema; Fomentar

o espírito de grupo, estimulando a vontade de colaborar e ser solidário; comparar as

diferentes estratégias apresentadas pelas equipes.

Metodologia; Este problema será resolvido junto com os alunos para

demonstrar as etapas da resolução de problemas segundo Polya.

Figura 3 - Maçãs 1

Hartmann - 2013

Unidade II

Sugestão de problemas a serem desenvolvidos com

alunos de 6º Ano.

De acordo com que propõe o pesquisador George Polya, procuramos

elaborar sequência de problemas interessantes e desafiador que estimule os alunos

a tentarem resolver o problema com o conhecimento que tem , levando ele a

procurar a solução dos problemas utilizando as quatro fases que o autor propõe:

compreensão do problema, elaboração de um plano,execução do plano e verificação

da solução encontrada.

Espera-se que no final desta lista de problemas propostos, o professor tenha

propiciado aos alunos oportunidades para desenvolver o espírito crítico, a

criatividade, a capacidade de análise, a interpretação, a formulação de hipótese e a

elaboração de estratégia, inclusive quando possível, utilizando analogias

estabelecidas com outros problemas já resolvidos, habilidade para cálculo e

elaboração de procedimentos diversos de resolução, a partir das estratégias usadas

pela classe.

Problemas

1- A prefeitura da cidade comprou 8 centenas, 5 dezenas e 4 unidades de mudas de

flores para serem plantadas em 5 canteiros da praça da igreja Matriz.

a) Quantas mudas serão plantadas em cada canteiro?

b) Sobrarão mudas? Se sim, quantas?

c) Quantos reais a prefeitura gastou, se cada muda custou R$ 0,80 centavos?

Análise a priori: Com esse problema, espera-se que o aluno consiga

compreender e utilizar as regras do Sistema de Numeração Decimal, para a

leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de qualquer

ordem de grandeza. Bem como utilizar o Sistema Monetário Brasileiro para a

resolução da situação proposta.

2- (SAMBUGARO, 2010, p.7) Carla, ao voltar do parque, foi para o pátio de casa ver

sua cachorra que estava para dar cria a qualquer momento. Teve uma surpresa:

durante a manhã, haviam nascido 3 cachorrinhos. Não pode ver muito bem porque

mamãe a chamou para ajudar preparar a refeição. Depois da refeição, voltou para

ver como estava a cachorra e acabou tendo outra surpresa: mais 3 cachorrinhos

estavam no ninho.

a) Quantos cachorrinhos nasceram?

b) Cada um custa R$ 50,00, quanto receberei se vender 2 cachorrinhos?

Figura 4 - Igreja

Hartmann 2013

c) Minha tia quer 3 cachorrinhos, mas me ofereceu R$ 40,50 cada. Se eu vender,

quanto irei receber?

d) Vendi os 3 cachorrinhos para minha tia Na volta para

casa perdi uma moeda de R$ 0,50. Com quanto cheguei

em casa?

e) Os três cachorrinhos que minha tia comprou, comem um

pacote de ração por semana. Se a ração custa R$2,80 o

pacote. Quanto ela gasta em 4 semanas?

f) Minha tia foi passear e deixou os cachorrinhos para eu

cuidar. Pediu que eu comprasse a ração. Deixou R$

25,00, comprei 3 pacotes. Quanto preciso devolver a

ela?

g) Os cachorrinhos quando nasce precisa ser vacinados, o custo total foi de R$

93,60. Quanto vai custar para vacinar cada cachorrinho?

Análise a priori: Esperamos que os alunos sejam capazes de identificar o

conjunto dos números naturais e o Sistema Monetário Brasileiro vigente no

País, compreender e resolver as diferentes operações.

3-(DANTE, 2005, p.30) Uma escola serve merenda a 144 alunos diariamente.

Sabendo que 1 litro de refrigerante dá para quatro copos e que durante a merenda,

cada aluno recebe um copo de refrigerante. Quantos litros de refrigerante são

necessários por dia?

Análise a priori: Esperamos que com esse exercício o aluno perceba e entenda

que a medida do volume de um corpo depende da unidade padrão escolhida,

reconhecendo assim a relação entre as operações fundamentais e o sistema

de medida de capacidade.

Figura 5 - Bolota

Hartmann - 2013

4-(DANTE, 2005, p. 38) Uma escola ganhou, por doação, uma tela de 40m de

comprimento. A direção da escola resolveu então, cercar um terreno retangular que

tivesse a maior área possível, para fazer experiências com plantas. Vamos ajudar a

direção da escola a descobrir quais devem ser as dimensões do terreno.

Análise a priori: Esperamos que através desse exercício o aluno compreenda e

reconheça que medida de comprimento faz parte dos diversos sistemas de

medidas, e assim estabelecer a relação entre perímetro e área.

5-(KRULIK; REYS, 1997, p.100) Ontem à noite, terminei de fazer a lista de

convidados para o jantar que vou dar no próximo mês. Como haverá 30 pessoas,

vou precisar tomar emprestadas algumas mesas de jogo, de tamanho que permita

sentar-se uma pessoa de cada lado. E eu quero dispô-las numa longa fileira,

encostadas uma nas outras.

Naturalmente quero tomar emprestado o mínimo de mesas possível. De quantas

mesas de jogo vou precisar? Tente resolver meu problema.

Análise a priori: Com este exercício esperamos que o aluno seja capaz de

compreender e resolver a situação problema, onde terá que usar seu raciocínio

lógico. Formular hipótese e simular a disposição dos jogos de maneira a

distribuir o maior número de pessoas por mesa. Realizar as operações de

adição e multiplicação para chegar à solução na situação proposta.

6-(PARANÁ, 2009) Daniela fez uma tabela mostrando a quantidade de água que

gastava em algumas de suas atividades domésticas.

ATIVIDADE CONSUMO FREQUÊNCIA

ATIVIDADE CONSUMO FREQUÊNCIA

Lavar roupa 150 litros por lavagem Uma vez o dia

Tomar banho de 15

minutos

90 litros por banho Uma vez o dia

Lavar o carro com

Mangueira

100 litros por lavagem Uma vez por semana

Para economizar água, ela reduziu a lavagem de roupa a três vezes por semana, o

banho diário há 5 minutos e a lavagem semanal do carro a apenas um balde de10

litros. Quantos litros de água ela passou a economizar por semana?

Análise a priori: Com este exercício desejamos que os alunos consigam

interpretar e trabalhar com medida de capacidade, sendo que o recurso de

tabela favoreça a sua visualização combinado com o texto para uma melhor

interpretação, conseguindo distinguir as diferentes unidades de medidas.

7- Semana passada seu Jorge gastou R$ 64,00 no açougue para comprar 5 quilos

de carne de boi e 4 quilos de carne de porco. Esta semana o açougue colocou a

carne de porco na promoção e seu Jorge aproveitou a promoção e comprou 10

quilos de carne de boi e 8 quilos de carne de porco por R$ 120,00. Qual foi o preço

da carne de porco com o desconto?

Análise a priori: desejamos que o aluno consiga estabelecer relação com a

multiplicação de números naturais, associado à ideia de proporcionalidade

com quantidade e valor.

8 - Juliano tem R$ 8,60 em moedas de 10, 25,50 centavos e também de R$ 1,00.

Ele separou as moedas e constatou que tem 3 moedas de 1 real, 7 moedas de 50

centavos e 11 moedas de 10 centavos. Quantas moedas de 25 centavos Juliano

têm?

Figura 6 - reais

Hartmann - 2013

Análise a priori: Acreditamos que com esse conjunto de ações, os alunos vão

adquirir conhecimento sobre combinação de moedas com valores diferentes,

estabelecendo relação entre valor e quantidades. Acreditamos que ele possa

interpretar e resolver essa situação problema que envolve o sistema monetário

brasileiro.

9- O histograma mostra o esporte preferido pelas crianças e adolescentes do

Município de Rancho alegre D’ Oeste.

Histograma - Esportes 1

Hartmann - 2013

a) Qual o esporte preferido pelo maior número de crianças e adolescentes?

b) Quantas crianças e adolescentes preferem Karatê?

c) Quantas crianças e adolescentes a mais preferiam futebol à capoeira?

d) Quantas crianças e adolescentes participaram da pesquisa?

e) O que você entende pela palavra “outros” que aparece no gráfico?

Análise a priori: Acreditamos que os alunos consigam fazer a leitura e obter

informações para responder as questões através de um histograma.

Com este exercício desejamos que os alunos consigam interpretar e identificar

tipos de histograma, sendo capaz de fazer a leitura desses recursos nas

diversas formas em que se apresentam, sendo que o recurso de histograma

favoreça o desenvolvimento de condições de leitura crítica dos fatos ocorridos

na sociedade.

10-(OBMEP 2012) Para a decoração da festa junina, Joana colocou em fila 25

bandeirinhas azuis, 14 brancas e 10 verdes, sem nunca deixar que duas

bandeirinhas de mesma cor ficassem juntas. O que podemos concluir, com certeza,

dessa informação? Marque com (X) a resposta certa:

a) Nas extremidades da fila aparecem uma bandeirinha azul e uma branca.

b) Há cinco bandeirinhas consecutivas nas quais não aparece a cor verde.

c) Há pelo menos uma bandeirinha branca ao lado de uma verde.

d) Pelo menos quatro bandeirinhas azuis têm uma branca de cada lado.

e) Não existe um grupo de três bandeirinhas consecutivas de cores todas

diferentes.

Análise a priori: Acreditamos que o aluno

consiga interpretar e produzir escrita numérica,

levantar hipótese e simular através de desenhos e

com base nas observações de regularidades,

estabelecerem estratégias para resolver a situação

proposta.

11-Uma floricultura recebe nove dúzias de rosas vermelhas, sete dúzias de rosas

amarelas e cinco dúzias de rosas brancas em uma semana.

a) Quantas rosas a floricultura recebeu?

b) Quanto pagará pelas rosas vermelhas, sabendo que cada

rosa custa R$1,50?

Figura 7 - Rosas

Hartmann 2013

c) Ela pagou R$ 100,80 pelas rosas amarelas. Quanto custou cada rosa amarela?

d) Se a floricultura pagou pelos três tipos de rosas R$ 322,80. Quanto custou cada

rosa branca?

Análise a priori: Espera-se que o aluno compreenda nesta situação problema

que a dúzia é um agrupamento de 12 unidades. Desenvolver procedimentos de

cálculo mental, escrito e exato pela observação de regularidade e de

propriedade das operações e pela antecipação e verificação de resultado para

responder as perguntas do problema.

12-(Dante, 2005, p.46) Dois alunos da 8ª série, Gustavo e Junior estão colecionando

o mesmo tipo de selo. Gustavo já tem 380 selos colados no álbum e Junior tem 356.

Se Gustavo conseguir 56 selos fazendo trocas com seus colegas de escola e Junior

conseguir 74.

a) Qual dos dois ficará com mais selos no álbum?

b) Quanto a mais ele terá que o outro?

c) Quantos faltarão ainda para Gustavo e para Junior, se o total de selos do

álbum é 600?

d) Quanto pacote Gustavo ainda precisará comprar se em cada

um vem 10 selos, mas um é sempre repetido?

e) quanto Gustavo gastará se cada pacote custa R$ 0,40.

Análise a priori: Acreditamos que o aluno consiga com este problema resolver

a situação proposta envolvendo mais de uma operação, aplicar as regras do

sistema de numeração decimal, reconhecendo elementos e utilizando as ideias

associada a cada operação.

13-(BIANCHINI, 2011, p.27) Cada aluno da classe de Ana escreveu no quadro o mês

de seu aniversário.

Com base nas informações do quadro, construa uma tabela em seu caderno. Não se

esqueça de dar um título à tabela e de identificar a categoria dos dados e os dados

obtidos.

Observando a tabela que você construiu, responda:

a) Quantos alunos fazem aniversário no mês de julho?

b) Em que mês há maior quantidade de aniversariantes?

c) Quantos alunos fazem aniversário em setembro?

d) No mês de agosto existem mais aniversariantes que no mês de abril?

Análise a priori: Acreditamos que com este conjunto de ações o aluno consiga

realizar a leitura, organizar e construir uma tabela com respectivos elementos

que facilite interpretar os dados. Que o mesmo consiga utilizar as informações

para responder as questões.

14- O quadro mostra a produção de enfeite de natal de uma fábrica nos meses de

outubro e novembro.

Bolas Estrelas Papai Noel

Outubro 3260 1840 2600

Novembro 1455 2986 1585

a) Quantas bolas a fábrica produziu nesses dois meses? E quantas estrelas?

b) Quantas bolas a mais que papai Noel foram produzidos em outubro?

c) Em quantos aumentou a produção de estrela de outubro para novembro?

d) Quanto faltou para que a produção de papai Noel durante os meses de outubro e

novembro chegasse a 5000 unidades?

e) Observe atentamente os dados da tabela e, sem fazer contas diga em que mês

você acha que foram produzidos mais enfeite de Natal. Como você chegou a essa

resposta?

Análise a priori: Com estas ações acreditamos que os alunos consigam

compreender o Sistema de Numeração Decimal, interpretar e realizar

operações de adição e subtração, até a classe de unidade de milhar.

Estabelecer relações de quantidade (mais ou menos) de produção comparando

os objetos fabricados com o mês de fabricação.

Figura 9 – Natal

Hartmann 2013

15-(BIANCHINI, 2011, p.32) A lesma Fifi foi visitar uma amiga. Andou 3 metros no

primeiro dia. Nos dias seguintes andou 2 metros a mais do que no dia anterior.

Assim, Fifi levou 4 dias para chegar. Descubra a distância, em metros, que Fifi

percorreu para chegar à casa de sua amiga

Análise a priori: Acreditamos que o aluno consiga interpretar e produzir escrita

numérica, levantar hipótese e simular através de esquema e/ou tabela com

elementos dia/metros e com base nas observações de regularidades. Ampliar

o seu conhecimento sobre medidas, utilizar e compreender que as unidades de

medidas são importantes para resolver situações do cotidiano, desta forma

estabelecer estratégias para resolver a situação proposta.

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