Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

1. Joelma de Fatima Alves de Souza, Professora PDE, SEED-Pr -

Joelma_f_souza@hotmail.com .

2. Reinaldo Francisco, orientador PDE, UNICENTRO-PR - reinaldo@unicentro.br.

O ESTUDO DA GEOMETRIA DO 6º ANO APLICADA AO ESPAÇO ARQUITETÔNICO E NATURAL.

Joelma de Fátima Alves de Souza¹

Reinaldo Francisco²

RESUMO: Estudar Geometria relacionando o espaço natural e arquitetônico

torna a prática pedagógica mais dinâmica. Foram utilizados recursos didáticos

como o origami e o GeoGebra os alunos manipularam materiais concretos

construindo os conceitos geométricos e interligando as formas geométricas

sem a fragmentação constante usada nas aulas de Matemática. Nesta proposta

os alunos experimentaram práticas diferentes de ensino fugindo das aulas

tradicionais, na atividade extraclasse os alunos interagiram com o meio onde

vivem, constatando que há geometria em tudo. A utilização GeoGebra como

recurso pedagógico ajudou na compreensão de conceitos abstratos

relacionados a Geometria. A aplicabilidade da metodologia diferenciada

melhorou o rendimento escolar e facilitou a introdução e desenvolvimento de

outros conteúdos relacionados a geometria.

Palavras – chave: Ensino fundamental; Geometria; Origami; GeoGebra

1. INTRODUÇÃO

A falta de se trabalhar com a exploração de materiais diferentes dos

tradicionais, como o quadro e o giz, desgasta a motivação dos alunos que muitas

vezes perdem o interesse pelo aprendizado, pois não conseguem relacionar a

Matemática da vida com a da escola. Estes estão avançando nas séries seguintes

sem os pré-requisitos para a construção total e contextualizada do conhecimento

matemático, deixando lacunas no saber. Porém não se deve pôr a culpa somente

no professor, o mesmo em seu dia a dia se depara com diversas dificuldades no

ensino aprendizagem e constantemente se vê na busca de novas metodologias

para melhorar a qualidade do ensino, nesse processo frustra-se por muitas vezes

não conseguir fazer uma conexão entre o conteúdo escolar e sua aplicação na

vida do educando. Nesta perspectiva Fiorentine e Lorenzato enfatizam que:

São inúmeras as pesquisas que procuram investigar a relação entre a cultura da matemática escolar, a cultura matemática que o aluno traz para a escola e a cultura matemática produzida pelos trabalhadores (adultos e algumas crianças trabalhadoras) ao realizar suas atividades profissionais (FIORENTINI e LORENZATO, 2007, p. 51).

Com o avanço tecnológico este fator está se tornando agravante, a escola

e seus métodos de ensino estão ficando defasados, pois os alunos não têm mais

interesse pelo aprendizado em si, e somente por meio da utilização de pesquisas

e aplicação de novas metodologias é que as aulas se tornam mais dinâmicas e

agradáveis. Deve-se buscar a aplicação dos conteúdos com situações

vivenciadas pelos educandos fora da sala de aula, para que se possa ter um

avanço na qualidade da educação.

A Matemática é considerada uma linguagem universal, ou seja, é ensinada

da mesma forma no mundo todo, o que possibilita utilizar testes que medem o

desempenho dos países nesta área. Mesmo o currículo sendo global, o Brasil não

vem obtendo um resultado satisfatório, este fator é agravante se olharmos pela

perspectiva profissional e social. Movido pelo sistema capitalista, as politicas

educacionais não estão privando a qualidade de ensino e sim, camuflando os

resultados e mantendo um sistema em que o professor ensina dentro de suas

possibilidades, pois não consegue dinamizar suas aulas pela falta de tempo,

excesso de carga horária e o número elevado de alunos em sala. Para mudar

esse quadro na educação, se faz necessário uma transformação de pensamentos

e atitudes por parte do governo, do professor, do aluno e da família.

A geometria é um conteúdo matemático que apesar de fazer parte do meio

físico e natural não se vê aplicabilidade para os alunos. Na escola estão sendo

trabalhados de maneira que fragmenta e desvincula o assunto abordado de

outros conteúdos e da realidade dos alunos. Conforme observações feitas ao

longo dos anos de profissão, verificou-se que o fato ocorre devido ao alunos não

conseguirem relacionar, por exemplo, área e perímetro com o conteúdo de

funções, porque na maioria das vezes desconhecem as formas geométricas e

suas propriedades.

Com o objetivo de que ocorram mudanças significativas na qualidade da

educação pública, partindo de métodos eficazes o professor consegue garantir ao

educando um ensino de qualidade e aulas mais divertidas, usando recursos

simples que a escola possui ou até mesmo objetos tecnológicos que o aluno traz

para a sala de aula, como o celular, com uso unicamente pedagógico conforme a

Lei Estadual Nº 18.118/2014. Pensando nisso é que esta proposta metodológica

foi aplicada, apesar de não ser um método novo de ensino oportuniza ensinar

através de métodos que possibilitam compreender os conceitos e construir o

aprendizado de forma concreta e duradoura através da manipulação de materiais

e a utilização de ferramentas adequadas a esta dinâmica da construção do saber.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Mesmo que a preocupação dos estudiosos do século XX já estivesse

voltada para a contextualização do ensino dos conceitos matemáticos, observa-se

que na atual forma de ensinar Matemática os conteúdos, na maioria das vezes

são apresentados sem clareza transformando-se num simples repasse para os

alunos, os quais não apresentam nenhum objetivo, não aprendem, mas também

não questionam, preocupando-se apenas com a resposta obtida, estão

acostumados com a passividade, pois não conseguem ter uma visão

esclarecedora do que lhes está sendo ensinado, dificilmente questionam a forma

do ensino, e veem na figura dos professores aqueles que enchem suas “cabeças

vazias” de coisas sem significado, isto ocorre porque muitas vezes não se busca

aproveitar o conhecimento já adquirido pelo sujeito do seu desenvolvimento social

e histórico. Neste sentido a DCE (diretrizes curriculares da educação básica do

estado do Paraná da disciplina de Matemática) afirmam que:

As discussões entre estudiosos matemáticos do século XX procuravam trazer para a educação escolar um ensino da Matemática diferente daquele proveniente das engenharias que prescrevia métodos puramente sintéticos, pautados no rigor das demonstrações. (DCE DE MATEMÁTICA 2008,p47)

Paulo Freire escreve em seu livro Pedagogia da Autonomia que o indivíduo

já tem uma bagagem de conhecimento, com isso podemos constatar que é mais

fácil de ensinar fazendo a relação entre a teoria acadêmica e a prática social de

nossos alunos. D’ Ambrosio vem reforçar o que Freire defende, dizendo que:

Não se trata de ignorar nem rejeitar conhecimento e comportamento modernos. Mas, sim, aprimorá-los, incorporando a ele valores de humanidade, sintetizados numa ética de respeito, solidariedade e cooperação (D’AMBROSIO 2009, P43)

Para ensinar Matemática é preciso propor problemas, buscar situações que

faça uso da realidade do aluno dentro da sala de aula, devemos utilizar práticas

no ensino da Matemática mais eficazes e concretas. Essa educação implica olhar

a própria matemática do ponto de vista do seu fazer e do seu pensar, da sua

construção histórica, olhar o ensinar e aprender matemática, buscando

compreendê-los. Fiorentine e Lorenzato exemplificam o fato defendendo que:

A educação, em particular, é vista como uma prática inserida no contexto das formações sociais que resulta de condicionamentos sociais, políticos e econômicos, reproduzindo, de um lado, as contradições sociais, mas, de outro, dinamizando e viabilizando as transformações ao garantir aos futuros cidadãos o efetivo acesso ao saber. (FIORENTINI e LORENZATO, 2007,p.66)

Para que de fato ocorra uma mudança significativa nessa situação, deve

haver a consciência da sua necessidade de transformação, buscando o que fazer

para mudar esse contexto. No ensino tradicional da matemática, o que o aluno

pensa e sabe não tem sido valorizado. Na apreensão do conhecimento, o

aprender exige o pensar, a busca comprometida com a relação entre teoria e

prática, o concreto e o abstrato.

Faz-se necessário utilizar métodos de ensino que o aluno seja iniciado na

produção do conhecimento matemático, permitindo-lhe ser sujeito de sua ação. É

preciso que o mesmo também expresse a sua palavra e isso só será possível se

este quiser aprender e compreender sua importância evoluindo como pessoa.

Segundo Freire:

Aprender e ensinar fazem parte da existência humana, histórica e social, como dela fazem parte a criação, a invenção, a linguagem, o amor, o ódio, o espanto, o medo, o desejo, a atração pelo risco, a fé, a dúvida, a curiosidade, a arte, a magia, a ciência, a tecnologia. E ensinar e aprender cortando todas estas atividades humanas (FREIRE 1993, p12).

Os pesquisadores ressaltam que quando se refere à Educação

Matemática, estão propondo usar metodologias para ensinar através de

pesquisas procurando uma interação do currículo desta disciplina com outras

áreas do conhecimento, porém não é algo com resultado imediato, mas sim a

longo prazo, dependendo do interesse e da receptividade do aluno em aprender.

Fiorentine e Lorenzato vem complementar dizendo que:

São inúmeras as pesquisas que procuram investigar a relação entre a cultura da matemática escolar, a cultura matemática que o aluno traz para a escola e a cultura matemática produzida pelos trabalhadores (adultos e algumas crianças trabalhadoras) ao realizar suas atividades profissionais. (FIORENTINI e LORENZATO, 2007, p. 51)

Neste contexto é necessário o papel do professor pesquisador, em sua

busca de novos meios de ensinar fazendo uso de mecanismos didáticos que

levem o aluno sentir a necessidade e a importância do aprendizado da

Matemática, relacionando-os com seu cotidiano e assim direcionando-os a uma

vida de situações significativas e práticas.

2.1. Geometria

Na busca de novos métodos para se explicar o currículo básico da

Matemática, nos reportamos à Geometria em seu contexto histórico e prático,

baseado num mundo de formas e conceitos.

Vivemos em um mundo de diferentes formas, não importa para que lado

olhar constata-se que ali a geometria está presente, e mesmo assim há um

labirinto de dificuldades apresentadas pelos alunos em relação aos conceitos

básicos da geometria trabalhados nas aulas de matemática, que é a mesma

encontrada na natureza e nas edificações de diferentes formatos que compõem

as cidades.

Se fizermos um estudo da evolução dos conceitos geométricos, estes

ocorreram da necessidade do homem em resolver seus problemas do cotidiano,

utilizando métodos simples que auxiliam no desenvolvimento de construções

arquitetônicas de forma precisa e segura, também ferramentas que contribuem

para os diversos usos no trabalho diário, pode-se citar como exemplo a roda, uma

invenção que possibilitou ao homem chegar na construção de maquinas

modernas, como temos atualmente e que possibilita viajar com o menor espaço

de tempo possível.

As ideias geométricas abstraídas das formas da natureza, que aparecem

tanto na vida inanimada como na vida orgânica e nos objetos produzidos pelas

diversas culturas, influenciaram muito o desenvolvimento humano. (DCE DE

MATEMÁTICA, 2008,p.55)

A geometria é um conteúdo estruturante da matemática que durante algum

tempo foi deixado de em segundo plano do currículo básico da disciplina, mesmo

hoje quando o PTD (Plano de Trabalho Docente) é planejado, a mesma fica para

o final do ano letivo e se der tempo. Esta atitude deixa a geometria sempre

praticamente esquecida, privando o aluno de um aprofundamento nos conceitos

geométricos. Observa-se que quando é abordado o assunto os educandos ficam

um pouco desfocados, não há relação entre as figuras geométricas, fragmentando

o ensino da mesma.

A geometria é um campo investigativo que vai além dos bancos da escola,

ela complementa e é complementada por inúmeros outros conceitos, que não

estão distante da realidade do aluno. Neste contexto Abrantes reforça que:

Na geometria, há um imenso campo para a escolha de tarefas de natureza exploratória e investigativa, que podem ser desenvolvidas na sala de aula, sem necessidade de um grande número de pré-requisitos e evitando, sem grande dificuldade, uma visão da Matemática centrada na execução de algoritmos e em “receitas” para resolver exercícios-tipo. (ABRANTES,1999, p.4)

Para fazer relação entre os conceitos geométricos e outros conceitos

matemáticos, devem ser observados alguns requisitos como idade e série. Se não

ocorrer esta observação pode acontecer de continuar repetindo os mesmos erros,

sem nem uma mudança significativa. Segundo Piaget em seus estudos da

psicologia do desenvolvimento, a criança passa por estágios cognitivos e com a

idade de 10-11 anos quando ingressa no 6º ano do ensino fundamental está na

fase operatório-concreta, onde ela necessita manipular materiais para o

aprendizado, esta manipulação é uma forma de trabalhar a investigação,

desenvolvendo outros métodos de ensino, fugindo das atividades trabalhadas

pelo professor com o livro didático, propondo atividades que desafie o aluno e

instiguem sua curiosidade.

Segundo Sadovski:

Desafiar um aluno significa propor situações que ele considere complexas, mas não impossíveis. Trata-se de gerar nele uma certa tensão, que o anime a ousar, que o convide a pensar, a explorar, a usar conhecimentos adquiridos e a testar sua capacidade para a tarefa que tem em mãos. Trata-se, ainda, de motiva-lo a interagir com seus colegas, a fazer perguntas que lhe permita avançar. (SADOVSKY, 2010, p.14)

Para trabalhar com geometria nas aulas de matemática não precisa dispor

de atividades complexas e muito elaboradas, sua aplicação é simples, estas

podem ir desde o trabalho com dobraduras, desenhos até a utilização de

softwares interativos que levem o aluno a criar e construir seu próprio

conhecimento, tendo o professor como mediador.

Lorenzato afirma que:

Usando régua e compasso, é possível traçar linhas retas, construir um ângulo e sua bissetriz, obter retas perpendiculares, paralelas, diagonais e muitas outras figuras. Varias dessas construções podem ser feitas com dobraduras, o que possibilita ao professor de Matemática, em sala de aula, enfatizar a importância do lúdico na construção, comparação, estabelecimento de relações, medição, visualização e resolução de problemas. (LORENZATO, 2010, p,99).

As propriedades geométricas devem ser estudadas da seguinte

maneira: associadas à posição relativa das formas e associadas a unidades de

medidas, dando origem a dois tipos diferentes de pensar geometria, a primeira

delas é a identificação de propriedades e composição das formas, a segunda tem

como foco quantificar comprimentos, áreas e volumes.

A Geometria está ligada aos conceitos de medidas que fazem a ponte

entre o estudo das formas geométricas e os números que quantificam

determinadas grandezas. No entanto, o ensino das propriedades métricas

evolvendo cálculos de distâncias, área e volumes não deve ser desenvolvido de

maneira que ignore as relações geométricas entre si, na perspectiva das medidas,

pode se estruturar de modo a garantir que os alunos aprendam a efetuar

medições em situações reais e com precisão.

2.2 . Desenvolvimento do projeto

A pesquisa foi realizada no Colégio Estadual Professora Dulce Maschio,

localizado no Bairro Industrial em Guarapuava, o desenvolvimento do trabalho

teve como participantes alunos de 6º ano, este contou com a participação de 30

alunos. As atividades foram desenvolvidas em grupo seguindo a sequência:

- 1ª atividade realizada foi o filme Donald no país da Matemágica; este teve como

objetivo motivar os alunos a participar do projeto mostrando uma matemática

diferente e aplicada. Nesta atividade pôde-se observar o interesse dos alunos em

participar do projeto que seria desenvolvido.

- 2ª atividade: Passeio pelo bairro para coletar materiais e observar que a

geometria da arquitetura e da natureza é a mesma aprendida na escola, esta

recebe nomes e ocupa um papel importante no desenvolvimento social,

econômico e cultural de uma sociedade.

- 3ª Atividade: Pôde-se concluir que o debate não ocorreu como o esperado,

apesar das crianças participarem das discussões relatando o que viram.

- 4ª Atividade: Não se pode falar de geometria na história, sem colocar o contexto

de fatos que ocorreram no momento do seu desenvolvimento. Nesta atividade as

crianças participaram fizeram perguntas que vieram contribuir para o sucesso da

atividade.

- 5º Atividade: Nesta etapa foi construído o Pássaro Tsuro com o origami e falado

sobre sua história e importância para o povo japonês.

- 6ª Atividade: No laboratório de informática foi usado o programa do GeoGebra

para explorar os conceitos e formas geométricas Euclidiana.

- 7ª Atividade: A construção de mosaicos foi feita para trabalhar o conceito de

simetria das figuras e formas.

- 8ª Atividade: Nesta ação foi feita a construção de sólidos com a técnica do

origami modular.

- 9ª Atividade: Nesta etapa os alunos confeccionaram painéis, maquetes com os

materiais construídos por eles no desenvolvimento do projeto, e também através

de pesquisas buscaram outras figuras e formas feitas com origami onde são

aplicados conceitos geométricos.

- 10ª Atividade: A avaliação ocorreu durante a aplicação do projeto, e a atividade

de exposição e explanação dos trabalhos os alunos apresentaram à comunidade

escolar, o que fizeram e aprenderam com as atividades propostas no

desenvolvimento do mesmo.

A geometria faz parte do mundo em que vivemos desde os primeiros povos

existentes no planeta, mas observamos que no currículo escolar ainda é pouco

utilizada, sendo deixada muitas vezes para o final do planejamento sem fazer a

relação com outros conteúdos da matemática, e também trabalhada de forma

inadequada.

Segundo a literatura com as pesquisas feitas no campo da geometria já

houve muitos resultados positivos, dos quais se observa que quando são

trabalhados estes conceitos, partindo de demonstrações e exploração de

materiais concretos, pode-se ter um aprendizado que facilita a aplicação de novos

conceitos Matemáticos.

Pela manipulação de materiais os alunos relacionam o que foi aprendido

em aula com as formas que se observa no ambiente que os cerca, seja nas

construções feitas pelo homem como na natureza. Estes conseguem

compreender o que são ângulos, retas, diferentes figuras e sólidos geométricos,

assimilando assim suas funções e contribuições para o desenvolvimento humano.

As atividades propostas nesta prática pedagógica possibilitaram um

aprendizado diferente do habitual, deixou-se de lado o quadro e o giz, para partir

do concreto para o abstrato, nas atividades desenvolvidas buscou-se relacionar o

meio em que os alunos estão inseridos com a geometria aprendida na escola. A

atividade de motivação teve grande importância no desenvolvimento do projeto,

esta instigou a participação dos mesmos nas demais atividades propostas.

No passeio pelo bairro o que se tornou evidente foi a aproximação que

ocorreu entre o aluno e o professor, o que teve mais importância nesta atividade

foi o fato do professor sair da sala de aula, ir até onde eles vivem e ainda trazer

esta realidade para a escola, em pouco tempo eles puderam observar e

reconhecer diferentes formas geométricas, como a geometria de uma borboleta

encontrada em uma flor e perceber que suas características geométricas eram

distintas da flor em que pousava.

Apesar de ser trabalhada a geometria de Euclides, os alunos puderam

perceber que no contexto real as formas geométricas não são totalmente planas e

que podemos estudar e ter geometria em outras superfícies. Uma das coisas que

chamou a atenção foi o comentário da Pedagoga que acompanhou o passeio,

Foto de Joelma de Fatima Alves de Souza

esta relatou que achou bastante interessante a forma como foi conduzida a

atividade, e que nunca tinha visto geometria dessa forma. Durante o passeio eles

descobriram uma infinidade de formas, isso contribuiu para um debate de

qualidade, apesar da falta de maturidade para este tipo de atividade, eles

conseguiram enriquecer a aula com os comentários e apontamentos positivos

sobre o assunto, já na atividade onde se abordou a História da Geometria os

alunos comentaram que foi muito bom aprender história nas aulas de Matemática.

Relacionar conceitos abstratos com o concreto proporciona a visualização

de uma geometria muitas vezes difícil de compreender, a utilização do origami

nesta atividade fez com que os alunos se interessassem pelo conteúdo que

estavam aprendendo, em cada dobra feita pôde ser explorado um conceito

geométrico diferente como: ponto, reta, plano, segmento de reta, semirreta,

ângulos e suas nomenclaturas, as formas geométricas, como quadrado,

retângulo, triângulo, trapézio, seus nomes de acordo com o número de lados, os

elementos que compõem as figuras, a história do origami e a relação do Pássaro

Tsuro com a vida do menino Sadako.

No laboratório de informática, o uso do programa do GeoGebra, possibilitou

aos alunos construírem e explorarem os ângulos e seus elementos, realizarem as

medidas, brincarem com as retas, construírem o conceito de infinito, compreender

que só conseguimos fazer a representação da reta e do plano porque estes são

infinitos e que nas construções são usados somente segmentos de reta.

O origami modular auxiliou a compreensão dos elementos dos sólidos

geométricos, se possuem formas retas ou não, quais formas geométricas planas

são usadas para sua construção, relacionando com as embalagens dos produtos

que conhecemos.

Os alunos foram avaliados desde o início do projeto até a última atividade,

mas foi na confecção dos painéis e na exposição dos trabalhos para a

comunidade escolar que os mesmos puderam mostrar o conhecimento adquirido

durante o desenvolvimento da proposta pedagógica.

Este projeto foi compartilhado com outros professores através do GTR

(Grupo de trabalho em rede), um programa de formação continuada para

professores do Estado do Paraná, que tem como objetivo a troca de experiências

entre os professores, e neste os mesmos fizeram comentários e deram sugestões

de outras atividades para serem incluídas em outro momento e enriquecer esta

proposta. A professora nº 1 fez algumas adaptações e aplicou aos alunos falando

sobre a Dengue e os cuidados com recipientes com água parada, trabalhando as

formas geométricas e os sólidos em suas aulas. A nº 2 deu sugestão de usar

palitos de churrasco e bala de goma. Também houve comentários por parte da

professora nº 3 de que este foi o GTR mais tranquilo de participar devido a

simplicidade e aplicabilidade das atividades.

No desenvolvimento das atividades a técnica de Matemática da equipe de

ensino do Núcleo regional acompanhou a implementação de algumas atividades e

deixou seu comentário que pode ser constatado pelo endereço eletrônico

http://www.nre.seed.pr.gov.br/guarapuava/modules/noticias/article.php?storyid=10

75.

3. Considerações Finais

A escola deve ser um espaço de pesquisa, transformadora de

pensamentos e pessoas, entretanto a Matemática como vem sendo ensinada não

está proporcionando um aprendizado significativo e permanente na vida dos

alunos. A repetição metodológica está desmotivando o educando a participar das

aulas, ao buscar essa motivação os professores precisam inovar seus métodos

repensando sua prática de forma a atrair a atenção do educando para a

importância dessa área do conhecimento no mundo social e econômico.

Desenvolver métodos que relacionem a matemática da vida com a da

escola, transfere ao professor um papel de mediador do aprendizado

transformando o individuo num ser social capaz de mudar sua prática como

cidadão.

A aplicação desta proposta de intervenção didática mudou o papel do aluno

na escola, este passou de observador para construtor do próprio saber. Pelas

anotações feitas no decorrer do desenvolvimento das atividades percebeu-se que

os alunos ficavam cada vez mais motivados em participar das aulas, realizando-

as com mais facilidade relacionando conceitos antes fragmentados, melhorando

seu rendimento escolar. O material didático usado não é inovador, mas pode dar

suporte aos professores para aplicarem a ele outros conteúdos do currículo

básico. Fica como sugestão usar esta proposta para desenvolver atividades com

os temas da Cultura Afro, indígena e meio ambiente.

Conclui-se que novas metodologias podem melhorar a qualidade de ensino,

motivar os alunos e professores a aumentar o rendimento escolar e mostrar que é

possível ensinar a Geometria do meio físico, natural e arquitetônico,

proporcionando maior percepção Matemática do seu entorno.

4. REVISÃO BIBLIOGRAFICA

BICUDO, Maria Aparecida V. Educação Matemática, Editora Moraes, São Paulo, 1989. D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Da Teoria à Prática. 23º ed. Campinas, SP. Papirus, 2012. D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática. Elo entre as tradições e a Modernidade. 3ª Ed. Belo Horizonte. Autêntica, 2009. FERREIRA, Fernanda Aparecida. Demonstrações em Geometria Euclidiana: Uma Sequência Didática como Recurso Metodológico para seu ensino, Belo Horizonte, Fumarc/Puc-MG, 2008, <<www.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI20120827151820.pdfw>> acesso 31/05/2013. FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sergio. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. 2 ed. rev. Campinas, SP: Autores Associados, 2007 FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia: Saberes necessários à prática educativa, 25ª ed. São Paulo, Paz e Terra, 1996 (Coleção Leitura). FREIRE, Paulo. Politica e Educação, 5 ª Ed. São Paulo. Cortez, 1993. LORENZATO, Sergio (org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. 3ª ed. Campinas, SP. Autores Associados, 2010. (Coleção formação de Professores). MELLO, Elizabelh G. Silva de. Demonstração: Uma Sequência Didática para a Introdução de seu Aprendizado no Ensino de Geometria, Puc/ SP <<

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