OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

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Versão Online ISBN 978-85-8015-080-3Cadernos PDE

I

 

JOGOS MATEMÁTICOS E EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU Eliana Cristina Peres1 Lucieli Maria Trivizoli2

RESUMO Este artigo se propõe a descrever a elaboração e resultados da aplicação de uma sequência didática composta com atividades que utilizaram jogos no ensino de Equações de Segundo Grau, implementada numa turma do 9º ano do Ensino Fundamental. O objetivo desse artigo é discutir uma possibilidade para o trabalho da compreensão de equações de segundo grau e seus diversos métodos de resolução por meio da utilização de jogos. Na sequência didática, as atividades abordaram o uso de jogos para a aprendizagem de equações de segundo grau considerando a necessidade de trabalhar uma metodologia mais apropriada para desenvolver uma compreensão mais significativa deste conteúdo pelos estudantes. Entendemos que os jogos tem um grande potencial pedagógico, já que os estudantes podem agir de maneira autônoma, discutir estratégias e confrontar diferentes representações por meio destas atividades. Os alunos, por meio dos jogos, desenvolvem raciocínio lógico, criatividade, criticidade e trabalho em grupo, habilidades importantes para o ser humano. Essas atividades também se basearam em estratégias utilizadas por povos antigos e seguiram as sugestões das Diretrizes Curriculares do Paraná e dos PCNs. Com as atividades realizadas durante a implementação, os alunos conseguiram perceber a importância da equação do segundo grau para a matemática, utilizando os processos de resolução apresentados por vários povos em épocas diferentes aprendendo o significado das soluções encontradas. Conseguiram escrever uma equação do segundo grau distinguindo seus elementos e sua definição. Com as atividades sugeridas e aplicadas na implementação obtemos resultados positivos, pois conseguimos alcançar os objetivos propostos e fazer com que os alunos participassem das aulas com muito entusiasmo. Palavras-chave: Equação do segundo grau. Jogos matemáticos. Material manipulável. História da equação do segundo grau. INTRODUÇÃO

Muitas vezes, as situações que envolvem conteúdos trabalhados em sala de

aula se restringem a um esquema de cálculo ou a procedimentos mecânicos

apresentados de forma tradicional, sem significado e descontextualizados. No

ensino, é comum o uso de técnicas para a resolução por algoritmos matemáticos,

sem uma preocupação de mostrar para os alunos o significado das etapas da

resolução de uma equação ou de diferentes possibilidades para resolvê-la.

                                                                                                                         1 Professora PDE. Especialista em Gestão, Supervisão e Orientação Escolar pela UNOPAR-Londrina-PR e Tutoria em Educação à Distância pela Faculdade Eficaz-Maringá-PR, graduada em Ciências de 1º grau com Habilitação em Matemática pela FAFIMAN-Mandaguari-PR e Física pela UEM-Maringá-PR. Endereço eletrônico: elianacristina@seed.pr.gov.br. 2 Professora Orientadora. Professora Adjunta do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá (UEM). Endereço eletrônico: lmtrivizoli@uem.br  

 

Para evitar que esse fato continue ocorrendo, é necessário que os

professores busquem métodos  diferenciados que permitam melhorar os processos

de ensino e de aprendizagem da matemática de modo que os estudantes se sintam

motivados a aprender. Por isso, para a elaboração da sequência didática

apresentada neste artigo, consideramos a necessidade de abordar uma estratégia

apropriada para proporcionar uma melhor compreensão das Equações de Segundo

Grau para os estudantes.

Esta ideia é confirmada pelas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do

Paraná, quando diz:

A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às ideias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios. (PARANÁ, 2008 p. 45)

Os jogos matemáticos são ferramentas importantes nos processos de ensino

e aprendizagem, pois permitem um ambiente de interatividade entre os alunos e

professores, no qual é possível que o aluno desenvolva um trabalho criativo, de

investigação, de exploração de regularidades, de criação de novas fórmulas etc.

Segundo D'Ambrosio (1996), explorar conceitos matemáticos de forma lúdica

faz com que o aluno desmistifique a imagem de que a matemática é uma disciplina

muito difícil. Como o jogo vincula teoria e prática e trabalha com situações–

problemas, o aluno se sente desafiado a aprender, pois o jogo possibilita a criação

de ambientes de produção de um saber significativo.

Sendo assim, este artigo se propõe a descrever a elaboração e aplicação de

uma sequência didática composta por atividades que utilizaram jogos no ensino de

Equações de Segundo Grau, implementada no Colégio Vinicius de Morais – Ensino

Fundamental e Médio – Maringá, PR, no 9º ano do Ensino Fundamental. Além disso,

este trabalho traz algumas discussões sobre a implementação dessa sequência

didática, uma das etapas como participante do Programa de Desenvolvimento

Educacional ─ PDE/2014, oferecido pelo Governo do Estado do Paraná como

Formação Continuada.

 

1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 1.1 História da Equação de Segundo Grau

Para uma compreensão mais geral e contextualizada acerca do

desenvolvimento dos conceitos envolvidos com Equações do Segundo Grau e suas

possíveis resoluções, realizamos uma revisão bibliográfica voltada aos seus

aspectos históricos. Esta seção trata desta revisão bibliográfica e tentaremos situar

este desenvolvimento por meio da exposição de alguns exemplos, procedimentos,

povos e contextos históricos que influenciaram a construção deste conteúdo

matemático.

A importância de trabalhar com esses conceitos por intermédio do contexto

histórico da matemática é encontrada nas Diretrizes Curriculares:

A história da matemática é um elemento orientador na elaboração de atividades, na criação das situações, na busca de referências para compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar e discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos. (PARANÁ, 2008, p.66)

.

Muitos povos tiveram a necessidade de trabalhar com equações do segundo

grau e deixaram registros que comprovam os seus feitos. Os primeiros indícios

desse tipo de equação foram encontrados em documentos antigos deixados pelos

povos do Egito, Babilônia, China, Grécia e outros.

De acordo com Nobre (2003), um dos registros mais antigos que mostram

problemas matemáticos é o papiro de Moscou. Esse documento egípcio é em forma

de uma tira estreita de 5,5m de comprimento por 8 cm de largura, com 25

problemas matemáticos. Neste papiro são encontrados exercícios envolvendo

equações.

O exemplo a seguir é uma das resoluções encontradas nesse papiro que

envolve a equação de segundo grau, segundo Nobre (2003), seguindo o método

“Regra da Falsa Posição”:

A área de um quadrado é 100 e tal quadrado é igual à soma de dois

quadrados menores, em que o lado de um é igual a 3/4 do lado do outro

A resolução era apresentada da seguinte forma:

Sejam x e y lados de dois quadrados que satisfazem

x2+ y2 = 100 (1)

 

4x = 3y (2)

Poderíamos pensar na equação (1) com determinados valores para x e para

y: Por exemplo, x = 3 e y = 4. Assim: x2 + y2 = 32 + 42 = 25.

Olhando para a equação (1), x2+ y2 = 100, percebemos que para obter o

resultado 100, bastaria multiplicar ambos os membros por 4, isto é, bastaria fazer

x2 + y2 = 25

x2+ y2 = 100

x = 4. (32), e y = 4. (42), então resultariam em: x2 + y2 = 36 + 64 = 100 e 4x =

4.6 = 24; 3y = 3.8 = 24.

Na Babilônia (1700 a.C), segundo Fragoso (2000), os registros eram feitos em

tábuas de argilas. Em relação às equações encontradas nessas tábuas de argila,

suas resoluções eram feitas por meio da álgebra retórica como uma receita. Por

exemplo (FRAGOSO, 2000):

Qual o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870?

A resolução era dada da seguinte forma:

Tome a metade de 1 (coeficiente x) e multiplique por ela mesma (0,5 . 0,5 =

0,25).

Some o resultado a 870 (termo independente). Obtém-se um quadrado

( = 29,5), cujo lado somado à metade de 1 vai dar 30, o lado do quadrado

procurado.

Segundo Fragoso (2000) a obra “Precioso espelho de quatro elementos”

escrita pelo matemático chinês Chu Shihchieh em 1303 a.C, apresentou a resolução

da equação de segundo grau pelo método Fan-Fan, uma técnica especial para a

resolução da equação polinomial do segundo grau, baseada em aproximações

sucessivas, de grande precisão, que foi apresentado de forma retórica e chega a

uma única raiz (positiva). Em 1819, o matemático inglês William George Horner

reivindica a descoberta do método Fan-Fan, rebatizando-o de método de Horner. Os gregos Tales de Mileto, Pitágoras e Euclides apresentaram equações

resolvidas através de construções geométricas. De acordo com Oliveira (2004),

apresentamos como exemplo, a proposição 11 encontrada no livro II dos Elementos

de Euclides:

Dividir um segmento de reta dado de maneira que o retângulo determinado

pelo todo e por uma das partes seja o quadrado sobre a outra parte.

x  4  

 

Resolução mostrada por Oliveira (2004):

Seja AB = a o segmento dado, o objetivo é encontrar um ponto H neste

segmento de modo que (AB) . (HB) = AH.

Ou ainda, se AB = a e AH = x temos:

a(a-x) = x2 ↔ a2 = x2 + ax

Euclides, em seu livro, mostra a resolução geométrica desse tipo de equação

do segundo grau. De acordo com Nobre (2003), Diophanto de Alexandria, em sua

obra “Arithmetica” composta de 13 livros, mostrou a passagem da álgebra

geométrica para a álgebra simbólica.

Nobre (2003) indica que os hindus são os que mais se aproximaram da

resolução da equação do segundo grau que utilizamos hoje, pois introduziram

números negativos e o zero em seus cálculos. Destacam-se os matemáticos

Aryabhata, Bhramagupta, Bhãskara I, Bhãskara II e Sridhara.

Bhãskara II utilizou o método de completar quadrados pra resolver equações

do tipo ax2+bx = c. Podemos verificar a resolução de uma equação do 2° grau

através desse método no exemplo apresentado abaixo, retirado de Pitombeira

(2004):

A oitava parte de um bando de macacos, elevada ao quadrado, brinca em um

bosque. Além disso, 12 macacos podem ser vistos sobre uma colina. Qual o total de

macacos?

(x/8)2 + 12 = x

x2/64 + 12 = x

Segundo Pitombeira (2004), a regra que deu origem a fórmula atual para a

resolução de equações de segundo grau foi dita por Sridhara que deu o nome de

“Fórmula geral para resolução da equação polinomial do segundo grau”, que é

bastante conhecida no Brasil como “Fórmula de Báskara”.

Os matemáticos hindus já sabiam que números negativos não são quadrados

de outros números, e de que o quadrado de negativo e de positivo é positivo e de

zero é zero. De acordo com Pitombeira (2004), Bhãskara II resolveu equações do

segundo grau na forma ax2 +bx = c, da seguinte maneira:

1. Multiplicou ambos os membros por 4a: 4 a2x2 + 4abx = 4ac

2. Somou a ambos os membros o quadrado do coeficiente da quantidade

desconhecida: 4 a2x2 + 4abx + b2= b2 + 4ac = (2ax+b)2 = b2 + 4ac

 

3. Extraiu a raiz quadrada: 2ax + b =

E dessa forma, chegava a uma equação do primeiro grau que sabia resolver.

No século IX, foi fundado em Bagdá o centro científico chamado “Casa da

Sabedoria” onde o matemático Mohamed-ibu-Musa Al-Khowarezmi, escreveu sua

obra “Ciência das equações” que apresenta a resolução da equação polinomial do

segundo grau pelo método geométrico denominado método de completar

quadrados. Exemplo deste método é apresentado por Nobre (2003) e o

reproduzimos aqui:

Considere um quadrado de lado x, com área igual a x2. Some dois retângulos,

sendo cada um deles de lados b/2 e x. A área dos retângulos somada à área do

quadrado menor é igual a x2 + 10x. Assim, o quadrado menor terá lado 5 e área 25.

Ao completar o quadrado tem-se um maior com área x2 + 2(5x) +25. Somando

as áreas dos quadrados, temos 39 + 25 = 64, então x2 + 10x + 25 = 64. Logo, o lado

do quadrado maior será (x+5)2= 64, daí tem-se x=3.

Nobre (2003) relata que o nome álgebra veio da palavra al-jabr que

significa "reunião", "conexão" ou "complementação”, ao pé da letra, a reunião de

partes quebradas, e as palavras algoritmo e algarismo vieram do nome Al-

Khowarizmi.

Entre os séculos XII e início do XIII na Europa Medieval, o matemático em

destaque foi Leonardo Fibonacci (ou Leonardo de Pisa) (1170-1250) com a obra

“Liber Abbaci” na qual foi introduzido o sistema de numeração hindu-arábico, tendo

como base muitos dos trabalhos do hindu Al-Khowarizmi e do grego Euclides.

Segundo Nobre (2003) Fibonacci utilizou números negativos e irracionais em

suas resoluções e o zero como raiz de uma equação quadrática. Em sua obra

utilizou como exemplo a seguinte equação: (1 + 3/4 x)(1 + 2/3 x) = 73.

De acordo com Amaral (1988), o francês François Viéte (1540- 1603) publicou

a obra “In Artem Analyticem Isogoge”, em 1591. Este matemático ficou conhecido

como o “Pai da Álgebra” por introduzir símbolos na matemática, usando letras no

lugar de números. Segundo Amaral (1988), o exemplo mostrado abaixo foi resolvido

pelo método de Viéte:

Sendo a equação: ax2+ bx + c = 0, com x= u+v, temos:

a (u+v)2+ b (u+v) + c = 0

a (u2 + 2uv + v2) + b (u+v) + c = 0

 

Reescrevendo essa igualdade como uma equação em v, temos:

av2 + (2au + b) v + au2 + bu + c = 0

Anulando o coeficiente de v, temos u = - b/2a :

Substituindo na equação:

av2 + a (-b/2a)2 + b (-b/2a) + c = 0

Efetuando as operações e simplificando, obtemos: v2= b2 – 4ac/4 a2

Se b2 – 4ac ≥0, então v = ±√ b2 – 4ac/ 2ª.

Que seria a expressão conhecida como ‘fórmula de Bháskara’.

Segundo Fragoso (2000), René Descartes (1596-1650) também se destacou

neste período. Em sua obra “O Discurso do Método” obteve uma solução positiva

para equação por meio de um método geométrico, mas ainda não considerava raiz

negativa como solução de uma equação. De certo modo, aperfeiçoou a álgebra de

Viéte.

Descartes resolveu equações do tipo: x2 = bx + c2, x2 = c2 – bx e x2 = bx – c2.

Para resolver a equação do tipo x2 = bx + c2, usou o seguinte método (FRAGOSO,

2000):

1) Traçou um segmento ML, de comprimento ;

2) Em M, levantou o segmento MN com medida igual a b/2 e

perpendicular a ML;

3) Com centro em N, construiu um círculo de raio MN,

4) Traçou uma reta ligando os pontos L e N que corta o círculo em O e P,

5) Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo MLN, temos:

(NL)2= (MN)2 + (ML)2

(x+b/2)2= (b/2)2 + (√c)2 = x2 + 2x b/2 + b2/4 = b2/4 +c

x2 + bx + b2/4 = = b2/4 +c

x2 + bx – c

Todas essas contribuições foram fundamentais para chegar ao consenso

sobre a solução de uma equação do segundo grau.

1.2 Jogos na educação matemática

 

Muitas vezes os professores sentem dificuldade em ensinar conceitos

matemáticos, pois faltam aos alunos habilidades para interpretar e resolver

problemas e transpor da linguagem escrita para a linguagem matemática.

Atualmente, a educação matemática conta com diversas metodologias para apoiar

as estratégias do processo de ensino e de aprendizagem. Cabe ao professor

escolher a que melhor se adéque ao conteúdo abordado e aos seus alunos. Dentre

as estratégias metodológicas temos a utilização de jogos, que se bem trabalhada

pedagogicamente pode fornecer diversas vantagens no ensino da matemática como

fazer o aluno fixar conceitos, motivar seu aprendizado, desenvolver seu senso crítico

e criativo, estimular o raciocínio, descobrir novos conceitos, interagir com os colegas

e professor, facilitar a observação e a análise dos fatos, desenvolver a

concentração, autoestima e autoconfiança.

De acordo com o PCN: Os jogos podem contribuir para um trabalho de formação de atitudes - enfrentar desafios, lançar-se à busca de soluções, desenvolvimento da crítica, da intuição, da criação de estratégias e da possibilidade de alterá-las quando o resultado não é satisfatório - necessárias para a aprendizagem da Matemática. (BRASIL, 1998, p.47).

Os jogos pedagógicos são um recurso que tornam o ensino da matemática

mais significativo e prazeroso. De acordo com os Parâmetros Curriculares

Nacionais, temos: Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções. Propiciam a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o planejamento das ações; possibilitam a construção de uma atitude positiva perante os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas.(BRASIL, 1998, p.46)

Nesta mesma linha, pode-se destacar que um aspecto relevante nos jogos é

o desafio genuíno que eles provocam no aluno, que gera interesse e prazer.

(BRASIL, 1997, p. 48-49)

Os jogos estimulam o brincar e atuam como um instrumento mediador na

construção do conhecimento e das representações sociais da matemática.

Entendemos que os jogos tem um grande potencial educativo, já que esperamos

 

que os estudantes possam agir de maneira autônoma e confrontar diferentes

representações sobre o conhecimento matemático.

Os jogos matemáticos são ferramentas importantes no processo de ensino e

aprendizagem, pois permitem um ambiente de interatividade entre os alunos e

professores, no qual o aluno desenvolva um trabalho criativo, de investigação, de

exploração de regularidades, de criação de novas fórmulas etc. Segundo D'Ambrosio (1996), explorar conceitos matemáticos de forma lúdica

faz com que o aluno desmistifique a imagem de que a matemática é uma disciplina

muito difícil. Como o jogo vincula teoria e prática e trabalha com situações

problemas, o aluno se sente desafiado a aprender, uma vez que possibilita a criação

de ambientes de produção ou de reprodução (ambientes em que o aluno cria

possibilidades de solução para o problema ou reproduz algo já realizado) de um

saber significativo.

2. IMPLEMENTAÇÃO DO PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

A implementação das atividades da sequência didática foi desenvolvida no

Colégio Estadual Vinicius de Morais - Ensino Fundamental e Médio, na cidade de

Maringá-Paraná, com a turma do 9º ano do Ensino Fundamental do período

vespertino, a partir do segundo semestre do ano letivo de 2015.

A produção didática foi composta por oito atividades e teve o objetivo de

oportunizar aos alunos o contato com a equação do segundo grau por meio da

estratégia metodológica o uso de jogos e materiais manipuláveis.

Apresentamos um roteiro de como as atividades foram realizadas e uma

discussão inicial sobre as dificuldades dos alunos e das oportunidades de

aprendizagem observadas durante a aplicação da intervenção pedagógica com o

material organizado. Em todas as atividades que envolveram jogos ou outros

materiais, a professora explicou as regras de cada jogo e possibilidades de

exploração dos materiais.

Na primeira atividade foi trabalhado o jogo “Perfil das equações” (Disponível

em <http://pt.slideshare.net/FAMSilva/perfil-das-equaes-do-2-grau>), um material

composto por um tabuleiro, cartas de dicas e pinos. Cada carta fornecia dicas sobre

uma equação a ser escrita pelos jogadores. Por exemplo:

 

-x2-7x-8=0

1- Perca a vez.

2- Sou uma equação completa do tipo ax2+bx+c=0.

3- O coeficiente do meu 2º termo é -7.

4- Avance dois espaços.

5- Perca a vez.

6- Meu terceiro termo é -8.

7- A parte literal do meu 2º termo é x.

8- O coeficiente do meu 1º termo é -1.

9- Meu 2º termo é -7x.

10- Fique em jogar duas rodadas.

11- Meu 1º termo é x2.

12- Avance um espaço.

Figura 1: Carta de dicas. Fonte: Elaborada pela autora

A turma foi dividida em equipes com cinco alunos, um seria o leitor das dicas

e os outros alunos seriam os jogadores. Cada jogador na sua vez escolheu um

número de 1 a 12 e o leitor leu a dica correspondente ao número escolhido e todos

anotavam. Com essas dicas, os alunos escreveram a equação do segundo grau

correspondente. O jogador que acertou a equação andou no tabuleiro cinco casas.

O jogo terminou quando um jogador chegou ao final do caminho desenhado no

tabuleiro.

Somente uma equipe teve dificuldades em entender as regras do jogo e foi

preciso explicar os significados de “termo”, “coeficiente” e “parte literal” de uma

equação para conseguirem jogar.

Em geral, os alunos reconheceram os aspectos que caracterizavam uma

equação do segundo grau, perceberam a diferença entre uma equação de segundo

 

grau completa e incompleta e identificaram os coeficientes de uma equação.

Quando o coeficiente era zero, tiveram dificuldades em entender que, mesmo não

‘aparecendo’ na expressão, este termo ainda existia na equação.

Na segunda atividade foi trabalhado o material manipulável “Cartas de

descoberta” (GOUVEIA, 2011). Este material permite que representemos os termos

de uma equação, usando cartões na cor azul para representar números positivos e

cartões vermelhos para representar números negativos. E ainda, por meio de

manipulações com os cartões, alcançar a solução de uma equação do segundo

grau.

Por exemplo, para resolver a equação x2-3x+2=0, o aluno testava soluções

utilizando os cartões. Escolhia números com valores entre -10 e 10 para x e testava.

Se escolhesse x=2, então teria:

Figura 2: Utilização das fichas de descoberta.

Fonte: Elaborada pela autora.

A turma foi dividida em equipes de cinco alunos e foi distribuída uma lista de

equações do segundo grau para que encontrassem as soluções utilizando os

cartões. Depois os alunos escolheram uma das equações resolvidas pelo grupo e,

por meio de um texto, descreveram o procedimento utilizado para chegar à solução.

No final da atividade podemos observar pelas discussões dos alunos que a

solução de uma equação do segundo grau era o número que, ao substituir as

incógnitas, ‘zerava’ a equação. Alguns estudantes preferiram resolver fazendo os

cálculos mentalmente e não utilizaram os cartões, alguns consideraram a atividade

cansativa e tiveram muita dificuldade em descrever o procedimento utilizado na

resolução da equação escolhida.

Na terceira atividade, a história da equação do segundo grau foi trabalhada

por meio de um vídeo, pesquisa, seminário e um jogo de perguntas. Assistiram ao

 

vídeo “Esse tal de Bhaskara” (Disponível em

<https://www.youtube.com/watch?v=dw6wD5bP5vw>) que conta a história e a

importância da equação do segundo grau. No momento da exibição, foram feitas

pausas e foram discutidas algumas questões e esclarecidas dúvidas sobre o

assunto que era apresentado e cada aluno foi anotando o que considerava

importante.

A turma, então, foi dividida em equipes com quatro elementos. Cada equipe

sorteou uma civilização antiga (entre os egípcios, babilônios, gregos, hindus,

chineses e europeus) e pesquisou seus feitos em relação ao desenvolvimento da

equação do segundo grau. Para esse trabalho utilizamos o laboratório de

informática, onde os alunos foram orientados de como deveriam realizar a pesquisa.

Na aula seguinte, as equipes apresentaram aos colegas as informações

pesquisadas. Sentiram muitas dificuldades em se expressarem oralmente e não

foram muito criativos em relação às apresentações: a maioria leu as informações

pesquisadas e escreveu algumas coisas no quadro. Assumimos que isso ocorreu

devido à timidez de alguns alunos e pela ausência de trabalhos com seminários em

geral. Para finalizar esta atividade, os alunos montaram questões sobre o que

pesquisaram e foi feita uma competição entre as equipes.

As perguntas produzidas foram sorteadas e cada equipe foi respondendo em

uma folha à parte. Cada questão respondida corretamente valia um ponto e a equipe

que teve a maior pontuação recebeu um prêmio.

Com esta atividade, os alunos compreenderam a importância de estudar

equação do segundo grau, pois perceberam que ela está presente em situações

históricas do cotidiano e ficaram motivados em prosseguir com as atividades.

No quarto exercício, foi trabalhada a resolução de equação de segundo grau

pelo método de completar quadrados, utilizando material similar ao Algeplan3.

Relembramos alguns aspectos e conceitos matemáticos que são fundamentais para

a resolução da equação do segundo grau pelo método de completar quadrados:

área do quadrado, área do retângulo, fatoração e equação do primeiro grau.

Na sequência, os alunos foram divididos em equipes com quatro elementos e

receberam o material composto por um quadrado grande, 10 retângulos e 25

                                                                                                                         3 Material didático que possui 40 peças (figuras), sendo as mesmas divididas em quadrados e retângulos. O objetivo principal do uso do Algeplan é relacionar as figuras geométricas com expressões algébricas, monômios, polinômios e fatoração de trinômios de segundo grau.  

 

quadrados pequenos. Foi feita uma exploração de como usar o material nas

resoluções e uma discussão sobre o que significava completar o quadrado com

aquele material. De início, os estudantes não conseguiam formar o quadrado para

chegar a solução, somente depois de muita exploração e explicações conseguiram

resolver as equações propostas. Mesmo depois de entendido o método, um grupo

preferiu usar a fatoração e não o material, pois achavam que seria mais fácil. Apesar

disso, eles também apresentaram dificuldades em transformar a equação numa

multiplicação de binômio e em relação aos sinais (positivo e negativo) na resolução

das equações do primeiro grau.

Podemos indicar que essas dificuldades eram referentes a conteúdos, que

provavelmente não foram compreendidos anteriormente ou que precisavam ser

relembrados. Contudo, no final desta atividade, os estudantes já estavam resolvendo

as equações sem problemas. Conseguiram relacionar figuras geométricas com a

resolução de equações, relacionaram o material com a fatoração, entenderam que a

equação do segundo grau é uma multiplicação de binômios e conseguiram resolver

equações do segundo grau utilizando o método de completar quadrados.

Na quinta atividade foi trabalhada a fórmula geral para a resolução de

equações de segundo grau utilizando o jogo Dominó das equações (Disponível em

<http://ruannamatematica.blogspot.com.br/2013/07/domino-equacao-do-2-

grau.html>). Inicialmente discutimos os procedimentos a fim de encontrar a fórmula

geral para resolução de equações de segundo grau, fazendo conexão com as

informações obtidas na terceira e quarta atividades. Em seguida, foram resolvidas

algumas equações utilizando a fórmula geral. A pergunta mais frequente foi sobre o

que era o ‘delta’, além da dificuldade para relacionar que a fórmula saiu dos

procedimentos anteriores.

Os alunos não tiveram dúvidas em identificar os coeficientes das equações,

mas tiveram dúvidas quanto aos sinais (positivo e negativo) que acompanham as

raízes. Estas dúvidas foram exploradas e discutidas conforme o jogo era trabalhado.

Os educandos foram divididos em equipes com quatro pessoas e receberam

um jogo de dominó composto por 28 cartões contendo equações do segundo grau e

suas soluções. Cada aluno escolheu sete cartões e resolveu as equações

correspondentes, em seguida jogaram o dominó. Na 6ª atividade, focalizamos em

aspectos da linguagem algébrica, utilizando o jogo Bingo de Equações do Segundo

Grau. Neste jogo, os alunos trabalharam em duplas e receberam uma cartela

 

contendo 10 equações do segundo grau. Numa caixa, foram colocados problemas

contextualizados sobre equação do segundo grau que foram sorteados, lidos e

projetados no Datashow. A cada problema os alunos deveriam escrever a equação

do segundo grau correspondente à situação e verificando se esta equação estava

em sua cartela. Após o término do jogo, foram retomados todos os problemas para

as discussões dos dados e como encontraram as equações correspondentes,

fazendo as devidas correções.

Nesta etapa, os alunos não apresentaram dificuldades em escrever as

equações. Alguns trocaram x2 por x4, mas a maioria dos alunos escreveu

corretamente as equações e apresentou ter compreendido o significado de cada

uma.

Na sétima atividade, trabalhamos o jogo “Pescaria de equações do segundo

grau” (Disponível em

,<http://www.mat.ibilce.unesp.br/laboratorio/pages/jogos/pescaria_de_equacoes.htm

>).

A turma foi dividida em grupos com quatro elementos e cada grupo recebeu

20 cartas na cor amarela com equações do segundo grau e 20 cartas na cor azul

com as raízes, com as quais formaram pares.

Figura 3: Fichas de Equações e de Raízes

Fonte: Elaborada pela autora.

Cada aluno sorteou e resolveu cinco equações pelo método que quis, depois

distribuiu as cartas, sendo para cada um, três amarelas e quatro azuis. Verificaram

se tinham os pares de equações e soluções e as separaram. Depois, iam pedindo

uma carta de solução ou de equação aos colegas para formarem outros pares. Se

 

os colegas tivessem as cartas pedidas entregavam, se não, pediam pra pescar uma

carta no monte em cima da mesa. Ganhou o jogo quem formou o maior número de

pares.

Com esta atividade, os alunos resolveram as equações de segundo grau,

fixando os conceitos de forma lúdica e conseguiram associar as equações com suas

soluções. Os alunos gostaram muito desta atividade, tiveram um pouco de

dificuldades no início até entenderem bem as regras, depois jogaram várias vezes.

Em todos os momentos, houve uma competição bem saudável na turma.

Na oitava atividade trabalhamos o “Jogo vai e vem das equações do segundo

grau” (Disponível em

<http://equacaosemcomplicacao.blogspot.com.br/2012/05/etapa-3-jogo-vai-e-vem-

das-equacoes.html>)

Os alunos foram divididos em grupos de 4 pessoas que formaram duplas.

Cada grupo recebeu um tabuleiro, pinos, cartas com equações e seis fichas de

inversão de sinais. Cada dupla sorteava uma equação resolvia e passava sua

solução a outra dupla para correção.

Após escolheram uma das quatro operações fundamentais e fizeram o cálculo

com as raízes, obtendo o número de casas que a dupla andou no tabuleiro do lado

positivo ou negativo, dependendo do sinal da resposta da operação escolhida.

Quando precisavam inverter o sinal do resultado utilizavam a carta de inversão de

sinal. Venceu quem chegou primeiro ao final do tabuleiro positivo ou negativo.

Após o jogo, foram discutidos os procedimentos utilizados pelos alunos para a

resolução das atividades. Com esta atividade, os discentes resolveram equações

trocando ideias com os colegas, operaram com números reais utilizando da melhor

estratégia possível. Houve muito companheirismo e troca de ideias. Perceberam

rapidamente que a multiplicação era a melhor estratégia para vencer em quase

todos os casos e em outros a adição era melhor. Foi muito divertido.

3 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Fazendo uma análise da problematização inicial que gerou este trabalho com

jogos e materiais manipuláveis no processo de ensino e de aprendizagem de

equações do segundo grau, concluímos que a sua utilização contribui para a

motivação da aprendizagem, porque proporcionaramm prazer e diversão a um

 

conteúdo geralmente tratado de maneira abstrata ou procedimental em sala de

aula..

O desenvolvimento da pesquisa mostrou que explorar jogos e materiais

manipuláveis, identificando o seu potencial de utilização no ensino da Matemática, é

um trabalho fascinante e compensador, apesar do tempo exigido para elaboração e

confecção.

Os jogos sobre o conteúdo equação do segundo grau serviram como

facilitadores da aprendizagem e desafiaram os alunos, que desenvolveram a

criticidade, a intuição, a criação de estratégias e perderam o medo de errar, como

mostram as indicações encontrados nas diretrizes curriculares e no PCN.

Com as atividades que utilizaram jogos, o raciocínio lógico do aluno foi

estimulado, fazendo com que questionasse e propusesse soluções para as

equações do segundo grau apresentadas, estimulando a curiosidade e o espírito de

investigação.

A dinâmica proporcionou a interação entre os estudantes, fazendo com que

eles trabalhassem em grupo, desenvolvendo sua autonomia e autoconfiança.

Professor e aluno neste tipo de atividade ficam mais próximos, pois aquele passa a

ser um colaborador na aquisição do conhecimento e o aluno fica com menos receio

de perguntar, questionar e tirar suas dúvidas. As regras estabelecidas para cada

atividade foram compreendidas e seguidas por todos os grupos, portanto, os

objetivos propostos foram atingidos.

Nas atividades que utilizaram materiais manipuláveis, os alunos conseguiram

entender o significado da solução de uma equação do segundo grau e como

resolver essa equação utilizando o método de completar quadrados. Com os jogos

“Perfil das equações” e o “Bingo de equações” os alunos aprenderam a escrever

uma equação do segundo grau compreendendo sua definição, reconhecendo seus

termos, incógnitas, coeficientes numéricos sem dificuldades.

Pudemos comprovar com esse trabalho, que usar jogos e matérias

manipuláveis nas aulas de matemática auxiliam muito na construção do

conhecimento feito pelo aluno. E ainda, usar atividades que envolveram um pouco

da história das equações foi fundamental para que os alunos percebessem o quanto

este conceito matemático foi importante em fatos do cotidiano e que desde a

antiguidade elas já eram utilizadas por vários povos e resolvidas por métodos

diferentes.

 

Espero, então, que este trabalho possa contribuir para que outros professores

mudem suas metodologias, trazendo aos alunos uma oportunidade para uma

aprendizagem com mais significação.

4 REFERÊNCIAS PARANÁ, Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública na Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2008. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, Secretaria da Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, Secretaria da Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998 AMARAL, João Tomas do. Método de Viéte para resolução de equações do 2º grau. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Nº. 13. Julho/1988. FRAGOSO, Wagner da Cunha. Uma Abordagem Histórica da Equação do 2º grau. RPM. n. 43. p. 20 a 25. 2000. NOBRE, Sergio. História da resolução da equação de 2º grau: Uma Abordagem Pedagógica. Coleção histórica da matemática para professores. ed. Sociedade Brasileira de História da matemática. Rio Claro - SP: Abril 2003. OLIVEIRA, Ana Teresa. A relação Álgebra/Geometria no estudo da equação do 2º grau. Revista da Associação de Professores de Matemática. Nº. 76. Jan/Fev/2004. PITOMBEIRA, João Bosco. Revisitando Uma Velha Conhecida. Departamento de Matemática. PUC - Rio. p.1 a 41.2004. D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria e pratica. Campinas-SP: Papirus, 1996. SILVA, Fernanda A. M. da. Perfil das Equações do 2º Grau. Disponível em: <http://pt.slideshare.net/FAMSilva/perfil-das-equaes-do-2-grau>. Acesso em 2 jul. de 2014. Esse tal de Bhaskara- Projeto Matemática Multimidia-Video, 2012. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=dw6wD5bP5vw>. Acesso em 25 de ago. 2014. FERNANDES, Ruanna Guido. Dominó - Equação do 2º Grau. Disponível em: <http://ruannamatematica.blogspot.com.br/2013/07/domino-equacao-do-2-grau.html>. Acesso em 2 jul. de 2014.

 

UNESP. Pescaria de Equações do 1º Grau. Disponível em: <http://www.mat.ibilce.unesp.br/laboratorio/pages/jogos/pescaria_de_equacoes.htm>. Acesso em 2 jul. de 2014. GRUPO EUREKA. Jogo do vai e vem. Disponível em: http://equacaosemcomplicacao.blogspot.com.br/2012/05/etapa-3-jogo-vai-e-vem-das-equacoes.html. Acesso em 2 jul. de 2014.