UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE … · Figura 5 – Quadrado de lado (b + c) ... Figura 18 – Quadrado formado pela junção das peças I..... 45 Figura 19 – Quadrado

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS

GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

JONAS JUSCELINO MEDEIROS DOS SANTOS

TEOREMA DE PITÁGORAS: UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA A

EDUCAÇÃO BÁSICA

Caicó

2015

JONAS JUSCELINO MEDEIROS DOS SANTOS

TEOREMA DE PITÁGORAS: UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA A

EDUCAÇÃO BÁSICA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à

coordenação do Curso de Matemática do

CERES, da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte, como exigência parcial para

obtenção do título de graduação em

Licenciatura em Matemática.

Orientadora: Profª. Ma. Maria Maroni Lopes

Caicó

2015

Santos, Jonas Juscelino Medeiros Dos. Teorema de Pitágoras: uma proposta de ensino para a educaçãobásica / Jonas Juscelino Medeiros Dos Santos. - Caicó-RN: UFRN,2016. 62f: il.

Orientadora: Ms. Maria Maroni Lopes.

Monografia (Licenciatura em Matemática) Universidade Federaldo Rio Grande do Norte. Centro de Ensino Superior do Seridó -Campus Caicó.

1. Teorema de Pitágoras. 2. História da Matemática. 3.Jogos educativos. 4. Software GeoGebra. I. Lopes, MariaMaroni. II. Título.

Catalogação da Publicação na FonteUniversidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Dedico este trabalho a toda minha família,

principalmente aos meus pais que sempre me

incentivaram a estudar e sempre estão comigo

me ajudando nos momentos em que penso em

desistir e sempre me apoiam.

Aos meus colegas pelos momentos de alegria.

AGRADECIMENTOS

A Deus, o meu criador, que me abençoa sempre, me deu forças para continuar nesta jornada e

nunca me abandona.

Aos meus pais, Maria José de Medeiros e Francisco Epitácio dos Santos, por todo

incentivo, apoio e carinho que sempre me deram. Sem vocês eu não estaria aqui.

Aos meus irmãos, Patrícia e José, por estarem ao meu lado.

A toda minha família, pois amo todos vocês.

À Profª Ma. Maria Maroni Lopes, minha orientadora, pela paciência e atenção que me foi

dada ao longo da realização deste trabalho.

A todos os meus professores pelo conhecimento e sabedoria que me passaram ao longo da

minha vida acadêmica.

Aos meus amigos e colegas que alegram o meu dia.

A mente que se abre a uma nova ideia jamais

voltará ao seu tamanho original.

Albert Einstein

RESUMO

Cada vez mais se faz necessário que o professor aproprie-se de diferentes metodologias de

ensino que possibilite ao aluno um maior interesse pelo conhecimento matemático. O presente

estudo objetiva analisar a relevância de diferentes metodologias de ensino e ferramentas

pedagógicas que poderão auxiliar o professor em sala de aula tendo como perspectiva,

promover uma aprendizagem significativa para o aluno. Assim, no presente estudo trata-se em

específico da História da Matemática, dos jogos educativos, do material concreto e das

Tecnologias de Informação e Comunicação – por meio de alguns dos recursos do software

GeoGebra – no ensino e na aprendizagem do Teorema de Pitágoras. Investigou-se a história

da Escola Pitagórica, onde se mesclava matemática e religiosidade, e algumas das

demonstrações do Teorema de Pitágoras. Verificou-se por meio de estudos que a História da

Matemática revela-se como uma importante ferramenta de auxílio ao professor em suas aulas,

que por meio do jogo, o aluno passa a usar a matemática de maneira natural e lúdica

permitindo-o encará-la como algo que está presente em seu cotidiano, não só na escola, mas

em diversas situações do seu dia a dia e que o uso do GeoGebra pode facilitar o processo e

visualização das demonstrações.

Palavras-chave: Teorema de Pitágoras. História da Matemática. Jogos educativos. Software

GeoGebra.

ABSTRACT

Increasingly it is necessary that the teacher get hold of different teaching methodologies that

allows the student a greater interest in mathematical knowledge. This study aims to analyze

the relevance of different teaching methodologies and pedagogical tools that can help the

teacher in the classroom acting as an instrument to promote a meaningful learning for the

student. In the present study it deals in particular the history of mathematics, educational

games, the concrete material and Information and Communication Technologies – through

some of the features of the GeoGebra software – in teaching and learning the Pythagorean

theorem. It was investigated the history of the Pythagorean School, where mathematics and

religiosity were mingled, and some of the Pythagorean theorem proofs. It has been found

through studies that the history of mathematics is revealed as an important support tool for

teachers in their classes, that through the game, the student begins to use mathematics in a

natural and playful way allowing you to approach it as something that is present in their daily

lives, not only at school but in various situations of their everyday life and that the use of

GeoGebra can facilitate the process and visualization of proofs.

Keywords: Pythagorean Theorem. History of Mathematics. Educational games. GeoGebra

software.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Pentagrama....................................................................................................... 13

Figura 2 – Teorema de Pitágoras....................................................................................... 15

Figura 3 – Plimpton 322.................................................................................................... 15

Figura 4 – Triângulo retângulo e seus ângulos.................................................................. 17

Figura 5 – Quadrado de lado (b + c) e triângulos.............................................................. 18

Figura 6 – Triângulo retângulo.......................................................................................... 19

Figura 7 – Trapézio retângulo............................................................................................ 19

Figura 8 – Triângulo retângulo e sua altura....................................................................... 20

Figura 9 – Jogo Corrida Pitagórica.................................................................................... 33

Figura 10 – Jogo Trilha Pitagórica.................................................................................... 36

Figura 11 – Jogo Roleta Pitagórica.................................................................................... 39

Figura 12 – Triângulos sobre o quadrado I........................................................................ 42

Figura 13 – Triângulos sobre o quadrado II...................................................................... 42

Figura 14 – Triângulo retângulo com quadrados sobre os seus lados............................... 43

Figura 15 – Quebra-cabeça Pitagórico I............................................................................ 43

Figura 16 – Quebra-cabeça Pitagórico II........................................................................... 44

Figura 17 – Quatro triângulos retângulos e um quadrado................................................. 45

Figura 18 – Quadrado formado pela junção das peças I.................................................... 45

Figura 19 – Quadrado formado pela junção das peças II.................................................. 45

Figura 20 – Triângulo retângulo ABC no software GeoGebra.......................................... 46

Figura 21 – Triângulo retângulo ABC e seus ângulos no GeoGebra................................ 47

Figura 22 – Triângulo retângulo ABC e quadrados no software GeoGebra..................... 49

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 10

2 BREVE HISTÓRIA: ESCOLA PITAGÓRICA E TEOREMA DE

PITÁGORAS..............................................................................................................

12

2.1 A ESCOLA PITAGÓRICA........................................................................................ 12

2.2 O TEOREMA DE PITÁGORAS............................................................................... 14

3 ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS.............. 17

3.1 A PROVÁVEL DEMONSTRAÇÃO DE PITÁGORAS........................................... 17

3.2 A DEMONSTRAÇÃO DO PRESIDENTE GARFIELD........................................... 18

3.3 DEMONSTRAÇÃO POR SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS............................. 20

4 O TEOREMA DE PITÁGORAS: INVESTIGANDO DIFERENTES

METODOLOGIAS.....................................................................................................

22

4.1 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DIDÁTICA.................... 22

4.2 JOGOS E MATERIAL CONCRETO NA SALA DE AULA DE

MATEMÁTICA.........................................................................................................

26

4.3 O SOFTWARE GEOGEBRA COMO FERRAMENTA DE ENSINO...................... 29

5 ATIVIDADES PROPOSTAS.................................................................................. 32

5.1 CORRIDA PITAGÓRICA......................................................................................... 32

5.2 TRILHA PITAGÓRICA............................................................................................ 35

5.3 ROLETA PITAGÓRICA........................................................................................... 38

5.4 TRANSPOSIÇÃO DE TRIÂNGULOS..................................................................... 41

5.5 QUEBRA-CABEÇA PITAGÓRICO......................................................................... 42

5.6 O QUADRADO E OS QUATRO TRIÂNGULOS RETÂNGULOS........................ 44

5.7 CONSTRUINDO UM TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC NO GEOGEBRA........ 46

5.8 CONSTRUINDO QUADRADOS SOBRE OS LADOS DO TRIÂNGULO

RETÂNGULO............................................................................................................

48

5.9 PESQUISA E DISCUSSÃO SOBRE PITÁGORAS E A ESCOLA

PITAGÓRICA.................................................................................................... ........

49

5.10 PESQUISA E DISCUSSÃO SOBRE O TEOREMA DE PITÁGORAS................... 50

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................... 51

REFERÊNCIAS........................................................................................................ 53

ANEXOS.................................................................................................................... 55

ANEXO A – TRANSPOSIÇÃO DE TRIÂNGULOS............................................ 56

ANEXO B – QUEBRA-CABEÇA PITAGÓRICO................................................ 57

ANEXO C – O QUADRADO E OS QUATRO TRIÂNGULOS

RETÂNGULOS........................................................................................................

58

APÊNDICES............................................................................................................. 59

APÊNDICE A – CORRIDA PITAGÓRICA......................................................... 60

APÊNDICE B – TRILHA PITAGÓRICA............................................................. 61

APÊNDICE C – ROLETA PITAGÓRICA............................................................ 62

10

1 INTRODUÇÃO

A matemática é uma disciplina de grande relevância no processo de formação do

aluno. Ela está presente em diversas situações do nosso cotidiano, embora muitos não a vejam

com bons olhos. Ao longo da sua história, a matemática influenciou no desenvolvimento e

aperfeiçoamento das outras áreas de conhecimento. A matemática está presente na tecnologia,

na economia, na construção de um edifício, em uma ida ao supermercado. Onde quer que

olhamos, encontramos matemática. No formato dos objetos, na natureza, no despertador que

nos acorda, enfim, em quase tudo. Infelizmente, alguns alunos ainda a veem como a pior

disciplina de todas e acham as aulas chatas e cansativas, perdendo a oportunidade de descobrir

o quão incrível ela é.

Um importante e conhecido teorema é o “Teorema de Pitágoras”. Embora seu

aprendizado seja primordial e de fácil compreensão, alguns alunos acabam o esquecendo. De

grande aplicação na matemática, esse teorema é pré-requisito necessário ao aprendizado de

outros conteúdos. Mas, de que modo poderia o professor promover a aprendizagem do aluno

sem que este o esquecesse? Como estimular no aluno o interesse pela matemática e em

específico por estudos que tratem do Teorema de Pitágoras? Alguns questionamentos tem nos

inquietado na nossa prática enquanto professor em formação inicial.

Diversas metodologias têm sido estudadas, procurando-se orientar o professor para

inovar em suas aulas e facilitar o aprendizado do assunto que está sendo ministrado. A

História da Matemática, os jogos educativos, o material concreto e o uso dos recursos das

Tecnologias de Comunicação e Informação são algumas dessas metodologias.

Assim, no presente estudo pretende-se fazer uma análise sobre que potencialidades

esses recursos metodológicos poderiam desenvolver no aluno e de que modo isso ajudaria no

aprendizado do Teorema de Pitágoras. Enfatizaremos a história do referido teorema e do

matemático Pitágoras, com destaque para a Escola Pitagórica.

Sabe-se que os jogos educativos – com abordagem matemática – são importantes

ferramentas pedagógicas no processo de ensino e de aprendizagem de conteúdos matemáticos,

nesse sentido, elaborou-se um bloco de atividades tendo como ferramenta metodológica os

jogos, como propostas para sala de aula do Ensino Fundamental. Nesta mesma perspectiva,

investigou-se a importância e aplicabilidade do uso dos recursos do software GeoGebra, como

ferramenta que possibilite o processo de visualização dos conceitos e propriedades, por meio

de construções geométricas.

11

O presente trabalho não pretende apresentar recursos para substituir as aulas

expositivas, mas sim, recursos para auxiliar o professor e tornar essas aulas mais atrativas.

De acordo com o exposto acima, elaborou-se os objetivos que direcionam o foco de

nosso estudo.

1.1 OBJETIVOS

Objetivo Geral

Analisar a importância da utilização de metodologias diversificadas – História

da Matemática, jogos e Tecnologias de Informação e Comunicação e material

concreto – no processo de ensino e de aprendizagem do Teorema de Pitágoras.

Objetivo específico

Elaborar um bloco de atividades, com sugestões de uso para sala, utilizando os

recursos da História da Matemática, dos jogos, do material concreto e do software

GeoGebra no ensino e na aprendizagem do Teorema de Pitágoras.

O nosso estudo está organizado da seguinte forma: o primeiro capítulo é constituído da

introdução, uma breve apresentação do trabalho a qual destaca o que será abordado ao longo

do trabalho; o segundo capítulo abordará a história de Pitágoras, do Teorema de Pitágoras e

da Escola Pitagórica; no terceiro capítulo são apresentadas algumas demonstrações do

Teorema de Pitágoras; o quarto capítulo apresenta novas metodologias de ensino que poderão

auxiliar o professor em suas aulas. Embasada nas concepções e estudos de pesquisadores que

adotam como abordagem teórica a História da Matemática como recurso para sala de aula de

matemática, dos jogos matemáticos e da tecnologia, com enfoque especial ao software

GeoGebra, no aprendizado dos alunos; o quinto capítulo se constitui de algumas atividades

propostas que os professores de matemática poderão utilizar em suas aulas, tanto de modo

como estão apresentadas quanto de forma adaptada e no sexto capítulo são apresentadas as

considerações finais.

12

2 BREVE HISTÓRIA: ESCOLA PITAGÓRICA E TEOREMA DE PITÁGORAS

2.1 A ESCOLA PITAGÓRICA

Pitágoras foi um grande matemático que viveu por volta do século V a.C. e nasceu na

ilha egeia de Samos na Grécia. Segundo a tradição, Pitágoras esteve no Egito. Conforme Eves

(2004, p. 97) “é possível que Pitágoras tenha sido discípulo de Tales, pois era 50 anos mais

novo do que este e morava perto de Mileto, onde vivia Tales”.

Em Crotona, colônia grega situada na então Magna Grécia, atual Itália, fundou a

famosa Escola Pitagórica, sociedade secreta cujos membros viviam uma vida dedicada aos

estudos. Seus membros seguiam regras ditadas por seu mestre Pitágoras. A sociedade

mantinha regras vegetarianas, pois, devido a sua crença na metempsicose (transmigração de

almas), onde acreditava que uma pessoa poderia reencarnar tanto em um animal quanto em

um ser humano, Pitágoras proibia os seus membros de matar animais ou, pelo menos,

aconselhava-os a não fazer isso, uma vez que se poderia estar matando a nova morada da alma

de um ente querido de uma vida anterior. Pitágoras é envolto em misticismo, na verdade, nem

se sabe se ele ao menos existiu, uma vez que os documentos que falam de sua existência

foram escritos bastante tempo depois.

A principal fonte que menciona Pitágoras é o Sumário Eudemiano de Proclo. Proclo

viveu por volta de um milênio depois da existência de Pitágoras, mas teve acesso a muitos

trabalhos históricos que se perderam ao longo do tempo. De acordo com Eves (2004),

Nossa principal fonte de informações a respeito dos primeiros passos da matemática

grega é o chamado Sumário Eudemiano de Proclo. Esse sumário consiste nas

páginas de abertura do Comentário sobre Euclides, Livro I, de Proclo e é um breve

resumo do desenvolvimento da geometria grega desde seus primeiros tempos até

Euclides. Embora Proclo tivesse vivido no século V d.C., mais de um milênio depois

do início da matemática grega, ele ainda teve acesso a muitos trabalhos históricos e

críticos que de então para cá se perderam, salvo alguns fragmentos e alusões

preservados por ele próprio e outros. (p. 97)

Nesse sentido, alguns historiadores destacam que Proclo pode ter sido responsável por

uma síntese que mistura as ideias de Eudemo sobre a pureza dos métodos pitagóricos com as

atribuições desse feito a um homem, Pitágoras. Assim, não se pode afirmar ao certo que o

Teorema de Pitágoras seja do próprio Pitágoras. De acordo com Roque (2012) a historiografia

13

da matemática costuma analisar, entre as épocas de Tales e de Euclides as contribuições da

Escola Pitagórica do século V a.C. Os ensinamentos dessa escola teriam influenciado um

outro matemático importante desse período, Hipócrates de Quios. Encontra-se na literatura

também algumas referências a Pitágoras como um dos primeiros matemáticos gregos.

Contudo, essas afirmações são hoje fortemente questionadas pelos historiadores.

A Escola Pitagórica era uma espécie de seita, onde eram realizados ritos secretos e

cerimônias. O símbolo da irmandade era o pentagrama, estrela de cinco pontas formada pelas

diagonais de um pentágono regular.

Figura 1: Pentagrama

Fonte: Elaborada pelo autor.

Os pitagóricos estudavam o quadrivium (aritmética, geometria, música e astronomia).

Para Pitágoras tudo era número, mais especificamente, números inteiros positivos, uma vez

que na época tinha-se conhecimento apenas desses números e dos números fracionários,

também positivos.

A filosofia pitagórica baseava-se na suposição de que a causa última das várias

características do homem e da matéria são os números inteiros. Isso levava a uma

exaltação e ao estudo das propriedades dos números e da aritmética (no sentido de

teoria dos números), junto com a geometria, a música e a astronomia, que

constituíam as artes liberais básicas do programa de estudos pitagórico. Esse grupo

de matérias tornou-se conhecido na Idade Média como quadrivium, ao qual se acrescentava o trivium, formado de gramática, lógica e retórica. Essas sete artes

liberais vieram a ser consideradas como a bagagem cultural necessária de uma

pessoa educada. (EVES, 2004, p. 97).

Os Pitagóricos cultuavam os números. Eles dividiam os números em pares e ímpares,

se referindo aos ímpares como masculinos e pares como femininos. Eles descobriram os

números perfeitos, abundantes, amigáveis e deficientes. De acordo com Boyer (1996),

O número um, diziam eles, é o gerador dos números e o número da razão; o dois é o

primeiro número par, ou feminino, o número da opinião; três é o primeiro número

masculino verdadeiro, o da harmonia, sendo composto de unidade e diversidade;

quatro é o número da justiça ou retribuição indicando o ajuste de contas; cinco é o

14

número do casamento, união dos primeiros números verdadeiros feminino e

masculino; e seis é o número da criação. Cada número, por sua vez, tinha seus

atributos peculiares. O mais sagrado era o dez ou o tetractys, pois representava o

número do universo, inclusive a soma de todas as possíveis dimensões geométricas.

(p. 36)

As descobertas da Escola Pitagórica eram mantidas em segredo. Em um de seus

estudos, os pitagóricos descobriram a existência de √ , um número que não podia ser escrito

como a razão de dois números inteiros, abalando a crença dos pitagóricos.

O número hoje conhecido por √ pode ter sido obtido de duas formas distintas. De

uma maneira geométrica, ao se calcular a diagonal do quadrado de lado 1. Ou ainda,

de uma forma puramente aritmética, obtendo-se a média geométrica entre a unidade

e duas vezes a unidade, ou seja, 1/x = x/2. O número assim produzido e a unidade

são incomensuráveis, ou seja, inexiste uma unidade básica a partir da qual ambos

podem ser obtidos como múltiplos inteiros. Tal descoberta, talvez a mais importante descoberta matemática da época, entrou em choque com a visão mística que

Pitágoras tinha dos números, a ponto de colocar em dúvida a adequação de sua

concepção numérica do universo. Pela primeira vez na história a matemática viveu

uma crise em seus fundamentos. (MOL, 2013, p. 34)

A descoberta deveria ser mantida em segredo, mas conta-se a lenda que um dos

membros deixou vazar a informação, o que lhe custou a morte, sendo lançado ao mar por

revelar o segredo a estranhos. A influência da irmandade se tornou tão grande que teve seu

templo destruído, mas permaneceu ainda existindo por anos, com seguidores espalhados por

diversos lugares.

Com o tempo, a influência e as tendências aristocráticas da irmandade tornaram-se

tão grandes que forças democráticas do sul da Itália destruíram os prédios da escola

fazendo com que a confraria se dispersasse. Segundo um relato, Pitágoras fugiu para

Metaponto onde morreu, talvez assassinado, com uma idade avançada entre 75 e 80 anos de idade. A irmandade, embora dispersa, continuou a existir por pelo menos

mais dois séculos. (EVES, 2004, p. 97)

A Escola Pitagórica trouxe grandes contribuições à matemática, uma das mais

importantes com certeza é o conhecido Teorema de Pitágoras que será discutido a seguir.

2.2 O TEOREMA DE PITÁGORAS

Várias descobertas foram feitas na irmandade, mas a mais famosa, e talvez mais

importante, foi o conhecido Teorema de Pitágoras. Todo aluno do 9º ano do Ensino

Fundamental estuda que “em qualquer triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à

15

soma dos quadrados dos catetos” (GARBI, 2007, p. 27), mas detalhadamente, num triângulo

retângulo de lados a, b e c, temos que a2 = b

2 + c

2, como está ilustrado na figura abaixo:

Figura 2: Teorema de Pitágoras

Fonte: Elaborada pelo autor

Como posto, não se sabe ao certo se esse teorema foi realmente descoberto por

Pitágoras, uma vez que era comum atribuir ao mestre as descobertas.

Conhecimento e propriedade eram comuns, por isso a atribuição de descobertas não

era feita a um membro específico da escola. É melhor, por isso, não falar na obra de

Pitágoras mas antes das contribuições dos pitagóricos, embora na antigüidade [sic]

fosse usual dar todo o crédito ao mestre. (BOYER, 1996, p.33)

No Plimpton 322, um tablete de argila da era babilônica que se encontra na

Universidade de Columbia localizada na cidade de Nova Iorque nos Estados Unidos, podemos

encontrar registros de que os babilônios já tinham conhecimento desse teorema. Esses

registros são números gravados em escrita cuneiforme no sistema sexagesimal, interpretados

pela maioria dos historiadores como sendo ternos pitagóricos, ou seja, lados de um triângulo

retângulo.

Figura 3: Plimpton 322

Fonte: The University of British Columbia

16

Conforme Berlingoff e Gouvêa (2008),

Se procurarmos evidência de que as pessoas sabiam o teorema, entretanto, nós o

encontramos, de uma forma ou de outra, em todo o mundo antigo – na

Mesopotâmia, no Egito, na Índia, na China e, sim, na Grécia. Algumas das

referências mais antigas são da Índia, no Sulbasutras, que data de algum período

durante o primeiro milênio a.C.. Nelas podemos ler que a diagonal de um retângulo “produz tanto quanto é produzido individualmente pelos dois lados”. Enunciados

parecidos são encontrados em todas as culturas antigas. [...] Assim, a evidência

sugere que o Teorema de Pitágoras era realmente conhecido por todas as culturas

matemáticas bem antes da época do próprio Pitágoras. E essas culturas sabiam

também encontrar trios de números inteiros que se “ajustariam” ao teorema. (p. 144)

A importância desse teorema é incontestável. A descoberta do mesmo trouxe grandes

contribuições à matemática. Devido a sua descoberta, novos estudos foram iniciados

provocando um “efeito dominó” de importantes realizações matemáticas que não seriam

possíveis sem a existência desse teorema.

O Teorema de Pitágoras permanece extremamente importante. Ele é um dos

resultados mais utilizados na geometria elementar, tanto teoricamente quanto na

prática. [...] Uma fórmula bem conhecida da geometria cartesiana também segue

diretamente desse teorema: a distância entre dois pontos com coordenadas e

é: √

(BERLINGOFF; GOUVÊA, 2008, p.

148).

Encontra-se em Mendes (2009) afirmações que comungam com esse pensamento:

O teorema de Pitágoras é [...] um fato memorável, visto que a partir de sua

elaboração desencadeou-se o estudo da distância, levando à criação do sistema de

coordenadas, até a elaboração da geometria analítica, o que nos conduziu ao cálculo

diferencial, provocando assim, finalmente, o aparecimento da análise, entre outros.

(MENDES, 2009, p. 72)

Muitas demonstrações desse teorema já foram feitas. Desde demonstrações simples até

demonstrações mais complexas. “E. S. Loomis, na segunda edição de seu livro, The

Pythagorean Proposition, coletou e classificou nada menos que 370 dessas demonstrações.”

(EVES, 2004, p. 104). Strathern (1998) afirma que o Teorema de Pitágoras possui mais

provas conhecidas do que qualquer outro Teorema.

A grande importância do Teorema de Pitágoras é evidente. No capítulo seguinte, serão

apresentadas algumas demonstrações desse teorema.

17

3 ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Apresentaremos a seguir três demonstrações do Teorema de Pitágoras. A primeira

demonstração é aquela que provavelmente foi feita por Pitágoras, a segunda foi dada pelo

Presidente Garfield e a terceira é uma demonstração por semelhança de triângulos.

3.1 A PROVÁVEL DEMONSTRAÇÃO DE PITÁGORAS

Segundo Strathern (1998), a demonstração apresentada a seguir é uma versão

simplificada da prova chinesa encontrada no Chou pei suan ching. Segundo Garbi (2007), o

Chou pei suan ching é um célebre livro, a primeira obra chinesa inteiramente dedicada à

Matemática e, provavelmente, é do século XII a.C.. Ainda, segundo Garbi (2007), a

demonstração apresentada a seguir pode ter sido aquela dada por Pitágoras.

Seja um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a, cujos ângulos internos

agudos são e , conforme a Figura 4.

Figura 4: Triângulo retângulo e seus ângulos


Considere um quadrado de lado (b + c) e construam-se nele quatro triângulos

retângulos iguais ao triângulo dado, conforme Figura 5.

18

Figura 5: Quadrado de lado (b + c) e triângulos


Inicialmente, mostremos que o quadrilátero de lado a também é um quadrado.

Sabemos que a soma dos ângulos internos agudos de um triângulo retângulo é igual a 90º.

Assim, + = 90º. Daí segue que cada ângulo interno do quadrilátero de lado a deve ser

reto. Portanto, o quadrilátero de lados medindo a é um quadrado.

Temos que a área do quadrado maior é (b + c)2, a do quadrado menor é a

2 e cada

triângulo tem área igual a

. Perceba que a área do quadrado de lado (b + c) é igual à soma

das áreas dos quatro triângulos retângulos de catetos b e c com a área do quadrado de lado a.

Logo,

a2 +

= (b + c)

2

a2 + 2bc = b

2 + 2bc + c

2

a2 = b

2 + c

2.

3.2 A DEMONSTRAÇÃO DO PRESIDENTE GARFIELD

A demonstração apresentada a seguir foi dada por James Abram Garfield (1831-1881)

em 1876. James A. Garfield foi o vigésimo presidente dos Estados Unidos, governando de 4

de março a 19 de setembro de 1881, quando veio a falecer. A demonstração é dada a partir de

um trapézio retângulo formado pela junção de três triângulos retângulos.

19

Seja um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a, cujos ângulos internos

agudos são e (ver Figura 6).

Figura 6: Triângulo retângulo Fonte: Elaborada pelo autor

Considere um trapézio de bases b e c e altura (b + c) e construam-se nele dois

triângulos retângulos iguais ao triângulo dado e um triângulo isósceles com dois de seus lados

iguais a a, como mostra a Figura 7.

Figura 7: Trapézio retângulo Fonte: Elaborada pelo autor

Inicialmente, mostremos que o triângulo isósceles é retângulo. Sabemos que a soma

dos ângulos internos agudos de um triângulo retângulo é igual a 90º. Assim, + = 90º.

Temos que + + = 180º. Daí, = 90º. Portanto, o triângulo isósceles com dois de seus

lados medindo a é um triângulo retângulo.

20

A área do trapézio é

, dois triângulos retângulos têm área igual a

e o outro

tem área igual a

. Perceba que a área do trapézio é igual à soma das áreas dos três triângulos

retângulos. Logo,

bc + bc + a2 = (b + c)

2

2bc + a2 = b

2 + 2bc + c

2

a2 = b

2 + c

2.

3.3 DEMONSTRAÇÃO POR SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

A próxima demonstração parte de um triângulo retângulo dividido pela altura em dois

triângulos retângulos. A partir daí, são usados os critérios de semelhança de triângulos para

mostrar que os triângulos são semelhantes e, então, chegar a demonstração do teorema.

Tracemos a altura h de um triângulo retângulo ABC com AB = c, BC = a e AC = b.

Seja H o ponto de intersecção da altura com o segmento ̅̅̅̅ . Tem-se que BH = m e HC = n,

como mostra a Figura 8.

Figura 8: Triângulo retângulo e sua altura


Vamos mostrar que os triângulos ABC, HAC e HAB são semelhantes entre si.

21

Inicialmente mostraremos que . Temos que ̂ ̂ , pois ambos

são ângulos retos e ̂ ̂ por serem coincidentes. Assim, pelo critério de semelhança

de triângulos AA (Ângulo, Ângulo), .

Agora, mostraremos que . Temos que ̂ ̂ , pois ambos são

ângulos retos e ̂ ̂ por serem coincidentes. Desse modo, pelo critério de

semelhança de triângulos AA (Ângulo, Ângulo), .

Como e , então . Pelas semelhanças de

triângulo apresentadas acima, temos

e

. Daí, c

2 = a m e b

2 = a n. Assim,

b2 + c

2 = a m + a n

b2 + c

2 = a (m + n), mas (m + n) = a, então

b2 + c

2 = a

2.

Visando mostrar ao professor de Matemática novas ferramentas educacionais para este

ensinar o Teorema de Pitágoras, serão apresentadas, no capítulo seguinte, metodologias

diferenciadas para se trabalhar esse teorema.

22

4 O TEOREMA DE PITÁGORAS: INVESTIGANDO DIFERENTES METODOLOGIAS

Este capítulo constitui-se da apresentação e investigação de diferentes metodologias

que podem orientar o professor de matemática em suas aulas. Tendo como base as pesquisas

de diferentes estudiosos, analisaremos o quanto essas metodologias podem contribuir com as

aulas de matemática de modo a torná-las mais atrativas.

4.1 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DIDÁTICA

Muitos alunos estudam o Teorema de Pitágoras e não sabem ao menos quem foi

Pitágoras, o matemático ao qual esse teorema é atribuído. Eles não conseguem ver sentido

nesse aprendizado e isso às vezes gera um desinteresse. A História da Matemática poderia

possibilitar nesse aluno uma maior identificação com o conteúdo que está sendo estudado de

modo que gerasse um interesse por parte do mesmo de entender um pouco mais esse teorema

e sua origem. Instigar a curiosidade do aluno possibilita um maior entusiasmo. A História da

Matemática permite que o aluno crie um vínculo maior com o conteúdo.

Alguns matemáticos, historiadores matemáticos e educadores matemáticos defendem a

História da Matemática como meio para motivar o ensino-aprendizagem desta disciplina.

Segundo Miguel (1997, p. 75), “os partidários desse ponto de vista acreditam que o

conhecimento histórico dos processos matemáticos despertaria o interesse do aluno pelo

conteúdo que está sendo ensinado”.

Esse novo modelo de ensino permite uma ruptura no antigo modelo de ensino

tradicional baseado apenas em fórmulas e cálculos que por muitas vezes não tem significado

algum para os alunos. Mendes (2009) afirma que:

Pode-se considerar, inicialmente, que o uso da história como um recurso pedagógico

tem como principal finalidade promover um ensino-aprendizagem da Matemática

que busque dar uma ressignificação ao conhecimento matemático produzido pela

sociedade ao longo dos tempos. Com essa prática, considero ser possível imprimir

maior motivação e criatividade cognitiva às atividades de sala de aula durante nossa

ação docente, pois esse modo de conceber o ensino da matemática pode constituir-se

em um dos agentes provocadores de ruptura na prática tradicional educativa vivida

até hoje nas aulas de matemática. (p. 76)

23

Miguel (1997) destaca 12 potencialidades pedagógicas da História da Matemática:

1. A História como sendo uma fonte de motivação para o ensino-aprendizagem da

matemática; 2. A História constituindo-se como fonte de objetivos para o ensino da

matemática;

3. A História como uma fonte de métodos adequados de ensino da matemática;

4. A História como sendo uma fonte para a seleção de problemas práticos,

curiosos, informativos e recreativos a serem incorporados nas aulas de

matemática;

5. A História como instrumento que possibilita a desmistificação da matemática e

a desalienação de seu ensino.

6. A História como instrumento de formalização de conceitos matemáticos;

7. A História como instrumento de promoção do pensamento independente e

crítico; 8. A História como instrumento unificador dos vários campos da matemática;

9. A História como instrumento promotor de atitudes e valores;

10. A História como instrumento de conscientização epistemológica;

11. A História como instrumento de aprendizagem significativa e compreensiva da

matemática;

12. A História como instrumento que possibilita o resgate da identidade cultural.

São várias as potencialidades que essa ferramenta pedagógica pode desenvolver no

aluno e são diversas as formas de se trabalhar com a mesma. Algumas dessas potencialidades

são citadas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática (BRASIL, 1998),

dentre elas, a promoção de atitudes e valores e o resgate da identidade cultural.

Segundo os PCN,

A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de

ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como

uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas,

em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e

processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para

que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse

conhecimento. Além disso, conceitos abordados em conexão com sua história

constituem veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande

valor formativo. A História da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural. (BRASIL, 1998, p. 42)

Assim sendo, essa metodologia de ensino vai além de um mero instrumento de

aprendizagem de conteúdos, mas, além disso, desenvolve atitudes e valores no aluno, onde o

mesmo passa a aceitar esse saber de maneira mais favorável, propiciando também ao mesmo,

conhecimentos culturais, sociológicos e antropológicos.

Esse recurso também permite ao educando conhecer a importância de conteúdos

matemáticos, em nosso estudo em específico, do Teorema de Pitágoras e suas contribuições

ao desenvolvimento da sociedade atual e da tecnologia, de modo que se mude a visão de

alguns alunos que não dão importância ao referido conteúdo que está sendo ensinado por não

perceber o seu real valor.

24

Ao verificar o alto nível de abstração matemática de algumas culturas antigas, o

aluno poderá compreender que o avanço tecnológico de hoje não seria possível sem a herança cultural de gerações passadas. Desse modo, será possível entender as

razões que levam alguns povos a respeitar e conviver com práticas antigas de

calcular, como o uso do ábaco, ao lado dos computadores de última geração. (BRASIL, 1998, p. 42-43)

A matemática não foi criada por uma única pessoa, ela foi se desenvolvendo ao longo

da história e diversas pessoas e civilizações com diferentes culturas deram suas contribuições

à matemática. É importante que os alunos percebam a grandeza da matemática e que todos

esses conhecimentos estão interligados e o quanto contribuíram para o desenvolvimento das

civilizações. A matemática não surgiu à toa, ela surgiu das diferentes necessidades

encontradas em determinadas épocas. As grandes descobertas matemáticas não surgiram sem

grandes matemáticos e a dedicação que os mesmos tiveram a determinados conteúdos.

Segundo Berlingoff e Gouvêa (2008),

Uma maneira de usar a história é fornecer uma visão mais ampla. É muito comum que os estudantes pensem na matemática da escola como uma coleção arbitrária de

pedaços de informação. Mas não é assim que a matemática é criada. As pessoas

agem por uma razão, e tipicamente constroem seu trabalho sobre outros anteriores

em uma vasta rede de colaboração entre gerações. A informação histórica nos

permite compartilhar essa “grande figura” com os estudantes. Também serve para

explicar por que certas ideias foram desenvolvidas. (p. 3)

É essa matemática que o professor precisa que o aluno veja que o aluno aprenda, não

apenas mais um conteúdo curricular para se usar em provas ou em processos seletivos como o

ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio).

Não servindo apenas como um meio para se ter um conhecimento histórico sobre o

conteúdo, a História da Matemática também pode servir para dar respostas a alguns porquês

levantados pelos discentes, um meio de esclarecer ideias.

Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias [sic]

matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar

respostas a alguns porquês e, desse modo, contribuir para a constituição de um olhar

mais crítico sobre os objetos de conhecimento. Assim, a própria história dos

conceitos pode sugerir caminhos de abordagem deles, bem como os objetivos que se pretendem alcançar com eles. (BRASIL, 1998, p. 43)

Mas isso não deve ser dado de forma desmotivadora e monótona, mas de forma que

desperte a atenção do aluno. O importante é os alunos não apenas memorizarem o conteúdo

25

como, às vezes, os mesmos fazem na disciplina de História, mas realmente se envolverem

com o tal. Isso é enfatizado pelos PCN que mencionam que

[...] essa abordagem não deve ser entendida simplesmente que o professor deva

situar no tempo e no espaço cada item do programa de Matemática ou contar sempre

em suas aulas trechos da história da Matemática, mas que a encare como um recurso

didático com muitas possibilidades para desenvolver diversos conceitos, sem reduzi-

la a fatos, datas e nomes a serem memorizados. (BRASIL, 1998, p. 43)

Uma forma de se alcançar esse objetivo é sempre fazer uma relação da história que

está sendo contada com a realidade do aluno, sempre regada de questionamentos que os

alunos devem tentar responder e, até mesmo, de forma divertida e engraçada. Cabe ao

professor buscar o melhor meio para se fazer isso.

Alguns autores dão sugestões de como a História da Matemática pode ser usada em

sala de aula de modo a envolver o aluno mais ativamente. Berlingoff e Gouvêa (2008)

sugerem atividades de pesquisa para que o aluno aumente a apropriação da matemática.

A história é também boa fonte para atividades escolares. Elas podem ser tão simples

como pedir aos estudantes que pesquisem a vida de um matemático, ou elaboradas

como um projeto que procure levar os alunos a reconstruir o caminho histórico que

conduziu os matemáticos à descoberta. Às vezes, podem envolver que estudantes (os

mais velhos) tentem ler fontes originais. Esses são modos de aumentar a apropriação da matemática por eles, fazendo com que fiquem ativamente envolvidos.

(BERLINGOFF; GOUVÊA, 2008, p. 4)

Essas atividades também podem ser investigatórias permitindo que o aluno participe

efetivamente na construção de seu conhecimento como sugere Mendes (2009).

[...] proponho que a história da Matemática seja encarada como o princípio

unificador das faces cotidiana, escolar e científica da Matemática, cujo ensino deve

ser praticado por meio de atividades investigatórias focadas em seu desenvolvimento

histórico. Pressupõe-se, com isso, uma reconstrução dos aspectos matemáticos a

serem abordados na sala de aula, visto que as informações históricas raramente são

utilizadas como elemento gerador da aprendizagem da Matemática, quer seja na

ação pedagógica do professor, quer seja nos livros didáticos adotados por ele.

(MENDES, 2009, p. 7)

O uso da investigação histórica no ensino da Matemática por meio de atividades

pressupõe que a participação efetiva do aluno na construção de seu conhecimento

escolar constitui-se um aspecto preponderante nesse procedimento didático, pois o

ato de ensinar/aprender ocorre nas relações interativas entre professor e alunos e

entre os alunos, que podem ser integradas na exploração de atividades

investigatórias. (MENDES, 2009, p. 9).

26

No próximo capítulo, serão sugeridas algumas atividades propostas envolvendo a

história da matemática. A seguir, veremos a importância do uso do jogo nas aulas de

matemática.

4.2 JOGOS E MATERIAL CONCRETO NA SALA DE AULA DE MATEMÁTICA

Diversos educadores defendem o uso de jogos e de material concreto na sala de aula

de matemática. Essas atividades lúdicas são consideradas bastante eficazes para o aprendizado

do aluno, visto que, assim como a História da Matemática, possibilita um novo olhar do

mesmo para essa disciplina. Através do jogo e do material concreto, o aluno passa a usar a

matemática de maneira natural e lúdica permitindo-o encará-la como algo que está presente

em seu cotidiano, não só na escola, mas em diversas situações do seu dia a dia.

Para Rêgo e Rêgo (2009),

[...] o material concreto tem fundamental importância. A partir de uma utilização

adequada do mesmo os alunos passam a ter uma nova visão do que seja Matemática,

vencendo os mitos e preconceitos negativos e superando os obstáculos surgidos

destas crenças. O ensino é complementado através de formação de ideias, imagens e

esquemas surgidos das ações executadas sobre o material e os professores de

Matemática passam a executar seu trabalho enfrentando uma menor reação do aluno,

tornando a aprendizagem mais eficaz. (p. 29)

Como a matemática é uma disciplina vista de forma negativa por uma parte dos

alunos, usar esse recurso poderia possibilitar uma melhor assimilação do conteúdo e uma

quebra de conceitos pré-concebidos pelos mesmos, mostrando-os que a matemática também

pode ser divertida.

Por meio da utilização do material concreto, o professor pode fazer demonstrações

visuais de alguns teoremas de modo a permitir um melhor entendimento da validade dos

mesmos. Esse tipo de atividade conduz a uma maior interação entre os alunos, onde os

mesmos podem discutir seus pontos de vista sobre a atividade apresentada e levantar

hipóteses.

Não se pode excluir o caráter abstrato da matemática, mas sempre que possível, é

interessante tornar o conteúdo o mais concreto possível. O ideal seria partir do concreto para

se chegar ao abstrato, visto que ambas as dimensões matemáticas – a dimensão abstrata e a

dimensão concreta – são essenciais para o aluno. A manipulação de materiais por parte desses

27

alunos possibilita a utilização da matemática de forma mais concreta. Alguns alunos só

acreditam no que veem e essa seria uma alternativa para não excluí-los desse aprendizado.

Para Rêgo e Rêgo (2009, p. 28), “através de experiências realizadas com material

concreto, o aluno desenvolve o gosto pelo prazer da descoberta, para enfrentar desafios e de

vencê-los, desenvolvendo hábitos e costumes que o conduzirão mais tarde a ser um indivíduo

autônomo e capacitado a agir”.

Assim como o material concreto, os jogos educativos também têm considerável valor

pedagógico. Para Emerique (1991 apud, RÊGO; RÊGO, 2009),

(o) jogo é ordem e cria ordem, pois aponta para os limites a serem aceitos e superados; pode diminuir resistências, pois rompe com a rigidez, com o

autoritarismo, o controle e o mando, democratizando as relações; não se confunde

com fetiches metodológicos, fórmulas mágicas ou modismo; exige uma postura

consciente e uma abertura para o risco, a ambivalência e o incerto; ao mesmo tempo,

pode tornar real o prazer da descoberta, o encantamento que seduz, a entrega ao

novo. (p. 27)

O jogo permite uma visão diferenciada da matemática. Ela deixa de ser vista apenas

como aquela disciplina abstrata que – pensam alguns alunos – nunca se pode aplicar à

realidade. Os alunos reagiriam de forma mais positiva e se interessariam mais pelo conteúdo.

O jogo em si atrai parte dos alunos. Alguns amam jogos e isso faz parte de sua realidade.

Alguns jogam todos os dias, competem com os amigos, sabem todas as regras de cor e estão

sempre em busca de novas estratégias para vencer seus adversários. A substituição que

precisa ocorrer no jogo matemático, é que as regras desse jogo precisam envolver matemática,

possibilitar um aprendizado significativo, mas não pode, de modo algum, perder seu caráter

lúdico e deixar de ser atrativo. Se as regras do jogo forem matemáticas e se os alunos

realmente de interessarem por esse jogo, eles irão aprendê-las e, se essas regras envolveram

matemática, então os mesmos não estarão apenas aprendendo regras de um jogo, eles estarão

aprendendo um conhecimento significativo, estarão aprendendo matemática.

Todo jogo por natureza desafia, encanta, traz movimento, barulho e uma certa

alegria para o espaço no qual normalmente entram apenas o livro, o caderno e o

lápis. Essa dimensão não pode ser perdida apenas porque os jogos envolvem

conceitos de matemática. Ao contrário, ela é determinante para que os alunos

sintam-se chamados a participar das atividades com interesse. (SMOLE et al., 2008,

p. 10)

Com o jogo, o aluno vai aprendendo matemática à medida que vai jogando e seus

erros não são vistos tão negativamente pelo mesmo como ocorre quando ele está fazendo o

28

exercício e erra a resposta de uma questão. Ele vai errando e corrigindo seu erro em seguida

sem ao menos perceber. Conceitos e ideias vão sendo adquiridos na medida em que o aluno

vai transformando seus erros em aprendizado. Segundo os PCN,

Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem

que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na

elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções. Propiciam a simulação

de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o

planejamento das ações; possibilitam a construção de uma atitude positiva perante

os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas

de forma natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas. (BRASIL,

1998, p. 46)

Quando o aluno perde a partida de um jogo, ele não se dá por vencido, ele quer jogar

de novo, quer revanche, quer vencer. Se o jogo for capaz de desenvolver essa atitude no

aluno, ele poderá corrigir possíveis erros que o levaram a perda, erros matemáticos, perceber

que não tem problema errar desde que esses erros sejam corrigidos posteriormente. Para isso,

o jogo precisa ser bem planejado e o professor deve orientar o aluno eficazmente de modo que

ele o entenda e aprenda a jogá-lo. Segundo Smole et al. (2008),

Em se tratando de aulas de matemática, o uso de jogos implica uma mudança

significativa nos processos de ensino e aprendizagem que permite alterar o modelo tradicional de ensino, que muitas vezes tem no livro e em exercícios padronizados

seu principal recurso didático. O trabalho com jogos nas aulas de matemática,

quando bem planejado e orientado, auxilia o desenvolvimento de habilidades como

observação, análise, levantamento de hipóteses, busca de suposições, reflexão,

tomada de decisão, argumentação e organização, as quais são estreitamente

relacionadas ao assim chamado raciocínio lógico.

[...] ao jogar, os alunos têm a oportunidade de resolver problemas, investigar e

descobrir a melhor jogada; refletir e analisar as regras, estabelecendo relações entre

os elementos do jogo e os conceitos matemáticos. Podemos dizer que o jogo

possibilita uma situação de prazer e aprendizagem significativa nas aulas de

matemática. (p. 9)

O jogo nem sempre foi bem aceito nas escolas, até mesmo nos dias atuais alguns

professores não conseguem ver o jogo como uma ferramenta de aprendizado devido ao seu

caráter lúdico. O jogo, às vezes, é visto apenas como ferramenta de diversão, entretenimento.

Smole et al. (2008, p. 10) afirma que “[...] o jogo na escola foi muitas vezes negligenciado por

ser visto como uma atividade de descanso ou apenas como um passatempo”. Se o jogo não for

bem planejado, ele realmente pode se tornar apenas um passatempo divertido e é por isso que

o jogo escolhido e o planejamento feito pelo professor são fundamentais para que esse jogo

seja uma ferramenta que transmita conceitos matemáticos aos seus alunos e que não sirva

29

apenas como um jogo divertido sem nenhum objetivo de aprendizado, apenas tomando o

tempo precioso da aula.

Mas é importante que esses docentes não apenas joguem o jogo em uma aula, esse

jogo precisa ser atrativo a ponto de os alunos jogarem com seus amigos, torná-lo um jogo

como os outros que eles estão acostumados a jogar. Esse conhecimento matemático só será

adquirido efetivamente se o aluno continuar jogando o jogo, torná-lo parte de seu dia a dia,

não esquecê-lo.

4.3 O SOFTWARE GEOGEBRA COMO FERRAMENTA DE ENSINO

O desenvolvimento da tecnologia é algo notável nos dias atuais. Ao longo dos anos, a

humanidade evoluiu e cada vez mais foram surgindo novas tecnologias para facilitar as nossas

vidas. O tempo inteiro, vemos notícias de novos aparelhos tecnológicos que estão surgindo e

softwares com diferentes finalidades. Aplicativos são desenvolvidos a todo o momento para

smartphones e tablets. A nova geração de alunos está habituada a esta tecnologia e convive

com isso, até mesmo os professores convivem com esse desenvolvimento tecnológico.

Grandes lojas de aplicativos como a App Store e o Google Play hospedam um grande número

de aplicativos. Segundo dados divulgados em janeiro deste ano e publicados em uma

reportagem do site Olhar Digital, a App Store hospeda 1,21 milhão de aplicativos e o Google

Play hospeda 1,43 milhão. Vários desses aplicativos são gratuitos e alguns deles são

educacionais. Na internet, também podemos encontrar vários softwares para download

gratuito para serem instalados no computador. Esse avanço tecnológico trouxe várias

possibilidades de novas ferramentas educacionais para auxiliar o professor em sala de aula.

Mas mesmo os PCN de 1998 tendo enfatizado a importância do uso de recursos tecnológicos

em sala de aula, alguns professores parecem ainda estar alheios a essas tecnologias, mesmo a

escola em que lecionam possuindo computadores, data shows e outras ferramentas. Segundo

os PCN (BRASIL, 1998),

As tecnologias, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais

agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que exercem nos meios de produção e por suas conseqüências [sic] no cotidiano das pessoas. Estudiosos do

tema mostram que escrita, leitura, visão, audição, criação e aprendizagem são

influenciados, cada vez mais, pelos recursos da informática. Nesse cenário, insere-se

mais um desafio para a escola, ou seja, o de como incorporar ao seu trabalho,

30

tradicionalmente apoiado na oralidade e na escrita, novas formas de comunicar e

conhecer. (p. 43)

Dezessete anos se passaram desde a publicação desses PCN, a tecnologia se

desenvolveu cada vez mais e novas ferramentas facilitadoras do aprendizado surgiram. Mas,

mesmo assim, alguns professores ainda permanecem dando suas aulas apoiadas

exclusivamente na oralidade e na escrita. Simplesmente não levaram em conta essa orientação

dos PCN. Alguns deles usam softwares e outras ferramentas para auxiliá-los em suas

atividades diárias, mas esquecem deles quando vão planejar suas aulas. Elas parecem aquelas

mesmas aulas de anos atrás quando o acesso a esses recursos era limitado. O desenvolvimento

tecnológico só é percebido em sala de aula devido aos smartphones que alguns alunos

possuem.

O computador pode auxiliar o professor de diferentes formas. No que se refere às

aulas de Matemática, os computadores podem ser usados com várias finalidades.

[...] como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de

ensino e aprendizagem; como auxiliar no processo de construção de

conhecimento; como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares

que possibilitem pensar, refletir e criar soluções; como ferramenta para realizar

determinadas atividades - uso de planilhas eletrônicas, processadores de texto,

banco de dados etc. (BRASIL, 1998, p. 44)

Mas, não basta inserir recursos tecnológicos em suas aulas, o professor deve planejá-

las de modo que não sejam apenas aulas inovadoras, mas aulas inovadoras que contribuirão

para o aprendizado do aluno. No caso do uso de softwares, os PCN (BRASIL, 1998, p. 44)

recomendam que os mesmos devem ser bem escolhidos, pois “o bom uso que se possa fazer

do computador na sala de aula também depende da escolha de softwares, em função dos

objetivos que se pretende atingir e da concepção de conhecimento e de aprendizagem que

orienta o processo”.

Diferentes conteúdos matemáticos poderão ser ensinados com auxílio de softwares,

nossa atenção estará voltada ao aprendizado do Teorema de Pitágoras com o auxílio desse

recurso. Segundo os PCN (BRASIL, 1998),

Em Matemática existem recursos que funcionam como ferramentas de visualização,

ou seja, imagens que por si mesmas permitem compreensão ou demonstração de

uma relação, regularidade ou propriedade. Um exemplo bastante conhecido é a representação do teorema de Pitágoras, mediante figuras que permitem “ver” a

relação entre o quadrado da hipotenusa e a soma dos quadrados dos catetos. (p. 45)

31

Com base nisso, abordar-se-á a importância do software GeoGebra como uma

excelente ferramenta para a visualização da relação entre o quadrado da hipotenusa e a soma

dos quadrados dos catetos no Teorema de Pitágoras. Segundo o próprio site do software,

www.geogebra.org, “O GeoGebra é um software de matemática dinâmica para todos os níveis

de ensino que reúne Geometria, Álgebra, Planilha de Cálculo, Gráficos, Probabilidade,

Estatística e Cálculos Simbólicos em um único pacote fácil de se usar”. O GeoGebra é

disponibilizado gratuitamente para usuários não comerciais no site

www.geogebra.org/download. Além do próprio software, pode-se fazer nesse site o download

de diversos materiais gratuitos. O software está disponível para tablets, desktops e para

smartphones com o sistema operacional Android.

O software GeoGebra possibilita ao professor de matemática trabalhar de forma mais

dinâmica o conteúdo matemático, principalmente, de Geometria, uma vez que permite aos

alunos visualizar as figuras e testar determinadas propriedades de maneira mais eficaz e de

forma mais precisa do que seria se fossem mostradas com outras ferramentas. Além disso,

alguns professores não são bons em desenhar determinadas figuras e o mesmo acontece com

alguns alunos. Portanto, o GeoGebra se configura como uma poderosa ferramenta facilitadora

do trabalho do professor e aprendizagem dos alunos.

Ao desenvolver atividades com o auxílio do GeoGebra, por exemplo, é possível

construir figuras, avaliar se suas propriedades estão sendo verificadas, fazer

conjecturas e justificar os seus raciocínios. As figuras podem ser arrastadas na tela do computador sem perder os vínculos estabelecidos na construção. Além disso, é

possível realizar construções que com lápis, papel, régua e compasso seriam difíceis,

ou no mínimo gerariam imprecisões. (LOVIS; FRANCO, 2013, p. 153)

Com o GeoGebra, o professor de matemática dispõe de diversas ferramentas e

possibilidades para se trabalhar com figuras geométricas como o triângulo retângulo. Ele

poderá desenvolver atividades de acordo com as dificuldades apresentadas pelos seus alunos

ou de acordo com o que ele mais quer que seu aluno aprenda dentro daquele conteúdo que

está sendo estudado. Como já mencionado, o software GeoGebra está disponível em diversas

plataformas tecnológicas, o que torna o seu acesso bem mais fácil a todos os alunos.

32

5 ATIVIDADES PROPOSTAS

Neste capítulo serão apresentadas algumas atividades propostas com o objetivo de

oferecer ao professor subsídios para a aplicação de atividades com as metodologias

apresentadas anteriormente. As atividades podem ser aperfeiçoadas pelo professor de acordo

com as necessidades de sua turma. A partir dessas atividades, o professor pode desenvolver

outras com jogos, material concreto, História da Matemática e o software GeoGebra.

5.1 CORRIDA PITAGÓRICA

A atividade a seguir foi feita tendo como base uma atividade apresentada em Rêgo e

Rêgo (2009, p. 82) sendo feitas apenas pequenas alterações.

5.1.1 Apresentação

Este é um jogo de tabuleiro que pode ser jogado por vários participantes. Para seu

desenvolvimento, é necessário que os alunos já saibam o Teorema de Pitágoras. O jogo pode

ser aplicado em sala de aula ou no laboratório de Matemática.

5.1.2 Objetivos

Desenvolver o raciocínio, fixar os conceitos e aplicações do Teorema de Pitágoras e

fazer estimativa.

5.1.3 Indicação

Este jogo é indicado para alunos a partir do 9º ano do Ensino Fundamental, visto que,

esse conteúdo é estudado nesse ano.

33

5.1.4 Material

O material necessário para esse jogo é um tabuleiro como o mostrado na figura abaixo

que pode ser confeccionado em cartolina ou madeira; marcadores de diferentes cores, sendo

que cada jogador deve ficar com uma cor diferente; dois dados comuns e cartões com

questões relacionadas ao Teorema de Pitágoras. Observação: na Figura 9, os nomes indicam

apenas quais cores devem ser as cores dos círculos, não precisando ser colocados no tabuleiro.

A quantidade de casas de cada cor no tabuleiro, bem como sua ordem pode variar, não

precisando ser necessariamente as mesmas da ilustração.

Figura 9: Jogo Corrida Pitagórica


5.1.5 Desenvolvimento do Jogo

O círculo preto é o ponto de partida e chegada da “corrida pitagórica”, por isso, os

jogadores devem colocar seus marcadores nesse círculo. Os cartões de questões são

empilhados, com a face voltada para baixo, ao lado do tabuleiro.

Na sua vez de jogar, cada participante lança os dois dados. Os números obtidos

representarão as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. O jogador moverá seu

34

marcador, o número de círculos correspondentes à parte inteira da medida da respectiva

hipotenusa. Por exemplo: se os números sorteados foram 3 e 6, a hipotenusa seria dada por:

√ , isto é, √ 6,71. Logo, o jogador avançaria 6 círculos do tabuleiro. Se o jogador

cair em um círculo verde, adianta mais dois; em um vermelho, volta dois círculos; em um

círculo amarelo, lança um dado e volta o número de círculos correspondente ao valor obtido

com o lançamento e em um azul, sorteia uma questão. Acertando a resposta, lança um dado e

avança o número de círculos correspondente ao valor sorteado. Se errar, permanece onde está

até a próxima rodada. Vence o jogo quem primeiro chegar de volta ao círculo preto (pode-se,

como variação, aumentar o número de voltas em torno do tabuleiro).

5.1.6 Sugestões para os Cartões de Questões

Os cartões podem conter questões que envolvam apenas cálculos mais diretos, mas é

interessante incluir questões de caráter conceitual e histórico. Desse modo, essa atividade

pode associar o jogo e a História da Matemática.

O Teorema de Pitágoras se aplica a que

tipo de triângulos?

Verdadeiro ou falso?

Pitágoras viveu por volta do ano 500 a.C.

Um triângulo retângulo pode ter um ângulo

interno obtuso?

Enuncie o Teorema de Pitágoras.

A diagonal de um quadrado mede 5 cm,

quanto medem seus lados?

Os números 16, 20 e 25 podem ser

medidas dos lados de um triângulo

retângulo?

35

O aluno pode usar lápis e papel ou calculadora para responder as questões. Outras

questões relativas ao Teorema de Pitágoras podem ser elaboradas pelo professor ou, até

mesmo, pelos alunos, ou ainda retiradas do livro texto.

5.2 TRILHA PITAGÓRICA



desenvolvimento, é necessário que os alunos já saibam o Teorema de Pitágoras e saibam

Um triângulo isósceles pode ter um ângulo

reto?

Os catetos de um triângulo retângulo

medem 7 e 9 unidades. Quanto medirá,

aproximadamente, sua hipotenusa?

Quanto mede a diagonal de um retângulo

cujos lados medem 5 e 12 cm?

Qual o valor da soma dos ângulos agudos

de um triângulo retângulo?

Nome dado ao lado oposto ao ângulo reto

em um triângulo retângulo.

Nome dado aos dois lados que formam o

ângulo reto de um triângulo retângulo.

Um triângulo retângulo pode ser

equilátero?

Qual o valor dos ângulos agudos de um

triângulo retângulo se um for o triplo do

outro?

36

calcular a área de um triângulo. O jogo pode ser aplicado em sala de aula ou no laboratório de

Matemática.

5.2.2 Objetivos

Desenvolver o raciocínio, fixar os conceitos e aplicações do Teorema de Pitágoras,

fazer estimativa e calcular a área de triângulos.

5.2.3 Indicação



5.2.4 Material

O material necessário para esse jogo é um tabuleiro como o mostrado na figura abaixo

que pode ser confeccionado em cartolina ou madeira; marcadores de diferentes cores, sendo

que cada jogador deve ficar com uma cor diferente; um dado comum e cartões com questões

relacionadas ao Teorema de Pitágoras.

Figura 10: Jogo Trilha Pitagórica


37

5.2.5 Desenvolvimento do jogo

Cada jogador coloca seu marcador junto ao triângulo com a palavra “saída” (ponto de

partida da “trilha pitagórica”). Os cartões de questões são empilhados, com a face voltada

para baixo, ao lado do tabuleiro.

Na sua vez de jogar, cada participante lança um dado. O número obtido será o número

de triângulos retângulos que o jogador deverá percorrer com seu marcador. Por exemplo: se o

jogador estiver na “saída” e o número obtido com o lançamento do dado for o número 6, o

jogador deverá avançar seis triângulos e colocar o seu marcador no triângulo 6. Logo em

seguida, o jogador deverá dizer as medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo

retângulo cuja área seja igual ao número do triângulo em que ele caiu. Por exemplo: Se ele

cair no triângulo 6, deverá dizer as medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo

retângulo cuja área seja 6. A unidade de medida da área fica a critério do professor. Se outro

jogador também cair nesse mesmo triângulo, deverá dizer valores distintos. Caso não consiga

responder ou, aparentemente, as opções já tenham se esgotado, ele sorteia uma questão. Se

acertar, permanece onde está até a próxima rodada, caso contrário, ele lança um dado e volta o

número de triângulos correspondente ao valor sorteado. Vence o jogo quem primeiro chegar

ao triângulo com a palavra “chegada”.


Os cartões podem conter questões com cálculos mais diretos envolvendo o Teorema

de Pitágoras, problemas contextualizados e outras de caráter histórico ou conceitual. As

questões de caráter histórico possibilitam a utilização de duas metodologias ao mesmo tempo.

Como se chamava a irmandade criada por

Pitágoras?

Verdadeiro ou Falso?

Pitágoras era um matemático egípcio.

38

O aluno pode usar lápis e papel ou calculadora para responder as questões. Outras

questões relativas ao Teorema de Pitágoras podem ser elaboradas pelo professor ou, até

mesmo, pelos alunos, ou ainda retiradas do livro texto.

5.3 ROLETA PITAGÓRICA



desenvolvimento, é necessário que os alunos já saibam o Teorema de Pitágoras. O jogo pode

ser aplicado em sala de aula ou no laboratório de Matemática.

5.3.2 Objetivos

Desenvolver o raciocínio, fixar os conceitos e aplicações do Teorema de Pitágoras e

fazer estimativa.


O símbolo da Escola Pitagórica era o

pentagrama.


O Teorema de Pitágoras não se aplica a

alguns triângulos retângulos.

Como eram chamados os membros da

Escola Pitagórica?

Quanto mede aproximadamente a diagonal

de um quadrado cujos lados medem 6 cm?

Um garoto está em frente a um prédio. A

distância entre ele e a base do prédio é de 8

metros e a distância de seu pé ao topo do

prédio é de 17 metros. Qual é a altura desse

prédio?

Quanto mede a diagonal de um retângulo

cujos lados medem 3 e 5 cm?

39

5.3.3 Indicação



5.3.4 Material

Uma roleta como a da figura abaixo e cartões com questões relacionadas ao Teorema

de Pitágoras. Observação: na Figura 11, os nomes indicam apenas quais cores devem ser as

cores dos setores circulares, não precisando ser colocados no tabuleiro. As cores da roleta

podem variar, não precisando ser necessariamente as mesmas da ilustração.

Figura 11: Jogo Roleta Pitagórica


40

5.3.5 Desenvolvimento do jogo

5.3.5.1 Sugestão I

A turma será dividida em dois grupos ou mais dependendo do número de alunos.

Serão empilhados no birô, com a face voltada para baixo, cartões de questões com cores

correspondentes às cores da roleta.

Os grupos terão o mesmo número de chances de girar a roleta. Um participante de

cada grupo, na sua vez, girará a roleta. Quando a roleta parar em uma das cores, os

componentes daquele grupo escolherão uma questão de um dos cartões daquela cor para

responder. Exemplo: se a roleta parar na cor azul, o participante escolherá um cartão de cor

azul e terá que responder a pergunta que está nele com a ajuda de seu grupo. Se acertar, o

grupo ganha um ponto; se errar, o grupo adversário é que ganha um ponto.

O grupo vencedor será aquele que tiver o maior número de pontos ao final do jogo. O

número de jogadas fica a critério do professor.

5.3.5.2 Sugestão II

A turma será dividida em oito grupos. Cada grupo será representado por uma das cores

da roleta, o que pode ser decidido por meio de sorteio. Serão empilhados no birô, com a face

voltada para baixo, cartões de questões com cores correspondentes às cores da roleta.



componentes do grupo correspondente àquela cor escolherão uma questão de um dos cartões

daquela cor para responder. Exemplo: se a roleta parar na cor verde, um participante do grupo

da cor verde escolherá um cartão dessa mesma cor e terá que responder a pergunta que está

nele com a ajuda do seu grupo. Se acertar, o grupo ganha um ponto; se errar, o grupo

adversário que girou a roleta terá a chance de responder a pergunta. Se o grupo acertar, ganha

um ponto; se errar, o próximo grupo gira a roleta.


número de pontos será obtido ao se fazer a razão entre o número de perguntas que o grupo

respondeu e o número de acertos. O número de jogadas fica a critério do professor.

41

5.3.5.3 Sugestão III

A turma será dividida em oito grupos. Cada grupo será representado por uma das cores

da roleta, o que pode ser decidido por meio de sorteio. Serão empilhados no birô, com a face

voltada para baixo, cartões de questões com cores correspondentes às cores da roleta.



componentes daquele grupo escolherão uma questão de um dos cartões daquela cor para

responder. Exemplo: se a roleta parar na cor vermelha, o participante escolherá um cartão de

cor vermelha e terá que responder a pergunta que está nele com a ajuda de seu grupo. Se

acertar, o grupo ganha um ponto; se errar, o grupo adversário com a cor correspondente

àquela sorteada pela roleta terá a chance de responder à pergunta. Se o grupo acertar, ganha

um ponto; se errar, o próximo grupo gira a roleta. Caso a cor sorteada corresponda à cor do

grupo que girou a roleta, eles terão uma segunda chance de responder. Se acertar, ganha um

ponto; se errar, o próximo grupo gira a roleta.


número de jogadas fica a critério do professor.


Podem ser usados os mesmos cartões de questões dos jogos anteriores.

5.4 TRANSPOSIÇÃO DE TRIÂNGULOS

Recorte em uma cartolina quatro triângulos retângulos idênticos. Suponha que esses

triângulos têm catetos b e c e hipotenusa a. Em seguida, desenhe em uma cartolina um

quadrado de lados medindo (b + c). Coloque sobre o quadrado os triângulos que você recortou

(ver Figura 12).

42

Figura 12: Triângulos sobre o quadrado I


O objetivo é que os alunos percebam que a figura de lado a é um quadrado, o que

implicaria sua área ser igual a a2.

Reorganize os quadrados, como na Figura 13.

Figura 13: Triângulos sobre o quadrado II


Agora, o aluno deve perceber que a área antes correspondente a um quadrado de lado

a, corresponde agora a dois quadrados, um de lado c e outro de lado b. Ou seja, a área que

antes era a2, agora é b

2 + c

2. Isto é, a

2 = b

2 + c

2.

5.5 QUEBRA-CABEÇA PITAGÓRICO

Desenhe em uma cartolina um triângulo retângulo com quadrados sobre os seus lados

(ver figura 14).

43

Figura 14: Triângulo retângulo com quadrados sobre os seus lados


Construa em cartolina dois quadrados iguais aos quadrados ACHI e ABGF. Agora,

recorte a cópia do quadrado ACHI em quatro partes do seguinte modo:

1) Seja J o centro do quadrado ACHI, trace o segmento ̅̅ ̅̅ paralelo a ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ ̅ paralelo

a ̅̅ ̅̅ ;

2) O quadrado ACHI agora está dividido em quatro partes.

3) Recorte as quatro partes. Agora temos um quebra-cabeça formado pelas quatro partes

do quadrado ACHI e pelo quadrado ABGF que é a quinta peça.

Coloque as peças em cima da cartolina com o desenho, como mostra a Figura 15.

Figura 15: Quebra-cabeça Pitagórico I


44

Agora, reorganize as cinco peças no quadrado BDEC e perceba que elas se encaixam

perfeitamente.

Figura 16: Quebra-cabeça Pitagórico II


Assim, o aluno deve concluir que a área do quadrado maior é igual a somas das áreas

dos quadrados menores. Isto é, a2 = b

2 + c

2.

5.6 O QUADRADO E OS QUATRO TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

Recorte em uma cartolina quatro triângulos retângulos iguais de catetos b e c e

hipotenusa a, e um quadrado de lado (b c), como está ilustrado na Figura 17.

45

Figura 17: Quatro triângulos retângulos e um quadrado


Agora, organize os triângulos e o quadrado, como na figura abaixo. Note que as

figuras se encaixam perfeitamente dando origem a um quadrado de lado a. Isso ocorre porque

o quadrado menor tem lado (b c).

Figura 18: Quadrado formado pela junção das peças I


Perceba que o polígono formado pela junção das figuras é um quadrado de lado a, isto

é, sua área é a2. Em seguida, reorganize as peças, como mostrado na figura abaixo.

Figura 19: Quadrado formado pela junção das peças II


46

Veja que a área antes correspondente a área de um quadrado de lado a, agora

corresponde a soma da área de um quadrado de lado b com a área de um quadrado de lado c.

Assim, a área que antes era a2, agora é (b

2 + c

2). Isto é, a

2 = b

2 + c

2.

5.7 CONSTRUINDO UM TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC NO GEOGEBRA

Siga os passos a seguir para criar um triângulo retângulo ABC de catetos b e c e

hipotenusa a no software GeoGebra.

1) Selecione a ferramenta “Polígono” e clique na intersecção do eixo x com o eixo

y dando origem ao ponto A;

2) Para construir o ponto B, clique no eixo das abscissas;

3) Clique no eixo das ordenadas para construir o ponto C e, em seguida, clique no ponto

A para fechar o triângulo. Após a realização dos passos acima, um triângulo retângulo

ABC estará formado, como na figura abaixo, e o ponto B se movimentará apenas no

eixo das abscissas e o ponto C, apenas no eixo das ordenadas.

Figura 20: Triângulo retângulo ABC no software GeoGebra Fonte: Elaborada pelo autor

47

Após isso, siga os passos a seguir para concluir nossa atividade.

1) Clique na ferramenta “ângulo” para determinar a amplitude dos ângulos internos

do triângulo;

2) Clique em “Mover” e depois clique em “Exibir ou esconder os eixos”

para esconder os eixos cartesianos;

3) Dê um clique em “Mover” e arraste os vértices do triângulo observando que ele

permanecerá sendo um triângulo retângulo;

4) Perceba na janela de álgebra que “b” e “c” são as medidas dos catetos e “a” é a medida

da hipotenusa. Na caixa de entrada, digite “a^2” e tecle “enter”.

Na janela de álgebra aparecerá um valor “d” com d = a2 e, em seguida, digite “b^2 +

c^2” e tecle “enter”. Na janela de álgebra aparecerá um valor “e”

com e = b2 + c

2;

5) Movimente o triângulo e perceba que os valores “d” e “e” vão ser sempre iguais, ou

seja, a2 = b

2 + c

2 sempre ocorre.

Figura 21: Triângulo retângulo ABC e seus ângulos no GeoGebra


48

5.8 CONSTRUINDO QUADRADOS SOBRE OS LADOS DO TRIÂNGULO

RETÂNGULO

Para a realização dessa atividade, siga todos os passos da atividade anterior. Em

seguida,

1) Clique na ferramenta “polígono regular” ;

2) Clique no ponto B e depois no ponto A. Aparecerá uma janela “Polígono regular”,

então, digite 4 e dê “OK”;

3) Clique no ponto A e depois no ponto C. Aparecerá novamente a janela “Polígono

regular”, então, digite 4 e dê “OK”;

4) Agora, clique no ponto C e depois no ponto B. Aparecerá novamente a janela

“Polígono regular”, então, novamente digite 4 e dê “OK”;

5) Após isso, os três quadrados estarão feitos. Selecione a ferramenta “Área” e

clique nos três quadrados. As áreas deles aparecerão. Some as áreas dos quadrados

menores e compare com a área do quadrado maior. Perceba que a área do quadrado

maior é igual à soma das áreas dos quadrados menores.

6) Clique em “Mover” e movimente o triângulo. Note que a área do quadrado

maior é sempre igual à soma das áreas dos quadrados menores.

49

Figura 22: Triângulo retângulo ABC e quadrados no software GeoGebra


Observação: O software mostra um valor aproximado da área com duas casas decimais

podendo ocorrer uma diferença de décimos entre a área do quadrado maior e a soma das áreas

dos quadrados menores devido a essa aproximação.

5.9 PESQUISA E DISCUSSÃO SOBRE PITÁGORAS E A ESCOLA PITAGÓRICA

Em grupos de 3 ou mais, dependendo do número de alunos na turma, os alunos irão

fazer uma pesquisa sobre Pitágoras e a Escola Pitagórica e todo o misticismo em que esse

matemático foi envolvido. Em seguida, os grupos discutirão em sala o que pesquisaram e

quais informações mais lhes atraíram. Eles podem ser questionados com algumas perguntas

como:

1) Quem foi Pitágoras? Vocês acham que ele realmente existiu?

2) Qual a importância do Teorema de Pitágoras para a matemática?

3) Para vocês, o que era a Escola Pitagórica? Vocês acham que lá era um lugar de

estudos ou uma espécie de templo religioso?

4) Quais as crenças de Pitágoras que vocês consideram mais excêntricas?

5) Vocês encontraram alguma outra importante descoberta da Escola Pitagórica?

50

5.10 PESQUISA E DISCUSSÃO SOBRE O TEOREMA DE PITÁGORAS

Os alunos devem pesquisar em grupo ou individualmente sobre o Teorema de

Pitágoras. Eles devem pesquisar sobre a origem do mesmo e sobre os registros históricos onde

o teorema pode ser encontrado anos antes de Pitágoras. Em seguida, os grupos discutirão em

sala o que pesquisaram e quais informações mais lhes atraíram. Eles podem ser questionados

com algumas perguntas como:

1) Pitágoras realmente descobriu o “Teorema de Pitágoras”? Se não foi Pitágoras, quem

foi que descobriu esse teorema?

2) Por que vocês acham que esse teorema foi atribuído a ele?

3) Vocês acham que o teorema devia realmente ser chamado de Teorema de Pitágoras ou

deviam chamá-lo de outro modo?

As atividades que foram apresentadas neste capítulo servem com modelo para o

professor aplicá-las em sala de aula. Outras atividades semelhantes podem ser criadas pelo

professor com base no assunto que o mesmo está lecionando.

51

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A história de Pitágoras, do teorema, da Escola Pitagórica e dos pitagóricos é bastante

interessante e certamente conseguirá prender a atenção do aluno. Conhecer quem foi esse

grande matemático e o quanto religiosidade e matemática se misturavam em sua escola é

deveras curioso. Saber como os pitagóricos descobriram esse teorema e que ele já havia sido

estudado pelos babilônios concede um aprendizado considerável.

Os recursos aqui apresentados são alguns dos meios para se alcançar determinados

objetivos esperados pelo professor. Cabe a ele decidir quais métodos usará para motivar o

aluno e propiciá-lo um real aprendizado. Com a motivação devida, o aprendiz se sentirá

curioso e buscará saber mais sobre esse conteúdo de tal forma que se envolva com o mesmo e

se identifique.

As metodologias aqui apresentadas se utilizadas corretamente, poderão possibilitar

aulas diferenciadas e atrativas para os alunos. Essas metodologias servirão de acréscimo às

aulas tradicionais, não como ferramentas de substituição. Enfim, a história do Teorema de

Pitágoras tornará a aula mais atrativa e diferenciada, uma aula de matemática onde não se

aprende apenas fórmulas matemáticas, onde não se veem apenas números e figuras

geométricas, mas uma aula onde se aprende como esse conteúdo surgiu e o seu grande valor

matemático e cultural. Os jogos permitem um maior contato do aluno com o conteúdo em seu

dia a dia e uma forma eficaz de assimilação do mesmo por meio de erros e acertos, adquirindo

conceitos matemáticos de forma divertida. O material concreto possibilita uma maior

aproximação do aluno com o conteúdo. E o software GeoGebra permite uma visualização do

Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo construído pelos próprios alunos, permitindo-

lhes uma maior proximidade do conteúdo e a aquisição de conhecimentos tanto do software

quanto do conteúdo estudado.

Todas as atividades desenvolvidas através do uso desses recursos metodológicos são

eficazes se bem desenvolvidas, pois tornarão a aula mais divertida e possibilitarão um maior

contato por parte do aluno com o Teorema de Pitágoras. Essa proximidade permite que o

mesmo tenha a chance de ter uma afinidade maior com o conteúdo e veja sua grande

importância. Essa aprendizagem ativa pode trazer ótimos resultados, pois se o aluno

realmente se envolver, ele estará colocando em prática seu aprendizado que está sendo

construído pelo mesmo com o auxílio do professor o que amenizará a chance de esse aluno

esquecê-lo posteriormente.

52

Com a realização de propostas como as apresentadas, aos poucos os alunos irão perder

essa aversão à matemática ou, pelo menos, passarão a encará-la de uma forma mais positiva.

Essas metodologias também podem ser aplicadas a outros conteúdos. Cabe ao professor

refletir sobre a sua prática e, com base no desenvolvimento de sua turma, decidir se deve ou

não fazer uso dessas metodologias.

São várias as possibilidades de inovar o ensino de matemática e tornar a aula mais

atrativa quer seja para aqueles alunos que amam a matemática ou para aqueles que a odeiam.

Ao perceber um desinteresse por parte dos alunos, o professor deve tentar fazer uma mudança

em sua metodologia e se aperfeiçoar a cada dia. Talvez, assim, aos poucos, ele consiga atrair a

atenção desses alunos e alcançar seus objetivos. Mesmo que inicialmente os alunos

demonstrem rejeição a uma nova metodologia, o professor deve continuar tentando e nunca

desistir; não deve esquecer o seu papel como educador. Se o professor quer uma mudança em

uma turma que leciona, a mudança deve começar a partir dele.

53

REFERÊNCIAS

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TEMPOS: Um guia fácil e prático para professores e entusiastas. São Paulo: Edgard Blücher,

2008. Tradução de: Elza F. Gomide, Helena Castro.

BOYER, Carl B.. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

Tradução de: Elza F. Gomide.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação

Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental):

Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP: Editora da Unicamp,

2004. Tradução de: Higyno H. Domingues.

GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pelo maravilhoso

mundo da Matemática. 2. ed. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007.

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Acesso em: 27 set. 2015.

LOVIS, Karla Aparecida; FRANCO, Valdeni Soliani. Reflexões sobre o uso do GeoGebra e

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v. 16, n. 1, p. 149-160, jan./jun. 2013.

MENDES, Iran Abreu. Investigação Histórica no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro:

Editora Ciência Moderna, 2009.

MIGUEL, Antônio, As potencialidades pedagógicas da História da Matemática em

questão: argumentos reforçadores e questionadores; Revista: Zetetiké – CEMPEM –

FE/Unicamp, v.5, nº 8, jul/dez de 1997, p. 73-105.

MOL, Rogério Santos. Introdução à História da Matemática. Belo Horizonte: CAED-

UFMG, 2013.

OLHAR DIGITAL. Google Play finalmente supera a App Store em número de

aplicativos. Disponível em: <http://olhardigital.uol.com.br/noticia/google-play-finalmente-

supera-a-app-store-em-numero-de-aplicativos/46298>. Acesso em: 27 set. 2015.

RÊGO, Rogéria Gaudêncio; RÊGO, Rômulo Marinho do. Matematicativa. 3. ed. Campinas,

SP: Autores Associados, 2009. (Coleção formação de professores).

ROQUE, Tatiana. História da Matemática: Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas.

Rio de Janeiro: Zahar, 2012.

SMOLE, Kátia Cristina Stocco et al. Cadernos do Mathema: Jogos de matemática de 1º a 3º

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54

STRATHERN, Paul. Pitágoras e seu teorema em 90 minutos. Rio de Janeiro: Jorge Zahar,

1998. Tradução de: Marcus Penchel.

THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA. The Babylonian tablet Plimpton 322.

Disponível em: < http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html>. Acesso

em: 7 nov. 2015.

55

ANEXOS

56

ANEXO A – TRANSPOSIÇÃO DE TRIÂNGULOS

57

ANEXO B – QUEBRA-CABEÇA PITAGÓRICO

58

ANEXO C – O QUADRADO E OS QUATRO TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

59

APÊNDICES

60

APÊNDICE A – CORRIDA PITAGÓRICA

61

APÊNDICE B – TRILHA PITAGÓRICA

62

APÊNDICE C – ROLETA PITAGÓRICA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE … · Figura 5 – Quadrado de lado (b + c) ... Figura 18 – Quadrado formado pela junção das peças I..... 45 Figura 19 – Quadrado