Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica

1º Semestre 2012/13 Exame de 1ª época, 18 de Janeiro de 2013 Nome : Hora : 8:00 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina

1ª Parte

Em cada alínea, assinale com verdadeiro (V) ou falso (F) cada um dos quadrados, sabendo que podem existir todas as combinações possíveis de verdadeiro e falso. A cotação das respostas é a seguinte: Quadrado correctamente preenchido 0,25 valores. Quadrado em branco 0 valores. Quadrado incorrectamente preenchido -0,15 valores.

1. As equações de Navier-Stokes escritas em média de Reynolds

F permitem calcular a velocidade instantânea do escoamento.

V necessitam de um modelo de turbulência para terem o número de equações igual ao número de incógnitas.

F são apropriadas para o cálculo de escoamentos a baixos números de Reynolds.

F não se podem aplicar em escoamentos com separação.

2. O centro aerodinâmico de um perfil sustentador

F nunca pode coincidir com o centro de pressão.

V só existe se a variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque for linear.

F só se pode calcular em fluido perfeito.

F é o ponto em relação ao qual o valor absoluto do momento é máximo.

3. A figura em baixo representa as curvas de estabilidade neutra de perfis de velocidade de camadas limite em regime

V A região C é típica de escoamentos em gradiente de pressão adverso.

V A variável representada no eixo das ordenadas está relacionada com a frequência das perturbações aplicadas ao perfil de velocidade.

F Ri corresponde ao número de Reynolds de transição.

V A região D corresponde à região instável do perfil de velocidade A.

4. A figura em baixo representa o coeficiente de sustentação e de resistência de um perfil

simples e com quatro tipos de hiperfunção do ângulo de ataque

V Os flaps simples e split têm

F As linhas D e 5 correspondem correspondem ao flap split.

F Dos quatro hiper-sustentadores, três têm controle de camada limite.

V O perfil simples corresponde às linhas E e 1.

A figura em baixo representa as curvas de estabilidade neutra de perfis de velocidade de em regime laminar

A região C é típica de escoamentos em gradiente de pressão adverso.

A variável representada no eixo das ordenadas está relacionada com a frequência das perturbações aplicadas ao perfil de velocidade.

corresponde ao número de Reynolds de transição.

A região D corresponde à região instável do perfil de velocidade A.

A figura em baixo representa o coeficiente de sustentação e de resistência de um perfil simples e com quatro tipos de hiper-sustentadores (simples, split, fenda e Fowler) em função do ângulo de ataque α.

Os flaps simples e split têm deflecções semelhantes. As linhas D e 5 correspondem correspondem ao flap split.

sustentadores, três têm controle de camada limite.

O perfil simples corresponde às linhas E e 1.

A figura em baixo representa as curvas de estabilidade neutra de perfis de velocidade de

A variável representada no eixo das ordenadas está relacionada com a frequência das

A figura em baixo representa o coeficiente de sustentação e de resistência de um perfil sustentadores (simples, split, fenda e Fowler) em

5. A figura em baixo apresenta a distribuição de intradorso de um perfil de Joukowski a três ângulos de ataque (incluindo o ângulo de ataque nulo) para os quais o coeficiente de sustentação é maior ou igual do que zero.

V O coeficiente de momento de picada em torno do centro do perfil para o ângulo de ataque correspondente às linhas C é positivo

F A área entre as duas linhas (extradorso e intradorso) representadas no gráfico é exactamente igual ao coeficiente de sustentação para os três ân

F O extradorso corresponde às linhas a cheio

V O perfil tem curvatura positiva, mas não tem espessura.

6. A figura em baixo apresenta a tensão de corte total (

camada limite turbulenta na vizinhança de uma

distância à parede, ν a viscosidade cinemática e

V O gráfico corresponde a uma situação de

F uvB ρ−= .

V 2τρuA = .

V ν

ξ τ yu= .

A figura em baixo apresenta a distribuição de pressão (em fluido perfeito) no extradorso e intradorso de um perfil de Joukowski a três ângulos de ataque (incluindo o ângulo de ataque nulo) para os quais o coeficiente de sustentação é maior ou igual do que zero.

mento de picada em torno do centro do perfil para o ângulo de

ataque correspondente às linhas C é positivo. A área entre as duas linhas (extradorso e intradorso) representadas no gráfico é exactamente igual ao coeficiente de sustentação para os três ângulos de ataque.

O extradorso corresponde às linhas a cheio.

O perfil tem curvatura positiva, mas não tem espessura.

A figura em baixo apresenta a tensão de corte total ( yutotal µτ ∂∂=

camada limite turbulenta na vizinhança de uma parede ( τu é a velocidade de fricção

a viscosidade cinemática e ρ a massa específica do fluido

O gráfico corresponde a uma situação de gradiente de pressão nulo.

pressão (em fluido perfeito) no extradorso e intradorso de um perfil de Joukowski a três ângulos de ataque (incluindo o ângulo de ataque nulo) para os quais o coeficiente de sustentação é maior ou igual do que zero.

mento de picada em torno do centro do perfil para o ângulo de

A área entre as duas linhas (extradorso e intradorso) representadas no gráfico é gulos de ataque.

uvy ρ− ) de uma

é a velocidade de fricção, y a

ífica do fluido).

7. A figura em baixo apresenta o coeficiente de resistência

sustentação lC de dois perfis sustentadores a três números de Reynolds entre 10

para um dos números de Reynolds com rugosidade na superfície dos perfis.

F O aumento de dC com a aplicação de rugosidade deve

de atrito.

F Se a gama de número de Reynolds aumentasse para 10obtidas para os dois perfis não se alteraria significativamente.

F Nenhum dos perfis tem uma sucção.

V O número de Reynolds mais baixo para os perfis sem rugosidade corresponde às linhas A.

8. A figura em baixo representa a variação do coeficiente de resistência Strouhal S de um cilindro circular um função de número de Reynolds, Re.

V Para 410Re = , a frequência de libertação de vórtices de um cilindro com 20cm de diâmetro imerso num escoamento de velocidade igual a 10m/s é

V Para números de Reynolds mais elevados do que os representados no gráfico, as linhas A B voltam a ser horizontais.

V Para números de Reynolds inferiores a 50 não há libertação de vórtices.

F A linha A corresponde ao coeficiente de resistência.

A figura em baixo apresenta o coeficiente de resistência dC em função do coeficiente de

de dois perfis sustentadores a três números de Reynolds entre 10

para um dos números de Reynolds com rugosidade na superfície dos perfis.

com a aplicação de rugosidade deve-se exclusivamente à resistência

Se a gama de número de Reynolds aumentasse para 108 a 109, a forma das curvas obtidas para os dois perfis não se alteraria significativamente. Nenhum dos perfis tem uma gama de ângulos de ataque para a qual não existe pico de

O número de Reynolds mais baixo para os perfis sem rugosidade corresponde às linhas

A figura em baixo representa a variação do coeficiente de resistência DC

de um cilindro circular um função de número de Reynolds, Re.

, a frequência de libertação de vórtices de um cilindro com 20cm de diâmetro imerso num escoamento de velocidade igual a 10m/s é 10≅f Hz.Para números de Reynolds mais elevados do que os representados no gráfico, as linhas A

ser horizontais. Para números de Reynolds inferiores a 50 não há libertação de vórtices.

A linha A corresponde ao coeficiente de resistência.

em função do coeficiente de

de dois perfis sustentadores a três números de Reynolds entre 106 e 107 e

para um dos números de Reynolds com rugosidade na superfície dos perfis.

se exclusivamente à resistência

, a forma das curvas

gama de ângulos de ataque para a qual não existe pico de

O número de Reynolds mais baixo para os perfis sem rugosidade corresponde às linhas

D e do número de de um cilindro circular um função de número de Reynolds, Re.

, a frequência de libertação de vórtices de um cilindro com 20cm de Hz.

Para números de Reynolds mais elevados do que os representados no gráfico, as linhas A

Mestrado Inte

Exame de 1ª época, 18 de Hora : 8:00 Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da

1. A figura em cima apresenta as características aerodinâmicas de um Para ângulo de ataque nulo, admita que o coeficiente de resistência de atrito do perfil se pode obter a partir de uma placa plana em gradiente de pressão nulo (com camadas limite idênticas dos dois lados da plconcentrada num ponto (Reynolds crítico igual a Reynolds de transição).

×= − /s,m1051,1 25ar ρν

Para ângulo de ataque nulo

Mestrado Integrado em Engenharia MecânicaAerodinâmica

1º Semestre 2012/13

época, 18 de Janeiro de 2013

Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina

2ª Parte

apresenta as características aerodinâmicas de um perfil NACA 63009Para ângulo de ataque nulo, admita que o coeficiente de resistência de atrito do perfil se pode obter a partir de uma placa plana em gradiente de pressão nulo (com camadas limite

nticas dos dois lados da placa) e que a transição das camadas limites se encontra concentrada num ponto (Reynolds crítico igual a Reynolds de transição).

transicaocritico ReRe == ,kg/m2,1 3arρ

ângulo de ataque nulo e um número de Reynolds de 3×106:

grado em Engenharia Mecânica

disciplina

perfil NACA 63009.

Para ângulo de ataque nulo, admita que o coeficiente de resistência de atrito do perfil se pode obter a partir de uma placa plana em gradiente de pressão nulo (com camadas limite

) e que a transição das camadas limites se encontra concentrada num ponto (Reynolds crítico igual a Reynolds de transição).

a) Em condições de transição natural, estime a dimensão mínima da região de camada limite laminar.

A dimensão mínima da região de camada limite laminar corresponde ao coeficiente de resistência de atrito máximo.

( )[ ]max

minlaminarw

dCc

xτ⇒

∆.

Uma vez que ( ) ( )perfildd CCw

<τ o valor máximo de ( )

wdC

τ é de 0,004. De acordo com

as aproximações do enunciado

( ) ( )

−+= −−− 2,0

transicao5,0

transicaotransicao2,0 072,033,1072,02 ReReRe

ReReC

c

cdwτ

Para ( ) 004,0=w

dCτ e

6103×=c

Re temos

6transicao

25,15,0transicao

transicao 106,1072,0

33,131,4940×=⇒

+= Re

ReRe .

A região do perfil com camada limite laminar obtem-se directamente de transicaoRe

.534,0transicao

laminar

==

∆

cRe

Re

c

x

b) É possível estimar o coeficiente de resistência de pressão do perfil quando a transição é

forçada junto ao bordo de ataque nos dois lados do perfil? Justifique quantitativamente a sua resposta.

O coeficiente de resistência de pressão pode ser obtido subtraindo o coeficiente de resistência de atrito do coeficiente de resistência de perfil.

( ) ( ) ( )w

ddd CCCτ

−= perfilpressão

Nas condições dadas

( ) 0073,0072,02 2,0 =×= −

cd ReCwτ

Este valor é maior do que qualquer estimativa de ( )perfildC baseada no gráfico fornecido,

pelo que não é possível estimar ( )pressãodC com as aproximações sugeridas.

c) Pretende-se calcular o escoamento com transição natural com a solução numérica das equações em média temporal de Reynolds utilizando um modelo de turbulência de viscosidade turbulenta. O programa disponível inclui o modelo k-ε standard e a versão SST do modelo k-ω. Qual dos dois modelos é o mais indicado para efectuar este cálculo? Justifique claramente a resposta.

Para escoamento com transição natural não se pode utilizar leis da parede para condição de fronteira na superfície do perfil. O modelo k-ε standard não é válido nas sub-camadas linear e tampão, pelo que só se pode utilizar com leis da parede como condição de fronteira. Logo, o modelo de turbulência mais indicado para fazer o cálculo é a versão SST do modelo k-ω.

d) Estime a rugosidade relativa mínima ( crε ) da superfície do perfil para que a

resistência de atrito se torne independente do número de Reynolds.

O coeficiente de resistência de atrito torna-se independente do número de Reynolds quando se estiver em regime completamente rugoso, i.e.

fc

r

c

frr

CRecRe

C

c

u 27070

270 >⇔>⇔>

εε

ν

ετ

com

2,00576,0 −= xf ReC

pelo que o valor mínimo de fC ocorre para cx ReRe = e é igual a 0,0029. Donde

4101,6 −×>c

rε.

2. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em

torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto

( )2i,0 a do referencial ζ=ξ+iη. 2a é uma constante positiva menor ou igual do que 0,04

04,00 2 ≤≤ a . O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α, (|α|<π/4),

com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U∞. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ=b, seja um ponto de estagnação.

a) Escreva o potencial complexo que representa o

de ataque α, indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.

Para o problema dado temos:

ao == βζ arcsen,i 2

Introduzindo o referencial auxiliar

(representado na figura em baixo) temos:

( )*ζ =W

em que

Γ

Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função de

indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.

Para o problema dado temos:

( ) ( ) ba =βcosearcsen 2

Introduzindo o referencial auxiliar ( ) αζζζ i* −−= eo ou

(representado na figura em baixo) temos:

( )**

* ln2

i1ζ

πζζ

Γ−

+∞U

( )βαπ +−= ∞ sen4 U

de 2a e do ângulo

oe ζζζ α += i*

b) Determine a gama de ângulos de ataque

um dos pontos de estagnação (

absoluto da coordenada imaginária desse ponto de estagnação é menor do que 0,2

( )985,01

1−≤

=pCξ e ( )

11=pCη

ataque do limite superior do interval

A linha que une os dois pontos de estagnação do escoamento em torno de um cilindro é paralela ao escoamento de aproximação. Um dos pontos de estagnação está sempre em ζ=b, pelo que é fácil identificar graficamente

A partir das figuras acima obtém

∆

∆=

x

y2max earctanα

em que

( ) ,985,0cosx ∆+=∆ β

Para maximizar maxα temos

yyx ,985,1 21 ∆=∆=∆

Considere a transformação conforme de Karmán

Determine a gama de ângulos de ataque ( minα e maxα ) para a qual a coordenada real de

um dos pontos de estagnação (( ) ( )

11

11,

== pCpCηξ ) é menor ou igual do que

absoluto da coordenada imaginária desse ponto de estagnação é menor do que 0,2

2,0< ). Seleccione o valor de 2a que maximiza o ângulo de

ataque do limite superior do intervalo, maxα .

A linha que une os dois pontos de estagnação do escoamento em torno de um cilindro é paralela ao escoamento de aproximação. Um dos pontos de estagnação está sempre em

identificar graficamente minα e maxα quando ( )1

1=

=pCξ

A partir das figuras acima obtém-se

∆

∆−=

x

y1min arctane α

222

1 985,01e985,01 yay −=∆+−=∆

temos 02 =a , donde

o

o

5rad087,0

5rad087,0985,01

max

min2

==

−=−=⇒−=

α

α

transformação conforme de Karmán-Treftz dada por

para a qual a coordenada real de

) é menor ou igual do que -0,985 e o valor

absoluto da coordenada imaginária desse ponto de estagnação é menor do que 0,2 (

que maximiza o ângulo de

A linha que une os dois pontos de estagnação do escoamento em torno de um cilindro é paralela ao escoamento de aproximação. Um dos pontos de estagnação está sempre em

985,0−= .

22985 a− .

.

( ) ( )( ) ( )

96,1eicom =+=−−+

−++= kyxz

bb

bbkbz

kk

kk

ζζ

ζζ

que transforma o cilindro num perfil sustentador.

c) Determine o valor de 2a que conduz ao maior coeficiente de sustentação para ângulo de

ataque nulo ( )( )0paramax =αlC e determine a equação que relaciona lC com α para

esse valor de 2a .

Para 0=α , lC é propocional a β . Logo, o maior valor de lC é obtido para o valor

máximo de β . Isto implica que 04,02 =a eo3,2rad04,0 ==β .

O coeficiente de sustentação obtém-se a partir da circulação (calculada na alínea a)) e da corda do perfil ( c ) no plano transformado. Para a transformação conforme de Karmán-Treftz de um cilindro centrado no eixo imaginário kbc 2= . Atendendo a

( ) ( ) ( ) ( )βαβαββ +≅+≅= sene1cos,cosb temos

( ) radianosemcom04,004,22

ααπ +=Γ−

=∞cU

Cl.

d) Para o valor de 2a da alínea anterior e para o ângulo de sustentação nula, determine os valores máximos e mínimos do coeficiente de pressão no plano transformado (perfil) e a sua localização.

O ângulo de sustentação nula corresponde a o3,2rad04,0 −=−=α , pelo que o

escoamento no plano de partida é qualitativamente dado por

O perfil no plano transformado é semelhante a

pelo que o coeficiente de pressão mínimo está no bordo de ataque e é igual a

( ) −∞=minpC .

Os dois pontos de estagnação exibem o coeficiente de pressão máximo, ( ) 1max

=pC .

Um dos pontos de estagnação está no bordo de fuga e outro no extradorso (junto ao bordo

de ataque) no transformado do ponto πζ i

e=*.

3. Uma asa finita de um planador tem um alongamento Λ=14, uma corda média de 1,5m,

não tem torção e a sua secção é um perfil NACA 63009 ( lC e dC dados na figura do

problema 1). Admita em primeira aproximação que a força de resistência do planador se deve apenas à asa e que a distribuição de circulação é elíptica.

a) Para a secção da asa, determine o coeficiente de momento de picada em torno do centro

do perfil e a posição do centro de pressão.

O perfil NACA 63009 é simétrico pelo que o coeficiente de momento de picada em torno do centro aerodinâmico é nulo. De acordo com a figura dada, o centro aerodinâmico está

localizado a cx ac 258,0.. = e a variação de lC com α é dada por α1,0=lC para α em

graus ou α73,5=lC para α em radianos. O coeficiente de momento de picada em torno

do centro do perfil obtém-se por uma simples propagação de momentos a partir do centro aerodinâmico:

−=

−=⇒−−=

)radianosem(39,1

)grausem(0242,0)258,05,0(

αα

αα

c

c

c

m

m

lmC

CCC .

Obviamente, o centro de pressão coincide com o centro aerodinâmico, pelo que está em

cx pc 258,0.. = .

y

x

kb-kb

b) Se o planador voar numa zona sem vento a velocidade constante,

altitude que o planador perde por cada km percorrido.

Num planador a voar numa zona sem vento a velocidade constante, a força aerodinâmica (sustentação mais resistência) equilibra o peso:

( )( ) LW

DW⇒

=

=

γ

γtan

cos

sen

equivalente a minimizar o ângulo

Λ+=

πL

L

D

L

D C

C

C

C

C perfil

, pelo que é necessário determinar

fornecido (obviamente só interessa

≅dCperfil

Como nas condições do problema

casos

C

C

pelo que

voar numa zona sem vento a velocidade constante, estime o mínimo de altitude que o planador perde por cada km percorrido.

Num planador a voar numa zona sem vento a velocidade constante, a força aerodinâmica (sustentação mais resistência) equilibra o peso:

( )L

D

C

C

L

D==γtan e ( )γsen1000=h pelo que minimizar

equivalente a minimizar o ângulo γ ou seja a razão LD CC .

, pelo que é necessário determinar perfilDC a partir do gráfico

(obviamente só interessa 0>lC ).

<⇐+

≤≤⇐

ll

l

CC

C

2,000625,0006,0

2,00004,02

Como nas condições do problema lL CC = eperfilperfil dD CC = , temos para qualquer dos

L

LL

D bCC

a

C

C+= ,

estime o mínimo de

Num planador a voar numa zona sem vento a velocidade constante, a força aerodinâmica

pelo que minimizar h é

a partir do gráfico

, temos para qualquer dos

b

aCb

C

a

C

C

dC

dL

LL

D

L

=⇔=+−⇔=

00

2

A tabela em baixo apresenta LCba ,, e ( )minLD CC para os dois ramos da definição de

perfildC e ( )minLD CC para o limite direito da bossa laminar 2,0== lL CC e

004,0perfilperfil

== dD CC .

a b

LC ( )minLD CC

2,0<LC 0,004

π14

1

0,42 ---

2,0>LC 0,006

π14

100625,0 +

0,455 0,0264

2,0=LC --- --- 0,2 0,0246

Os resultados mostram que ( )minLD CC se obtem para o limite direito da bossa laminar

pelo que ( ) o41,1rad02046,00246,0tan =⇒=γ o que implica m6,24=h .

c) Para as condições da alínea b), estime o ângulo de ataque a que está a funcionar a asa.

Nas condições dadas

( )

( )

o

L

L

l

l

L

C

C

C

C

C

26,2rad039,02,0

07,5

14,73,5,0

111

'

'

==⇒=

=

=Λ==

+

Λ+

=

∞

∞

α

α

β

βα

π

d) Para as condições da alínea b), determine a relação entre o peso do planador e a

velocidade de descida.

A partir do equilíbrio de forças e da definição de LC temos

( )( )

( )222 comcos22

1cos cSU

SCWSUCW L

L Λ==⇔= ∞∞γ

ρργ .