OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · um angulo e sua bissetriz, obter retas perpendiculares, paralelas, diagonais ... Ângulos: é denominado ângulo a região do plano

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA – TURMA 2013

Título: A Arte das Dobraduras: Uma contribuição para o Ensino da Geometria

Autor: Elhane de Fatima Fritsch Cararo

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Reinaldo Sass- Ensino Fundamental, Médio e Profissional - Rua Alagoas, nº 475, no Bairro Alvorada.

Município da escola: Francisco Beltrão

Núcleo Regional de Educação: Francisco Beltrão

Professor Orientador: Simone Aparecida Miloca

Instituição de Ensino Superior: Unioeste

Resumo:

Esta Unidade Didática busca aliar a arte do Origami ao ensino da Geometria do 8º ano, oportunizando aos alunos estudar a Geometria de uma forma curiosa e diferente, envolvendo a manipulação de materiais para auxiliar no processo de descrever situações do seu cotidiano, proporcionar interações entre professor e alunos e entre os próprios alunos, favorecer a elaboração do conhecimento matemático através da experimentação e assim compreender o espaço em que se vive. Nesta unidade, aborda-se noções básicas de geometria (reta, ponto, bissetriz, diagonais, mediatriz, ângulos, etc.), polígonos regulares e suas propriedades, perímetro e área de alguns polígonos e de maneira geral a definição de poliedros.

Palavras-chave: dobraduras; polígonos; triângulos; quadriláteros.

Formato do Material Didático: Unidade Didática Público:

Professores e Alunos

1. APRESENTAÇÃO

Diante de tantas discussões acerca do ensino e aprendizagem da

Geometria é preciso buscar uma proposta que alcance, de maneira efetiva, o

aprendizado dos alunos. Várias discussões sobre o tema nos remetem a

necessidade de buscar uma metodologia capaz de levar nossos alunos a

descobrirem a beleza que existe no mundo da Matemática, como também

compreenderem os conteúdos matemáticos.

As dificuldades apresentadas pelos alunos na compreensão da

Geometria, bem como a falta de motivação que muitos estudantes apresentam

em relação a determinados conteúdos, fazem com que, muitos professores

busquem novas metodologias a fim de dinamizar o ensino da Geometria

É desafiador e ao mesmo tempo, estimulante buscar uma metodologia

que desperte o interesse do aluno pelo importante mundo da geometria. Por

causar inquietação ao professor que, muitas vezes, percebe a falta de domínio de

conceitos básicos e a falta de motivação com que este conteúdo vem sendo

tratado pelos alunos.

Nesta unidade didática, pretende-se propor uma metodologia

diferenciada visando auxiliar o processo Ensino- aprendizagem da Geometria no

8º ano do Ensino Fundamental a partir do Origami, bem como, possibilitar ao

educando, a manipulação de materiais e formas, descrever, interagir e

compreender o espaço onde vive; utilizar noções básicas de geometria (reta,

ponto, bissetriz, diagonais, mediatriz, ângulos, etc.), reconhecer os polígonos

regulares e suas propriedades, fazendo interações com seu cotidiano,

Compreender o que são poliedros e ainda, utilizar -se adequadamente da

linguagem matemática.

2. GEOMETRIA

Pode-se considerar a Geometria uma Ciência necessária para

compreensão do mundo, da sociedade e das construções humanas. Ela facilita a

resolução de problemas e está presente em nosso dia-a-dia, na natureza,

arquitetura de prédios, casas, escolas, embalagens entre outros.

De acordo com Fainguelernt, “a geometria exige uma maneira

específica de raciocinar, uma maneira de explorar e descobrir. Não é suficiente

conhecer bem Aritmética, Álgebra ou Análise para conseguir resolver situações

em geometria”. (1999, p. 49). Desse modo trabalhar a Geometria de forma

adequada no Ensino Fundamental, pode ajudar a desenvolver o raciocínio

abstrato e a resolução de problemas, bem como a tomada de decisão e

interpretação Lógico Matemática dos educandos.

Nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática do

Estado do Paraná tem-se a idéia de que a geometria influencia o desenvolvimento

humano:

As ideias geométricas abstraídas das formas da natureza, que aparecem tanto na vida inanimada como na vida orgânica e nos objetos produzidos pelas diversas culturas, influenciaram muito o desenvolvimento humano. Em torno dos anos 300 a.C., Euclides sistematizou o conhecimento geométrico, na obra já citada Elementos. Seus registros formalizaram o conhecimento geométrico da época e deram cientificidade à Matemática. Nessa obra, o conhecimento geométrico é organizado com coesão lógica e concisão de forma, constituindo a Geometria Euclidiana que engloba tanto a geometria plana quanto a espacial. (PARANÁ, 2008, p.55)

A construção das Diretrizes Curriculares do Estado do

Paraná possibilitou a discussão sobre o currículo no que diz respeito a Geometria

e consequentemente uma maior preocupação com essa área do conhecimento

matemático. Segundo as DCEs, os conteúdos de Geometria no Ensino

fundamental, devem ter como referência o espaço, de modo que os alunos

possam percebê-lo, analisá-lo, representá-lo e também compreendê-lo:

• os conceitos da geometria plana: ponto, reta e plano; paralelismo e perpendicularismo; estrutura e dimensões das figuras geométricas planas e seus elementos fundamentais; cálculos geométricos: perímetro e área, diferentes unidades de medidas e suas conversões; representação cartesiana e confecção de gráficos; • geometria espacial: nomenclatura, estrutura e dimensões dos sólidos geométricos e cálculos de medida de arestas, área das faces, área total e volume de prismas retangulares (paralelepípedo e cubo) e prismas triangulares (base triângulo retângulo), incluindo conversões; • geometria analítica: noções de geometria analítica utilizando o sistema cartesiano; • noções de geometrias não-euclidianas: geometria projetiva (pontos de fuga e linhas do horizonte); geometria topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e noção de geometria dos fractais (PARANÁ, 2008, p.56).

Não se pode negar o importante espaço que a geometria obteve dentro

dos currículos escolares nos últimos anos, porém a diferenciação se dá na forma

de abordar o ensino da Geometria.

Segundo Ponte: As investigações geométricas contribuem para perceber aspectos essenciais da atividade matemática, tais como a formulação e testes de conjecturas e a procura e demonstração de generalizações. A exploração de diferentes tipos de investigação geométrica pode também contribuir para concretizar a relação entre situações matemáticas, desenvolver capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação, evidenciar conexões matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da história e evolução da matemática (PONTE, 2006, p.71).

Envolver a percepção do espaço e a manipulação de formas pode ser

o diferencial que proporcionará ao educando uma visão completa acerca da

Geometria propiciando a abstração de fórmulas e a capacidade de representação

das mais variadas formas geométricas, bem como a resolução de cálculos de

áreas e perímetros.

Sugestão de leitura para os alunos no laboratório de informática:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm16/historia.htm O texto " História da Geometria" faz um breve relato sobre a origem da

Geometria e de alguns matemáticos da época.

3. ORIGAMI

As dobraduras ou o Origami tem origem japonesa, e quer dizer

dobradura de papel. Na ilustração abaixo veja alguns exemplos de Origamis:

Ilustração 1

Fonte: Arquivo Pessoal

Essa técnica era utilizada em rituais religiosos sob a forma de

ornamentos e pela classe nobre. Por muito tempo o origami foi considerado

apenas uma atividade artística, hoje a Geometria vê essa arte como aliada no

processo ensino e aprendizagem.

Segundo o professor Massao Okamura, pesquisador das origens do

origami, esta técnica teve início no século XVII pelos samurais e era restrito aos

adultos, principalmente pelo alto valor da matéria prima. Com a fabricação do

papel no Japão, a população Japonesa passa ter maior acesso a arte do origami

que foi sendo aprimorada e transmitida de pai para filho.

Segundo Rossoni (2005), durante a Era do Edo (1590-1868), o origami

era praticado por mulheres e crianças independente de sua classe social. E nesse

tempo foram criados aproximadamente setenta tipos de Origami, dentre eles o

tsuru (cegonha), sapo, navio, cesta, balão, homem dentre outros e foi na era Meiji

(1868-1912) que o origami voltou a ser ensinado nas escolas, após sofrer

influência alemã.

Enquanto no Japão as formas do origami eram mais figurativas

imitando formas de pessoas, animais, flores, pássaros, no ocidente os origamis

caracterizavam-se pelas formas geométricas.

O Origami proporciona ao aluno a manipulação das formas, pois ao

dobrar, desdobrar e recortar ele constrói suas próprias relações e percepções da

Geometria, comparando-a as formas vistas e utilizadas em seu dia a dia.

Sobre o trabalho desenvolvido com o Origami, Lorenzato descreve:

Usando a régua e o compasso, é possível traçar linhas retas, construir um angulo e sua bissetriz, obter retas perpendiculares, paralelas, diagonais e muitas outras figuras. Várias dessas construções podem ser feitas com as dobraduras, o que possibilita ao professor de matemática, em sala de aula, enfatizar a importância do lúdico na construção, comparação, estabelecimento de relações, medições, visualização e resolução de problemas. (LORENZATO, 2006, p. 99).

O Origami sendo uma construção motora, propicia ao aluno a

apropriação do espaço, a sala de aula torna-se um espaço privilegiado de

situações bastante proveitosas e interativas, podendo este, a partir da dobradura

construir suas próprias relações e significados relacionados a matemática.

Para fazer as interações entre a Geometria e a álgebra, quando, por

exemplo, analisa a quantidade de papel ou a parte que representa aquela dobra

em relação ao todo, o aluno constrói seu próprio saber matemático,

fundamentado no material concreto que é a dobradura.

Em relação ao trabalho com o Origami Rêgo e Gaudêncio afirmam que:

O Origami pode representar para o processo de ensino/aprendizagem de Matemática um importante recurso metodológico, através do qual os alunos ampliarão os seus conhecimentos geométricos formais, adquiridos inicialmente de maneira informal por meio da observação do mundo, de objetos e formas que o cercam. Com uma atividade manual que integra, dentre outros campos do conhecimento, Geometria e Arte.

(RÊGO e GAUDÊNCIO, 2004, p.18). É preciso buscar na literatura moderna, na troca de experiência com

outros docentes, alternativas metodológicas motivadoras, capazes de propiciar o

envolvimento do aluno com as conteúdos a serem trabalhados. Ponte (2006)

escreve que: "Na disciplina de matemática, como em qualquer outra disciplina

escolar, o envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da

aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e

afetivos com vista a atingir um objetivo".

O aluno precisa sentir-se parte integrante do processo ensino e

aprendizagem e para isso o professor precisa orientá-lo para que juntos

ultrapassem as barreiras do comodismo, da desmotivação, do não querer

aprender e entendam que a geometria faz-se necessária e está presente nas

muitas situações cotidianas.

4. POLÍGONOS

A palavra polígono vem do grego e quer dizer poly (muitos) egon

(ângulos). Em geometria define-se polígono como uma figura plana fechada

formada por segmentos de reta como mostra a ilustração 2. Sendo caracterizados

por elementos como: ângulos, vértices, diagonais e lados demonstrados na

ilustração 3.

Curiosidades sobre o Origami O endereço abaixo trás curiosidades sobre o origami que podem ser trabalhadas no laboratório de informática: http://origami-friens.blogspot.com.br/p/curiosidades.html - acesso em outubro de 2013. Outra sugestão é o vídeo de 2 minutos que fala sobre os tipos de origamis e algumas curiosidades e crenças da época e pode ser encontrado no endereço abaixo: http://www.youtube.com/watch?v=FtgFf8McooM - acesso em outubro de 2013.

Ilustração 2

Ilustração 3


Lados: São cada segmento de reta que une os vértices consecutivos. Na figura 3

acima são representados por AB, BC, CD, DE e EA.

Os polígonos são nomeados conforme o número de lados como mostra

a ilustração 4 a seguir:

Ilustração 4


Número de Lados Nome do Polígono

3 Triângulo

4 Quadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

12 Dodecágono

15 Pentadecágono

20 Icoságono

N Polígono de n lados

Vértices: São os pontos de encontros dos segmentos de reta, no caso da figura

3, os vértices são: A, B, C, D e E. Os polígonos também podem ser nomeados

conforme seus vértices. o polígono da ilustração 3 pode ser chamado de polígono

ABCDE.

Diagonais: São segmentos que unem dois vértices não consecutivos,

no caso da ilustração 3, as diagonais são os segmentos AC, AD,BE, BD e CE. O

número de diagonais que partem de um único vértice é dado pela fórmula:

Ângulos: é denominado ângulo a região do plano limitada por duas

semirretas de mesma origem. É possível medir um ângulo utilizando-se de um

transferidor, que utiliza as medidas em grau de acordo com o sistema

internacional de medidas, e é representado pelo símbolo º, seus submúltiplos são

o minuto ’ e o segundo ” Onde, 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a

60” (segundos). Conforme mostra a ilustração 5:

Ilustração 5


d =n(n−3)

2

Sendo n o número de lados do polígono e d o números de diagonais do polígono.

A classificação dos ângulos é feita de acordo com as medidas dos ângulos como mostra a figura 4:

Ilustração 6

Agudo (< que 90º)

Reto (= a 90º)

Obtuso (> que 90º)

Raso (= a 180º)


No estudo de ângulos é possível determinar a bissetriz de um ângulo, a

qual pode ser definida como a semireta que se origina no vértice do ângulo

estudado, dividindo-o em outros dois ângulos de medidas iguais. Como

demonstra a ilustração 7 abaixo:

Ilustração 7


Em um polígono a soma dos ângulos internos (S) é dada pela fórmula:

S = (n-2). 180º Sendo:

S: soma das medidas dos ângulos internos

n: número de lados do polígono

A soma das medidas dos ângulo externos de qualquer polígono é igual

a 360º, como demonstra a ilustração 8:

Ilustração 8

S= 64, 82º + 87,17º+73,02º+69,33º+65,66º

S= 360º


Sobre ângulos, Barbosa faz um corolário, resultado dos principais itens

sobre o assunto: a) A soma das medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90º. b) Cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60º. c) A medida de um ângulo externo de um triângulos é igual a soma das medidas dos ângulos internos que não lhe são adjacentes. d) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º (BARBOSA, 1995, p.76 e 77).

4.1. POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO CONVEXOS

Os polígonos podem ser classificados em convexos e não convexos.

Desenhados dois pontos qualquer no polígono e traçado um segmento de reta

unindo esses dois pontos, tem-se que se o segmento de reta pertencer somente à

região limitada pelo polígono, ele será convexo; caso contrário, será não convexo.

Veja a ilustração 9.

Ilustração 9

Na primeira figura, o segmento definido pelos pontos F e G pertence a região

delimitada pelo polígono; na segunda figura, o segmento de reta delimitado pelos

pontos Q e R não pertence a região delimitada pelo polígono.


Sugestão de vídeo O vídeo "Polígonos - Matemática Geometria" de aproximadamente 2 minutos, demonstra o que são polígonos e seus elementos; polígonos regulares e irregulares; vértices; diagonais; ângulos internos e externos; polígonos côncavos e convexos e nome de alguns

polígonos. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=s6nEBTJVOuw, acesso em outubro de 2013.

4.2. ALTURA, BISSETRIZ E MEDIANA EM TRIÂNGULOS

Pode-se dizer que uma das figura plana mais simples é o triângulo,

sobre o assunto Barbosa escreve: Muitas figuras planas são construídas usando-se segmentos. A mais simples delas é o triângulo que é formado por três segmentos que não pertencem a uma mesma reta e pelos três segmentos determinados por estes três pontos. Os três pontos são chamados vértices do triângulo o segmentos lados dos triângulos (BARBOSA, 1995, p.03).

Os elementos básicos de um triângulo são: os vértices, os lados e os

ângulos, mas não são os únicos. Em um triângulo identificamos outros elementos,

como mediana, bissetriz e altura.

Ilustração 10

ALTURA BISSETRIZ

Segmento de reta que partindo de um vértice é perpendicular ao lado oposto.

Semi-reta que divide um ângulo do triângulo em duas partes iguais.

MEDIANA MEDIATRIZ

Segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Reta perpendicular a um lado do triângulo passando pelo seu ponto médio.


4.3. PERÍMETRO DE UM POLÍGONO

Refere-se a soma das medidas dos lados de um polígono, como

mostra a figura 7:

Ilustração 11


4.4. ÁREA DE UM POLÍGONO

Superfície de polígono é a reunião do polígono com o seu interior.

A medida feita dessa superfície é chamada medida de área. Para o cálculo de

área de um polígonos utilizamos algumas formulas, veja a ilustração 12:

Ilustração 12

Fórmulas para o cálculo de área de alguns polígonos

Triângulo

Retângulo

Quadrado

Paralelogramo

Losango

Trapézio

Fonte: Portal dia a dia educação

5. POLIEDROS

Poliedros são figuras geométricas formadas por três elementos

básicos: vértices, arestas e faces, ou seja possuem comprimento, altura e largura.

Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e

congruentes. Os poliedros mais conhecidos são os Poliedros de Platão, assim

chamados por apresentarem em suas faces polígonos regulares e congruentes e

ainda, de seus vértices partem sempre o mesmo o mesmo número de arestas,

veja a ilustração 13:

Ilustração 13

Fonte: Portal dia a dia educação

6. ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

Partindo das perspectivas apontadas nas Diretrizes Curriculares do

Estado do Paraná onde "almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes

análises, discussões, conjecturas, apropriações de conceitos e formulação de

ideias". (PARANÁ, 2008, p.48) propõe-se que os alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental iniciem o conteúdo de geometria através de pesquisa sobre o que é

origami e breve histórico a ser realizada no laboratório de informática do Paraná

digital. Em sala de aula, com material pré selecionado para as dobraduras, os

alunos serão organizados em pequenos grupos para facilitar a distribuição do

material e possibilitar a cooperação durante o desenvolvimento das atividades; a

professora apresentará os origamis que serão desenvolvidos com o auxilio da tv

multimídia e a partir de roteiro de estudo os alunos desenvolverão as dobraduras,

fazendo o registro dos conteúdos relacionados a geometria em seu caderno,

resolverão situações problemas que relacionam o origami a conteúdos de

Geometria plana do 8º ano do ensino Fundamental. Os conteúdos a serem

trabalhados são: ângulos e seus elementos; ângulo agudo, obtuso e reto; retas

perpendiculares; retas paralelas; bissetriz de um ângulo; semelhança de figuras;

simetria; polígonos; diagonais de um polígono; triângulo e seus elementos; pontos

notáveis de um triângulo (mediana, bissetriz, altura, mediatriz; quadriláteros;

medidas de superfície (área do triângulo, quadrado, retângulo, trapézio, losango e

paralelogramo). Como finalização das atividades desenvolvidas em sala de aula,

os alunos e a professora montarão painéis e farão exposição do material

construído para socialização do conhecimento e apreciação da comunidade

escolar.

7. SUGESTÕES DE ATIVIDADES

7.1) Construa um quadrado com origami:

Ilustração 14

Utilize régua, tesoura, lápis e papel.

Meça 15 cm em dois dos lados do papel.

.

Dobre de forma que consiga marcar os outros dois lados do quadrado que deseja montar.

Com a tesoura recorte os lados conforme mostra a figura.

Vire o papel e comece a dobrar como mostra a figura.

Desdobre, agora faça a mesma coisa com o outro lado, desdobre novamente.

Pegue uma das pontas do papel e leve até o centro marcado pelas duas dobras anteriores.

Faça o mesmo com as outras três pontas.

Desvire e está ponto seu quadrado de origami.

.


Cole o Origami em seu caderno e em seguida responda os itens a seguir:

a) Descreva três propriedades do quadrado.

b) O que são vértices do quadrado? Descreva em seu caderno, depois pinte com

o lápis de cor os vértices do quadrado.

c) Quantos são os vértices do quadrado?

d) Dobrando o quadrado ao meio como mostra o passo 5 e 6 da ilustração 14,

obtemos uma linha que podemos chamar de diagonal do quadrado. O que é

diagonal do quadrado? Responda em seu caderno, após com a ajuda de uma

caneta colorida trace as diagonais possíveis do quadrado de papel.

e) Quantas diagonais você conseguiu desenhar no quadrado de papel?

f) Teste a fórmula das diagonais para ver se você encontrará o mesmo resultado.

g) Registre em seu caderno a medida da diagonal de um quadrado de lado 10cm.

Essa medida da diagonal é maior, menor o igual a medida do lado do quadrado?

h) Qual o perímetro do quadrado que você confeccionou?

i) Qual a área do quadrado? Se você tiver 4 quadrados iguais a esse, qual será a

área total da figura?

Comentários sobre a questão 1:

Com essa atividade pretende-se que o aluno relacione o Origami do quadrado,

com as propriedades geométricas do quadrado, como lados de mesma medida, 4

ângulos de 90º, duas diagonais que são segmentos de retas que ligam dois

vértices opostos. No quadro experimente, o aluno fará a verificação do que esta

escrito que a diagonal do quadrado é √2 vezes maior que o lado do quadrado, ele

já construiu o quadrado, já fez a s medições, agora basta calcular para ver se

encontra o mesmo resultado.

Experimente fazer:

A diagonal do quadrado é √2 vezes maior que o lado do quadrado, com a ajuda da calculadora é fácil comprovar.

7.2) Vamos construir escadas (Questão retirada da prova da obmep):

Utilizando-se quadradinhos de 1 cm de lado são construídas escadas conforme a

ilustração 15 a seguir:

Ilustração 15

Fonte: OBMEP

a) Calcule a área total e o perímetro da quinta escada construída.

b) Precisamos de uma escada de 78 cm2 de área. Qual escada devemos

escolher?

c) Precisamos de uma escada de 100 cm de perímetro. Qual escada devemos

escolher?

Comentários sobre a questão 2: pretende-se que o aluno use o conhecimento

geométrico da atividade 1, aliado ao raciocínio lógico e a dedução para que

resolver a situação problema proposta. Nesta atividade pode-se utilizar o material

dourado como suporte, os alunos montam as escadas na carteira e podem

realizar suas deduções e os cálculos necessários.

7.3) Construindo triângulos com Origami:

Triângulo 1:

Ilustração 16

Corte um quadrado de lado 15 cm.

Dobre ao meio (em uma das diagonais) como mostra a figura:

Desdobre:

Encoste um dos lados do quadrado na linha diagonal que você marcou:

Faça o mesmo do outro lado:

Dobre ao meio conforme a figura:


Cole a figura em seu caderno e responda:

a) Quais as medidas dos lados do triângulo?

b) Qual a classificação do triângulo quanto a medida dos lados?

c) Com o auxilio de um transferidor meça os ângulos internos do triângulo e

anote:

d) Qual a classificação do triângulo quanto a medida dos ângulos?

e) Qual o perímetro do triângulo?

d) Qual a área do triângulo?

Triângulo 2:

Ilustração 17

Corte um quadrado de lado 14 cm.

Dobre ao meio (em uma das diagonais) como mostra a figura:

Desdobre:

Encoste um dos lados do quadrado na linha diagonal que você marcou, faça o mesmo do outro lado:

Dobre a ponta da figura para cima conforme a figura:

Vire a dobradura: Está pronto seu triângulo!






anote:




Triângulo 3:

Ilustração 18

Corte uma folha de papel em forma de retângulo com dimensões 13 x 12 cm.

Dobre ao meio como mostra a figura. (base é a parte menor).

Desdobre:

Faça a dobra como mostra a figura:

Dobre o vértice inferior direito até encontrar a ponta da dobra anterior:

Dobre o vértice superior direito de modo que a ponta encoste na parte colorida:

Da mesma forma, traga o vértice superior esquerdo em direção ao centro da figura, onde o a dobra encosta na parte colorida:

Desdobre:

Refaça as dobras, na ordem abaixo, sobrepondo os lados:

Dobre a ponta inferior da direita para a esquerda, no vinco anterior:

Pegue a ponta direita superior e dobre novamente no vinco já feito anteriormente:

Pegue a ponta da esquerda e insira na abertura como se fosse fechar um envelope: Pronto!






anote:




Comentários sobre a questão 3: A questão envolve os tipos de triângulos, sua

classificação quanto aos lados e aos ângulos, pretende-se explorar os Origamis

construídos, proporcionando aos aluno compará-los, visualizá-los e manipulá-los

de forma a compreender a diferenças entre tais triângulos e seus elementos.

7.4) Trissecção de um ângulo: (Atividade adaptada a partir do Livro Explorando

Geometria com Origami de Eduardo Cavacami e Yolanda Kioko Saito Furuya). Um dos famosos problemas da Antiga Grécia era a trissecção de um ângulo qualquer com régua e compasso. Esse problema é impossível com régua e compasso, mas é solúvel com o Origami. A construção dada a seguir é creditado a Hisashi Abe, conforme publicado em 1980 no Japão.(CAVACAMI e FURUYA, 2008, p. 16).

Para fazer a trissecção do ângulo podemos seguir os passos

desenvolvidos na ilustração 19:

Dica:

Se preferir pode assistir o vídeo de aproximadamente 4 minutos que mostra os

passos para fazer a dobradura do triângulo 3, disponível no endereço:

http://www.youtube.com/watch?v=FECtMrk8x9w , acesso em outubro de 2013.

Ilustração 19

Corte um quadrado de papel (15cm de

lado). E anote nos vértices os pontos

A,B,C e D.

Faça uma dobra para construir um

ângulo menor que 90º. Anote o ponto E.

Determine uma paralela GF a AD,

fazendo uma dobra no papel. Anote os pontos F e G.

Dobre o ponto B sobre o ponto F e o

ponto C sobre o ponto G, formando

assim uma linha paralela . Anote os

pontos H e I que são também, os

respectivos pontos médios de FB e GC.

Dobre de forma a levar o ponto F ao

segmento EB e o ponto B ao

segmento HI (esta dobra é dada pelo

axioma 6 de Huzita).

Marque os pontos H', F' e B'

Trace o segmento F'B'.

Trace os segmentos B'B e H'B.

Trace por B' uma paralela a HB, com

extremidade em N.

Os triângulos BB'N, BB'H e BF'H' são

congruentes, com os ângulos em B

congruentes.


Pronto você acabou de resolver um dos famosos problemas da Grécia

Antiga utilizando o Origami!

O passo que não pode ser realizado com régua e compasso é o

Axioma 6 de Huzita!

Comentários sobre a questão 4: Essa questão se refere a um problema clássico

que valoriza o desenvolvimento da experimentação através do Origami, além de

revelar um pouco da história da Geometria para os alunos.

7.5) Fazendo dobraduras com triângulos (adaptado do livro de Matemática do

projeto Velear de Antonio Lopes Bigode):

a) Desenhe e recorte um triângulo qualquer, como demonstrado na ilustração 20:

Ilustração 20


b) Dobre o triângulo dividindo cada ângulo ao meio. Faça um traço com caneta

colorida na dobra:

Ilustração 21


Como se chama a linha projetada pela dobradura que divide cada ângulo ao

meio?

C) Repita a dobra nos outros dois ângulos, fazendo os traços com caneta

colorida:

Ilustração 22


Como se chama o ponto onde todas as dobras se interceptaram?

7.6) Dobrando os lados do triângulo:

a) Desenhe e recorte um triângulo qualquer:

Ilustração 23


b) Dobre um dos lados do triângulo até encontra o ponto médio do lado do

triângulo. Desdobre e faça um traço em cima da dobra.

Ilustração 24


O traço que você marcou se refere a um segmento do triângulo. Como se chama

esse segmento?

c) Repita a dobra nos outros dois lados do triângulo, fazendo o traço para

destacar as dobras que você fez:

Ilustração 25


Todos os traços que você fez se, interceptaram em um único ponto do triângulo,

como se chama esse ponto?

7.7) Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira:

a) Circuncentro ( ) Ponto de encontro da mediatrizes do triângulo.

b) Incentro ( ) Ponto em que as bissetrizes do triângulo se interceptam.

c) Ortocentro ( ) Ponto de encontro das alturas do triângulo.

d) Baricentro ( ) Ponto de encontro das medianas do triângulo.

7.8) Construa um triângulo retângulo em seu caderno. Use o transferidor e

marque as bissetrizes dos ângulos do triângulo.

Comentários questões 5, 6, 7, e 8: Tais questões pretendem trabalhar os pontos

notáveis de um triângulo, para que o aluno possa construir na prática,

visualizando e experimentando, oportunizando o aluno tirar suas próprias

conclusões e assim poder diferenciar o incentro, circuncentro, ortocentro e o

Que tal você ler um pouco mais sobre os pontos notáveis do triângulo? Você pode acessar o site:

http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Index.htm, acesso em outubro de 2013.

baricentro. Pode-se também confeccionar cartazes para a sala de aula utilizando

as dobraduras.

7.9) Construa um triângulo com lados de 4cm, 5cm e 10cm. Relate o que

aconteceu, discuta com os colegas. Leia o texto no link abaixo e descubra mais

sobre as condições de existência de um triângulo, faça um relato em seu caderno.

Comentário sobre a questão 9: Tem um ditado que diz: só se aprende fazendo,

então a ideia é o aluno testar as medidas citadas a cima e verificar que não

conseguirá desenhar um triângulo, é ai que o professor pode instigá-lo a descobrir

o porque lendo o texto sugerido, aproveitando pode-se construir em papel kraft,

triângulos com diferentes medidas, colocando as condições de existência de um

triângulo.

7.10) Fazendo um Sapo em Origami:

Para realizar essa atividade, acesse a página:

http://www.youtube.com/watch?v=Y-muMqUw1HI, a qual possui um vídeo de mais

ou menos 5 minutos, que demonstra os passos para confeccionar um sapo em

Origami.

Assista o vídeo primeiro, depois de assistir ao vídeo, pegue uma folha de papel

A4 colorida, e inicie o vídeo novamente, vá fazendo as dobraduras e observando

quais polígonos podem ser representados em cada nova dobra feita por você. Se

precisar você pode parar o vídeo, ou voltar quantas vezes achar necessário.

Ao finalizar seu Origami ficou parecido com o Origami da ilustração 26:

Sugestão: Leia sobre as condições de existência de um triângulo no link abaixo:

http://www.brasilescola.com/matematica/triangulo.htm, acesso em outubro de

2013.

Ilustração 26


Agora responda:

a) A folha que você iniciou o Origami representava qual polígono? Faça um

pequeno desenho representando a folha inicial com suas dimensões:

b) Calcule a área e o perímetro dessa figura inicial, se precisar pode pegar outra

folha A4 para realizar as medidas, já que todas apresentam o mesmo tamanho.

c) Qual é a medida dos ângulos dessa figura? Qual a soma dos ângulos internos

dessa figura?.

d) durante a confecção do Origami, quais polígonos podem ser identificados?

e) Faça com suas palavras uma definição de polígonos, depois vamos debater

com a turma e tirar as conclusões necessárias para melhorar sua resposta.

f) Pegue uma folha de papel a4 branca e com um lápis de cera, pinte a figura que

está em baixo da folha, criando uma imagem como a ilustração 27. Que figuras

você consegue identificar?

Ilustração 27


g) Qual o perímetro do triângulo maior? Qual a classificação desse triângulo

quanto aos seus lados?

h) Qual a altura do triângulo? Defina com suas palavras como medir a altura do

triângulo. Calcule a área do triângulo maior.

i) Qual a medida dos ângulos do triângulo maior? Qual a soma dos ângulos

internos do triângulo?

j) Qual a área do losango que apareceu no desenho?

Comentários sobre a questão 10, a questão pretende propor ao aluno identificar

os polígono, e formar conceitos sobre os polígonos, principalmente os triângulos e

quadriláteros, trabalhando também a soma dos ângulos internos de um triângulo,

chegando a conclusão que essa soma é sempre igual a 180º, além do cálculo de

área e perímetro das figuras visualizadas no Origami.

7.11) Confeccionando uma borboleta em Origami:

No endereço: http://www.youtube.com/watch?v=v-E3p5_5nvs, você vai encontrar

um vídeo de quase 5 minutos que demonstra os passos para a confecção da

borboleta em Origami. Assista o vídeo, depois mão a obra! Para começar você irá

precisar de um quadrado de papel dobradura colorido, sugiro que pegue um

quadrado com lado 15 cm. Lembre-se na medida que você achar necessário pode

parar o vídeo ou voltar, para que consiga realizar as dobras adequadamente. Ao

terminar sua borboleta ficará parecida com a ilustração 28:

Ilustração 28


Depois de confeccionar a dobradura, faça os exercícios a seguir:

a) Supondo que você usou um quadrados de lado 15 cm, qual a área total do papel utilizado?

b) Qual o perímetro do quadrado de papel que você utilizou?

c) Quantas diagonais tem um quadrado? Defina o que uma diagonal.

d) Durante a confecção da borboleta, vários polígonos puderam ser reconhecidos,

entre eles está o trapézio, defina o que é um trapézio e quais os tipos de

trapézios.

e) Qual a área total de trapézio que tenha as seguintes medidas: base maior igual

a 15 cm, base menor igual a 10 cm e altura, igual a 8c m?

f) Calcule a área dos trapézios da ilustração 29:

Ilustração 29


g) Em um trapézio isósceles com perímetro igual a 40cm, a base maior mede

14cm, a base menor, mede 8cm cm , qual a medida dos outros dois lados?

h) Na ilustração 30, sabe-se que um dos ângulos mede 60º, qual a medida dos

outros ângulos?

Ilustração 30


Comentários sobre a questão 11: a questão aborda a área e o perímetro de

quadriláteros, assim como o número de diagonais, e a soma dos ângulos internos

de um quadrilátero, como no item h, em que a figura se refere um trapézio

retângulo, pretende-se que o aluno visualize que se dois de seus ângulos medem

90º(são ângulos retos), o outro vai medir 360º- 90º-90º-60.

7.12) Confeccionando uma mola maluca em Origami:

No endereço: http://www.youtube.com/watch?v=uUkMtg4SZYQ, você

irá encontrar um vídeo de aproximadamente 7 minutos, que demonstra os passos

para confeccionar uma mola maluca em Origami. As dobraduras são simples,

porém para que a mola tenha um tamanho será necessário mais ou menos 60 a

80 peças para encaixe, essas peças devem ter o mesmo formato para que o

encaixe aconteça. Uma sugestão é de que cada aluno faça tantas peças e depois

junte-se as peças da turma toda montando assim a mola maluca. Assista o vídeo,

depois mão a obra! Para começar você irá precisar de 60 a 80 quadradinhos de

papel medindo 8cm de lado, os quadrados podem ser coloridos montando assim

uma mola com várias cores. Lembre-se na medida que você achar necessário

pode parar o vídeo ou voltar, para que consiga realizar as dobras

adequadamente. Para finalizar o trabalho será importante o auxilio do professor.

Juntando as peças sua mola maluca estará pronta:

Ilustração 31


Agora que sua mola maluca já está pronta, responda as questões abaixo:

a) Na primeira figura que corresponde a peça individual da mola, quais as figuras

geométricas que você poderá visualizar?

b) Desenhe em seu caderno as figuras identificadas na questão anterior, com as

medidas dos lados.

c) Calcule a área e o perímetro de cada figura.

d) Trace as diagonais possíveis em cada uma das figuras e realize a medida das

mesmas. A que conclusão podemos chegar?

e) Utilizando a fórmula para o cálculo de diagonais: d =

n(n−3)2 e calcule o número

de diagonais das figuras geométricas abaixo para completar a tabela:

Figura Número de lados Número de diagonais Pentágono Hexagono Heptágono Octógono Decágono

Pentadecágono Icoságono

f) Desenhe um pentágono, depois um hexágono para verificar quantas diagonais

partem de cada vértice.

g) E em um icoságono, quantas diagonais partem de cada vértice? Leia

atentamente a informação abaixo:

Na fórmula para o cálculo de diagonais de um polígono, n indica o número de

lados e n – 3 determina o número de diagonais que partem de um único vértice,

a divisão por dois é utilizada para eliminar a duplicidade de diagonais pois a

mesma diagonal é contada nos dois vértices onde se encontra a diagonal.

Comentários sobre a questão 12: espera se que os alunos visualizem 1 triângulo

na parte central e dois retângulos na lateral e ainda podem ser instigados a

responderem que esses retângulos são figuras equivalente e que o triângulo é um

triângulo isósceles relembrando atividades já trabalhadas, espera-se também que

os alunos experimentem e compreendam a fórmula para o cálculo de diagonais

de um polígono regular entendendo como as fórmulas matemáticas podem

facilitar o nosso dia a dia.

7.13) Confeccionando um cubo:

O cubo que iremos confeccionar é um pouco diferente do que

costumamos ver em nossas aulas de Matemática, para começar acesse o

endereço: http://www.youtube.com/watch?v=A8EyLFWXV_0, nesse endereço

você irá encontrar um vídeo de aproximadamente 8 minutos que demonstra os

passos para confeccionar o Origami Magic Rose Cube ( Rosa cubo mágico). As

dobraduras requerem um pouco de prática, então mão a obra!

Sugestão: faça as faces do cubo (cada uma das dobraduras) usando

um quadrados de 10cm de lado. Você irá precisar de duas cores de papel

colorido, uma para as pétalas da rosa (3 quadrados de 10cm de lado) e uma cor

para as folhas (3 quadrados de 10 cm de lado), pode-se usar o papel color set.

Lembre-se: na medida que você achar necessário pode parar o vídeo

ou voltar, para que consiga realizar as dobras adequadamente. Seu trabalho

ficou parecido com esse:

Ilustração 32


Depois de pronto é só responder as questões abaixo:

a) O cubo é uma figura geométrica que possui quantas faces?

b) Cada face tem a forma de qual polígono?

C) Quantos vértices tem o cubo?

d) O que são arestas? Quantas arestas tem o cubo?

e) Qual a medida do lado do polígono que uma das faces do cubo que você montou?

f) Desenhe esse quadrado que representa a face do cubo em seu caderno, com a

medida do lado e em seguida calcule a área desse polígono.

g) O cubo possui seis faces iguais, então qual a área total do cubo?

h) O volume é uma medida de capacidade que refere-se ao comprimento x a

largura x a altura, como no cubo essas medidas são todas iguais pode-se calcular

o volume do cubo utilizando a fórmula:

V = a³, onde v é o volume e a é a medida da aresta do cubo, ou seja, do lado do

quadrado que forma uma das faces do cubo.

Calcule o volume do cubo que você confeccionou.

i) Faça a planificação do cubo que você confeccionou, em uma folha de papel,

coloque sobre ela seu cubo e vá girando, primeiro os quatro lados, quando chegar

no quarto lado gire uma vez para baixo, depois duas vez para cima, com o auxilio

de uma régua refaça os traços com lápis colorido ou caneta, recorte e cole em

seu caderno.

Ilustração 33


Nessa atividade espera-se que o aluno consiga visualizar que os poliedros são

construídos a partir de polígonos que juntando-se formam uma figura em três

dimensões, ainda, explorar o cubo, percebendo que a área da face é o mesmo

que calcular a área do quadrado, que a área total é a soma da área de todas as

faces e que o volume é a medida que depende do comprimento, altura e largura.

Pretende-se também dar um enfoque a planificação, permitindo que o aluno

analise as faces e como pode planificar os poliedros de forma fácil. O item f pode

ser desenvolvido com outros polígonos como veremos na atividade a seguir.

7.14) Confeccionado um tetraedro

O tetraedro é um poliedro que possui quatro faces e estas faces são triângulos

equiláteros. Mãos a obra!

Recorte 6 quadrados com medidas de 15 cm. Com 4 desses quadrados você irá

confeccionar as faces do tetraedro e os outros dois quadrado será para a

confecção das peças de encaixe.

Passos para construção das faces:

Ilustração 34

Dobre o quadrado ao meio, depois desdobre.

Dobre encostando um dos vértices na marca deixada pela primeira dobra, desdobre.

Dobre fazendo com que o lado do quadrado encoste na marca deixada pela 2ª dobra.

Dobre dividindo o outro ângulo da base em dois.

Dobre ao meio de maneira que a base maior encoste na base menor, cuide para que o canto esquerdo fique sobre a linha do meio.

Dobre a ponta da esquerda sobre a base até o limite da dobra que está no lado debaixo.

Dobre a pontinha que ficou do lado direito para cima.

Dobre a ponta do lado esquerdo, colocando a na aba que está embaixo como um envelope.

Fonte : Arquivo Pessoal.

O tetraedro possui quatro faces, é necessário repetir o processo acima

4 vezes para obter as quatro faces. Você pode utilizar papel de várias cores,

fazendo uma face de cada cor e os encaixe de outra cor, para os encaixes pode

se utilizar quadrados de papel papel color set.

Passos para construir as peças de encaixe:

Ilustração 35

Dobre cada quadrado em quatro partes iguais e depois recorte.

Dobre o quadrado menor em quatro partes.

Dobre fazendo com que cada vértice do quadrado menor chegue até o centro.

Dobre ao meio.


O tetraedro possui 6 arestas, então precisarão ser construídas 6 peças de encaixe.

Montagem do tetraedro:

Ilustração 36

Você vai precisar de 4 triângulos e 6 peças de encaixe.

Comece com um triangulo, encaixe as peças de encaixe como em um envelope e continue até formar as 4 faces.

Depois de encaixar todas as peças, seu tetraedro está pronto.


Após montar o tetraedro vamos responder:

a) Complete a tabela:

Figura Geométrica Nº de faces Nº de vértices Nº de arestas

Tetraedro

b) Você já ouviu falar da relação de Euler?

A relação de Euler foi criada pelo matemático suíço Leonhard Euler, ela faz

relaciona o número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo.

Segundo a relação de Euler o número de vértices menos o número de arestas

mais o número de faces é igual a 2. Veja como fica a fórmula: V - A + F = 2, onde

V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces.

Teste essa informação utilizando as informações obtidas no item anterior.

c) Faça a planificação do tetraedro, sobre uma folha de papel coloque o tetraedro,

vá girando a figura e desenhando cada uma das faces na folha. Com o auxilio de

uma régua refaça os traços com lápis colorido ou caneta. Recorte e cole no

caderno.

Sugestão: se quiser construir outras figuras como um octógono regular, com oito

faces triangulares é só construir 8 triângulos como os da atividade 12 e as peças

de encaixe conforme o número de arestas no caso 12. E assim outros poliedros

com faces triangulares.

Nessa atividade espera-se que os alunos percebam outros poliedros, conheçam

um pouco sobre a relação de Euler e de forma prática usando a manipulação das

figuras, compreendam esta relação. Que visualizem e entendam o que é planificar

um poliedro e ainda mais, percebam que cada face do poliedro corresponde a um

polígono.

8. Outras Sugestões de Origami:

Tsuru (garça), ave sagrada do Japão, um dos Origamis mais famosos, os passos

de como fazer o origami você encontra em um vídeo de aproximadamente 7

minutos, disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=PAKmxBTSajg, acesso em outubro de 2013.

Caixa de presente, O tamanho da caixa de presente pode variar, dependendo

da sua necessidade. O passo a passo está demonstrado em um vídeo de

aproximadamente 6 minutos disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=6TUml0X1B-4, acesso em outubro de 2013.

Peixe, para confeccionar um peixe em origami, basta seguir os passos mostrados

no vídeo de aproximadamente 5 minutos, disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=_sjekw64ou4, acesso em outubro de 20013.

9. REFERENCIAS:

BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana.Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1995. (Coleção do Professor de Matemática).

BIGODE, Antonio José Lopes. Projeto Velear. 1. ed.- São Paulo: Scipione, 2012.

CAIXA de presente. Disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=6TUml0X1B-4>, acesso em 16 de outubro de 2013.

CAVACAMI, Eduardo; FURUYA, Yolanda K. S. Explorando Geometria com Origami. Programa de Iniciação Científica OBMEP.

COMO fazer um sapo de papel, Origami. Disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=Y-muMqUw1HI>, acesso em 16 de outubro de 2013.

COMO fazer uma borboleta de papel, Origami. Disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=v-E3p5_5nvs>, acesso em 16 de outubro de 2013.

EI! Se liga na UFG - História do Origami - vídeo. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=FtgFf8McooM> acesso em: 16 de outubro de 2013.

FAINGUELERNT, Estela K. Educação Matemática: Representação e Construção em Geometria. Porto Alegre: Artes Médicas, 1999.

HISTÓRIA DA GEOMETRIA. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm16/historia.htm>, acesso em 16 de outubro de 2013. IMENES, Luiz Márcio. Vivendo a Matemática: geometria das dobraduras. 4ªed. São Paulo: Scipione. LIMA, E. L. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? In : Educação Matemática em Revista SBEM , ano 3, p.3-13, jan/jun.1995.

MOLA maluca de Origami (brinquedo para iniciantes). Disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=uUkMtg4SZYQ>, acesso em 16 de outubro de 2013.

NÚMERO de diagonais de um polígono convexo. Disponível em < http://www.brasilescola.com/matematica/numero-diagonais-um-poligono-convexo.htm>, acesso de 2013.

OBMEP - Banco de Questões 2013. Disponível em < http://www.obmep.org.br/bq/bq2013.pdf>, acesso em 16 de outubro de 2013. ORIGAMIS - Curiosidades. Disponível em <http://origami-friens.blogspot.com.br/p/curiosidades.html>, acesso em 16 de outubro de 2013.

ORIGAMI Magic Rose Cube (Valerie Vann). Disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=A8EyLFWXV_0>, acesso em 16 de outubro de 2013.

O TRIÂNGULO. Disponível em <http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Index.htm>, acesso em 16 de outubro de 2013.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

PEIXE. Disponível em < http://www.youtube.com/watch?v=_sjekw64ou4>, acesso em 16 de outubro de 2013.

POLÍGONOS - Matemática Geometria. Disponível em <https://www.youtube.com/watch?v=s6nEBTJVOuw>, acesso em 16 de outubro de 2013.

PONTE, João Pedro da. Investigações matemáticas na sala de aula/ João Pedro da Ponte, Joana Brocardo, Hélia Oliveira. - 1ª ed., 2ª reimp. - Belo Horizonte : Autêntica, 2006.

Portal Dia a Dia Educação. Imagens. Disponível em <http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria>, acesso em 16 de outubro de 2013.

RÊGO, R.G.; RÊGO, R.M; GAUDENCIO Jr, Severino. A geometria do Origami: atividades de ensino através de dobraduras. João Pessoa: Editora Universitária/ UFPB, 2004. ROSSONI, Diogo Francisco. A Matemática do Origami: Uma proposta de trabalho para o 3º ciclo do Ensino Fundamental (6ª série). Cascavel: Trabalho de conclusão de curso apresentada ao curso de Matemática da Universidade Estadual do oeste do Paraná, 2005. TRÂNGULO Equilátero - Origami. Disponível em < http://www.youtube.com/watch?v=FECtMrk8x9w>, acesso em 16 de outubro de 2013.

TRIÂNGULO. Disponível em <http://www.brasilescola.com/matematica/triangulo.htm>, acesso em 16 de outubro de 2013.

TSURU. Disponível em < http://www.youtube.com/watch?v=PAKmxBTSajg>, acesso em 16 de outubro de 2013.

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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · um angulo e sua bissetriz, obter retas perpendiculares, paralelas, diagonais ... Ângulos: é denominado ângulo a região do plano