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OSCILADORES

São todas entidades físicas capazes de oscilar de alguma forma. Dentre eles temos

molas e pêndulos, por exemplo. Vamos analisar cada um e seus comportamentos.

Oscilador Harmônico

O Oscilador Harmônico apresenta oscilação de forma periódica. Isto é, seu

movimento se repete ao longo do tempo.

Oscilador Harmônico: Mola

A força elástica produzida por uma mola, de constante elástica 𝑘, que sofreu um

deslocamento 𝑥 desde sua posição de equilíbrio é dada por:

�⃗� = −𝑘𝑥

Pela Lei de Newton, sabemos que �⃗� = 𝑚�̈�, onde �̈� =𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 é a aceleração da partícula

de massa 𝑚, então:

𝑚�̈� = −𝑘𝑥

(Equação 01)

Figura 1 - Oscilador Harmônico: Mola

O esquema da Figura 1 nos mostra uma das formas que podemos usar a mola. Neste

caso, estamos desprezando qualquer tipo de atrito. O eixo 𝑦 está fixo na posição de

equilíbrio do sistema (ou seja, na posição onde a massa está parada e a mola não produz

qualquer força elástica sobre a massa).

Como sabemos que o movimento da massa é periódico, podemos escrever a solução

em função de seno ou cosseno. Portanto, temos duas possíveis soluções:

{𝑥1(𝑡) = sin(𝑎1𝑡)

𝑥2(𝑡) = cos(𝑎2𝑡)

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Calculando as derivadas das soluções, temos:

{�̇�1 = 𝑎1 cos(𝑎1𝑡) → �̈�1 = −𝑎1

2 sin(𝑎1𝑡)

�̇�2 = −𝑎2 sin(𝑎2𝑡) → �̈�2 = −𝑎22 cos(𝑎2𝑡)

Ou ainda,

{�̈�1 = −𝑎1

2𝑥1�̈�2 = −𝑎2

2𝑥2

Comparando com a Equação 01, temos que:

𝑎12 = 𝑎2

2 =𝑘

𝑚= 𝜔2

Onde 𝜔 é a frequência angular. Portanto, as soluções são:

{𝑥1(𝑡) = sin(𝜔𝑡)

𝑥2(𝑡) = cos(𝜔𝑡)

Pelo princípio de superposição, se 𝑥1(𝑡) e 𝑥2(𝑡) são soluções, então a combinação

linear delas também é solução. Sendo assim, podemos escrever uma solução geral

como:

𝑥(𝑡) = 𝐴1 sin(𝜔𝑡) + 𝐴2 cos(𝜔𝑡)

Onde 𝐴1 e 𝐴2 são constantes. Esta solução pode não ser muito útil por termos duas

funções trigonométricas. Podemos simplificar ainda mais se fizermos uso dos números

complexos. Pela Fórmula de Euler, temos:

{𝑒𝑖𝜃 = cos(𝜃) + 𝑖 sin(𝜃)

𝑒−𝑖𝜃 = cos(𝜃) − 𝑖 sin(𝜃)

(Equação 02)

Ao somarmos as duas equações acima, teremos:

𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃 = 2 cos(𝜃)

cos(𝜃) =𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃

2

Subtraindo, temos:

𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃 = 2𝑖 sin(𝜃)

sin(𝜃) =𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃

2𝑖



Fazendo uso dessas notações de seno e cosseno na solução geral, teremos então:

𝑥(𝑡) = 𝐴1𝑒𝑖𝜔𝑡 − 𝑒−𝑖𝜔𝑡

2𝑖+ 𝐴2

𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝑒−𝑖𝜔𝑡

2

𝑥(𝑡) = (𝐴12𝑖+𝐴22) 𝑒𝑖𝜔𝑡 + (

𝐴22−𝐴12𝑖) 𝑒−𝑖𝜔𝑡

Redefinindo as constantes, vem:

𝑥(𝑡) = 𝐵1𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐵2𝑒

−𝑖𝜔𝑡

(Equação 03)

Da mesma forma que discutimos para as funções seno e cosseno, podemos escolher

apenas uma das funções exponenciais acima como solução. A vantagem de se fazer uso

da exponencial complexa é da simplicidade para resolver problemas. As operações de

adição/subtração, potenciação/radiciação, derivação e integração são bem simples de

calcular com funções exponenciais. Já as funções trigonométricas apresentam

dificuldades para tais operações, dependendo do caso.

Lembrando que a solução da Equação 03 está contida nos números reais. Mesmo

com o uso de funções complexas, a solução deve ser a parte real ou imaginária das

exponenciais. Na Figura 2 podemos ver o comportamento oscilatório da solução geral.

Figura 2 - Gráfico da solução do oscilador harmônico

É comum fazermos uso das condições iniciais do problema. Vamos supor que,

quando começamos a marcar o tempo 𝑡, a massa é esticada até a posição 𝑥(0) = 𝑥0 e

está com velocidade �̇�(0) = 𝑣0. Usando a Equação 03, podemos derivar e encontrar a

equação para a velocidade:

�̇�(𝑡) = 𝑖𝜔𝐵1𝑒𝑖𝜔𝑡 − 𝑖𝜔𝐵2𝑒

−𝑖𝜔𝑡



Agora precisamos aplicar as condições iniciais (tempo 𝑡 = 0) para encontrarmos os

valores das constantes.

{𝑥(0) = 𝐵1 + 𝐵2 → 𝑥0 = 𝐵1 + 𝐵2

�̇�(0) = 𝑖𝜔𝐵1 − 𝑖𝜔𝐵2 →𝑣0𝑖𝜔= 𝐵1 − 𝐵2

Fazendo a soma, temos:

2𝐵1 = 𝑥0 +𝑣0𝑖𝜔

𝐵1 =1

2(𝑥0 −

𝑣0𝜔𝑖)

Subtraindo, vem:

2𝐵2 = 𝑥0 −𝑣0𝑖𝜔

𝐵2 =1

2(𝑥0 +

𝑣0𝜔𝑖)

Mudando para as constantes 𝐴1 e 𝐴2, temos as relações:

{𝐵1 =

1

2(𝐴2 +

𝐴1𝑖) =

1

2(𝐴2 − 𝐴1𝑖)

𝐵2 =1

2(𝐴2 −

𝐴1𝑖) =

1

2(𝐴2 + 𝐴1𝑖)

Sendo assim, podemos perceber que:

{𝐴1 =

𝑣0𝜔

𝐴2 = 𝑥0

Portanto, a solução geral pode ser escrita como:

𝑥(𝑡) =𝑣0𝜔sin(𝜔𝑡) + 𝑥0 cos(𝜔𝑡)

(Equação 04)

Oscilador Harmônico: Pêndulo

Vamos imaginar um pêndulo, de comprimento 𝑙, com uma massa 𝑚 em sua

extremidade. A força atuando sobre o pêndulo é apenas a força peso. O pêndulo forma

um ângulo 𝜃 com a posição de equilíbrio.

A força peso possui apenas componente no eixo 𝑦, conforme a Figura 3, mas a força

que faz o movimento do pêndulo acontecer tem duas componentes:



�⃗� = 𝑚(�̈��̂�𝑥 + �̈��̂�𝑦)

Essa força muda de direção conforme o tempo. Para facilitar os cálculos iremos fazer

uso de coordenadas polares (𝑟, 𝜃). Mas a facilidade surge porque o raio 𝑟 é constante e

𝑟 = 𝑙. Portanto, reduzimos o problema bidimensional a um unidimensional.

Figura 3 - Pêndulo Simples

Em componentes polares, a força �⃗� pode ser escrita como:

�⃗� = �⃗�𝑟 + �⃗�𝜃

{�⃗�𝑟 = 𝑚�̈��̂�𝑟

�⃗�𝜃 = 𝑚𝑙�̈��̂�𝜃

A força �⃗�𝑟 se anula com a tração do fio, portanto não influencia no movimento.

Decompondo a força nas direções radiais e angulares, temos:

{�⃗�𝑟 = 𝑚𝑔 cos(𝜃) �̂�𝑟

�⃗�𝜃 = −𝑚𝑔 sin(𝜃) �̂�𝜃

Sendo assim,

{𝑚�̈� = 𝑚𝑔 cos(𝜃)

𝑚𝑙�̈� = −𝑚𝑔 sin(𝜃)

A aceleração radial é nula, �̈� = 0, e a aceleração angular é a única que influencia o

movimento. Portanto:

�̈� = −𝑔

𝑙sin(𝜃)

(Equação 05)



A Equação 05 não possui solução trivial. Contudo, podemos fazer aproximações.

Para uma abertura pequena, 𝜃 ≪ 1, podemos aproximar sin(𝜃) ≈ 𝜃, portanto:

�̈� = −𝑔

𝑙𝜃

Note que esta equação é semelhante à Equação 01. No caso da mola, a frequência

angular é definida em termos de 𝑘 e 𝑚. Para o pêndulo, a frequência angular é definida

como:

𝜔2 =𝑔

𝑙

Usando a mesma lógica para a Equação 03, temos a solução geral:

𝜃(𝑡) = 𝐵1𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐵2𝑒

−𝑖𝜔𝑡

Ou ainda,

𝜃(𝑡) = 𝐴1 sin(𝜔𝑡) + 𝐴2 cos(𝜔𝑡)

Onde:

{𝐵1 =

1

2(𝐴2 − 𝑖𝐴1)

𝐵2 =1

2(𝐴2 + 𝑖𝐴1)

Para as condições iniciais, podemos supor que a posição inicial do pêndulo é em

𝜃(0) = 𝜃0 com velocidade inicial �̇�(0) = Ω0. A velocidade do pêndulo é dada por:

�̇�(𝑡) = 𝑖𝜔𝐵1𝑒𝑖𝜔𝑡 − 𝑖𝜔𝐵2𝑒

−𝑖𝜔𝑡

Usando as condições iniciais em 𝑡 = 0, temos:

{𝜃(0) = 𝐵1 + 𝐵2 → 𝜃0 = 𝐵1 + 𝐵2

�̇�(0) = 𝑖𝜔𝐵1 − 𝑖𝜔𝐵2 →Ω0𝑖𝜔

= 𝐵1 − 𝐵2

Dai podemos inferir que:

{𝐵1 =

1

2(𝜃0 −

Ω0𝜔𝑖)

𝐵2 =1

2(𝜃0 +

Ω0𝜔𝑖)

Sendo assim, 𝐴1 =Ω0

𝜔 e 𝐴2 = 𝜃0. Escrevendo na forma trigonométrica, temos:



𝜃(𝑡) =Ω0𝜔sin(𝜔𝑡) + 𝜃0 cos(𝜔𝑡)

(Equação 06)

Oscilador Amortecido

Até agora desprezamos qualquer tipo de atrito, com isso o movimento oscilatório se

repete infinitamente. Isso não acontece com o atrito, que provoca um amortecimento no

movimento.

Vamos supor que uma mola possui uma força de atrito com o ar. Esta força também

é conhecida como Resistência do Ar e é proporcional à velocidade do movimento, ou

seja:

�⃗�𝑙𝑖𝑛 = −𝑏�̇��̂�𝑥

Onde 𝑏 é o coeficiente de atrito linear e �̇� é a velocidade da massa 𝑚, presa à mola.

Já a força de atrito com a superfície pode ser dada por:

�⃗�𝑎𝑡 = −𝜇𝑚𝑔�̂�𝑥

Onde 𝜇 é o coeficiente de atrito com o chão e 𝑔 é a aceleração da gravidade.

Portanto, a força resultante será:

𝑚�̈� = −𝑘𝑥 − 𝑏�̇� − 𝜇𝑚𝑔

�̈� = −𝑘

𝑚𝑥 −

𝑏

𝑚�̇� − 𝜇𝑔

Para facilitar as contas, podemos definir duas constantes tais que:

{𝜔2 =

𝑘

𝑚

𝛾 =𝑏

𝑚

Logo,

�̈� + 𝛾�̇� + 𝜔2𝑥 = −𝜇𝑔

(Equação 07)

Esta equação é chamada de Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem não

homogênea. Ela possui duas soluções: homogênea e particular. A primeira é calculada

quando o lado direito é nulo. A solução particular depende da forma da função presente

no lado direito. Neste caso, essa função é um polinômio de grau zero (uma constante).

Obs.: A solução geral desta EDO é dada pela soma das duas soluções.



A solução particular para um polinômio de grau 𝑛 deve ter a forma de um polinômio

de mesmo grau. Com isso, temos a solução particular:

𝑥𝑝(𝑡) = 𝐵

Onde 𝐵 é uma constante a ser descoberta. Suas derivadas são nulas. Substituindo na

EDO, temos:

𝜔2𝐵 = −𝜇𝑔

𝐵 = −𝜇𝑔

𝜔2

Logo,

𝑥𝑝(𝑡) = −𝜇𝑔

𝜔2

Para a solução homogênea temos que usar a EDO:

�̈� + 𝛾�̇� + 𝜔2𝑥 = 0

Podemos dizer que existe uma solução tal que:

𝑥ℎ(𝑡) = 𝑐𝑒𝑟𝑡

Suas derivadas são:

{�̇�ℎ(𝑡) = 𝑐𝑟𝑒𝑟𝑡

�̈�ℎ(𝑡) = 𝑐𝑟2𝑒𝑟𝑡

Substituindo na EDO, temos:

𝑐𝑟2𝑒𝑟𝑡 + 𝑐𝛾𝑟𝑒𝑟𝑡 + 𝑐𝜔2𝑒𝑟𝑡 = 0

Como 𝑐 é uma constante qualquer não nula e 𝑒𝑟𝑡 ≠ 0 para todo valor de 𝑟 e 𝑡, então

a equação característica será:

𝑟2 + 𝛾𝑟 + 𝜔2 = 0

𝑟 =−𝛾 ± √𝛾2 − 4𝜔2

2

𝑟 = −𝛾

2± √

𝛾2

4− 𝜔2

Note que não sabemos o valor dentro da raiz, que pode ser positivo, negativo ou

nulo. Devemos tratar os três casos de forma separada.



Caso I – Raiz Positiva (Amortecimento Supercrítico)

Vamos supor que existe um valor positivo 𝜔𝑎 tal que:

𝜔𝑎2 =

𝛾2

4− 𝜔2

Logo,

𝑟 = −𝛾

2± 𝜔𝑎

Substituindo na solução, teremos:

𝑥ℎ(𝑡) = 𝑐1𝑒(−𝛾2+𝜔𝑎)𝑡 + 𝑐2𝑒

(−𝛾2−𝜔𝑎)𝑡

𝑥ℎ(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡(𝑐1𝑒

𝜔𝑎𝑡 + 𝑐2𝑒−𝜔𝑎𝑡)

A solução geral será dada por:

𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡)

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡(𝑐1𝑒

𝜔𝑎𝑡 + 𝑐2𝑒−𝜔𝑎𝑡) −

𝜇𝑔

𝜔2

A velocidade é dada pela derivada:

�̇�(𝑡) = −𝛾

2𝑒−

𝛾2𝑡(𝑐1𝑒

𝜔𝑎𝑡 + 𝑐2𝑒−𝜔𝑎𝑡) + 𝜔𝑎𝑒

−𝛾2𝑡(𝑐1𝑒

𝜔𝑎𝑡 − 𝑐2𝑒−𝜔𝑎𝑡)

�̇�(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡 [(𝜔𝑎 −

𝛾

2) 𝑐1𝑒

𝜔𝑎𝑡 − (𝜔𝑎 +𝛾

2) 𝑐2𝑒

−𝜔𝑎𝑡]

Nas condições iniciais (𝑥(0) = 𝑥0 e �̇�(0) = 𝑣0), temos:

{𝑥0 = 𝑐1 + 𝑐2 −

𝜇𝑔

𝜔2

𝑣0 = (𝜔𝑎 −𝛾

2) 𝑐1 − (𝜔𝑎 +

𝛾

2) 𝑐2

Usando 𝑐2 = 𝑥0 − 𝑐1 +𝜇𝑔

𝜔2, vem:

𝑣0 = (𝜔𝑎 −𝛾

2) 𝑐1 − (𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 − 𝑐1 +

𝜇𝑔

𝜔2)

𝑣0 = (𝜔𝑎 −𝛾

2+ 𝜔𝑎 +

𝛾

2) 𝑐1 − (𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)

𝑣0 = 2𝜔𝑎𝑐1 − (𝜔𝑎 +𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)



𝑐1 =1

2𝜔𝑎[𝑣0 + (𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)]

Substituindo no valor de 𝑐2 = 𝑥0 − 𝑐1 +𝜇𝑔

𝜔2, surge:

𝑐2 = 𝑥0 −1

2𝜔𝑎[𝑣0 + (𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)] +

𝜇𝑔

𝜔2

𝑐2 =1

2𝜔𝑎[2𝜔𝑎 (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2) − 𝑣0 − (𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)]

𝑐2 = −1

2𝜔𝑎[𝑣0 − (𝜔𝑎 −

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)]

A solução geral será dada por:

𝑥(𝑡) =1

2𝜔𝑎𝑒−

𝛾2𝑡 [(𝑣0 + (𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)) 𝑒𝜔𝑎𝑡

− (𝑣0 − (𝜔𝑎 −𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)) 𝑒−𝜔𝑎𝑡] −

𝜇𝑔

𝜔2

𝑥(𝑡) =1

2𝜔𝑎𝑒−

𝛾2𝑡 [(𝑣0 +

𝛾

2(𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)) (𝑒𝜔𝑎𝑡 − 𝑒−𝜔𝑎𝑡)

+ 𝜔𝑎 (𝑥0 +𝜇𝑔

𝜔2) (𝑒𝜔𝑎𝑡 + 𝑒−𝜔𝑎𝑡)] −

𝜇𝑔

𝜔2

Usando funções hiperbólicas, temos:

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡 [𝑣0 +

𝛾2(𝑥0 +

𝜇𝑔𝜔2)

𝜔𝑎sinh(𝜔𝑎𝑡) + (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2) cosh(𝜔𝑎𝑡)] −

𝜇𝑔

𝜔2

Esta é a solução geral para o oscilador com amortecimento supercrítico. Observando

seu comportamento gráfico pela Figura 4, podemos ver que esse oscilador dá uma

pequena oscilada nos instantes iniciais e para depois de um longo tempo.

Para exemplificar este caso, imagine uma mola mergulhada em um fluido denso. Ao

puxar a massa da extremidade, a restituição irá demorar bastante tempo para ocorrer.



Figura 4- Oscilador com amortecimento supercrítico

Caso II – Raiz Nula (Amortecimento Crítico)

Neste caso, temos que:

𝛾

2= 𝜔

Logo,

𝑟 = −𝛾

2

Como só existe uma raiz da equação característica, a solução geral é da forma:

𝑥ℎ(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡(𝐴𝑡 + 𝐵)

𝑥ℎ(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡(𝐴𝑡 + 𝐵)

Onde 𝐴 e 𝐵 são constantes arbitrárias. A solução geral será:

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡(𝐴𝑡 + 𝐵) −

𝜇𝑔

𝜔2

A velocidade é dada por:

�̇�(𝑡) = −𝛾

2𝑒−

𝛾2𝑡(𝐴𝑡 + 𝐵) + 𝑒−

𝛾2𝑡𝐴

�̇�(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡 [𝐴 −

𝛾

2(𝐴𝑡 + 𝐵)]

Nas condições iniciais, vem:

{𝑥0 = 𝐵 −

𝜇𝑔

𝜔2

𝑣0 = −𝛾

2𝐵 + 𝐴



Então,

{𝐵 = 𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2

𝐴 = 𝑣0 +𝛾

2(𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)

Portanto,

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡 [(𝑣0 +

𝛾

2(𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)) 𝑡 + 𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2] −

𝜇𝑔

𝜔2

Note que o amortecimento crítico faz restituição da posição mais rápido que o

supercrítico, conforme a Figura 5. Esse caso é bastante útil em amortecedor veicular,

que deve reduzir a transmissão de vibração do solo para o veículo.

Figura 5 - Oscilador com amortecimento crítico

Caso III – Raiz Negativa (Amortecimento Subcrítico)

Definindo um valor 𝜔𝑎 positivo, tal que:

𝜔𝑎2 = 𝜔2 −

𝛾2

4

Assim,

𝑟 = −𝛾

2± 𝑖𝜔𝑎

A solução homogênea será dada por:

𝑥ℎ(𝑡) = 𝑐1𝑒(−𝛾2+𝑖𝜔𝑎)𝑡 + 𝑐2𝑒

(−𝛾2−𝑖𝜔𝑎)𝑡

𝑥ℎ(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡(𝑐1𝑒

𝑖𝜔𝑎𝑡 + 𝑐2𝑒−𝑖𝜔𝑎𝑡)



A solução geral pode ser escrita como:

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡(𝑐1𝑒

𝑖𝜔𝑎𝑡 + 𝑐2𝑒−𝑖𝜔𝑎𝑡) −

𝜇𝑔

𝜔2

A velocidade será a derivada:

�̇�(𝑡) = −𝛾

2𝑒−

𝛾2𝑡(𝑐1𝑒

𝑖𝜔𝑎𝑡 + 𝑐2𝑒−𝑖𝜔𝑎𝑡) + 𝑖𝜔𝑎𝑒

−𝛾2𝑡(𝑐1𝑒

𝑖𝜔𝑎𝑡 − 𝑐2𝑒−𝑖𝜔𝑎𝑡)

�̇�(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡 [(𝑖𝜔𝑎 −

𝛾

2) 𝑐1𝑒

𝑖𝜔𝑎𝑡 − (𝑖𝜔𝑎 +𝛾

2) 𝑐2𝑒

−𝑖𝜔𝑎𝑡]

Nas condições iniciais, temos:

{𝑥0 = 𝑐1 + 𝑐2 −

𝜇𝑔

𝜔2

𝑣0 = (𝑖𝜔𝑎 −𝛾

2) 𝑐1 − (𝑖𝜔𝑎 +

𝛾

2) 𝑐2

Fazendo 𝑐2 = 𝑥0 − 𝑐1 +𝜇𝑔

𝜔2, vem:


2) 𝑐1 − (𝑖𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 − 𝑐1 +

𝜇𝑔

𝜔2)


2+ 𝑖𝜔𝑎 +

𝛾

2) 𝑐1 − (𝑖𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)

𝑣0 = 2𝑖𝜔𝑎𝑐1 − (𝑖𝜔𝑎 +𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)

𝑐1 =1

2𝑖𝜔𝑎[𝑣0 + (𝑖𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)]

Para a segunda constante, surge:

𝑐2 = 𝑥0 +𝜇𝑔

𝜔2−

1

2𝑖𝜔𝑎[𝑣0 + (𝑖𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)]

𝑐2 = −1

2𝑖𝜔𝑎[−2𝑖𝜔𝑎 (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2) + 𝑣0 + (𝑖𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)]

𝑐2 = −1

2𝑖𝜔𝑎[𝑣0 − (𝑖𝜔𝑎 −

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)]

Substituindo na solução, teremos:



𝑥(𝑡) =1

2𝑖𝜔𝑎𝑒−

𝛾2𝑡 [(𝑣0 + (𝑖𝜔𝑎 +

𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)) 𝑒𝑖𝜔𝑎𝑡

− (𝑣0 − (𝑖𝜔𝑎 −𝛾

2) (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)) 𝑒−𝑖𝜔𝑎𝑡] −

𝜇𝑔

𝜔2

𝑥(𝑡) =1

2𝑖𝜔𝑎𝑒−

𝛾2𝑡 [(𝑣0 +

𝛾

2(𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2)) (𝑒𝑖𝜔𝑎𝑡 − 𝑒−𝑖𝜔𝑎𝑡)

+ 𝑖𝜔𝑎 (𝑥0 +𝜇𝑔

𝜔2) (𝑒𝑖𝜔𝑎𝑡 + 𝑒−𝑖𝜔𝑎𝑡)] −

𝜇𝑔

𝜔2

Usando as funções trigonométricas, vem:

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡 [𝑣0 +

𝛾2 (𝑥0 +

𝜇𝑔𝜔2)

𝜔𝑎sin(𝜔𝑎𝑡) + (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2) cos(𝜔𝑎𝑡)] −

𝜇𝑔

𝜔2

Este caso é a observação experimental que temos ao ver uma mola oscilando, por

exemplo. A amplitude vai diminuindo ao longo do tempo, até parar (Figura 6).

Figura 6 - Oscilador com amortecimento subcrítico

A constante 𝛾 é chamada de intensidade de amortecimento, 𝜔 é a frequência do

oscilador harmônico e 𝜔𝑎 é a frequência do oscilador amortecido.

Note que, se 𝛾 = 𝜇 = 0 teremos 𝜔𝑎 = 𝜔 e a solução do amortecimento subcrítico se

iguala à Equação 04.

Aparentemente existem três equações para o oscilador amortecido, contudo, se

fizermos uso de algumas propriedades complexas, podemos reduzir nosso problema à

uma única equação.

Não precisamos entrar em muitos detalhes sobre funções complexas, só é necessário

entender que:



{sin(𝑖𝜃) = 𝑖 sinh(𝜃)

cos(𝑖𝜃) = cosh(𝜃)

Onde 𝜃 é um ângulo medido nos números reais e 𝑖 = √−1 é o número imaginário.

Com isso, podemos reescrever a solução para oscilador amortecido como:

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛾2𝑡 [𝑣0 +

𝛾2 (𝑥0 +

𝜇𝑔𝜔2)

𝜔𝑎sin(𝜔𝑎𝑡) + (𝑥0 +

𝜇𝑔

𝜔2) cos(𝜔𝑎𝑡)] −

𝜇𝑔

𝜔2

Sendo que:

𝜔𝑎 = √(𝛾

2)2

− 𝜔2

Se 𝜔𝑎 ∈ ℝ+∗ , temos um amortecimento subcrítico, para 𝜔𝑎 = 0 temos um

amortecimento crítico e quando 𝜔𝑎 ∈ ℂ+∗ um amortecimento supercrítico.

Oscilador Forçado

Todo oscilador que sofre influências de alguma força externa periódica. Essa força

induz uma nova oscilação. Inicialmente, para resolver este problema, iremos desprezar

qualquer tipo de atrito. Vamos supor que essa força externa é dada por:

�⃗� = (𝐹1 cos(𝜔𝑓𝑡) + 𝐹2 sin(𝜔𝑓𝑡))�̂�𝑥

Onde 𝐹1 e 𝐹2 são constantes e 𝜔𝑓 é a frequência do oscilador forçado. Imagine que

temos uma mola de constante elástica 𝑘 com uma massa 𝑚 presa em sua ponta livre. A

força resultante é dada por:

𝑚�̈� = −𝑘𝑥 + 𝐹1 cos(𝜔𝑓𝑡) + 𝐹2 sin(𝜔𝑓𝑡)

�̈� +𝑘

𝑚𝑥 =

𝐹1𝑚cos(𝜔𝑓𝑡) +

𝐹2𝑚sin(𝜔𝑓𝑡)

�̈� + 𝜔02𝑥 =

𝐹1𝑚cos(𝜔𝑓𝑡) +


Esta é uma Equação Diferencial Ordinária não homogênea. Sua solução geral é

composta pela soma de duas soluções: homogênea e particular. A primeira é extraída

quando o lado direito da EDO é nulo. Já a solução particular depende da função

presente no lado direito.

Para a solução homogênea, temos que:

�̈� + 𝜔02𝑥 = 0



Cuja solução é dada por:

𝑥ℎ(𝑡) = 𝐴1 cos(𝜔0𝑡) + 𝐴2 sin(𝜔0𝑡)

Para a solução particular, devemos ter uma solução tal que:

𝑥𝑝(𝑡) = 𝐶1 cos(𝜔𝑓𝑡) + 𝐶2 sin(𝜔𝑓𝑡)

Suas derivadas são:

{�̇�𝑝(𝑡) = −𝜔𝑓(𝐶1 sin(𝜔𝑓𝑡) − 𝐶2 cos(𝜔𝑓𝑡))

�̈�𝑝(𝑡) = −𝜔𝑓2(𝐶1 cos(𝜔𝑓𝑡) + 𝐶2 sin(𝜔𝑓𝑡))

Note que �̈�𝑝(𝑡) = −𝜔𝑓2𝑥𝑝(𝑡). Substituindo na EDO, temos:

−𝜔𝑓2𝑥𝑝(𝑡) + 𝜔0

2𝑥𝑝(𝑡) =𝐹1𝑚cos(𝜔𝑓𝑡) +


Logo, a solução particular será:

𝑥𝑝(𝑡) =𝐹1 cos(𝜔𝑓𝑡) + 𝐹2 sin(𝜔𝑓𝑡)

𝑚(𝜔02 − 𝜔𝑓

2)

Como a solução geral é dada pela soma 𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡), então:

𝑥(𝑡) = 𝐴1 cos(𝜔0𝑡) + 𝐴2 sin(𝜔0𝑡) +𝐹1 cos(𝜔𝑓𝑡) + 𝐹2 sin(𝜔𝑓𝑡)


2)

Sua velocidade é dada por:

�̇�(𝑡) = −𝜔0𝐴1 sin(𝜔0𝑡) + 𝜔0𝐴2 cos(𝜔0𝑡) −𝜔𝑓(𝐹1 sin(𝜔𝑓𝑡) − 𝐹2 cos(𝜔𝑓𝑡))


2)

Nas condições iniciais, a força não influencia na oscilação. Portanto:

{

𝑥0 = 𝐴1 +

𝐹1


2)

𝑣0 = 𝜔0𝐴2 +𝜔𝑓𝐹2


2)

Sendo assim, temos:



{

𝐴1 =

𝑥0𝑚(𝜔02 − 𝜔𝑓

2) − 𝐹1

𝑚(𝜔02 −𝜔𝑓

2)

𝐴2 =𝑣0𝑚(𝜔0

2 − 𝜔𝑓2) − 𝜔𝑓𝐹2

𝑚𝜔0(𝜔02 −𝜔𝑓

2)

Logo, a solução geral será:

𝑥(𝑡) =𝑥0𝑚(𝜔0

2 − 𝜔𝑓2) − 𝐹1


2)cos(𝜔0𝑡) +

𝑣0𝑚(𝜔02 −𝜔𝑓

2) − 𝜔𝑓𝐹2

𝑚𝜔0(𝜔02 − 𝜔𝑓

2)sin(𝜔0𝑡)

+𝐹1 cos(𝜔𝑓𝑡) + 𝐹2 sin(𝜔𝑓𝑡)


2)

𝑥(𝑡) = 𝑥0 cos(𝜔0𝑡) +𝑣0𝜔0sin(𝜔0𝑡) +

𝐹1(cos(𝜔𝑓𝑡) − cos(𝜔0𝑡))


2)

+𝐹2 (sin(𝜔𝑓𝑡) −

𝜔𝑓𝜔0sin(𝜔0𝑡))

𝑚(𝜔02 − 𝜔f

2)

(Equação 08)

Comparando com a Equação 04, podemos notar que a oscilação forçada tem um

acréscimo em seu movimento. Na Figura 7, abaixo, podemos ver a diferença da

oscilação forçada. A amplitude de oscilação é alterada com o tempo e em alguns

momentos retoma o valor inicial da amplitude.

Figura 7 - Diferença entre oscilador harmônico e oscilador forçado



Perceba que existe uma singularidade quando a frequência do oscilador forçado é

igual à frequência do oscilador (𝜔𝑓 = 𝜔0). Quando isso ocorre, temos um fenômeno

chamado de Ressonância. Para resolver tal problema, vamos definir uma quantidade tal

que:

𝛿𝜔 = 𝜔𝑓 − 𝜔0

A Equação 08 pode ser reescrita como:

𝑥(𝑡) = 𝑥0 cos(𝜔0𝑡) +𝑣0𝜔0sin(𝜔0𝑡) −

𝐹1[cos((𝛿𝜔 + 𝜔0)𝑡) − cos(𝜔0𝑡)]

𝑚𝛿𝜔(𝜔0 + 𝜔𝑓)

−𝐹2 [sin((𝛿𝜔 + 𝜔0)𝑡) −

𝛿𝜔 + 𝜔0𝜔0

sin(𝜔0𝑡)]


𝑥(𝑡) = 𝑥0 cos(𝜔0𝑡) +𝑣0𝜔0sin(𝜔0𝑡) −

𝐹1[cos((𝛿𝜔 + 𝜔0)𝑡) − cos(𝜔0𝑡)]


−𝐹2[sin((𝛿𝜔 + 𝜔0)𝑡) − sin(𝜔0𝑡)]

𝑚𝛿𝜔(𝜔0 + 𝜔𝑓)+

𝐹2 sin(𝜔0𝑡)

𝑚𝜔0(𝜔0 + 𝜔𝑓)

Como o valor de 𝛿𝜔 tende a zero, o terceiro termo da equação acima se aproxima da

derivada de cos(𝜔0𝑡). O quarto termo também tem a derivada de sin(𝜔0𝑡). Sendo

assim, vem:

𝑥(𝑡) = 𝑥0 cos(𝜔0𝑡) +𝑣0𝜔0sin(𝜔0𝑡) +

𝐹1 sin(𝜔0𝑡) 𝑡

𝑚(𝜔0 + 𝜔𝑓)−𝐹2 cos(𝜔0𝑡) 𝑡

𝑚(𝜔0 + 𝜔𝑓)+

𝐹2 sin(𝜔0𝑡)

𝑚𝜔0(𝜔0 + 𝜔𝑓)

𝑥(𝑡) = [𝑥0 −𝐹2𝑡

𝑚(𝜔0 + 𝜔𝑓)] cos(𝜔0𝑡) + [

𝑣0𝜔0

+𝐹1𝑡 −

𝐹2𝜔0

𝑚(𝜔0 + 𝜔𝑓)] sin(𝜔0𝑡)

Como não existem problemas de singularidade, podemos considerar 𝜔0 = 𝜔𝑓.

Portanto, a equação de ressonância é dada por:

𝑥(𝑡) = [𝑥0 −𝐹2𝑡

2𝜔0𝑚] cos(𝜔0𝑡) + [

𝑣0𝜔0

+𝐹1𝑡 −

𝐹2𝜔0

2𝜔0𝑚] sin(𝜔0𝑡)

(Equação 09)



Figura 8 - Diferença entre oscilador harmônico e oscilador em ressonância

O fenômeno de ressonância precisa de uma atenção especial, principalmente na

construção civil. Pontes, por exemplo, vibram naturalmente conforme o movimento de

veículos/pessoas que passam por ela e o movimento natural de sua estrutura molecular.

Com a presença de ventos, a ponte pode entrar em ressonância se as frequências forem

iguais. Todas as moléculas entram em vibração e podem se distanciar umas das outras.

Consequentemente, a ponte começa a se partir por inteira.

No gráfico da Figura 8, podemos ver o comportamento da Equação 09. Com o passar

do tempo o oscilador vibra até o “infinito” e volta em poucos instantes. As moléculas de

uma ponte em ressonância se rompem neste movimento. Por isso é comum o

fechamento da passagem pelas pontes quando há vento intenso.

Esse problema também é comum em estruturas de vidro ou cristal, mas não é

exclusivo de tais materiais. A ressonância também é usada em processos médicos.


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OSCILADORES Oscilador Harmônico ... - phy-6.weebly.com · 1 OSCILADORES São todas entidades físicas capazes de oscilar de alguma forma. Dentre eles temos molas e pêndulos, por