OTIMIZAÇÃO DE TERMOS FONTES EM PROBLEMAS DE ...€¦ · Otimização de termos fontes em problemas de biotransferência de calor ... uniforme com termo fonte, com radiação, convecção

0

MINISTRIO DA DEFESA

EXRCITO BRASILEIRO

DEPARTAMENTO DE CINCIA E TECNOLOGIA

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECNICA

MARCUS VINICIUS COSTA DE SOUZA

OTIMIZAO DE TERMOS FONTES EM PROBLEMAS DE

BIOTRANSFERNCIA DE CALOR

Tema: Termocincias

rea: Termofluidodinmica

Rio de Janeiro

2009

1





Dissertao de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Mecnica do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para a obteno do ttulo de Mestre em Cincias em Engenharia Mecnica. Orientador: Cap. Aldlio Bueno Caldeira D. C. Orientador: Prof. Marcelo Jos Colao D. C. Co-orientador: Prof. Francesco Scofano Neto D. C.

Rio de Janeiro

2009

2

c2009


Praa General Tibrcio, 80 Praia Vermelha

Rio de Janeiro RJ CEP: 22290-270

Este exemplar de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poder inclu-lo em

base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de

arquivamento.

So permitida a meno, a reproduo parcial ou integral e a transmisso entre bibliotecas

deste trabalho, sem modificao de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser

fixado, para pesquisa acadmica, comentrios e citaes, desde que sem finalidade comercial

e que seja feita a referncia bibliogrfica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho so de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s)

orientador(es).

S7290 Souza, Marcus Vinicius Costa de Otimizao de termos fontes em problemas de biotransferncia de

calor / Marcus Vinicius Costa de Souza Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2009.

169 p.: il.

Dissertao (mestrado) Instituto Militar de Engenharia Rio de Janeiro, 2009.

1. Biotransferncia de calor equao. 2. Otimizao de parmetro

laser. 3. Tcnicas de otimizao mtodo heurstico. 4. Tcnicas de otimizao mtodo determinsticos. I. Instituto Militar de Engenharia. II. Ttulo

CDD 621.4022

3





Dissertao de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Mecnica do

Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para a obteno do ttulo de Mestre em

Cincias em Engenharia Mecnica.

Orientador: Cap. Aldlio Bueno Caldeira D. C.

Orientador: Prof. Marcelo Jos Colao D. C.

Co-orientador: Prof. Francesco Scofano Neto D. C.

Aprovada em 18 de agosto de 2009 pela seguinte Banca Examinadora:

_______________________________________________________________

Cap. Aldlio Bueno Caldeira D. C. do IME

_______________________________________________________________

Prof. Marcelo Jos Colao D. C. do IME

_______________________________________________________________

Prof. Francesco Scofano Neto D. C. do IME

______________________________________________________________

Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande Ph. D. da UFRJ

Rio de Janeiro

2009

4

Aos meus pais, Vnia Maria Costa de Souza e Luiz Carlos Alves de Souza, pelo amor e por proporcionarem um valioso tesouro - a educao. s minhas avs Iraci (in memoriam), Nina e Jacira pelo amor e zlo em minha criao. minha Dinda Neide (in memoriam), que por meio de seu carinho e afeto ensinou-me o significado do verbo viver. Ao meu mestre da vida Daisaku Ikeda (Fundador da Soka Gakkai Internacional e da Escola Soka do Brasil), pelas sbias orientaes repletas de sabedoria. minha noiva, Carolina Ferreira Lopes, por me incentivar a percorrer este caminho, compartilhando as dificuldades e estendendo sua mo amiga em momentos de adversidade. A todos queles que de alguma forma colaboraram para que este objetivo fosse realizado.

5

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais Vnia Maria Costa de Souza e Luiz Carlos Alvez de Souza, que nunca

mediram qualquer sacrifcio para que eu pudesse estudar e por haverem transformado esta

vida em uma existncia digna, prspera e frutfera, preparando-me para conviver com o

mundo.

minha irm Fernanda, pelo carinho e apoio.

minha dinda Neide (in memoriam), por ter me feito sempre to feliz e por me ensinar

as coisas simples da vida.

s minhas avs Iraci (in memoriam), Nina e Jacira, pelas lembranas que trago da

infncia e por toda paixo pela nossa famlia.

Ao Daisaku Ikeda por personificar o verdadeiro significado da vida.

minha, amada, noiva Carolina Ferreira Lopes, por sua existncia em minha vida, pelo

que pude aprender com seu convvio atravs de sua sabedoria e companheirismo.

Aos meus orientadores e co-orientador Aldlio Bueno Caldeira, Jos Marcelo Colao e

Franscesco Scofano Neto, que contriburam para que a minha formao acadmica

caminhasse no sentido de superar as fronteiras dos saberes, pelas observaes e orientaes

precisas ao longo da formulao deste trabalho.

Aos membros da Banca um agradecimento especial pela oportunidade e pelas

orientaes.

A CAPES (Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior), pelo suporte

financeiro durante o mestrado.

A todos que contriburam para o meu aprendizado e para que fosse possvel a realizao

deste trabalho

6

...Onde estou de onde me lano. Hoje, este momento, sempre o comeo de novos desafios. Quando penso no meu futuro coragem e fora ilimitadas surgem em meu corao...

DAISAKU IKEDA

7

SUMRIO

LISTA DE ILUSTRAES ...................................................................................................... 9

LISTA DE TABELAS ............................................................................................................. 17

LISTA DE SMBOLOS ........................................................................................................... 21

1 INTRODUO ............................................................................................................. 26

1.1 Justificativa e objetivos do trabalho ................................................................................ 30

1.2 Estrutura do trabalho ...................................................................................................... 31

2 REVISO BIBLIOGRFICA ..................................................................................... 33

3 DESCRIO DO MODELO FSICO-MATEMTICO .......................................... 39

4 SOLUO NUMRICA .............................................................................................. 48

4.1 Mtodo dos volumes finitos aplicado ao problema de biotransferncia de calor ........... 48

5 VALIDAO DA SOLUO NUMRICA ............................................................. 53

5.1 Problema em regime permanente com meio heterogneo ............................................. 53

5.1.1 Discretizao do problema em regime permanente com meio heterogneo ................... 54

5.2.2 Resultados para a conduo de calor em regime permanente com meio heterogneo ... 56

5.2 Problema em regime transiente com meio homogneo .................................................. 58

5.2.1 Soluo analtica do problema em regime transiente com meio homogneo ................. 59

5.2.2 Resultados para a conduo de calor em regime transiente com meio hmogneo ......... 63

5.3 Probema em regime transiente com meio heterogneo ................................................... 70

6 ANLISE DE CONVERGNCIA DA SOLUO NUMRICA .......................... 72

8

7 OTIMIZAO DOS PARMETROS DO LASER ................................................. 78

7.1 Mtodos de otimizao.................................................................................................. 78

7.2 Resultados para otimizao do laser na forma funcional constante ............................... 83

7.2.1 Mtodos heursticos ........................................................................................................ 83

7.2.2 Mtodos determinsticos .............................................................................................. 102

7.3 Resultados para otimizao do laser na forma funcional com variao temporal ....... 120

7.3.1 Mtodos heursticos ...................................................................................................... 120

7.3.2 Mtodos determinsticos .............................................................................................. 140

8 CONCLUSO ............................................................................................................ 163

9 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..................................................................... 166

9

LISTA DE ILUSTRAES

FIG.3.1 Seo do globo ocular humano (INMETRO, 2008) ........................................... 39 FIG.3.2 Perfil do globo ocular humano (ON, 2009) ........................................................ 40 FIG. 3.3 Esquema das camadas da crnea (LASIK MD, 2009) ....................................... 40 FIG. 3.4 Diagrama esquemtico do olho humano ............................................................. 41 FIG. 3.5 Perfil ideal D1 ...................................................................................................... 45 FIG. 3.6 Perfil ideal D2 ...................................................................................................... 46 FIG. 3.7 Perfil ideal D3 ...................................................................................................... 46 FIG. 3.8 Perfil ideal D4, D5 e D6 ......................................................................................... 47 FIG. 4.1 Volume de controle e volumes vizinhos ............................................................. 50 FIG. 4.2 Interface entre volumes P e E fora do ponto mdio entre ambos ........................ 50 FIG. 5.1 Campo de temperatura intra-ocular em regime permanente ............................... 57 FIG. 5.2

Comparao da soluo analtica com a numrica (malha uniforme) sem termo fonte, com radiao e conveco ......................................................................... 65

FIG. 5.3

Comparao da soluo analtica com a numrica (malha uniforme) com termo fonte, com radiao e conveco ........................................................................... 65

FIG. 5.4 Comparao da soluo analtica com a numrica (malha uniforme) com termo

fonte, com radiao, conveco e evaporao ..................................................... 66

10

FIG. 5.5 Comparao da soluo numrica proveniente da malha uniforme e no-uniforme com termo fonte, com radiao, conveco e evaporao ................... 66

FIG. 5.6 Comparao da soluo analtica com a numrica (malha no-uniforme) ......... 69 FIG. 5.7 Comparao da soluo numrica com resultado disponvel na literatura

(MAINSTER, 1979) ........................................................................................... 71 FIG. 7.1 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D1 com

fonte constante em 10 s ....................................................................................... 83 FIG. 7.2 Temperatura em pontos da crnea para a curva D1 com fonte constante em 10s

............................................................................................................................. 83 FIG. 7.3 Funo dano para a curva D1 com fonte constante aps 10, 20 e 60 s ................ 84 FIG. 7.4 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D1) .............................. 84 FIG. 7.5 Temperatura em pontos da crnea para a curva D2 com fonte constante

em 60 s ................................................................................................................. 86 FIG. 7.6 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D2 com fonte

constante em 60 s................................................................................................. 86 FIG. 7.7 Funo dano para a curva D2 com fonte constante aps 10, 20 e 60 s ................ 87 FIG. 7.8 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D2) .............................. 87 FIG. 7.9 Temperatura em pontos da crnea para a curva D3 com fonte constante


constante em 60 s................................................................................................. 90 FIG. 7.11 Funo dano para a curva D3 com fonte constante aps 10, 20 e 60 s ................ 90

11

FIG. 7.12 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D3) .............................. 90 FIG. 7.13 Temperatura em pontos da crnea para a curva D4 com fonte constante em 10 s

............................................................................................................................. 92 FIG. 7.14 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D4 com fonte

constante em 10 s................................................................................................. 92 FIG. 7.15 Funo dano para a curva D4 com fonte constante aps 10, 20 e 60 s ................ 93 FIG. 7.16 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D4) .............................. 93 FIG. 7.17 Temperatura em pontos da crnea para a curva D5 com fonte constante em 10 s

............................................................................................................................. 95 FIG. 7.18 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D5 com fonte




em 10 s ............................................................................................................... 102

12

FIG. 7.26 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D1 com fonte constante em 10 s............................................................................................... 102

FIG. 7.27 Funo dano para a curva D1 com fonte constante aps 10, 20 e 60 s .............. 103 FIG. 7.28 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D1) ............................ 103 FIG. 7.29 Temperatura em pontos da crnea para a curva D2 com fonte constante

em 60 s ............................................................................................................... 105 FIG. 7.30 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D2 com fonte

constante em 60 s............................................................................................... 106 FIG. 7.31 Funo dano para a curva D2 com fonte constante aps 10, 20 e 60 s .............. 106 FIG. 7.32 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D2) ............................ 107 FIG. 7.33 Temperatura em pontos da crnea para a curva D3 com fonte constante


constante em 60 s............................................................................................... 109 FIG. 7.35 Funo dano para a curva D3 com fonte constante aps 10, 20 e 60 s .............. 110 FIG. 7.36 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D3) ............................ 110 FIG. 7.37 Temperatura em pontos da crnea para a curva D4 com fonte constante


constante em 10 s............................................................................................... 112 FIG. 7.39 Funo dano para a curva D4 com fonte constante aps 10, 20 e 60 s .............. 113

13

FIG. 7.40 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D4) ............................ 113 FIG. 7.41 Temperatura em pontos da crnea para a curva D5 com fonte constante


constante em 10 s............................................................................................... 115 FIG. 7.43 Funo dano para a curva D5 com fonte constante aps 10, 20 e 60 s ............... 117 FIG. 7.44 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D5) ............................. 117 FIG. 7.45 Temperatura em pontos da crnea para a curva D6 com fonte constante em 60 s

........................................................................................................................... 118 FIG. 7.46 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D6 com fonte

constante em 60 s............................................................................................... 119 FIG. 7.47 Funo dano para a curva D6 com fonte constante aps 10, 20 e 60 s .............. 119 FIG. 7.48 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D6) ............................. 120 FIG. 7.49 Temperatura em pontos da crnea para a curva D1 com fonte senoidal em

10s...................................................................................................................... 123 FIG. 7.50 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D1 com fonte

senoidal em 10 s ................................................................................................ 123 FIG. 7.51 Funo dano para a curva D1 com fonte senoidal aps 10, 20 e 60 s ................. 124 FIG. 7.52 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D1) ............................ 124 FIG. 7.53 Temperatura em pontos da crnea para a curva D2 com fonte senoidal em

60s...................................................................................................................... 126

14

FIG. 7.54 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D2 com fonte senoidal em 60 s ................................................................................................ 127

FIG. 7.55 Funo dano para a curva D2 com fonte senoidal aps 10, 20 e 60 s ................ 127 FIG. 7.56 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D2) ............................. 128 FIG. 7.57 Temperatura em pontos da crnea para a curva D3 com fonte senoidal em


senoidal em 60 s ................................................................................................ 130 FIG. 7.59 Funo dano para a curva D3 com fonte senoidal aps 10, 20 e 60 s ................ 130 FIG. 7.60 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D3) ............................. 131 FIG. 7.61 Temperatura em pontos da crnea para a curva D4 com fonte senoidal em


senoidal em 20 s ................................................................................................ 133 FIG. 7.63 Funo dano para a curva D4 com fonte senoidal aps 10, 20 e 60 s ................. 133 FIG. 7.64 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D4) ............................. 134 FIG. 7.65 Temperatura em pontos da crnea para a curva D5 com fonte senoidal em


senoidal em 60 s ................................................................................................ 136 FIG. 7.67 Funo dano para a curva D5 com fonte senoidal aps 10, 20 e 60 s ................ 136

15

FIG. 7.68 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D5) ............................ 137 FIG. 7.69 Temperatura em pontos da crnea para a curva D6 com fonte senoidal em


senoidal em 20 s ................................................................................................ 139 FIG. 7.71 Funo dano para a curva D6 com fonte senoidal aps 10, 20 e 60 s ................ 139 FIG. 7.72 Funcional das solues timas por intervalo de tempo (D6) ............................ 140 FIG. 7.73 Temperatura em pontos da crnea para a curva D1 com fonte senoidal via BFGS


senoidal via BFGS em 10 s ............................................................................... 142 FIG. 7.75 Funcional para a curva D1 com fonte senoidal via BFGS nos intervalos de tempo

10, 20 e 60 s ....................................................................................................... 143 FIG. 7.76 Funo dano para a curva D1 com fonte senoidal via BFGS aps 10, 20 e 60 s

........................................................................................................................... 144 FIG. 7.77 Temperatura em pontos da crnea para a curva D2 com fonte senoidal via BFGS


senoidal via BFGS em 60 s ............................................................................... 146 FIG. 7.79 Funcional para a curva D2 com fonte senoidal via BFGS nos intervalos de tempo

10, 20 e 60 s ....................................................................................................... 147 FIG. 7.80 Funo dano para a curva D2 com fonte senoidal via BFGS aps 10, 20 e

60s...................................................................................................................... 147

16

FIG. 7.81 Temperatura em pontos da crnea para a curva D3 com fonte senoidal via BFGS em 60 s ............................................................................................................... 149

FIG. 7.82 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D3 com fonte

senoidal via BFGS em 60 s ............................................................................... 149 FIG. 7.83 Funo dano para a curva D3 com fonte senoidal via BFGS aps 10, 20 e 60 s

........................................................................................................................... 150 FIG. 7.84 Funo dano para a curva D3 com fonte senoidal via BFGS aps 10, 20 e 60 s


em 10 s ............................................................................................................... 152

FIG. 7.86 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D4 com fonte senoidal via BFGS em 10 s ............................................................................... 153

FIG. 7.87 Funcional para a curva D4 com fonte senoidal via BFGS aps 10, 20 e 60 s ... 153 FIG. 7.88 Funo dano para a curva D4 com fonte senoidal via BFGS aps 10, 20 e

60 s..................................................................................................................... 154 FIG. 7.89 Temperatura em pontos da crnea para a curva D5 com fonte senoidal via BFGS


senoidal via BFGS em 10 .................................................................................. 156 FIG. 7.91 Funcional para a curva D5 com fonte senoidal via BFGS nos intervalos de tempo



em 10 s ............................................................................................................... 158

17

FIG. 7.94 Histrico do dano trmico em pontos da crnea para a curva D6 com fonte senoidal via BFGS em 10 s ............................................................................... 159

FIG. 7.95 Funcional para a curva D6 com fonte senoidal via BFGS nos intervalos de tempo


........................................................................................................................... 160

18

LISTA DE TABELAS

TAB. 3.1 Propriedades trmicas de cada camada do olho (OOI et al., 2008) ........................ 41 TAB. 3.2 Parmetros do modelo matemtico (OOI, 2008) .................................................... 43 TAB. 3.3 Parmetros da funo dano (WELCH, 1984) ......................................................... 44 TAB.5.1

Temperatura em cada interface para regime permanente com meio heterogneo ............................................................................................................. 56

TAB. 5.2 Anlise de convergncia da malha para problema em regime permanente ............. 57 TAB. 5.3 Quantidade de volumes por camada ........................................................................ 57 TAB. 5.4 Propriedades trmicas e do laser ............................................................................. 58 TAB. 5.5 Quantidade de volumes para malha no-uniforme e uniforme ............................... 64 TAB. 5.6

Quantidade de volumes por camada e respectivo custo computacional conforme t empregado ............................................................................................................... 67

TAB. 5.7 Anlise de convergncia de malha e intervalo de tempo em x = 0 mm .................. 67 TAB. 5.8 Anlise de convergncia de malha e intervalo de tempo em x = 0.6 mm ............... 68

TAB. 5.9 Anlise de convergncia de malha e intervalo de tempo em x = 3.6 mm ............... 68 TAB. 5.10 Anlise de convergncia de malha e intervalo de tempo em x = 7.6 mm ............. 68 TAB. 5.11 Anlise de convergncia de malha e intervalo de tempo em x = 22.6 mm ........... 69

19

TAB. 5.12 Anlise de convergncia de malha e intervalo de tempo em x = 22.7 mm ............. 69 TAB. 5.13 Parmetro do laser de CO2 (Mainster,1979) ........................................................... 70 TAB. 6.1 Temperatura [C] para t = 0 s em cada interface. ................................................... 72 TAB. 6.2 Quantidade de volumes por camada ........................................................................ 72 TAB. 6.3 Tempo computacional [min] do problema em meio heterogneo ........................... 73 TAB. 6.4 Temperatura [C] para t = 0.1s e t = 0.1 ............................................................... 73 TAB. 6.5 Temperatura [C] para t = 1 s e t = 0.1 ................................................................. 74 TAB. 6.6 Temperatura [C] para t = 10 s e t = 0.1 ............................................................... 74 TAB. 6.7 Temperatura [C] para t = 0.1 s e t = 0.01 ............................................................ 74 TAB. 6.8 Temperatura [C] para t = 1 s e t = 0.01 ............................................................... 75 TAB. 6.9 Temperatura [C] para t = 10 s e t = 0.01 ............................................................. 75 TAB. 6.10 Temperatura [C] para t = 0.1 s e t = 0.001 .......................................................... 76 TAB. 6.11 Temperatura [C] para t = 1 s e t = 0.001 ............................................................. 76 TAB. 6.12 Temperatura [C] para t = 10 s e t = 0.001 ........................................................... 76 TAB. 7.1 Parmetros da funo dano ...................................................................................... 79 TAB. 7.2 Soluo tima para a curva D1 com fonte constante via mtodos

heursticos ................................................................................................................ 82

20

TAB. 7.3 Soluo tima para a curva D2 com fonte constante via mtodos heursticos ................................................................................................................ 85

TAB. 7.4 Soluo tima para a curva D3 com fonte constante via mtodos

heursticos ................................................................................................................ 88 TAB. 7.5 Soluo tima para a curva D4 com fonte constante via mtodos heursticos ......... 91 TAB. 7.6 Soluo tima para a curva D5 com fonte constante via mtodos heursticos ......... 94 TAB. 7.7 Soluo tima para a curva D6 com fonte constante via mtodos heursticos ......... 97 TAB. 7.8

Soluo tima para a curva D1 com fonte constante via mtodos determinsticos ....................................................................................................... 100

TAB. 7.9


TAB. 7.10


TAB. 7.11


TAB. 7.12


TAB. 7.13


TAB. 7.14

Soluo tima para a curva D4 com fonte constante via mtodos determinsticos ...................................................................................................... 111

TAB. 7.15


21

TAB. 7.16

Soluo tima para a curva D5 com fonte constante via mtodos determinsticos ..................................................................................................... 114

TAB. 7.17 Soluo tima para a curva D5 com fonte constante via mtodos

determinsticos ...................................................................................................... 114 TAB. 7.18

Soluo tima para a curva D6 com fonte constante via mtodos determinsticos ................................................................................................... 118

TAB. 7.19

Soluo tima para a curva D6 com fonte constante via mtodos determinsticos ................................................................................................... 118

TAB. 7.20 Intervalos de busca ................................................................................................ 121 TAB. 7.21

Soluo tima para a curva D1 com fonte senoidal via mtodos heursticos ....... 122

TAB. 7.22


TAB. 7.23


TAB. 7.24 Soluo tima para a curva D4 com fonte senoidal via mtodos heursticos ........ 132 TAB. 7.25 Soluo tima para a curva D5 com fonte senoidal via mtodos heursticos ........ 135 TAB. 7.26 Soluo tima para a curva D6 com fonte senoidal via mtodos heursticos ........ 137 TAB. 7.27

Soluo tima para a curva D1 com fonte senoidal via mtodos determinsticos .................................................................................................. 141

TAB. 7.28

Soluo tima para a curva D2 com fonte senoidal via mtodos determinsticos .................................................................................................... 144

22

TAB. 7.29 Soluo tima para a curva D3 com fonte senoidal via mtodos determinsticos ....................................................................................................... 148

TAB. 7.30

Soluo tima para a curva D3 com fonte senoidal via mtodos determinsticos ..................................................................................................... 151

TAB. 7.31

Soluo tima para a curva D5 com fonte senoidal via mtodos determinsticos .................................................................................................... 154

TAB. 7.32

Soluo tima para a curva D6 com fonte senoidal via mtodos determinsticos ..................................................................................................... 157

23

LISTA DE SMBOLOS

B Fator pr-exponencial (s

-1)

c Calor Especfico (J Kg-1 K-1)

DE Energia de ativao para a reao (J mol-1)

E0 Pico de irradiao (Wm-2)

Evap Taxa de evaporao (W m-2)

F Funcional

F Refletncia de Fresnel, adimensional

hcr Coeficiente de conveco do ambiente associado a radiao (W m-2K-1)

h Coeficiente de conveco do ambiente (W m-2K-1)

hbl

Coeficiente de conveco do sangue (W m-2K-1)

k Condutividade trmica (W m-1 K-1)

L Espessura do tecido (m)

N Norma relativa a autofuno

P Potncia do laser (W)

R _ Constante universal dos gases (J mol-1 k-1)

S Fonte de calor (W m-3)

T Temperatura no tecido (C)

T0 Temperatura inicial no tecido (C)

Tbl Temperatura arterial (C)

T Temperatura do ambiente (C)

t Tempo (s)

x Abscissa do tecido (m)

g Autovalor (s-2)

Emissividade da crnea, adimensional

Coeficiente de absoro do laser (m-1)

r Massa especfica (kg m-3)

Constante de Stefan-Boltzman (W m-2 K-4)

x Distncia entre as faces do volume de controle

(x) Distncia do centro do volume controle ao centro do volume adjacente

24

SUBSCRITO

bl ndices relativos ao sangue

i ndices relativos a autovalores

m ndices relativos a iterao

w ndices relativos a face oeste do volume de controle

W ndices relativos ao centro do volume de controle oeste

e ndices relativos a face leste do volume de controle

e- ndices relativos a distncia entre o centro do volume de controle e a face leste

e+ ndices relativos a distncia entre o centro do volume leste e a face oeste

E ndices relativos ao centro do volume de controle leste

25

LISTA DE SIGLAS

ADI Mtodo Implcito de Direes Alternadas

BFGS Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

BHTE Equao da Biotransferncia de Calor

DE Evoluo Diferenciada

DFP Mtodo Quase-Newton de Davidon-Fletcher-Powell

EDP Equaes Diferenciais Parciais

GA Algoritmo Gentico

LMA Algoritmo de Levenberg-Marquadt

MDF Mtodo das Diferenas Finitas

MEC Mtodo de Elemento do Contorno

MMC Mtodo de Monte Carlo

MGC Mtodo do Gradiente Conjugado

MSF Mtodo de Solues Fundamentais

MVF Mtodo dos Volumes Finitos

NM Mtodo Simplex de Nelder-Mead

SQP Programao Quadrtica Seqencial

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RESUMO

O processo de biotransferncia de calor em tecidos orgnicos um fenmeno complexo. Por isso, as ferramentas numricas e computacionais so cada vez mais empregadas nas simulaes de procedimentos mdicos, tal como a utilizao do laser em tratamentos teraputicos ou como instrumento em cirurgias oftalmolgicas refrativas.

Este procedimento consiste na exposio do olho humano a uma fonte de laser, onde a temperatura no deve superar 65 C no endotlio na superfcie da crnea deve permanecer entre 65 e 85 C, para obter o encolhimento desta. No entanto, as estruturas oculares humanas so altamente sensveis ao laser. Assim, a fim de minimizar o dano trmico irreversvel no tecido, importante prever os campos trmicos gerados pelo dispositivo externo, responsvel pelo aumento da temperatura local.

Diante disso, o presente trabalho visa otimizar os parmetros do laser. O modelo fsico-matemtico que representa a transferncia de calor no olho governado pela equao de Pennes em conjunto com a funo dano proposta por Henriques e Moritz.

A equao de biotransferncia de calor de Pennes uma equao de difuso de calor, a qual so agregados dois termos que representam os efeitos da perfuso sangunea e da combinao da gerao de calor metablica do tecido com a irradiao emitida por um dispositivo externo. Por outro lado, a funo de dano trmico quantifica a leso no tecido ao ser exposto a altas taxas de temperatura. No entanto, na modelagem adotada, os termos associados ao efeito convectivo do sangue e do metabolismo so desprezados, pois a gerao de calor dentro do tecido determinada pelo laser e pelas propriedades pticas do tecido. O perfil do feixe de laser do tipo Gaussiano e sua atenuao no meio intra-ocular segue a Lei de Beer-Lambert.

Apresentam-se os resultados para a otimizao do laser, inicialmente na forma constante, e em seguida, com variao temporal. Em ambos os casos so utilizadas tcnicas de otimizao de carter heurstico (Evoluo Diferenciada e Enxame de partculas) e determinstico (Levenberg-Marquardt, Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno e Mtodo do Gradiente Conjugado). O desempenho de cada mtodo analisado para seis perfis propostos para a funo dano agregada a trs intervalos de tempo distintos para exposio do tecido ao laser.

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ABSTRACT

The process of bioheat transfer in organic tissues is a complex phenomenon. Hence the

numerical and computational tools are increasingly applied in simulation of medical procedures. For example, use laser in therapeutic treatment or as instrument in ophthalmic refractive surgery.

This kind of surgery expose the human eye to a heat source that delivery energy. The temperature at the surface of the eye (cornea) do not reach 85C and at the endotheliums temperature must be between 65 and 85C, to realize a shrinkage. However, the eyes structures are high sensitive to laser irradiation. In order to minimize the irreversible thermal damage in tissue, it is important to know the thermal field after exposing the tissue to irradiation.

The present work aims to optimize the parameters of the laser. The physical and mathematical model that represents the heat transfer in the eye is governed by the Pennes equation together with the damage function proposed by Henriques and Moritz.

The bioheat equation of Pennes represents a heat diffusion, which are aggregated two terms representing the effects of blood perfusion and the combination of metabolic heat generation of the tissue to the radiation emitted by an external device. Moreover, the function of thermal damage quantifies the tissue lesion when exposed to high temperature. However, the model adopted, the term associated with the convective effect of blood and metabolism are neglected, because the heat generation within the tissue is determined by the laser and the optical properties of tissue. The profile of the laser beam is a Gaussian and its mitigation in the intra-ocular following the Law of Beer-Lambert.

The results for the laser optimization are depicted, initially at a constant approach, and then, with temporal variation. In both cases the optimization techniques used are heuristic (Differential Evolution and Particle Swarm) and deterministic (Levenberg-Marquardt, Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno and Conjugated Gradient Method). The performance of each method is analyzed for six scenarios proposed for the damage function aggregate to three different intervals of time for exposure the tissue to laser.

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1 INTRODUO

O processo de transferncia de calor em tecidos orgnicos um fenmeno complexo, o

qual envolve diversos mecanismos, como a conduo, conveco, radiao, evaporao,

metabolismo e mudanas de fases. Este processo regulado, dentre outros aspectos, pela

perfuso sangunea, pois esta composta por uma rede vascular que infuencia no perfil de

temperatura do tecido. No entanto, esta grandeza pode variar de acordo com a anatomia do

tecido e dos rgos.

Dentre os rgos mais perfundidos destacam-se o crebro, corao, fgado, rim e

estmago. Por outro lado, a pele, os ossos, ligamentos, cartilagens e o olho possuem baixa

taxa de irrigao sangunea (YUE et al., 2004).

Pennes, em 1948, foi o primeiro a propor um modelo matemtico que representasse o

processo de biotransferncia de calor. Na modelagem, os efeitos da interao trmica entre o

metabolismo, a gerao de calor externa e a perfuso sangunea so incorporados na equao

de conduo de calor clssica. A fonte de calor externa pode ser devida a uma radiao

eletromagntica emitida por um laser e microondas.

Os lasers, por serem mais rpidos, menos invasivos e com uma alta preciso, tm sido em

pegados em diversos ramos da medicina, desde a metade do sculo XX. O laser, como uma

ferramenta cirrgica, desempenha trs funes: cauterizao profunda, inciso e vaporizao.

Uma das principais vantagens deste dispositivo na medicina consiste na diminuio dos riscos

de infeco, fato que considerado um agravante do ps-operatrio (PENG et al., 2008).

Sua primeira aplicao na rea mdica foi na oftalmologia. Porm necessrio trabalhar

com vrias frequncias de lasers, pois cada tipo de clula absorve melhor a radiao conforme

a freqncia. Os lasers so usados, por exemplo, na fotocoagulao de vasos sanguneos em

tratamentos de tumores, em cirurgias refrativas, em alguns tipos de cataratas, glaucomas, e

lceras da crnea (SOUZA et al., 1996).

Nos demais campos mdicos, tal como na neurocirurgia, o laser bastante empregado,

pois promove a remoo dos tecidos sem sangramento e nenhum contato fsico. Na urologia

permite realizar cirurgias por meio de fibras pticas, como a vaporizao de pedras nos rins,

desde que essas se encontrem em posio favorvel. Na rea dermatolgica, o laser aplicado

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na eliminao das manchas de pele, verrugas, tumores benignos, rejuvenescimento cutneo e

no tratamento de cicatrizes (SOUZA et al., 1996).

Este dispositivo tem se mostrado um auxiliar fundamental na medicina, motivando vrias

pesquisas referentes s suas possveis aplicaes. Entretanto, o efeito teraputico do laser

depende da caracterstica de absoro do tecido, do comprimento de onda da radiao emitida,

da densidade de energia e do tempo de exposio do tecido.

Os lasers so classificados de acordo com a emisso temporal da luz: em pulsos (corantes

pigmentado, pulsado corantes) e de emisso contnua (argnio, criptnio, diodo, Nd:YAG,

dixido de carbono). O laser pulsado gera uma energia de potncia elevada em um curto

intervalo de tempo. Por outro lado, o laser de emisso contnua emite energia com uma

intensidade menor de forma gradual (CATO, 2004).

Os procedimentos mdicos que utilizam laser tm como principal restrio o aumento de

temperatura no tecido, fato que pode provocar danos irreversveis ao mesmo, como a

desnaturao das protenas, a perda das funes biolgicas das molculas ou at sua

evaporao.

O olho o rgo de maior suscetibilidade a danos por radiao a laser. Um modo

adequado de quantificar o efeito trmico da energia do laser absorvida pelo olho consiste em

calcular a distribuio de temperatura intra-ocular, uma vez que invivel conduzir

experimentos in vitro. (AMARA, 1994).

Por exemplo, ao se realizar uma cirurgia refrativa com a finalidade de corrigir distrbios

de viso, utilizado o laser de diodo. Este procedimento mdico adotado no tratamento de

miopia, hipermetropia, astigmatismo, glaucoma, deslocamento da retina e melanoma na ris.

Este tipo de laser tem comprimento de onda de 810 nm e altamente absorvido pela melanina

(GILMOUR, 2003).

Tendo em vista que a radiao proveniente de uma fonte de laser incide diretamente

sobre a superfcie da crnea, pode-se ocasionar aquecimentos inadequados, j que se trata de

um tecido delgado, delicado e composto por gua e colgeno, cuja espessura equivalente a

0.6 mm no centro (OOI et al., 2008), essencial ter o conhecimento acerca do perfil trmico

desse tecido, bem como o aquecimento gerado pela irradiao gerada pela fonte externa

durante a cirurgia.

A fim de controlar o dano trmico na superfcie da crnea e evitar o mesmo no endotlio

(camada mais interna da crnea), a temperatura no deve superar 65 C nesta regio e deve

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manter-se na faixa de 65 a 85 C na superfcie da crnea, para obter o encolhimento mximo

da mesma (LYRA, 2006). Diante disso, o presente trabalho pretende otimizar o laser.

O fenmeno fsico governado pela equao de PENNES (1948). No entanto, na

modelagem adotada, o termo associado ao efeito convectivo da perfuso sangunea

desprezado. O dano trmico acumulado no tecido exposto a elevadas temperaturas

quantificado pela funo dano proposta por HENRIQUES e MORITZ (1946). O perfil do

feixe de laser do tipo Gaussiano e sua atenuao no meio intra-ocular segue a Lei de Beer-

Lambert (OOI et al., 2008).

conduzido um estudo em torno da melhor eficcia da potncia do laser na forma

constante e com variao temporal. Para ambas as funes so empregados mtodos de

otimizao de carter heurstico (Evoluo Diferenciada e Enxame de partculas) e

determinstico (Levenberg-Marquardt, Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno e Mtodo do

Gradiente Conjugado). A funo objetivo empregada dada pela funo dano. Assim, o

desempenho de cada mtodo analisado para seis perfis propostos para a soluo da integral

de Henriques e Moritz (1946) agregada a trs intervalos de tempo para exposio do tecido ao

laser.

1.1 JUSTIFICATIVA E OBJETIVOS DO TRABALHO

O desenvolvimento constante de tecnologias tem impulsionado o estudo dos

procedimentos de diagnsticos de disfunes e doenas oftalmolgicas. Esta evoluo tem se

apresentado significativa nas cirurgias com laser, uma vez que so menos invasivas e

traduzem melhores resultados ps-cirrgicos, diminuindo as taxas de infeco.

Segundo a Organizao de Assistncia em Oftalmologia, o nmero de casos de cirurgias

realizadas no Brasil, por exemplo, de catarata, calculavam em 450 mil por ano, no incio da

dcada de 90 e espera-se que este nmero seja de 3 a 5 vezes maior at 2020. (Zacharias et al.,

2002)

Alm do crescimento de outras cirurgias refrativas, surge a necessidade de estudos mais

profundos acerca da utilizao do laser em procedimentos cirrgicos na correo de

patologias visuais, visto que o olho um rgo sensvel ao aquecimento gerado por este

dispositivo.

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Portanto, o presente trabalho tem por objetivo contribuir na investigao da otimizao

do laser e assim, minimizar a possibilidade de um aquecimento inadequado na regio ocular.

O processo de biotransferncia de calor no meio intra-ocular modelado pela equao de

Pennes. Primeiramente, estudada a soluo tima para o laser com emisso contnua. Nas

simulaes seguintes o processo de otimizao realizado para o laser com variao

temporal. Em ambas as situaes deseja-se que a temperatura no endotlio seja inferior a 65C

e o aquecimento na superfcie da crnea encontre-se entre 65 e 85C, para que o encolhimento

da crnea seja conseguido sem que o endotlio sofra um dano irreversvel (LYRA, 2006).

1.2 ESTRTUTURA DO TRABALHO

Nesta seo descreve-se como o presente trabalho de dissertao dividido.

O Captulo 1 aborda alguns fundamentos sobre a aplicabilidade dos problemas de

biotransferncia de calor na medicina, tais como: tratamento teraputico induzidos a laser e

cirurgia oftalmolgica refrativa. Alm disso, descreve-se brevemente a metodologia numrica

adotada, os objetivos e justificativas da pesquisa.

No Captulo 2 conduzida uma reviso bibliogrfica em torno de alguns conceitos

relevantes para o estudo da transferncia de calor em tecidos orgnicos, bem como alguns

mtodos de otimizao encontrados na literatura.

No Captulo 3 descreve-se o modelo fsico-matemtico utilizado, apresentando a Equao

da Biotransferncia de Calor, suas caractersticas e aplicaes. Ainda, so apresentados e

discutidos os perfis ideais utilizados para a funo de dano trmico e os parmetros fsicos

(propriedades termofsicas do tecido e condies de contorno) necessrios para se efetuar uma

simulao mais realista.

O Captulo 4 apresenta a soluo numrica do problema em estudo, descrevendo o

procedimento de discretizao das equaes, via Mtodo dos Volumes Finitos.

No captulo 5, a validao do cdigo computacional realizada com uma anlise

comparativa de subcasos do problema proposto com resultados disponveis na literatura ou

solucionados analiticamente. Para tanto, o problema subdividido em: regime permanente

multicamada, regime transiente uma camada e regime transiente multicamadas.

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No captulo 6 avaliada a anlise de convergncia da malha, bem como a distribuio

das propriedades termofsicas no domnio computacional, fato que caracteriza o problema de

conduo de calor em meio heterogneo.

So reportados no Captulo 7 os resultados provenientes da otimizao da potncia do

laser na forma constante e com variao temporal. A soluo tima obtida ao expor o tecido

irradiao do laser de maneira continua por intervalos de tempo equivalentes a 10s, 20s e

60s. Para cada intervalo de tempo so considerados seis perfis ideais para a funo objetivo,

apresentados no captulo 3. Alm disso, os mtodos usados no processo de otimizao so

avaliados quanto ao desempenho.

No Captulo 8 encontram-se as concluses obtidas sobre o estudo efetuado e algumas

perspectivas de trabalho a desenvolver no seguimento desta dissertao.

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2 REVISO BIBLIOGRFICA

O presente captulo conduz um estudo acerca dos principais trabalhos encontrados na

literatura para o desenvolvimento desta pesquisa. Neste contexto, inicia-se a reviso pelos

trabalhos referentes ao processo de biotransferncia de calor em tecidos vivos por meio de

diferentes modelagens. Posteriormente, so apresentados queles relacionados s tcnicas de

otimizao determinsticas e heursticas.

A transferncia de calor em sistemas biolgicos uma rea em crescente

desenvolvimento, em virtude da sua aplicabilidade. O mdico H. H. Pennes, em 1948, foi o

pioneiro na modelagem do processo de biotransferncia em tecidos orgnicos (PENNES,

1948).

CHAN (1992) aplicou o Mtodo de Elemento de Contorno (MEC) para resolver a

equao de biotransferncia de calor (PENNES, 1948). Objetivou demonstrar sua

aplicabilidade. Primeiramente apresentou a formulao em regime permanente e transiente.

Desenvolveu a soluo numrica para um problema bidimensional em regime permanente por

meio do MEC e comparou com a soluo analtica. Tambm aplicou a mesma abordagem

numrica para solucionar um problema conjugado, caracterizado pela incluso de uma artria

em um tecido perfundido aquecido. A tcnica numrica adotada e a soluo analtica

apresentaram boa concordncia.

OBRIEN e MEKKAOUI (1993) apresentaram uma anlise terica de tratamento de

cncer por meio de um procedimento cirrgico que depositava calor por feixes duplos de

microondas. Em outras palavras, foi considerado um tratamento teraputico por hipertermia

local. A simulao computacional empregou o Mtodo Implcito de Direo Alternada

(Mtodo ADI) que apropriado para o problema proposto, sendo este governado pela

equao de PENNES (1948). Alcanaram resultados que demonstram a viabilidade de simular

tal procedimento mdico computacionalmente.

HUANG et al. (1994) estudaram um problema de transferncia de calor dentro de um

tecido perfundido na presena de um vaso sangneo. Tal problema possua aplicao no

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tratamento por hipertermia. A formulao matemtica do fenmeno foi dada na forma

adimensional da equao de biotransferncia de calor de Pennes. Adicionaram-se as hipteses

de simetria angular, ausncia de conduo no sentido axial, transferncia de calor constante e

conduo radial. Alm disso, o tecido ao redor do vaso sanguneo foi aquecido e perfundido

uniformemente. Foram testados dois casos, para os quais uma soluo analtica foi obtida. O

primeiro considerava a temperatura sangunea arterial, na equao de Pennes, igual

temperatura mdia do sangue que flua pela veia principal, e sua soluo pode ser expressa em

termos da temperatura de parede, obtendo da a temperatura de equilbrio no vaso sangneo.

O segundo caso considerou a temperatura do sangue arterial constante. Os resultados

mostraram o resfriamento causado pela artria a uma temperatura constante, a uma

temperatura varivel e o termo fonte gerado pelo aquecimento por hipertermia. A anlise

realizada mostrou que para o primeiro caso, o comprimento de equilbrio e a temperatura de

equilbrio aumentaram quando a perfuso diminua. J no segundo caso, ambas aumentaram.

CHUA et al. (2005) apresentaram um modelo matemtico para prever a distribuio de

temperatura intra-ocultar humana exposta a uma fonte de calor externa. Em um meio semi-

infinito, consideraram quatro camadas: crnea, humor aquoso, lentes e humor vtreo. Na

modelagem foi empregada a equao de Pennes. A pesquisa objetivou investigar o impacto de

diferentes valores da condutividade trmica nas lentes, o desligamento do laser por curtos

instantes de tempo e a variao da potncia do laser durante a exposio. Na equao de

biotransferncia proposta por Pennes, o termo referente taxa de calor metablico foi omitido

em virtude de sua magnitude ser muito inferior da taxa de calor externo. Na superfcie da

crnea foi imposta uma troca de calor por conveco e radiao. Nas demais regies o

refriamento ocorreu por conveco com a circulao sangunea. O problema foi resolvido

numericamente por meio do Mtodo dos Volumes Finitos e a validao decorreu da

comparao com dados experimentais. Com o aumento da condutividade trmica das lentes,

ocorreram maiores variaes na temperatura. Altos valores da potncia do laser culminaram

em elevadas temperaturas na crnea ao desligar o laser.

LIMA et al. (2006) desenvolveram uma ferramenta computacional por meio do Mtodo

dos Volumes Finitos (MVF) para resolver a equao de biotransferncia de calor (PENNES,

1948). A malha empregada no-estruturada e bidimensional. A validao do cdigo

computacional decorreu da simulao numrica de alguns problemas de transferncia de calor

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para que fosse possvel solucionar o problema de interesse, um tratamento de cncer por

hipertermia. Especificamente, foi estudado um tumor de duodeno de 2 cm de dimetro

aquecido por uma sonda de laser Nd:YAG, em trs pontos distintos, em um intervalo de

tempo equivalente a 120s com ciclos de 60s. Foram consideradas as propriedades de tumor

heptico, considerou-se as condies de contorno para os vasos sanguneos, a troca de calor

por conveco (37C), bem como para o ar (presente no estmago e nas bordas do tumor).

Nos demais contornos a temperatura foi prescrita equivalente a 37C. Os resultados obtidos

da anlise trmica dos tecidos confirmaram que houve um acmulo de energia no tecido e que

no houve dano trmico nos tecidos sadios.

AZEVEDO et al. (2006) empregaram a Tcnica de Transformada Integral Clssica para

obter a soluo analtica da equao de biotransferncia de calor (PENNES, 1948) cujas

condies de contorno so de natureza convectiva. A pesquisa analisou a influncia da

perfuso sangunea em alguns tecidos humanos expostos a uma fonte de calor externa.

Especificamente, para a perfuso admitiu-se sete valores distintos, desde perfuso nula at

valores altos. A anlise dos grficos revelou que medida que a perfuso aumenta, os

transientes diminuem. Alm disso, a diferena entre os gradientes de temperatura final e

inicial depende da razo de aspecto (relao entre largura e altura) do referido tecido

orgnico. Os resultados do estudo visaram auxiliar no planejamento do tratamento por

hipertermia.

CVETKOVIC et al. (2006) desenvolveram uma pesquisa acerca da distribuio de

temperatura em regime permanente no olho humano. O fenmeno fsico foi governado pela

equao de biotransferncia de Pennes. Foi adotada a modelagem empregada bidimensional,

bem como a simetria radial. No foi usada fonte de calor externa, somente a taxa volumtrica

de calor metablico. Foram consideradas seis regies: humor vtreo, lentes, humor aquoso,

crnea, corpo ciliar e esclera. A perfuso sangunea foi considerada somente no corpo ciliar.

Cada regio era homognea, em perfeito contato trmico com a adjacente e as propriedades

termofsicas variaram de uma regio para outra. O estudo investigou os efeitos de diferentes

valores para a condutividade trmica das lentes, bem como as mudanas de temperatura no

ambiente e no sangue. A motivao da pesquisa consistiu no fato da condutividade trmica

das lentes variarem durante o processo de envelhecimento do ser humano. A variao trmica

do ambiente foi significativa para a regio mais externa do olho, porm no afetou o campo

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trmico na retina. Por outro lado, a variao da temperatura do sangue no interferiu apenas

no perfil trmico da crnea. A variao da condutividade trmica das lentes gerou alteraes

trmicas somente nas lentes, pois nas demais regies as mudanas de temperatura no foram

relevantes.

TRUCU et al. (2007) identificaram analiticamente e numericamente o parmetro de

perfuso sangnea na equao de biotransferncia de calor de Pennes. O interesse em estimar

a perfuso surge da dificuldade existente na medio da mesma. A fim de realizar a

identificao do parmetro de interesse, resultados mensurveis foram obtidos, tais como:

fluxo de calor, temperatura interna e medies de massa em um nico instante de tempo. A

modelagem matemtica admitiu as hipteses de domnio unidimensional, transiente e sem o

termo fonte. Consequentemente h uma condio inicial e duas de contorno de Dirichlet. O

estudo seguiu com a anlise de quatro casos de medio: (a) fluxo de calor no incio do

domnio, (b) fluxo de calor no final do domnio, (c) temperatura interna e (d) medio de

massa num nico instante de tempo. Um exemplo numrico foi discutido, onde a simulao

computacional foi realizada pelo mtodo de elementos de contorno (MEC) empregando

minimizao no-linear ordinria por mnimos quadrados. Todos os grficos mostraram a

variao da fonte de calor com a perfuso em diversos pontos do domnio e com rudos de 2%

a 4%. Os resultados numricos gerados para os trs casos de medida mostraram que estes

foram precisos e estveis com respeito ao rudo adicionado aos dados de entrada.

SANTOS et al. (2007) estudaram o perfil trmico em tumores de prstata sujeito ao

tratamento por hipertermia. Empregaram o Mtodo de Volumes Finitos (MVF) e, a fim de

validar a anlise numrica, adotaram um esquema que faz uso de tcnicas de Monte Carlo

(MC). O modelo fsico-matemtico era composto pela equao de biotransferncia de calor

(BHTE) e pela funo dano trmico. No equacionamento da conduo de calor contabilizou-

se a participao de gerao de calor pela perfuso sangunea, bem como outras fontes de

calor. Porm, o calor gerado pelo metabolismo foi desprezado. A metodologia de estudo

calculava as temperaturas pelo MVF e aplicava as tcnicas de MC com o intuito de obter a

distribuio de temperaturas j conhecidas. A malha adotada para o MVF foi no-estruturada

e o seguinte esquema foi usado: (i) obteno da imagem real por ressonncia magntica, (ii)

converso do formato da imagem para TIFF, (iii) identificao do tumor e do domnio e (iv)

extrao do contorno e dos pontos usando MATLAB. A malha apresentava uma relevante

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influncia na preciso do clculo da temperatura em detrimento de seu refinamento. Um

algoritmo muito utilizado para amostragens da funo densidade probabilidade gaussianas

do Box-Muller, que neste caso foi adaptado para a situao bidimensional. A metodologia

para validar o mtodo numrico via tcnicas de MC procedeu inicialmente com o clculo da

mdia e desvio padro das temperaturas. Obteve-se a temperatura mxima e normalizou-se a

temperatura por meio do algoritmo de Box-Muller com amostragem uniforme para as duas

dimenses. Na simulao computacional a fonte geradora de calor foi de radiofreqncia com

potncia de 40 W, cuja aplicao variava de 18 a 62 s.

NG e OOI (2007) realizaram um estudo comparativo entre dois modelos para o olho

humano, um bidimensional e outro tridimensional. Este ltimo foi elaborado a partir do

primeiro. As regies do olho consideradas foram homogneas e divididas em: crnea, humor

aquoso, iris, lentes, humor vtreo e esclera. Adotou-se a equao de Pennes, cuja taxa de calor

metablico foi omitida, em funo de o olho ser majoritariamente composto por lquido.

Consideraram a evaporao das lgrimas, conveco com o meio ambiente e radiao como

as formas de troca de calor na superfcie da crnea. Na superfcie restante do globo ocular

houve troca de calor convectivo com o sangue. Por meio do Mtodo de Elementos Finitos

obtiveram a soluo numrica do problema em uma malha no-estruturada. A validao foi

realizada com dados numricos fornecidos na literatura. A comparao foi realizada em vrios

pontos na regio interna do globo ocular para distribuio trmica em regime permanente.

Observou-se que no caso de simetria o modelo em duas dimenses foi suficiente, porm na

distribuio de calor assimtrica o outro modelo demonstrou maior preciso, como esperado.

OOI et al. (2008) propuseram um modelo tridimensional com simetria radial cuja

geometria se aproximou da anatomia do olho humano. A transferncia de calor foi governada

pela equao de difuso de calor clssica. O meio foi considerado com propriedades

termofsicas variveis e composto por cinco regies homogneas: crnea, humor aquoso,

lentes, humor vtreo e esclera. Simularam as mudanas de temperatura na crnea durante um

tratamento de cirurgia refrativa a laser. No consideraram a influncia da hidrodinmica do

humor aquoso e nem a perfuso sangunea. A energia absorvida dentro da crnea foi

modelada pela Lei de Beer-Lambert (MAINSTER, 1979). A perda de calor na superfcie da

crnea se deu por evaporao das lgrimas, radiao e conveco. Na regio interna, a perda

de calor ocorreu por conveco com os vasos sanguneos. O problema foi resolvido

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numericamente pelo Mtodo de Elemento de Contorno com marcha no tempo. O campo de

temperatura foi calculado para aquecimento a laser pulsado e laser contnuo. Os resultados

obtidos foram comparados com outros modelos encontrados na literatura. O tratamento via

laser contnuo apresentou melhor desempenho concordando com resultados experimentais

encontrados na literatura.

A seguir so descritas algumas pesquisas que envolvem a utilizao de mtodos de

otimizao e que sero abordados de forma detalhada no captulo 5.

COLAO et al. (2003) compararam duas tcnicas de soluo para problema inverso,

onde o objetivo era estimar simultaneamente o coeficiente de difuso varivel no espao e o

termo fonte, em um problema de difuso no-linear unidimensional. As tcnicas aplicadas

foram: mtodo do gradiente conjugado (verso de Powell Beale, devido a sua robustez e taxa

de convergncia em problemas no-lineares) com problema adjunto e um algoritmo de

otimizao hbrido. Este ltimo adotava os mais populares mtodos de otimizao: mtodo

gradiente de Davidon-Fletcher-Powell (DFP), algoritmo gentico (GA), mtodo simplex de

Nelder-Mead (NM), algoritmo quase-newton de Pshenichny-Danilin (LM), evoluo

diferenciada (DE) e programao quadrtica seqencial (SQP). O problema direto

considerado era governado por uma equao diferencial parcial de difuso no-linear. Porm

empregou-se a forma adimensional, transiente e unidimensional da mesma. A ateno do

artigo era focada no problema inverso, na estimativa de funo para as duas quantidades de

interesse simultaneamente, e atravs disso os passos bsicos de cada tcnica foram discutidos.

Nas simulaes foram inseridos erros aleatrios nas medidas. Os erros foram tomados com

desvio padro constantes, distribuio normal com mdia zero, erros aditivos e no

relacionados. O mtodo do gradiente conjugado com problema adjunto foi usado para

minimizar a funo objetivo, porm necessitou da soluo de problemas auxiliares,

conhecidos como problema adjunto e de sensibilidade, cuja deduo foi descrita. Vale

salientar que o mtodo iterativo foi interrompido de acordo com o princpio da discrepncia.

No mtodo hbrido a estabilidade da soluo foi assegurada pela regularizao de primeira

ordem de Tikhonov. Nas simulaes foram usados 2 ou 10 sensores, sendo que o MGC foi

mais eficiente para poucos sensores e, com maior quantidade, ambos os algoritmos

apresentaram bom desempenho.

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COLAO et al. (2006) empregaram uma verso do Mtodo das Solues Fundamentais

(MSF) para identificar o termo fonte desconhecido em um problema de conduo, onde as

propriedades termofsicas eram constantes, em meio finito e com geometria quadrangular.

Alm disso, as paredes estavam sujeitas as condies de contorno de Dirichlet temperatura

prescrita. No procedimento de estimativa, as medidas no intrusivas de fluxo de calor foram

obtidas por simulao computacional do problema direto, ao tomar como conhecido o termo

fonte. Mais ainda, estas medidas simuladas possuam erros experimentais. Duas metodologias

foram adotadas nos problema direto e inverso, o Mtodo de Diferenas Finitas (MDF) e

Mtodo das Solues Fundamentais (MSF), respectivamente. Nas simulaes numricas

foram propostas funes distintas para o termo fonte. O primeiro considerava uma funo

peridica e sem erros, cuja estimativa foi muito boa. O segundo caso consistia em uma funo

quadrtica com valor de pico determinado e localizado no centro do domnio, onde a

estimativa da funo no foi satisfatria, pois no captou adequadamente o comportamento da

funo, embora tenha captado sua localizao. O terceiro caso foi parecido com o segundo,

diferindo por incluir erros nas medidas simuladas. A quarta situao tomou o termo fonte

assimtrico nas direes x e y, quadrtico e sem erros. Ainda, houve a tentativa de captar duas

descontinuidades. Neste caso os valores de pico e localizao foram bem capturados, porm o

mesmo no foi verificado para o comportamento da funo. O quinto caso diferiu do anterior

por incluir falta de informao em algumas posies do contorno, caracterizando uma

situao extrema. A estimativa foi pior que a do caso anterior. A ltima situao no

especifica uma das condies de contorno. De uma maneira geral, o mtodo MSF demonstrou

rapidez e eficincia na recuperao os valores de pico e a localizao da funo desconhecida.

Perante os trabalhos apresentados constatado o interesse no desenvolvimento de

tcnicas numricas, que possam auxiliar no tratamento de patologias especficas. Dentre estes,

destacam-se os estudos de problemas da viso. Mais especificamente, a anlise do campo de

temperatura no olho humano durante cirurgias que utilizem o laser como um instrumento

cirrgico, visando restaurar parcial ou totalmente a viso dos pacientes que apresentam algum

distrbio visual.

No obstante, o tecido ocular exposto a altas taxas de temperatura pode ocasionar danos

irreversveis indesejados. Portanto, torna-se essencial avaliar os efeitos da potncia do

dispositivo externo durante a cirurgia. Tendo em vista a dificuldade de realizar este estudo em

tecidos in vivo, necessrio utilizar mtodos de simulao numrica e de otimizao da

40

potncia do laser. A soluo tima gera um campo de temperatura cuja integral de Henriques

e Moritz (1946) ser a mais prxima do dano trmico desejado na regio da crnea. Deste

modo, a metodologia de trabalho elaborada destaca-se pela abordagem dada aos mtodos de

otimizao.

41

3 DESCRIO DO MODELO FSICO-MATEMTICO

3.1 ANATOMIA DO OLHO HUMANO

O olho um rgo par, situado em cada uma das rbitas, no nvel que separa o crnio da

face, cuja funo bsica captar a luz. Esta por sua vez focalizada no plano posterior do

globo (retina), onde convertida em impulsos eletromagnticos, transmitidos pelo nervo

ptico e vias pticas, at os centros visuais cerebrais. Nestes centros, se d a percepo visual,

com o reconhecimento da imagem e a localizao do objeto focalizado (SBO, 2009). A

FIG. 3.1 mostra as estruturas envolvidas na percepo da luz pelo olho.

FIG 3.1 Seo do globo ocular humano (INMETRO, 2008) A geometria do olho aproximadamente esfrica (em torno de 25 mm de dimetro) e

apresenta trs tnicas (externa, mdia e interna), uma lente e dois fluidos. Especificamente, a

tnica externa composta pela Esclera (tecido conjuntivo, opaco, branco e pouco

vascularizado) e Crnea (tecido resistente e transparente); a tnica mdia formada pela

Coride (tecido conjuntivo bem vascularizado que produz melanina) e Corpo Ciliar; a tnica

interna que a Retina (membrana mais interna do olho). A FIG. 3.2 exibe um esquema do

perfil do olho humano.

A crnea localizada na parte anterior do globo ocular, transparente e, juntamente com

a esclertica, forma o envoltrio externo do globo ocular. Sua curvatura acentuada,

aproximadamente 44.00 dioptrias (matematicamente, a dioptria o inverso da distncia focal,

sendo este a metade do raio de curvatura). No eixo central possui espessura equivalente a

42

0.6 mm e na periferia 1.3 mm; dimetro mdio de 12 mm, podendo variar de 11 mm at

12.5 mm.

FIG. 3.2 Perfil do globo ocular humano (ON, 2009)

As cirurgias refrativas ocorrem majoritariamente na crnea por esta realizar a funo de

refratar os raios de luz e foc-los no plano da retina. Tais procedimentos mdicos visam

modificar a curvatura desta camada. Mesmo tendo uma espessura central muito pequena,

apresenta seis camadas: Epitlio (50 mm), Membrana de Bowman (15 mm), Estroma

(500 mm), membrana de Descemet (a meio interna) e Endotlio (camada interna). A FIG. 3.3

esquematiza as estruturas da crnea mencionadas.

FIG. 3.3 Esquema das camadas da crnea (LASIK MD, 2009)

43

3.2 PROBLEMA FSICO E FORMULAO MATEMTICA

Para fins deste trabalho, a estrutura intra-ocular humana modelada com cinco camadas:

crnea, humor aquoso, lentes (pupila, cristalino e ris), humor vtreo e esclera (agrega coride

e retina). Alm disso, o nervo ptico no ser includo na formulao fsica, pois este

influencia minimamente a distribuio de temperatura interna do olho. Cada camada suposta

homognea e termicamente isotrpica. A modelagem unidimensional do olho humano, cujas

dimenses so prximas s de (OOI et al., 2008) desenvolvida. A FIG. 3.4 exibe um

diagrama esquemtico do domnio fsico do problema.

FIG. 3.4 Diagrama esquemtico do olho humano

As propriedades termofsicas e as dimenses de cada camada so expostas na TAB. 3.1 e

podem ser encontradas em (OOI et al., 2008).

TAB. 3.1 Propriedades trmicas de cada camada do olho (OOI et al., 2008)

Camada Espessura

[mm]

Condutividade trmica

k [W m-1K-1]

Massa especfica [kg m-3]

Calor especfico

c [J Kg-1 K-1] 1. Crnea 0.6 0.58 1050 4178 2. Humor aquoso 3 0.58 996 3997 3. Lentes 4 0.40 1050 3000 4. Humor vtreo 15 0.60 1000 4178 5. Esclera 0.1 1.00 1100 3180

Segundo a hiptese assumida, h um processo de difuso de calor unidimensional, em

meio composto, regime transiente, em um globo ocular humano onde as coordenadas

adotadas so retangulares. Alm disso, as camadas esto em perfeito contato trmico.

O calor fornecido pela energia do laser absorvido somente na crnea, onde mais de 95%

desta energia absorvida. O percentual restante refletido pela superfcie da crnea. Alm

disso, o feixe de laser suposto ser do tipo Gaussiano. Tal afirmao no acarretar em

nenhum efeito significativo no perfil trmico dentro da crnea.

A perda de calor na crnea decorre da associao da evaporao da lgrima, conveco

com o ar e radiao, enquanto na extremidade oposta, na camada exterior da esclera, o calor

44

proveniente do fluxo sanguneo adjacente atravessa a esclera e difunde via conduo para a

crnea.

De acordo com o mencionado acima, o processo fsico modelado pela equao

diferencial parcial, apresentada na forma dimensional, onde a equao governante a de

Pennes (1948) assumindo a perfuso sangunea desprezvel.

ii

ii

ii S)xT

k(xt

Tc +

=

ixx0 (3.1)

vap44

111

1 E)TT()TT(hn

Tk ++=

0x = 0t > (3.2)

)TT(hn

Tk bl5bl

55 =

Lx = 0t > (3.3)

Nas EQs. 3.1, 3.2 e 3.3, n

representa o vetor unitrio normal s superfcies externas.

O termo fonte com decaimento exponencial, de acordo com o comprimento de onda

adotado, dado por

=

0

eE)F1()t(S

x0

i i = 1

(3.4) i = 2,3,4 e 5

e

=0

1)t(

, se o laser est ligado, (3.5)

, se o laser est desligado.

A condio inicial dada pelas EQs. 3.1, 3.2 e 3.3 em regime permanente e sem termo

fonte,

0)dx

dTk(

dx

d ii = Lx0

45

dx

dTk

dx

dTk 1i1i

ii

++= i = 2,3,4 (3.10)

Os parmetros adotados neste modelo esto presentes na TAB. 3.2.

TAB. 3.2 Parmetros do modelo matemtico (OOI, 2008)

Parmetro Smbolo Valor Dimenso Temperatura do sangue Tbl 37 C Temperatura do ambiente T 25 C Coeficiente de conveco do sangue hbl 65 W m

-2 K-1 Coeficiente de conveco do ambiente h 10 W m

-2 K-1 Taxa de evaporao Evap 40 W m

-2 Emissividade da crnea 0.975 --- Constante de Stefan-Boltzman 5.67x10-8 W m-2 K-4 Refletncia de Fresnel F 0.024 --- Coeficiente de absoro do laser 1900 ---

O coeficiente de absoro do laser escolhido o da gua, como em (OOI et al., 2008).

3.3 FUNO DANO

O tecido orgnico ao ser exposto a elevadas temperaturas danificado termicamente. Este

fenmeno ocasiona a desnaturao das clulas. A desnaturao um processo que ocorre em

molculas biolgicas, principalmente protenas, expostas a condies diferentes daquelas em

que foram produzidas. Alm disso, pode haver perda das funes biolgicas ou a evaporao

de parte do tecido afetado.

HENRIQUES e MORITZ (1946) foram os pioneiros em quantificar a leso em tecido

orgnico causada por uma fonte externa geradora de calor. Pesquisaram a queimadura em

epiderme de suno e assumiram que as queimaduras em tecidos orgnicos resultam na

desnaturao trmica das protenas Postularam e testaram uma equao adimensional, baseada

na equao de Arrhenius, para quantificar o dano trmico acumulado, como em (ZHOU et al.,

2009), da seguinte forma:

( ) ( )

=f

i

t

t

dtt,xRT

EBexpx (3.11)

46

onde B um fator pr-exponencial (mede a freqncia de coliso molecular); E a energia de

ativao para a reao, R a constante universal dos gases; T a temperatura absoluta; ti o

tempo inicial de exposio ao laser; tf o tempo no quando o dano trmico avaliado; T a

temperatura do tecido na posio em que calculado (WELCH, 1984).

Os valores da constante pr-exponencial e da energia de ativao para aquecimento da

pele a baixas temperaturas determinados por Henriques e Moritz (1946) tm sido amplamente

empregados na literatura. Pesquisas recentes reportam o estudo de outras fontes externas de

calor que danificam a epiderme, tal como lesionar o tecido orgnico durante a irradiao a

laser. (PENG et al., 2008)

Os valores adotados neste trabalho para os parmetros da EQ. 3.11 so expostos na TAB.

3.3.

TAB. 3.3 Parmetros da funo dano (WELCH, 1984)

B [s-1] E [Jmol-1] R [Jmol-1K-1] 1.01044 7.0104 2.0

Para queimaduras na pele os valores da funo dano equivalentes a 0.53, 1 e 1104 so

referentes a queimaduras de primeiro, segundo e terceiro grau respectivamente

(WELCH, 1984). As definies mdicas para queimadura so menos quantitativas

estabelecendo primeiro grau para epiderme, segundo grau para derme e terceiro grau para

tecidos subcutneos.

3.4 PERFIS IDEAIS PARA A FUNO DANO

Esta seo apresenta as curvas para a funo dano ideal que so empregadas na

otimizao do laser com forma funcional constante e com variao temporal. So

considerados seis perfis distintos que procuram avaliar o desempenho dos mtodos de

otimizao ao serem aplicados na otimizao de parmetros. valido ressaltar que a funo

dano calculada somente na crnea, pois o laser, nesta pesquisa, atua exclusivamente nesta

camada.

A EQ. 3.12 a representao matemtica do perfil ideal (elaborado com base nos valores

que caracterizam dano irreversvel) para dano trmico no epitlio aps o tempo de exposio

ao laser, enquanto as demais camadas da crnea esto isentas de dano.

47

( )

= x

105

1250016743exp51xD

41 . , 4106x0 (3.12)

O grfico da curva D1 apresentado na FIG. 3.5, onde a linha pontilhada vertical ilustra a

posio em que termina o epitlio (50m de profundidade). O tracejado horizontal destaca o

valor mnimo para o qual h dano ao tecido.

Posio [m]

Fun

o

dano

0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.00060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

FIG. 3.5 Perfil ideal D1

As EQs. 3.13 e 3.14 pretendem testar a robustez dos mtodos numricos de otimizao,

uma vez que a soluo da funo dano suposta ter decaimento exponencial nesta pesquisa.

A curva D2, conforme exposta na EQ. 3.13, idealiza o dano trmico constante no epitlio

e mnimo nas demais camadas da crnea. A representao grfica da mesma encontra-se na

FIG. 3.6.

( )

48

Os trs comportamentos ideais que seguem representam um dano trmico irreversvel em

25%, 50% e 75% a partir da superfcie da crnea, que correspondem a 0.15 mm, 0.3 mm e

0.45 mm. Nestes casos o comportamento das funes exponencial, tal como a soluo da

funo objetivo. Os ndices indicam a profundidade do dano; o menor corresponde a 25%

enquanto o maior 75%. A formulao matemtica apresentada nas EQs. 3.15-17.

Posio [m]

Fun

odan

o

0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.00060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

FIG. 3.6 Perfil ideal D2

( )

49

( )

= x

1025

1831020481exp51xD

44 . , 4106x0 (3.15)

( )

= x

105

1831020481exp51xD

55 . , 4106x0 (3.16)

( )

= x

101

2441360641exp51xD

66 . , 4106x0 (3.17)

A FIG. 3.8 mostra graficamente as EQs. 3.15-17. Vale destacar que a profundidade do

dano trmico na crnea de 25, 50 e 75% referente s EQs. 3.15-3.17, respectivamente.

Posio [m]

Fun

o

dano

0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.00060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

25%50%75%

Profundidade do dano

FIG. 3.8 Perfil ideal D4, D5 e D6

Este captulo teve por finalidade contextualizar o trabalho acerca da situao fsica do

problema alvo desta pesquisa, ao dissertar sobre a estrutura do globo ocular humano e

apresentar o equacionamento matemtico que modela o fenmeno.

Descreveu-se a funo dano e a importncia da mesma no presente trabalho e em seguida

foram expostas seis curvas idealizadas para a integral de Henriques e Moritz aps o intervalo

de tempo referente exposio to tecido ocular ao laser. Tanto a funo dano quanto as

curvas possuem papel fundamental no procedimento de otimizao, como ser visto no

captulo 7.

50

4 SOLUO NUMRICA

O presente captulo tem por objetivo descrever o Mtodo dos Volumes Finitos e deduzir a

discretizao do problema proposto. Em outras palavras, representar as equaes diferenciais

parciais por um sistema de equaes lineares.

4.1 MTODO DOS VOLUMES FINITOS APLICADO AO PROBLEMA DE BIOTRANSFERNCIA DE CALOR

Conforme apresentado no captulo 3, tem-se a formulao matemtica do problema

proposto.

ii

ii

ii S)xT

k(xt

Tc +

=

ixx0 (4.1)

vap44

111

1 E)TT()TT(hnT

k ++= 0x = 0t > (4.2)

)TT(hn

Tk bl5bl

55 =

Lx = 0t > (4.3)

O termo fonte dado por,

=

0

eE)F1()t(S

x0

i i = 1

(4.4) i = 2,3,4 e 5

e

=0

1)t(

, se o laser est ligado, (4.5)

, se o laser est desligado.

A condio inicial fornecida pelas EQs. 4.1, 4.2 e 4.3 em regime permanente e sem

termo fonte,

0)dx

dTk(

dx

d ii = Lx0

51

)TT(hdx

dTk bl5bl

55 = Lx = (4.8)

A temperatura e o fluxo de calor respeitam o princpio da continuidade da temperatura e

do fluxo de calor.

1ii TT += i = 2,3,4 (4.9)

dx

dTk

dx

dTk 1i1i

ii

++= i = 2,3,4 (4.10)

Na discretizao das EQs. 4.1-4.3 e EQs. 4.6-4.8 empregou-se o Mtodo de Volumes

Finitos (MVF), com formulao totalmente implcita, para a discretizao do problema em

regime permanente e transiente. A energia que flui entre os volumes a cada instante de tempo

calculada via integrao sobre as fronteiras, realizando a diferena do fluxo que sai e entra

no volume de controle (MALISKA, 1995).

Antes de proceder com a integrao preciso reescrever as equaes na forma

conservativa. Na primeira integrao so avaliados os fluxos nas fronteiras do volume finito,

procedimento que equivale ao balano da grandeza no volume de controle. Alm disso, nesta

pesquisa os fluxos so difusivos por se tratar de um problema de conduo de calor.

Na FIG. 4.1.b as linhas tracejadas delimitam as interfaces de cada volume e, o volume na

tonalidade cinza o volume de controle (finito). J na FIG. 4.1.a representado um volume

cujo ponto P est no centro do volume e a distncia de P ao centro de cada volume vizinho

so diferentes (pontos W e E).

Na FIG. 4.1 apresentada uma ilustrao de trs volumes do domnio, onde o volume de

controle (entre linhas verticais tracejadas) de centro P o volume onde as equaes algbricas

so obtidas. Os volumes adjacentes so nomeados segundos os pontos cardiais oeste (W) e

leste (E), que so empregados nas funes de interpolao propostas para aproximar os fluxos

convectivos e difusivos. As

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OTIMIZAÇÃO DE TERMOS FONTES EM PROBLEMAS DE ...€¦ · Otimização de termos fontes em problemas de biotransferência de calor ... uniforme com termo fonte, com radiação, convecção