[P27] Operadores Lineares e Matrizes

Operadores Lineares e Matrizes

Uma Distinção Fundamental em Álgebra Linear

Prof. Carlos R. Paiva


1

Comecemos por apresentar a definição de operador linear entre dois espaços lineares (ou

vectoriais) complexos. O caso dos espaços lineares reais pode ser considerado como um caso

particular de um espaço linear definido sobre o corpo .

Definição. Um operador linear (ou uma transformação linear) de um espaço linear (ou

vectorial) V para um espaço linear W , definidos sobre o corpo (dos números complexos),

é uma aplicação :V Wf tal que

, , , ,V u v u v u vf f f .

O operador linear é um endomorfismo quando W V .

Exemplos

1. Seja 2: :f x x . Como 2 2 2 2 22f x y x y x x y y ,

2f x x e 2f y y , é f x y f x f y . Não se trata, portanto, de

um operador linear.

2. Seja : :g x a x b . Logo g x y a x y b a x a y b ,

g x a x b a x b e g y a y b a y b . O operador só

é linear quando b b b b . Porém, como e são números reais

quaisquer, infere-se que tal só será possível para 0b . Quando 0b o operador não é

linear.

3. Façamos 2: : 2 ,

3

tt t

T . Então 1 2

1 2 1 22 2 ,3

x xx x x x

T ,

11 12 ,

3

xx x

T , 2

2 22 ,3

xx x

T e 1 2 1 2x x x x T T T .

Este é, assim, um operador linear.

2 Carlos R. Paiva

4. Consideremos o operador 2 2: : , cos sin , sin cosx y x y x y R .

Uma forma de representar este operador é através de uma matriz de rotação no plano, i.e.,

cos sin

sin cos

x x

y y

R . Tem-se sucessivamente

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

cos sin

sin cos

cos sin cos sin

sin cos sin cos

x x x x

y y y y

x x

y y

x x

y y

R

R R

pelo que se trata, também aqui, de um

operador linear. Do ponto de vista

geométrico podemos escrever

Rv u , em que 1 2x y u e e e

1 2x y v e e , tendo-se considerado

uma base 1 2, e e ortonormada em

2, i.e.,

1,

0,j k j k

j k

j k

e e

onde j k é o delta de Kronecker. A figura anexa representa esta operação de rotação

2 2, ,x y x y u v em que cos sinx x y e sin cosy x y .

Pode-se inferir o sentido da rotação com base no produto externo u v desde que se

entenda que , ,0x yu e , ,0x y v :

1 2 3

22 2

3 3 30 sin sin

0

x y x y yx x y

x y

e e e

u v e e u e .

Tem-se, ainda, 22 2 cos cosx x y y x y u v u . Note-se que o comprimento

de cada vector não se altera: 2 22 2x y x y , i.e.,

2 2u v . No caso particular

em que 0 obtém-se 0 u v ; quando 2 obtém-se 0 u v e 2

3 u v u e .

■

X

Y

x x

y

y

u

v

1e

2e


3

Notação. Usam-se, em geral, letras de fontes não-serifadas («arial») para designar os

operadores lineares. As únicas excepções correspondem aos casos mais simples em que: (i)

:f V , com V ; (ii) :f V , com V . Usam-se letras minúsculas a negrito

(«bold») para representar vectores (e.g., , Vu v ). Usam-se letras gregas minúsculas para

representar escalares (e.g., , ou , ). Usam-se letras maiúsculas a negrito para

representar matrizes ou tensores: e.g., , Mat ,n n A B , onde («euclid math two»)

é uma letra genérica que designa um corpo (em inglês um corpo designa-se por «field»).

Geralmente , . Designa-se por Mat ,n , ou n , o espaço linear das matrizes

quadradas n n definidas sobre o corpo . Note-se por fim que, ao definir uma aplicação, se

escreve : :f A B x y significando, com isso, que f A B e ainda que y f x .

Coloca-se, agora, a seguinte questão: qual é a relação existente entre um dado

operador linear e a sua representação matricial? A resposta é simples: sendo A a matriz que

corresponde ao operador linear : n mV Wf , o respectivo elemento matricial j k pode obter-

se uma vez fixadas as bases de cada espaço. Admitindo que o espaço linear nV tem uma base

1

n

V j j a e o espaço linear mW tem uma base

1

m

W k k b , tendo-se portanto

dim nV n e dim mW m , então as colunas da matriz A são dadas por

1

, 1,2, ,m

j k j k

k

j n

a bf .

Nota. Apenas quando a base 1

m

W k k b é ortonormada, com

1,

0,i j i j

i j

i j

b b ,

é que, desta equação, se tira (fazendo o produto interno de a ambos os membros por b )

1 1

m m

j k j k k j k j

k k

b a b bf

j k j k b af .

4 Carlos R. Paiva

Obtém-se, deste modo, a matriz m n :

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

A .

Existe, deste modo, um isomorfismo entre o espaço linear ,n mV WL dos operadores lineares

de nV em

mW e o espaço linear Mat ,m n das matrizes m n definidas sobre o corpo .

Exemplo. Determinemos a representação matricial do operador linear 3f L (i.e., onde

3 3: f ) tal que

2

3

2

x x y z

y x z

z y z

f

mas considerando a seguinte base para 3: 1 2 3, , a a a com

1 2 3

1 1 0

1 , 0 , 1 .

0 1 1

a a a

Note-se que se trata de uma base que não é ortogonal (e, muito menos, ortonormada...). Mas

é, como não podia deixar de ser (por definição de base), um conjunto de três vectores

linearmente independentes:

1 2 3 123 123

1 1 0

1 0 1 2 0

0 1 1

a a a e e .

Existe um erro corrente que consiste em dizer que a matriz Α associada deverá ser

1 1 2

3 0 1

0 2 1

M .

Porém, isso é – como se irá mostrar neste exemplo – falso. Para obter a primeira coluna da

matriz Α , façamos


5

11

1 11 21 31 21

31

1

21 0 1 1 01

1 3 1 0 12

0 2 0 1 15

2

af f .

Para obter a segunda coluna, vem

12

2 12 22 32 22

32

1 3 1 1 0 2

0 2 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0

af f .

Finalmente, para obter a terceira coluna,

13

3 13 23 33 23

33

3

20 1 1 1 05

1 1 1 0 12

1 3 0 1 11

2

af f .

A matriz pretendida será então

1 32

2 2

1 51

2 2

5 10

2 2

A .

Note-se, porém, que

2 2

3 3

2 2

x x y z x x y z

y x z y x z

z y z z y z

Af

o que mostra que é necessário ter cuidado. Com efeito, tem-se

1 2 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

x

y x y z x y z

z

e e e

(i.e., na base canónica de 3) mas, na base considerada, é

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 1 0

, , , , , , 1 0 1

0 1 1

x

y x y z x y z x y z

z

a a a

6 Carlos R. Paiva

1

2

3

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

x y z

x y z

x y z

.

De forma análoga, vem sucessivamente

1

1 1 2 2 3 3 1 2 3 2

3

32

22 1 1 01

3 1 0 1 22

2 0 1 13

2

x y

x x y z

y x z x y z

z y z

x y z

a a af

Agora, com efeito, obtém-se (como se pode facilmente verificar)

1 1

2 2

3 3

1 1 1 32

2 2 2 2

1 1 1 12

2 2 2 2

1 1 1 3

2 2 2 2

x y z x y

x y z x y z

x y z x y z

A A

1 3 1 1 1 32 2

2 2 2 2 2 2

1 5 1 1 1 11 2

2 2 2 2 2 2

5 1 1 1 1 30

2 2 2 2 2 2

x y z x y

x y z x y z

x y z x y z

.

■

Problema 1. O operador linear 3 2: f é dado por

2 3

xx y z

yx y z

z

f .

Mostre que a correspondente matriz, para as bases canónicas de 3 e

2, é

2 1 3

1 1 1

A .


7

Problema 2. Considere o operador linear 3 3: g tal que

1 1 2 3

2 1 3

3 1 2

2

2

x x x x

x x x

x x x

g .

Mostre que, na base canónica de 3 , a correspondente matriz é

1 1 1

2 0 1

1 2 0

A

enquanto que, na base

1 2 3

1 1 0

1 , 0 , 2

0 1 3

a a a ,

a correspondente matriz é

4 3 15

6 1 14

3 0 6

B .

Problema 3. Demonstre as fórmulas

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin

notando que a rotação de um ângulo 1 2 no plano ,x y é o produto de duas rotações

1 2 2 1 R R R R em que

cos sin

sin cos

R .

Vejamos, agora, o que acontece numa mudança de base, i.e., quando se passa de uma

base 1

n

i i a para uma nova base

1

n

i i a . Dado um vector a , tem-se

1 1

n n

i i j j

i j

a a a .

8 Carlos R. Paiva

Porém, existe uma relação linear entre as duas bases:

1

n

i ji i

j

a a .

Assim, depois de substituir esta relação na anterior, vem

1 1 1

n n n

i ji j j j

i j j

a a a

1

, 1,2, ,n

j ji i

i

j n

.

Em termos matriciais podemos ainda escrever esta última equação na forma

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

n

n

n n n nn n

a R a .

Quando se muda de base, a matriz A da base 1

n

i i a dará lugar a uma nova matriz A

correspondente à nova base 1

n

i i a . Tem-se, então,

b = Aa b Rb

b = A a a Ra

donde

1 Rb A Ra b R A R a

1 1 A R A R A R AR .

As matrizes A e A dizem-se semelhantes e a relação entre elas uma transformação de

semelhança. Note-se que, apesar de se tratar de duas matrizes diferentes, elas devem

representar o mesmo operador linear.

Exemplo. Consideremos a mudança de base do Problema 2. Nesse problema começou-se por

considerar a base canónica de 3, tal que 1 2 3, , e e e , onde se tem

1 2 3

1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

e e e .

A outra base considerada foi 1 2 3, , a a a em que


9

1 2 3

1 1 0

1 , 0 , 2

0 1 3

a a a .

Logo

11

1 11 1 21 2 31 3 11 21 31 21

31

1 1 1 0 2

0 1 0 2 3

0 0 1 3 1

e a a a

12

2 12 1 22 2 32 3 12 22 32 22

32

0 1 1 0 3

1 1 0 2 3

0 0 1 3 1

e a a a

13

3 13 1 23 2 33 3 13 23 33 23

33

0 1 1 0 2

0 1 0 2 2

1 0 1 3 1

e a a a

de forma que a matriz de mudança de base é então

1

2 3 2 1 1 0

3 3 2 1 0 2

1 1 1 0 1 3

R R .

Nestas condições, a relação entre a matriz B e a matriz A do mesmo Problema 2 deverá ser

1B R AR .

Efectivamente, tem-se

4 3 15 2 3 2 1 1 1 1 1 0

6 1 14 3 3 2 2 0 1 1 0 2

3 0 6 1 1 1 1 2 0 0 1 3

.

■

Problema 4. Seja a matriz A de um endomorfismo 3 3: T em relação à base canónica

1 2 3, , e e e tal que

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A .

10 Carlos R. Paiva

Mostre que a representação matricial do operador linear T na nova base 1 2 3, , a a a tal

que

1 2 3

0 1 1

1 , 1 , 1

1 1 0

a a a

corresponde à matriz

1 1

1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 0 , 1 1 1 , 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1 1 0

B R A R R R .

Confirme o seu resultado notando que, de acordo com a base canónica, o operador linear em

causa é tal que

x y z

y x z

z x y

T .

Recordemos, agora, como determinar a inversa de uma matriz A não singular. Tem-

se, como é sabido,

1

adj

det

A

AA

.

Exemplo. Determine a inversa da matriz

11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 1 2

1 0 3

2 1 1

A .

Comecemos por calcular o respectivo determinante. Vem

11 11 12 12 13 13det 3 3 1 7 2 1 4 A

já que se tem


11

1 1

11

1 2

12

1 3

13

0 31 3

1 1

1 31 7

2 1

1 01 1

2 1

.

Por outro lado a matriz adjunta é dada por

11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 7 1 3 1 3

adj 1 1 1 7 1 11

3 11 1 1 1 1

T T

A .

Logo

1

3 1 3 0.75 0.25 0.751 1

adj 7 1 11 1.75 0.25 2.754

1 1 1 0.25 0.25 0.25

A A .

Facilmente se verifica que, com efeito, é

1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A A A A I .

■

Problema 5. Mostre que a matriz inversa da matriz

1 2 1

0 1 2

2 1 1

A

é a matriz

1

1 1 3 0.2 0.2 0.61

4 1 2 0.8 0.2 0.45

2 3 1 0.4 0.6 0.2

A .

12 Carlos R. Paiva

Existe uma forma diferente de calcular o determinante. Seja : n nV Vf um

endomorfismo de nV , com dim nV n , tal que a bf em que, portanto, , nVa b . Se

1

n

i i a é uma base do espaço linear

nV , então

1 2 1 2detn n a a a a a af f .

Exemplo. Voltemos a considerar a matriz

3 1 2

1 0 3

2 1 1

A .

Na base canónica de 3, em que se tem

1 2 3

1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

e e e ,

esta matriz corresponde ao operador linear

3 2

3

2

x x y z

y x z

z x y z

f .

Em particular, virá

1 1 2 2 3 3

1 3 0 1 0 2

0 1 , 1 0 , 0 3

0 2 0 1 1 1

e f e f e ff f f f f f

1 2 3 1 2 3 1 2 3det e e e e e e e e ef f f f f

1 2 3 123det f f f ef .

Logo, com efeito, tem-se

1 2 3 123

3 1 2 3 1 2

1 0 1 det 1 0 1 4

2 3 1 2 3 1

f f f e f .

Note-se o significado geométrico: det f corresponde ao volume orientado do trivector

1 2 3 f f f .

■


13

Exemplo. Calculemos, agora, o determinante do operador linear considerado no Problema 2.

Consideremos a base

1 2 3

1 1 0

1 , 0 , 2

0 1 3

a a a .

Nesta base, tem-se

1 1 2 2 3 3

1 2 1 2 0 1

1 2 , 0 3 , 2 3

0 3 1 1 3 4

a g a g a gg g g g g g

pelo que

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3det a a a a a a g g g a a ag g g g g

1 2 3 123

1 2 3 123

det

g g g e

a a a eg .

Como

1 2 3 123 123 1 2 3 123 123

2 2 3 1 1 0

2 3 1 3 , 1 0 1

1 3 4 0 2 3

g g g e e a a a e e

infere-se que

det 3

g .

Note-se que, ainda no âmbito do Problema 2, se tem

1 1 1 4 3 15

det 2 0 1 det 6 1 14 det 3

1 2 0 3 0 6

A B g .

Ou seja: o determinante é um invariante próprio de um operador linear e, consequentemente, é

sempre o mesmo para todas as matrizes relacionadas entre si por uma transformação de

semelhança. Portanto, para calcular o determinante de um operador linear, é geralmente mais

fácil fazê-lo através da base canónica.

■

14 Carlos R. Paiva

Além do determinante, existe um outro invariante importante relacionado com matrizes

semelhantes – o traço. Define-se o traço de uma matriz como sendo a soma dos seus

elementos diagonais.

Sejam A e A duas matrizes semelhantes, i.e., com

1 A R AR .

Então, vem sucessivamente

1 1

det detdet det det det det det

det

R A

A R A R R A R AR

.

Para o traço, vem também

1 1 1 1tr tr tr tr tr tr tr

A R AR R AR AR R A R R AI A .

Assim, e.g., no Problema 2, tem-se

1 1 1 4 3 15

tr tr 2 0 1 tr tr 6 1 14 tr 1

1 2 0 3 0 6

A B g .

Apresentam-se, de seguida, duas relações importantes que relacionam o determinante com o

traço.

Para endomorfismos de dimensão 2, tem-se

2 21det tr tr

2 f f f .

Para endomorfismos de dimensão 3, tem-se

3 2 31det tr 3tr tr 2 tr

6 f f f f f .

Calculemos, agora, a exponencial de uma matriz. Por definição, escreve-se

0

exp!

m

m m

A

A .

Estamos a admitir que Mat ,nA com , .


15

Exemplo. Calculemos exp A para (com , ,a b c )

0

0 0

0 0 0

a b

c

A .

Comecemos por notar que esta matriz é nilpotente já que se tem 3 0A :

2 3

0 0 0 0 0

0 0 0 , 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

ac

A A .

Logo, vem

2

11

1 0 0 0 0 0 21

exp 0 1 0 0 0 0 0 0 0 12 2

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

a b aca b ac

c c

AA I A .

Infere-se, deste modo, que

0 11

exp 0 0 0 12

0 0 0 0 0 1

a

a b

b ac c

c

.

Exemplo. Seja 1X R DR . Vamos mostrar que, neste caso, se tem

1 1exp exp exp X R DR R D R .

Comecemos por notar que

2

1 1 1 1 1 1 2 1 R DR R DR R DR R D R R DR R DI DR R D R .

Analogamente, tem-se

1 1m

m R DR R D R .

Logo, infere-se que

1 1

1 1 1

0 0 0

exp exp! ! !

mm m

m m mm m m

R DR R D R DR DR R R R D R .

16 Carlos R. Paiva

Exemplo. Vamos, agora, calcular expY X para

0

0

X .

Notemos que esta matriz é semelhante à matriz

0

0

i

i

D

já que se tem

1X R DR

em que

11 11

,1 12

i i

i i

R R .

Com efeito,

11 0 1 01

1 0 1 02

i i i

i i i

R DR X .

Mas então, vem

1 11 101

exp exp exp1 12 0

i

i

i ie

i ie

X R DR R D R

cos sin

expsin cos

Y X

que corresponde, como se viu anteriormente, à matriz de rotação do plano.

Problema 6. Mostre que, para qualquer matriz X do tipo 2 2 com traço nulo, i.e., com

a b

c a

X ,

se tem

2 det X X I .

Mostre, em seguida, que se tem

sin detexp cos det

det

XX X I X

X.


17

Note que, como cos e sin são funções pares de , esta expressão não depende do sinal

escolhido no cálculo de det X . Além disso, quando det 0X , esta expressão deve ser

interpretada como dando

exp X I X .

Use este resultado para provar que

0 cos sin

exp0 sin cos

.

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