Paquímetro e Micrômetro: medidas e propagação de erros ... · Massa kilograma kg Tempo segundo s ... Elefante quantidade de 5.103 substância de um sistema o qual Grampo 3.10-3

Física 1 – Roteiro de Relatórios – Experiência 1 e 2: Paquímetro e Micrômetro: medidas e propagação de erros.

Prof.: Dr. Cláudio S. Sartori

1

INTRODUÇÃO:

Forma Geral dos Relatórios

É muito desejável que seja um caderno

grande (formato A4) pautada com folhas

enumeradas ou com folhas enumeradas e

quadriculadas, do tipo contabilidade, de

capa dura preta, brochura.

Chamaremos de Caderno de

Laboratório, individual. No verso deste caderno você pode

fazer o rascunho a lápis. Na parte

enumerada fará o relatório com a seguinte

estruturação:

No mínimo, para cada experimento o

Caderno de Laboratório deve sempre conter:

1. Título do experimento data de

realização e colaboradores. Nome do autor.

2. Objetivos do experimento;

3. Roteiro dos procedimentos

experimentais;

4. Esquema do aparato utilizado;

5. Descrição dos principais

instrumentos;

6. Dados medidos;

7. Cálculos;

8. Gráficos;

9. Resultados e conclusões.

O formato de apresentação destes 9 itens

não é rígido. O mais indicado é usar um

formato seqüencial, anotando-se à medida que

o experimento evolui.

Referências:

1. G.L. Squires, "Practical Physics" (Cambridge University Press, 1991), capítulo

10, pp. 139-146; e D.W. Preston, "Experiments

in Physics" (John Wiley & Sons, 1985), pp.

2-3.

2. C. H. de Brito Cruz, H. L. Fragnito, Guia

para Física Experimental Caderno de

Laboratório, Gráficos e Erros, Instituto de

Física, Unicamp, IFGW1997.

3. D.W. Preston, "Experiments in

Physics" (John Wiley & Sons, 1985), pp. 21-

32; G.L.

4. C.E. Hennies, W.O.N. Guimarães

e J.A. Roversi, "Problemas Experimentais

em Física" 3ª edição, (Editora da Unicamp,

1989), capítulo V, pp.168-187.



2

Teoria

Sistemas de unidades.

Erros sistemáticos e aleatórios.

Propagação de erros nas medidas.

Descrição:

Paquímetro.

Micrômetro.

o (Vide notas de aula e manuais).

Sistema de unidades:

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES DE MEDIDA (SI);

1971 – 14a conferência geral de pesos e medidas –

Sistema Internacional de unidades (SI).

Quantidade

Fundamentais Nome da

unidade

Símbolo

Comprimento metro m

Massa kilograma kg

Tempo segundo s

Prefixos para o sistema SI:

Fator Prefix Símbolo Fator Prefix Símbolo

1024

yotta Y 10-24

yocto y

1021

zetta Z 10-21

zepto z

1018

exa 10-18

Atto a

1015

peta P 10-15

femto f

1012

tera T 10-12

Pico p

109 giga G 10

-9 Nano n

106 mega M 10

-6 micro

103 kilo k 10

-3 Milli m

102 hecto h 10

-2 centi c

101 deka da 10

-1 Deci d

Prefixos mais usados:

Fator Prefix Símbolo

106 mega M

103 kilo k

10-2

centi c

10-3

Milli m

10-6

micro

10-9

Nano n

Alguns fatores de conversão: Massa Comprimento Volume

1kg=1000g=6.02.1023

u

1m=100cm=39.4in

=3.28ft

1m3=1000l=35,3

ft3=264gal

1slug=14,6kg 1mi=1.61km=5280

ft Tempo

1u=1,66.10-27kg 1 in=2.54cm 1d=86400s

Densidade

1nm=10-9m=10

0

A 1year=

41365 d

=3,16.107s

1kg/m3=10-3g/cm3 1 light-

year=9,46.1015m Medida Angular

1rad=57,30=0,159rev

rad=1800=1/2

rev

Velocidade Pressão Energia

1m/s=3,27ft/

s=2.24mi/h

1Pa= 1N/m2 1J=107erg=0,239cal=

0.738ft-lb

1km/h=0.27

8m/s

1Pa=1dyne/cm2 1kWh=3,6.106J

1km/h=0.62

1mi/h

1Pa=1,45.10-4lb/in2 1cal=4,19J

Força 1atm=1,01.105Pa 1eV=1,60.10-19J

1N=105dyne 1atm=14,7lb/pol2 Potência

1lb=4,45N 1atm=76cm-Hg=760mm-Hg

1 horsepower=746W=5

50 ft.lb/s

Observações: inch: polegada; feet: pé

light-year: ano-luz, distância que a luz percorre em

um ano;horsepower: cavalovapor

Notação Científica: Resultados obtidos em calculadoras ou

computadores , possuem formatos do tipo dos

exemplos abaixo:

Exemplo 1-

Visor:

126,096E+06=126,096.106

Escrito em notação científica:

1,26096.108

Exemplo 2-

Visor:

0,0108E-08=0,0108.10-8

Escrito em notação científica:

1,08.10-10

O SI também é conhecido como sistema métrico.

As grandezas derivadas do SI são dadas em

termos das fundamentais.

As grandezas fundamentais são:

Metro: (m)

O metro foi definido, em 1792 na França,

como 1 décimo de milionésimo da distância do pólo

norte para o equador. Atualmente é definido como a

distância entre duas linhas finas gravadas em uma

barra de platina-irídio, mantida no International

Bureau of Weights and Measures próximo à Paris.

Em 1960 foi adotado um novo padrão para o

metro, baseado no comprimento de onda da luz.

Especificamente, o metro foi redefinido como

1650763,73 comprimentos de onda de uma particular

luz vermelho-alaranjada emitida por átomos de

Kriptônio-86.

COMPRIMENTOS TÍPICOS m

Distância ao mais afastado quasar (1990) 2.1026

Distância à galáxia de Andrômeda 2.1022

Distância à mais próxima estrela (Próxima

Centauri)

4.1016

Distância ao mais afastado planeta (Plutão) 6.1012

Raio da Terra 6.106

Altura do monte Everest 9.102

Espessura dessa página 1.10-4

Comprimento de onda da luz 5.10-7

Comprimento de um vírus típico 1.10-8

Raio do átomo de hidrogênio 5.10-11

Raio de um próton 10-15



3

Tempo: (s)

Para medir tempo-padrão, os relógios

atômicos foram desenvolvidos em diversos países.

A 13a conferência geral de pesos e medidas

adotou o segundo padrão baseado no relógio

atômico de césio. (NIST- Colorado USA)

Em princípio, dois relógios de Césio

funcionando por 6000 anos não atrasariam 1s em

relação ao outro. Intervalo de Tempo (s)

Tempo de vida de um próton 1039

Idade do universo 5.1017

Idade da pirâmide de Quéops 1.1011

Expectativa de vida humana (EUA) 2.109

Duração de um dia 9.104

Tempo entre duas batidas do coração

humano

8.10-1

Tempo de vida de um múon 2.10-6

Menor pulso luminoso no laboratório (1989) 6.10-15

Tempo de vida da mais instável partícula 10-23

Constante de tempo de Planck 10-43

Relógio de Césio padrão, - NIST, Boulder-

Colorado-USA.

Massa: (kg)

A unidade padrão para a massa é um

cilindro de platina-irídio guardada no International

Bureau of Weights and Measures , próximo à Paris,

França, como mostramos na figura

abaixo:corresponde a uma massa de 1kg, de acordo

internacional.

Algumas massas típicas:

Massa kg

Universo conhecido 1053

Nossa galáxia 2.1041

Sol 2.1030

Lua 7.1022

Asteróide Eros 5.1015

Pequena Montanha 1.1012

Periferia do Oceano 7.107

Elefante 5.103

Grampo 3.10-3

Grão de Areia 7.10-10

Molécula de Penicilina 5.10-17

Próton 2.10-27

Elétron 9.10-31

Análise de Equações e variáveis em Física.

(Análise dimensional):

Muitas vezes em problemas e medidas é de

extrema utilidade analisar a dimensão da grandeza a

ser medida ou da variável em questão. Para isso

representamos as grandezas fundamentais como:

Medida Nome da

unidade

Símbolo Dimensão

Comprimento metro m [L]

Massa kilograma kg [M]

Tempo segundo s [T]

Exemplo 3 – Analisar a dimensão da

grandeza pressão:

P=F/A ; F=ma Grandeza (unidade SI) Dimensão

Aceleração a (m/s2) [L][T]-2

Massa (kg) [M]

Força (1N=kgm/s2) [M][L][T]-2

Pressão (N/m2) [M][L][T]-2/[L]2=[M][L]-1[T]-

2

Assim, a análise dimensional para a Pressão

nos dá: =[M][L]-1

[T]-2

Definições do sistema de unidades básicas do SI:

Unidade de

comprimento

metro É o comprimentoatravessado

pela luz no vácuo num intervalo de 1/299 792 458 de um

segundo.

Unidade de

massa

kilograma Massa de um protótipo padrão

internacional.

Unidade de

tempo

segundo O Segundo é a duração de 9 192

631 770 períodos da radiação

correspondente para a transição de dois níveis hiperfinos do

estado fundamental do átomo de

Césio 133.

Unidade de

corrente

elétrica

ampere O ampére é uma corrente a

qual, mantidos dois fios condutores de comprimentos

infinitos e paralelos e de

negligenciável área de seção reta circular, s separados por 1 metro

no vácuo, produzir-se-á entre

esses condutores uma força de 2 x 10-7 newton por metro de

comprimento.

Unidade de

temperatura

termodinâmica

kelvin O kelvin, unidade de

temperatura termodinâmica, é a

fração de 1/273.16 da temperatura do ponto triplo da

água.

Unidade da

quantidade de

uma substância

mole 1. O mole é a quantidade de uma

substância de um sistema o qual

contém quantidades elementares existentes em 0,0012 kg de

carbono 12, simbolizando o "mol."

2. Quando n mole é usado, as

entidades elementares devem ser especificadas, podendo ser

átomos ou moléculas, íons,



4

elétrons ou outras partículas.

Unidade de

quantidade

luminosa

candela A candela é a intensidade

luminosa, em uma dada direção,

de uma fonte que emite radiação monocromática de frequência

540 x 1012 hertz e que tem uma

intensidade de radiação na direção of 1/683 watt por

estereoradiano.

Unidade de comprimento

(metro) Acrônimos: CGPM, CIPM,

BIPM

As origens do metro voltam para o 18º século.

Naquele momento, havia duas aproximações

competindo à definição de uma unidade standard

(padrão) de duração. O astrônomo Christian

Huygens sugestionou definindo o metro como a

duração de um pêndulo que tem um período de um

segundo; outros sugestionaram definindo o metro

como um décimo de milionésimo da duração do

meridiano da terra ao longo de um quadrante (um

quarto a circunferência da terra). Em 1791, em

seguida a Revolução francesa, a Academia francesa

de Ciências escolheu a definição meridiana em cima

da definição de pêndulo porque a força de gravidade

varia ligeiramente em cima da superfície da terra e

afeta o período do pêndulo.

Assim, era pretendido que o metro igualava 10-

7 ou um décimo de milionésimo da duração do

meridiano por Paris para o equador. Porém, o

primeiro protótipo era pequeno através de 0.2

milímetros porque os investigadores calcularam mal

o aplainando da terra devido a sua rotação. Ainda

esta duração se tornou o padrão. ( gravura à certos

espetáculos de arremesso da liga de platina-irídio

chamado a " 1874 Liga ".) Em 1889, um protótipo

internacional novo foi feito de uma liga de platina

com 10 % de irídio, para dentro de 0.0001, isso seria

medido ao ponto de derretimento do gelo. Em 1927,

o metro foi definido mais justamente como a

distância, a 0°, entre os machados das duas linhas

centrais marcados na barra de platina-irídio

persistida no BIPM, e declarou Protótipo do metro

pelo 1º CGPM, esta barra que está sujeito a pressão

atmosférica standard e apoiada em dois cilindros de

pelo menos um diâmetro de centímetro,

simetricamente colocadas no mesmo plano

horizontal a uma distância de 571 mm de um ao

outro. A definição de 1889 do metro,

fundamentada no protótipo internacional de platina-

irídio, foi substituída pelo CGPM em 1960 usando

uma definição fundada em um comprimento de onda

de radiação kryptônio-86. Esta definição foi adotada

para reduzir a incerteza com que o metro pode ser

percebido. Em 1983 o CGPM substituiu esta

definição posterior pela seguinte definição:

O metro é a duração do caminho

percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo

de tempo de 1/299 792 458 de um segundo.

Note que o efeito desta definição é fixar a

velocidade de luz no vácuo a exatamente 299 792

458 m·s-1. O protótipo internacional original do

metro que foi sancionado pelo 1º CGPM em 1889

ainda é persistido no BIPM debaixo das condições

especificadas em 1889.

Unidade de massa

(kilograma)

Acrônimos: CGPM,

CIPM, BIPM Ao término do 18º século, um quilograma era a

massa de um decímetro cúbico de água. Em 1889, o

1º CGPM sancionou o protótipo internacional do

quilograma, feito de platina-irídio, e declarou: Será

considerado daqui em diante que este protótipo é a

unidade de massa. A figura anterior mostra o bloco

de platina-irídio, um protótipo internacional, como

está na Agência Internacional de Pesos e Medidas

debaixo de condições especificadas pelo 1º CGPM

em 1889.

O 3d CGPM (1901), em uma declaração

pretenderam terminar a ambigüidade em uso popular

relativo ao palavra " peso, " confirmou isso:

O quilograma é a unidade de massa; é

igual à massa do protótipo internacional do

quilograma.

Unidade de tempo

(segundo)

Acrônimos: CGPM,

CIPM, BIPM A unidade de tempo, o segundo, foi definida

originalmente como a fração 1/86 400 do dia solar

médio. A definição exata de "dia " solar médio

permaneceu sob as teorias astronômicas. Porém, a

medida mostrou que não pudessem ser levadas em

conta irregularidades na rotação da Terra pela teoria e

tem o efeito que esta definição não permite alcançar a

precisão exigida. Para definir a unidade de tempo

mais justamente, o 11º CGPM (1960) adotou uma

definição dada pela União Astronômica Internacional

que estava baseado no ano tropical. Porém, um

trabalho experimental já tinha mostrado que um

padrão atômico de intervalo de tempo, baseado numa

transição entre dois níveis de energia de um átomo ou

uma molécula, poderia ser reproduzida muito mais

justamente. Considerando que uma definição muito

precisa da unidade de tempo é indispensável para o

Sistema Internacional, o 13º CGPM (1967) decidiu

substituir a definição do segundo pelo seguinte

(afirmou pelo CIPM em 1997 que esta definição se

refere a um átomo de césio em seu estado

fundamental à uma temperatura de 0 K):

O segundo é a duração de 9 192 631 770

períodos da radiação que corresponde à transição

entre o dois níveis hiperfinos do estado fundamental

do átomo de césio 133.

Unidade de corrente

elétrica (ampere) Acrônimos: CGPM,

CIPM, BIPM Unidades de corrente elétrica, chamada "

internacional, " para corrente e resistência foi

introduzida pelo Congresso Elétrico Internacional em

Chicago em 1893, e as definições do " ampère

internacional " e o " ohm internacional " eram

http://physics.nist.gov/cuu/Units/acronyms.html





5

confirmadas pela Conferência Internacional de

Londres em 1908.

Embora já era óbvio na ocasião do 8º CGPM

(1933) que havia um desejo unânime para substituir

essas " unidades internacionais " através de unidades

absolutas " denominadas ", a decisão oficial para

aboli-los só foi levada pelo 9º CGPM (1948) que

adotou o ampère para a unidade de corrente elétrica

e segue a definição proposta pelo CIPM em 1946:

O ampère é aquela corrente de constante

que, se manter diretamente em dois condutores

paralelos e infinitos, de seção circular transversal

desprezível, colocados paralelamente a 1 metro no

vácuo, produziria entre estes condutores uma força

igual para 2 x 10-7

newton por metro de

comprimento.

A expressão " unidade de MKS de força " que

acontece no texto original foi substituída aqui

através de " newton, " o nome adotou para esta

unidade pelo 9º CGPM (1948). Note que o efeito

desta definição é fixar a constante magnética

(permeabilidade do vácuo) a exatamente 4 x 10-7

H ·

m-1

.

Unidade de temperatura

termodinâmica (kelvin)

Acronimos: CGPM,

CIPM, BIPM A definição da unidade de temperatura

termodinâmica era determinada em substância pelo

10º CGPM (1954) que selecionou o ponto triplo de

água como o ponto fixo fundamental e nomeou a

isto a temperatura 273.16 K, definindo a unidade

assim. O 13º CGPM (1967) adotou o kelvin de

nome (símbolo K) em vez de " grau Kelvin "

(símbolo °K) e definiu a unidade de temperatura

termodinâmica como segue:

O kelvin, unidade de temperatura

termodinâmica, é a fração 1/273.16 da temperatura

termodinâmica do ponto triplo da água.

Por causa das escalas termométricas de

temperatura, permanece prática comum para

expressar temperatura termodinâmica, símbolo T,

em termos de sua diferença da referência

temperatura T0 = 273.15 K, o ponto de gelo. Esta

diferença de temperatura é chamada uma

temperatura Celcius (em graus Centígrados,

símbolo t, e é definido pela equação de quantidade

t = T – T0 .

A unidade de temperatura Celcius é o grau

Centígrado, símbolo °C que é por definição igual em

magnitude para o kelvin. Uma diferença ou intervalo

de temperatura podem ser expressados em kelvins

ou em graus Centígrado (13º CGPM, 1967). O valor

numérico de uma temperatura t graus Celcius é

determinada por

t/°C = T/K - 273.15.

O kelvin e o grau Centígrado também são

também unidades de Temperatura Internacional. A

Escala de 1990 (ITS-90) adotou pelo CIPM em

1989.

Unidade de quantidade de Acrônimos: CGPM,

substância (mole) CIPM, BIPM Seguindo a descoberta das leis fundamentais de

química, as unidades foram chamadas, por exemplo,

“átomo-grama" e "molécula-grama”, foram usadas

para especificar quantias de elementos químicos ou

combinações. Estas unidades tiveram uma conexão

direta com "pesos" atômicos e "pesos moleculares"

que eram de fato massas relativas. Referiram “pesos"

atômicos originalmente ao peso atômico de oxigênio,

por acordo geral levado como 16. Mas considerando

os isótopos físicos separados no espectrógrafo de

massa, atribuiu o valor 16 a um dos isótopos de

oxigênio; os químicos atribuíram aquele mesmo valor

para o (ligeiramente variável) mistura de isótopos 16,

17, e 18 que eram para eles o oxigênio de elemento

naturalmente acontecendo. Finalmente, um acordo

entre a União Internacional de Puras e Aplicadas

Físicas (IUPAP) e a União Internacional de Pura e

Aplicada Química (IUPAC) trouxe esta dualidade

para um fim em 1959/60. Os Físicos e Químicos

concordaram nomear o valor 12, exatamente, desde

então para o "peso atômico" corretamente a massa

atômica relativa, do isótopo de carbono com massa

número 12 (carbono 12, 12C). A balança unificada

assim obtida dá valores de massa atômica relativa.

Permaneceu definir a unidade de quantidade de

substância fixando a massa correspondente de

carbono 12; por acordo internacional, esta massa

esteve fixa em 0.012 kg, e a unidade da quantidade

de “substância" era determinada de nome mole

(mol de símbolo).

As Propostas seguintes da IUPAP, IUPAC, e a

Organização Internacional para Padronização (ISO),

o CIPM cedeu 1967, e confirmou em 1969, a

definição de mole, eventualmente adotados pelo 14º

CGPM (1971):

1. mole é a quantia de substância de um

sistema que contém tantas entidades elementares

quanto há átomos em 0.012 quilograma de carbono

12; seu símbolo é " mol ".

2. quando o mole é usado, as entidades

elementares devem ser especificadas e podem ser

átomos, moléculas, íons, elétrons, outras partículas,

ou especificados grupos de tais partículas.

A sua 1980 reunião, o CIPM aprovou a proposta de

1980 pelo Comitê de Consultas em Unidades do

CIPM que especifica isso nesta definição, é

compreendido que átomos não ligados de carbono 12,

em repouso e no estado de solo deles/delas, se refere.

Unidade de intensidade

luminosa (candela)

Acrônimos: CGPM,

CIPM, BIPM Originalmente, cada país teve seu próprio, e

bastante mal reprodutível, unidade de intensidade

luminosa; era necessário esperar até as 1909 para ver

um começo de unificação no nível internacional,

quando os laboratórios nacionais dos Estados Unidos

da América, França, e Grã Bretanha decidiram adotar

a vela internacional representada por luminárias de

filamento de carbono. Ao mesmo tempo, a Alemanha

ficou com a vela de Hefner, definida por um padrão






6

de chama, e igual para aproximadamente nove

décimos de uma vela internacional. Mas um padrão

baseado em luminárias incandescentes, e

conseqüentemente dependente na sua estabilidade,

nunca teria sido completamente satisfatório e

poderia ser então só provisional; por outro lado, as

propriedades de um corpo negro proveram uma

solução teoricamente perfeita e, já em 1933, foi

adotado o princípio que unidades de fotometria

novas estariam baseado na emissão luminosa de um

corpo negro na temperatura de fusão da platina

(2045 K).

As unidades de intensidade luminosa eram

baseadas em chama ou padrões de filamento

incandescentes e foram substituídas em uso em

vários países antes de 1948 inicialmente pela "vela"

baseado no luminance da radiação de corpo negro

(Teoria feita por Planck) à temperatura de platina

citada acima. Esta modificação tinha sido preparada

pela Comissão Internacional em Iluminação (CIE) e

pelo CIPM antes das 1937, e foi promulgado pelo

CIPM em 1946. Foi ratificado então em 1948 pelo

9º CGPM que adotaram um nome internacional

novo para esta unidade, candela (cd de símbolo); em

1967 o 13º CGPM deu uma versão emendada da

definição de1946.

Em 1979, por causa das dificuldades

experimentais que ocorriam na radiação de corpo

negro (Teoria de Planck) a temperaturas altas e as

possibilidades novas ofereceu através da

radiometria, i.e., a medida de poder de radiação

óptico, o 16º CGPM (1979) adotou uma definição

nova para o candela:

O candela é a intensidade luminosa, em

uma determinada direção, de uma fonte que emite

radiação monocromática de freqüência 540 x 1012

hertz e tem uma intensidade radiante naquela

direção de 1/683 watt por stereoradianos.

Bibliografia

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker,

Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons Inc.

http://www.ifi.unicamp.br/~brito/apost.html

http://www.sim-

metrologia.org.br/index2.htm

http://www.nist.gov/

Teoria dos erros:

Erros aleatórios e Sistemáticos Na medição de grandezas físicas, como

comprimentos, intervalos de tempo, voltagem entre

dois pontos, carga elétrica, etc, há fontes de erros que

a afetam. As medidas são afetadas por erros

experimentais classificados em dois grandes grupos:

Erros sistemáticos

Erros aleatórios

Os erros sistemáticos são causados por

fontes identificáveis, podendo ser eliminados ou

compensados. Prejudicam a exatidão (“accuracy”) da

medida.

Causas dos erros sistemáticos:

Instrumento que foi utilizado.

Método de observação utilizado.

Efeitos ambientais.

Simplificação do modelo teórico utilizado.

Ao realizar as medidas, deve-se identificar e

eliminar o maior número possível de fontes de erros

sistemáticos.

Os erros aleatórios são flutuações para cima

ou para baixo, que fazem com que aproximadamente

a metade das medidas realizadas de uma mesma

grandeza numa mesma situação experimental esteja

desviada para mais e a outra metade esteja desviada

para menos, afetando portanto a precisão.

Algumas fontes de erro típicas:

Métodos de observação.

Flutuações ambientais.

Os erros aleatórios podem ser tratados

quantitativamente através de métodos estatísticos, de

maneira que seus efeitos na grandeza física medida

podem ser em geral, eliminados.

O Tratamento Estatístico

A distribuição Normal ou de Gauss:

Foi Gauss (&&)

quem deduziu a expressão

para a chamada distribuição Gaussiana ou Normal:

22

2

2

1

x

eY

http://www.ifi.unicamp.br/~brito/apost.html

http://www.sim-metrologia.org.br/index2.htm

http://www.sim-metrologia.org.br/index2.htm

http://www.nist.gov/



7

-4 -2 0 2 4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

68,7%

95,45%

Z

Y

(&&)

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Brunswick,

Germany

Podemos trabalhar com a variável

denominada de variável reduzida z:

xz

Nesse caso, a distribuição Normal ou

Gaussiana fica:

2

2

2

1z

eY

Esta é uma expressão mais simplificada,

cujo gráfico está dado a seguir:

Veja que há uma área sob a curva de 1.

Quando o x se encontra no intervalo de:

( - , + ), a área sob a curva é de 68,7%;

já quando x se encontra no intervalo:

( - 2, + 2) a área já é de 95% ou 0.95.

Distribuição Normal ou Gaussiana

Média

Variância 2

Desvio Padrão

Coeficiente de simetria 0

Observe que a curva Gaussiana ou Normal

é uma curva simétrica em relação ao eixo Oy, tendo

50% de área à esquerda e a direita do eixo Oy.

Veja como se aproxima da distribuição

Normal um resultado para N=8 para um exemplo de

lançamento de moeda ) p = 0.5 = q.

Erros na Fase de Modelagem:

Necessita-se de várias simplificações do mundo

físico, em geral, para se tentar representar um

fenômeno natural por um modelo matemático. Esses

erros levam em consideração a precisão dos

instrumentos de medidas.

Em geral se um instrumento possui precisão p,

definida em geral pela metade da menor divisão;

faz-se um conjunto de N medidas. Ao apresentar o

resultado final teremos que calcular a média x do

conjunto de xi medidas e o desvio padrão :

x

N

i

i

N

x

x

x

y

N

i

i

N

y

y

y

1

1

2

N

xxN

i

i

O erro x associado à média será:

Nx xN 1

;N

yyN 1

Assim o resultado a apresentar será dado

por:

Se p

xxps xx ; yyps yy

Se < p

px

xxx pxps ; yyy pyps

Tais erros em operações matemáticas se

propagam: Assim, suponha que faz-se medidas

diretas das variáveis x e y com médias yx; , desvios

x e y e erros dados por x e y. Teremos que fazer

o que se chama de propagação de erros nas

operações matemáticas:

1) Soma S = x + y e diferença D = x - y:

Nesse caso o erro na soma ou na diferença é

dado por:

22yxDS

2) Produto P = x.y

22

y

y

x

xyxP

3) Quociente Q = x/y

22

y

y

x

x

y

xQ

4) Potenciação: F = xny

m



8

22

y

ym

x

xnyxF

yxF

mn

mn

Tais regras são conhecidas como regras de

propagação de erro.

Como apresentar os resultados?

O resultado deve ser apresentados em

termos dos algarismos significativos (todos os

corretos da medida mais o primeiro duvidoso, ou

seja matematicamente, todos da esquerda para a

direita) . Por exemplo:

12,345 - 5 Algarismos significativo

(digito 5:duvidoso)

0,00012 – 2 AS

-1,234.10-5

– 4 AS

Exemplo 1 – mediu-se a espessura de uma

lâmina e encontrou-se a seguinte tabela: (medido

com paquímetro p=0.025mm)

Espessura (mm)

2,23

2,25

2,31

2,18

2,21

2,23

Escreva o resultado com:

(a) 2 algarismos significativos para o erro.

(b) 1 algarismo significativo para o erro.

2.235 0.039895d mm

p

0.039895 0.025

x x x

0.0398950.01629

6x

N

(a) 2.235 0.016e e mm

Se a precisão p = 0.025 fosse maior que o

desvio padrão, aí escreveríamos como:

03.024.2 pe

(b) 2.24 0.02e e mm

Observação:

Mean: média

Standard desviation: desvio padrão.

Population:

Exemplo 2 – mediu-se o diâmetro de uma esfera

e encontrou-se a seguinte tabela: (medido com

paquímetro p=0.025mm)

Raio (mm)

3,22

3,27

3,35

3,12

3,21

3,24

3,55

3,22

Escreva o resultado com:

(a) 2 algarismos significativos para o erro.

(b) 1 algarismo significativo para o erro.

3.2725 0.120805R mm

p

0.1208050.042711

8x

N

(a) 3.273 0.043R R mm

(b) 3.27 0.04R R mm

Propagação de desvios

Uma grandeza y que dependa de uma outra x

medida segundo uma expressão y = f (x) usa-se a

expressão:

xdx

dfyxyyyy

x

)(

Caso a função dependa de uma ou mais

variáveis medidas e independentes, como:

),(),( yxzzyxzz

Então:

22

2 2f fz x y

x y

Como regra prática:

Funçã

o

Média Erro Padrão

f=f(x) )(xff x

dx

dff

x

f=f(x,y) ),( yxff 2

2

2

2

yy

fx

x

ff

( , , )f f x y z

( , , )f f x y z 22 2

2 2 2f f ff x y z

x y z

Exemplo 2 – Mede-se o tempo de queda

livre de uma partícula e o espaço percorrido em sua

queda. Encontrar, sabendo que 2

2

t

hg e os valores

medidos são:



9

mhst 05,098,605,020,1 o

valor de g :

2

2

2

2

tt

gh

h

gg

2,

2

22

th

g

th

g

ht

3,

3

44

t

h

t

g

t

h

t

g

ht

2

2

3

2

2

2

42t

t

hh

tg

2

3

2

2

42

t

th

t

hg

Como:

mhmhstst 05,0;98,605,0;20,1

2

3

2

2 2,1

05,098,64

2,1

05,02

g

8,0g

7,920,1

98,62222

t

hg

Casos Particulares:

1. Função Soma ou Subtração:

yxyxf ),(

22222

2

2

2

11 yxyy

fx

x

ff

22 yxf ; yxyxf ),(

2. Função Produto: yxyxf .),(

22222

2

2

2

yxxyyy

fx

x

ff

22

2

2

2

222

y

y

x

xyx

y

y

x

xyxf

22x y

f fx y

;

yxyxf ),(

3. Função Quociente: y

xyxf ),(

2

2

2

2

2

2

2

2

21

yy

xx

yy

y

fx

x

ff

222

2

2

2

2

y

y

x

x

y

x

y

y

x

x

y

xf

22

y

y

x

xff ;

y

xyxf ),(

4. Função Potência: mn yxyxf ),(

22

y

ym

x

xnff ;

mn yxyxf ),(

Exemplo 3 – Mediram-se a base x e a altura y de

uma chapa retangular. Os valores medidos estão

indicadas na tabela abaixo:

x (cm) y (cm)

2,85 5,21

2,80 5,20

2,70 5,19

2,88 5,12

2,81 5,13

2,82 5,15

2,83 5,18

3,22 5,13

y

x

Encontre:

(a) O erro na área A .

(b) Apresente o resultado para a área com 2

algarismos significativos para o erro associado a A.

(a) Erro na área:

1

N

i

i

x

xN

2,86375x



10

1

N

i

i

y

yN

5,16375y

2

1

N

i

ix

x

x x

N

0,14326x

2

1

N

i

iy

y

y y

N

0,03314y

xx

xN

0,028170,0506

8x x

y

y

yN

0,033140,01171

8y y

22x y

A Ax y

0.2634A

14.78729A

(b) 214.79 0.26A A cm

Exemplo 4 – Mediram-se a base b e a altura

h de uma chapa triangular. Os valores medidos estão

indicadas na tabela abaixo:

b (cm) h (cm)

12,30 4,21

12,12 4,22

12,45 4,22

12,60 4,21

h

b

(a) O erro na área A .

(b) Apresente o resultado para a área com 2

algarismos significativos para o erro associado a A.

Exemplo 5 – Mediram-se o tempo t e a

distância s de um carro de fórmula 1. Os valores

medidos estão indicadas na tabela abaixo:

t (s) d (m)

3,50 150

3,60 160

3,55 155

3,83 165

3,84 170

3,80 170

3,81 175

3,90 180

3,60 190

3,75 200

Encontre para a velocidade v d t

(a) O erro na velocidade v .

(b) Apresente o resultado para a velocidade

com 2 algarismos significativos para o erro associado

a v.

Solução:

Médias

1

N

i

i

t

tN

3,718t

1

N

i

i

d

dN

171,5d

2

1

N

i

it

t

t t

N

0,13429t

2

1

N

i

id

d

d d

N

14,6714d

tt

tN

0,10,042469

10t t

dd

dN

14,67144,6395

10d d

2 2t d

v vt d

1,4 ms

v

46,1269 ms

dv

t



11

46,1 1,4v v m s

Exemplo 6 – Considere um paralelepípedo

de lados A,B e C com furo esférico de diâmetro D.

Determine o desvio e o intervalo de dúvida:

DADOS:

cm)07,032,68( AA

cm)2,03,46( BB

cm)8,04,80( CC

cm)8,04,50( DD

Solução:

Volume da peça:

3

6DABCV

ABCV 1

222

1

1

CBAV

V CBA

3

1 254322,5664cmV

3

1 2771,026718 cmV

222

14,80

8,0

3,46

2,0

32,68

07,05664,254322

V

6 5

1 5

1,049785.10 1,86594.10254322,5664

9,900645.10V

3

1 254322,5664.10,8956.10V 3

1 2771,026718cmV

33

11 10)3254( cmVV

3

26

DV

Chamando de 6

a ,

teremos:22

2

2 3

D

D

aV

V a

Assumindo a = 0, teremos:

047619,04,50

8,03

2

2

2

V

V

24315,670334,5066

33

2

DV

2 2 0,047619V V

2 67033,24315 0,047619V

2 3192,059198V

33

22 10)367( cmVV

Como o volume da peça será:

21

3

6VVDABCV

254322,5664 67033,24315V

3187289,32325 cmV

Fazendo a propagação do erro na diferença,

teremos:

2 2

1 2V V V

2 22771,026718 3192,059198V

7678589,07187 10189241,92354V

3cm 035,422799541,17867830 V

3310)4187( cmVV

Exemplo 7 – Considere um paralelepípedo

de lados A,B e C com furo cilíndrico de diâmetro D,

que vara a peça. Determine o desvio e o intervalo de

dúvida com 2 algarismos significativos para o erro:

C

A B

DADOS:

cm)07,032,68( AA

cm)2,03,46( BB

cm)8,04,80( CC

cm)8,04,50( DD

Solução:

Volume da peça:



12

2

4V ABC D B

2

4V ABC D B

2 2 2 2

V V V VV A B C D

A B C D

VB C

A

VA C

B

VA B

C

2

VD B

D

161952V

3945V 3 3(162 4) 10V V cm

Exemplo 8 – Cálculo do volume de uma

bucha:

DADAS:

mm)03,004,53( D (Diâmetro

externo) mm)1,00,36( d

mm)2,00,67( h

O volume do material dado vale:

hdDV 22

4

Chamaremos:

BACdBDA 22

Logo:

hCV 4

Assim: 2416,28132 DA ;

2416,151712962 CdB

D

DAA

D

D

A

A

22

2

d

dBB

d

d

B

B

22

2

22 BAC

22

h

h

C

C

V

V

O volume do material dado vale:

hdDV 22

4

Chamaremos:

BACdBDA 22

Logo:

hCV 4

7298,79839672416,15174

V

Assim:

2416,28132 DA ;

2416,151712962 CdB

3mm 7298,79839672416,15174

V

D

DAA

D

D

A

A

22

2

1824,304,53

03,02416,28132 AA

d

dBB

d

d

B

B

22

2

2,736

1,012962 B

22 BAC

8719,72,71824,3 22 C

22

h

h

C

C

V

V

22

67

2,0

2416,1517

8719,7

V

V

00598574,0

V

V



13

3mm 89986,47700598574,07298,79839 VV

32 mm 105798 VV

Exemplo 9 – Dados dois resistores de

resistência elétrica R1 e R 2 . Determinar a resistência

equivalente das associações:

(a) Em série.

(b) Em paralelo :

DADOS:

2

11 1016RR

2

22 1029RR

SOLUÇÃO:

(a) Associação em série:

Resistência equivalente:

22

2

121 RRRRRR ss

600 900 1500sR

2 2

100 200sR

50000 223,60679sR

210215ss RR

(b) Associação em paralelo:

Resistência equivalente:

1 2

1 2 1 2

1 1 1p

p

R RR

R R R R R

600 900360

600 900pR

1

1 2p p pR Z Z Z Z

1 1

1 1 2 2Z R Z R

1 2pZ Z Z

10,0016667 0,001111 0,0027778pZ

1

1

10,0016667

600Z

1

2

10,001111

900Z

2

1 11 1 1

1 1

1R R

Z Z ZR R

4 1

1

1000,0016667 2,77783 10

600Z

2

2 22 2 2

2 2

1R R

Z Z ZR R

4 1

2

2000,001111 2,46888 10

900Z

2 2

1 2 1 2p pZ Z Z Z Z Z

2 2

4 42,77783 10 2,46888 10pZ

4 13,7164 10pZ

Como: 1 pp ZR

2

1p p

p p p

p p

Z ZR R R

Z Z

43,7164 10360 48,164158

0,0027778pR

Logo:

2105,06,3pp RR



14

Descrição:

Paquímetro

O paquímetro é um instrumento usado para

medir as dimensões lineares internas, externas e de

profundidade de uma peça. Consiste em uma régua

graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um

cursor.

1. orelha fixa 8. encosto fixo

2. orelha móvel 9. encosto móvel

3. nônio ou vernier (polegada) 10. bico

móvel

4. parafuso de trava 11. nônio ou vernier

(milímetro)

5. cursor 12. impulsor

6. escala fixa de polegadas 13. escala fixa

de milímetros

7. bico fixo 14. haste de profundidade

O cursor ajusta-se à régua e permite sua

livre movimentação, com um mínimo de folga. Ele é

dotado de uma escala auxiliar, chamada nônio ou

vernier. Essa escala permite a leitura de frações da

menor divisão da escala fixa.

O paquímetro é usado quando a quantidade

de peças que se quer medir é pequena.

Os instrumentos mais utilizados apresentam

uma resolução de:

0,05 mm, 0,02 mm, 1/128" ou 0,001"

As superfícies do paquímetro são planas e

polidas, e o instrumento geralmente é feito de aço

inoxidável. Suas graduações são calibradas a 20ºC.

Há vários tipos de paquímetros para

possibilitar medidas em peças de características

diferentes. Alguns exemplos são:

paquímetro Utilização

Paquímetro universal É utilizado em medições internas, externas, de profundidade e de

ressaltos.

Trata-se do tipo mais usado.

Paquímetro universal com relógio

O relógio acoplado ao cursor facilita a leitura, agilizando a

medição.

Paquímetro com bico

móvel (basculante)

Empregado para medir peças

cônicas ou peças com rebaixos de

diâmetros diferentes.

Paquímetro de

profundidade

Serve para medir a profundidade

de furos não vazados, rasgos,

rebaixos etc. Esse tipo de paquímetro pode

apresentar haste simples ou haste

com gancho.

Paquímetro duplo Serve para medir dentes de

engrenagens.

Paquímetro digital Utilizado para leitura rápida, livre

de erro de paralaxe, e ideal para controle

estatístico.

NÔNIO: O nônio é a parte do paquímetro cuja finalidade é

proporcionar uma medida com uma resolução menor

(mais precisa) do que a feita somente com a escala

fixa.

A escala do cursor é chamada de nônio ou

vernier, em homenagem ao português Pedro Nunes e

ao francês Pierre Vernier, considerados seus

inventores.

O nônio possui uma escala com n divisões para

X mm da escala fixa.

No caso da figura ao lado, o nônio está

dividido em 10 partes iguais para 9 mm. Cada divisão

do nônio possui 9/10 mm, portanto o 1º traço do

nônio está a 1/10 mm do próximo traço na escala fixa

(comprimento esse que é a resolução do paquímetro),

o 2º traço do nônio está a 2/10 mm do seu próximo

traço na escala fixa e assim sucessivamente.

CÁLCULO DE RESOLUÇÃO:

A resolução de um paquímetro é a distância

compreendida entre a 1ª subdivisão do nônio e a

subdivisão subseqüente na escala fixa.

Se o nônio mede X mm, e é dividido em n partes iguais, o

comprimento compreendido entre duas subdivisões consecutivas do

nônio é X/n. Este valor tem o seguinte formato em notação decimal: I,D. I representa a parte inteira do número decimal e D representa a

parte fracionária. Por exemplo:

X=39 mm e n = 20, X/n = 1,95. I=1. Resolução = (I+1)-X/n

Ler Starret Instrumentos e regras para medições

de precisão e cortes automáticos pg.28

LEITURA DA MEDIDA: 1. Posicione o bico móvel de forma tal que a

peça a ser medida se adapte com folga entre os bicos

fixo e móvel (medida externa) ou entre as orelhas

(medida interna) ou entre a haste de profundidade e a

escala fixa (medida de profundidade)



15

2. Mova as partes móveis com o polegar

atuando no impulsor até que a parte móvel (bico,

orelha ou haste) encoste suavemente na peça.

3. Leia na escala fixa o número de milímetros

inteiros (à esquerda do zero do nônio).

4. Leia a parte fracionária da medida

observando qual traço do nônio coincide com algum

traço da escala fixa e calcule o valor da fração

multiplicando o número desse traço pela resolução.

Procedimento Experimental

1. Montar o aparato.

2. Verifique as dimensões da peça a serem

medidas.

3. Verifique a precisão do instrumento.

4. Faça as medidas segundo as tabelas.

5. Analise os parâmetros estatísticos e a

propagação do erro.

Dados Experimentais obtidos

A. Medidas com o Paquímetro:

1. Coletar 10 valores de medidas para o

diâmetro externo (D) e altura (h) .

h

D

i D(mm) h(mm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Análise dos dados Experimentais obtidos

Encontre, inserindo no modo estatístico da

calculadora, as médias , os valores médios, seus

respectivos desvios padrões e o erro na média:

N

x

x

N

i

i 1

N

xxN

i

i

1

2

Nx

Apresentação do resultado com 2 algarismos

significativos para o erro associado à média:

(unidade)x x x

COMPLETE A TABELA:

(mm) D (mm)h

D (mm) h (mm)

D (mm) h (mm)

Escreva o resultado algarismos

significativos para o erro associado à média

x solicitados.

Algarismos

significativos

para h

(mm)hh h

1

2

Algarismos

significativos

para D

(mm)DD D

1

2

Propagação do erro no volume:

Faça o cálculo da propagação do erro no volume

da bucha:

Volume do material dado vale:

2

4V D h

2 2

V h D

V V

h D

Escreva o volume:

Algarismos

significativos

para V

3 (mm )VV V

1

2



16


diâmetro interno (d) , diâmetro externo (D)

e altura (h) .

i d(mm) D(mm) h(mm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10





N

x

x

N

i

i 1

N

xxN

i

i

1

2

Nx

Apresentação do resultado com 2

algarismos significativos para o erro associado à

média:

(unidade)x x x

COMPLETE A TABELA:

(mm) d (mm) D (mm)h

d (mm) D (mm) h (mm)

d (mm) D (mm) h (mm)



x solicitados.

Algarismos

significativos

para h

(mm)hh h

1

2

Algarismos

significativos

para d

(mm)dd d

1

2

Algarismos

significativos

para D

(mm)DD D

1

2



da bucha:


2 2

4V D d h

2 2 2

V h D d

V V V

h D d

Escreva o volume:

Algarismos

significativos

para V

3 (mm )VV V

1

2



17

3. Coletar 10 valores de medidas para as

dimensões a, b, e c da peça em forma de um

paralelepípedo da figura:

c

a b

DADOS

i a(mm) b(mm) c(mm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10





N

x

x

N

i

i 1

N

xxN

i

i

1

2

Nx

COMPLETE A TABELA:

(mm)a (mm)b (mm)c

a (mm) b (mm) c (mm)

a (mm) b (mm) c (mm)



x solicitados.

Algarismos

significativos

para a

(mm)aa a

1

2

Algarismos

significativos

para b

(mm)bb b

1

2

Algarismos

significativos

para c

(mm)cc c

1

2



da peça:


V a b c 2 2 2

V a b c

V V V

a b c

Escreva o volume:

Algarismos

significativos

para V

3 (mm )VV V

1

2

Questões levantadas

Verificar os resultados obtidos.

Discutir a influência dos erros no volume

dos materiais.

Conclusões:

Referências:

2. G.L. Squires, "Practical Physics"

(Cambridge University Press, 1991), capítulo 10, pp.

139-146; e D.W. Preston, "Experiments in Physics"

(John Wiley & Sons, 1985), pp. 2-3.


para Física Experimental Caderno de Laboratório,

Gráficos e Erros, Instituto de Física, Unicamp,

IFGW1997.

3. D.W. Preston, "Experiments in Physics"

(John Wiley & Sons, 1985), pp. 21-32; G.L.

4. C.E. Hennies, W.O.N. Guimarães e J.A.

Roversi, "Problemas Experimentais em Física" 3ª

edição, (Editora da Unicamp, 1989), capítulo V,

pp.168-187.

5. http://msohn.sites.uol.com.br/paquimet.htm



18

Descrição:

Micrômetro

INTRODUÇÃO: O micrômetro é um

instrumento de medição de medidas lineares

utilizado quanto a medição requer uma precisão

acima da obtida com um paquímetro e é fabricado

com resolução variando entre 0,01 mm e 0,001mm.

Foi inventado por Jean Louis Palmer que,

apresentou, pela primeira vez, o instrumento para

requerer sua patente, o qual permitia a leitura de

centésimos de milímetro, de maneira simples.

O micrômetro foi aperfeiçoado e possibilitou

medições mais rigorosas e exatas do que o

paquímetro. De modo geral, o instrumento é

conhecido como micrômetro.

Na França, o micrômetro é denominado palmer.

O Princípio de medição do micrômetro baseia-se

no sistema porca-parafuso, no qual, o parafuso

avança ou retrocede na porca na medida em que o

parafuso é girado em um sentido ou noutro em

relação à porca.

Se fizermos n divisões iguais na "cabeça"

do parafuso, ao provocarmos uma rotação menor

que uma volta, portanto menor que o passo do

parafuso, poderemos, baseados nas divisões feitas,

saber Qual a fração de uma volta que foi dada e

portanto, medir comprimentos menores que o passo.

Micrômetro e suas partes:

Detalhe do parafuso micrométrico de um

micrômetro típico. No nônio, lê-se 5,783mm

O micrômetro funciona por um parafuso

micrométrico e é muito mais preciso que a craveira,

que funciona por deslizamento de uma haste sobre

uma peça dentada e permite a leitura da espessura por

meio de um nônio ou de um mecanismo semelhante

ao de um relógio analógico.

CÁLCULO DA RESOLUÇÃO:

Sabendo que cada volta completa do tambor

corresponde ao deslocamento "p" de um passo no

parafuso micrométrico e sabendo que a escala

circular possui "n" divisões, calculamos a resolução

do micrômetro como sendo igual a p/n.

Um caso típico é o micrômetro com passo se

0,5 mm e escala circular com 50 divisões, logo a

resolução nesse caso é de:

Resolução = p/n = 0,5/50 = 0,01 mm.

LEITURA DA MEDIDA:

1. Verifique o zero do micrômetro: Com as

duas esperas encostadas a leitura deve ser zero, caso

contrário, zere o micrômetro ou dê o desconto nas

demais leituras.

2. Distancie as esperas de forma a caber o

material a ser medido com folga

3. Coloque o material a ser medido entre as

esperas, encostado na espera fixa

4. Gire a catraca até que a espera móvel

encoste no material a ser medido.

5. Faça a leitura:

Leitura = comprimento da escala fixa da bainha +

número da divisão da escala circular X Resolução

O micrômetro e o paquímetro são instrumentos que

medem com exatidão a espessura de revestimentos na

construção civil, e têm grande uso na indústria

mecânica, medindo toda a espécie de objetos, como

peças de máquinas.

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Parafuso_microm%C3%A9trico&action=edit



http://pt.wikipedia.org/wiki/Craveira

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%B4nio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Rel%C3%B3gio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Anal%C3%B3gico

http://pt.wikipedia.org/wiki/Paqu%C3%ADmetro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Exatid%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ind%C3%BAstria

http://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia_mec%C3%A2nica



19

Procedimento Experimental:

Medida com o micrômetro:


diâmetro D da esfera em diferentes posições.

D

i D(mm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10





1

N

i

i

D

DN

2

1

N

i

iD

D D

N

DD

N

Apresentação do resultado com 2

algarismos significativos para o erro associado à

média:

(unidade)DD D

COMPLETE A TABELA:

(mm) D

D (mm)

D (mm)



x solicitados.

Algarismos

significativos

para D

(mm)DD D

1

2



da bucha:


3

6V D

2

V

VD

D

Escreva o volume:

Algarismos

significativos

para V

3 (mm )VV V

1

2

Referências:

3. G.L. Squires, "Practical Physics"

(Cambridge University Press, 1991), capítulo 10, pp.

139-146; e D.W. Preston, "Experiments in Physics"

(John Wiley & Sons, 1985), pp. 2-3.


para Física Experimental Caderno de Laboratório,

Gráficos e Erros, Instituto de Física, Unicamp,

IFGW1997.

3. D.W. Preston, "Experiments in Physics"

(John Wiley & Sons, 1985), pp. 21-32; G.L.

4. C.E. Hennies, W.O.N. Guimarães e J.A.

Roversi, "Problemas Experimentais em Física" 3ª

edição, (Editora da Unicamp, 1989), capítulo V,

pp.168-187.

5. http://msohn.sites.uol.com.br/paquimet.htm



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Paquímetro e Micrômetro: medidas e propagação de erros ... · Massa kilograma kg Tempo segundo s ... Elefante quantidade de 5.103 substância de um sistema o qual Grampo 3.10-3