Para Aprender e Passar Em Física PDF

TUDO RESOLVIDO PASSO A PASSO EM VÍDEOAULAS www.chicovieira.com.br

_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 1

[email protected] whatsapp 93029205

Para APRENDER e PASSAR em FÍSICA-1

Sumário – PROVA-1 MOVIMENTO VARIADO ...................................................................................................................... 2

QUESTÕES DE CINEMÁTICA COM DERIVADAS .................................................................................... 3

QUESTÕES DE LANÇAMENTOS ........................................................................................................... 6

CINEMÁTICA VETORIAL .....................................................................................................................11

QUESTÕES DE BLOQUINHOS SEM ATRITO .........................................................................................12

QUESTÕES DE BLOQUINHOS COM ATRITO ........................................................................................14

QUESTÕES DE FORÇA CENTRÍPETA ................................................................................................ 1919

Sumário – PROVA-2 ENERGIA, TRABALHO E POTÊNCIA .....................................................................................................23

COLISÃO E CENTRO DE MASSA ..........................................................................................................34

Sumário – PROVA-3 ROTAÇÃO ........................................................................................................................................442

MOMENTO ANGULAR ......................................................................... Erro! Indicador não definido.54

mailto:[email protected]


_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 2


MOVIMENTO VARIADO 2012.2

1) A Figura abaixo mostra a aceleração a em função do tempo t para uma partícula que se move ao

longo de um eixo x. No instante t = −2s a velocidade da partícula é −4m/s.

(a) (1,5) Calcule a velocidade da partícula no instante t = 2s.

(b) (1,5) Em que instante a partícula atinge sua velocidade (positiva) máxima (justifique)? Calcule

essa velocidade.

(c) (0,5) Calcule a velocidade da partícula em qualquer instante v(t).

2002.2

2) A aceleração de uma partícula P, em função do tempo, é dada pelo gráfico abaixo. Supondo que

a posição e a velocidade inicial são x0 = 0 m e v0 = 2 m/s, respectivamente, responda as seguintes

questões:

a) (1,0) Qual é a velocidade de P nos

instantes t = 1s, 2s e 4s?

b) (1,0) Qual é a posição de P nos

instantes t = 1s, 2s e 4s?

c) (0,5) Qual é a velocidade média entre

os instantes t = 1s e t = 4s?

d) (1,0) Desenhe um gráfico da

velocidade em função do tempo para a

partícula entre t = 0s e t = 4s.

.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 3


2007.2

3) Uma partícula pode se mover apenas ao longo do eixo vertical y (medido em metros). A partícula

encontra-se inicialmente em y = 0. A figura ao lado mostra o gráfico da velocidade v da partícula

em função do tempo t, a partir do instante t = 0. Suponha que o comportamento de v(t) não mude

depois de t = 28 s, continuando a variar linearmente no tempo (como ilustrado na figura).

a) (1,5) Qual é o valor máximo de y atingido pela

partícula?

b) (1,0) Quanto vale a aceleração da partícula para

t > 28s?

c) (1,0) Em que instante a partícula retorna a y = 0?

QUESTÕES DE CINEMÁTICA COM DERIVADAS

2006.2

4) Os itens a) e b), abaixo, são independentes.

a) (1,0) A posição de um corpo (massa m = 1,00 kg) que se move em uma dimensão dada pela

equação horária x(t) = 8,00 + 18,0 t – 18,0 t2 (x em metros e t em segundos). Para que tempo t a

velocidade do corpo e nula? Qual é a posição da partícula neste tempo? Qual é a força (módulo e

sentido) que atua sobre o corpo no instante t = 8,75 s?

b) (1,5) Qual é o tempo necessário a um corpo, em queda livre a partir de uma velocidade inicial

nula, para percorrer o enésimo centímetro de sua trajetória?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 4


2008.2

5) A equação horária para o movimento de uma partícula em um determinado movimento retilíneo

é dada (no sistema internacional de unidades SI) por x(t) = t3 – 9t

2 + 15t + 5. Nesta circunstâncias,

calcule:

a) (1,0) O(s) instantes(s) em que a velocidade da partícula é nula.

b) (1,5) A velocidade média da partícula entre o instante inicial t = 0 e o instante em que sua

aceleração é nula.

c) (1,0) Os instantes t1 e t2 nos quais a velocidade da partícula é 15 m/s. Em seguida, calcule o

deslocamento neste intervalo de tempo.

2011.1

6) Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a função x(t )= 16t2 – 2t

4 onde a

posição x e o tempo t estão dados no Sistema Internacional de unidades.

a) (1,0) Calcule a posição, velocidade instantânea e a aceleração instantânea em t=1,0s

b) (1,0) Em que instante a partícula atinge o valor máximo de x? Calcule a posição e a aceleração

instantânea da partícula neste instante.

c) (1,0) Calcule o instante t > 0s em que a partícula retorna à posição x = 0 m. Quanto vale sua

aceleração neste instante?

2009.1

7) Um bloco de massa m=2,0 kg move-se ao longo do eixo x e sua posição (em metros) é dada por

x(t) = -2,0-3,0t+1/2t3, para o tempo dado em segundos.

a) (0,5) Calcule a posição, velocidade e aceleração do bloco para t = 0 e t = 2.

b) (1,0) Calcule a velocidade media e a aceleração média do bloco no intervalo .

c) (1,0) Em que instante o bloco atinge o ponto mais negativo de sua trajetória? Qual a posição da

partícula neste instante?

d) (0,5) Calcule o módulo e sentido da força que atua sobre a partícula no instante t = 3s. Esta força

varia ao longo do tempo?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 5


2012.1

8) uma partícula se move ao longo do eixo x. Inicialmente em repouso na origem, ela desloca-se

para a direita, atinge sua posição máxima em t= t1, retorna e passa pela origem em t = t2. Seu

movimento é descrito por

Em unidades do Sistema Internacional.

a) (1,0) Calcule t1 e a aceleração naquele instante.

b) (1,0) Calcule t2 e a velocidade naquele instante.

c) (1,0) No intervalo entre t = 0 e t = t2, em que instante a maior velocidade (positiva) é alcançada?

Quanto vale esta velocidade máxima?

2010.1

9) ( Questão fortemente baseada nos problemas 13 e 14 do Cap. 4 da edição 8 do livro texto,

porém em uma versão unidimensional do movimento)

Um bloco de massa m = 1Kg move-se ao longo do eixo x e sua posição (em metros) é dada por x(t)

= 27t - 3t3, para o tempo dado em segundos.

a) (1,0) Calcule a posição, velocidade e aceleração do bloco para t = 2s e t = 5s.

b) (1,0) Calcule a velocidade média e aceleração média do bloco no intervalo de tempo

c) (1,0) Em que instante de tempo o bloco atinge o ponto mais positivo de sua trajetória (considere a

dinâmica apenas para t>0)?

d) (1,0) Calcule o módulo e sentido da força que atua sobre o bloco ao instante t = 3s. Esta força

varia ao longo do tempo?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 6


QUESTÕES DE LANÇAMENTOS 2010.1

10) Uma bola e lançada a partir do solo, no instante t = 0s, com uma velocidade inicial

como mostrado na Figura 1. A bola esta sobre a influência da força

gravitacional de aceleração g = 10 m/s2 e não sofre resistência do ar. Uma parede móvel de altura

infinita se encontra na posição D = 40 m, no instante t = 0s e se desloca para a direita com

velocidade constante

a) (1,0) Escreva a equação horária da bola ( xb(t) e yb(t) ) e da parede xp(t).

b) (1,0) Qual é o instante de tempo e a altura da bola quando ela atinge a parede?

c) (1,0) Para o instante de tempo em que a bola atinge a parede, escreva o vetor velocidade da bola

Vb, em termos dos vetores unitários i e j. Neste instante, o movimento da bola é ascendente ou

descendente?

2003.2

11) De um ponto 0 situado 300 m acima do solo, lança-se horizontalmente uma partícula com

velocidade escalar v0. No mesmo instante, uma outra partícula é lançada verticalmente para cima,

de um ponto 0’ situado no solo, com velocidade escalar v0’ = 50,0 m/s, conforme mostra a Figura 1.

Sabe-se que as partículas chocam-se em um ponto P. Desprezando a resistência do ar, calcule:

a) (1,0) o tempo decorrido desde o lançamento

até o choque das partículas;

b) (1,0) a altura do ponto P em relação ao

solo;

c) (0,5) o valor de v0;

d) (1,0) o vetor velocidade da partícula lançada

horizontalmente quando ela atinge o ponto P.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 7


2012.1

12) Na figura ao lado, uma bola é lançada da

origem em t = 0 com velocidade V0 = (20i + 20j)

m/s (onde i e j são os vetores unitários ao longo

dos eixos x e y respectivamente). Efeitos da

resistência do ar são desprezíveis e g = -10 j m/s2.

a) (1,0) Calcule a altura da bola após ela ter

percorrido uma distância horizontal x = 20 m.

b) (1,0) Determine o vetor velocidade para qualquer instante t > 0 e o vetor velocidade quando x =

20 m (todos em termos de i e j).

c) (1,5) Suponha agora que tenhamos um platô a uma distância horizontal de x = 40 m da origem do

lançamento (ver figura). A altura do platô é de 30 m. A bola cai por cima (A) ou atinge a lateral (B)

do platô? Em qualquer dos casos, determine a distância do ponto P ao ponto de colisão com o platô.

2013.1

13) Um projétil é lançado, a partir do solo, para o alto de um edifico de 40 m de altura. O voo do

solo até o edifício dura 4s. A trajetória do projétil, no final, tem uma inclinação em relação

à horizontal, como mostra a figura. Despreze a resistência do ar.

a) (1,0) Calcule a componente vertical (vy)

da velocidade do projétil, quando ele atinge

o alto do edifício;

b) (1,0) Calcule a componente horizontal

(vx) da velocidade do projétil, quando ele

atinge o alto do edifício;

c) (1,0) Calcule a distância horizontal (d)

percorrida pelo projétil desde o instante do

lançamento até o momento em que ele

atinge o alto do edifício;

d) (1,0) Calcule a altura máxima atingida pelo projétil, nas condições deste lançamento. Seria

possível atingir uma altura máxima superir à calculada neste item, mudando-se apenas o ângulo de

lançamento do projétil? Explique sua resposta.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 8


2002.2

14) Uma bola é atirada para cima a partir do nível do solo. Quando a bola está no ponto A, a uma

altura de 25 m, sua velocidade é V = 5,0i + 20j (m/s). Despreze a resistência do ar.

a) (1,0) Calcule a altura máxima alcançada

pela bola.

b) (1,0) Calcule as componentes da velocidade

da bola no instante em que ela é atirada para

cima, a partir do solo.

c) (1,5) Existe um muro ( ver figura) de 30 m

de altura e localizado a 25 m de distância do

ponto de onde a bola foi atirada. A bola

passará sobre o muro? Justifique sua resposta

fazendo os cálculos (sem Justificativa esse

item não tem validade).

2006.2

15) Um projétil é lançado do solo obliquamente, com velocidade inicial de 50, 0 m/s, cuja direção

forma com a horizontal um ângulo α = 37, 0 ◦ . No instante em que ele atinge a altura máxima,

encontra um plano horizontal liso e se move sobre toda sua extensão, durante 5, 00 s, quando, então,

inicia seu movimento de declínio, conforme a figura 1. Considerando sen37◦ = 0, 60 e cos 37◦ = 0,

80, determine:

a) (0,5) O tempo total de movimento.

b) (0,5) O alcance.

c) (1,0) A velocidade do projétil em notação de

vetores unitários 1,00 s antes de ele atingir o solo

(use o sistema de coordenadas da figura).

d) (0,5) A distância do plano horizontal ao solo.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 9


2009.1

16) Um projétil é lançado obliquamente a partir da origem. Quando o projétil encontra-se a uma

distância horizontal de 3,0 m em relação à origem sua velocidade é V1 = (2,0i + 5,0j)m/s, conforme

mostra a figura abaixo. Despreze a resistência do ar.

a) (1,0) Encontre o vetor velocidade inicial.

b) (1,0) Calcule o tempo total de permanência no

ar entre o lançamento do projétil e seu retorno ao

solo.

c) (1,0) Calcule a tangente do ângulo que a

velocidade faz com o eixo x, no instante em que o

projétil tem coordenada x = 6m.

2011.1

17) Um grande pneu de raio R = 1 m, gira com velocidade angular constante em torno do seu eixo

num plano vertical, conforme mostrado na figura. Em determinado instante, uma pedra se solta do

ponto superior do pneu (ponto A). Sabemos que o eixo do pneu se encontra a uma altura h = 4 m do

solo.

a) (1,5) Sabendo que a aceleração centrípeta da pedra tinha módulo Ac = 100 m/s2 , calcule a

distância horizontal percorrida pela pedra desde quando é solta até cair no solo no ponto B.

b) (1,0) Escreva o vetor deslocamento da pedra entre os pontos A e B em termos dos vetores

unitários î e ĵ.

c) (1,0) Escreva o vetor velocidade da pedra ao cair no solo (ponto B), em termos dos vetores

unitários î e ĵ.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 10


2003.1

18) Do alto de um morro, um homem joga um objeto A para cima (na direção vertical) e um outro

objeto B para baixo (movimento também vertical), ambos com a mesma velocidade escalar inicial

v0 = 10 m/s.

(a) (1,5) Qual o primeiro instante de tempo em que o módulo da velocidade de B é o dobro do

módulo da velocidade de A?

(b) (1,0) Qual a distância entre A e B neste instante de tempo?.

2003.1

19) Uma bola é chutada da origem do sistema de referência (ver figura) com uma certa velocidade

inicial. Na representação de vetores unitários, no instante de tempo igual à metade do tempo de

subida, a velocidade da bola é v = 7,0 i + 10,0 j, em unidades do Sistema Internacional, como

mostrado na figura abaixo.

Determine:

a) (1,5) O vetor posição da bola, em termos de i e

j, no instante igual à metade do tempo de subida;

b) (1,0) A altura máxima atingida pelo projétil.

2007.1

20) Uma roda uniforme, de raio R = 1,0 m, gira em torno de um eixo E, horizontal, fixo, orientado

perpendicularmente ao plano da roda e passando por seu centro geométrico, como mostra a figura 2.

A roda tem velocidade angular . Uma partícula, inicialmente presa à borda da roda,

destaca-se da mesma, no ponto P, indicado na figura. O ângulo é de 30°. Determine:

a) (1,0) O vetor velocidade inicial da partícula,

utilizando a notação de vetores unitários;

b) (1,0) A maior altura que a partícula atinge, em

relação ao plano horizontal de referência;

c) (1,0) A distância horizontal percorrida pela partícula

até ela atingir o plano horizontal de referência, mostrado na figura;

d) (1,0) A velocidade da partícula, em notação de vetores unitários, imediatamente antes de ela

atingir o plano de referência.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 11


CINEMÁTICA VETORIAL

2011.2

21) Uma partícula movendo-se no plano xy possui equação horária do vetor posição dada por r1 =

(4t – t2)i + (t

4 – 3t

2 + 2)j. onde os vetores unitários i e j apontam nas direções dos eixos x e y,

respectivamente. Todas as grandezas estão no Sistema Internacional de unidades.

a) (0,5) Calcule o vetor velocidade da partícula no instante t = 2,0 s.

b) (1,0) Calcule o vetor aceleração média da partícula entre os instantes t = 2,0s e t = 4,0s.

c) (1,5) Uma segunda partícula movendo-se no mesmo plano possui vetor posição r2 = 3ti + (3t3 +

bt) j. Determine o valor de b para que as partículas se encontrem.

2012.2

22) O vetor posição de uma particula que executa um movimento no plano xy e dado por r = (2t –

t2)i + (t

2 – 4t) j onde i é o vetor unitario na direção do eixo x positivo, e j é o vetor unitário na

direção do eixo y positivo. A posição r é medida em metros e o tempo t em segundos.

a) (1,0) Calcule o vetor posição da partícula quando t = 1s e a distância da partícula à origem do

sistema de eixos neste tempo;

b) (1,0) Depois do instante t = 0, calcule em que instante a partícula cruza o eixo x;

c) (1,0) Calcule o vetor velocidade para qualquer tempo t e em que posição a partícula se encontra

no momento em que a trajetórioa é paralela ao eixo x;

d) (0,5) Calcule o vetor aceleração e o ângulo entre ele e o lado positivo do eixo x.

2007.2

23) ( “fortemente baseada” no problema 11 do cap. 4 da 7ª edição do livro-texto) O vetor posição r

(medido em metros) de uma partícula que se move num plano x – y para um dado tempo t (medido

em segundos) é escrito como

Onde i e j denotam os vetores unitários ao longo dos eixos x e y, respectivamente. Na notação de

vetores unitários, calcule:

a) (1,0) O vetor velocidade v e seu módulo v = |v| para t = 1s;

b) (1,0) O vetor aceleração a e sei módulo a = |a| para t = 1s.

c) (1,0) Qual é o ângulo formado entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente à trajetória

desta partícula em t = 1s?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 12


QUESTÕES DE BLOQUINHOS SEM ATRITO

2008.2

24) (Questão fortemente baseada no problema 45 do Cap. 5 da 7ª edição do livro texto): Na

montagem esquematizada na figura 1, os blocos A, B e C têm massas respectivamente iguais a 1,0

kg, 2,0 kg e 3,0 kg. A força F, paralela ao plano horizontal de apoio, tem intensidade de 12 N.

Despreze a força de atrito entre os blocos e o plano horizontal. O módulo da aceleração da

gravidade no local é g.

a) (1,0) Faça um diagrama esquemático de todas as forças que atuam em cada bloco.

b) (0,5) Calcule o módulo da aceleração do sistema.

c) (1,0) Calcule a tensão T1 no fio 1.

d) (1,0) Calcule a tensão T2 no fio 2.

2009.1

25) Na figura abaixo as massas dos blocos A e B valem mA = 6,0 kg e mB = 4,0 kg. Os módulos das

forças aplicadas são F1 = 300 N e F2 = 100 N. Considere que os ângulos são tais que cosα = 0,30,

senα = 0,95, cosβ = senβ = 0,70, e que o atrito seja desprezível.

a) (1,0) Determine a aceleração dos blocos A e B.

b) (1,0) Faça um diagrama com todas as forças que

atuam sobre a massa mA.

c) (1,0) Calcule o módulo da força normal que o

solo exerce sobre cada bloco.

d) (1,0) Calcule o módulo da força que um bloco



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 13


exerce sobre o outro.

2006.2

26) Na figura 2, um bloco A (massa mA = 8, 0 kg), colocado sobre uma superfície sem atrito

inclinada, é conectado por uma corda a um bloco B (mB = 2, 0 kg). O ângulo de inclinação é θ =

30o. A polia tem massa e atrito desprezíveis. Dados: cos30

o = 0, 87; sen30

o = 0, 50.

a) (0,5) Desenhe o diagrama das forças que atuam em cada bloco.

b) (0,5) Escreva as equações que relacionam as componentes das forças com as acelerações de cada

bloco.

c) (0,5) Qual é o módulo da aceleração do conjunto?

d) (1,0) Qual é a tensão na corda que conecta os blocos?

2011.2

27) (3,5 pontos) (Fortemente baseada na questão 66 do cap. 5.)

A figura abaixo mostra um bloco 1, de massa M1, ligado a um bloco 2, de massa M2, através de

uma corda ideal. A corda passa sem atrito por uma polia ideal. Não existe atrito entre o bloco 1 e a

superfície horizontal, nem entre o bloco 2 e superfície inclinada de com respeito à horizontal.

Uma força horizontal F age sobre o bloco 1.

a) (1,0) Desenhe e nomeie as forças atuando em cada bloco.

b) (1,0) Sabendo que M1 = M e que Me = 2M, determine o valor mínimo do módulo de F tal que o

bloco 2 não desça o plano inclinado.

c) (1,5) Considere, agora, que o módulo de F seja metade do valor calculado no item anterior. Neste

caso, calcule a aceleração dos blocos.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 14


2007.1

28) Um tatu de 12 Mg, com uma velocidade inicial de 6,0 m/s para o leste, escorrega sobre um

vasto lago congelado, no alto de uma montanha em Itatiaia – RJ, sem atrito. Em seu deslocamento,

o tatu é empurrado pelo vento com uma força que é constante, em módulo e em sentido. A figura 1

mostra a posição do tatu, em intervalos de 1,0 s, em seu deslocamento sobre o gelo ocorre em t =

0,0 s. Determine:

a) (1,5) O módulo da força F que o vento exerce

sobre o tatu;

b) (1,5) O sentido da força que o vento exerce

sobre o tatu, especificando o ângulo que F forma

com o semi-eixo x > 0 (desenhe!).

QUESTÕES DE BLOQUINHOS COM ATRITO

2013.1

29) Dois blocos de massa mA = 1,0 kg e mB = 2,0 kg

encontram-se em um plano inclinado de θ = 45° e

estão ligados por uma corda inextensível e de massa

desprezível, de acordo com a figura. Os coeficientes

de atrito cinético entre os blocos A e B e o plano são

μcA = 0,10 e μcB = 0,20, respectivamente. Sabendo

que no instante t = 0 s os blocos estão deslizando

para baixo com mesma velocidade e que neste

instante a corda está completamente esticada,

determine:

a) (1,5) A aceleração do conjunto formado pelos blocos A e B mais a corda em t = 0 s.

b) (1,5) A tensão na corda em t = 0 s.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 15


2003.2

30) A Figura 2 mostra a vista de cima da superfície horizontal de uma mesa retangular de lados 1,0

m e 1,2 m, com um pino fixo em seu centro. No pino encontram-se conectadas independentemente

duas barras rígidas, 1 e 2, de comprimentos 0,4 m, cada, em cujas extremidades estão presas duas

partículas de massas iguais a 0,1 kg, cada. As partículas realizam movimentos circulares uniformes

com velocidades de módulos constantes porém distintos. As barras 1 e 2 exercem forças sobre as

partículas 1 e 2, respectivamente, com componentes radiais e tangenciais. As componentes radiais

destas forças sobre as partículas 1 e 2 valem, respectivamente, 9,0 N e 4,0 N. Existe atrito cinético

entre as partículas e a mesa, mas não entre as barras e a mesa. A Figura 2 ilustra as posições das

partículas e os sentidos de suas velocidades no instante inicial t = 0.

a) (1,0) Determine o instante em que as partículas se

encontram.

b) (0,5) Determine a distância percorrida pela partícula

1 até o encontro.

c) (1,5) Considere agora que no instante imediatamente

anterior ao encontro a partícula 1 é solta da barra 1, de

modo que o encontro de fato não ocorre. Determine a razão entre as componentes tangencial e

radial da força que a barra 1 faz sobre a partícula 1 imediatamente antes desta ser liberada, sabendo

que a partícula 1 para na borda da mesa.

2003.2

31) Na Figura 3 o bloco de massa M2 pode deslizar sem atrito sobre um plano inclinado fixo que faz

um ângulo q com a horizontal. Um fio leve e inextensível é preso a M2 e passa por uma polia leve e

sem atrito. Um bloco de massa M1 está preso à outra extremidade do fio.

a) (0,5) Faça o diagrama de forças que agem em cada bloco.

b) (1,0) Deduza a expressão matemática para a aceleração escalar do bloco 2.

c) (1,0) Se θ = 37o e M1 = 6,0 kg, calcule o maior valor de M2 para que o bloco 1 se encontre na

iminência de descer. (Dados: Considere sen(37o) = 0,6 e cos(37

o) = 0,8.)

d) (1,0) Considere agora que existe atrito entre o bloco 2 e o plano inclinado e que os coeficientes

de atrito estático e cinético valem μe=0,4 e μc=0,2, respectivamente. Para M1 = M2 = 6,0 kg e θ =

37o, calcule o vetor aceleração do bloco 2.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 16


2012.1

32) (fortemente baseada no problema 34 do cap. 6 da 8a edição do livro-texto) Uma prancha de

massa m = 1,0 kg repousa em um piso horizontal sem atrito e um bloco de massa M = 9,0 kg

repousa sobre a prancha. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a prancha é 0,60 e o

coeficiente de atrito cinético é de 0,40. O bloco é empurrado por uma força horizontal F = 100 N

(vide figura). Use g = 10 m/s2.

a) (1,0) Esboce um diagrama identificando todas as

forças que atuam em cada bloco.

b) (1,0) O bloco desliza sobre a prancha? Justifique

sua resposta quantitativamente.

c) (1,5) Calcule a força de atrito, a aceleração do

bloco e a aceleração da prancha.

2002.2

33) Uma placa de massa M = 2,0 kg repousa sobre um piso horizontal sem atrito. Um bloco de

massa m = 1,0 kg repousa sobre a placa. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a placa é μe

= 0,50, enquanto o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a placa é μc = 0,30. Uma força

horizontal F é aplicada à placa.

(a) (0,5) Desenhe e nomeie detalhadamente todas as forças que atuam em m e M.

(b) (0,5) Determine o valor máximo de F para que m e M tenham a mesma aceleração (isto é, para

que m não deslize sobre M).

Escreva as equações de movimento, determine as acelerações dos blocos e o valor da força de atrito

quando

(c) (1,0) F = 12 N

(d) (1,0) F = 19 N



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 17


2011.1

34) Um bloco de massa m1 repousa sobre um plano inclinado de ângulo ѳ e está preso a uma corda

inextensível e de massa desprezível. A corda se liga à massa m2 através de uma polia ideal. O bloco

de massa m2 se move apenas na vertical. A aceleração gravitacional é g.

a) (1,5) Considere primeiramente que não há atrito

entre o bloco m1 e o plano inclinado. Calcule a o

módulo da aceleração a do conjunto e o módulo da

tensão T na corda em função de m1, m2, θ e g.

b) (2,0) Considere agora que m1 = 1,0 kg, m2 = 2,0

kg, θ = 37°, cos(θ)≈0,8 e sen(θ)≈0,6, que existe

atrito entre m1 e o plano inclinado, e que os

coeficientes de atrito estático e cinético são µe = 2 e

µc = 1,95, respectivamente. O sistema encontra-se

inicialmente fixo, em repouso, e então é liberado.

Nesta situação, calcule o módulo da aceleração a do

conjunto e o valor da força de atrito Fatr.

2003.1

35) Um caixote de massa m = 2,2 kg é empurrado por uma força de módulo F sobre um plano

inclinado que forma um ângulo θ = 25,0o com a horizontal. Essa força é aplicada ao caixote num

ângulo α = 37,0o em relação ao plano inclinado, como mostra a figura. Considere que os

coeficientes de atrito estático e cinético entre o caixote e o plano são µe = 0,6 e µc = 0,4,

respectivamente.

(a) (0,5) desenhe o diagrama de corpo livre

para o caixote mostrando TODAS as forças

que agem sobre este;

(b) (1,0) calcule o valor mínimo de F a partir

do qual o caixote começa a se mover;

(c) (0,5) na situação do item (b), calcule a

força de reação normal do plano inclinado

sobre o caixote;

(d) (1,0) supondo que F = 2,0 N, calcule o valor da força de atrito e da aceleração.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 18


2012.2

36) Um bloco de massa m1 = 2,0 kg (bloco 1) está sobre um plano inclinado de uma cunha de massa

m2 = 8,0 kg, conforme figura. Inicialmente o bloco não está deslizando sobre a cunha. O coeficiente

de atrito estático entre o bloco e a cunha é igual a µ. A cunha sofre a ação de uma força horizontal F

e desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal. O ângulo de inclinação da superfície da cunha

é θ = 370. Considere cos θ = 0,80, sin θ = 0,60 e g = 10 m/s

2 . Sugestão: escolha o sistema de

coordenadas de tal forma que o eixo x seja paralelo à força aplicada F.

a) (1,0) Suponha que o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a cunha seja nulo (µ 0). Qual

deve ser o valor do módulo da força horizontal F para que o bloco 1 não deslize?

b) (1,5) Suponha que agora haja atrito entre o bloco e a cunha (µ 6= 0). Suponha ainda que o

módulo da força aplicada seja F = 200 N e que o bloco não deslize sobre a cunha. Qual o módulo da

força de atrito sobre o bloco 1? Em que direção aponta a força de atrito?

c) (0,5) Para a situação descrita no item (b), qual deve ser o valor mínimo do coeficiente de atrito

estático para que o bloco não deslize?

2007.2

37) Um bloco de massa m encontra-se em repouso sobre um plano inclinado. Tal plano está fixo ao

solo e é inclinado de um ângulo α em relação à horizontal. Os coeficientes de atrito estático e

cinético entre o bloco e o plano inclinado são respectivamente µe e µc. Aplica-se ao bloco uma força

F, que faz um ângulo β com o plano inclinado, conforme a figura. Expresse suas respostas em

termos das variáveis fornecidas no enunciado.

a) (1,0) Suponha que o bloco esteja na

iminência de se mover para cima. Desenhe as

forças que atuam sobre o bloco nesta situação.

b) (1,0) Obtenha uma expressão para o valor

mínimo de F que pode iniciar o movimento do

bloco plano acima.

c) (1,5) Suponha agora que o valor de F seja conhecido e que seja maior que a força calculada no

item anterior. Calcule a aceleração que o bloco adquire.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 19


2010.1

38) No sistema da Figura 2, os blocos de massa m1 e m2 são ligados por um fio ideal que forma um

ângulo θ com a direção horizontal. Uma força constante e horizontal de módulo F é aplicada ao

bloco de massa m2 fazendo o sistema mover-se. Considere que não existe atrito entre os blocos e o

plano horizontal, e que a aceleração da gravidade é representada por g.

a) (1,0) Desenhe detalhadamente todas as forças que atuam nos blocos m1 e m2.

b) (1,0) Calcule a tração no fio em termos de m1, m2, F e θ.

c) (1,0) Para que ângulo θ as forças de reação normal do plano horizontal sobre os blocos são

iguais? Expresse seu resultado em termos de m1, m2, g e F.

QUESTÕES DE FORÇA CENTRÍPETA

2003.1

39) Em um carrossel girando com velocidade constante, um garoto (em pé no centro do carrossel)

segura uma pedra de m = 800 g suspensa por uma corda de comprimento l = 2,0 m. Quando a corda

faz um ângulo θ = 37,0o com a vertical, a pedra fica estacionária no referencial do garoto.

Determine:

(a) (1,0) a tensão na corda;

(b) (1,0) o módulo da velocidade da pedra em relação a um referencial em repouso na superfície da

Terra.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 20


2008.2

40) Um bloco de massa m encontra-se apoiado sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ com

horizontal. Conforme a figura 2, o plano inclinado está fixo a uma estrutura que gira livremente em

torno de um eixo vertical que passa pelo ponto O. Inicialmente, o sistema encontra-se girando com

velocidade angular constante ω, sem que o bloco deslize, Nestas condições, o bloco descreve um

movimento circular de raio R. Lembre-se que a velocidade angular é definida por ω = v/R, onde v

denota a velocidade linear. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é µe. O módulo da

aceleração da gravidade no local e g.

(a) (1,0) Suponha que a velocidade angular ω seja

aumentada gradativamente até que o bloco esteja na

iminência de deslizamento. Para tal situação, liste e

desenhe todas as forças que atuam no bloco, deixando

claro o nome da força, sua direção e seu sentido.

(b) (1,0) Nas condições do item (a), calcule o maior

valor de ω antes que o bloco deslize. Expresse sua

resposta em termos de g, R, µe. e θ.

(c) (1,0) Suponha agora que θ = 90°. Denotando a

distância do bloco ao eixo de rotação por R, Calcule o

menor valor de ω antes que o bloco deslize. Expresse

sua resposta em termos de g, R e µe.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 21


2011.2

41) A figura a seguir mostra um cone circular com eixo vertical e dois blocos, 1 e 2, de massas M1

= 0,10 kg e M2 = M1/10, respectivamente. Os blocos estão ligados por um fio ideal que passa sem

atrito por um orifício na base do cone. Há atrito entre o bloco 1 e a superfície do cone. Todo o

sistema encontra-se em repouso.

Para efeito de cálculo considere os blocos como partículas materiais.

a) (0,5) Desenhe e nomeie as forças atuando em cada bloco.

b) (1,0) Calcule a tensão no fio e a força de atrito. Dados: sem(30°) = 1/2 e cós(30°)=

c) (1,0) Considere, agora, que o cone gira com velocidade angular constante ao redor do seu eixo.

O bloco 1 gora junto com o cone, sem deslizar sobre este, com velocidade de 1,0 m/s. A

distância vertical H = 0,10 m vai do orifício até o centro da circunferência descrita pelo bloco 1.

Nessa situação, calcule a força de atrito.

d) (1,0) O cone agora gira com uma velocidade anular constante maior que aquela do item anterior.

O bloco 1 encontra-se na iminência de deslizar sobre o cone, de modo que o bloco 2 tende a

subir o coeficiente de atrito estático entre o bloco 1 e o cone vale µe = . Calcule a força de

atrito.

2006.2

42) Um aeromodelo de massa m = 1, 00 kg voa com velocidade escalar constante numa

circunferência horizontal a uma distância h = 40, 0 m do solo. Ele está preso ao chão por uma

corda de comprimento L = 50, 0 m, que varre a superfície de um cone à medida que o avião

gira. Sabendo que o avião executa seis rotações por minuto e que mantém suas asas na

horizontal, de modo que o ar o empurra verticalmente para cima, e considerando π = 3, 00,

a) (0,5) Faça um diagrama das forças que atuam no avião.

b) (1,0) Determine a tensão na corda.

c) (1,0) Determine a força de sustentação que o ar exerce no avião.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 22


2013.1

43) Considere um pendulo cônico pendurado no teto formado por uma partícula descrevendo

uma circunferência horizontal com velocidade escalar constante, como mostra a figura (a corda

descreve um cone quando gora). A partícula tem massa M = 2,0 kg e a corda tem comprimento

L = 1,0 m sendo sua massa desprezível. Sabendo que o raio da circunferência é R = m,

determine:

a) (0,5) Desenhe o diagrama de corpo livre da

partícula.

b) (1,0) A tensão da corda.

c) (1,5) a velocidade do movimento circular.

2006.2

44) A figura 3 mostra um carro, que se move com velocidade escalar v em uma curva de uma

pista de corrida, cujo raio de curvatura é r = 70 m e cujo ângulo de elevação externa é θ = 45°.

O coeficiente de atrito estático entre a pista e os pneus do carro é de µ = 0,75.

a) (1,5) Qual é a velocidade máxima que o carro pode ter, tal que ele não deslize?

b) (1,0) Qual é a velocidade mínima que o carro precisa ter, tal que ele não deslize?

c) (0,5) Que velocidade precisaria de ter o carro para que ele pudesse fazer a curva, caso o

coeficiente de atrito entre seus pneus e a pista fosse nulo?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 23


ENERGIA, TRABALHO E POTÊNCIA

2002.2

1) Um bloco de massa M = 1,0 Kg é solto a partir do repouso no ponto A a uma altura H = 0,8 m,

conforme mostrado na figura. No trecho pano entre os pontos B e C (de comprimento 3,5 m) o

coeficiente de atrito cinético é 0,1. No restante do percurso o atrito é desprezível. Após o ponto C

encontra-se uma mola de constante elástica 1,0x102 N/m.

a) A velocidade do bloco em B.

b) A velocidade do bloco em C

c) A deformação máxima da

mola.

d) Determine a posição da

partícula quando ela atinge o repouso definitivamente.

2002.2

2) Uma esfera de massa m = 1,0 Kg, inicialmente em repouso a uma altura h = 6,0 m (ver figura),

cai livremente sobre uma mola de massa desprezível e eixo vertical, de constante elástica k = 1,0 x

102 N/m. Desprezando quaisquer dissipação de energia, calcule:

a) a máxima compressão da mola.

b) Qual é a distância entre o ponto em que a esfera se choca

com a mola e o ponto em que sua velocidade e máxima?

c) A velocidade máxima da esfera.

d) A velocidade com que a esfera é arremessada para cima no

instante em que perde o contato com a mola.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 24


2006.2

3) Uma caixa de pão, de massa m = 2, 0 kg, encontra-se sobre um plano sem atrito inclinado de um

ângulo θ = 30º e está conectada, por uma corda que passa por uma polia, a uma mola leve com

constante elástica k = 100 N/m, conforme mostra a figura 1. A caixa é solta a partir do repouso,

quando a mola se encontra relaxada. Suponha que a polia possui massa e atrito desprezíveis.

a) Qual é a energia cinética da caixa após ela ter

descido 10 cm ao longo do plano inclinado?

b) Que distância o bloco desliza ao longo do plano

inclinado desde o ponto em que foi solto até parar

momentaneamente?

2006.2

4) Um bloco de massa m = 1, 70 kg sobe um plano inclinado (sem atrito) impelido por uma força de

módulo F, paralela ao plano inclinado, como mostrado na figura 3. Esta força (medida em Newton)

é uma função da altura y (medida em metros) do bloco em relação à origem, sendo dada por F(y) =

10, 0 + 4, 00y − 6, 00y2.

a) Calcule o trabalho da força peso e o trabalho da força

F quando uma distância L = 1, 00m é percorrida sobre o

plano inclinado, a partir da origem.

b) Determine a variação de energia cinética ∆K

correspondente ao processo do item (a). Para que altura

y0 acima da base do plano inclinado ∆K se anula?

2006.2

5) Cabo de sustentação da cabine de um elevador de 1600 kg se rompe quando este está em repouso

no primeiro andar, quando o piso do elevador está a uma distância d = 2, 4 m acima da mola do

poço do elevador, cuja constante elástica é de k = 0, 30 MN/m. A partir do momento da ruptura do

cabo, um dispositivo de segurança aperta os trilhos-guias do elevador, criando uma força de atrito

constante de 4, 0 kN, que se opõe ao movimento do elevador, durante todo o seu percurso. O

movimento do elevador se dá exclusivamente ao longo da direção vertical.

a) Determine a velocidade com que o elevador encontra a mola do poço.

b) Encontre a máxima distância de que a mola é comprimida.

c) A amplitude do movimento.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 25


2007.1

6) Um bloco com massa m = 1, 0 kg é colocado contra uma mola sobre um plano inclinado sem

atrito com ângulo de inclinação θ = 30º (ver Figura 1). (O bloco não está preso à mola.) A mola,

com constante elástica k = 200 N/m, é comprimida de 20 m e então solta. Após per correr uma

distância d = 40 m ao longo do plano, o bloco deixa o plano inclinado.

a) Qual é a variação da energia potencial elástica

da mola (em Joules) ao ser comprimida?

b) O bloco é então solto. Qual é a energia cinética

do bloco no instante em que o bloco deixa o

plano inclinado, após per correr uma distância d

=40 m ao longo do plano?

c) Qual é a energia cinética do bloco no ponto

onde ele atinge a altura máxima?

2007.1

7) Uma haste rígida sem massa de comprimento L possui uma bola de massa m presa a uma de suas

extremidades (ver Figura 2). A outra extremidade está pivotada de tal modo que a bola se moverá

em um círculo vertical. Primeiro, suponha que não existe atrito no pivô. O sistema é lançado para

baixo a partir da posição horizontal A com velocidade v0. A bola apenas consegue alcançar o ponto

D e então pára.

a) Obtenha uma expressão para v0 em termos de L, m

e g.

b) Qual é a tensão na haste quando a bola passa

através de B?

c) Um pouco de areia fina é colocada sobre o pivô

para aumentar o atrito ali. Então, a bola agora apenas

alcança C quando lançada de A com a mesma

velocidade de antes. Qual é o decréscimo na energia

mecânica durante este movimento?

d) Qual é o decréscimo na energia mecânica quando

a bola finalmente parar em B após várias oscilações?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 26


2012.1

8) Uma partícula de massa m = 1 kg pode se deslocar ao longo do eixo x sob a ação de uma única

força variável F(x) = 3 − 2x (com x e F em unidades do Sistema Internacional). A partícula

encontra-se inicialmente em repouso na origem.

a) Calcule o trabalho da força F entre x = 0 e x = 1 m.

b) Calcule o módulo da velocidade da partícula em x = 1 m.

c) Calcule o módulo da potência instantânea da partícula em x = 1 m.

d) Calcule a posição do primeiro ponto de retorno (onde a partícula tem velocidade instantânea

nula).

2012.1

9) (Fortemente baseada no problema 79 do cap. 8 da 8ª edição do livro-texto) Dois blocos, de

massas M = 1,0 e 2M, estão ligados a uma mola de constante elástica k = 100 N/m que tem uma das

extremidades fixa, como mostra a figura ao lado. A superfície horizontal e a polia não possuem

atrito, a corda é inextensível e a polia e a corda têm massa desprezível. Os blocos são liberados a

partir do repouso com a mola na posição relaxada. Use g = 10 m/s2.

a) Qual é a energia cinética total dos dois blocos após o

bloco que está pendurado ter descido 0,10 m?

b) Qual é a energia cinética do bloco pendurado depois de

descer 0,10 m?

c) Qual é a distância que o bloco pendurado percorre antes

de parar momentaneamente pela primeira vez?

2007.2

10) (“fortemente baseada” no problema 49 do cap. 7 da 7ª edição do livro-texto) A única força que

atua sobre um corpo de 3, 0 kg quando ele se desloca ao longo de um eixo x varia como mostrado

na figura. A velocidade do corpo em x = 0 é 4, 0 m/s.

a) Qual é a energia cinética do corpo em x = 3, 0 m?

b) Para que valor de x o corpo tem uma energia

cinética de 15, 0 J?

c) Qual é a energia cinética máxima do corpo entre x

= 0 e x = 5, 0 m?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 27


2011.1

11) Um bloco de peso 10 N parte do repouso a partir do ponto O e sobe a rampa mostrada na figura

1 mediante a aplicação da força F de direção constante. A intensidade F da força varia com a

abscissa x de acordo com o gráfico da figura 2. O trabalho realizado de O até A pelo atrito existente

entre o bloco e a rampa é igual a -10 J. Calcule:

a) O trabalho total resultante realizado por todas as forças que agem no bloco do ponto O ao ponto A.

b) A velocidade do bloco ao atingir o ponto culminante A da rampa.

c) O valor constante que a força F devera ter para realizar o mesmo trabalho do item a) continuando a

agir sobre o corpo as forças peso e de atrito.

.

2011.2

12) Um bloco de massa 2,0 kg encontra-se inicialmente em repouso, conectado a uma mola ideal

relaxada, de constante elástica 100,0 N/m ( ver figura). Uma força horizontal F, de Amplitude

indicada no gráfico abaixo, atua no bloco. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a

superfície horizontal vale 0,50.

a) Desenhe e nomeie todas as forças que atuam no bloco enquanto a mola está sendo esticada.

b) Determine o trabalho realizado por cada força entre as posições x = 0 e x = 20,0 cm.

c) Determine a velocidade do bloco na posição x = 20,0 cm



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 28


2008.1

13) Um objeto de massa m = 1,0 kg realiza um movimento unidimensional (veja figura) sujeito a

uma força resultante expressa (em Newtons) por F(x) = 4x − 8 (com x em metros).

a) Calcule o trabalho realizado pela força sobre o

objeto para deslocá-lo da posição x1 = 1,0 m até x2 =

4,0 m.

b) Sabendo que a velocidade do objeto na posição x1

é v = 2,0 m/s, calcule sua velocidade na posição x2.

c) Determine o valor da potência instantânea quando

o objeto encontra-se na posição x2.

2007.2

14) Uma partícula de massa m = 10 kg, que se desloca ao longo do eixo x horizontal, tem energia

potencial U, em função da posição, dada por U(x) = x 3 − 34x + 5, onde x é dado em metros e U

em Joules. Considere que o atrito seja desprezível.

a) Calcule a força, em função de x, que atua na partícula.

b) Se em x = 0 a velocidade da partícula é 2, 0 m/s, determine a sua energia mecânica.

c) Calcule a velocidade da partícula na posição x = 2, 0 m.

2011.1

15) Um bloco de massa m é preso a uma mola hookiana de constante k, sendo esta ligada a um

suporte fixo, como mostrado na figura 3. A posição y = 0 corresponde ao ponto em que a mola está

relaxada, isto é, o ponto onde a força elástica é nula.

a) Escreva uma expressão para a energia potencial total U do

sistema em função de m, k, g e y, sendo y uma posição arbitrária

do bloco. Considere que a energia potencial é nula em y = 0.

b) Faça um gráfico de U em função de y, indicando os valores

onde a função U(y) corta o eixo das abscissas. Qual é o ponto de

equilíbrio do sistema?

c) Considere agora que no instante t = 0 o bloco é solto na

posição y = 0 com velocidade inicial v0 = 0. Calcule a posição

em que o bloco pára instantaneamente pela primeira vez.

d) Para as condições da letra c), calcule a posição em que a

velocidade do bloco é máxima.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 29


2008.1

16) (“fortemente baseada” no problema 63 do cap. 8 da 7ª edição do livro-texto) Na figura ao lado,

um bloco de massa m desliza sem atrito ao longo de um plano inclinado que forma um ângulo θ

com a horizontal. O bloco parte do repouso e desce uma distância L, quando se choca com uma

mola de constante elástica k. Quando o bloco para momentaneamente, a mola fica comprimida por

x. Determine, em função de m, g, θ, k e x:

a) A distância L;

b) A distância entre o ponto do primeiro contato com a

mola e o ponto onde a velocidade do bloco é máxima.

c) Para k = 200 N/m, θ = 30°, m = 2,00 kg, x = 30,0 cm

e g = 10,0 m/s2, calcule a energia cinética máxima do

bloco. Dados: sin 30°= 1/2, cos 30°= √3/2.

2009.1

17) Um bloco de 5,0 kg move-se ao longo do eixo x, sobre uma superfície horizontal e sem atrito

sob a influência de uma força conservativa variável, cuja energia potencial está mostrada no gráfico

abaixo. Suponha que a velocidade do bloco na origem é v0 = 2,0 m/s.

a) Faça um gráfico da força que atua sobre o

corpo, em função de x.

b) Calcule o trabalho realizado pela força

variável se o bloco move-se da origem até o

ponto x = 2,0 m.

c) Determine a velocidade máxima do bloco e

o intervalo do eixo x onde ela ocorre.

d) Calcule a posição máxima, xmax, que o

bloco atinge.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 30


2013.1

18) Um corpo puntiforme de massa m é solto do repouso desde uma altura h0 em uma rampa sobre

a qual pode deslizar sem atrito desde o ponto A até o ponto B. Em seguida, o corpo pode subir sobre

outra rampa com atrito (com coeficiente de atrito cinético μc) a qual forma um ângulo θ com a

horizontal. Responda os seguintes itens deixando sua resposta em função das variáveis fornecidas

m, h0, μc, θ e g.

a) Qual é a velocidade do corpo no ponto B?

b) Qual será a distância d percorrida pelo corpo sobre a segunda rampa até o mesmo ficar em

repouso pela primeira vez.

c) Existe algum valor do ângulo θ onde o corpo pode alcançar a mesma altura h0 sobre a segunda

rampa? Justifique.

2013.1

19) Um pêndulo é formado por uma pedra de 2,0 kg oscilando na extremidade de uma corda de 4,0

m de comprimento e massa desprezível. A pedra tem uma velocidade de 8,0 m/s ao passar pelo

ponto mais baixo da trajetória.

a) Qual é a velocidade da pedra quando a corda faz um ângulo de 60º com a vertical?

b) Qual é cosseno do maior ângulo com a vertical que a corda assume durante o movimento da

pedra?

c) Se a energia potencial do sistema pêndulo - Terra é tomada sendo nula na posição mais baixa da

pedra, qual é a energia mecânica total do sistema?

2012.2

20) Considere uma caixa de massa m = 2,0 kg em movimento na direção x sobre uma superfície

horizontal sem atrito. Suponha que uma força variável na direção horizontal F(x) = −2x + 4, com F

em newtons e x em metros, atua sobre a caixa. Sabendo que em x = 0 a velocidade da caixa é v0 =

2,0 m/s, responda:

a) Qual é a velocidade v da caixa em x = 2,0 m?

b) Em que posição a energia cinética da partícula é máxima?

c) Qual é o maior valor de x que a partícula atinge neste movimento?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 31


2013.1

21) Um bloco de massa m = 1,0 kg é empurrado a partir do repouso por uma mola comprimida de

5,0 cm, cuja constante elástica é k = 10,0 N/cm. O bloco viaja por uma superfície horizontal tendo

no final um plano inclinado. O bloco desliza nessa superfície sem atrito, exceto no trecho entre os

pontos A e B (de comprimento d = 40,0 cm), ao longo do qual o coeficiente de atrito cinético é µc =

0,10.

a) Qual é a altura máxima h que o bloco atinge no

plano inclinado?

b) Determine a compressão máxima da mola

quando o bloco retorna a ela pela primeira vez.

c) Quantas vezes o bloco passa pelo ponto B até

parar definitivamente?

2012.2

22) Uma partícula de massa m = 2,0 kg se move ao longo do eixo horizontal x. Sobre ela atua uma

única força F(x) conservativa, à qual está associada a energia potencial U(x) representada no gráfico

da figura ao lado. Inicialmente, a partícula se encontra em x = 0,5 m, com velocidade v = 2,0 m/s.

a) Considerando que U(x) varia linearmente no

intervalo 0,0 m < x < 1,0 m, calcule, a força em x = 0,5

m. Em particular, especifique seu sentido (para a direita

ou para a esquerda).

b) Calcule a velocidade da partícula ao passar por x =

3,0 m.

c) Calcule o trabalho realizado pela força F sobre a

partícula quando ela se desloca de x = 2,0 m a x = 3,0

m.

d) A partícula passa pela posição x = 5,0 m? (Sem justificativa, respostas a este quesito têm valor

nulo).



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 32


2008.2

23) (Questão fortemente baseada no problema 37 do Cap. 8 da 7ª edição do livro texto): A figura 1

mostra um gráfico de energia potencial U (em Joules) em função da posição x (em metros) de uma

partícula de massa m = 1 kg que pode se deslocar apenas ao longo da direção horizontal x, mas em

ambos sentidos (positivo ou negativo).

a) Suponha que a partícula é solta em x = 5 m com

velocidade v = -6 m/s. Se a partícula puder alcançar

x = 1 m, qual será sua velocidade neste ponto, e se

não puder, qual será seu ponto de retorno?

b) Suponha agora que a partícula é solta em x = 5 m

com velocidade v = 6 m/s. Se a partícula puder

alcançar x = 9 m, qual será sua velocidade neste

ponto, e se não puder, qual será seu ponto de

retorno?

c) Calcule as forças FI e FII que atuam sobre a

partícula nas regiões I (2 m < x < 4 m) e II (6 m < x

< 8 m)

2008.2

24) Um pequeno bloco de massa 6 kg está inicialmente em repouso na posição x = 0 sobre uma

superfície horizontal sem atrito. Num dado instante, uma força paralela a ta superfície é aplicada

sobre o bloco, que inicia um movimento unidimensional. Sabe-se que a força é dada por F(x) = (4-

x2)N, onde x é dado em metros. Nestas circunstâncias e usando o sistema internacional (SI) de

unidades, calcule:

a) A velocidade do bloco na posição x = 3 m.

b) A posição xmáx em que a velocidade do bloco é máxima.

c) A velocidade do bloco quando x = xmáx



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 33


2003.2

25) Um bloco de massa 1,0 kg encontra-se em repouso, preso a uma mola ideal de constante

elástica 500 N/m, inicialmente comprimida de 0,1 m, como mostra a Figura 1. O sistema mola +

bloco é liberado e o bloco passa a se deslocar sobre uma superfície horizontal até encontrar uma

segunda mola ideal de constante elástica 400 N/m. Existe atrito ao longo de toda a superfície

horizontal compreendida entre as duas paredes verticais. O coeficiente de atrito cinético nessa

região é igual a 0,5.

a) Considere que o bloco percorre 0,1 m até perder o contato com a mola de constante elástica 500

N/m pela primeira vez. No instante da perda de contato, determine a velocidade do bloco.

Após perder contato com uma das molas, o bloco dirige-se à outra mola, e assim sucessivamente,

executando, desse modo, um movimento oscilatório.

b) A distância percorrida pelo bloco desde o instante em que o sistema é inicialmente liberado até

aquele em que o bloco pára pela primeira vez, devido à ação da mola de constante elástica 400 N/m,

é igual a 0,4 m. Calcule a compressão máxima desta mola nessa primeira parada do bloco.

c) Considere que no ponto em que o bloco pára definitivamente ele não se encontra em contato com

nenhuma das molas. Calcule a distância escalar total percorrida pelo bloco até parar de forma

definitiva.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 34


COLISÃO E CENTRO DE MASSA

2013.2

26) Dois corpos de massas iguais a M e ambos com velocidade iniciais de módulo |V1| = |V2| = V

sofrem uma colisão perfeitamente inelástica conforme a figura abaixo. Após a colisão os corpos

passam a se mover juntos com uma velocidade final cujo módulo é |Vf| = V/√2.

a) Determine o ângulo θ entre as velocidades iniciais dos

blocos e a direção da velocidade final (ver figura)

b) Calcule a variação da energia cinética do sistema em

termos de M e V.

2006.2

27) Quatro partículas de massas m, 4m, 3m e 2m estão ligadas por três hastes de comprimento L e

de massa desprezível, conforme ilustra a figura 2. O sistema viaja com velocidade de módulo v, da

esquerda para a direita, na direção horizontal, e não está submetida a nenhuma força externa.

a) A que distância da partícula de massa m encontra-se o centro de massa do sistema?

b) Suponha que, num dado instante, ocorre uma explosão, que destrói as hastes e que fornece ao

sistema uma energia cinética adicional. Sabe-se ainda que, após esta explosão, não há colisões entre

as partículas e que elas não saem da horizontal. Observa-se que as velocidades das partículas de

massa m, 4m e 2m são, respectivamente, 2v (para a esquerda), v (para a esquerda) e 8v (para a

direita). Calcule a velocidade da partícula de massa 3m.

c) Calcule a energia cinética adicional que o

sistema ganhou na explosão.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 35


2012.1

28) Duas pedras de massas m1 = 2,0 kg e m2 = 4,0 kg estão amarradas por uma corda de massa

desprezível. As pedras são lançadas com velocidades v1(t = 0) = (−20i + 20j) m/s e v2(t = 0) = (10i +

5,0j) m/s, respectivamente, a partir da mesma altura. Após um certo tempo a corda se rompe.

Efeitos da resistência do ar são desprezíveis e g = −10j m/s2

a) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema pedras-corda no tempo t = 0 s, em termos

dos vetores unitários ‘i’ e ‘j’.

b) Determine o vetor aceleração do centro de massa do sistema pedras-corda. Escreva a equação

horária para o vetor velocidade do centro de massa.

c) Em t = 1,0 s, já após a corda ter se rompido, a velocidade de m2 é v2(t = 1,0 s) = (4,0i − 2,0j) m/s.

Calcule a velocidade v1(t = 1,0 s) de m1, em termos dos vetores unitários.

d) Calcule a energia utilizada para romper a corda.

2010.1

29) Uma garota de 50 kg encontra-se imóvel na extremidade esquerda de uma carroça de 100 kg,

em repouso sobre o solo horizontal. Há atrito entre os pés da garota e a carroça, mas não entre a

carroça e o solo. Num dado instante, a garota começa a caminhar para a extremidade direita da

carroça com velocidade constante relativa à carroça igual a 2 m/s.

a) Calcule, nesse instante, a velocidade (módulo e sentido) da carroça em relação ao solo.

b) Calcule, nesse instante, a velocidade (módulo e sentido) da garota em relação ao solo.

c) Calcule quanto tempo a garota leva para atingir a extremidade direita da carroça, sabendo que

esta possui 4m de extensão.

d) Se a garota pára de caminhar quando alcança a extremidade direita da carroça, determine a

velocidade final da carroça em relação ao solo.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 36


2007.1

30) No instante t0 = 0, um objeto de massa m = 6, 0 kg é lançado

verticalmente para ima com velo cidade inicial v0 = (10j) m/s

(ver Figura 3). No instante t1 = 0, 1 s, uma bomba explode

instantaneamente dentro do objeto, fazendo com que ele se

quebre em dois pedaços com massas m1 = 4, 0 kg e m2 = 2, 0 kg.

No instante t2 = 0, 2 s, a velo cidade de m1 é v1(t2) = (2,0i + 10j)

m/s. O sistema está sujeito à aceleração gravitacional constante

g = −g j.

a) Obtenha a velocidade do centro de massa em t = t2.

b) Usando a notação de vetores unitários, obtenha o vetor

velocidade v2(t2) da massa m2 no instante t = t2.

c) Calcule a variação de energia mecânica devido à explosão

ocorrida em t = t1.

2007.2

31) Duas partículas, A e B, de massas mA = 2, 0 kg e mB = 4, 0 kg, deslocam-se inicialmente em

movimento retilíneo uniforme (MRU), com velocidades vA = 8, 0 m/s e vB = 6, 0 m/s ao longo da

direção x, sobre uma superfície horizontal sem atrito (ver figura). Num determinado instante as

partículas colidem. Sabe-se que após a colisão as partículas continuam a se deslocar em MRU ao

longo do eixo x, tendo a partícula B velocidade de 1, 0 m/s relativa à partícula A. Seja Ptot o vetor

momento linear total das partículas A e B.

a) A componente x de Ptot se conserva antes, durante e depois da colisão? Justifique em detalhe.

b) A componente y de Ptot se conserva antes, durante e depois da colisão? Justifique em detalhe.

c) Determine as velocidades das partículas A e B após a colisão.

d) Determine as velocidades do centro de massa do

sistema formado pelas partículas A e B antes e

depois da colisão.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 37


2008.1

32) Uma partícula de massa m desliza sem atrito num plano horizontal (xy) com velocidade

v0 = v0i (onde i e j) correspondem aos vetores unitários ao longo dos eixos x e y, respectivamente).

Em um certo instante, a partícula explode, partindo-se em dois pedaços. O primeiro pedaço, de

massa m/4, move-se então com velocidade v1 = (v0/2)i + (v0/2)j. O segundo pedaço, de massa 3m/4,

move-se com velocidade v2.

a) Expresse v2 em termos de v0 e dos vetores unitários.

b) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosão em termos de v0 e dos vetores

unitários.

c) Calcule (em função de v0 e de m) a variação de energia mecânica ∆Em que ocorreu por causa da

explosão. Interprete fisicamente o sinal de ∆Em.

2011.2

33) (Fortemente baseada na questão 72 do cap. 9)

Duas partículas, de massas M1 = 1,0 kg e M2 = 2,0 kg, movem-se sobre uma superfície horizontal

(plano xy). Imediatamente antes da colisão entre elas, as suas velocidades, em m/s, são v1 = 3,0i +

4,0j e v2 = -6,0i + 8,0j), onde os vetores unitários i e j apontam nas direções dos eixos x e y,

respectivamente. Logo após a colisão, a partícula 1 tem velocidade, em m/s v1 = -1,0i + 2,0j. Existe

atrito entre as partículas, mas não existe atrito entre cada partícula e a superfície.

a) O momento linear total das partículas ao longo da direção i se conserva? Justifique.

b) O momento linear total das partículas ao longo da direção perpendicular ao plano xy se

conserva? Justifique.

c) Calcule o vetor velocidade da partícula 2 logo após a colisão.

d) Classifique o tipo de colisão. Justifique sua resposta.

2009.1

34) No instante t = 0, duas partículas de massas m1 = 3,0 kg, e m2 = 1,0 kg, movendo-se num plano

horizontal se encontram nas posições mostradas na figura abaixo. Suas velocidades neste momento

são v1 = i 2,0 m/s, e v2 = (i 6,0 + 4,0) m/s.

a) Determine o vetor posição do centro de massa em t = 0.

b) Determine o vetor momento linear total e o vetor velocidade

do centro de massa, quando t = 0.

c) Suponha que duas forças de módulo |F1| = 10√3 N, e |F2| =

20√3 N atuam sobre as massas m1 e m2,

respectivamente, conforme mostrado na figura.

Calcule a aceleração do centro de massa.

d) Esboce a trajetória do centro de massa, a partir de t = 0.

(Dados: cós 30º = √3/2 e sem 30º = 1/2)



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 38


2013.1

35) Na figura, o bloco A de massa mA desliza ao longo de um plano horizontal sem atrito com uma

velocidade vA, até sofrer uma colisão elástica unidimensional com o bloco B, de massa mB = 2 mA,

inicialmente em repouso. Em seguida o bloco B sofre uma colisão elástica unidimensional com o

bloco C, de massa mC = 2 mB, inicialmente em repouso. Supondo que não existe atrito entre os

blocos e o plano responda os seguintes itens deixando suas respostas em função das variáveis

fornecidas mA e vA.

a) Qual será a velocidade do bloco B logo depois da colisão com A?

b) Qual será a velocidade do bloco C logo depois da colisão com B?

c) O bloco B volta a colidir com o bloco A?

d) Qual é a razão entre a energia cinética de C após a colisão e a energia cinética de A no início do

movimento?

2012.2

36) (Fortemente baseada na questão 72 (cap. 9, 8aed) do Halliday) Um corpo A de massa

mA = 1,0 kg colide com um corpo B de massa mB = 2,0 kg. As velocidades dos corpos A e B antes

da colisão são vA = (20,0 i + 10,0 j) m/s e vB = (5,0 i − 15,0 j) m/s, respectivamente. Após a colisão,

vA = (10,0 i − 10,0 j) m/s. Determine:

a) o vetor velocidade do corpo B após a colisão (em notação de vetores unitários);

b) a variação da energia cinética total;

c) se a colisão é elástica ou inelástica, em função da sua resposta no item (b);

d) o vetor velocidade do centro de massa do sistema antes da colisão;

e) o vetor velocidade do centro de massa do sistema após a colisão.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 39


2008.2

37) Dois blocos de massas m1 = 1 kg e m2 = 2 kg, encontra-se unidos e em repouso, conforme

mostrado na figura 2. Uma explosão os blocos deslizam sobre uma superfície horizontal com

coeficiente de atrito cinético µc = 0,2. A aceleração da gravidade no local é g = 10 m/s2. Despreze o

efeito do atrito durante a explosão. Para tal situação, calcule:

a) A velocidade da massa m1 imediatamente após a explosão (indique módulo, direção e sentido).

b) A variação de energia mecânica devida à explosão

c) A posição d centro de massa do sistema após as massas chegarem ao repouso (indique módulo,

direção e sentido).

2003.1

38) Uma esfera de massa m = 1,0 kg está presa a uma barra rígida de massa desprezível que pode

girar, sem atrito, em torno do ponto fixo O, como mostra a figura. A esfera é largada do repouso, de

uma altura h0 = 3,2 m. No ponto mais baixo de sua trajetória, a esfera colide com um bloco de

massa M = 6,0 kg, inicialmente em repouso e que pode deslizar sem atrito sobre uma superfície

horizontal. Após a colisão parcialmente inelástica, o bloco se desloca com uma velocidade de 2,0

m/s.

a) Qual a velocidade da esfera imediatamente antes da

colisão?

b) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema

esfera+bloco imediatamente antes da colisão.

c) Qual é a altura máxima que a esfera atinge após a

colisão?

d) Determine a variação da energia cinética do sistema

esfera + bloco na colisão.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 40


.2003.1

39) Uma esfera rígida de 8,0 kg é lançada verticalmente para cima. No instante em que sua

velocidade ascendente é de 2,0 m/s, ela é atingida por uma pedra de massa igual a 2,0 kg que se

deslocava horizontalmente com velocidade 10,0 m/s. Despreze a resistência do ar.

a) A componente horizontal do momento linear do sistema pedra + esfera é conservada? A

componente vertical do momento linear do sistema pedra + esfera é conservada? Justifique suas

repostas.

b) Calcule a componente horizontal da velocidade da esfera após a colisão sabendo que, após a

colisão, a componente horizontal da velocidade da pedra é igual a 2,0 m/s.

c) No instante em que a esfera atinge o ponto mais alto de sua trajetória, a pedra encontra-se em

movimento descendente com módulo da componente vertical de sua velocidade igual a 12,0 m/s.

Quanto tempo transcorreu desde a colisão até esse instante?

2011.1

40) Um sistema formado por três partículas alinhadas com massas m1 = 1kg, m2 =10kg m3 = 1kg se

encontra distribuído num instante t0 = 0s como mostrado na figura 4, sendo D = 1 m. Neste instante,

em relação ao sistema de referência fixo no solo, a partícula (1) tem velocidade v01 = 1m/s, a

partícula (2) tem velocidade v02 = 0,1 m/s e a partícula (3) se encontra em repouso. Num instante t1

depois de t0 as partículas (1) e (2) colidem num choque inelástico e posteriormente, num instante t2

as partículas (2) e (3) colidem num choque perfeitamente inelástico. Desde t0 até t2 as partículas se

movimentam sem atrito.

a) Calcule a coordenada XCM e o momento linear total PTotal do sistema formado pelas três

partículas para o instante t0 em relação ao sistema de referência mostrado na figura.

b) Se a velocidade da partícula (2), logo depois da colisão ocorrida no instante t1, é v2 = 0,2 m/s

calcule a velocidade da partícula (1) neste instante. Qual será a energia cinética do sistema

formado pelas partículas (1), (2) e (3) logo depois do instante t1?

c) Calcule a velocidade das partículas (2) e (3) logo depois do choque ocorrido no instante t2. Qual

será o momento linear total PTotal do sistema formado pelas partículas (1), (2) e (3) no instante

t2?

d) Num instante t3 (depois da colisão em t2) as partículas (2) e (3) entram numa região tal que o

coeficiente de atrito cinético entre elas e a superfície é µc = 0,02. Calcule a aceleração do centro de

massa aCM do sistema formado pelas partículas (1), (2) e (3) logo depois do instante t3.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 41


2003.2

41) Dois blocos de massas M1 = 3 kg e M2 = 5 kg deslocam-se sem atrito ao longo de uma reta

horizontal. Eles se chocam numa colisão perfeitamente inelástica e passam a se mover grudados. O

gráfico da Figura 2 acima representa a posição x de cada bloco, em metros, em função do tempo t,

em segundos, até o instante da colisão.

a) Calcule a velocidade (módulo e sentido) de cada

bloco antes da colisão.

b) Calcule a velocidade (módulo e sentido) dos

blocos depois da colisão.

c) Calcule a energia dissipada devido à colisão.

2011.2

42) A figura a seguir ilustra um tubo em forma de 3/4 de um arco de circunferência, posicionado no

plano vertical. As bolas 1 e 2 possuem massas M1 e M2. Ao ser solta do repouso da altura H da

figura, a bola 1 entra no tubo, percorre a sua extensão e realiza uma colisão perfeitamente inelástica

com a bola 2, que até então estava parada. Considere as bolas como partículas materiais e o tubo

fino de raio R. Despreze as forças dissipativas.

a) Calcule a Velocidade da boa 1 imediatamente antes da colisão com a bola 2. Expresse a sua

resposta em função de M1, M2 e da velocidade vsaída com que as bolas saem juntas da extremidade B

do tubo.

b) Calcule H. expresse a sua resposta em função de M1, M2, vsaída e da aceleração da gravidade g.

c) Calcule a perda de energia devido à colisão. Expresse a sua resposta em função de M1, M2, vsaída

e da aceleração da gravidade g.

d) Considere, agora, a situação em que após a colisão, as bolas ingressam juntas na extremidade A

do tudo. Nesse caso, calcule vsaída em função de R e g.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 42


ROTAÇÃO 2013.1

1) A figura mostra dois discos que podem girar em torno de seus centros independentemente. No

instante t = 0, as retas de referência dos dois discos têm a mesma orientação (como mostrado no

desenho); o disco A já está girando com uma velocidade angular constante ωA = 3π rad/s e o disco

B parte do repouso com uma aceleração angular constante de 0,5 π rad/s2.

(a) (1,0) Em que instante t as duas retas de referência têm o mesmo deslocamento angular θ?

(b) (1,5) Qual será o primeiro instante t, após t = 0, para o qual as duas retas de referência estão

paralelas com a linha que une o centro dos dois discos?

(c) (1,5) Considere agora que o deslocamento angular do disco B varia no tempo com θB(t) = t3- 2t

onde θB(t) está em radianos. Em qual instante a velocidade angular de B é igual à velocidade

angular de A?

2013.1

2) Um disco é liberado a partir do repouso do alto de

uma superfície inclinada de altura h = 5 m (medida

desde o solo até o ponto mais baixo do disco como

mostrado na figura) e rola suavemente sem deslizar

até a parte mais baixa da superfície. No primeiro

trecho, a superfície é retilínea e forma um ângulo θ

= 30º com a horizontal, como mostrado na figura.

Dados: o momento de inércia do disco homogêneo

com relação a um eixo que passa pelo centro de

massa é ICM = MR2/2, onde M é a massa do disco e

R é seu raio. Considere g = 10 m/s2.

a) (1,5) Calcule a aceleração do centro de massa do disco quando ele ainda se encontra no trecho

retilíneo na superfície.

b) (1,5) Determine a velocidade do centro de massa quando o disco atinge a parte mais baixa da

trajetória.

.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 43


2012.1

3) Um corpo formado por uma barra homogênea, de massa mb = 3 kg e comprimento L = 2 m,e por

um disco, de massa md = 4 kg e raio R = 1 m, pode girar em torno de um eixo que passa pelo ponto

O (na junção da barra e do disco) e é perpendicular ao plano da página. O corpo é mantido em

repouso na horizontal, como vemos na figura. Considere g = 10 m/s2.

a) (0,5) Calcule o momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa pelo ponto O. Dado:

b) (0,5) Calcule o momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo ponto O. Dado:

c) (1,0) Calcule o módulo do torque resultante que age sobre o corpo no momento em que o corpo é

solto.

d) (1,5) Calcule o módulo da aceleração adquirida pelo ponto A (extremidade direita do disco) no

momento em que o corpo é solto. Indique também a direção e sentido dessa aceleração.

2012.1

4) (fortemente baseada no problema 11 do cap.

11, Halliday 8ª ed.) Uma bola maciça rola

suavemente (sem deslizar) a partir do repouso,

começando de uma altura H = 9,0 m, até deixar a

parte horizontal no fim da pista, a uma altura h = 2,0

m, conforme a figura ao lado. Dado que o momento

de inércia de uma bola maciça de massa M e raio R

em relação ao centro de massa é ICM = 2MR2/5 e g =

10 m/s2, responda:

(a) (1,5) Qual a velocidade do centro de massa da partícula no fim da pista?

(b) (1,5) Usando a resposta do item anterior, calcule a que distância horizontal d do ponto A a bola

toca o chão.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 44


2012.1

5) (fortemente baseada no problema 65 do cap. 10

da 8ª edição do livro-texto) Um corpo rígido

formado por um aro fino (de massa m = 2,7 kg e raio

R = 2,0 m) e uma barra fina (de massa m = 2,7 kg e

comprimento L =R/3) está em repouso na vertical,

como mostra a figura ao lado. O conjunto começa a

girar sem atrito em torno do eixo horizontal que

passa pela extremidade inferior da barra. Dados: g =

10 m/s2, (para um eixo

perpendicular ao comprimento) e

(para um eixo passando pelo diâmetro).

a) (1,0) Calcule o momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação descrito na figura.

b) (1,0) Calcule o momento de inércia do aro em relação ao eixo de rotação descrito na figura.

c) (1,5) Calcule a velocidade angular do sistema quando o mesmo passa pela posição vertical

invertida (de cabeça para baixo).

2012.1

6) Uma roda, de massa 2,0 kg e raio 0,1 m, encontra-

se inicialmente (t = 0) em repouso sobre uma

superfície horizontal (ver figura). O centro de massa

da roda coincide com o seu centro. A roda é puxada

por uma força horizontal de módulo F = 10,0 N,

aplicada no seu centro, e passa a rolar sem deslizar.

O seu centro desloca-se em linha reta, com

aceleração constante de módulo 2,0 m/se.

a) (1,0) Esboce um diagrama identificando todas as for¸cas que atuam na roda, indicando o seu

ponto de aplicação.

b) (1,5) Com base em cálculos de segunda lei de Newton, determine o momento de inércia da roda

em relação ao seu eixo de rotação.

c) (1,0) Calcule o deslocamento angular da roda até o instante t = 3,0 s.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 45


2011.2

7) A figura a seguir mostra duas partículas 1 e 2, ambas de massa m, presas nas extremidades de

uma barra unidimensional rígida, de massa desprezível e comprimento L. A barra é livre para girar

em torno do eixo passando no ponto de contato com o suporte, de direção perpendicular ao plano da

página inicialmente, a barra é mantida horizontalmente em repouso por um disposit ivo externo (

não mostrado na figura). No instante t = 0, o dispositivo libera a barra, considere que , em t=0, as

forças que a barra exerce nas partículas têm direção horizontal.

a) (1,0) Em t = 0, calcule o torque (modulo, direção e sentido) de cada força agindo na partícula 1 e

na partícula 2, em relação ao ponto de contato da barra com o suporte.

b) (1,0) Em t = 0, calcule os módulos das acelerações tangenciais da partícula 1 e da partícula 2.

c) (1,0) Suponha, agora que a barra é uma haste unidimensional uniforme, de massa M e

comprimento L, em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa e é perpendicular ao seu

comprimento: .

2011.2

8) Uma roda pode girar ao redor de um eixo passando no seu centro, de direção perpendicular aos

seus raios. A roda é uniformemente acelerada a partir do repouso, até atingir a velocidade de 200,0

rpm em 0,50 s. Ela é mantida com esta velocidade durante 2,0s. Em seguida, a roda é desacelerada,

também uniformemente, durante 1,50s até parar.

a) (1,0) Calcule o deslocamento angular total da roda, em radianos, desde o instante inicial até o

repouso final.

b) (0,5) Calcule o numero de rotações efetuadas pela roda desde o instante inicial até o repouso

final.

c) (1,0) Calcule a velocidade angular media da roda desde o instante inicial até o repouso final.

d) (1,0) Calcule as acelerações angulares dos movimentos acelerado e retardado.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 46


2011.1

9) Uma partícula P está presa a uma haste rígida de comprimento R= 0,20 m e descreve uma

trajetória circular no plano horizontal xy. A haste faz um ângulo θ com o eixo x (vide Figura 1), de

acordo com a seguinte função horária:

θ(t) =7π(t + t3)/20, com t dado em segundos e θ em radianos, de

acordo com a convenção de que deslocamentos angulares são

positivos no sentido anti-horário. Nos itens abaixo, todos os

vetores devem ser escritos em termos dos vetores unitários î e ĵ.

Em seus resultados, deixe π e quaisquer frações indicados (isto

é, não os substitua por seus valores decimais aproximados).

a) (1,0) No intervalo de tempo de 0,00 s a 2,00 s, qual foi a

distância percorrida pela partícula P? Expresse o vetor posição

da partícula P (em relação à origem O) no instante t=2,00 s.

b) (1,0) Calcule a velocidade angular ω da haste e o vetor

velocidade do ponto P no instante t=2,00 s.

c) (1,5) Calcule a aceleração angular α da haste e o vetor

aceleração da partícula P no instante t=2,00 s.

2011.1

10) - Um objeto de peso 50,00 N é amarrado ao extremo livre de

uma corda ideal enrolada num disco rígido de raio R = 0,25 m e

massa M = 2,50 kg, como mostrado na Figura 2. O disco pode

girar em torno de um eixo que passa pelo seu centro geométrico.

O objeto é solto a partir do repouso, a 5,06m do solo.

a) (1,0) Determine a tensão da corda e a aceleração de descida

do corpo.

b) (1,0) Encontre a velocidade do corpo no momento em que

chega ao solo.

c) (1,0) Encontre o módulo do momento angular do sistema todo

em relação ao eixo de simetria do disco logo antes do bloco

chegar ao solo.

Dados: √80,96 = √81 = 9. O momento de inércia de um disco homogêneo de massa M e raio R

em relação ao eixo de simetria é ICM = 0,50(MR2).



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 47


2009.1

11) Considere a placa quadrada de massa desprezível e lado L = 2,0 m, mostrada na Figura I. Em

cada vértice e no centro do quadrado são colocadas partículas de massa m = 3,0 kg.

a) (1,5) Calcule os momentos de inércia IA, em relação ao eixo vertical A, e IB, em relação ao eixo

horizontal B, conforme a Figura I.

b) (1,0) Suponha agora que a placa é suspensa na horizontal e que possa girar em torno do eixo fixo

B sob a ação da gravidade, conforme a Figura II. O sistema parte do repouso na horizontal. Calcule

sua velocidade angular ao passar pela vertical.

c) (1,0) Calcule o módulo do momento angular do sistema ao passar pela vertical.

2008.2

12) (Questão fortemente baseada no problema 39 do Cap. 10 da

7ª edição do livro texto): Na figura I, duas partículas cada uma

com massa 2M/3, estão ligadas uma à outra e a um eixo de

rotação em O ( que é perpendicular ao plano da página), por

duas hastes finas, cada uma com comprimento L e massa M. O

conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade

angular ω. Dados: o momento de inércia de uma haste fina de

comprimento d e massa m, gorando em torno de seu centro de

massa é I = md2/12. Medidos em torno do eixo de rotação que

passa por O, calcule:

a) (2,5) O momento de inércia do conjunto.

b) (1,0) A energia cinética do conjunto



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 48


2008.2

13) A figura 2 ilustra um cilindro maciço e uniforme

de massa 2m e raio R, que pode girar em torno de

seu eixo principal E, apoiado em suportes sem atrito.

Um fio ideal, de massa desprezível, enrolado ao

cilindro, está preso a um bloco de massa m, situado

sobre um plano inclinado sem atrito, de inclinação θ

em relação à horizontal. O módulo da aceleração da

gravidade no local e g. Com o bloco inicialmente em

repouso, à altura h, o sistema começa a mover-se.

Dados: o momento de inércia do cilindro em

questão é dado por I = mR2.

a) (1,0) Fazendo uso das leis de Newton para translação e rotação, calcule a aceleração do bloco.

b) (1,0) Fazendo uso das leis de Newton para translação e rotação, calcule a tensão no fio.

c) (1,5) Calcule a velocidade do bloco ao atingir o ponto P, localizado na base do plano inclinado.

2008.1

14) (“fortemente baseada” no problema 84 do cap. 10 da 7ª edição do livro-texto) Um corpo rígido

que tem a forma da letra H é construído usando-se três hastes finas idênticas, onde cada uma possui

comprimento L e massa M. O corpo pode girar livremente em torno de um eixo horizontal E que

passa por uma das hastes que compõem as “pernas” da letra H, conforme mostrado na figura.

Suponha que este corpo esteja inicialmente num plano horizontal e seja abandonado a partir do

repouso (veja a figura). Nos itens abaixo, expresse seus resultados em função dos dados do

enunciado e da aceleração gravitacional g. Dado: momento de inércia de uma haste fina de massa M

e comprimento L em relação a um eixo perpendicular à haste que passe por seu centro de massa =

ML2/12.

a) (1,5) Calcule o momento de inércia deste

corpo rígido em relação ao eixo de rotação E.

b) (1,5) Quanto vale a velocidade angular do

corpo rígido exatamente quando ele passa pela

posição vertical?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 49


2008.1

15) Uma esfera maciça de raio R e massa m, inicialmente em repouso no ponto A, rola sem deslizar

ao longo de toda a superfície ABC mostrada na figura (sem nunca perder o contato com ela).

Apenas o trecho AB é retilíneo, fazendo um ângulo θ com a horizontal. A diferença de altura entre

A e C é h, e a aceleração gravitacional é g. Deixe suas respostas indicadas em termos dos dados do

enunciado. Dado: momento de inércia de uma esfera maciça de massa m e raio R em relação a um

eixo que passe por seu centro de massa = 2mR2/5.

a) (1,0) Escreva as equações decorrentes

da segunda lei de Newton (nas formas

translacional e rotacional) para a esfera

no trecho AB.

b) (1,5) Obtenha os módulos da

aceleração do centro de massa da esfera

e da força de atrito no trecho AB.

c) (1,0) Calcule a velocidade angular da

esfera ao passar pelo ponto C.

2007.2

16) (“fortemente baseada” no problema 78 do capítulo 10 da 7ª edição do livro-texto) Dois blocos,

de massas m1 = 1, 0 kg e m2 = 2, 0 kg, estão conectados por uma corda de massa desprezível que

passa pela borda de um disco uniforme de massa M = 2, 0 kg e raio R = 0, 50 m. O disco pode girar

sem atrito em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro perpendicularmente ao plano

do papel, conforme a figura. A corda não desliza na borda do disco. O sistema é abandonado a

partir do repouso.

a) (1,5) Escreva a 2ª lei de Newton (na forma translacional ou

rotacional, conforme o caso) para m1, m2 e M, explicitando as

forças e torques que atuam no sistema.

b) (2,0) Encontre o módulo da aceleração dos blocos, a

tensão T1 na corda à esquerda e a tensão T2 na corda à direita.

Dado: g=10,0 m/s2.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 50


2007.2

17) Uma casca cilíndrica homogênea e fina tem

massa M e raio R. No interior da casca existem três

hastes homogêneas e finas, cada uma com massa

M e comprimento R, arranjadas de acordo com a

figura. O sistema (casca + três hastes) é liberado do

repouso sobre um plano inclinado (ver figura),

onde H = 4R denota a distância vertical do eixo de

rotação do sistema à superfície horizontal. Há atrito

em toda a trajetória (no plano inclinado e na

superfície horizontal) e a casca rola sem deslizar.

a) (2,0) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao seu eixo de rotação. (Dados:

Momento de inércia de uma casca cilíndrica homogênea e fina, de massa M e raio R, em relação ao

seu eixo = MR2. Momento de inércia de uma haste homogênea e fina, de massa M e comprimento

L, em relação ao um eixo perpendicular passando no seu centro = ML2/12.)

b) (1,5) Determine a velocidade angular do sistema quando este se encontrar na posição da

superfície horizontal ilustrada na figura.

2007.1

18) Na figura 1, um bloco de massa m está conectado por um fio a um outro bloco de massa m’. O

fio tem massa desprezível e passa, sem deslizar, pela borda de uma polia. A polia consiste de um

cilindro maciço de raio R e massa M. O atrito do bloco de massa m com o plano e da polia com seu

eixo podem ser desprezados. Forneça as respostas em termos dos dados do enunciado e da

aceleração da gravidade, g.

a) (1,0) Partindo do repouso, qual é a velocidade

angular ω adquirida pela polia após o bloco de massa

m’ cair de uma altura h?

b) (1,5) Qual é a aceleração da massa m?

c) (1,0) Quais são os valores das tensões nas cordas que

puxam os blocos de massas m e m’, respectivamente?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 51


2007.1

19) Uma barata, de massa m, encontra-se sobre a borda de um disco uniforme, de massa 4m, que

pode girar livremente em torno do seu centro, como um carrossel. Inicialmente, a barata e o disco

giram juntos, com uma velocidade angular de 0, 240 rad/s. A barata caminha, então, até a metade da

distância ao centro do disco, parando neste ponto.

a) (1,5) Qual é, então, a velocidade angular do sistema barata-disco?

b) (1,0) Qual é a razão K/K0 entre a nova energia cinética do sistema e a sua energia cinética

inicial?

c) (0,5) O que é responsável pela variação na energia cinética do sistema?

2006.2

20) A figura 1 mostra as partículas A e B, cada qual com massa m, presas nas extremidades de uma

haste rígida de massa desprezível e de comprimento LA + LB, com LA = 20 cm e LB = 80 cm. A

haste é mantida horizontalmente sobre o suporte triangular e então solta. Quais são os módulos das

acelerações iniciais:

a) (1,5) da partícula A?

b) (1,0) da partícula B?

2006.2

21) A figura 2 mostra um disco uniforme, de massa 10, 0 kg e raio 3, 00 m, montado de forma a

poder girar livremente em torno de um eixo horizontal, perpendicular ao plano do disco, passando

por sua borda no ponto P. Uma partícula de dimensões desprezíveis e de massa 2, 50 kg está colada

ao disco no ponto diametralmente oposto ao ponto P.

a) (1,0) Calcule o momento de inércia do sistema em

torno do eixo de rotação horizontal a que o

enunciado se refere.

b) (1,5) Se o sistema for abandonado a partir do

repouso com o seu centro de massa à mesma altura

do eixo de rotação, qual será a velocidade angular do

sistema quando ele passar por seu ponto mais baixo?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 52


2006.2

22) (2,5) Uma bola não uniforme, de massa M e raio R, rola suavemente, a partir do repouso,

descendo uma rampa e então passando por um loop circular, de raio r = 48, 0 cm. A figura 3

descreve a situação de interesse. A altura inicial da bola é h = 36, 0 cm. No ponto mais baixo do

loop, a intensidade da força normal sobre a bola é de 2, 00Mg. A bola é composta por uma casca

esférica externa, de densidade uniforme, que envolve uma esfera central (de densidade uniforme,

porém maior do que aquela da casca). Considerando que o momento de inércia de um corpo pode

ser expresso na forma geral I = βMR2, determine o valor de β para esta bola em particular (βbola) em

função de β para uma bola de densidade uniforme.

2003.1

23) Um bloco de massa 2 kg está preso a um fio ideal enrolado em uma polia (disco homogêneo) de

massa 1kg e raio 20 cm. O bloco desliza sobre um plano inclinado, com θ = 370, conforme a figura

ao lado. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é 0,25. Despreze o atrito no eixo que

passa pelo centro de massa da polia. Supondo que o fio não desliza sobre a polia, determine:

a) (2,0) O módulo da aceleração do bloco.

b) (1,0) A tensão no fio.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 53


2003.1

24) Três hastes de comprimento L e massa M, cada, são conectadas na forma de um triângulo

equilátero. O triângulo pode girar livremente em torno de um eixo que passa pelo vértice O,

perpendicular ao plano do triângulo. Determine, em função de M, L e g:

a) (1,5) O momento de inércia do sistema em relação ao eixo de rotação.

b) (1,0) A distância d do centro de massa do sistema ao ponto O, usando a resposta do item a).

c) (1,5) Considere que, no instante inicial, o centro de massa do sistema encontra-se na horizontal

que passa por O (figura 1). Determine a velocidade angular do triângulo quando o centro de massa

passa pela vertical que contém o ponto O (figura 2), sabendo que o mesmo foi liberado a partir do

repouso.

2002.2

25) Um pêndulo é formado por duas partículas iguais de massa m = 0,10 Kg cada uma, ligadas por

duas hastes rígidas de comprimentos iguais a l = 6,0 cm e massas desprezíveis, conforme a figura.

O pêndulo está preso ao teto no ponto P, em torno do qual pode girar livremente. Inicialmente em

repouso, o sistema é solto a partir de um ângulo θ = 600 com a vertical. Dados cos(60

0) = 0,50 e

sen(600) = 0,87, calcule:

(a) (1,0) a velocidade angular do sistema

quando o mesmo passa pela posição vertical;

(b) (1,0) a tensão na haste inferior quando o

sistema passa pela posição vertical;

(c) (1,0) a tensão na haste superior quando o

sistema passa pela posição vertical.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 54


2002.2

26) Um cilindro sólido, homogênio, de raio R= 0,10m, desce verticalmente sem deslizar,

desenrolando dois fios de massas desprezíveis que estão fixos no teto, conforme a figura. A tensão

em cada fio é T=2,0 N. Sabendo-se que o cilindro é solto a partir do repouso e dado ICM (cilindro) =

MR2/2, calcule:

(a) (1,5) a aceleração do centro de massa do cilindro;

(b) (1,0) a massa do cilindro;

(c) (1,0) o tempo necessário para que o cilindro

complete 2 voltas em torno do seu eixo. Considere π

= 3 para efeito de cálculo.

MOMENTO ANGULAR

2013.1

1) Um disco de massa M e raio R está girando com uma velocidade angular ω0 preso a uma haste

que fura o disco através do eixo perpendicular passando pelo seu centro. Um segundo disco com

massa três vezes maior que o primeiro e de mesmo raio, inicialmente em repouso, é acoplado à

mesma haste de modo que o conjunto passa a girar com uma mesma velocidade angular, como

mostra a figura ao lado. Dados: O momento de inércia do disco uniforme em relação ao eixo que

passa pelo centro de massa é ICM = MR2/2; o momento de inércia da haste é desprezível.

a) (1,5) Determine a velocidade angular ω do sistema

composto pelos dois discos em termos da velocidade

angular ω0.

b) (1,5) Que percentagem da energia cinética de rotação

inicial é perdida devido à adição do segundo disco? Para

determinar a percentagem de energia perdida utilizar a

expressão [(Ki-Kf)/Ki] x 100% onde Ki e Kf as energias

cinéticas inicial e final respectivamente



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 55


2012.2

2) A figura mostra uma haste de massa M = 3 kg e

comprimento H = 4 m disposta verticalmente, e que se

encontra inicialmente em repouso. A haste está pivotada na

extremidade superior (ponto O) em torno da qual pode girar

sem atrito. A haste é atingida a uma distância d = 3 m do

ponto O (conforme figura) por uma massa de modelar de

massa m = 1 kg que se desloca horizontalmente para a

direita com velocidade escalar v no momento da colisão.

Após a colisão, a massa de modelar permanece grudada na

haste. O momento de inércia da haste em relação ao seu

centro de massa é ICM =ML2/12. Considere que a massa de

modelar pode ser tratada como uma partícula e g = 10 m/s2.

a) (0,5) Qual é o momento de inércia do sistema (haste + massa) em relação ao eixo de rotação após

a colisão?

b) (1,0) Qual é a velocidade angular ω do sistema, em função de v, imediatamente após a colisão?

c) (1,0) Qual é a razão entre a energia cinética do sistema após a colisão e a energia cinética da

massa de modelar imediatamente antes da colisão?

d) (1,0) Qual deve ser o valor de v para que o maior ângulo possível entre a haste e a vertical seja

900?

2012.1

3) Um disco uniforme de raio R = 0,50 m e massa M = 3,0 kg

gira com velocidade angular ω0 = 9,0 rad/s em torno de um eixo

que passa a uma distância d = 0,25 m do seu centro de massa

(veja a figura). Não há atrito no eixo, que é perpendicular ao

plano do disco. Uma pedra de dimensões desprezíveis e massa m

= 1,0 kg encontra-se no centro do disco. Dado: Idisco

cm = MR2/2

(para um eixo perpendicular ao plano do disco).

a) (1,0) Calcule o momento de inércia do sistema (disco +

pedra) em torno do eixo de rotação.

b) (1,0) Considere que a pedra escorrega até parar na borda do disco, a uma distância R + d do eixo

de rotação. Determine a velocidade angular final ωf do sistema.

c) (1,0) Qual é o módulo do torque constante que deve ser aplicado de forma que o sistema atinja o

repouso após 0,25 s, a partir da situação do item (b)?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 56


2011.2

4) As figuras A e B a seguir mostram a vista superior de um disco que pode girar sem atrito sobre

uma superfície horizontal, em torno do eixo de rotação vertical passando no seu centro O. Os raios

interno e externo do disco valem R1 e R2 = 2R1, respectivamente, e a as massa é M. Inicialmente

(figura A), o disco gira com velocidade angular ω0. Inicialmente (figura A), o disco gira com

velocidade angular ω0, com um gato, de massa m = M/4, posicionado na sua borda externa.

a) (1,0) Calcule, nesse caso, o momento angular do sistema disco-gato em relação ao eixo de

rotação vertical do sistema. Expresse a sua resposta em função de M, R1 e ω0. Dado: momento de

inércia do disco em relação ao eixo de rotação: I = M(R12 + R2

2)/2.

b) (0,5) O gato então rasteja em direção à borda interna do disco, lá permanecendo (figura B). Nesta

nova condição, calcule o momento de inércia do sistema disco-gato em relação ao eixo de rotação

vertical do sistema. Expresse a sua resposta em função de M e R1.

c) (1,0) Obtenha a nova velocidade angular do sistema, em função de ω0. Justifique a utilização do

princípio físico considerado na solução deste item.

d) (1,0) Considere, agora, R1 = 1,0 m, M = 11,0 Kg e ω0 = 8,0 rad/s. Calcule de quanto varia a

energia cinética do sistema disco-gato após o bichano alcançar a borda interna. De onde vem (ou

para onde vai) esta diferença de energia?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 57


2011.1

5) Uma barra delgada e uniforme de comprimento L =

1,00 m e massa M = 3,00 kg gira no plano do papel em

torno de um eixo que passa por sua extremidade superior

presa ao teto (ver Figura 3). Quando a barra passa pela

posição mais baixa colide com um pequeno pedaço de

massa de modelar de m = 1,00 kg que fica grudada na sua

extremidade. A velocidade angular da barra

imediatamente antes da colisão é ω0 = 2,00 rad/s.

Desconsiderando qualquer atrito da massa de modelar com

a superfície horizontal, calcule:

a) (1,0) O momento de inércia da barra Ibarra e do conjunto

barra + massa Iconjunto em relação ao eixo de rotação que

passa pela extremidade superior da barra presa ao teto;

b) (1,5) A velocidade angular do conjunto barra + massa imediatamente após a colisão

c)(1,0) O deslocamento vertical “h” do pedaço de massa antes do conjunto parar momentaneamente

pela primeira vez.

Dados: o momento de inércia da barra com relação ao eixo passando pelo centro de massa é:

ICM=(1/12)ML2, sendo M a massa da barra e L seu comprimento.

2009.1

6) Um disco de raio R e massa 8m0 gira com velocidade angular ω0 no sentido anti-horário, em

torno do eixo fixo, E. O eixo E passa pelo plano do disco a uma distância R/2 do seu centro,

paralelo a este plano, conforme a figura. Um projétil de massa m0 e velocidade v0 incide

perpendicularmente ao disco, atingindo sua borda e aderindo ao disco após a colisão.

DADO: O momento de inércia de um disco de massa M e raio R

é Icm = MR2/4, para um eixo passando por um diâmetro.

a) (1,0) Calcule o momento de inércia do disco em relação ao eixo E;

b) (1,0) Determine o módulo do momento angular (i) Ld, do disco, e

(ii) Lp, do projétil em relação ao eixo E imediatamente antes da

colisão;

c) (1,0) Calcule a velocidade angular do conjunto disco + projétil, logo após a colisão.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 58


2008.2

7) Um disco homogêneo, de raio R e massa 12m0, gira no sentido anti-horário, com velocidade

angular constante ω0, em torno de um eixo fixo E, que tangencia as borda no ponto P (veja figura

3). Um projétil de massa m0 é disparado com velocidade constante v0, e incide perpendicularmente

ao disco, atingindo o seu centro. Sabe-se que tal projétil adere ao disco após a colisão. Despreze

efeitos de atrito e resistência do ar. Dados: O momento de inércia de um disco de raio r e massa M,

que gira em torno de seu diâmetro é Mr2/4.

(a) (1,0) Calcule o momento de inércia do disco, em

relação ao eixo E.

(b) (1,0) Calcule o momento angular individual do (i)

disco e do (ii) projétil, em relação ao ponto P,

imediatamente antes da colisão.

(c) (1,0) Calcule a velocidade angular final do conjunto

(disco + projétil), logo após a colisão.

2008.1

8) Um tubo oco horizontal transparente gira sem atrito em torno

de um eixo vertical que passa pelo seu centro de massa. Dentro

do tubo existem duas esferas iguais, de raio desprezível e 0,010

kg de massa cada uma. Inicialmente, cada esfera está conectada

ao eixo de rotação por um fio de massa desprezível e

comprimento s = 0,10 m e o sistema todo gira com velocidade

angular ω0 = 5,0 rad/s. Num dado instante os fios se rompem e

as esferas ficam presas nas paredes das extremidades do tubo.

Sabendo que o momento de inércia do tubo em relação ao eixo

de rotação vale 2,0 × 10−4

kg m2 e que seu comprimento é D =

0,40 m, determine:

a) (1,0) o módulo do momento angular inicial do sistema, em relação ao ponto O (sobre o eixo de

rotação) indicado na figura;

b) (1,5) a velocidade angular final do sistema;

c) (1,0) a variação da energia cinética do sistema.



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 59


2006.1

9) A figura 3a representa dois discos rígidos, ambos de

raio R, que têm um eixo de rotação comum (eixo z).

Inicialmente o disco de massa M tem velocidade

angular 3ω, enquanto que o disco de massa M/2 tem

velocidade angular ω, ambas no mesmo sentido.

Posteriormente, os discos são trazidos um em direção

ao outro ao longo do eixo z e colocados em contato até

se unirem rigidamente e adquirirem uma velocidade

angular comum, como ilustrado na figura 3b. Sabe-se que tal velocidade comum é obtida graças ao

atrito entre as superfícies em contato. Nestas circunstâncias, calcule:

a) (1,5) a velocidade angular do conjunto;

b) (1,5) a energia dissipada devido ao atrito entre os discos.

2007.1

10) A expressão r (t) = 4, 0t2 î − (6, 0t

2 + 2, 0t

3 ) ˆj dá posição de uma partícula, de massa igual a 2,

0 kg, em relação a um sistema de coordenadas xyz (r em metros e t em segundos).

a) (1,5) Em notação de vetores unitários e partindo da definição do torque τ resultante, determine a

expressão para o τ (t) atuando sobre a partícula, em relação à origem, e quantifique esta grandeza no

tempo t = 1, 0 s.

b) (1,0) Em notação de vetores unitários e partindo da definição do momento angular L , determine

a expressão para o L (t) da partícula, em relação à origem, e quantifique esta grandeza no tempo t =

1, 0 s.

c) (1,0) Use a segunda lei de Newton, em sua forma angular, para demonstrar que os resultados

obtidos nos itens anteriores são coerentes entre si, para um tempo arbitrário t. Há possibilidade de o

torque total atuando sobre a partícula ser nulo (caso positivo, determine em que instante de tempo)?



_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________ 60


2006.2

11) Um homem está no centro de uma plataforma em forma de disco, de massa 5, 00 kg e raio 2,0

m, com os braços estendidos horizontalmente e tendo em cada uma das mãos um tijolo de massa 4,

00 kg. O sistema todo está girando com 0, 40 rad/s. A distância dos tijolos ao eixo de rotação é de

1,0 m, o momento de inércia do homem vale 6, 0 kg · m2 . Em certo instante, o homem flexiona os

braços, trazendo os tijolos até 50 cm do eixo de rotação. Neste movimento, o homem diminui seu

momento de inércia para 4, 0 kg · m2. Calcule:

a) (1,0) O módulo do momento angular do sistema antes de o homem flexionar os braços.

b) (1,5) A velocidade angular do sistema depois que o homem flexiona os braços.

2003.1

12) Uma haste homogênea de massa 300 g e 1 m de

comprimento está presa no seu centro pelo pino P, em

torno do qual pode girar sem atrito no plano horizontal.

Uma bala de massa 50 g é disparada e acerta a haste a uma

distância d = 0,4 m do ponto P, com uma velocidade de 4

m/s. A bala atravessa a haste e segue com velocidade de 3

m/s. Determine:

a) (1,0) O módulo do momento angular da bala, em

relação ao ponto P, imediatamente antes da colisão.

b) (1,0) A velocidade angular com que o bastão gira

imediatamente após a colisão.

c) (1,0) A variação da energia cinética entre os instantes

imediatamente após e antes da colisão.

2002.2

13) Um menino de massa m = 50,0 Kg está parado ao lado de um carrossel de massa M = 400 kg e

raio R = 3,00 m. O carrossel gira livremente com velocidade angular ω0 = 0,500 rad/s. Atraído pelo

brinquedo, o menino salta radialmente (em direção ao centro), passando a girar junto com o

carrossel, na sua borda. Considere o carrossel como um disco uniforme (ICM = MR2/2). Calcule.

(a) (1,0) o módulo do momento angular do carrossel antes do salto do menino;

(b) (1,0) a velocidade angular do conjunto após o salto do menino

(c) (1,5) a variação da energia cinética do sistema e interprete seu resultado.


Documents

Para Aprender e Passar Em Física PDF