paradoxos famososParadoxos e dilemas demonstram ou pelo menos tentam demonstrar incoerncias em nossas crenas e padres de pensamento. Fazem a gente repensar a natureza das coisas. O Paradoxo da pedra, por exemplo, pe em dvida a doutrina teolgica da onipotncia divina, ou seja, a de que Deus pode fazer qualquer coisa. Ei-lo aqui: Ao fazer uma pedra poderia Deus faz-la de tal maneira que a mesma fosse demasiada pesada para Ele mesmo levant-la? Caso Deus pudesse criar tal pedra, sua potncia ficaria limitada Sua inabilidade de levant-la. Caso ele no possa, Ele tambm no todo poderoso.Paradoxos assim, to simples, so procurados por filsofos e professores de filosofia. Apresento aqui seis desses paradoxos ou dilemas clssicos. 1. O DILEMA DO CROCODILOUm crocodilo rouba uma criana. Quando a me reclama, o crocodilo faz a seguinte proposta: devolverei a sua criana se voc advinhar corretamente se eu a devolverei ou no. A me responde: Voc no vai devolver a minha criana. O que o crocodilo deve fazer? Se ele devolver ento no pode devolver, pois a me errou. Mas, se o crocodilo no devolver ento tem que devolver, pois a me adivinhou corretamente. 2. O BARCO DE TESEU

Conforme Plutarco (Vida de Teseu), o barco Teris, no qual Teseu viajou Creta com os jovens que iam ser sacrificados ao Minotauro e voltou salvo, foi preservado pelos Atenienses por vrios sculos. De vez em quando, eles substituam as tbuas velhas por outras novas. Por isso, o barco se tornou um exemplo para os filsofos de muito debatido argumento sobre a identidade das coisas. Alguns dizem que ainda era o mesmo barco, mesmo com as tbuas novas, outros que no era mais o mesmo barco.Examinemos uma verso mais elaborado do paradoxo de Teseu. H um barco, chamado A, que renovado atravs da substituio , passo a passo, de todas as partes velhas por partes novas. Vamos chamar o barco do fim desse processo de B. Ao mesmo tempo as partes velhas do barco tinham sido guardadas e utilizadas para construir um outro barco C, com a mesma configurao de A. A questo qual dos barcos mais tarde, B ou C, idntico a A?Existem argumentos para se manter que todos os dois, B e C, so idnticos A. De um lado, h uma identidade espao-temporal entre A e B. A transio de A para B foi efetuada numa srie de substituies de uma parte velha por uma parte nova, e no h nenhuma razo para se dizer que A deixa de ser A quando uma parte s substituida. Por outro lado, o Barco C material e formalmente idntico ao barco A. Se algum deixou o barco A, mas voltou e achou o barco C, no haveria dvida para ele de que C o mesmo barco que A. Mesmo se ele fosse informado ( sem meno de B) que A tinha sido desmantelado e reconstrudo enquanto C, ainda diria que A e C so o mesmo barco.Afinal, qual dos barcos o mesmo barco que A, B ou C? Ou seja, agora, de repente, existem dois barcos idnticos a A?3. O PARADOXO DE SMULIYANRaymond Smuliyan inventou um paradoxo sobre trs homens, chamados A, B, C, que se encontraram uma noite num osis no deserto, e se separaram no dia seguinte. Por alguma razo que no interessa ao caso, naquela noite A decidiu matar C e colocou veneno no seu cantil. Pouco depois B, agindo completamente independente, tambm decidiu matar C, e furou um buraquinho no seu cantil. No dia seguinte, C morreu de sede. No tribunal, todos esses fatos so descobertos. A questo , quem matou C?O ru A argumenta que ele no responsvel pela morte de C porque C jamais bebeu o veneno. O ru B replica que ele no responsvel pela morte de C, porque ele no privou C de nenhuma gua potvel, mas apenas de gua envenenada. Mesmo assim, algum responsvel pela morte de C.

4. O PARADOXO DO BARBEIRO

Esse de Bertrand Russel e uma ilustrao engraada do paradoxo de Russel na teoria dos conjuntos: o conjunto de todos os conjuntos que no so membros de si mesmo , ou no , um membro de si mesmo?O paradoxo do barbeiro : numa determinada aldeia o barbeiro corta as barbas de todos os homem que no cortam as prprias barbas e ele corta as barbas apenas dos homens que no cortam as prprias barbas. Quem corta a barba do barbeiro?Caso o barbeiro corte a prpria barba, ele deve ser um dos homens que no cortam a prpria barba. Mas se o barbeiro no corta a prpria barba, ele deve Ter a barba cortada pelo barbeiro, quer dizer, o barbeiro deve cortar a prpria barba. Em qualquer dos casos h uma contradio.Pode-se resolver o paradoxo do barbeiro dizendo que esse barbeiro e essa aldeia no existe. Soluo fcil demais...5. O PARADOXO DO TESTE SURPRESAUm paradoxo de predio um em que a capacidade de predizer-se se um evento vai ou no acontecer impossibilita o prprio evento de acontecer. Talvez o paradoxo do teste surpresa seja o mais famoso paradoxo de predio.Um professor anuncia que vai aplicar um teste surpresa durante a semana vindoura. Mas os estudantes sabem que o teste no pode ser aplicado Sexta-feira, o ltimo dia da semana, porque ento no seria uma surpresa. Assim, Quinta-feira torna-se o ltimo dia em que o teste pode ser aplicado. Mas, caso o professor espere at Quinta-feira para aplicar o teste no seria surpresa alguma. Do mesmo modo, cada dia da semana pode ser eliminado, e o teste surpresa jamais pode ser aplicado. Esse me lembra o LFV quando diz: viva todos os dias como se fosse o ltimo, um dia voc acerta.

6. O PARADOXO DO ADVOGADOProtgoras concordou em ensinar retrica a Eualto com a condio de que Eualto pagaria a ele uma certa quantia em dinheiro quando ele ganhasse a primeira causa no tribunal. Todavia, depois de completar o curso, Eaulto no se desempenhou no tribunal. Impaciente Protgoras entrou na justia contra ele para receber o seu pagamento.Protgoras argumentou: caso eu ganhe o julgamento, Eualto me pagar porque o tribunal ter decidido assim. Mas, caso eu perca, Eualto ainda tem que me pagar, porque ele concordou em pagar depois de ganhar a primeira causa. Assim independente do resultado, Eaulto ficar obrigado a me pagar. Por isso o tribunal dever decidir ao meu favor.Mas Eaulto, que aprendeu bem de Protgoras, respondeu: caso Protgoras ganhe o julgamento, eu no vou ser obrigado a pagar, porque eu no preciso pagar antes de ganhar a primeira causa. Mas, se Protgoras perder, o tribunal ter decidido que eu no preciso pagar. Assim, o tribunal deve decidir a meu favor.O que o tribunal deve decidir?Protgoras confronta Eualto com um dilema. Eualto ou vai ganhar ou perder a deciso. Mas, em qualquer dos casos, ele obrigado a pagar. De um lado por causa do contrato de outro por causa do julgamento do tribunal. Eualto refuta o dilema com outro. Protgoras vai ganhar a deciso ou perd-la. Mas, em qualquer caso, ele no pode receber o pagamento: de um lado, por causa do julgamento do tribunal; de outro por causa do contrato.Tanto esse paradoxo quanto ao paradoxo do crocodilo so uma verso existencial do paradoxo do mentiroso. O mentiroso diz: O que digo falso. Caso o dito falso ento verdadeiro. Caso seja verdadeiro ento falso

Mais alguns ParadoxosMORTE POR ENFORCAMENTO OU DECAPITAOUM FILSOFO COMETEU ALGUM CRIME MUITO GRAVE (POR EXEMPLO, OLHOU PARA UMA DAS ESPOSAS DO REI), E DEVE SER EXECUTADO. O GENEROSO REI, PORM, PERMITE QUE ELE ESCOLHA SE QUER SER ENFORCADO OU DECAPITADO (OU PODERIA SER QUEIMADO VIVO OU CRUCIFICADO), DESDE QUE ELE DIGA, RESPECTIVAMENTE, UMA VERDADE OU UMA MENTIRA. O FILSOFO, ENTO, DIZ EU SEREI DECAPITADO.

O Paradoxo do Pinquio o resultado gerado por um conflito de lgica baseado na famosa histria infantil do boneco Pinquio, cujo nariz crescia sempre que o mesmo contava uma mentira.

Esse conflito se ilustra imaginando o Pinquio dizendo a frase: meu nariz vai crescer agora.

Neste caso, duas hipteses, igualmente vlidas poderiam acontecer:

O nariz de Pinquio no cresce. Ento ele disse uma mentira, portanto, o nariz deve crescer;O nariz de Pinquio cresce. Ento ele disse uma verdade, portanto, o nariz dele no tinha motivo para ter crescido.Em ambos os casos, seria gerada uma contradio, pois, se o nariz cresce, ele no deveria ter crescido e, se no cresce, deveria ter crescido.

Buracos no queijo Voc concorda que o queijo suo tem buracos? Assim, quanto mais queijo, mais buracos. Ok? Porm quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais queijo, menos queijo!

Onipotncia de Deus Se Deus onipotente (pode fazer tudo), pergunta-se: Ele pode criar uma pedra que ele no possa erguer? Se no pode cri-la, no onipotente. Se pode, ento tambm no onipotente, j que ao cri-la estaria originando algo que no poderia fazer (levantar o que tinha criado).

Sanduche ou a felicidade? O que melhor: a felicidade eterna ou um sanduche de mortadela? Embora parea que a felicidade eterna seja melhor, isso no verdade. A prova bastante simples: Partindo do princpio que "nada melhor que a felicidade eterna" e lembrando que "um sanduche de mortadela melhor que nada", temos que "um sanduiche de mortadela melhor que a felicidade eterna". Teste surpresa Um professor anuncia que vai aplicar um teste surpresa durante a prxima semana. Mas os estudantes sabem que o teste no pode ser aplicado na sexta-feira, o ltimo dia da semana, porque ento no seria uma surpresa. Assim, quinta-feira torna-se o ltimo dia em que o teste pode ser aplicado. Mas, caso o professor espere at quinta-feira para aplicar o teste, no seria surpresa alguma. Do mesmo modo, cada dia da semana pode ser eliminado, e o teste surpresa jamais pode ser aplicado.

Paradoxo de Epimnides Era uma vez um acusado que disse: "Enquanto a minha mentira no for desvendada, continuarei mentindo". Em seguida, o juiz disse: "Se o acusado mentir, seu advogado tambm mentir". Por fim, o advogado disse:

"Quem for capaz de desvendar a minha mentira dir a verdade". Qual deles est mentindo?

Assassinato do Av O paradoxo acontece quando pessoa viaja para o passado e mata o seu av antes dele conhecer a sua esposa, que a av dessa pessoa. Dessa maneira, a existncia dessa pessoa torna-se impossvel. Alguns defendem que a continuao no pode ser alterada. Portanto, ao viajar para o passado e matar o seu antepassado, um universo paralelo surgiria. Outros dizem que o tempo sempre o presente e que, matando seu av, seu passado simplesmente desapareceria, sendo que sua existncia se iniciaria no momento em que surgisse na mquina do tempo.

Os dois relgios Podemos concordar que o melhor de dois relgios aquele que mais vezes indica a hora certa, correto? Suponhamos ento que devemos escolher entre dois relgios, sendo que um atrasa um minuto por dia, enquanto o outro no funciona. Qual dos dois devemos aceitar? Pelo senso comum, deveramos escolher aquele que atrasa um minuto por dia. Mas, para manter nosso acordo, teramos de escolher aquele que no funciona. Por que? O relgio que atrasa um minuto por dia, uma vez certo, ter de atrasar doze horas ou 720 minutos antes de marcar novamente a hora certa. E, se ele atrasa apenas um minuto por dia, levar 720 dias para atrasar 720 minutos. Em outras palavras, estar certo aproximadamente uma vez a cada dois anos. Por outro lado, o relgio que est parado marca a hora certa duas vezes a cada dia.

A compra do anel Uma mulher entrou em uma joalheria, escolheu um anel no valor de mil reais, pagou e saiu. Respareceu na loja no dia seguinte e perguntou se podia troc-lo por outro. Desta vez escolheu um que valia dois mil reais, agradeceu ao joalheiro amavelmente e preparou-se para sair. O joalheiro, naturalmente, exigiu mais mil reais. Indignada, a jovem falou que j tinha pago a ele no dia anterior o valor de mil reais e que acabava de lhe entregar um anel no valor de mil reais. Portanto, nada lhe devia. Saiu ento da loja, deixando o joalheiro desorientado.

O crocodilo e a criana Um crocodilo rouba uma criana. Quando a me reclama, o crocodilo faz a seguinte proposta: "Devolverei a criana se voc adivinhar se eu a devolverei ou no." A me responde: "Voc no vai devolver a minha criana." O que deve fazer o crocodilo? Se ele devolve a criana, entra em contradio, pois a me errou. Mas, se o crocodilo no a devolve, acontece o mesmo, pois a me respondeu corretamente.

O grande hotel de Hilbert Em 1925, Hilbert apresentou um paradoxo do infinito que ficou mais conhecido como o Hotel de Hilbert. Neste hotel, h infinitos quartos e est sempre lotado, com um hspede em cada quarto. Mas, sempre que chega algum cliente, o gerente solicita que os hspedes pulem de quarto, mudando-se para o quarto ao lado. Assim: O hspede do quarto 1 pula para o quarto 2O hspede do quarto 2 pula para o quarto 3...O hspede do quarto n pula para o quarto n+1 Logo, o paradoxo est na ideia de que, apesar de sempre estar lotado, no Hotel de Hilbert sempre h vagas. Existe, no entanto, um nico problema nesse paradoxo. Para transferir o hspede do quarto 1 para o quarto 2, o quarto 2 deve estar livre, porm para o mesmo estar livre o quarto 3 deve estar livre tambm para transferir o hspede do quarto 2 para o 3, e assim sucessivamente. Por isso, o tempo de espera para liberar o quarto 1 seria infinito, j que, para isso acontecer, o ensimo quarto deve estar livre para a liberao do quarto n-1.

Paradoxo do burro Um burro bom e barato raro. Tudo que raro caro. Logo, um burro bom e barato caro.

Paradoxo do Grupo no Facebook

Em Novembro de 2010, o historiador portugus Bruno Almeida sugeriu um Grupo dos utilizadores que no pertencem a qualquer grupo no Facebook. No mundo do Facebook, no possvel criar este grupo, j que qualquer grupo tem que ter pelo menos um membro - o seu criador. No entanto, o criador de tal grupo no pode ele prprio ser membro do grupo, uma vez que no pode pertencer a qualquer grupo.

Paradoxo do Barbeiro da Cidade Em uma pequena cidade, h apenas um salo de barbearia. Nem todos os homens da cidade vo ao barbeiro. Assim, a populao masculina da cidade pode ser dividida em dois grupos: os que se barbeiam sozinhos e os que vo ao barbeiro. Logo, assumimos que o barbeiro faz a barba de todos os homens que no barbeiam a si mesmos, certo? Porm, o barbeiro faz ou no faz a sua prpria barba? Se no fizer, ele (como "consumidor") deve fazer a prpria barba, ou seja, ele faz a sua barba! Mas se ele faz a prpria barba, sua pessoa (como consumidor) entra no grupo dos que no fazem a prpria barba (por isso vo ao barbeiro). Assim, se ele faz a prpria barba, ele no faz a prpria barba! Paradoxo de Dom Quixote e Sancho Pana Este paradoxo foi criado por Miguel de Cervantes no seu livro Dom Quixote de la Mancha. Sancho Pana, o fiel escudeiro de Dom Quixote, torna-se governador de uma ilha com uma lei muito curiosa. O guardio da ilha deveria perguntar a cada visitante o motivo da visita. Se o visitante responder a verdade, tudo certo. Mas caso mentisse, o visitante seria enforcado. O problema que num belo dia apareceu um visitante que respondeu que visitava a ilha para ser enforcado! E agora? O visitante deveria ou no ser enforcado? Se no o enforcassem, ele teria mentido: portanto deveria ser enforcado. Mas se o enforcassem ele teria falado a verdade e no deveria ser enforcado. Na histria de Cervantes, o governador bonzinho e liberta o visitante.

A conta do restauranteTrs amigos foram comer num restaurante e no final a conta deu R$ 30,00. Fizeram o seguinte: cada um deu R$ 10,00. O garom levou o dinheiro at o caixa e o dono do restaurante disse o seguinte:- "Esses trs so clientes antigos do restaurante, ento vou devolver R$ 5,00 para eles..."E entregou ao garom cinco notas de R$ 1,00. O garom, muito esperto, fez o seguinte: pegou R$ 2,00 para ele e deu R$ 1,00 para cada um dos amigos. No final cada um dos amigos pagou o seguinte:R$ 10,00 - R$ 1,00 que foi devolvido = R$ 9,00.Logo, se cada um de ns gastou R$ 9,00, o que ns trs gastamos juntos, foi R$ 27,00. E se o garom pegou R$ 2,00 para ele, temos:Ns: R$ 27,00Garom: R$ 2,00TOTAL: R$ 29,00Pergunta-se: onde foi parar o outro R$ 1,00???

Resposta:Aps recebermos mais de 2 milhes de e-mails pedindo a soluo desse problema do restaurante, resolvemos colocar a resposta aqui na nossa seo de desafios! H um erro no enunciado no problema, visto que ele prope subtrair R$ 1,00 de cada amigo para depois somar os novos valores e chegar aos R$ 30,00 iniciais. Ora, o que interessa no a soma do que sobrou para cada um, mas sim ONDE esto os R$ 30,00 iniciais!R$ 25,00 esto com o dono do restauranteR$ 2,00 esto com o garomR$ 3,00 esto com os amigosR$ 25,00 + R$ 2,00 + R$ 3,00 = R$ 30,00.Pronto, resolvido!Quer uma explicao mais detalhada? Ento pense da seguinte forma:Se o dono do restaurante deu R$ 5,00 de desconto, a conta final foi de R$ 25,00.R$ 25,00 dividido por 3 = R$ 8,3333 para cada amigo. Como cada um deles recebeu R$ 1,00 de volta:R$ 8,3333 + R$ 1,00 = R$ 9,3333.R$ 9,3333 x 3 = R$ 28,00R$ 28,00 + R$ 2,00 (do garom) = R$ 30,00.

Desafio matemtico do casal Aguiar O casal Aguiar tem vrios filhos. Cada filha tem o mesmo nmero de irmos e irms, e cada filho tem duas vezes mais irms do que irmos. Quantos filhos e filhas existem na famlia?

resposta : Considere "M" o nmero de mulheres e "H" o nmero de homens.Se cada filha tem o mesmo nmero de irmos e irms, temos:M-1 = HE, se cada filho tem duas vezes mais irms do que irmos, temos:M = 2(H-1) => M = 2H-2Substituindo o valor de H na segunda equao:M = 2(M-1)-2M = 2M-2-2M = 4Ento, basta substituir o valor de M na primeira equao para encontrar o H:M-1 = H4-1 = HH = 3Resposta: O casal tem 4 filhas e 3 filhos