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PARANÁ
GOVERNO DO ESTADO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
EUGÊNIO YAMAJI
GEOMETRIA E MOSAICOS COM O SOFTWARE GEOGEBRA
LONDRINA
2011
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EUGÊNIO YAMAJI
GEOMETRIA E MOSAICOS COM O SOFTWARE GEOGEBRA
Unidade Didática apresentada como um dos requisitos necessários na participação do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), idealizado e mantido pela Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED/PR), em convênio com as Instituições Públicas de Ensino Superior (IES). Orientadora: Profa. Dra. Sandra Malta Barbosa.
LONDRINA
2011
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SUMÁRIO
1) INTRODUÇÃO 03
2) GEOMETRIA 04
3) INVESTIGAÇÕES GEOMÉTRICAS 04
4) TECNOLOGIAS 05
5) MOSAICOS 06
6) ATIVIDADES 13
6.1) RETAS 14
6.2) RETÂNGULO 15
6.3) CÍRCULO INSCRITO EM UM TRIÂNGULO 15
6.4) MOSAICO FORMADO POR QUADRADOS I 16
6.5) MOSAICO FORMADO POR QUADRADOS I 16
6.6) MOSAICO FORMADO POR TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS 17
6.7) PAVIMENTAÇÃO COM UM POLÍGONO REGULAR 18
6.8) PAVIMENTAÇÃO COM OCTÓGONOS REGULARES E
QUADRADOS 18
6.9) ÁREA EM AZULEJO 19
6.10) MOSAICO ESTRELADO 20
6.11) COLCHA QUADRADA 20
6.12) MOSAICO COM ARCOS 22
7) REFERÊNCIAS 23
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PRODUÇÃO DIDÁTICO- PEDAGÓGICA
1) INTRODUÇÃO
Este material apresenta sugestões de atividades com o uso do software de
geometria dinâmica Geogebra aplicado à Geometria dos mosaicos.
A utilização da informática na Educação não é recente; há décadas que o uso
de computadores vem sendo pesquisado e aplicado na Educação e se intensificou
com o surgimento dos microcomputadores, da internet, do surgimento de novos
programas e aplicações, da queda nos custos dos equipamentos e serviços e
conseqüente incorporação destas tecnologias pela sociedade.
O uso de tecnologias como calculadoras e computadores foi marcada por
polêmicas, como por exemplo, caso o aluno utilizasse a calculadora, ele não
“aprenderia a fazer contas”. Deve-se enfatizar que a calculadora, bem como dos
computadores, devem ser aplicados para fins bem definidos, onde “as contas” ou
outras operações intermediárias, não sejam os objetivos da aplicação, mas que
estes recursos dêem respostas rápidas, permitindo que os alunos se preocupem em
fazer análises e conjecturas dos resultados obtidos.
As atividades sugeridas neste material apresentam mosaicos em que os alunos
devem fazer a sua construção no software Geogebra. São atividades abertas que
propiciam a investigação, onde cada aluno deve encontrar alternativas para a
construção do seu mosaico. Durante o processo de construção e através da
intermediação do professor, o aluno fará análises e conjecturas. Neste sentido, é
importante o posicionamento do professor para propiciar um ambiente em que os
alunos possam exercer a sua autonomia, observando e descobrindo regularidades e
propriedades das formas geométricas e a sua relação algébrica.
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2) GEOMETRIA
A geometria nasceu das necessidades do homem de resolver problemas
práticos. O historiador grego Heródoto relata que a geometria nasceu no antigo
Egito, onde anualmente devido as cheias do rio Nilo, havia a necessidade de
demarcações das terras, porém existem registros que remontam à época das
antigas civilizações da Mesopotâmia como os tabletes de argila datados do período
1900-1600 a.C., do período babilônico, que fazem menção ao que conhecemos hoje
como Teorema de Pitágoras (GORODSKI, 2008).
No início o estudo da geometria estava mais ligado para solucionar problemas
e facilitar as questões técnicas das aplicações em si, não aparecendo ainda, os
princípios lógicos e as justificativas teóricas em questão, ou seja, eram
simplesmente regras empíricas. A mudança desse quadro foi lenta e gradual, onde
talvez muitos conhecimentos possam não ter registros. Tales de Mileto (624 a.C. –
547 a.C.) é considerado o primeiro homem a fazer descobertas matemáticas
específicas e o introdutor da geometria na Grécia. Um marco na história da
geometria ocorreu por volta dos anos 300 a.C. quando Euclides (325 a.C. – 265
a.C.) escreveu a obra os Elementos. São treze volumes que contém a maior parte
da matemática conhecida na época e se caracteriza pela organização e os critérios
de rigor lógico-dedutivo (GORODSKI, 2008).
3) INVESTIGAÇÕES GEOMÉTRICAS
De acordo com Ponte (2003) as tendências curriculares atuais salientam a
importância do estudo da geometria de forma experimental, indutiva e exploratória,
considerando também as aplicações na vida real.
As Investigações Matemáticas em Geometria podem proporcionar novas
formas de abordar o estudo dessa área proporcionando e estimulando o aluno a
fazer experiências, analisar, traçar hipóteses e conjecturas sobre os resultados
obtidos.
As investigações matemáticas contribuem para perceber aspectos essenciais da atividade matemática, tais como a formulação e teste de conjecturas e a procura e demonstração de generalizações. A exploração de diferentes tipos de investigação geométrica pode
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também contribuir para concretizar a relação entre situações da realidade e situações matemáticas, desenvolver capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação, evidenciar conexões matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da história e da evolução matemática (PONTE, 2003, p.71).
Na investigação matemática, os problemas estão em aberto e o aluno age
como um matemático; ele deve questionar e formular conjecturas a respeito daquilo
que está investigando (PARANÁ, 2008).
De acordo com Borba (2001), as atividades de investigação, ganham destaque
com as propostas pedagógicas experimental com tecnologia, uma vez que esses
recursos permitem resultados e visualizações rápidas, contribuindo desta forma para
as tarefas investigativas que se caracterizam pelas análises e comparações.
4) TECNOLOGIAS
Segundo Borba e Penteado (2001) as inovações educacionais não são
exclusividades do uso de tecnologias informática (TI), pois
na verdade, as inovações educacionais, em sua grande maioria, pressupõem mudança na prática docente, não sendo uma exigência exclusiva daquelas que envolvem o uso de tecnologia informática. A docência, independente do uso de TI, é uma profissão complexa. Nela estão envolvidas as propostas pedagógicas, os recursos técnicos, as peculiaridades da disciplina que se ensina, as leis que estruturam o funcionamento da escola, os alunos, seus pais, a direção, a supervisão, os educadores de professores, os colegas professores, os pesquisadores, entre outros (BORBA e PENTEADO, 2001, p.56).
É importante salientar que, quando o professor trabalha com inovações
educacionais, ele deve estar consciente que pode se deparar com situações
imprevisíveis, pois este tipo de proposta faz com que ele trabalhe fora da sua “zona
de conforto” e isto ocorre também quando trabalhamos com tecnologias
computacionais e portando “o professor é desafiado constantemente a rever e
ampliar o seu conhecimento” (BORBA e PENTEADO, 2001, p.65).
A incorporação de recursos computacionais e a atividade em si não garantem
bons resultados, pois o sucesso depende ainda da abordagem pedagógica do
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professor.
Os resultados do uso de ambientes computacionais são consequências não de características intrínsecas dos próprios ambientes, mais sim da abordagem pedagógica em que esses são inseridos. Daí decorre uma relação de via dupla: por um lado, o sucesso da incorporação de atividades computacionais, na prática do professor, não dependendo das atividades por si só, mas são fortemente determinados pelo papel do professor (GIRALDO; MURUCI, 2010, p.171).
O uso de software de geometria dinâmica é um grande aliado neste tipo de
proposta pedagógica, pois através dele é possível fazer investigações geométricas
de uma forma mais ágil. Os softwares permitem fazer construções rápidas e de
respostas imediatas, o que seria mais moroso se fossem feitas com papel, lápis,
régua, compasso, transferidores e outros instrumentos. Desta maneira é possível
dedicar-se mais tempo na análise dos resultados do que na construção.
Esse suporte tecnológico permite o desenho, a manipulação e a construção de objetos geométricos, facilita a exploração de conjecturas e a investigação de relações que precedem o uso do raciocínio formal. Vários estudos empíricos destacam também que, na realização de investigações, a utilização dessas ferramentas facilita a recolha de dados e o teste de conjecturas, apoiando, desse modo, explorações mais organizadas e completas e permitindo que os alunos se concentrem nas decisões em termos de processo (PONTE, 2003, p.83).
Existem vários programas de geometria dinâmica como Cabri-Géomètre,
Sketchpad, Geometricks, Geogebra, dentre outros. Conforme mencionado, neste
projeto será utilizado o programa Geogebra por ser gratuito e encontra-se instalado
nos laboratórios de informática das escolas estaduais do Paraná.
5) MOSAICOS
A palavra mosaico origina-se do termo “mosaicon” que significa “musa” e
algumas fontes traduzem como “paciência das musas”. De acordo com o dicionário
da língua portuguesa Michaellis (2002), mosaico é um desenho feito com embutidos
de pedras de várias cores; pavimento feito de ladrilhos variados; a arte de fazer
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obras desse gênero; qualquer obra do artefato composto de partes visivelmente
distintas ou Miscelânea.
Os mosaicos são conhecidos desde os povos antigos: assírios, babilônicos,
persas, egípcios, gregos, chineses e outros, e encontram-se presentes até os dias
atuais.
Os primeiros mosaicos conhecidos foram encontrados em pequenos cones de
cerâmica na antiga Suméria apresentado na Figura 1.
Figura1 - Cones de cerâmica.
http://mosaico.pt/index.php?page=templates-and-stylesheets
Os mosaicos, no entanto, podem ser encontrados na própria natureza, tais
como, o abacaxi (ilustrado na Figura 2), jaboti, cobras, favo de abelhas e outros.
Figura 2 – Abacaxi.
A aplicação dos mosaicos pode ser tanto de natureza meramente artística
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quanto prática. Atualmente, eles podem ser feitos de vários tipos de materiais: vidro,
pedras, mármore, cerâmica, papéis coloridos e outros materiais. Eles se encontram
em vitrais, pisos, revestimentos, painéis e em produções digitais.
Os mosaicos podem não ser formados necessariamente por figuras
geométricas, mas a grande relação que existe entre os mosaicos e a Matemática é a
busca de padrões e simetria, conforme podemos observar na Figura 3.
Figura 3 – Mosaico: padrões e simetria.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972) foi um dos grandes artistas que
maravilharam o mundo com as suas obras repletas de geometria como o mosaico
ilustrado na Figura 4. Seus trabalhos são marcados por duas fases: na primeira
esses trabalhos correspondem à realidade visível de cidades e regiões italianas e na
segunda fase, seus trabalhos caracterizam pela imaginação, detalhes e a busca de
regularidades. Apesar de ser artista, ele se dizia mais intimamente ligado aos
matemáticos do que aos seus colegas artistas (BARBOSA, 1993).
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Figura 4 – Mosaico de Escher.
www6.ufrgs.br/espmat/geonoplano/conteudo14.htm
De acordo com Barbosa (1993), “um conjunto de polígonos é uma
pavimentação do plano se, e só se, o conjunto de polígonos cobre sem cruzamentos
o plano” (p.3). Observe que no exemplo de pavimentação na Figura 5, todo ponto do
plano pertence a pelo menos um polígono (cobre o plano) e que não é a intersecção
de polígonos, ou seja, não há cruzamentos.
Figura 5 - Pavimentação do plano.
As pavimentações podem ser feitas tanto com polígonos regulares quanto com
polígonos irregulares. O fato é que em ambos os casos, no encontro entre dois ou
mais vértices a soma dos ângulos internos nesse ponto é sempre 360°, conforme
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ilustrado na Figura 6.
Figura 6 - Soma de 360° nos encontros dos vértices.
As pavimentações com polígonos regulares são comuns em pisos e azulejos
que revestem calçadas, cozinhas, banheiros, decorações de fachadas e outras. Elas
se encontram também na natureza, como nos favos de mel, que são construções de
forma hexagonal, conforme ilustrada na Figura 7.
Figura 7 - Favo de mel.
Nas pavimentações com polígonos regulares observa-se que no ponto de
encontro dos polígonos a soma dos ângulos internos em torno desse ponto deve ser
sempre 360º, conforme apresentado no exemplo da Figura 8, em que cada
hexágono regular possui um ângulo interno de 120º, de forma que no encontro de
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três hexágonos regulares, obtém-se uma soma de 360º.
Figura 8 - Pavimentação com 3 hexágonos regulares.
A pavimentação sem sobreposição com polígonos regulares só é possível com
triângulos equiláteros (Figura 9), quadrados (Figura 10) e hexágonos (Figura 8).
Figura 9 - Pavimentação com 6 triângulos equiláteros.
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Figura 10 - Pavimentação com 4 quadrados.
O Quadro 1 apresenta as possíveis pavimentações com polígonos regulares,
pois a soma dos ângulos internos dos polígonos regulares colocados deve ser
sempre 360º.
Nº de lados Soma dos ângulos
internos (graus)
Medida de cada ângulo interno
(graus)
Nº de polígonos colocados
3 180 60 6
4 360 90 4
5 540 108 x
6 720 120 3
7 900 128,5714 x
8 1080 135 x
9 1260 140 x
10 1440 144 x
11 1620 147,2727 x
12 1800 150 x
13 1980 152,3077 x
Quadro 1 - Possíveis pavimentações com polígonos regulares.
Observa-se no Quadro 1, que multiplicando-se o número de polígonos
colocados pela medida de cada ângulo interno, o resultado deve ser 360° para que
possa haver uma pavimentação sem sobreposição de polígonos, portanto, isto só é
possível para polígonos regulares de 3, 4 e 6 lados.
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6) ATIVIDADES
As atividades 6.1, 6.2 e 6.3 serão exercícios de inicialização para a
manipulação do software, ou seja, são exercícios para a familiarização de algumas
ferramentas e recursos do programa e também para relembrar alguns conceitos e
propriedades da geometria e da álgebra.
Em todas as atividades o professor deve verificar a validade das construções,
isto é, analisar as propriedades propostas nas atividades de tal forma que ao
movimentar os pontos livres da construções, as propriedades das figuras devem
permanecer inalteradas.
Durante o processo de construção o professor deve instigar os alunos a
formularem conjecturas, intermediando de tal forma que os levem a estabelecer
relações e generalizações.
Embora algumas atividades possuam algumas perguntas, elas são problemas
abertos, ou seja, não é possível prever antecipadamente as dúvidas e os resultados
obtidos pelos alunos, mas podemos elencar possíveis definições, conceitos e
propriedades que de alguma forma podem surgir durante o processo de elaboração
destas atividades e o professor deve dar ênfase à geometria analítica que é o objeto
de estudo deste material:
Plano cartesiano
Coordenadas cartesianas de um ponto
Distância entre dois pontos
Reflexão de pontos
Ponto médio
Eixo de simetria
Reta, semi-reta e segmento de reta
Equação geral e reduzida da reta
Posições relativas entre duas retas
Coeficientes angular e linear da equação da reta
Trigonometria no triângulo retângulo
Distância entre ponto e reta
Distância entre duas retas
Ângulos
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Ângulos entre duas retas
Polígonos
Polígonos regulares
Diagonais de um polígono
Triângulos
Classificação dos triângulos quanto ao número de lados
Classificação dos triângulos quanto à medida dos ângulos internos
Bissetriz, mediatriz e altura de um triângulo
Incentro, baricentro e circuncentro de um triângulo
Quadriláteros
Quadrado
Retângulo
Circunferência, semicircunferência, círculo e arcos
Equação da circunferência
Posições relativas entre um ponto e uma circunferência
Posições relativas entre reta e circunferência
Posições relativas entre duas circunferências
Perímetro e Área de polígonos e círculos
6.1) RETAS
a) Nesta atividade mantenha visível o eixo xy e a malha quadriculada (menu
Exibir: Eixos, Malha) e também a Janela de Álgebra;
b) Trace uma reta qualquer utilizando a ferramenta Reta definida por dois pontos;
c) Observe que aparecerá na Janela de Álgebra dois pontos com a suas
coordenadas em Objetos Livres e a equação geral da reta em Objetos
Dependentes;
d) Clique com o botão direito do mouse sobre a equação da reta na Janela de
Álgebra ou sobre a reta na Janela Geométrica. No menu da reta, selecione a
forma da equação reduzida da reta: Equação y = kx + d e observe o resultado
da nova equação na Janela de Álgebra;
e) Identifique na Janela de Álgebra, quais os valores de k e d;
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f) Com a ferramenta Mover (Seta), clique e arraste um dos pontos e observe a
nova equação na Janela de Álgebra;
g) Ainda com a ferramenta Mover, clique e arraste a reta e observe a equação da
reta na Janela de Álgebra;
h) Relate o que você observou.
6.2) RETÂNGULO
a) Nesta atividade mantenha visível apenas a Janela de Álgebra;
b) Construa um retângulo de medidas 8 cm por 5 cm;
c) Verifique o seu perímetro e a sua área.
6.3) CÍRCULO INSCRITO EM UM TRIÂNGULO
a) Nesta atividade mantenha visível apenas a Janela de Álgebra;
b) Construa um triângulo escaleno qualquer e a seguir insira um círculo inscrito
neste triângulo de forma que as suas extremidades sejam tangentes aos lados
do triângulo conforme ilustração da figura 11 a seguir.
Figura 11 – círculo inscrito em um triângulo escaleno
c) Qual o perímetro do triângulo? E do círculo?
d) Qual a área do triângulo não ocupada pelo círculo?
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6.4) MOSAICO FORMADO POR QUADRADOS I
Construa o mosaico da figura 12 a seguir formado por quadrados.
Figura 12 – mosaico formado por quadrados
6.5) MOSAICO FORMADO POR QUADRADOS II
a) Construa o mosaico do exercício anterior (figura 12) sem utilizar a ferramenta
de construção de polígonos regulares.
b) Observe a figura 13 a seguir. Se a equação da reta a é y = x – 2, qual é a
equação da reta b que é paralela à reta a?
Figura 13 – mosaico com quadrados – equações de retas
c) Ainda observando a figura 13, responda: qual é a equação da reta c?
Justifique.
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6.6) MOSAICO FORMADO POR TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS
a) Construa o mosaico conforme a figura 14 a seguir que é formado por triângulos
equiláteros sem utilizar a ferramenta de construção de polígonos regulares.
Figura 14 – mosaico formado por triângulos equiláteros
b) Observando a figura 15 a seguir, justifique por que a equação da reta a é
y = 1,73x.
Figura 15 – mosaico formado por triângulos eqüiláteros – equações da reta
c) Ainda observando a figura 15, responda: qual a equação da reta b?
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6.7) PAVIMENTAÇÃO COM UM POLÍGONO REGULAR
Nas atividades 6.5 e 6.6, os mosaicos foram construídos apenas com quadrados ou
triângulos equiláteros, ou seja, foi feita a pavimentação do plano apenas com um tipo
de polígono regular. Construa um mosaico que seja formado apenas por um tipo de
polígono regular, sem utilizar a ferramenta de construção de polígonos regulares.
6.8) PAVIMENTAÇÃO COM OCTÓGONOS REGULARES E QUADRADOS
A pavimentação do plano também é possível, utilizando-se mais de um polígono
regular.
a) Construa o mosaico da figura 16 a seguir em que são utilizados apenas
octógonos regulares e quadrados.
Figura 16 – Mosaico com octógono regulares e quadrados
b) Qual é a distância entre os pontos A(0,0) e B(2,2) da figura 17 a seguir?
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Figura 17 – distância entre os pontos A e B
6.9) ÁREA EM AZULEJO
Esta atividade é uma adaptação da questão 29 do Banco de Questões da Obmep
(Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) 2010 – nível 3.
A figura 18 foi montada com 12 azulejos quadrados de lados iguais a 10 cm.
Figura 18 – 12 azulejos quadrados
a) Construa a figura 18.
b) Qual é a área da região destacada (pintada de cinza)?
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6.10) MOSAICO ESTRELADO
a) Construa o mosaico ilustrado na figura 19 a seguir de modo que ele esteja
inserido em um retângulo de 12 cm por 10 cm.
Figura 19 – mosaico estrelado
b) Qual a área da região estrelada (área em branco)?
6.11) COLCHA QUADRADA
Esta atividade é uma adaptação da questão 81 banco de questões da Obmep
(Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) 2010 – nível 1.
a) Uma colcha quadrada em branco e cinza é feita com quadrados e triângulos
retângulos isósceles conforme ilustrado na figura 20. Construa esta colcha e
responda: a parte em cinza representa qual percentagem da colcha?
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Figura 20 – colcha quadrada
b) Considere o Ponto P de coordenadas (2,6) e a reta r: y= x – 2 da figura 21.
Qual a distância entre o ponto P e a reta r?
Figura 21 – colcha quadrada: distância entre ponto e reta
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6.12) MOSAICO COM ARCOS
Construa o mosaico da figura 21 a seguir formado por círculos e arcos.
Figura 21 – mosaico com arcos
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7) REFERÊNCIAS
BARBOSA, R. M. Descobrindo Padrões em Mosaicos. São Paulo: Atual, 1993. BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte, Autêntica, 2001, 3.ed. 2.reimp., 2007 (Coleção Tendências em Educação Matemática, 2).
GIRALDO, V.; MURUCI, M. L. Funções Reais em Ambientes de Geometria Dinâmica: tecnologia e saberes docentes. Recife: SEBEM, 2010.
GORODSKI, C. Um breve panorama histórico da geometria. Revista Matemática Universitária. Rio de Janeiro: SBM, p.14-29, nº 44, jun. 2008.
MICHAELIS, H. Moderno Dicionário da Língua Portuguesa. São Paulo:
Melhoramentos, 2000. OBMEP. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Banco de Questões 2010. 2010.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação – SEED. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: SEED, 2008.
PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte, Autêntica, 2003, 2.ed., 2009.
