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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
Parte I: Introducao a Sequencias
Parte I: Introducao a Sequencias 1/ 17
Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
DefinicaoTipos de SequenciasIgualdade de Sequencias
Definicao
Definicao de Sequencia
f : N → R1 7→ a12 7→ a2...
...n 7→ an...
...
Notacao
f (n) = an
an → termo geral
(an)n∈N
a1, a2, · · · , an, · · ·
Parte I: Introducao a Sequencias 2/ 17
Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
DefinicaoTipos de SequenciasIgualdade de Sequencias
Definicao
ATENCAO
(an)n∈N 6= {an : n ∈ N}
((−1)n)n∈N = (a1 = −1, a2 = 1, a3 = −1, · · · , a2n =1, a2n+1 = −1, · · · )
{(−1)n : n ∈ N} = {−1, 1}
Parte I: Introducao a Sequencias 3/ 17
Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
DefinicaoTipos de SequenciasIgualdade de Sequencias
Tipos de Sequencias
Sequencia Constante
Todos os termos sao iguaisan = 1 −→ 1, 1, 1, · · ·
Sequencia AlternadaAlternador (−1)n
an = (−1)n1
n−→ −1,
1
2,−1
3,
1
4· · ·
Sequencia definida Recursivamenteou Indutivamente
a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2
Sequencia de Fibonacci
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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
DefinicaoTipos de SequenciasIgualdade de Sequencias
Exemplo de sequencia
A sequencia (an)n∈N =
(1
n
)n∈N
Observe que
a1 = 1, a2 =1
2, · · · , an =
1
n, · · ·
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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
DefinicaoTipos de SequenciasIgualdade de Sequencias
Representacao Geometrica
Podemos representar geometricamente uma sequencia de duasmaneiras: como pontos a reta ou como pontos sobre o planocartesiano.
Na Reta R
A sequencia
(1
n
)n∈N
Parte I: Introducao a Sequencias 6/ 17
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DefinicaoTipos de SequenciasIgualdade de Sequencias
Representacao Geometrica
A sequencia(1
n
)n∈N
No plano R2
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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
DefinicaoTipos de SequenciasIgualdade de Sequencias
Exemplo
Na reta R((−1)n
1
n
)n∈N
ou −1,1
2,−1
3, · · · , (−1)n
1
n, · · ·
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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
DefinicaoTipos de SequenciasIgualdade de Sequencias
Representacao Geometrica
A sequencia((−1)n
1
n
)n∈N
No plano R2
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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
DefinicaoTipos de SequenciasIgualdade de Sequencias
Igualdade de Sequencias
(an) = (bn) ⇐⇒ an = bn, para todo n.
Atencao!
(an) =
(1,
1
2,
1
3, · · · , 1
n, · · ·
)e (bn) =
(1,
1
2, 1,
1
3, 1,
1
4, · · ·
)
mesmos elementos
a3 =1
3e b3 = 1
a3 6= b3
Sequenciasdiferentes
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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
Sequencia MonotonaSequencia Limitada
Monotonicidade
Decrescente
Se an ≥ an+1, para todo n ∈ NCrescente
Se an ≤ an+1, para todo n ∈ N
Procedimentos para verficar se uma sequencia e crescente oudecrecscente
1o analisar o sinal de an − an+1;
2oan+1
an≤ 1 ou
an+1
an≥ 1;
3o estudar o sinal da derivada da funcao f de domınio real, ondef (n) = an.
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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
Sequencia MonotonaSequencia Limitada
Monotonicidade
Sequencias crescentes (ou decrescentes) sao chamadas sequenciasmonotonas
No caso de an < an+1 (ou an > an+1) dizemos que a sequencia(an) e estritamente crescente (ou estritamente decrescente)
Parte I: Introducao a Sequencias 12/ 17
Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
Sequencia MonotonaSequencia Limitada
Sequencia Limitada
Limitada Superiormente
Se existe uma constante real M(cota superior) tal que an ≤ M,para todo n ∈ N.
Limitada Inferiormente
Se existe uma constante real N(cota inferior) tal que an ≥ N,para todo n ∈ N.
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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
Sequencia MonotonaSequencia Limitada
Sequencia Limitada
Limitada
Quando for limitadasuperior e inferiormente.
Ilimitada
Quando nao forlimitada.
Axioma do Completamento
Todo conjunto nao vazio de numeros reais e limitado possuimaximo e mınimo.
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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
Sequencia MonotonaSequencia Limitada
Exemplos
A sequencia (n)n∈Nlimitada inferiormente por 1
nao existe limite superior
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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
Sequencia MonotonaSequencia Limitada
Exemplos
A sequencia(−n2
)n∈N
limitada superiormente por-1
nao existe limite inferior
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Sequencia de NumerosSequencia Monotona e Limitada
Sequencia MonotonaSequencia Limitada
Exemplos
A sequencia
(2n
n + 1
)n∈N
limitada superiormente por 2
limitada inferiormente por 1
chamada limitada
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