8/15/2019 Pauta Control Nº3-Ca_lculo I-2º2015 (1)

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Coordinación Matemáticas y estad́ısticasCálculo I

Profesores: M. Saintard, S. Azócar, S. Silva

O. Ramos, A. Lizana, J. Muñoz

Control III, Forma A

1. Demuestre las siguientes identidades trigonométricas:

a)  sen(3x)

sen(x) − cos(3x)

cos(x)  = 2  (1 punto)

b) (sec(u) − tan(u))(cosec(u) + 1) =  cot(u) (1 punto)

Rp:a) Juntando la expresión a la izquierda:

sen(3x)cos(x) − cos(3x)sen(x)sen(x)cos(x)

Luego note que

sen(3x)cos(x) − cos(3x)sen(x) = sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

Ası́, obtenemos que2sen(x)cos(x)

sen(x)cos(x)   = 2

b) Multiplicando los términos en la parte izquierda:

sec(u)cosec(u) + sec(u) − tan(u)cosec(u) − tan(u) =

sec(u)cosec(u) − tan(u) =1

cos(x)sen(x) − sen(x)

cos(x)  =

1 − sen2(x)

cos(x)sen(x)

 =

cos2(x)

cos(x)sen(x) =

  cos(x)

sen(x) = cotan(x)

1

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2. Considere la función trigonométrica

f (x) = 1 + 1

2sen(x− π

2)

a) Grafique la función en [−2π, 2π], indicando amplitud y periodo (1.5 pun-tos)

b) Determine los valores de x ∈ [0, 2π] tal que  f (x) = 32

  (0.5 puntos)

Rp:

a)

b) Observando el gráfico, esto ocurre en  x =  π

3. Resuelva los siguientes ĺımites:

a) limx→−1

x2 − 1x2 + 3x + 2

  (1 punto)

b) limx→4

√ 2x + 1 − 3√ x− 2 −

√ 2

(1 punto)

Rp:

a) limx→−1

x2 − 1x2 + 3x + 2

  = limx→−1

(x− 1)(x + 1)(x + 1)(x + 2)

  = limx→−1

x− 1x + 2

 = −2

1  = −2

b) limx→4

√ 2x + 1

−3

√ x− 2 −√ 2 ×

√ 2x + 1 + 3

√ 2x + 1 + 3 ×√ x−

2 +√ 

2√ x− 2 + √ 2 =

limx→4

(2x− 8)(√ x− 2 +

√ 2)

(x− 4)(√ 

2x + 1 + 3)= 2 lim

x→4

√ x− 2 +

√ 2√ 

2x + 1 + 3=

 2√ 

2

3

2

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Algunas formulas útiles:

sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)

sen(x− y) = sen(x)cos(y) − cos(x)sen(y)cos(x + y) = cos(x)cos(y) − sen(x)sen(y)cos(x− y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

DURACIÓN: 70 minutos

3

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Coordinación Matemáticas y estad́ısticasCálculo I

Profesores: M. Saintard, S. Azócar, S. SilvaO. Ramos, A. Lizana, J. Muñoz

Control III, Forma B

1. Demuestre las siguientes identidades trigonométricas:

a)  2

cosec2(x) +

  1

sec(2x) = 1  (1 punto)

b)   tan(u) + 2cos(u)cosec(u) = sec(u)cosec(u) + cot(u) (1 punto)

Rp:

a) Notando que la expresión de la izquierda es equivalente a

2sen2(x) + cos(2x)

ycos(2x) = cos2(x) − sen2(x)

LLegamos a

2sen2(x) + cos2(x)−

sen2(x) = sen2(x) + cos2(x) = 1

b)sen(u)

cos(u) + 2

cos(u)

sen(u) =

sen2(u) + 2cos2(u)

sen(u)cos(u)  =

1 + cos2(u)

cos(u)sen(u) =

  1

sen(u)cos(u) +

  cos(u)

sen(u) = sec(u)cosec(u) + cot(u)

2. Considere la función trigonométrica

f (x) = 1

2cos(x− π

2) − 1

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a) Grafique la función en [−2π, 2π], indicando amplitud y periodo (1.5 pun-tos)

b) Determine los valores de x∈

[0, 2π] tal que  f (x) =−

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2  (0.5 puntos)

Rp:

a)

b) Observando el gráfico, el punto es  x =   3π2

3. Resuelva los siguientes ĺımites:

a) limx→4

3 −√ 

5 + x

1

−

√ 5

−x

(1 punto)

b) limx→2

x2 − 4x + 4x2 − 2x   (1 punto)

Rp:

a) limx→4

3 −√ 

5 + x

1−√ 

5 − x× 3 +

√ 5 + x

3 +√ 

5 + x× 1 +

√ 5 − x

1 +√ 

5 − x=

limx→4

(4− x)(1 +√ 

5− x)−(4− x)(3 +

√ 5 + x)

= − limx→4

1 +√ 

5− x3 +

√ 5 + x

= −13

b) limx→2

x2 − 4x + 4x2

−2x

  = limx→2

(x− 2)2x(x

−2)

 = limx→2

x− 2x

  = 0

Algunas formulas útiles:

sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)

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