PC 2013 1 EP10 Eqs Ineqs Grafico Tan Cot Sec Csc

EP 10 2013-1 Equaes-Inequaes-Grfico-Tan-Sec-Cot-Csc - Pr-Clculo

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CEDERJ

EP 10

Pr-Clculo

Caro aluno

Vamos continuar com o estudo de resoluo das equaes e inequaes trigonomtricas, agora para

aquelas nas quais aparecem tangente, cotangente, secante ou cossecante. Nesse EP10 vamos construir

o grfico e suas transformaes para cada uma dessas quatro funes. Esses assuntos voc vai encontrar

tambm no Livro de Pr-Clculo, Volume 2, mdulo 4, aula 29.

Equaes e inequaes trigonomtricas

Lembramos que resolver uma equao (ou inequao) trigonomtrica significa encontrar os

valores dos ngulos que pertencem ao intervalo dado, que tornam a equao (ou inequao) verdadeira.

Se nenhum intervalo for dado inicialmente, supomos que queremos todos os ngulos reais que satisfazem

a equao ou inequao. Especial ateno deve ser tomada para equaes e inequaes que contenham

uma das funes tangente, cotangente, secante ou cossecante porque o domnio dessas funes no so

todos os valores reais.

Lembramos tambm que para resolver uma inequao trigonomtrica, procure determinar

primeiro a soluo da equao associada para ter uma ideia do problema. Depois, faa um esboo no

crculo trigonomtrico para determinar a soluo da inequao.

Exemplo 1 - Equaes e inequaes mais simples, que no usam identidades trigonomtricas.

a) .

Soluo: . Sabemos que

.

Como

e

, conclumos que o ngulo

um

ngulo do 1. quadrante tal que .

Pelas simetrias no crculo trigonomtrico, na figura ao lado,

ou

um ngulo do 4. quadrante tal que .

Como a tangente tem perodo igual a , as solues da equao so:

ou

, onde um inteiro.

Obs. a resposta tambm pode ser

ou

, onde um inteiro.


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b) . ,

, onde inteiro.

Soluo: a equao associada , cujas solues encontradas no exemplo anterior so

ou

, onde nmero inteiro.

Mudando a varivel em , fazendo , temos que .

Resolvendo, temos que . Voltando varivel original , temos que:

.

Observando no crculo trigonomtrico do item anterior, podemos concluir que os valores dos ngulos

que resolvem essa inequao esto nos intervalos

, onde k inteiro.

OBS. sabemos que

, no entanto ERRADO escrever

porque como se trata de um intervalo,

obrigatrio que o extremo esquerdo seja menor que o extremo direito, e sabemos que

.

Vamos atribuir valores para e verificar se o intervalo ou parte do intervalo est contido no intervalo

dado ,

soluo.

soluo.

soluo.

, mas como

, conclumos que

, logo

soluo.

, mas como

,

conclumos que

, logo

soluo.

Soluo final:

.

c)

.

A equao associada , cujas solues nesse intervalo so

ou

.

Observando no crculo trigonomtrico, podemos concluir que os

valores dos ngulos que resolvem essa inequao esto nos

intervalos

.


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d) Determinar o domnio de e resolver .

Domnio de :

, onde inteiro.

Domnio de :

Temos que resolver duas equaes associadas, e , e duas inequaes

e .

Mudando de varivel, fazendo , temos que resolver cada equao, e , e as inequaes e .

, onde inteiro.

ou

onde inteiro.

Observao: como os ngulos

e

so congruentes,

poderamos ter escrito a resposta acima da seguinte forma:

onde inteiro.

As duas respostas so corretas.

Observando no crculo trigonomtrico, podemos concluir que os valores dos ngulos que resolvem as duas inequaes esto nos intervalos:

, isto ,

, onde inteiro.

OBS. aqui ERRADO escrever

PORQUE

, inteiro

e o extremo esquerdo de qualquer intervalo tem que ser obrigatoriamente menor do que o extremo

direito.

Voltando varivel original , temos que:

Ou seja,

.

Verifique na reta numrica abaixo que os pontos

, que esto fora do

domnio tambm no pertencem aos intervalos acima.

Portanto, podemos concluir que

, onde inteiro.


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Exemplo 2 - Equaes e inequaes que requerem uso de identidades trigonomtricas.

a) Determinar o domnio de

e resolver a equao .

Domnio de : para inteiro, (i)

e (ii)

.

(i)

.

para temos que

(ii)

.

Portanto,

.

.

Como a funo tangente tem perodo igual a , temos que .

Mas,

(*)

Sabemos que as funes tangente e cotangente tem a propriedade dos ngulos complementares, isto ,

, logo

(**)

Logo,

. Mudando a varivel, fazendo , temos que,


Voltando varivel original , obtemos

.

Logo a soluo :


b) Resolva a equao .

Observe que

, onde um inteiro.

c) Resolva a inequao para .

Primeiro observamos que

e

.

Usando a identidade podemos simplificar a inequao,

escrevendo toda a inequao em termos de .


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Mudando a varivel, fazendo , obtemos .

Resolvendo a equao associada , obtemos

, logo a razes so

e

.

Analisando o sinal, o trinmio positivo fora das razes, ou seja,

se

ou .

Voltando varivel original , temos que:

se e s se

ou .

. Nesse caso, .

Assim,

.

para todo real, logo basta determinar tal que , que so os mesmos

onde . Logo,

.

. Nesse caso, .

Assim,

ou

Logo,

ou

Portanto, a soluo

Grficos das funes tangente, secante, cotangente e cossecante.

Grfico da tangente.

Observando os segmentos representativos da tangente no crculo trigonomtrico, podemos

concluir que a funo tangente crescente no intervalo

.

Ainda observando no crculo trigonomtrico, podemos ver que medida que aumenta, se

aproximando do ngulo

,

, o correspondente valor da aumenta ilimitadamente e o ponto

do grfico da tangente, fica cada vez mais prximo da reta

. Quando tal situao acontece

no grfico, dizemos que a reta vertical

uma assntota vertical do grfico da funo. Observamos

que voc estudar as "assntotas" na disciplina Clculo I.

Continuando a observar o crculo, podemos ver que medida que diminui, se aproximando do

ngulo

,

, o correspondente valor da diminui ilimitadamente e o ponto do


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grfico da tangente, fica cada vez mais prximo da reta

. A reta vertical

outra assntota

vertical do grfico da tangente.

A tangente tem perodo igual a , o grfico da tangente se repete nos intervalos

, onde um nmero inteiro.

Veja os applets sobre o grfico da tangente na aula 11 da plataforma.

Podemos ver que qualquer valor real do eixo t do crculo trigonomtrico corresponde ao valor da

tangente de algum ngulo , isso significa que a imagem da tangente o intervalo .

Grfico da cotangente.

Observando os segmentos representativos da cotangente no crculo trigonomtrico, podemos

concluir que a funo cotangente decrescente no intervalo .

Ainda observando no crculo trigonomtrico, podemos ver que medida que diminui se

aproximando do ngulo 0 ( ), o correspondente valor de aumenta ilimitadamente e o ponto

do grfico da tangente fica cada vez mais prximo da reta . A reta vertical uma

assntota vertical do grfico da funo.

Continuando a observar o crculo, podemos ver que medida que aumenta se aproximando do

ngulo ( , o correspondente valor de diminui ilimitadamente e o ponto do grfico

da cotangente fica cada vez mais prximo da reta . A reta vertical outra assntota vertical

do grfico da cotangente.

A cotangente tem perodo , o grfico da cotangente se repete nos intervalos ,

onde um nmero inteiro. Veja os applets sobre o grfico da cotangente na aula 11 da plataforma.

Podemos ver que qualquer valor real do eixo t do crculo trigonomtrico corresponde ao valor da

cotangente de algum ngulo , isso significa que a imagem da cotangente o intervalo .

Veja os applets sobre o grfico da cotangente na aula 11 da plataforma.


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Grfico da secante.

A construo do grfico da secante mais simples comparando-o com o grfico do cosseno. Vamos

esboar primeiro o grfico no subconjunto do domnio

.

Sabemos que em

a funo cosseno decrescente e

, isto significa que, para

:

.

Logo, a funo secante crescente em

.

Sabemos que em

a funo cosseno decrescente e

isto significa que, para

:

.

Logo, a funo secante crescente em

Sabemos que em

a funo cosseno crescente e , isto significa que,

para

:

Logo, a funo secante decrescente em

.

Sabemos que em

a funo cosseno crescente e , isto significa que,

para

:

.

Logo, a funo secante decrescente em

.


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A funo cosseno tem duas propriedades importantes, que induzem s propriedades da funo secante.

1. A funo cosseno par, pois:

seu domnio simtrico em relao origem 0 e .

Consequentemente, a funo secante par. pois

seu domnio simtrico em relao origem 0 e

.

2. , para todo , isto , para todo .

Consequentemente,

.

Assim, ,

, isto , ou ,

, inteiro.

Para terminar de construir o grfico vamos usar as propriedades:

a secante uma funo par, isso significa que podemos refletir o grfico

no eixo .

a secante tem perodo , isso significa que podemos repetir o grfico nos

intervalos do domnio:

e

onde nmero inteiro.

Grfico da cossecante.

A construo do grfico da cossecante mais simples comparando-o com o grfico do seno. Vamos

esboar primeiro o grfico no subconjunto do domnio .

Sabemos que em

a funo seno crescente e


:

.

Logo, a funo cossecante decrescente em

.

Sabemos que em

a funo seno decrescente e


:

.

Logo, a funo cossecante crescente em


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Sabemos que em

a funo seno decrescente e , isto significa que,

para

:

.

Logo, a funo cossecante crescente em

.

Sabemos que em

a funo seno crescente e , isto significa que,

para

:

.

Logo, a funo cossecante decrescente em

.

A funo seno tem duas propriedades importantes, que induzem s propriedades da funo cossecante.

1. A funo seno mpar, pois:

seu domnio simtrico em relao origem 0 e .

Consequentemente, a funo cossecante mpar., pois

seu domnio simtrico em relao origem 0 e

.

2. , para todo , isto , para todo .

Consequentemente,

.

Assim, , , isto , ou , , inteiro.

Para terminar de construir o grfico vamos usar as propriedades:

a cossecante uma funo mpar, isso significa que podemos refletir o grfico em relao origem (

o mesmo que refletir no eixo , em seguida refletir no eixo ).

a cossecante tem perodo , isso significa que podemos repetir o grfico nos intervalos do domnio: e

onde um inteiro.

E agora, aos exerccios:


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Exerccio 1 Em cada item, encontre a soluo e marque-a no crculo trigonomtrico.

a) em .

b)

em

c) em .

d) , em [0,2 ].

Exerccio 2 D o domnio de cada funo.

a)

b)

Exerccio 3 Para cada funo, faa o que se pede.

(i) Se preciso, use identidades trigonomtricas para simplificar a funo.

(ii) Encontre o domnio da funo contido no intervalo dado.

(iii) Descreva uma possvel sequncia de transformaes para obter o grfico da funo.

(iv) Esboce o grfico marcando pelo menos 6 (seis) pontos, no eixo em que possvel identificar pontos no grfico da funo.

(v) D a imagem da funo.

a)

.

b)

.

c)

Sugesto: para simplificar, multiplique por tanto o numerador quanto o denominador da frao contida na expresso de .

d)

e)

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