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AD 01 2013-1 Pr-Clculo
CEDERJ
Avaliao a Distncia 1 Pr-Clculo
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1. Questo [3,0 pontos]:
Considere o polinmio .
(a) (0,4) Esse polinmio no possui raiz inteira e possui raiz
racional (tipo
, com e inteiros e
). Quais so as possveis razes racionais desse polinmio?
(b) (0,7) Encontre uma raiz racional e determine o polinmio de
grau 3 que o resultado da diviso de por , onde a raiz encontrada
nesse mesmo item.
(c) (1,0) Fatore , isto , escreva como produto de fatores
lineares (tipo ) e/ou quadrticos irredutveis (tipo , que no possui
razes reais)
(d) (0,9) Analise o sinal da funo
se o grfico
da funo est dado ao lado. Responda na forma de unio de pontos ou
na forma de unio de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos no
tm nenhum ponto em comum).
RESOLUO: (a) As possveis razes racionais no inteiras so os
divisores do termo independente (nesse caso 3)
divididos pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau
(nesse caso 4) diferentes de e .
Logo, so os quocientes dos nmeros: pelos nmeros: .
Portanto, as possveis razes racionais so:
.
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(b) Para encontrar quais das possveis razes so de fato razes,
podemos calcular e verificar se , onde uma possvel raiz.
raiz de .
Para achar , resultado da diviso de por
, vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini:
4 5 1
Portanto .
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(c) Pela soluo do item (a), temos:
.
Procurando as razes de :
Observamos que todos os coeficientes de so positivos, logo as
suas possveis razes so negativas.
Tambm sabemos que se , ento .
Assim, as razes de devero estar entre as seguintes razes de
:
Vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir por , onde
uma possvel raiz de e verificar se o resto dessa diviso igual a
zero.
no raiz de
raiz de
Logo,
.
Razes do trinmio de 2 grau:
.
Logo, esse trinmio no possui razes reais, isto , irredutvel, a
fatorao :
ou
ou
ou .
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(d) Pela fatorao de , podemos construir a tabela de sinais de
:
Observao: .
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Por leitura no grfico de , podemos construir a tabela de sinais
de
Juntando as duas tabelas de sinais anteriores, construmos a
tabela de sinais de
Portanto,
em
em
em
2. Questo [3,0 pontos]:
(a) (0,9) Complete o quadrado dos polinmios de grau 2, isto ,
dos trinmios de segundo grau:
Lembre que para completar quadrado de um trinmio na varivel ,
devemos deix-lo escrito na forma
. Se for preciso, consulte o texto complementar "Completar
Quadrado", disponvel na semana 1 da plataforma. Deixe escrito todo
o desenvolvimento.
(b) (0,9) Esboce o grfico de cada polinmio, indique os pontos em
que cortam os eixos coordenados. Analise o sinal de cada
polinmio.
(c) (1,2) Encontre o domnio da funo
.
Observao: para determinar o domnio voc vai precisar ordenar
alguns nmeros reais.
Se quiser, pode usar a mquina de calcular para encontrar valores
aproximados dos nmeros irracionais.
Mas, CUIDADO, se os resultados forem iguais ou muito prximos, no
pode comparar os nmeros porque
a mquina calcula valores aproximados e no h como decidir qual
deles maior. Nesse caso teria que
usar propriedades operatrias de nmeros reais para comparar os
nmeros.
Se preferir, use apenas propriedades operatrias dos nmeros reais
para fazer a ordenao.
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RESOLUO:
(a)
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(b)
.
Essa a equao de uma parbola de vrtice
e como o
coeficiente de igual a
, a parbola tem concavidade voltada
para cima.
No eixo temos que
.
No eixo temos que , mas
para todos os
valores de .
Justificativa:
.
Portanto, o grfico no corta o eixo e corta o eixo no ponto
.
Sinal de
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Essa a equao de uma parbola de vrtice
e como o
coeficiente de
igual a , a parbola tem concavidade
voltada para baixo.
No eixo temos que
No eixo temos que
.
.
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Portanto, o grfico corta o eixo no ponto
e o eixo em
e
.
Sinal de
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.
Essa a equao de uma parbola de vrtice
e como o
coeficiente de
igual a , a parbola tem concavidade
voltada para cima.
No eixo temos que
.
No eixo temos que
.
Portanto, o grfico corta o eixo no ponto
e o eixo em
e
.
Sinal de
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(c) Domnio de valores de que satisfazem simultaneamente as
quatro restries abaixo.
(I) (II) (III) (IV) .
Pelo item (b) podemos concluir:
(I) : para todo
(II) :
.
(III) :
ou
Resolvendo a quarta restrio:
(IV)
.
Vamos precisar ordenar os nmeros:
.
Uma possibilidade de ordenao usando as propriedades operatrias
com nmeros reais.
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.
Sabemos que e
(verdadeira)
Logo
.
Portanto a ordenao dos 6 nmeros :
Outra possibilidade de ordenao usando mquina de calcular para
encontrar valores aproximados.
;
;
;
Representando as solues das restries (I), (II), (III) e (IV) na
reta numrica:
O domnio da funo a interseo das solues das restries (I), (II),
(III) e (IV):
.
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3. Questo: [3,3 pontos]:
Considere a funo
ATIVIDADE DE LEITURA
Na tarefa a seguir queremos que voc construa o grfico da funo
.
Para isso ter que usar vrios assuntos que aprendeu.
Dever lembrar para quais valores reais podemos calcular o valor
absoluto e a raiz quadrada.
Usando a definio de valor absoluto, que diz que,
, poder reescrever a expresso
que define a funo . Observe que o valor absoluto aparece duas
vezes. Se usarmos a definio de valor absoluto duas vezes, a funo
partida que expressar a funo ter quatro leis distintas.
No o que vamos pedir que voc faa aqui. Estaremos pedindo para
usar a definio de valor absoluto
apenas para , que aparece em e assim a funo partida que
expressar a funo ter duas leis distintas.
Voc ter que saber esboar o grfico de cada uma dessas funes. Isso
depender dos grficos das
funes . Lembra deles? Voc ter que saber tambm transladar
horizontalmente e verticalmente os grficos elementares.
Se voc tem alguma dvida nesses conceitos, vale a pena revisar
esses tpicos antes de comear essa questo.
TAREFA:
(a) (0,5) Calcule o domnio da funo . Escreva sua resposta na
forma de intervalo ou unio de
intervalos disjuntos.
(b) (0,8) Analisando a expresso , escreva a funo como uma
funo
partida em duas leis. Preste bastante ateno no intervalo de
definio de cada uma dessas leis.
(c) (1,2) Esboce o grfico da funo . Este grfico deve ser
explicado a partir de
transformaes (reflexes e/ou translaes horizontais e/ou translaes
verticais) em grficos de funes
mais elementares. Diga quais as transformaes que voc usou para
chegar ao grfico pedido. Esboce cada
um desses grficos intermedirios. Coloque nos grficos alguns
pontos importantes para compreenso dos
mesmos.
(d) (0,4) Esboce o grfico da funo . Justifique o seu grfico.
Coloque no grfico alguns pontos importantes para compreenso do
mesmo.
(e) (0,4) Esboce o grfico de . Justifique o seu grfico
Coloque
no grfico alguns pontos importantes para compreenso do
mesmo.
RESOLUO:
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(a) Para que possamos calcular a expresso preciso que Mas,
. Portanto,
.
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(b) Como
ento,
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(c) Considere a funo
Podemos considerar a seguinte sequncia de transformaes de
funes:
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Considere a funo
Podemos considerar a seguinte sequncia de transformaes de
funes:
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Grfico da funo .
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(d)
Devemos fazer uma reflexo em torno do eixo- da parte do grfico
da funo que est abaixo do eixo-
.
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(e)
Uma sequncia de transformaes de funes :
.
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4. Questo: [0,7 ponto]:
Esboce o grfico da funo . Este grfico deve ser explicado a
partir de
transformaes (reflexes e/ou translaes horizontais e/ou translaes
verticais) no grfico da funo
. Diga quais as transformaes que voc usou para chegar ao grfico
pedido. Esboce cada um
desses grficos intermedirios. Coloque nos grficos alguns pontos
importantes para compreenso dos
mesmos.
Ateno: aqui no queremos que voc use a definio do valor absoluto.
Com isso estaremos verificando
se voc percebeu que temos vrias formas de resolver um mesmo
exerccio.
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RESOLUO:
Podemos considerar a seguinte sequncia de transformaes de
funes:
