PDS - processamento digital de sinal

8/17/2019 PDS - processamento digital de sinal

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Filtros digitais

Felipe A. S. Gonçalves

Universidade Federal de Uberlândia

[email protected]

17 de março de 2016

Felipe A. S. Gonçalves (UFU) Instrumentação 17 de março de 2016 1 / 18

http://find/http://goback/


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Overview

1 Processamento digital de sinais

MotivaçãoComputador digitalTransformada ZFiltros Digitais




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Motivação


http://goforward/http://find/http://goback/


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Motivação

Medidor de tensão RMS utilizando rede resistiva simples:


http://find/


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Motivação

Medidor de tensão RMS utilizando rede resistiva simples:∞k =−∞ f (kT

2)




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Motivação

Medidor de tensão RMS utilizando rede resistiva simples:∞k =−∞ f (kT

2)


http://find/


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Motivação

Analise no MATLAB:




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Motivação

Visualização das amostras digitais:




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Motivação

Calibrar e estimar erros:


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Computador digital


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Computador digital

Porque modelar um computador digital?Seria posśıvel um modelo para o computador digital?


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Transformada Z

Forma de onda amostrada:f T w

∗ = f (t )s (t )

Então:

f T w ∗ = f (t )

∞k =−∞ u (t −KT )− u (t −KT − T w )

Se T w é bem pequeno f (t ) = f (kT )

Temos que:f T w

∗ =∞

k =−∞ f (kT )[u (t − KT )− u (t − KT − T w )]


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Transformada Z

Aplicando Laplace no sinal amostrado:F T w

∗(s ) =∞

k =−∞ f (−kT )[e −kTs

s −

e KT −T w s

s ]

F T w ∗(s ) =

∞

k =−∞ f (kT )[1−e −T w s

s ]e −kTs

Se expandirmos e −T w s considerando T w pequeno temos:F T w

∗(s ) =∞

k =−∞ f (kT )[T w s s

]e −kTs

Voltando o sinal amostrado apara o doḿınio do tempo:

f T w ∗

(t ) = T w ∞

k =−∞ f (kT )δ (t − kT )

Felipe A. S. Gonçalves (UFU) Instrumentação 17 de maŗco de 2016 10 / 18

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Transformada z

Amostrador ideal:

f ∗(t ) =

∞

k =−∞ f (kT )δ (t − kT )

O amostrador real aproximado tem duas partes:

Amostrador ideal

T w

Amostrador real simplificado (flat-topped)


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Transformada Z

Concluindo o processo de modelagem do computador digital:

ZOH:


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Transformada Z

ZOH:

Mantém o ultimo valor amostrado

Aproximação em escada da função f(t)Cada impulso resulta em um degrau de amplitude f(t)

Como a resposta ao impulso equivale a F.T. do sistema então:

G h(s ) = u (t )− u (t − T ) = 1s −

e −sT

s = G h(s ) =

1−e −sT

s


T f d Z



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Transformada Z

ZOH:

Mantém o ultimo valor amostrado

Aproximação em escada da função f(t)Cada impulso resulta em um degrau de amplitude f(t)

Como a resposta ao impulso equivale a F.T. do sistema então:

G h(s ) = u (t )− u (t − T ) = 1s −

e −sT

s = G h(s ) =

1−e −sT

s


T f d Z

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Transformada Z

Fica evidente a necessidade de uma transformada que contenha umainformação sobre a amostragem:

F ∗(s ) =∞

k =0 f (kT )e −kTs

Para isso definimos z = e Ts :

F (s ) =∞

k =0 f (kT )z −k

De tal forma que f (kT ) ⇐⇒ F (z ):


T f d Z



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Transformada Z

Isso fica claro fazendo a transformada z de uma rampa discretizadaf (kT ) = kT

Função amostrada no doḿınio do tempo:

f ∗(t ) =∞

k =0 kT δ (t − kT )

Aplicando Laplace:

F ∗(s ) =∞

k =0 kTe −kTs

Aplicando z:

F ∗(z ) =∞

k =0 kTz −k = T

∞

k =0 kz −k = T (z −1 + 2z −2 + 3z −3 + ...)

zF ∗

(z ) = T (1 + 2z −1

+ 3z −2

+ ...)zF ∗(z )− F (z ) = (z − 1)F (z ) = T (1 + 2z −1 + 3z −2 + ...)

Como: 11−z −1

= T (1 + 2z −1 + 3z −2 + ...)

F (z ) = T z (z −1)2


Filt di it i

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Filtros digitais

Vantagens:

Não estão sujeitos a não linearidades do circuito

Circuito reduzido

Coeficientes armazenados em memória

Estabilidade (FIR)Filtros analógicos podem ser facilmente convertidos em digitais

Desvantagens:

Filtros IIR podem ser instáveis

Maior número de coeficientes para determinar f c

Influência da amostragem

Necessidade de anti-aliasing


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Obrigado!


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