Esforços em peças lineares.

Peça linear em equilíbrio estático sob a acção de um carregamento genérico e uma secção transversal S:

Orientação do eixo e seccionamento da peça e através da secção de corte S:

Os esforços serão positivos nas faces positiva e negativa se tiverem os sentidos indicados na figura seguinte:

No caso de a peça linear estar sujeita a forças actuantes num único plano que contém também o seu eixo, só existem três esforços: N, V2 que se representa simplesmente por V e o momento flector M1 que se representa simplesmente por M. Os sentidos positivos dos esforços na face positiva e na face negativa representam-se na figura seguinte.

Os gráficos que representam a variação dos esforços ao longo do eixo da peça linear denominam-se diagramas de esforços e serão objecto de estudo em Mecânica II.

Exercício de aplicação: determinação de esforços em estruturas

Problema P4.1 das folhas Apontamentos sobre equilíbrio de estruturas

Determine os esforços (momento flector, esforço transverso e esforço normal) na secção de meio vão das seguintes barras.

Exercício de aplicação: determinação de esforços em estruturas

Problema P4.1 das folhas Apontamentos sobre equilíbrio de estruturas (continuação)

Exercício de aplicação: determinação de esforços em estruturas

Problema P4.3e das folhas Apontamentos sobre equilíbrio de estruturas

Considere a estrutura representada sujeita ao carregamento indicado.

a) Determine todas as reacçõesde apoio.

b) Trace os diagramas de corpolivre de todas as barras.

c) Verifique que o nó F está emequilíbrio.

d) Determine os esforços a meiovão da barra DE.

Determinação de esforços em secções sujeitas a cargas concentradas

No caso de uma dada secção estar submetida à acção de uma carga ou momento concentrado, então os esforços correspondentes terão valores distintos nas secções imediatamente antes e após a aplicação dessa solicitação.

Carga concentrada segundo o eixo da barra ⇒ descontinuidade no esforço normal;Carga concentrada perpendicular ao eixo da barra ⇒ descontinuidade no esforço transverso;Momento concentrado ⇒ descontinuidade no momento flector.

Note-se que um apoio ao longo do vão de uma barra tem como efeito a aplicação de carga(s) concentrada(s) nas correspondentes secções, sendo estas cargas as reacções de apoio. Assim, nestas secções os esforços associados são descontínuos.

Exercício de aplicação: determinação de esforços em estruturas

Problema 1 da colectânea Problemas de Esforços

Considere a estrutura representada na figura.

a) Determine todas as reacçõesde apoio;

b) Trace os diagramas de corpolivre de todas as barras.

Exercício de aplicação: determinação de esforços em estruturas

Problema 2 da colectânea Problemas de Esforços

Considere a estrutura representada na figura. Determine o momento flector na secção D da barra DF.

Exercício de aplicação: determinação de esforços em estruturas

Problema P4.10 das folhas Apontamentos sobre equilíbrio de estruturas

Considere a viga representada na figura, existente no plano XY e sujeita ao carregamento indicado.

a) Calcule as reacções no encastramento A.

b) Trace os diagramas de corpo livre das barras AB, BC e CD.

Propriedades de um Campo Instantâneo de Velocidades de um Corpo Rígido versuscampo de momentos de um sistema de forças

Fórmula propagação de velocidades de um corpo rígido vs Fórmula de propagação de momentos

Elementos de redução:

Invariantes:

Propriedade projectiva

Eixo helicoidal instantâneo vs Eixo central de um sistema de vectores

𝐌B = 𝐌A+BA× 𝐑𝐯B = 𝐯A+𝝎×AB

𝐯A, 𝝎 𝐌A , 𝐑

𝝎, 𝐯A·𝝎𝐑,𝐌A · 𝐑

𝐯A · 𝝎 = 𝐯A · 𝝎𝐌A · 𝐑 = 𝐌A · 𝐑

𝑄 = 𝑂 +𝑅 ×𝑀𝑂

𝑅2+ 𝜆𝑅𝑄 = 𝑂 +

ω × Ԧ𝑣𝑂ω2 + 𝜆ω

Problemas planos

centro instantâneo de rotação (CIR)

Se forem conhecidas as direcções do deslocamento elementar de dois pontos A e B, basta traçar linhas perpendiculares a esses deslocamentos, AC e BC, a partir dos pontos A e B para localizar o CIR. Nesse caso, há quatro possibilidades:(i) A e B têm deslocamentos elementares

nulos, logo o corpo está em repouso elementar;

(ii) um dos pontos tem deslocamento elementar nulo, logo o corpo está em rotação elementar e esse ponto é o CIR;

(iii) as linhas AC e BC são paralelas, logo o corpo está em translação elementar;

(iv) as linhas AC e BC são coincidentes, logo é necessário conhecer não só a direcção do deslocamento elementar em A e B, como também o respectivo valor (relativo).

O PTV aplicado a um corpo rígido

Um corpo rígido está em equilíbrio se e só se o trabalho virtual de todas as forças fornulo para qualquer deslocamento virtual, que seja um movimento elementar de corporígido.

Invariância do trabalho relativamente ao ponto de redução

O trabalho é uma grandeza escalar sendo, portanto, invariante face a transformações de coordenadas (o produto interno de dois vetores não depende da orientação dos referencial em quesão escritas as coordenadas das forças e dos deslocamentos).O cálculo do trabalho virtual é também independente do ponto do corpo rígido em que é feitaa redução do sistema de forças.

O PTV aplicado ao equilíbrio de uma partícula

Uma partícula está em equilíbrio se e só se o trabalho virtual de todas as forças fornulo para qualquer deslocamento virtual.

O PTV aplicado a um corpo rígido

Um corpo rígido está em equilíbrio se e só se o trabalho virtual de todas as forças for nulo para qualquer deslocamento virtual, que seja um movimento elementar de corpo rígido.

A condição dos trabalhos virtuais

O trabalho virtual das forças de ligação é nulo para qualquer deslocamento virtual compatível com as ligações.

O PTV aplicado aos sistemas de corpos rígidos

Um sistema de corpos rígidos está em equilíbrio se e só se o trabalho virtual de todas as forças aplicadas for nulo para qualquer deslocamento virtual compatível com as ligações.

Aplicações: Sistemas hipoestáticos e sistemas isostáticos.

No caso de sistemas isostáticos é primeiro necessário introduzir artificialmente uma libertação, o que permite desde logo alcançar um duplo feito:

(i) a incógnita pretendida passa a poder realizar trabalho;

(ii) a estrutura tornada hipostática passa a poder mover-se. A introdução da libertação cinemática deve ser acompanhada pela consideração explícita da reacção ou esforço correspondente, uma vez que essa variável estática assume agora o papel de uma força aplicada.

Metodologia geral para sistematizar a aplicação do PTV à determinação de reacções de apoio ou esforços de estruturas isostáticas:

1. Introduzir libertação correspondente à reacção ou esforço pretendido;

2. Identificar corpos rígidos;

3. Determinar centros instantâneos de rotação, direcções de translação e identificar corpos em repouso;

4. Relacionar rotações virtuais (e translações);

5. Escrever a equação do trabalho virtual;

6. Obter o valor da incógnita pretendida.

Exercício de aplicação: determinação de esforços em viga usando o PTV

Problema 2 da colectânea Problemas de Princípio dos Trabalhos Virtuais

Considere a viga Gerber representada na figura sujeita ao carregamento indicado.

Por aplicação do P.T.V. calcule

(a) o momento flector na secção C; (b) o momento flector na secção E;

(c) o esforço transverso na secção C−, ou seja, na secção imediatamente à esquerda da secção C; (d) o esforço transverso na secção C+, ou seja, na secção imediatamente à direita da secção C; (e) o esforço normal na secção B; (f) a reacção vertical no apoio A;

(g) a reacção vertical no apoio C; (h) a reacção vertical no apoio G.

Exercício de aplicação: determinação de esforços em viga usando o PTV

Problema 3 da colectânea Problemas de Princípio dos Trabalhos Virtuais

Considere a estrutura representada na figura sujeita ao carregamento indicado.

Por aplicação do P.T.V. calcule

(a) o momento flector na secção B da barra AB;

(b) o esforço axial na secção C;

(c) o esforço transverso na secção C.

Exercício de aplicação: determinação de esforços em viga usando o PTV

Problema 6 da colectânea Problemas de Princípio dos Trabalhos Virtuais

Considere a estrutura representada na figura sujeita ao carregamento indicado.

Por aplicação do P.T.V. calcule o esforço normal na barra GH.

Exercício de aplicação: determinação de esforços em viga usando o PTV

Problema 10 da colectânea Problemas de Princípio dos Trabalhos Virtuais

Considere a estrutura representada na figura sujeita ao carregamento indicado.

Por aplicação do P.T.V. determine:

(a) o esforço normal na secção H;

(b) o esforço transverso na secção I;

(c) o momento flector na secção

D da barra DF.