Universidade Federal do Cear Centro de Tecnologia Disciplina: Topografia Curso: Engenharia Ambiental Professor: Bruno de Athayde Prata Nota de Aula Fundamentos de Planimetria 1. Introduo

Conforme definido no tpico de definies gerais sobre Topografia, a Topometria divide-se em Planimetria e Altimetria.

A Planimetria o ramo da Topometria que estuda e estabelece procedimentos e mtodos para a medida de ngulos e distncias em um plano horizontal. Ou seja, a Planimetria prima por conceber uma vista superior (vista em planta) das caractersticas topogrficas de um dado terreno.

Em Planimetria podemos ter trs tipos de distncia: a distncia horizontal, a qual corresponde distncia em projeo (distncia em planta topogrfica), a distncia oblqua (ou distncia inclinada) e a distncia de superfcie. Estes trs tipos de distncias so ilustrados na Figura 1, apresentada abaixo.

Na Figura 1, dados dois pontos P e Q, a distncia horizontal representada por dPQ, a distncia oblqua representada por di e a distncia de superfcie representada por dPQ.

Figura 1: Tipos de distncias planimtricas.

No que concerne aos ngulos horizontais, estes podem ser de dois tipos: rumos e azimutes.

Os azimutes so ngulos horizontais, que partem do Norte (verdadeiro ou magntico) at o alinhamento, variando de 0 a 360, no sentido horrio, sem a necessidade de identificao do quadrante onde se encontram.

Os rumos so ngulos horizontais, que partem do Norte ou do Sul (verdadeiro ou magntico) at o alinhamento, variando de 0 a 90, no sentido horrio ou anti-horrio, necessitando da identificao do quadrante onde se encontram.

2. Medio de distncias e de ngulos horizontais A medio de distncias horizontais pode se dar de trs formas: medio direta,

medio indireta ou medio eletrnica. A escolha do mtodo de medio vai ser funo, essencialmente, das caractersticas do relevo do terreno e da preciso requerida para o levantamento.

P

Q

di d'PQ

dPQ

Os mtodos diretos podem ser a medio por meio de diastmetros (trenas, correntes de agrimensor, fios de nvar) ou por meio do passo aferido, os mtodos indiretos fazem uso do nvel ou do teodolito, enquanto a medio eletrnica utiliza equipamentos especiais.

A medio por meio de diastmetros ocorre da seguinte forma: dados dois pontos A e B materializados no terreno por meio de estacas de madeira, coloca-se uma baliza no centro de cada estaca e efetua-se a medio de eixo a eixo de cada baliza. A medio por meio de diastmetros sujeita aos seguintes erros: erro de leitura, desvio vertical das balizas, desvio horizontal do diastmetro e catenria (deflexo originada devido, principalmente, ao peso prprio do diastmetro).

A Taqueometria consiste no emprego de um taquemetro (teodolito que efetua medies em um plano vertical), o qual realiza a medio de distncias horizontais com base em leituras realizadas em uma mira graduada.

A telemetria faz uso de equipamentos mecnicos, ticos ou eletrnicos, para a medio de distncias horizontais.

Ao aplicarmos o teodolito na obteno de ngulos, podem ser utilizados diversos mtodos, sendo o mtodo direto o mais empregado.

No mtodo direto, devem ser efetuadas as seguintes operaes: Centralizar e nivelar o aparelho na estaca; Zerar a leitura angular do aparelho; Efetuar a visada de r e fixar a leitura do aparelho; Efetuar a visada de vante e efetuar a leitura do ngulo.

3. Levantamento de poligonais

Em Topografia, uma poligonal uma seqncia de segmentos de reta, os quais consistem em ligaes entre pontos topogrficos levantados. Uma poligonal pode ser de trs tipos:

Poligonal aberta, quando no retorna ao ponto inicial nem a nenhum dos pontos j medidos.

Poligonal fechada, quando a medio retorna ao ponto inicial, formando uma rea e possibilitando verificao.

Poligonal amarrada, quando a medio chega a algum ponto de coordenadas j conhecidas, permitindo verificao.

As poligonais abertas so mais utilizadas na locao de estradas e canais,

enquanto as poligonais fechadas so empregadas no levantamento de reas. O procedimento de clculo de poligonais ser composto das seguintes etapas:

Clculo e distribuio do erro de fechamento angular. Clculo das coordenadas parciais. Clculo e distribuio do erro de fechamento linear. Determinao do ponto mais a oeste. Clculo das coordenadas totais. Clculo de reas.

A seguir, todos estes itens sero descritos em detalhes.

3.1 Clculo e distribuio do erro de fechamento angular Da geometria plana, sabe-se que o somatrio dos ngulos internos de um

polgono dado por:

ai = (n-2) 180

em que: ai: i-simo ngulo interno. n: nmero de vrtices da poligonal.

Deste modo, o erro de fechamento angular, denotado por eANG, ser a

discrepncia entre o somatrio dos ngulos internos medidos em campo ( ai_medidos) e o valor terico ( ai_calculado) obtido pela equao (1).

eANG = ai_medidos - ai_calculado

A seguir, na Tabela 1, apresentado um exemplo retirado de Sousa (2001), para

clarificar o clculo e a distribuio do erro de fechamento angular.

Tabela 1: Dados de campo de uma poligonal fechada. Estao Ponto visado ngulo medido d(m)

A E (r)

11200'15'' 147,048. B (vante)

B A

7524'35'' 110,404. C

C B

20205'05'' 72,373. D

D C

5650'10'' 186,593. E

E D

9340'20'' 405,441. A

Fonte: Sousa (2001). Somando-se os ngulos internos medidos, chega-se a um valor de 54000'25''.

Com base na equao (1), sabe-se que o somatrio dos ngulos internos de um polgono com 5 lados equivale 540, logo o erro de fechamento angular igual 25''.

A correo angular (ou compensao angular), denotada por CANG, dada por:

CANG = eANG/n

A razo desta forma de compensao pode ser explicada como segue. No se sabe ao certo em qual ou em quais vrtices da poligonal se deu o erro de medio. Deste modo, deve-se distribuir, de forma equitativa, o erro mdio entre todas as estaes. Pode-se observar que a compensao na verdade o erro mdio por estao, isto , o erro total dividido pelo nmero de estaes.

Analisando-se o exemplo em foco, tem-se que CANG = 5''. Portanto, todos os ngulos internos da poligonal devero ser corrigidos em 5''. A discrepncia entre o somatrio dos ngulos internos medidos e calculados pode ser positiva ou negativa.

(1)

(2)

(3)

Se o erro angular for positivo, a compensao dever ser feita por subtrao, pois se procedssemos de outra forma, isto , por adio, estaramos aumentando o erro. De forma anloga, caso o erro de fechamento angular seja negativo, deve-se proceder com a soma da compensao com o valor de cada ngulo interno da poligonal. Os ngulos corrigidos so apresentados abaixo, na Tabela 2.

Tabela 2: ngulos internos corrigidos.

Estao Ponto visado ngulo medido

A E (r)

11200'10'' B (vante)

B A

7524'30'' C

C B

20205'0'' D

D C

5650'05'' E

E D

9340'15'' A

3.2 Clculo das coordenadas parciais Partindo-se da leitura de um azimute, inerente ao alinhamento respectivo a uma

das arestas da poligonal, possvel determinar os azimutes dos demais alinhamentos, de acordo com a expresso abaixo:

Azi+1 = Azi +180+ Ai

em que:

Azi+1: azimute de vante; Azi: azimute conhecido, determinado para o alinhamento anterior; Ai: ngulo interno corrigido.

Se o valor do azimute de vante for maior do que 360, este dever ser subtrado

de 360, para que esta primeira revoluo no sistema de coordenadas no seja considerada no cmputo do azimute.

Tomando como base o exemplo, em foco, sabendo que AzA-B = 21158'50'', tem-se que:

AzB-C = 21158'50'' + 1800'0'' + 7524'30'' 3600'0'' = 10723'20'' AzC-D = 10723'20'' + 1800'0'' + 20205'0'' 3600'0'' = 12928'20'' AzD-E = 12928'20'' + 1800'0'' + 5650'05'' 3600'0'' = 618'25'' AzE-A = 618'25'' + 1800'0'' + 9340'15'' = 27958'40'' AzA-B = 27958'40'' + 1800'0'' + 9340'15'' = 27958'40''

O ltimo clculo efetuado acima funciona como uma verificao: se, a partir do

azimute calculado para o ltimo alinhamento for possvel se chegar ao mesmo azimute inicial, ento os clculo efetuados foram coerentes.

De acordo com Borges (1992), as coordenadas parciais so as projees de um vrtice de uma poligonal nos eixos Norte-Sul e Leste-Oeste. As coordenadas parciais utilizam o princpio das coordenadas polares, nas quais um ponto pode ser identificado por meio de um ngulo e de uma distncia.

(4)

Com base nessas duas informaes, possvel obter as coordenadas topogrficas do ponto de interesse. Dado o alinhamento A-B, de comprimento lA-B, ilustrado abaixo na Figura 2, tem-se que:

xA-B = lA-B sen(AzA-B)

yA-B = lA-B cos(AzA-B)

Tambm se pode trabalhar com o Rumo no lugar do Azimute, bastando que se

tenha o cuidado de interpretar o quadrante em que se encontra o alinhamento para a determinao correta das coordenadas parciais.

Figura 2: Coordenadas parciais. Em coordenadas parciais habitual se empregar a seguinte conveno: se x

positivo, ento o ponto est em Este; caso contrrio, o ponto est em Oeste. De forma anloga, se y maior do que zero, o ponto est em Norte; caso contrrio, o ponto est no Sul. Devido este fato, tambm corriqueira a denominao Coordenadas Norte/Este ou Coordenadas Norte/Leste.

Assim, com base nos dados da Tabela 1, podem ser calculadas as coordenadas parciais para a poligonal adotada como exemplo, conforme ilustrado na Tabela 3.

Tabela 3: Obteno das coordenadas parciais.

Estao

Ponto visado

ngulo medido

d(m)

Coordenadas Parciais

x y Leste Oeste Norte Sul

A E (r)

11200'15'' 147,048 -77,887. -124,739. B (vante)

B A

7524'35'' 110,404 105,358 -32,995. C

C B

20205'05'' 72,373. 58,886 -46,007. D

D C

5650'10'' 186,593 20,497 185,454. E

E D

9340'20'' 405,441 -103,856. 18,271. A

(6)

(5)

N

S

EW

AzA-B

A

B

Bx

yB

3.3 Clculo e distribuio do erro de fechamento linear No caso do erro de fechamento angular, sua determinao era possvel por meio

da comparao entre os valores angulares medidos e o valor terico calculado. Contudo, no caso do erro de fechamento linear, no existe um valor calculvel que sirva como marco de referncia.

Como obter ento o erro de fechamento linear? Para tanto, pode-se partir do seguinte raciocnio: se o ponto final da poligonal fechada deve coincidir com o ponto inicial da mesma, ento a variao de abscissas e de ordenadas deve ser igual zero.

Deste modo, podem ser obtidos os erros nas direes x e y, denotados respectivamente por ex e ey, como segue:

ex = Este + Oeste

ey = Norte + Sul

O valor Este pode ser obtido somando-se todas as abscissas de valor positivo (Este). Os valores Oeste, Norte e Sul podem ser obtidos de maneira anloga. pertinente salientar que os valores de Oeste e Sul tero valor negativo.

O clculo do erro linear, denotado por eLIN, parte do seguinte raciocnio: dados os erros ex e ey, estes correspondem aos catetos de um tringulo retngulo, conforme ilustrado na Figura 3. Assim, o valor de pode ser obtido pelo Teorema de Pitgoras (vide Equao (9)).

Figura 3 Determinao grfica do erro de fechamento linear.

22yxLIN eee +=

Como foi feito no caso do erro de fechamento angular, o erro de fechamento

linear tambm ser distribudo. Tal compensao ser feita com base em um fator de proporcionalidade inerente a cada alinhamento. O erro ser distribudo com base na proporo entre o comprimento de cada alinhamento e o somatrio dos comprimentos de todos os alinhamentos da poligonal (permetro). Deste modo, tem-se que:

Pl

eCx ixi =

(7)

(8)

ey

ex

eLIN

(9)

(10)

Pl

eCy iyi =

em que: Cxi: compensao da coordenada parcial xi; Cyi: compensao da coordenada parcial yi; li: comprimento do i-simo lado da poligonal; P: permetro da poligonal.

Analisando novamente o exemplo em foco, as compensaes podem ser

calculadas, conforme exposto na Tabela 4:

Tabela 4: Clculo das coordenadas parciais corrigidas. Coordenadas Parciais (m) Correes (m)

Coordenadas corrigidas (m)

x y Cx Cy x y -77,887 -124,739 0,005 0,004 -77,882 -124,734 105,358 -32,995 0,004 0,003 105,362 -32,992 55,866. -46,007. 0,0025. 0,002. 55,869. -46,005. 20,497. 185,454. 0,006. 0,005. 20,503. 185,459.

-103,856. 18,271. 0,0035. 0,002. -103,852. 18,273. 0,021. 0,016. 0,000. 0,000.

3.4 Determinao do ponto mais a Oeste

Para a elaborao da planta topogrfica de uma poligonal, pertinente a determinao do ponto mais a Oeste. Isso se deve, essencialmente, a dois fatores:

Propiciar o enquadramento do desenho no papel. Calcular a rea da poligonal.

Ao se obter o ponto mais a Oeste, possvel efetuar o clculo das coordenadas

totais. Nessas coordenadas, o ponto mais a Oeste ser deslocado para a origem de um novo sistema de coordenadas. Deste modo, o desenho poder ser mais facilmente enquadrado na prancha.

No procedimento a ser apresentado para o clculo de reas de poligonais fechadas, ser necessrio o conhecimento do ponto mais a Oeste.

A obteno do ponto mais a Oeste pode ser descrita como segue; partindo-se de qualquer estaca da poligonal, a qual ser adotada como origem provisria, calcula-se a soma acumulada das abscissas. O ponto que apresentar o menor valor ser o ponto mais a Oeste.

imprescindvel ressaltar que a escolha do ponto inicial a ser arbitrado como origem provisria no influencia na determinao do ponto mais a Oeste. Partindo-se de qualquer vrtice da poligonal, chegar-se- ao mesmo resultado.

A seguir, no Quadro 1, ilustrado o algoritmo para a determinao do ponto mais a Oeste em uma poligonal.

(11)

Quadro1: Algoritmo para obteno do ponto mais a Oeste.

Para clarificar o procedimento descrito acima, ser resolvido um exemplo

numrico. Para tanto, sero usadas as coordenadas corrigidas constantes na Tabela 4, sendo adotado o ponto D como origem provisria.

Estaca Xacumulado

D 0 20,503

E 20,503 -103,852

A -83,349 -77,882

B -161,231 105,362

C -55,869 55,869

D 0

O ponto B possui o maior valor negativo, constituindo-se no ponto mais a Oeste

para o exemplo em anlise. Para exemplificar que a escolha da origem provisria no altera o resultado do

algoritmo, ser adotado o ponto C como vrtice inicial.

Estaca Xacumulado

C 0 55,869

D 55,869 20,503

E 76,372 -103,862

A -27,480 -77,882

B -105,362 105,362

C 0

O leitor pod os

exemplos ilustrados os dois exemplos.

Mas e se ao rio ponto mais a Oeste? ual zero, inerente ao po

Passo 1: Adotar uma estao da poligonal como origem provisria.

Passo 2: A partir da origem arbitrada, acumular algebricamente as abscissas para as demais estaes.

Passo 3: Selecionar o ponto com abscissa acumulada de menor valor. e observar que, apesar do valor algbrico acumulado para ser diferente, o ponto B constitui-se no ponto mais a Oeste para

se escolher aleatoriamente a origem provisria, parta-se do prp Neste caso o menor valor da soma algbrica acumulada ser ig

nto mais a Oeste. Este clculo pode ser observado abaixo.

Estaca Xacumulado

B 0 105,362

C 105,362 55,869

D 161,231 20,503

E 181,734 -103,852

A 77,882 -77,882

B 0

3.5 Clculo das coordenadas totais

De acordo com Borges (1992), as coordenadas totais so as acumulaes algbricas das coordenadas parciais, tomando-se como base o ponto mais a Oeste. Procede-se desta forma para que o desenho topogrfica seja melhor enquadrado na prancha e para o clculo das reas pelo mtodo das coordenadas totais.

Deve-se ressaltar que o clculo das coordenadas totais, assim como foi procedido para a determinao do ponto mais o Oeste, deve ser feito com base nas coordenadas parciais corrigidas.

A seguir, ser apresentado um exemplo com a determinao das coordenadas totais com base nos dados constantes na Tabela 3. oportuno observar que a estao B o ponto mais a Oeste, conforme foi mostrado na seo anterior.

Estaca Xacumulado Yacumulado

B 0 105,362 0

-32,992

C 105,362 55,869 -32,992 -46,005

D 161,231 20,503 -78,997 185,459

E 181,734 -103,852 106,462 18,273

A 77,882 -77,882 124,735 -124,735

B 0 0

A seguir, na Figura 3, ilustrado o desenho da poligonal, com base nas

coordenadas totais.

Figura 4 Visualizao grfica das coordenadas totais para o exemplo em foco.

3.5 Clculo de reas pelo mtodo das coordenadas totais Existem diversos modos para o clculo para o clculo de reas de poligonais

fechadas. O mais intuitivo seria dividir a poligonal em figuras geomtricas conhecidas, calcular essas reas e somar os resultados obtidos. Entretanto, de acordo com o formato da poligonal, essa decomposio nem sempre pode resultar em figuras de fcil determinao de suas reas. Alm disso, essa decomposio em diversas partes pode tornar o processo de cmputo da rea total bastante laborioso.

O mtodo do clculo de rea de poligonais fechadas pelo mtodo das coordenadas totais bastante gil e pode ser aplicado em poligonais de diversas formas, com uma quantidade de vrtices maior ou igual a 3 estaes, sem nenhuma alterao no procedimento de clculo.

A prova matemtica do mtodo das coordenadas totais pode ser encontrada em Borges (1992). A seguir, no Quadro 2, apresentado o algoritmo para o clculo de reas por meio do mtodo das coordenadas totais.

Quadro2: Algoritmo para o clculo da rea de poligonais fechadas pelo mtodo das coordenadas totais.

No algoritmo exposto no Quadro2, pp so os chamados produtos positivos e pn

so os produtos negativos. Borges (1992) apresenta uma regra prtica para a determinao dos produtos positivos e negativos: produtos positivos so aqueles em que se multiplica o valor da abscissa de um ponto pelo valor da ordenada do ponto posterior,

Passo 1: Determinar o ponto mais a Oeste. Passo 2: Sejam n estaes, a partir do ponto mais a Oeste (n=1), calcular: pp = Xn Yn+1 pn = - Xn Yn-1 Passo 3: Calcular a rea A como: A = (pp + pn)/2

N

E

y B

B

A

E

C

D

enquanto produtos negativos so aqueles em que se multiplica o valor da abscissa de um ponto pelo valor da ordenada do ponto anterior.

Partindo desse raciocnio, basta dispor os pares ordenados conforme ilustraFigura 5 abaixo. Procedendo desta forma, se torna bastante simples o clculprodutos positivos e negativos.

A seguir, ser ilustrado o processo para clculo da rea da poligonalcoordenadas totais foram calculadas acima.

pp = 0 (-32.992) + (105,352) (-78,997) + (161,231) (106,462) +

+ (181,734) (134,735) + 77,882 0 = 31510,3m2

pp = -[0 (-105,362) + (-32,992) (161,231) + (-78,997) (181,734) + + (106,462) (77,882) + 124,735 0] = -(-11384,3) = 11384,3m2

Produtos negativos

X1 X2 X3 X4 ...

Xn X1

Y1 Y2 Y3 Y4 Yn Y1

Produtos positivos Figura 5 Regra prtica para o clculo de reas pelo mtodo das coordenadas totais.

Portanto, tem-se que a rea da poligonal dada por (31510,28+11384,

21447,3m2. Desenhando a poligonal em foco no AutoCAD e calculando sua rmeio do software supracitado, chega-se ao valor de 21409,2m2. Tal discrepinferior 0,2% da rea calculada pelo software, sendo que tal erro se devarredondamentos feitos no clculo manual. Nota-se que a magnitude do edesprezvel sob o ponto de vista prtico.

3.6 Clculo de reas extrapoligonais

No levantamento de reas, em muitos casos no possvel levantar um tpor meio de uma poligonal, pois acidentes geogrficos, corpos hdricos, vegedentro outros obstculos, impedem que a poligonal venha a ter uma forma geombem definida.

Nestes casos, usa-se uma poligonal de apoio e fazem-se medies sistemde distncias desta poligonal at as reais limtrofes do terreno, de modo a permclculo de reas denominadas extrapoligonais.

Como no se dispem das funes analticas que descrevem as rextrapoligonais, usualmente so empregados mtodos numricos, ou seja, maproximativos que propiciam solues aproximadas no que concerne ao cmpureas extrapoligonais.

A seguir, sero apresentados os trs mtodos numricos mais empregadTopografia, conforme Borges (1992), a saber: Bezout, Simpsom e Poncelet.

( )MEdSB 22 +=

do na o dos cujas

3)/2 = ea por ncia e aos rro

erreno tao, trica

ticas itir o

egies todos

to das

os em

(12)

em que: SB: rea, pela fruma de Bezout; d: distncia entre as ordenadas; E: soma das ordenadas extremas; M: soma das ordenadas intermedirias.

( )PIEdS S 423 ++= em que: SS: rea, pela fruma de Simpsom; d: distncia entre as ordenadas; E: soma das ordenadas extremas; I: soma das ordenadas mpares; P: soma das ordenadas pares.

+=2

'4

2EE

Pd

SP

em que: SP: rea, pela fruma de Poncelet; d: distncia entre as ordenadas; P: soma das ordenadas pares; E: soma das ordenadas extremas; E': soma das ordenadas adjacentes s ordenadas extremas.

4. Consideraes finais

Nesta nota de aula foram introduzidos aspectos gerais sobre Planimetria. processo de medio de ngulos e distncias horizontais foi comentado, seguido possveis erros ocorridos no processo de levantamento destes. Em seguida, apresentose o conceito de poligonal, sendo discutidos seus principais tipos. O processo de clcude poligonais fechadas foi discutido em detalhes. Apresentou-se o problema das reextrapoligonais, bem como mtodos de clculo.

Bibliografia consultada BORGES, A.C. Exerccios de Topografia. So Paulo: Edgard Blcher, 1981. BORGES, A.C. Topografia - volume 1. So Paulo: Edgard Blcher, 1992. SOUZA, G. C. Levantamentos Planimtricos. In: ERBA, D. A. Topografia paestudantes de Arquitetura, Engenharia e Geologia. So Leopoldo: Editora Unisino2001, cap. 5, p. 42 59. ABNT. NBR 13.133: Execuo de levantamento topogrfi42-59co. Rio de JaneirAssociao Brasileira de Normas Tcnicas, 1994.

(13)

(14) O de u-lo as ra

s,

o: