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TOPOGRAFIA: Planimetria para Engenheiros Agrimensores e Cartógrafos (em desenvolvimento) PROF. Dalto Domingos Rodrigues PROF. Rômulo Parma Gonçalves 2010 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA – UFV CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CCE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - DEC E N G E N H A R I A D E A G R I M E N S U R A E C A R T O G R Á F I C A UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO – UFRRJ INSTITUTO DE TECNOLOGIA - IT DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA - DENG E N G E N H A R I A D E A G R I M E N S U R A E C A R T O G R Á F I C A

Topografia Planimetria Dalto Romulo (Jan 2010)

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  • TOPOGRAFIA: Planimetria para Engenheiros Agrimensores e Cartgrafos

    (em desenvolvimento)

    PROF. Dalto Domingos Rodrigues

    PROF. Rmulo Parma Gonalves

    2010

    UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIOSA UFV CENTRO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLGICAS - CCE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - DEC E N G E N H A R I A D E A G R I M E N S U R A E C A R T O G R F I C A

    UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO UFRRJ INSTITUTO DE TECNOLOGIA - IT DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA - DENG E N G E N H A R I A D E A G R I M E N S U R A E C A R T O G R F I C A

  • Prezado leitor(a),

    Como este material encontra-se em desenvolvimento, ns autores solicitamos que, ao se

    deparar com algum erro ou equvoco, faa a gentileza de nos enviar por e-mail sugestes ou o

    apontamento das falhas.

    Acreditamos que assim possamos melhorar nosso material.

    Gratos pela compreenso.

    Os autores.

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  • Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartgrafos

    SUMRIO

    I- INTRODUO GERAL 1- Definies 2- Subdivises e aplicaes da Topografia 3- Estado da Arte 4- Qualidade em mapeamento topogrfico 5- Metrologia

    5.1- Sistema Internacional de Unidades SI 5.2- Unidades de medida linear 5.3- Unidades de medida superficial 5.4- Unidades de medida volumtrica 5.5- Unidades de medida angular

    5.5-1. No Sistema Internacional de medidas: radianos 5.5-2. Sistema sexagesimal 5.5-3. Sistema centesimal

    6- Algarismos Significativos 6.1- Arredondamento 6.2- Operaes com algarismos significativos 6.3- Algarismos significativos na Topografia

    7- Exerccios

    II- GONIOMETRIA 1- Algumas definies: vertical, planos horizontais e verticais, ngulos em topografia 2- Medio simples de ngulos horizontais

    2.1- Com trena 2.2- Com teodolito 2.3- Com teodolito eletrnico 2.4- Efeito de curvatura da terra em ngulos horizontais

    3- Azimutes 3.1- Azimute geogrfico 3.2- Azimute magntico 3.3- Azimute plano ou Azimute da Carta

    4- Rumos 4.1 Relaes entre azimutes e rumos

    5- ngulos horizontais entre alinhamentos a partir de azimutes

    6- ngulos Verticais 6.1 ngulo Zenital 6.2 ngulo Nadiral 6.3 ngulo de inclinao ou simplesmente vertical 6.4 Declividade 6.5 Relaes entre as Tangentes de ngulos Zenitais e de inclinao

    III- MEDIO DE DISTNCIAS 1- Introduo 2- Processo Direto

    2.1- Fontes de erro 3- Processo Indireto

    3.1- Taqueometria 3.2- Utilizando Mira Horizontal 3.3- Medida eletrnica de distncias horizontais

    4- Determinao de distncias entre pontos inacessveis e desenvolvimento de bases. 5- Efeito da curvatura da terra nas distncias horizontais 6- Efeito da altitude nas distncias horizontais 7- Redues de distncias medidas pelo processo direto

  • Rodrigues, D.D.; Gonalves, R.P. - 2010 Sumrio

    IV- INTRODUO TEORIA DOS ERROS 1- Classificao dos erros 2- Algumas definies 3- Propagao das varincias 4- Algumas derivadas 5- Exerccios propostos

    V- LEVANTAMENTO PLANIMTRICO DE PONTOS TEMTICOS 1- Introduo

    1.1- Classificao dos levantamentos. 1.2- Etapas de um levantamento planimtrico

    2- Sistema topogrfico de referncia 3- Azimutes a partir das coordenadas topogrficas 4- Mtodos para levantamento de pontos temticos

    4.1 Mtodo do alinhamento 4.2 Mtodo das ordenadas 4.3 Interseo linear 4.4 Interseo angular 4.5 Irradiao

    5- Azimutes a partir de ngulos horizontais 5.1- Conhecendo-se um azimute de referncia 5.2- Conhecendo-se as coordenadas de dois pontos

    5.2.1- ngulo medido e azimute determinado com vrtice na mesma estao 5.2.2- ngulo medido e azimute determinado com vrtice em estaes diferentes

    VI- LEVANTAMENTO PLANIMTRICO DE PONTOS DE APOIO 1- Trilaterao 2- Triangulao 3- Triangulaterao 4- Poligonao

    4.1- Procedimento para coleta de dados e informaes em campo. 4.2- Tipos ou formatos de poligonais, de acordo com a norma ABNT 13133:

    4.2.1- Tipo 3: poligonais apoiadas e fechadas em pontos e direes distintas, com desenvolvimento retilneo

    4.2.2- Tipo 2: poligonais apoiadas e fechadas em pontos e direes distintas, com desenvolvimento curvo

    4.2.3- Tipo 1: poligonais apoiadas e fechadas numa s direo e num s ponto 4.3- Classificao quanto finalidade 4.4- Processamento dos dados de um levantamento por poligonao.

    4.4.1- Transformao dos ngulos horizontais observados em azimutes. 4.4.2- Clculo do erro de fechamento angular. 4.4.3- Distribuio do erro de fechamento angular. 4.4.4- Clculo das coordenadas topogrficas a partir dos azimutes corrigidos do

    erro angular e das distncias observadas. 4.4.5- Clculo do erro de fechamento linear. 4.4.6- Distribuio do erro de fechamento linear. 4.4.7- Clculo das coordenadas topogrficas corrigidas dos erros angular e

    linear. 4.5- Rotina para o processamento de um levantamento planimtrico por poligonao

    4.5.1- Processamento dos pontos de apoio 4.5.2- Processamento dos pontos temticos levantados

    5- Exerccios:

    VII- INFORMAES GEOMTRICAS A PARTIR DAS COORDENADAS DE TERRENO 1- Introduo 2- Clculo de distncias 3- Clculo de azimutes e rumos 4- Clculo de ngulos 5- Clculo de reas 6- Clculo do ngulo vertical de inclinao mxima 7- Clculo da direo da linha de inclinao mxima

  • Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartgrafos

    8- Clculo de volumes

    VIII- DESENHO PLANIMTRICO 1- Introduo 2- Escala 3- Erro de graficismo 4- Escala mxima 5- Desenho da planta 6- Memorial descritivo 7- Relatrio tcnico 8- Informaes topogrficas a partir da planta planimtrica

    8.1- Coordenadas topogrficas 8.2- Distancias horizontais 8.3- Azimutes e rumos 8.4- ngulos horizontais 8.5- reas horizontais

    IX- INSPEAO DE TRABALHOS TOPOGRFICOS 1- Introduo 2- Verificao da acurcia planimtrica da escala

    2.1- Clculo do desvio padro resultante das distncias medidas no terreno 2.2- Desvio padro admissvel para as discrepncias entre as distncias 2.3- Clculo do padro de exatido planimtrica (PEP)

    3. Verificao da preciso altimtrica 4. Decreto 89 817/84

  • Rodrigues, D.D.; Gonalves, R.P. - 2010 Sumrio

    BIBLIOGRAFIA:

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    4- Conselho Nacional de Metrologia, Normalizao e Qualidade Industrial- CONMETRO - Resoluo n 12, de 12 de outubro de 1988.

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    8- ESPARTEL, L. Curso de Topografia, Rio de Janeiro. Ed. Globo, 1982.

    9- FERREIRA, A. B. de H. Novo Dicionrio Aurlio da Lngua Portuguesa, 2 Ed. revista e aumentada, Editora Nova Fronteira, Rio de Janeiro, 1986.

    10- IPEM - INSTITUTO DE PESOS E MEDIDAS do Estado de So Paulo. http://www.ipem.sp.gov.br/metrologia.asp. Consultada em 03/2007.

    11- KAHMEN, H. & FAIG, W. Surveying. Berlin; New York. Walter de Gruyter & Co. 1988.

    12- KREYSZIG, E. Matemtica Superior; traduo de Carlos Campos de Oliveira. Rio de Janeiro. LTC Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A., 1982. Volume 2.

    13- LEICK, A. GPS Satellite surveying, John Wiley & sons, INC. 2nd ed.,Orono, Maine, 1995

    14- LOCH, C. & CORDINI, J. Topografia Contempornea: Planimetria. Florianpolis. Editora da UFSC. 321p. 2000.

    15- NBR-13.133 Norma tcnica para Execuo de Levantamentos Topogrficos, ABNT, Maio de 1994.

    16- NGDC - NATIONAL GEOPHYSICAL DATA CENTER NOAA Satellite and Information Service. Geomagnetic Field Frequently Asked Questions. http://www.ngdc.noaa.gov/seg/geomag/faqgeom.shtml#q1. Consultada em 03/2008

    17- ON - OBSERVATRIO NACIONAL. Geomagnetismo. http://www.on.br/institucional/geofisica/areapage/geomag.html . Consultada em 03/2008

    18- NETO, C.P. & MOREIRA, J.L.K.. Declinao Magntica ON. http://staff.on.br/~jlkm/magdec/index.html. Consultada em 03/2008.

    19- SILVA, I.da. Histria dos pesos e medidas. So Carlos. EdUFSCar. 190p. 2004.

    20- WOLF, P. R. & BRINKER, R. C. Elementary Surveying. Ninth Edition. New York. HarperCollins College Publishers, 1994.

  • Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartgrafos

    21- WOLF, P. R. & GHILANI, C. D.. Elementary Surveying, an introduction to geomatics. Eleventh Edition. New Jersey. Pearson Prentice Hall, 2006.

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    I - INTRODUO GERAL

    Ao se definir uma cincia, procura-se, normalmente, com palavras naturalmente insuficientes, transmitir uma viso geral de seus princpios, meios e fins. Neste captulo, inicialmente feito um paralelo entre Topografia e Geografia procurando definir e relacionar estas duas cincias. A seguir, apresentado o estado da arte da Topografia, realizando um breve estudo em metrologia e algarismos significativos, sendo ento sugeridos alguns exerccios relativos unidades de medida.

    1- DEFINIES Etimologicamente, TOPOGRAFIA ( do grego topos = lugar, local e grafo = descrio) significa a

    descrio minuciosa de uma localidade, e GEOGRAFIA (do grego Geografia) a cincia que tem por objeto a descrio da superfcie da Terra, o estudo dos acidentes fsicos, climas, solos, e vegetaes, e das relaes entre o meio natural e os grupos. Da, pode-se extrair semelhanas e diferenas entre estas duas cincias. Enquanto a Geografia preocupa-se com a descrio de uma ampla superfcie da Terra, a Topografia trata da descrio minuciosa de um local ou at mesmo de um objeto. Na superfcie terrestre, aproximadamente esfrica, entende-se por local, uma regio limitada por um raio de aproximadamente trinta quilmetros (Domingues, 1979), por outro lado, vale observar que no se atribui um limite inferior de ao a nenhuma das duas cincias.

    Usando diferentes formas de expresso - grfica, numrica, matemtica ou fsica - o topgrafo ou o gegrafo, para descrever a superfcie da terra, um local ou objeto, deve transmitir informaes topogrficas (geogrficas) que so: informaes posicionais - a posio de objetos e fenmenos em relao a um sistema de referncia -, informaes geomtricas - ngulos, distncias, reas e volumes - e informaes temticas - clima, vegetao, obras de engenharia, relevo, solos, etc.

    2- SUBDIVISES E APLICAES DA TOPOGRAFIA Tanto em Topografia como em Geografia a descrio no deve ser puramente sensorial;

    necessrio dar dimenso s formas, ou seja, transformar o sensorial em numrico. A fim de livrar-se das aparncias sensoriais, o topgrafo e o gegrafo devem dominar a arte de saber medir, pesar e contar. Portanto, estas duas cincias agrupam tcnicas de medio, de tratamento dos valores medidos e de representao das medidas. Obviamente, estes profissionais devem saber extrair informaes topogrficas e/ou geogrficas de expresses numricas, grficas e matemticas, a fim de analis-las.

    Devido amplitude de tais cincias, elas so subdivididas. Na Geografia, a Geodsia, que a cincia que se ocupa de estudar o conjunto de mtodos e procedimentos para extrair as informaes posicionais e geomtricas terrestres, definindo-se assim, a forma e dimenso da Terra, alm de diferentes temas que tambm do origem a outros diversos ramos, como a Geografia Humana, Geografia Poltica, Oceanografia, Climatologia, etc.

    Didaticamente, pode-se subdividir a Topografia em: planimetria, que se ocupa em medir, tratar e representar informaes de um local, em um plano horizontal; altimetria, onde as medidas, o tratamento e representao so realizadas em um plano vertical; e planialtimetria onde se trabalha com o espao tridimensional.

  • Rodrigues, D.D.; Gonalves, R.P. - 2010 Introduo Geral

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    Pode-se ainda subdividir a planimetria, altimetria e planialtimetria em mais cinco tpicos: - Topometria; - Topoprocessamento; - Topologia; - Desenho Topogrfico; e - Anlise.

    A TOPOMETRIA, o ttulo dado aos processos de medio;o TOPOPROCESSAMENTO, se ocupa do tratamento matemtico dos valores medidos; a TOPOLOGIA, tem por objeto o estudo das formas exteriores da localidade e das leis a que deve obedecer seu modelado; o DESENHO TOPOGRFICO, constitui-se da representao em escala reduzida do local a ser descrito; e a ANLISE, trata-se da extrao e interpretao de informaes de arquivos topogrficos.

    A Figura 1.1 mostra as diversas etapas da topografia. Utilizando mtodos e instrumentos adequados realizado o levantamento topogrfico de campo onde so medidos ngulos, distncias, etc. Uma vez que as medidas topogrficas so naturalmente contaminadas por erros, fundamental o emprego da estatstica no processamento dos dados levantados a fim de avaliar a qualidade das medies, estimar as coordenadas e avaliar a preciso e a confiabilidade dessas estimativas. Um conjunto de coordenadas e seus desvios padres formam o modelo numrico ou digital do terreno, normalmente identificados pelas siglas MNT ou MDT, respectivamente. A partir do MNT possvel extrair informaes topogrficas, inclusive aquelas que no foram diretamente levantadas em campo, possibilitando descrever o limite de um lote ou gleba, em uma lngua falada e escrita, confeccionando-se assim o memorial descritivo, alm da descrio grfica do terreno, ao ser confeccionada a planta.

    sob uma planta grfica que o Arquiteto projeta uma construo ou um monumento, o Engenheiro civil uma ponte ou estrada, o Agrnomo a irrigao ou a plantao e o Engenheiro Agrimensor e Cartgrafo, o sistema topogrfico ou at mesmo o sistema cartogrfico. A partir da planta tambm torna-se possvel obter informaes topogrficas e redigi-las em um memorial descritivo.

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    A Topografia pode ser aplicada a vrios temas. Qualquer trabalho de Engenharia, Arquitetura ou Urbanismo, se desenvolve em funo do terreno sobre o qual se assenta, como, por exemplo, obras virias, ncleos habitacionais, edifcios, aeroportos, hidrografia, irrigao e drenagem, usinas hidreltricas, telecomunicao, sistemas de gua e esgoto, cadastramento, planejamento urbano e rural, paisagismo, dentre muitas outras aplicaes.

    Ao imaginar que se pode sintetizar a atividade de Engenharia utilizando os verbos: descrever, projetar, definir, materializar e monitorar, evidencia-se a importncia da Topografia que fornece diretamente meios para tais descries, definies e monitoramentos dos espaos fsicos (Figura 1.2).

    Se o topgrafo tem em mente que todo levantamento topogrfico deve, para a sistematizao do mapeamento, ser interligado planta geral da regio, torna-se possvel a obteno de mapas geogrficos a partir de um conjunto de plantas topogrficas. Atualmente, com auxlio do sistema de Posicionamento Global (GPS), a conexo entre sistemas topogrficos tornou-se relativamente fcil e no h necessidade de se ater ao princpio: ir do geral para o detalhe.

    Levantamento de dados, utilizando mtodos e instrumentos adequados. Grandezas medidas: ngulos, distncias, pseudodistncias, fases da portadora, etc. Estas medidas, naturalmente, estaro contaminadas com erros acidentais, sistemticos e grosseiros.

    Processamento empregando a estatstica, eliminando as observaes com erros grosseiros, corrigindo os sistemticos e avaliando a preciso interna (ou seja, estimando o desvio padro ).

    Modelo Numrico (ou Digital) do Terreno: (MNT ou MDT) X , X Y , Y Z , Z Descrio Temtica

    Processamento

    Representao Grfica ou Planta

    Digitalizao

    Informaes Topogrficas (posicionais, geomtricas e temticas)

    Projetos de Engenharia, Arquitetura e/ou Agronomia

    Memorial Descritivo

    Desenho Transcrio

    Medies, clculos, leituras, interpretaes e trabalho sobre a planta

    Figura 1.1 Etapas da Topografia

    Transcrio

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    Um conjunto de plantas topogrficas pode, a posteriori, ser conectado a um sistema de referncia municipal, que pode ser ligado a um sistema estadual, que por sua vez pode ser integrado a um sistema nacional. Obviamente os sistemas de referncia devem ser devidamente materializados e ajustados, atravs de tcnicas estatsticas de ajustamento das observaes, e a qualidades da informao pode cada vez mais, com o advento do avano tecnolgico e a melhoria das tcnicas de observao, tornar os resultados mais precisos e satisfatrios aos seus usurios.

    A Figura 1.2 mostra ainda que a atividade de mapear envolve outras atividades como projetar, criar, organizar, manter e atualizar arquivos de informaes topogrficas e/ou geogrficas.

    Seria oportuno finalizar esta introduo com a seguinte frase de Espartel "Laboram em erro aqueles que julgam a Topografia uma simples aplicao da geometria, pois cada vez mais se alarga seu campo de ao e cresce a exigncia em preciso e perfeio dos trabalhos que lhe esto afetos no campo da prtica profissional, principalmente da Engenharia."

    3- ESTADO DA ARTE O avano tecnolgico das ltimas dcadas tem influenciado consideravelmente a Topografia. O

    desenvolvimento de instrumentos de medida, incluindo sistemas de satlites; de hardwares e de softwares, propiciando um rpido, seguro e preciso tratamento, representao e anlise das medidas topogrficas, faz da Topografia uma cincia em constante evoluo.

    Atualmente as medidas podem ser realizadas por Estaes Totais(teodolito com medio eletrnica de ngulos e distncias) e por receptores de sinais transmitidos por satlites de navegao. Estas medidas podem ser descarregadas diretamente ao computador e processadas por softwares de boa qualidade.

    A descrio grfica do objeto levantado pode ser realizada utilizando-se pacotes computacionais grficos, comumente denominados por CAD (Computer-Aided Design Projeto Assistido por Computador) e o resultado final pode ser analisado utilizando-se os chamados SIG (Sistemas de Informaes Geogrficas) ou GIS (Geographic Information System).

    No entanto, no basta apenas desenvolver softwares e hardwares, necessrio rever termologias, conceitos e mtodos, para que sejam aprimorados tanto a coleta das informaes, quanto seu processamento e sua apresentao em resultados legveis.

    Descrever Projetar Definir ou locar

    Materializar Monitorar

    Mapear

    Figura 1.2: Atividades de Engenharia relacionadas com a Topografia

    Mapear igual a projetar, criar, organizar, manter e atualizar arquivos de informaes topogrficas e/ou geogrficas.

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    A Topografia convencional, vem se diferenciando da Topografia contempornea, em diversos seguimentos de aplicao prtica, j que a tecnologia atual, altera a concepao no levantamento e processamento dos dados topogrficos, mas a essncia natural e cientfica da topografia, ainda permanece imune em sua faculdade terica.

    4- QUALIDADE EM MAPEAMENTO TOPOGRFICO A qualidade de um levantamento topogrfico, bem verdade, est diretamente relacionada com a

    preciso obtida no final do processo (coleta de dados no campo, processamento matemtico e representao grfica). No entanto, a pretenso aqui, no discutir mtodos e instrumentos que melhoram a preciso; mas apresentar os seguintes princpios bsicos, que podem melhorar a qualidade de trabalhos topogrficos:

    - empregar a INFORMTICA e a ESTATSTICA como ferramentas usuais e rotineiras em todas as etapas do levantamento topogrfico;

    - o levantamento de detalhes deve ser realizado pensando-se na futura conexo com a planta municipal;

    - topografar alm dos limites da rea inicialmente definida para ser descrita; - optar por incluir questes sociais e ambientais na prtica do levantamento topogrfico; - o levantamento deve ter carter multifinalitrio ou seja, mapear a vegetao, hidrografia,

    obras de engenharia, relevo, solos, etc.); e - sempre que possvel, o trabalho deve ser executado por uma equipe multidisciplinar, a afim de

    proporcionar mais riqueza aos resultados.

    Sendo funo do Engenheiro Agrimensor e Cartgrafo, fundamentalmente descrever, definir e monitorar espaos fsicos terrestres, evidente a sua necessidade de dominar com eficincia a linguagem das medidas. Este deve saber empreg-las, represent-las e materializ-las convenientemente, sendo assim, a seguir apresentado um estudo resumido sobre metrologia.

    5- METROLOGIA a cincia que trata das medies. A metrologia abrange todos os aspectos tericos e prticos

    relativos s medies, em quaisquer campos da cincia ou da tecnologia. Medir ou mensurar o ato de comparar uma grandeza com uma outra de mesma natureza, tomada

    como padro. Medio ou mensurao o conjunto de operaes que tem por objetivo determinar um valor de uma grandeza. Medida ou mensura o resultado de uma medio ou mensurao. Na Agrimensura e Cartografia emprega-se tambm o termo observao como sinnimo de medida.

    As medidas de grandezas fsicas podem ser classificadas em duas categorias: - Medida direta; e - Medida indireta.

    A medida direta de uma grandeza o resultado da leitura de uma magnitude mediante o uso de um instrumento de medio, como por exemplo, um comprimento com uma rgua graduada ou um intervalo de tempo com um cronmetro. Uma medida indireta a que resulta da aplicao de uma relao matemtica que vincula a grandeza a ser medida com outras diretamente mensurveis, como por exemplo, a distncia

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    entre uma Estao Total e seu alvo, que normalmente materializado por um prisma, obtida multiplicando-se a velocidade da luz emitida pelo tempo de propagao do sinal.

    O conceito de grandeza ou observvel, fundamental para se efetuar qualquer medio, sendo assim, pode ser defin-la resumidamente, como sendo o atributo fsico de um corpo que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado.

    Em Topografia trabalha-se com quatro espcies de grandezas, a saber: - lineares; - superficiais; - volumtricas; e - angulares.

    5.1 - Sistema Internacional de Unidades - SI A necessidade de mensurar muito antiga e remonta origem das civilizaes. Por longo tempo

    cada pas ou regio, teve seu prprio sistema de medidas. As unidades de medidas, entretanto, eram geralmente arbitrrias e imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, p, polegada, braa, cvado. Essa diversidade de sistemas criava muitos problemas para o comrcio, uma vez que, os padres adotados eram, muitas vezes, subjetivos e variavam de regio para regio. As quantidades eram expressas em unidades de medida pouco confiveis, diferentes umas das outras e sem correspondncia entre si.

    Em 1789, numa tentativa de resolver esseimpasse, a Academia de Cincia da Frana criou o Sistema Mtrico Decimal (SMD) - um sistema de medidas baseado numa "constante natural", no arbitrria - constitudo inicialmente de trs unidades bsicas: o metro, que deu nome ao sistema, o litro e o quilograma.

    Em 1960, a Conferncia Geral de Pesos e Medidas (CGPM) substituiu o SMD pelo Sistema Internacional de Unidades (SI), mais complexo e sofisticado que o anterior, que foi ampliado de modo a abranger os diversos tipos de grandezas fsicas, compreendendo no somente as medies que ordinariamente interessam ao comrcio e indstria, mas estendendo-se completamente a tudo o que diz respeito cincia da medio.

    No Brasil, o SMD tornou-se o sistema oficial com a promulgao da lei 1.157/1862, mas somente em janeiro de 1894 seu uso passou a ser obrigatrio. J o SI passou a ser oficial em 1962. A Resoluo n 12 de 1988 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalizao e Qualidade Industrial - CONMETRO, ratificou a adoo do SI no Pas e tornou seu uso obrigatrio em todo o territrio nacional.

    Em 1975 e 1988, o Congresso Americano votou leis adotando as unidades mtricas como unidades preferenciais. No Reino Unido, a partir 01/01/2000, por decreto, todas as unidades de medidas devem estar de acordo com o Sistema Internacional (SI) (Silva, 2004).

    5.2- Unidades de medida linear: Dentro do SMD, a unidade de medir a grandeza comprimento foi denominada metro e definida como

    "a dcima milionsima parte da quarta parte do meridiano terrestre". Em 1799, para materializar o metro, construiu-se uma barra de platina de seco retangular, com 25,3mm de espessura e com 1m de comprimento de lado a lado, que ficou conhecida como o "metro do arquivo".

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    Em 1889 mudou-se o padro para uma barra da liga de platina irradiada com traos separados pela distncia de 1m.

    Em 1969 a Conferncia Geral mudou o padro de comprimento para uma constante atmica, o comprimento de onda da luz vermelho-alaranjada emitida pelos tomos individuais do Criptnio-86, e o metro passou a ser definido como: 1 metro = 1.650.763,73 comprimentos de onda da luz vermelho-alaranjada emitida pelos tomos individuais do Criptnio-86.

    Essa nova definio permitiu aumentar a preciso da unidade-padro em cerca de cem vezes (Silva, 2004) e apresenta como vantagens no ser destrutvel, de reproduo confivel e fcil de ser internacionalizada.

    A partir da 17 Conferncia Geral de pesos e medidas, realizada em 1983, o metro passou a ser definido como sendo comprimento do trajeto percorrido pela luz no vcuo, durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo. No sistema internacional de medidas os mltiplos e submltiplos do metro mais utilizados so: quilmetro (km), hectmetro (hm), decmetro (dam), decmetro (dm), centmetro (cm) e milmetro (mm). A Tabela 1.1 mostra os prefixos dos mltiplos e submltiplos do SI, segundo o Instituto de Pesos e Medidas de So Paulo (IPEM - SP). Embora o SI seja o padro internacional, principalmente nos EUA e Inglaterra, ainda muito comum a utilizao das seguintes unidades:

    1 polegada = 1 inche (in) = 2,54 cm 1 p = 1 foot (ft) = 12 inches (in) = 30,48 cm 1 jarda = 1 yard (yd) = 3 feet (ft) = 91,44 cm 1 milha = 1 mile (mi) = 5.280 ft = 1.609,344 m. 1 milha martima = 1 nautical mile (nm) = 6.076,115 ft = 1852 m.

    No Brasil empregou-se oficialmente, num passado recente, as seguintes unidades lineares:

    1 lgua = 3 000 braas = 6 600 m 1 lgua martima = 5 555,55 m 1 quadra = 60 braas = 132 m 1 corda = 15 braas = 33 m 1 braa = 2 varas = 2,20 m 1 vara = 5 palmos = 1,10 m

    A converso de unidades de medidas, seja de rea, comprimento, dentre diversas outras, pode ser realizada atravs do software on-line disponibilizado pelo IPEM-SP no endereo eletrnico: (http://www.ipem.sp.gov.br/5mt/cv2/index.htm).

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    8

    5.3- Unidades de medida superficial:

    No SI a unidade fundamental o metro quadrado representado por m2 . Os mltiplos e submltiplos mais empregados so representados por: km2 , hm2 , dam2 , dm2 , cm2 e mm2 . Para quantificar reas rurais emprega-se ainda o hectare, ha, sendo,

    1 hectare (ha) = 1 hm = 10 000 m que tem como submltiplos 1 Are (a) = 10-2 ha = 100 m2 e 1 Centiare (ca) = 10-4 ha = 1 m2. Portanto, 84,3562 ha, por exemplo, pode ser lido como 84 hectares, 35 ares e 62 centiares.

    Na Resoluo n 12 de 1988 do CONMETRO, o hectare est classificado como outras unidades fora do SI e admitidas temporariamente.

    Nome Smbolo Fator pelo qual a Unidade Multiplicada

    exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000

    peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000

    tera T 1012 = 1 000 000 000 000

    giga G 109 = 1 000 000 000

    mega M 106 = 1 000 000

    quilo k 103 = 1 000

    hecto h 102 = 1 00

    deca da 10

    deci d 10-1 = 0,1

    centi c 10-2 = 0,01

    mili m 10-3 = 0,001

    micro 10-6 = 0,000 001

    nano n 10-9 = 0,000 000 001

    pico p 10-12 = 0,000 000 000 001

    femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001

    atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001

    No passado, que se pode verificar em escrituras antigas, adotou-se no Brasil as unidades de superfcie mostradas na Tabela 1.2. Ainda hoje comum falar-se em Alqueire, unidade que deve ser substituda por hectare ou unidades do SI.

    Tabela 1.1: Prefixos do Sistema Internacional de medidas (IPEM-SP)

  • Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartgrafos

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    Unidade superficial antiga Dimenses m x m

    Em hectares ha

    litro 0,0605 prato 0,0968 Palmo de Sesmaria 0,22 x 6 600 0,1452 Selamim de terras 55 x 27,5 0,1512 Meia quarta 110 x 27,5 0,3025 Quarta de Terra 110 x 55 0,6050 Hectare de Terra 100 x 100 1 Meio Alqueire 110 x 110 1,2100 Braa de Sesmaria 2,2 x 6,6 1,4520 Quadra Quadrada 132 x 132 1,7424 Alqueire (ou alqueire menor) 110 x 220 2,4200 Alqueire Mineiro 165 x 165 2,7200 Alqueire geomtrico 220 x 220 4,8400 Lote Colonial 2200 x 110 24,2000 Lote Colonial 1 000 x 250 25 Quadra de Sesmaria 132 x 6 600 87,1200 Milho de Metro 1 000 x 1 000 100,0000 Data de Campo 3 300 x 825 272,2500 Data de Mato 3 300 x 1 650 544,5000 Sesmaria de Mato 3 300 x 3 300 1 089,0000 Lgua de Sesmaria 6 600 x 6 600 4.356,0000 Sesmaria de Campo 6 600 x 19 800 13 068,0000

    Alm dessas, existem diversas outras medidas agrrias antigas, que podem sim ser encontradas em plantas e escrituras brasileiras, como por exemplo, o Alqueire de 80 x 80 braas, equivalente a 30.976,00 metros quadrados, ou 3,0976 hectares, j que 1 braa igual a 2,20 metros.O alqueire a medida varivel com o nmero de litros ou pratos de plantio, geralmente o milho, o que corresponderia quantidade de sementes que poderiam ser plantadas entre 20 e 320 litros, compreendendo assim os alqueires de 50 x 50 braas (1,2100 ha) e o de 200 x 200 braas (19,3600 ha), podendo estes variar com diversas combinaes, a depender da regio.

    5.4- Unidades de medida volumtrica: No SI a unidade fundamental o metro cbico, m3 . Para volumes menores, emprega-se tambm o

    litro, (l ou L), cujos mltiplos e submltiplos so: kl, hl, dal, dl, cl, ml. Sendo 1 litro = 1 dm3 .

    Na Resoluo de 1988 do CONMETRO, o litro est classificado como Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrio de Prazo.

    Tabela 1.2: Medidas agrrias do sistema antigo brasileiro com suas respectivas igualdades (Chagas, 1965)

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    10

    5.5- Unidades de medida angular: Baseia-se na diviso da circunferncia em partes iguais, podendo ter suas unidades classificadas como em radianos, em unidades sexagesimais e centesimais.

    5.5.1- No Sistema Internacional de medidas: radianos No SI, a unidade fundamental para ngulo plano o Radiano (rad), que o ngulo central

    subtendido por um arco de crculo de comprimento igual ao do respectivo raio, sendo, portanto, uma

    circunferncia dividida em 2 partes iguais. Vale lembrar que (PI) o valor da razo entre o comprimento da circunferncia e seu dimetro. Esse nmero irracional expresso por uma dizima infinita no peridica, que nos dias de hoje, com a ajuda dos computadores, j possvel determinar com centenas de milhes de casa decimais. Com cinquenta casas decimais o valor de PI (http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/pi.htm):

    = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 3751

    Um ngulo qualquer (Figura 1.3), a razo entre o comprimento do arco de circunferncia, l, formado pelo ngulo, e o raio da circunferncia, R, ou seja,

    =====

    kmkm

    cm

    cm

    m

    mradianos

    Rl

    (1.1)

    5.5.2- Sistema sexagesimal:

    Neste sistema, a circunferncia divida em 360 partes iguais, sendo cada parte denominada grau (o). Um grau ainda dividido em 60 partes iguais, denominadas minuto ( ). Um minuto tambm dividido em 60 partes iguais, denominadas segundo ( ).

    Na Resoluo de 1988 do CONMETRO, grau, minuto e segundos esto classificadas como Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrio de Prazo.

    Verifique que um minuto da ordem de 10-2 graus (1 = 0,01667) e um segundo da ordem de 10-4 graus (1 = 0,000 2777 ). O seno de 1 da ordem 10-4 (sen1 = 0,000 2909) e o co-seno de 1 difere de 1 na ordem de 10-8 (cos1 = 0,99999996). O seno de 1 da ordem 10-6 (sen1 = 0,000 00485) e o co-seno de 1 difere de 1 na ordem de 10-11 (cos1 = 0,999999999988). Por isso, caso esteja trabalhando com mtodos

    R l

    Figura 1.3: relao entre medidas lineares e angulares

  • Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartgrafos

    11

    e instrumentos com preciso de 1, deve-se trabalhar com, no mnimo oito casas decimais do seno e do co-seno e, se a preciso do instrumento e mtodo empregados for 1, ento recomenda-se a utilizao de onze casa decimais.

    Sabendo que no sistema sexagesimal uma circunferncia dividida em 360 partes iguais e que em radianos, em 2 partes iguais, constata-se que:

    Um grau da ordem de 10-2 radianos (1 ~ 0,02 rad), um minuto da ordem de 10-4 radianos (1 ~ 0,000 3) e um segundo da ordem de 10-6 rad (1 ~ 0,000 005 rad). Assim, deve-se tomar cuidado nos arredondamentos de ngulos em radianos. Verifique ainda que

    "11

    265 206 78057,295 rad 1 osen

    = . (1.2)

    O valor 206 265 representado pela letra grega e muito utilizado em Agrimensura e Cartografia. Ele representa quantos segundos h em cada radiano ( rad/"625206= ). Portanto, para transformar um ngulo de radianos para segundos do sistema sexagesimal, basta multiplicar o valor em radianos por ou o divid-lo pelo seno de 1

    5.5.3- Sistema Centesimal: Este sistema no est definido no SI. Nele a circunferncia divida em 400 partes iguais, sendo cada parte denominada GRADO ( g ). Um grado dividido em 100 partes iguais denominadas, MINUTOS ( ) ou centgrados. Um minuto dividido em 100 partes iguais denominadas, SEGUNDOS ( )ou decimiligrados. Sendo 380,2345 grados = 380 grados, 23 centgrados e 45 decimiligrados

    ou 380 g 23 45 . Observe que, para ttulo de comparao, em um arco que abrange meia circunferncia, a leitura de

    seu ngulo central pode ser radianos, ou 180 graus, ou 200 grados.

    6 - ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS: A Figura 1.4 mostra a medio de uma distncia d com uma rgua milimtrica. Nela verifica-se que

    o valor numrico da distncia um pouco maior que 5,6 cm. Pode-se verificar ainda que esse um pouco maior est por volta de 0,3, 0,4 ou 0,5 mm, portanto, a medida est entre 5,63 e 5,65 cm e pode-se anotar o valor 5,64 para a distncia d, convicto dos algarismos 5 e 6 e no to convicto do algarismo 4. Os algarismos 5 e 6 so tidos como corretos e 4 como duvidoso. Esses so os algarismos significativos (A.S.) usados para expressar a distncia d. Ao anotar ou expressar uma medida, s se emprega um, e somente um, algarismo duvidoso.

    0 1 2 3 4 5 6 7 cm

    d

    Figura 1.4 : Medio de uma distncia com uma rgua milimtrica.

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    12

    A medida de uma grandeza fsica sempre aproximada e, por mais preciso que seja o aparelho, o mtodo e o nmero de algarismos significativos usado para representar a medida, deve-se expressar a preciso do instrumento e do mtodo. Quanto maior a preciso, maior o nmero de algarismos significativos e a recproca deve ser verdadeira. Com uma rgua milimtrica impossvel precisar os dcimos de milmetros e a medida deve ser anotada com no mximo trs algarismos significativos.

    A medida de d portanto 56,4 mm = 5,64 cm = 0,0564 m = 0,000 056 4 km, todas anotaes com trs A.S. Deve-se observar que:

    Zeros esquerda do primeiro algarismo significativo no so significativos; Zeros entre A.S. so significativos; Zeros a direita de A.S. so significativos. Dessa forma 5,640 cm tem quatro A.S. e ,

    portanto, fisicamente diferente de 5,64 cm; embora, matematicamente iguais. Zeros ao final de um nmero inteiro podem ou no ser significativos. Uma medida

    representada por 1500, por exemplo, pode ter dois, trs ou quatro A.S. Para eliminar esta ambigidade recomenda-se o uso da notao cientfica.

    Na notao cientfica escreve-se o nmero referindo-se potncia de 10, e conservando-se esquerda da vrgula, apenas um dgito diferente de zero. Por exemplo:

    1500 = 1,500 x 103, com quatro A.S., 1,50 x 103, com trs e 1,5 x 103, com dois A.S; 12 = 1,2 x 10 (dois A.S.); 10 = 1,0 x 10 (dois A.S.) 10 = 1 x 10 (um A.S.); 1,000 2 = 1,000 2 ( cinco A.S.); 0,000 056 4 = 5,64 x 10-5 (trs A.S.), etc.

    A notao cientfica tem a vantagem de mostrar claramente a ordem de grandeza e o nmero de A.S. Quando valores observados so envolvidos em operaes matemticas de adio, subtrao,

    multiplicao e diviso, torna-se necessrio que o nmero de A.S. na resposta seja consistente com o nmero de A.S. das medidas envolvidas. Normalmente h necessidade de arredondar a notao.

    6.1 Arredondamento Quando necessrio fazer arredondamento de algum nmero, utiliza-se a seguinte regra:

    1. Quando o algarismo posterior ao ltimo A.S. a ser anotado for menor que 5, este e os subseqentes so abandonados;

    2. Quando o algarismo posterior for igual a 5 arredonda-se o ltimo A.S. para o nmero par mais prximo e

    3. Quando o algarismo posterior for maior que 5, soma-se uma unidade ao ltimo A.S. a ser anotado. Por exemplo:

    Se o nmero 7,2752 deve ser expresso com um, dois, trs e quatro A.S. ele deve ser arredondado para 7; 7,3; 7,28 e 7,275, respectivamente. Observe que o 7,2852 com trs A.S. tambm 7,28.

    Os procedimentos 1 e 3 so prtica padro. J o procedimento 2 no. Alguns simplesmente abandonam os prximos dgitos e outros adicionam uma unidade ao ltimo A.S. Usando a regra do par

  • Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartgrafos

    13

    mais prximo estabelece-se um procedimento uniforme e produzem-se resultados melhor balanceados numa srie de clculos ( Wolf, 2006).

    6.2 Operaes com algarismos significativos

    Soma e subtrao: os trs passos seguintes devem ser seguidos (Wolf, 2006): 1. Executar a adio ou subtrao sem nenhum arredondamento considerando todas as

    casas decimais; 2. Identificar a coluna que contm o A.S. mais a esquerda entre as medidas envolvidas

    e

    3. Arredondar a resposta para que seu A.S. mais a direita esteja na coluna identificada no passo 2. Por exemplo:

    7605,2302,10513,22243,31875,0

    +

    +

    +

    ( Resposta: 230,8); 3204,22

    6000,0321,22

    (R: 22,320);

    Outros exemplos: 734,3612 + 23,52 + 5,0 = 762,9 e 439 4,5 = 434.

    Resumindo, na soma ou subtrao o ltimo A.S. do resultado deve estar na coluna do algarismo duvidoso mais a esquerda entre as medidas envolvidas.

    Obviamente as medidas envolvidas devem estar na mesma unidade. No se soma ou subtrai metros a centmetros, metros quadrados, radianos ou segundos, por exemplo.

    2,653 m + 53,8 cm +375 cm + 3,782 m = 2,653 m + 0,538 m + 3,75 m +3,782 m = 10,72 m.

    Multiplicao e diviso: a regra anotar o resultado da operao com o mesmo nmero de A.S. da medida que tiver o menor nmero de A.S. Por exemplo:

    32,74 cm x 25,2 cm = 825,048 cm2 = 825 cm2. 32,74 cm2 x 3,8 cm = 124,412 cm3 = 1,2 x 102 cm3.

    6.3 Algarismos significativos na Topografia Em Topografia, o nmero de A.S. das medidas que ditam o nmero de A. S. dos resultados

    derivados de clculos que as envolve. Para as distncias, so empregados, normalmente, instrumentos com preciso milimtrica, e para os ngulos, instrumentos com preciso de minutos e at mesmo segundos.

    Nos clculos intermedirios prtica comum considerar ao menos um dgito a mais que o necessrio e arredondar o resultado final para o nmero correto de A.S.

    Cada fator pode no causar igual variao. Como exemplo, pode-se observar o clculo de uma distncia inclinada ou espacial, a partir de distncias horizontal e vertical, como mostrado na Figura 1.5.

  • Rodrigues, D.D.; Gonalves, R.P. - 2010 Introduo Geral

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    A distncia vertical (DV), dada com dois A.S. e a horizontal (DH), com cinco. A partir destes dados, a distncia inclinada (Di) calculada com cinco A.S., uma vez que, para pequenos ngulos de inclinao, uma variao considervel na distncia vertical produz uma pequena variao na diferena entre distncia inclinada e distncia horizontal (Wolf,2006).

    Na converso de unidades, uma boa regra manter o nmero de A.S. da medida original.

    7 EXERCCIOS

    1.1) Transformar a rea de 21 alqueires, 3 quartas e 15 litros em hectare. 1.2) Qual a altura de lmina d'gua de 1000 litros distribudos uniformemente em 5 m ? 1.3) Transformar - 30,4560 graus, em graus, minutos e segundos; e - 60 45' 50" em graus. 1.4) Qual a dimenso da corda de um crculo com 10 cm de raio, dividido em 720 partes iguais (0,5

    graus/parte)? E se o raio fosse 7 cm? 1.5) Verifique em uma calculadora o valor do seno de 1 . E o inverso desse valor, qual ? 1.6) Transformar 648 000 " em radianos e 1 rad em segundos sexagesimais. 1.7) Supondo a Terra igual a uma esfera perfeita de Raio igual a 6371 km, ento responda:

    a. Qual a distncia em metros percorrida na Terra referente a 1 de arco?

    b. Qual a distncia em graus, minutos e segundos de um arco referente a uma milha martima ou nutica?

    1.8) Arredonde o nmero 16,60045 para 1, 2, 3 e 4 algarismos significativos. 1.9) No somatrio [10,03 + 0,025+ 2,009 + (-8,130) + 1,044], qual o resultado, respeitando-se os

    algarismos significativos?

    1.10) Escreva o nmero 0,002085 com trs nveis de algarismos significativos diferentes.

    Exerccio Proposto: Elaborar algoritmos para transformar graus em graus, minutos e segundos; e vice-versa.

    Figura 1.5 : Distncia inclinada a partir das distncias horizontal e vertical

    DH = 100,00

    DV = 8,0 Di = 100,32

  • Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartgrafos

    15

    8 Soluo:

    1.1) 21 alqueires, 3 quartas e 15 litros = (2,42 x 21) + (0,6050 x 3) + (0,0605 x 15) = = 53,5425 = 5,4 x 10 ha.

    1.2) V = 1000 litros = 1,000m. A = 5m. H = V/A = 1,000m.m / 5m = 0,2m. H = 2,000 x 10-1 m

    1.3) -30,4560 graus = -30 27 22. -60 45 50 = -60,7639 graus.

    1.4) 2..R10 = 62,83 cm. Esse valor dividido em 720 partes iguais ser igual a dR10 = 8,7 x 10-2 cm. E para o Raio igual a 7 cm, o procedimento o mesmo, fazendo dR7 = 6,1 x 10-2 cm.

    1.5) sen1 = 4,8481368110763678200790909409168 x 10-6. 1/sen1 = 206265

    1.6) 648000 = 3,14152 rad. 1 rad = 206265

    1.7) a. 2..R = 40030173,592 m. Dividindo por 360, obteremos o valor referente a 1, que igual a

    111194,927 m. Dividindo por 60, teremos o valor para 1, que 1853,249 m. E finalmente, dividindo por 60, teremos o valor da distncia referente ao arco de 1, que igual a 30,887 m.

    b. O valor da milha martima ou nutica de 1852 metros, e como vimos na resoluo anterior deste exerccio, o valor do arco de aproximadamente 00 01 00, ou 1 minuto.

    1.8) Para 1 A.S. = 2; 2 A.S. = 16 ou 1,6 x 10; 3 A.S. = 16,6; 4 A.S. = 16,60. 1.9) O resultado do somatrio utilizando todos os algarismos 4,978, mas respeitando aos

    algarismos significativos, o resultado final ser 5,0.

    1.10) 2,085 x 10-3; 20,85 x 10-4; e 2085 x 10-6.

  • Rodrigues, D.D.; Gonalves, R.P. - 2010 Goniometria

    16

    II - GONIOMETRIA ____________________________________________________________________________________

    Viu-se no captulo anterior que o Engenheiro Agrimensor para livrar-se da descrio puramente sensorial de um lugar, deve medir. Medir ngulos, distncias e/ou at mesmo grandezas relacionadas com a propagao de sinais eletromagnticos. Goniometria o captulo da topografia que trata das tcnicas para medio de ngulos. Neste captulo, inicialmente (item 1) so apresentadas algumas definies bsicas para a compreenso de tais tcnicas. A seguir, no item 2, trata-se da medio simples de ngulos horizontais com trena e teodolitos, analisando o efeito da curvatura da Terra nesses ngulos. No item 3, feito um breve estudo de azimutes, ngulos horizontais com origem na direo cardial norte do meridiano do observador, e no item 4, apresentada outra forma de representar a orientao em relao ao norte, os rumos, relacionado-os com os azimutes. No item 5, trata-se da obteno de ngulos horizontais a partir de azimutes e no item 6 descreve-se brevemente ngulos verticais, assunto que ser melhor estudado em texto especfico de altimetria. ____________________________________________________________________________________

    1- ALGUMAS DEFINIES

    a) Verticais: So linhas de fora do campo gravitacional terrestre Figura 2.1.

    Vertical de um ponto P: a reta tangente linha de fora nesse ponto. Representa a direo do vetor gravidade e pode ser materializada pelo fio de prumo de um teodolito.

    b) Plano horizontal: Qualquer plano perpendicular vertical. c) ngulo Horizontal (): Qualquer ngulo medido em um plano horizontal. Figura 2.2. d) Plano vertical: Qualquer plano que contenha a vertical. e) ngulo Vertical () : Qualquer ngulo medido em um plano vertical. Figura 2.3 f) Equador: Plano que contm o centro da Terra e perpendicular ao seu eixo de rotao. g) Paralelos: Planos paralelos ao equador. h) Meridianos: Planos verticais que contm o eixo de rotao da Terra. i) Meridiano Zero : o meridiano definido pelas estaes que acompanham o movimento de rotao

    da Terra. Est cerca de 100 m a leste do meridiano do eixo ptico do telescpio do observatrio de Greenwich, que de 1884 a 1987 foi o meridiano zero ou meridiano de

    P

    Figura 2.1 - Campo gravitacional terrestre e vertical em um ponto P.

  • Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartgrafos

    17

    origem, tambm podendo ser chamado de primeiro meridiano ou ainda International Reference Meridian IRM, que significa Meridiano Internacional de Referncia.

    j) Latitude de um ponto: o ngulo, medido no meridiano do ponto, formado pela vertical deste ponto com sua projeo equatorial. Sua contagem feita com origem no equador e varia de 0 a 90, positivamente para o norte (N) e negativamente para o sul (S). Figura 2.4.

    k) Longitude de um ponto: o ngulo, medido no equador, entre o meridiano zero e o meridiano do ponto. Sua contagem feita de 0 a 180, positivamente para leste (L ou E)1 e negativamente para oeste (O ou W)2. Figura 2.4.

    l) Circunferncia mxima: Circunferncia formada pela interseo de qualquer plano que contm o centro de uma esfera com a sua superfcie. Tem o mesmo raio da esfera.

    1 (L ou E): Em portugus, se utiliza L de Leste, e no idioma ingls, se utiliza E de East.

    2 (O ou W): No idioma portugus, usa-se O de Oeste, e em ingls utiliza-se W de West.

    Figura 2.2 - Plano e ngulo Horizontais

    HZ

    Figura 2.3 - Plano e ngulo Verticais

    VT

    Vertical de P Vertical de P

    P

    P

    Figura 2.4 Coordenadas geogrficas

    P

    Meridiano Zero

    Meridiano de P

    Vertical de P

    Latitude de P

    Longitude de P

    PN

    PS

    L

    O

    Equador

  • Rodrigues, D.D.; Gonalves, R.P. - 2010 Goniometria

    18

    m) Distncia esfrica: distncias medidas ao longo de circunferncias que podem ser meridianos (dM), equador (dEQ), paralelos (dP) ou uma circunferncia mxima qualquer (de), conforme Figura 2.5. Na Figura 2.5, PS representa o Plo Sul; PN o Plo Norte; QQ o equador; R o raio do modelo terrestre esfrico; f latitude de um paralelo; Df diferena de latitudes;

    D diferena de longitudes e B e C representam as posies de dois pontos no

    hemisfrio sul, sobre a superfcie esfrica.

    A distncia esfrica ao longo de um meridiano, uma circunferncia mxima, dada pela equao 2.1:

    rad

    radM

    Rd

    22

    sendo assim,

    radM Rd = (2.1)

    e ao longo do equador, tambm uma circunferncia mxima, assim como foi deduzido para o meridiano, esta dada por:

    radEQ Rd = (2.2)

    Portanto, considerando o raio do modelo esfrico da Terra (R) igual a aproximadamente 6 371 km, para seguimentos ao longo de meridianos ou do equador, um ngulo (D ou Df) de 1 (um grau) corresponde a 111 km, de 1 a 1,9 km e de 1 a 30 m, aproximadamente. Na tabela 2.1, pode-se observar algumas destas distncias relacionadas a diferentes ngulos.

    Tabela 2.1 Relao entre distncia angular e distncia sobre o crculo mximo do modelo esfrico terrestre.

    Figura 2.5 Distncias esfricas

    PS

    PN

    de f

    dEQ

    dM

    dP

    Rcosf

    R

    D

    Df

    D

    Q Q

    D

    B

    PS

    PN

    de C

    fB

    fC

    Q Q

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    19

    Distncia Angular

    Distncia sobre o crculo mximo (metros)

    1 111133 1 1852 1 31 0,1 3 0,01 0,3 0,001 0,03 0,0001 0,003 0,00001 0,0003

    J uma distncia esfrica ao longo de um paralelo de latitude f dada por:

    radP cosRd = (2.3)

    e ao longo de uma circunferncia mxima qualquer unindo dois pontos - pontos B e C da Figura 2.5, por exemplo - de latitude e longitude conhecidas, pode ser determinada empregando-se as equaes (2.4) e (2.5), a seguir:

    += coscoscossensendcos CBCBe (2.4)

    radee dRd = (2.5)

    Aps estas definies, espera-se que o leitor esteja apto para o estudo das tcnicas simples de medio dos ngulos normalmente empregados na Engenharia.

    EXERCCIO: 2.1) Suponha um ponto inicial A na cidade de Viosa MG, com coordenadas = 20

    45 15 S e = 42 52 50 W, e o Raio da Terra R = 6.371 Km. Pede-se:

    a) Calcular a distncia d1 entre dois pontos sobre a esfera terrestre considerando ambos sobre a linha do equador e com diferena de longitude igual a 00 30.

    Resposta: d1 = 55.597,463 metros.

    b) Calcular a distncia d2 percorrida entre o ponto A e um ponto B com coordenadas = 20 45 15 S e = 42 22 50 W.

    Resposta: d2 = 51.989,713 metros.

    c) Calcular a distncia d3 percorrida entre o ponto B e um ponto C com coordenadas = 18 45 15 S e = 42 22 50 W.

    Resposta: d3 = 222.389,853 metros.

    d) Calcular a distncia d4 percorrida entre o ponto C e um ponto D com coordenadas = 18 45 15 S e = 43 22 50 W.

    Resposta: d4 = 105.291,227 metros.

    e) Calcular a distncia d5 percorrida entre o ponto D e o ponto A.

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    20

    Resposta: d5 = 228.461,881 metros.

    2- MEDIO SIMPLES DE NGULOS HORIZONTAIS

    Em textos mais avanados sero estudados mtodos que permitem a eliminao de erros sempre presentes na medio de ngulos. Por hora, sero tratados apenas dos mtodos simples, sem a preocupao com a eliminao de erros residuais.

    2.1- Com trena:

    Parte-se do princpio de que medindo trs lados de um tringulo possvel determinar seus ngulos. Se os segmentos medidos esto contidos em um plano horizontal os ngulos sero horizontais, se esto em um plano vertical sero verticais e se estiverem contidos em planos inclinados os ngulos sero espaciais Figura 2.6. Obviamente, erros cometidos na medio das distncias afetaro os valores determinados para os ngulos.

    Para calcular os ngulos, emprega-se a lei dos co-senos, conforme equao 2.6.

    += coscb2cba 222 (2.6)

    Portanto

    +=

    cbacb

    2arccos

    222

    (2.7)

    EXERCCIOS:

    2.2) Para quais valores de a, b e c o ngulo ser reto (90o) ?

    Soluo: Como os menores inteiros possveis de se obter, de modo que a condio seja satisfeita, so os lados de 5, 4 e 3, ento, pode-se dizer que multiplicando-se todos os lados do tringulo retngulo por uma constante x qualquer, assim na Tabela 2.2, possvel observar alguns valores para a, b e c.

    Figura 2.6 ngulo com trena

    C

    A

    B

    a

    c

    b

    HZ

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    21

    Tabela 2.2 Valores para a, b e c, de modo que o ngulo .da Figura 2.6 seja igual a 90. Constante a b c

    x = 0,1 0,5 0,4 0,3 x = 0,5 2,5 2,0 1,5 x = 1,0 5,0 4,0 3,0 x = 2,0 10,0 8,0 6,0 x = 5,0 25,0 20,0 15,0 x = 10,0 50,0 40,0 30,0

    Lembrando que, x poder assumir qualquer valor, sendo a escolha de seu melhor valor, justificada pelas condies a que ser medido o ngulo na prtica, como espao fsico para materializar o tringulo, e at mesmo, o comprimento mximo da trena.

    2.3) Suponha um tringulo plano ABC de lados a, b e c, medidos com uma trena. Pede-se calcular o ngulo BC quando:

    a) a = 20m; b = 12m; c = 16m. Resposta = 90 00 00,0

    b) a = 13,5m; b = 13,5m; c = 13,5m. Resposta = 60 00 00,0

    c) a = 13,5m; b = 18,5m; c = 8m. Resposta = 40 49 15,2

    2.2- Com teodolito

    Instrumentos que medem ngulos so chamados gonimetros; se medem ngulos horizontais e verticais, teodolito e se medem eletronicamente, ngulos horizontais e verticais, so denominados teodolitos eletrnicos, e se alm disso, tambm medirem distncias eletronicamente, ento podem ser chamados de estao total.

    Os limbos so os crculos graduados dos instrumentos empregados em topografia, podendo ser encontrados limbos com a graduao nos sentidos, horrio e anti-horrio. Empregando a graduao horria, o ngulo medido chamado de ngulo horrio e, caso contrrio, ngulo anti-horrio, independentemente do sentido em que o instrumento girado, uma vez que o limbo permanece fixo e o que gira a marca de referncia para leitura ou o vernier. Observe na Figura 2.7 que o ngulo medido o ngulo horrio CAB , porque a graduao empregada horria, a origem est em B e o trmino est em C. Observe que isto independe do sentido em que o vernier girado.

    Em verdade, no se mede um ngulo diretamente, mas sim duas direes: a direo inicial e a final. O ngulo resultado da diferena entre essas direes, ou seja:

    inicialfinal = (2.8)

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    22

    e se a direo inicial ( inicial ) for igual a zero, ou se o instrumento zerado na direo inicial, ento o ngulo observado ser igual direo final.

    No caso do ngulo horrio CAB da Figura 2.7, este derivado das direes horrias, inicial (AB) e final (AC):

    ABACCAB = (2.9)

    A Figura 2.8 mostra dois ngulos com mesma direo de origem (AB) e de trmino (AC); porm, um horrio e o outro anti-horrio.

    Como j mencionado, os ngulos de um teodolito podem ser obtidos tambm de forma eletrnica, o que em muitas vezes facilita e agiliza o trabalho de campo, alm de reduzir as possibilidades de erros humanos, como na anotao das leituras dos ngulos ou direes.

    0

    10

    20

    350

    0 10

    30 .

    .

    .

    A

    B

    C

    Figura 2.7: Leitura de um ngulo horrio com um teodolito mecnico

    AC

    AB

    Figura 2.8: ngulo horrio e ngulo anti-horrio

    A B

    C

    ngulo horrio BC

    ngulo anti-horrio BC

    AB AC

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    23

    2.3- Com teodolito eletrnico

    H equipamentos topogrficos que utilizam metodologia eletrnica para medio de ngulos, sendo estes medidores eletrnicos de ngulos, peas internas aos teodolitos eletrnicos ou estaes totais, que so tambm conhecidos por Electronic Circle Scanning Devices (Crculo Eletrnico com Dispositivos de Scanner), e estes dispositivos so baseados na medio de ngulos da forma convencional e mecnica.

    Em teodolitos com leitura angular ptica, os crculos de graduao so compostos por uma quantidade determinada de traos que efetivam as subdivises no sistema sexagesimal, acompanhadas de uma numerao que permitam ao observador realizar a leitura da direo de forma direta, como pode ser observado na Figura 2.7.

    J nos teodolitos com medio angular eletrnica, o sistema de leitura composto por um crculo com subdivises, tornando o crculo graduado, geralmente de plstico ou vidro, ambos transparentes com os traos em preto ou cor escura e opaca em forma de linhas ou outros padres, que ao serem lidas eletronicamente atravs de uma rasterizao ou escaneamento, composta por fotodiodos detectores de luz, transformam o conjunto de traos e cdigos em nmeros do sistema binrio (0 ou 1), possibilitando a obteno do valor numrico referente direo angular medida.

    Tanto no mtodo mecnico convencional quanto no eletrnico, existem algumas especificaes e at mesmo instrumentos diferenciados que tornam a mensurao mais ou menos precisa. Mtodos de interpolao da leitura tambm so largamente utilizados para a obteno de medidas mais acuradas, fazendo com que a sensibilidade do aparelho ganhe importncia durante seu manuseio.

    Estes sistemas no possibilitam a obteno de leituras angulares com precises satisfatrias s aplicaes geodsicas e topogrficas. Porm, a preciso suficiente pode ser alcanada atravs da introduo de interpoladores eletrnicos e com leituras (scanners) diametralmente opostas, alm da combinao dos mtodos da coincidncia, da comparao de fases e do mtodo de interpoladores matemticos.

    Estes mtodos de interpolao, denominados Interpolao eletrnica de alta acurcia que do caractersticas de escaneamento fino, ou seja, com maior acurcia aos instrumentos, alm de aumentarem a significncia das leituras. Dois mtodos de interpolao so considerados como os principais, so eles: o Mtodo da Coincidncia e o Mtodo da Comparao entre fases.

    Como exemplo, ser explorado o sistema de leitura eletrnica de ngulos do instrumento Theomat T2000, que se trata de um teodolito eletrnico da marca WILD, que utiliza o mtodo de interpolao da comparao entre fases.

    O sistema de escaneamento angular deste instrumento consiste em girar o crculo de vidro, onde duas barreiras claras so fixadas em posies diametralmente opostas (LS) e outras duas assim como a anterior, representadas por (LR), no entanto, a segunda rotaciona com o teodolito. O crculo contm 1024 (210) divises uniformemente distribudas, e materializadas por linhas graduadas.

    De forma a tornar mais clara a explicao, pode-se observar na atravs da Figura 2.9, que o sistema conta com duas barreiras, sendo uma fixa (LS) e a outra mvel (LR), onde a primeira representa assim, a direo zero do crculo, fazendo com que, deste modo, o ngulo formado entre estas duas barreiras corresponda ao valor angular da leitura.

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    24

    Figura 2.9: Escaneamento fino de crculos utilizando o mtodo de comparao entre fases (Teodolito WILD T2000) (: ngulo de fase; T: tempo). Fonte: Kahmen & Faig (1988)

    Os principais componentes destas barreiras de luz (LS e LR) so um transmissor e um receptor de diodo. Uma rotao da graduao do crculo causa uma modulao senoidal da luz de diodo transmitida. O receptor de diodo converte o sinal da luz em um sinal eltrico. O sinal anlogo ento convertido em um retangular para um processamento futuro. As barreiras de luz geram assim, tais sinais retangulares cada (Figura 2.9), em que o ngulo ento obtido pela diferena de fase entre os dois sinais, conforme equao 2.10(a), ou semelhantemente pelos sinais retangulares na equao 2.10(b).

    0.n = + (2.10a)

    0.T n T T= + (2.10a)

    Mais detalhes sobre os processos de medio eletrnica de ngulos com teodolitos, seus mtodos em completa descrio e exemplos de outros instrumentos, podem ser encontrados em Kahmen & Faig (1988).

    2.4- Efeitos da curvatura da Terra em ngulos horizontais

    Em uma regio pequena, num raio de aproximadamente 30 Km (campo de atuao da topografia) pode-se admitir a Terra como um plano. Para uma regio um pouco maior, pode-se admitir um modelo esfrico para a forma da Terra. Para a Terra como um todo, o modelo geomtrico que mais se adapta ela o elipside de revoluo, obtido girando-se uma elipse em torno de seu eixo menor. Todos estes so modelos matemticos, figuras exatas para a forma da Terra. Em verdade ela se

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    25

    diferencia de todos eles. O modelo fsico para a Terra o Geide, com superfcie de mesmo potencial gravitacional altura do nvel mdio dos mares (Figura 2.10).

    Quando as grandezas medidas sobre a Terra so tratadas como se tivessem sido realizadas em um plano, cometem-se erros. Supondo-se que as medidas foram realizadas sobre uma esfera, e as tratam como tal, estes erros sero menores, j se considerado que foram realizadas sobre o elipside, menores ainda. Trabalhando com o geide, chega-se mais prximo dos valores naturais. Ao admitir a Terra como um plano, precisa-se diminuir o raio de ao para minimizar os erros. medida que se aumenta este raio devem-se considerar o modelo esfrico, elipsidico ou geoidal, e aprimorar os mtodos de medio, processamento e representao.

    Na topografia, o mais comum o trabalho com superfcies planas e que no ultrapassem os tais 30 Km de raio, porm, ao se trabalhar considerando os efeitos de curvatura terrestre, pode-se considerar que esto sendo utilizadas tcnicas de geodsia para com os dados. Em um plano, a soma dos ngulos internos de um tringulo 180o; j em uma esfera, esta soma um pouco maior. O que excede de 180o chamado de excesso esfrico, cujo valor d uma idia do erro que se comete nos ngulos ao admit-los como planos e, portanto, do raio de ao em que se pode admitir a Terra como tal. Seja a Figura 2.11 um tringulo esfrico de rea S. A soma dos ngulos internos do tringulo ser:

    +=++ o180CBA (2.11)

    onde o excesso esfrico que, em segundos sexagesimais, pode ser calculado por (Espartel, 1982):

    Superfcie Fsica

    Plano Topogrfico

    Superfcie Elipsoidal

    Superfcie Esfrica

    Superfcie Geoidal

    Figura 2.10 Modelos Terrestres

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    1sen1

    RS

    2

    = (2.12)

    sendo R o raio da esfera modelo.

    Segundo o teorema de Legendre, para tringulos com lados menores que 120 km, a rea de um tringulo esfrico igual rea do tringulo plano cujos lados tm o mesmo comprimento dos correspondentes lados do esfrico, ou seja, o tringulo plano da Figura 2.12 tem a mesma rea do esfrico da Figura 2.11, pois seus lados correspondentes tm o mesmo comprimento, quais sejam: a, b e c.

    Para um tringulo esfrico e eqiltero de lados iguais a l a rea S pode ser dada por:

    2

    2

    R43lS

    = (2.13)

    e portanto

    1sen1

    R43l

    2

    2

    = (2.14)

    Adotando o valor de 6 371 km para o raio da Terra, pode-se verificar que para l = 30 km, = 2.

    A

    B

    C

    S

    a

    b

    c

    Figura 2.11 Tringulo esfrico.

    b a

    c

    S

    Figura 2.12 - Tringulo plano correspondente ao tringulo esfrico da Figura 2.10

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    27

    EXERCCIO:

    2.4) Suponha um tringulo esfrico eqiltero ABC de lado l e admitindo R = 6371 Km. Pede-se calcular o excesso esfrico deste tringulo quando:

    a) l = 10 km. Resposta = 0,2

    b) l = 20 km. Resposta = 0,9

    c) l = 30 km. Resposta = 2

    d) l = 50 km. Resposta = 5,5

    e) l = 100 km. Resposta = 22

    3- AZIMUTES

    Azimutes so ngulos horizontais horrios com origem no lado norte do meridiano que passa pelo vrtice, variando de 0 a 360o (Figura 2.13), normalmente empregados para orientar plantas topogrficas em relao ao eixo de rotao da Terra. Na Figura 2.13, AZAB o azimute de A para B, medido a partir da estao A, visando a estao B, ou seja, o azimute da direo AB.

    Se o meridiano adotado o natural ou geogrfico, o azimute com origem no lado norte do meridiano chamado de azimute natural ou verdadeiro (pode ser determinado atravs de mtodos astronmicos realizando observaes ao sol ou s estrelas); se o meridiano for o geodsico, tem-se o azimute geodsico (determinado, por exemplo, atravs de observaes a satlites de navegao); se o meridiano for o magntico, tem-se o azimute magntico, [3.2], e se a origem for um alinhamento paralelo ao meridiano central tem-se o azimute plano, [3.3].

    Azimute astronmico, determinado e usado em astronomia de posio, o azimute que tem como origem o lado sul do meridiano astronmico.

    Todos esses azimutes so relacionados entre si e um pode ser determinado a partir do outro.

    Figura 2.13: Azimute

    ABAZ

    ACAZA

    B

    N

    C

    HZ

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    28

    3.1- Azimute geogrfico (AZG)

    Neste texto, sero desconsideradas as diferenas entre meridiano astronmico e geodsico; e azimute geogrfico pode ser: o natural, o geodsico ou um ngulo bem prximo destes (na ordem de minutos). Na Figura 2.14 esto representados dois pontos (A e B), os meridianos geogrficos destes pontos, o azimute geogrfico de A para B, GABAZ , e o azimute geogrfico de B para A, GBAAZ . Observe

    que em pontos fora do equador, as tangentes aos meridianos no so paralelas e conseqentemente o mdulo da diferena entre os azimutes de A para B e de B para A no exatamente igual a 180o, ou seja,

    Ce180AZAZ oGBAGAB = (2.15)

    onde o ngulo Ce chamado de convergncia meridiana esfrica. No caso da Figura 2.14-a, temos a equao 2.16-a. E para a situao da Figura 2.14-b, temos a

    equao 2.16-b.

    180G G oAB BAAZ AZ Ce= + (2.16-a)

    180G G oAB BAAZ AZ Ce= + (2.16-b)

    Deve-se notar que caso os pontos estejam acima da linha do equador, ou seja, no hemisfrio Norte, o leitor encorajado a fazer um esboo para definir quais seriam os sinais da equao 2.15 mais adequados para cada caso.

    Figura 2.14 Azimutes geogrficos e convergncia meridiana esfrica para pontos em posies distintas.

    NGA

    Polo Sul

    A

    B

    GABAZ G

    BAAZ

    NGB

    Ce

    NGA

    Polo Sul

    A

    B

    GBAAZ

    GABAZ

    NGB

    Ce

    (a) (b)

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    29

    3.1.1 - Mtodos aproximados para determinao do meridiano geogrfico

    Devido ao tempo gasto e impreciso, os mtodos aproximados para determinar o meridiano geogrfico raramente so utilizados, porm servem para estimular a curiosidade em relao astronomia de posio. Os mtodos apresentados se baseiam na hiptese, claramente no verdadeira, de que o sol percorre trajetrias circulares com a rotao da Terra e que o pice da trajetria ocorre quando ele cruza o meridiano do lugar, de forma que ao determinar esse pice, materializa-se o meridiano geogrfico.

    a) Mtodo das sombras: O meridiano geogrfico pode ser materializado dispondo-se de um mastro, uma estaca ou um

    poste devidamente verticalizado e marcando, em horas simtricas s 12:00 h, de meia em meia ou de hora em hora, a posio da sombra de seu topo. Na Figura 2.15, os pontos 1, 2, 3, e 4 representam as posies da sombra do topo de um mastro posicionado no ponto A, s 10:00, 11:00, 13:00 e 14:00 h. Uma curva pode ser ajustada a estes pontos. Com um cordo amarrado ao mastro traa-se uma curva com raio qualquer de forma a cruzar a curva definida pelos pontos marcados. Os pontos P e Q so definidos pelas intersees dessas curvas. A linha que contm o mastro e simtrica aos pontos P e Q a direo aproximada do meridiano. Segundo Wolf (2006), se o terreno for plano, o mastro bem verticalizado, e as posies das sombras marcadas com o devido cuidado, pode-se materializar o meridiano com uma acurcia de 30.

    b) Mtodo das alturas iguais Instalado um teodolito em uma estao A, observa-se o sol s 9:00 horas, aproximadamente,

    conforme mostrado na Figura 2.16, anotando o ngulo zenital, abaixando a luneta e marcando o ponto P, aproximadamente a 150 m do ponto A. Por volta das 15:00 horas, fixa-se a luneta, com a preciso que o instrumento permite, na elevao do ngulo zenital lido e, acompanhando o sol3 - sem alterar o ngulo

    3 Nunca se observa o sol diretamente atravs de uma luneta sem algum redutor de luminosidade ou filtro. Outra

    opo alm do uso do filtro projetar o sol em um papel branco atrs da ocular.

    1 2 3

    4 P Q c

    NG

    Figura 2.14 Materializao do meridiano geogrfico pelo mtodo das sombras.

    A

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    30

    zenital da luneta - determina-se a direo horizontal para a qual o sol estar novamente na mesma altura. Nesta posio, baixa-se a luneta e marca-se o ponto Q, tambm a, aproximadamente, 150 m do

    ponto A. A bissetriz do ngulo horizontal QAP materializa o meridiano geogrfico e a partir dele pode-se medir azimutes geogrficos de qualquer alinhamento.

    Ao observar o sol pode-se tomar como referncia o seu centro, que um ponto de referncia impreciso, e tentar passar por ele o cruzamento dos fios do retculo; porm o melhor tangenciar, nos fios, as bordas inferior e direita de manh e as bordas inferior e esquerda tarde, como mostrado na Figura 2.16.

    Para obter melhores resultados e contornar a possibilidade de que nuvens impeam o xito do trabalho recomenda-se realizar observaes em outras horas simtricas ao meio dia, como 10:00, 11:00, 13:00 e 14:00 h, aproximadamente.

    3.2- Azimute Magntico (AZM)

    O Azimute Magntico pode ser definido como o ngulo horizontal horrio que o lado norte do meridiano magntico faz com um alinhamento.

    Meridiano magntico: Plano que contm a tangente a uma linha de fora do campo magntico terrestre e os plos magnticos (Figura 2.15).

    bom lembrar que estes plos no coincidem com os plos geogrficos. Em 2005 o plo norte magntico estava localizado aproximadamente a 118 a oeste de Greenwich e a 83 acima do equador. J o plo sul magntico situava-se, aproximadamente, na longitude 138 a leste e com latitude 64 sul (NGDC, 2008).

    P Q

    NG

    Figura 2.16 Materializao do meridiano geogrfico pelo mtodo das alturas iguais do sol.

    2QAP

    2QAP

    9:00 h 15:00 h

    Estao A

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    31

    A tangente ao meridiano magntico em um determinado ponto materializada por uma agulha imantada, apoiada em seu centro de gravidade e com liberdade para girar. A Figura 2.16, representa esta agulha, em que sua extremidade que aponta para o plo norte denominada ponta norte.

    Devido fora magntica, essa agulha se inclina em relao ao plano horizontal e orienta-se segundo o plano vertical do meridiano magntico, dando origem inclinao magntica (ngulo vertical das Figuras 2.17-a e 2.17-b). Essa inclinao aumenta com a latitude dificultando o emprego de bssolas em latitudes acima de 60. Um contrapeso faz com que a agulha permanea na horizontal.

    A Figura 2.18 mostra a variao geogrfica da inclinao magntica em relao ao eixo de rotao da Terra (I). A linha formada por pontos onde a inclinao nula denomina-se equador magntico.

    Declinao Magntica ( ): o ngulo horizontal que o meridiano magntico forma com o meridiano geogrfico em um determinado ponto, ou seja, a diferena entre os azimutes geogrfico e magntico de um mesmo alinhamento, ou ainda,

    MAB

    GABA AZAZ = (2.17)

    N

    S

    Polo Norte Magntico

    Polo Sul Magntico

    Meridiano Magntico

    Figura 2.15: Meridianos e plos magnticos

    Figura 2.17-a: Inclinao magntica em uma agulha no hemisfrio Sul magntico.

    H H

    NM

    H H

    Figura 2.17-b: Inclinao magntica em uma agulha no hemisfrio Norte magntico.

    NM

    Figura 2.16 Agulha imantada

    NM

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    Se o azimute magntico maior que o geogrfico (norte magntico a oeste do geogrfico), a declinao negativa e dita declinao ocidental; caso contrrio (norte magntico a leste do geogrfico), dita declinao oriental, como mostram as Figuras 2.19-a e 2.19-b.

    Nos casos em que a direo a ser observada estiver entre as direes do norte magntico e geogrfico, ento o valor da declinao passa de negativo para positivo ou vice-versa, como pode ser observado nas Figuras 2.19-c e 2.19-d.

    A declinao pode ser determinada por magnetmetros, bssola e teodolito ou de forma aproximada, empregando bssolas e uma carta, de onde se determina o azimute geogrfico.

    A declinao magntica varia com a posio geogrfica e com o tempo. A Figura 2.20 mostra um mapa com valores da declinao para o ano 2000. Linhas de mesma declinao magntica so denominadas Isognicas. Na Figura 2.20 observa-se que a declinao magntica, no Brasil, em 2000, estava entre -23o (ou 23o W) no extremo leste do Pas, e a 3o (3o W) no extremo oeste.

    Figura 2.18 Variao geogrfica da inclinao magntica em relao ao eixo de rotao da Terra (I) - (Fonte: NGDC, 2008)

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    33

    As variaes do campo magntico podem ser de curto ou longo perodo, bem como sofrer anomalias devido s tormentas magnticas, podendo ter origem no interior ou exterior da Terra. A variao de fonte interna, tambm chamada variao secular, deve-se ao movimento das cargas eltricas da parte lquida do ncleo terrestre (formado por nquel e ferro), que funciona como um m cujo magnetismo d origem ao campo magntico terrestre. A variao de fonte externa est ligada atividade solar, que altera o sistema de correntes formado por partculas eletricamente carregadas da ionosfera. O campo magntico terrestre influenciado pela energia solar recebida pela Terra, que varia em funo de fatores como estaes do ano, perodos do dia ou ocorrncia de exploses solares (NGDC, 2008).

    Variaes da declinao ( ): Obviamente, variaes no campo magntico terrestre, com tempo, levam a variaes na declinao magntica. Estas variaes dependem da posio geogrfica e podem chegar a 10 por dia. O Observatrio Nacional (ON) publica, de cinco em cinco anos, arquivos ou cartas magnticas do Brasil que contm as Isopricas, ou seja, linhas de mesma variao da declinao magntica. (ON,2008).

    Figura 2.19-a: Declinao negativa ou ocidental

    NM

    NG

    < 0

    L O

    w

    O

    FFigura 2.19-b: Declinao positiva ou oriental

    NM

    NG

    L

    > 0

    e

    Figura 2.19-c: Declinao positiva ou ocidental

    NM

    NG

    > 0

    L O

    w

    FFigura 2.19-d: Declinao negativa ou oriental

    O

    NM

    NG

    L

    < 0 e

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    A Figura 2.21 mostra um esboo de parte da carta magntica do Brasil de 2000 (regio de Viosa MG).

    A declinao magntica em um determinado local, para uma determinada poca t, pode ser calculada realizando interpolaes na carta magntica confeccionada para uma poca to empregando a seguinte equao:

    - 45o - 40o

    - 25o

    - 20o

    - 20 - 21 - 22

    - 23

    - 6,0 - 5,5 - 5,0 - 4,5

    - 4,0

    V

    Curva isoprica ( /ano) Curva isognica (o) Ano de referncia: 2000

    Figura 2.21: Trecho da Carta Magntica do Brasil - 2000

    Figura 2.20 Mapa de isognicas para o ano 2000. (Fonte: NGDC, 2008)

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    )( ototot tt += (2.18)

    onde to = poca, para a qual foi confeccionado a carta isognica (em anos), t

    = poca, para a qual se deseja calcular a declinao magntica (em anos), to = Declinao magntica, para o local, extrada da carta isognica (em minutos

    sexagesimais),

    to = Variao da declinao, para o local, extrada do mapa (em minutos por ano) e

    t = Declinao magntica, para o local, na poca t (em minutos).

    Atualmente, para atualizar as declinaes e suas variaes emprega-se cartas magnticas digitais e programas de computador especficos para tal fim. Na pgina (http://staff.on.br/~jlkm/magdec/index.html) do Observatrio Nacional (ON) possvel determinar diretamente, para qualquer municpio brasileiro, a declinao magntica (D, de acordo com o software), a inclinao magntica em relao ao eixo de rotao da Terra (I), as componentes da intensidade do campo magntico, horizontal (H), norte (X), leste (Y) e vertical (Z) e a intensidade total (F). Explicaes sobre estas grandezas e sobre modelos geomagnticos podem ser encontradas na pgina (http://www.ngdc.noaa.gov/seg/geomag/faqgeom.shtml#q1) do National Geophysical Data Center (NGDC).

    Quanto ao perodo de validade dos clculos, isto depender do modelo que est sendo empregado pelo programa. Este modelo informado na tabela de resultados do processamento e normalmente, o perodo de uso de um modelo de cinco anos. Por exemplo, o modelo WMM-2005 pode ser empregado somente at 2010.

    EXERCCIO PROPOSTO: Empregando um software, determinar a declinao magntica em Viosa para o dia atual.

    Uma vez que o norte magntico sofre variaes at mesmo dirias, uma planta topogrfica deve ser orientada pelo norte geogrfico e no pelo magntico. No entanto, este pode ser determinado a partir daquele, se a declinao para uma poca t conhecida, empregando-se a seguinte equao:

    tMt

    G AZAZ += (2.19)

    O azimute magntico num determinado local e numa poca t ( MtAZ ), pode ser medido empregando:

    Uma bssola, onde uma agulha imantada instalada no centro de um limbo graduado, gira livremente por 360o ou

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    Um gonimetro dotado de declinatria. Numa declinatria a agulha no gira livremente e estar centralizada em seu visor quando a luneta estiver apontada para o norte. O azimute deve ser lido no limbo horizontal do gonimetro;

    Ainda hoje comum encontrar-se plantas orientadas pelo norte magntico; porm, se a data de medio do azimute constar na planta, o azimute geogrfico e consequentemente o meridiano geogrfico, podem ser resgatados atravs da equao (2.19).

    A tendncia atual utilizar receptores de sinais de satlites de navegao para determinarem coordenadas de dois pontos e a partir destas, obter diretamente o azimute geogrfico. Bssolas e declinatrias esto atualmente em desuso para fins topogrficos.

    3.3- Azimute Plano ou Azimute da Carta (AZP):

    Como desenhar ou representar graficamente a Terra, que quase esfrica, em um plano? Uma resposta detalhada a esta questo encontrada em textos especficos de representaes cartogrficas. Aqui ser feita uma breve introduo ao sistema de projeo UTM apresentando suas caractersticas principais.

    Fisicamente no possvel representar a Terra em um plano sem deform-la. O problema se torna em minimizar as deformaes, saber o que foi deformado e o quanto foi, estabelecendo uma relao matemtica, uma correspondncia biunvoca Terra-Planta. Tem-se assim um sistema de projeo plana.

    Entre os vrios sistemas de projeo existentes, o mais empregado na engenharia, e recomendado pela Unio de Geodsia e Geofsica Internacional (UGGI), o sistema Universal Transverso de Mercator UTM. Universal porque pode ser empregado em todas as longitudes, ficando, porm, limitado s latitudes menores que 80; Transverso porque a projeo feita sobre um cilindro transversal, perpendicular, ao eixo de rotao da Terra (Figura 2.22), e Mercator se deve a Gerhard Kremer Mercator, cartgrafo que iniciou o desenvolvimento desse sistema.

    As superfcies de projeo utilizadas em diferentes sistemas de projeo so: um plano, um cilindro ou um cone, lembrando que o cilindro e o cone podem ser planificados sem deformao.

    Figura 2.22: Projeo Universal Transverso de Mercator - UTM.

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    O sistema de projeo UTM apresenta as seguintes caractersticas (Figura 2.23):

    a) O equador uma linha reta horizontal; b) Os meridianos localizados nas longitudes oooo N )3.6(,15,9,3 + , com N variando de 0

    a 29, a Oeste ou a Leste de Greenwich, so retas na vertical e denominados Meridiano Central (MC).

    c) Os demais meridianos so curvas voltadas para o Meridiano Central; d) Os paralelos so curvas de concavidade voltada para os plos; e) Linhas retas paralelas ao meridiano central definem os Nortes de Quadrcula - NQ. Os

    nortes de quadrcula so, portanto, paralelos, independentemente da distncia que os separam, e a diferena entre os dois azimutes planos de um mesmo alinhamento exatamente 180 (Figura 2.24). O azimute de B para A pode ser chamado de contra-azimute do azimute de A para B.

    f) O ngulo entre o Norte Geogrfico e o Norte de Quadrcula denominado convergncia meridiana plana ( ) e pode ser determinado, de forma aproximada, pela seguinte equao (CHAGAS,1965):

    AMCAA sen)( (2.20)

    Onde A a convergncia meridiana no ponto A;

    A a longitude do ponto A, negativa a oeste de Greenwich; FA a latitude do ponto A, negativa ao sul do equador e

    Equador

    MC

    NQ

    NQ

    NG NG

    NQ

    GABAZ A

    B PABAZ

    A

    C

    C

    Figura 2.23: Caractersticas da projeo UTM.

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    MC a longitude do meridiano central, negativa a oeste de Greenwich.

    Observe na Equao (2.20) e na Figura 23, que se o norte de quadrcula (NQ) estiver a oeste do norte geogrfico (NG) a convergncia meridiana plana negativa e, se a leste, positiva. Figuras 2.25-a e 2.25-b.

    O azimute geogrfico pode ser determinado a partir do azimute plano empregando a equao (2.21)

    APAB

    GAB AZAZ += (2.21)

    Vale ressaltar que assim como nas situaes apresentadas nas Figuras 2.19-c e 2.19-d, o mesmo pode acontecer para a Figura 2.25, onde o alinhamento pode estar situado entre as duas linhas de Norte. Assim, o leitor encorajado a esboar tal situao a fim de verificar o sinal da convergncia para ambos os casos.

    NQ NG

    < 0

    L O

    Figura 2.25-a: Convergncia negativa

    O

    NQ

    NG

    L

    Figura 2.25-b: Convergncia positiva

    > 0

    PABAZ P

    BAAZ

    Figura 2.24: Azimutes planos ou da carta.

    A

    B

    NQ NQ

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    EXERCCIOS: Admitindo um raio da Terra de 6 371 km,

    2.5) Calcular a distncia esfrica do meridiano central de longitude -45 cidade de Viosa, ao longo do paralelo. As coordenadas aproximadas de Viosa so: latitude = -20 45 e longitude -42 52.

    Resposta: dp = 221,83 Km.

    2.6) Calcular a convergncia meridiana em Viosa.

    Resposta: Como no caso desse exerccio, um dos pontos est sobre o Meridiano Central, ento pode-se dizer que nesse ponto, o Norte Geogrfico se confunde com o Norte Quadrcula. Sendo assim, podemos obter a Convergncia Meridiana de Viosa (Ce) atravs da equao 2.20. Ento: Ce = - 00 44 13

    2.7) Calcular para o paralelo de Viosa, o comprimento de arco no paralelo e a convergncia meridiana para as seguintes diferenas de longitude ( ) em relao ao meridiano central: 1, 1, 17,3, 28,9 e 34,6.

    A Tabela 2.3 mostra os resultados do exerccio 2.7. Estes resultados revelam que no campo de atuao da topografia podem-se admitir os nortes paralelos, sem incorrer em erros significativos. Os azimutes medidos em topografia tm, normalmente, uma preciso abaixo de trinta minutos. Vale lembrar que o objetivo dos azimutes orientar as plantas em relao ao eixo de rotao da Terra e, alm disso, no afetam as distncias nem as reas.

    Tabela 2.3: Comprimento de arco e convergncia meridiana ao longo do paralelo de Viosa MG. R = 6371 km

    Diferena de longitude ( )

    Comprimento do arco no paralelo de latitude -20 45 dP (km)

    Convergncia Meridiana

    1 0,029 -0,35 1 1,73 -21

    17,3 30 -6 28,9 50 -10 34,6 60 -12

    4- RUMOS (bearings)

    So ngulos horizontais horrios e/ou anti-horrios, com origem no lado do meridiano que mais se aproxima do alinhamento a ser medido, variando de 0 a +90o e acompanhado do quadrante que pode ser: NE, SE, SO ou NO, como mostra a Figura 2.26, onde RAB o rumo da direo AB, RAC o rumo da direo AC e assim por diante.

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    A Figura 2.27-a mostra uma forma utilizada em plantas cadastrais para representar as direes dos alinhamentos. Nela verifica-se que o rumo de A para B 53o NE e o de B para A 53o SO. J a Figura 2.27-b mostra rumos extremos que, principalmente na confeco de algoritmos para programas de computador, devem ser considerados.

    EXERCCIOS: 2.8) Calcular os ngulos CBA e DCB , exibidos na Figura 2.27-a.

    Resposta: CBA = 100 e DCB = 280

    2.9) Quais so os rumos dos alinhamentos AB, BA, AC e CA da Figura 2.27-b ?

    Resposta: AB = 90 NE = 90 SE; BA = 90 NO = 90 SO; AC = 0 SE = 0 SO; CA = 0 NE = 0 NO.

    Figura 2.27-a: Orientao de alinhamentos

    A

    B

    C

    SO 53 NE

    NO 47 SE

    SO 53 NE D

    Figura 2.27-b: Rumos extremos

    S

    N

    O L A B

    C

    N

    L O

    S

    B

    C

    D

    E

    A

    RAB

    RAC

    RAE

    RAD

    Figura 2.26 - Rumos

    +90 +90

    0

    0

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    4.1- Relaes entre azimutes e rumos:

    Embora a tendncia seja padronizar o uso de azimutes, os rumos ainda so empregados e se torna necessrio conhecer a relao trigonomtrica entre eles. A Figura 2.28 mostra para cada quadrante, a equao que relaciona azimutes e rumos. Uma vez que azimutes tm origem no lado norte do meridiano e so medidos no sentido horrio, o primeiro quadrante o NE, o segundo SE e assim por diante.

    EXERCCIO PROPOSTO: Elaborar algoritmo para transformar azimute em rumo e rumo em azimute.

    5- NGULOS HORIZONTAIS ENTRE ALINHAMENTOS A PARTIR DE AZIMUTES

    tarefa bastante comum em topografia, a determinao de ngulos horizontais horrios ou anti-horrios a partir de azimutes. Da Figura 2.29-a pode se verificar que os ngulos horrios

    BAC AZAZCAB A== (2.22)

    360 +== ACAB AZAZBAC (2.23)

    J os ngulos anti-horrios da Figura 2.29-b:

    360 +== ACAB AZAZCAB (2.24)

    BAAC AZAZBAC == (2.25)

    N

    L O

    S

    B

    C

    D

    E

    A

    NE: RAB = AZAB

    Figura 2.29 Relaes entre rumos e azimutes

    1o Quadrante

    SE: RAC = 180 - AZAC

    2o Quadrante

    SO: RAD = AZAD - 180

    3o Quadrante

    NO: RAE = 360 - AZAE

    4o Quadrante

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